28 ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น...
TRANSCRIPT
คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร
เรอง
ทฤษฎจ านวนเบองตน (เนอหาตอนท 2)
ตวหารรวมมาก และ ตวคณรวมนอย
โดย
ผชวยศาสตราจารย ดร. ยศนนต มมาก
สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ
ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
1
สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน มจ านวนตอนทงหมดรวม 7 ตอน ซงประกอบดวย
1. บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน 2. เนอหาตอนท 1 การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ
- ขนตอนวธการหาร - การหารลงตว - จ านวนเฉพาะ
3. เนอหาตอนท 2 ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย - ตวหารรวมมาก - ขนตอนวธของยคลด - จ านวนเฉพาะสมพทธ - ตวคณรวมนอย
4. แบบฝกหด (พนฐาน) 5. แบบฝกหด (ขนสง) 6. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎจ านวน 7. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎบทเศษเหลอของจน
คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบผสอน และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2
เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน (ตวหารรวมมาก และ ตวคณรวมนอย) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/2) หวขอยอย 1. ตวหารรวมมาก 2. ขนตอนวธของยคลด 3. จ านวนเฉพาะสมพทธ 4. ตวคณรวมนอย จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน
1. เขาใจบทนยามและสญลกษณของตวหารรวมมาก 2. สามารถหาตวหารรวมมากโดยขนตอนวธของยคลด 3. เขาใจบทนยามจ านวนเฉพาะสมพทธและสามารถตรวจสอบการเปนจ านวนเฉพาะสมพทธ 4. เขาใจบทนยามและสญลกษณของตวคณรวมนอยและสามารถหาตวคณรวมนอย
ผลการเรยนรทคาดหวง
ผเรยนสามารถ 1. บอกบทนยามและสญลกษณของตวหารรวมมากได 2. หาตวหารรวมมากโดยขนตอนวธของยคลดได 3. บอกบทนยามจ านวนเฉพาะสมพทธและตรวจสอบการเปนจ านวนเฉพาะสมพทธได 4. บอกบทนยามและสญลกษณของตวคณรวมนอยและสามารถหาตวคณรวมนอยได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
3
เนอหาในสอการสอน
เนอหาทงหมด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
4
1. ตวหารรวมมาก
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
5
1. ตวหารรวมมาก
การสอนเรองตวหารรวมมาก ผสอนควรเรมโดยการทบทวนบทนยามของการหารลงตว ตวหาร พหคณ และสมบตเบองตนทผเรยนไดศกษาจากสอการสอนเรองทฤษฎจ านวนเบองตน (เนอหาตอนท 1) แลวใหผเรยนศกษาบทนยามของตวหารรวมมากจากสอการสอนดงน
จากบทนยามของตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ผสอนอาจเพมเตมวา ห.ร.ม. นนผเรยนไดศกษามาบางแลวในระดบประถมศกษาตอนปลายและมธยมศกษาตอนตน แตตอนนนเรานยามเพยง ห.ร.ม. ระหวางจ านวนเตมบวกสองจ านวน และค านวณ ห.ร.ม. ของจ านวนเตมบวกซงมคาไมมากนกโดยวธแยกตวประกอบ หรอ หาตวหารรวมทงหมดดงแสดงในตวอยาง แตในระดบมธยมศกษาตอนปลาย เราใหบทนยาม ห.ร.ม. ส าหรบจ านวนเตมสองจ านวนใด ๆ ทไมเปนศนยพรอมกน และเราจะศกษาขนตอนวธหา ห.ร.ม. ส าหรบจ านวนเตมทมคามาก ๆ อกดวย และใหผเรยนสงเกตเพมเตมวา ห.ร.ม. ของจ านวนเตม a และ b นนตองเปนจ านวนเตมบวกซงหารทง a และ b ลงตวและมคามากสด
ตอมาผสอนอาจย าเกยวกบสญลกษณ ( , )a b ซงแทน ห.ร.ม. ของ a และ b ทมลกษณะเหมอนกบชวงเปดทผเรยนเคยพบตอนศกษาเรองจ านวนจรง แตในทนเราใชสญลกษณนแทน ห.ร.ม. ของ a และ b
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
6
เราไดขอสงเกตจากบทนยามของ ห.ร.ม. ดงน
ผสอนอาจยกตวอยาง ห.ร.ม. ของจ านวนเตมสองจ านวนเหลานเพมเตมจากตวอยางขางตน เพอใหผเรยนเกดความเขาใจขอสงเกตนยงขน 1. (12,80) (80,12) 4, (75, 16) ( 16,75) (16,75) 1 (อาจย าเพมวาไมเหมอนชวงเปด) 2. (15,0) 15, (0, 2554) 2554, ( , )a a a เมอ a เปนจ านวนเตมทไมเทากบศนย 3. ( 155, 450) (155,450) 5 เพราะวา 155 5 31 และ 450 5 90
ผสอนอาจใหขอสงเกตเพมเตมแกผเรยน เชน
ขอสงเกต ถา a และ b เปนจ านวนเตม ซง |b a จะไดวา ( , )a b b พสจน ให ( , )d a b ดงนน |d b สงผลให d b เพราะวา |b a ดงนน b หาร a ลงตว และจาก b หาร b ลงตว ท าใหไดวา b เปนตวหารรวมของ a และ b เพราะฉะนน b d เราจงสรปไดวา ( , )a b b #
ผสอนน าเขาสขนตอนวธของยคลดวา ในการหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมสองจ านวนทไมเปนศนยพรอมกนนน เราเพยงพอทจะศกษาเฉพาะขนตอนวธในการหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมบวกสองจ านวนเทานน ส าหรบจ านวนเตมลบหรอศนยนน เราสามารถใชขอสงเกตขางตนหา ห.ร.ม. หรอแปลงค าถามเปน ห.ร.ม. ของจ านวนเตมบวกไดเสมอ ซงหากเปนจ านวนเตมทมคามาก การแยกตวประกอบหรอการหาตวหารรวมทงหมดอาจท าไดยาก
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
7
2. ขนตอนวธของยคลด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
8
2. ขนตอนวธของยคลด
ในการหา ห.ร.ม. โดยวธแยกตวประกอบใหเปนจ านวนเฉพาะ หรอ การหาตวหารรวมทงหมดทผเรยนไดศกษามาในระดบประถมศกษาตอนปลายและมธยมศกษาตอนตนนน เมอจ านวนทน ามาหามคามาก วธการเหลานจะมความยงยากและซบซอนมากในการค านวณ ขนตอนวธของยคลดเปนวธหา ห.ร.ม. ทมประสทธภาพ
ขนตอนวธของยคลดเปนวธทใชกนมาตงแตสมยโบราณ โดยผทคดคนขนตอนวธค านวณนคอนกคณตศาสตรชาวกรกทมชอวา ยคลด (Euclid) ซงมชวตอยเมอประมาณ 300 ปกอนครสตศกราช
ผสอนอาจชวยใหผเรยนเขาใจขนตอนวธของยคลดดยงขน ดวยการทบทวนขนตอนวธการหารของ
จ านวนเตมบวกสองจ านวนโดยชใหเหนวาเศษเหลอนนเปนศนยหรอจ านวนเตมบวกทมคานอยกวาตวหาร และยกตวหารของขนกอนหนามาเปนตวตง โดยน าเศษเหลอทไมเปนศนยไปเปนตวหาร ท าเชนนไปเรอย ๆ ดงในขนตอนวธของยคลดจะไดวาตองมเศษเหลอเปนศนยในทสด และเศษเหลอตวสดทายทไมเปนศนย จะเทากบ ห.ร.ม. ของ a และ b (ดบทพสจน หนา 12)
สงเกตวา a และ b ในขนตอนวธของยคลดเปนจ านวนเตมบวกดงไดกลาวไวแลววาเปนการเพยงพอทจะศกษาเฉพาะขนตอนวธในการหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมบวกสองจ านวนเทานน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
9
ผสอนใหผเรยนศกษาตวอยางการหา ห.ร.ม. โดยใชขนตอนวธของยคลดในสอการสอนตอไปน
ผสอนอาจใหผเรยนท าแบบฝกหดตอไปนเพอใหเขาใจขนตอนวธของยคลดมากยงขน
แบบฝกหดเพมเตม เรอง ขนตอนวธของยคลด ชดท 1
จงหา ห.ร.ม. ของ a และ b โดยใชขนตอนวธของยคลด เมอก าหนด a และ b ดงตอไปน
1. 26a และ 118b 2. 364a และ 9035b 3. 500a และ 2301b 4. 234a และ 1770b [ขอแนะ (234, 1770) (234,1770) ]
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
10
ในสอการสอนตอไปน ผสอนใหผเรยนสงเกตวาหากเราแทนคายอนกลบจาก ( , ) ka b r ขนไปเรอย ๆ จะไดวา เราสามารถเขยน ห.ร.ม. ของ a และ b ในรปการรวมเชงเสนของ a และ b
ซงเราสรปเปนทฤษฎบทได ดงน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
11
ผสอนอาจใหตวอยางเพมเตมแกผเรยน ดงน ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 91 และ 259 โดยใชขนตอนวธของยคลด และ หาจ านวนเตม x และ y ซง (91,259) 91 259x y วธท า โดยขนตอนวธของยคลด เราไดวา
259 2 91 77
91 1 77 14
77 5 14 7
14 2 7
ดงนน (91,259) 7 โดยการแทนคายอนกลบ เราไดวา
7 77 5 (91 1 77)
6 (259 2 91) 5 91
6 259 ( 17) 91
เพราะฉะนน 17x และ 6y ท าให (91,259) 7 91 259x y # หากผเรยนมความสามารถสง ผสอนอาจแสดงบทพสจนขนตอนวธของยคลด โดยเรมจาก
ทฤษฎบทประกอบ ให a และ b เปนจ านวนเตมบวก ถา a qb r เมอ q และ r เปนจ านวนเตมโดยท 0 b r จะไดวา ( , ) ( , ) ( , )a b b r b a qb พสจน ให ( , )d a b ดงนน |d a และ |d b เราจะแสดงวา ( , )d b r นนคอ d เปนจ านวนเตมคามากสดท |d b และ |d r จาก |d a และ |d b เพราะฉะนน | ( )d a qb ท าใหไดวา |d r ให c เปนจ านวนเตมซง |c b และ |c r ดงนน | ( )c qb r สงผลให |c a เพราะฉะนน c เปนตวหารรวมของ a และ b ดงนน c d ท าใหสรปไดวา ( , )d b r #
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
12
พสจนขนตอนวธของยคลด จาก kr หาร 1kr ลงตว โดยขอสงเกตในหวขอ 1( , )k k kr r r ดงนนโดยทฤษฎบทประกอบ จะได 1 2 1 1 2 1( , ) ( , ) ( , )k k k k k k k k kr r r r q r r r r โดยอาศยทฤษฎบทประกอบซ าไปเรอย ๆ จะไดวา
1 2 1 1
2 1 2 3 1 2
2 1 2 1 1
1 1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
k k k k k k k
k k k k k k
r r r r q r r
r r r r q r
r r b q r r
b r b a q b
a b
#
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
13
แบบฝกหดเพมเตม เรอง ขนตอนวธของยคลด ชดท 2
1. จงหาจ านวนเตม x และ y ทให
ก) (26,118) 26 118x y ข) (234, 1770) 234 ( 1770)x y ค) ( 110, 273) ( 110) ( 273)x y
2. ให a และ b เปนจ านวนเตม ถามจ านวนเตม x และ y ซง 1ax by จงแสดงวา ( , ) 1a b 3. จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผดพรอมบอกเหตผลประกอบ
ก) ถา |a c และ |b c แลว |ab c ข) ( , ) ( , )ca cb c a b เมอ 0c
4. ให ,a b และ c เปนจ านวนเตม จงแสดงวา ก) ถา |a c และ |b c และ ( , ) 1a b แลว |ab c ข) ถา |a bc และ ( , ) 1a b แลว |a c
5. ให a และ b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนยพรอมกน ถา c เปนจ านวนเตมโดยท ( , ) |a b c จงแสดงวา มจ านวนเตม x และ y ซง c ax by
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
14
3. จ านวนเฉพาะสมพทธ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
15
3. จ านวนเฉพาะสมพทธ
เราใหนยามจ านวนเฉพาะสมพทธดงน
ผสอนอาจยกตวอยางจ านวนเตมทเปนจ านวนเฉพาะสมพทธเพมเตม เชน 123 และ 242 เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ และย าผเรยนจากขอสงเกตวา จ านวนเฉพาะสมพทธไมเกยวของกบการเปนจ านวนเฉพาะ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
16
ผสอนอาจย าผเรยนเพมเตมเกยวกบ การตรวจสอบวาจ านวนเตมสองจ านวนทก าหนดใหเปนจ านวนเฉพาะสมพทธหรอไม ท าโดยการหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมสองจ านวนนนวามคาเปน 1 หรอไม ซงผเรยนไดศกษาการหา ห.ร.ม. อยางมประสทธภาพโดยใชขนตอนวธของยคลดมาแลว โดยอาจยกตวอยางเพมเตมเชน
ตวอยาง จงตรวจสอบวา 123 และ 242 เปนจ านวนเฉพาะสมพทธหรอไม เพราะเหตใด วธท า ค านวณหา ห.ร.ม. ของ 123 และ 242 โดยขนตอนวธของยคลด ดงน
242 1 123 119
123 1 119 4
119 29 4 3
4 1 3 1
3 3 1
ดงนน (123,242) 1 ท าใหไดวา 123 และ 242 เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ #
ตวอยาง ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวา a และ 1a เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ วธท า ให ( , 1)d a a ดงนน |d a และ | ( 1)d a ท าใหไดวา | (( 1) )d a a นนคอ |1d เพราะวา 0d เพราะฉะนน 1d สงผลให a และ 1a เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ #
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
17
นอกจากนสอการสอนจะกลาวถงทฤษฎบทของจ านวนเฉพาะสมพทธทเกยวของกบจ านวนเฉพาะ
ผสอนอาจใหขอสงเกตเกยวกบบทกลบของทฤษฎบทขางตนเพมเตม ดงน
ขอสงเกต ถา p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตมซง ( , ) 1a p แลว |p a พสจน ให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตมซง ( , ) 1a p โดยวธขดแยง สมมตวา |p a ดงนน ( , ) 1a p p ซงเปนขอขดแยง ดงนน |p a #
ผสอนอาจยกตวอยางประกอบทฤษฎบทนเพอใหผเรยนเขาใจมากยงขน เชน เพราะวา 7 | 100 ดงนน (7,100) 1 2 และ จ านวนคใด ๆ เปนจ านวนเฉพาะ
สมพทธกนเสมอ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
18
ทฤษฎบทตอมาเปนสมบตทส าคญของจ านวนเฉพาะ ซงการพสจนอาศยผลทไดจากทฤษฎบทกอนหนาน ผสอนควรย าวาหาก p ไมเปนจ านวนเฉพาะ ทฤษฎบทนจะไมจรง ดงตวอยางทแสดงในสอการสอน
และใหผเรยนศกษาบทพสจนจากสอการสอน
ขอ 1 ในตวอยางนกลาวไดอกอยางหนงวา “ผลคณระหวางจ านวนเตมสองจ านวนเปนจ านวนค จะสรปไดวา จ านวนใดจ านวนหนงในสองจ านวนนนตองเปนจ านวนค หรอ ทงสองจ านวนเปนจ านวนค”
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
19
แบบฝกหดเพมเตม เรอง จ านวนเฉพาะสมพทธ
1. จงตรวจสอบวาจ านวนทก าหนดใหแตละคตอไปนเปนจ านวนเฉพาะสมพทธหรอไม เพราะเหตใด
ก) 25,54 ข) 170,221 ค) 1011, 2012
2. จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผดพรอมบอกเหตผลประกอบ ก) จ านวนคและจ านวนค เปนจ านวนเฉพาะสมพทธกนเสมอ ข) a และ 2 1a เปนจ านวนเฉพาะสมพทธกน เมอ a เปนจ านวนเตมใด ๆ ค) (2 1,2 1) 1a a เมอ a เปนจ านวนเตมใด ๆ
3. จงแสดงวา ถา ( , ) 1a b และ ( , ) 1a c แลว ( , ) 1a bc 4. ถา n เปนจ านวนเตมบวก และ ( , ) 1a b จงพสจนวา ( , ) 1na b 5. จ านวนเตมตงแต 1 ถง 100 ทไมเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ 21 มทงหมดกจ านวน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
20
4. ตวคณรวมนอย
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
21
4. ตวคณรวมนอย
ผเรยนไดศกษาเรองตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ตลอดจนการประยกตตาง ๆ เชน ใชในการบวกลบเศษสวนมาบางแลว เชนเดยวกบ ห.ร.ม. การนยาม ค.ร.น. ในระดบประถมศกษาตอนปลายและมธยมศกษาตอนตน นยามส าหรบจ านวนเตมบวกใด ๆ เทานน ในสอการสอนน เราใหนยาม ค.ร.น. ส าหรบจ านวนเตม a และ b ทไมเปนศนยใด ๆ ดงน
สงเกตวา ค.ร.น. ตองเปนจ านวนเตมบวก และ เปนพหคณรวมคานอยสดของ a และ b โดยผสอน
อาจย าเกยวกบสญลกษณ [ , ]a b ซงแทน ค.ร.น. ของ a และ b ทมลกษณะเหมอนกบชวงปดทผเรยนเคยพบในเรองจ านวนจรง และเชนเดยวกบ ห.ร.ม. วา ส าหรบจ านวนเตม a และ b ใด ๆ ทไมเทากบศนย เราไดวา
1. [ , ] [ , ]a b b a 2. [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]a b a b a b a b
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
22
ในเรองตอมาจะกลาวถงทฤษฎบททจะชวยในการหา ค.ร.น. ของจ านวนเตมบวกสองจ านวนใด ๆ
จากทฤษฎบทน ในการหา ค.ร.น. ของจ านวนเตมบวก a และ b เราเรมหา ห.ร.ม. ของ a และ b โดยใชขนตอนวธของยคลดกอนแลวจะได ค.ร.น. ของ a และ b มคาเปนผลคณของ a และ b หารดวย ห.ร.ม. ของ a และ b ซงท าใหเราสามารถหา ค.ร.น. ของจ านวนเตมบวกสองจ านวนไดอยางมประสทธภาพ
ยงกวานน หากเราทราบวาจ านวนเตมบวก a และ b เปนจ านวนเฉพาะสมพทธ จะไดวา ค.ร.น. ของ a และ b มคาเทากบผลคณของ a และ b
ผสอนใหผเรยนศกษาตวอยางตอไปนจากสอการสอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
23
ผสอนอาจแสดงบทพสจนของทฤษฎบทใหผเรยนทมความสามารถสง ดงน
ทฤษฎบท ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก แลว [ , ]( , )a b a b ab
พสจน ให ( , )d a b ดงนน abm
d เปนจ านวนเตม
เราจะแสดงวา [ , ]m a b
เนองจาก |d a และ |d b ดงนน a
d และ b
d เปนจ านวนเตม
จาก ba m
d
และ a
b md
ท าใหไดวา |a m และ |b m
ให c เปนจ านวนเตมบวกซง |a c และ |b c ดงนน c au และ c bv เมอ u และ v เปนจ านวนเตม เนองจาก ( , )d a b จะไดวา มจ านวนเตม x และ y ซง d ax by
เพราะฉะนน ( ) ( )c cd cax cby bv ax au byvx uy
m md ab ab
เปนจ านวนเตม
ดงนน |m c สงผลให m c เราจงสรปไดวา [ , ]m a b #
เนองจาก , ,a b a b และ , ,a b a b ทฤษฎบทขางตนสามารถขยายสกรณทวไป
พรอมทงบทแทรกไดดงน
ทฤษฎบท ให a และ b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย จะไดวา [ , ]( , )a b a b ab
บทแทรก ให a และ b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย โดยท |b a จะไดวา [ , ]a b a
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
24
แบบฝกหดเพมเตม เรอง ตวคณรวมนอย
1. จงหา ค.ร.น. ของ a และ b เมอก าหนด a และ b ดงตอไปน
ก) 26a และ 118b ข) 364a และ 9035b ค) 500a และ 2301b ง) 234a และ 1770b
2. จ านวนเตมบวก a และ 48 ม ห.ร.ม. เปน 4 และ ค.ร.น. เปน 240 จงหาคาของ a 3. จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผดพรอมบอกเหตผลประกอบ
ก) ถา a และ b เปนจ านวนคบวก แลว [ , ]a b ab ข) ( , ) | [ , ]a b a b เมอ a และ b เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย ค) ถา a เปนจ านวนคบวกและ b เปนจ านวนคบวก แลว [ , ]a b ab
4. จงหาจ านวนเตมบวกคานอยสดทหารดวย 10 และ 35 แลวมเศษเหลอเปน 4 5. ให a และ b เปนจ านวนเตมบวก จงแสดงวา [ , ]ab a b เปนจ านวนคเสมอ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
25
สรปสาระส าคญประจ าตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
26
สรปสาระส าคญประจ าตอน
สาระส าคญของทฤษฎจ านวนเบองตน (ตอนท 2) ประกอบดวยเนอหาหลกทผสอนควรย าแกผเรยนคอ บทนยามและสญลกษณของตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย
และขนตอนวธของยคลดซงชวยใหเราหา ห.ร.ม. ของจ านวนเตมไดอยางมประสทธภาพ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
27
รวมถงบทนยามของจ านวนเฉพาะสมพทธ ซงเปนความสมพนธระหวางจ านวนเตมสองจ านวนทไมมตวหารทเปนบวกรวมกนนอกจาก 1 และ ทฤษฎบททแสดงความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทชวยใหเราหา ค.ร.น.ไดสะดวกและรวดเรวขน
ผสอนอาจทบทวนหวขอตาง ๆ โดยยกตวอยางเชงตวเลขประกอบ ตลอดจนชใหเหนความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. และย าความส าคญของขนตอนวธของยคลดซงชวยท าใหการหาทง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. มประสทธภาพ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
28
เอกสารอางอง
1. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2552). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4 – 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: สถาบนฯ.
2. สเทพ จนทรสมศกด. (2533). ระบบจ านวน. กรงเทพฯ: หางหนสวนจ ากดพทกษการพมพ.
3. อจฉรา หาญชวงศ. (2542). ทฤษฎจ านวน. กรงเทพฯ: โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
29
ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
30
ผสอนอาจแสดงการตรวจสอบวาจ านวนทก าหนดใหเปนจ านวนเฉพาะหรอไม ดวย Microsoft Excel ดงไดกลาวไวในสอการสอน โดยยกตวอยางจ านวนเตมบวกอน ๆ เพมเตมได
หากผเรยนมความสามารถสง ผสอนอาจอธบายรายละเอยดทมาของชดค าสงขางตนวาเปนผลมาจากทฤษฎบท C และ หมายเหตของทฤษฎบทน ประกอบสอการสอนเรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน (เนอหาตอนท 1) ซงกลาววา
ทฤษฎบท C ถา n เปนจ านวนประกอบ แลวจะมจ านวนเฉพาะ p n ท |p n หมายเหต จากทฤษฎบท C จะไดวา ถาจ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ a ทกจ านวนหาร a ไมลงตว แลวจะไดวา a เปนจ านวนเฉพาะ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
31
ตอมาสอการสอนกลาวถงการใช Microsoft Excel ชวยในการค านวณหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ านวนเตม a และ b โดยใชค าสง GCD ,a b และ LCM , a b ดงน
ซงผสอนสามารถชใหผเรยนเหนวา เราอาจใชคอมพวเตอรชวยในการค านวณหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ใหสะดวกขนได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
32
ผสอนอาจเพมเตมบทนยามของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ านวนเตมมากกวาสองจ านวน ดงน
บทนยาม ให 1 2, , , ka a a เปนจ านวนเตมทไมเปนศนยพรอมกน จ านวนเตมบวก d ซงมคามากสดท 1 2| , | , , | kd a d a d a เรยกวาเปน ตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ
1 2, , , ka a a เราใชสญลกษณ 1 2( , , , )ka a a แทน ห.ร.ม. ของ 1 2, , , ka a a
บทนยาม ให 1 2, , , ka a a เปนจ านวนเตมทไมเปนศนย จ านวนเตมบวก c ซงมคานอยสดท 1 2| , | , , |ka c a c a c เรยกวาเปน ตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) ของ
1 2, , , ka a a เราใชสญลกษณ 1 2[ , , , ]ka a a แทน ค.ร.น. ของ 1 2, , , ka a a
ขอสงเกต เราตรวจสอบไดวา 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ,( , )) (( , ), ) ( , , )a a a a a a a a a และ
1 2 3 1 2 3 1 2 3[ ,[ , ]] [[ , ], ] [ , , ]a a a a a a a a a ซงอาจขยายไดเปน 1 2 1 2 3( , , , ) (( , ), , , )k ka a a a a a a และ 1 2 1 2 3[ , , , ] [[ , ], , , ]k ka a a a a a a
ตวอยาง (20,30,45) ((20,30),45) (10,45) 5 และ [20,30,45] [[20,30],45] [60,45] 180
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
33
แบบฝกหดระคน
1. ก าหนดให 105a และ 305b ก) จงหา ( , )a b ข) จงหาจ านวนเตม x และ y ทท าให ( , )a b ax by ค) จงหา [ , ]a b
2. ก าหนดให b เปนจ านวนเตมซง
1
2
216 104
104 4
bq
b q
จงหา (216, )b 3. จงแสดงวา ( , 2) 1a a เมอ a เปนจ านวนค และ ( , 2) 2a a เมอ a เปนจ านวนค 4. ให a และ b เปนจ านวนเตม และ p เปนจ านวนเฉพาะ
ถา |p ab และ 2|p a b จงแสดงวา 2 |p ab 5. ให a และ b เปนจ านวนเตมบวกโดยท [ , ]a b ab จงแสดงวา ( , ) 1a b 6. ให ,a b และ c เปนจ านวนเตม โดยท |a c และ |b c จงแสดงวา [ , ] |a b c 7. ถา ( , ) 5a a b และ 80ab จงหา [ , ]a b 8. จงหาจ านวนเตมบวกคามากสดทหาร 130, 312 และ 481 แลวมเศษเหลอเทากน 9. จงหาจ านวนเตมบวกคานอยสดทหารดวย 4,6 และ 11 แลวมเศษเหลอเปน 3 10. นาฬกาสองเรอนตงเวลาปลกไวทก 25 และ 40 ตามล าดบ
ถานาฬกาทงสองเรอนปลกพรอมกนเวลา 6.00น. อยากทราบวานาฬกาทงสอง จะปลกพรอมกนครงตอไปเวลาเทาใด
11. ก าหนดให { |S n n เปนจ านวนเตมบวก โดยท 500n และ ( ,100) 1}n จงหาจ านวนสมาชกของเซต S
12. ก าหนดให {1,2,3, ,200}A และ { | ( ,40) 5}S a A a จงหาจ านวนสมาชกของเซต S
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
34
ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
35
เฉลยแบบฝกหด
เรอง ขนตอนวธของยคลด ชดท 1
1. ( , ) 2a b 2. ( , ) 13a b 3. ( , ) 1a b 4. ( , ) 6a b
เฉลยแบบฝกหด
เรอง ขนตอนวธของยคลด ชดท 2
1. ก) 9, 2x y ข) 121, 16x y ค) 67, 27x y
2. ให ( , )d a b ดงนน |d a และ |d b
ท าใหไดวา | ( )d ax by นนคอ |1d
เพราะวา 0d ดงนน 1d
3. ก) ผด เชน 6 | 24 และ 8 | 24 แต 48 | 24
ข) ถก ให ( , )d a b ดงนน |d a และ |d b
จาก c c เพราะฉะนน c d หาร ca และ cb ลงตว
ให z เปนจ านวนเตมซง |z ca และ |z cb
เพราะวา ( , )d a b ดงนน มจ านวนเตม x และ y ซง d ax by
เพราะฉะนน dc acx bcy สงผลให |z dc
ดงนน z d c ท าใหสรปไดวา ( , )ca cb c d
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
36
4. ก) สมมตวา |a c และ |b c และ ( , ) 1a b
ดงนน จะมจ านวนเตม x และ y ทท าให 1ax by
เพราะฉะนน acx bcy c
เนองจาก |a c และ |b c สงผลให |ab cbx และ |ab acy ตามล าดบ
ดงนน | ( )ab acx bcy นนคอ |ab c
ข |a bc และ ( , ) 1a b
ดงนน จะมจ านวนเตม x และ y ทท าให 1ax by
เพราะฉะนน acx bcy c
เพราะวา |a bc และ |a ac ดงนน |a c
5. ให c เปนจ านวนเตมโดยท ( , ) |a b c
ให ( , )d a b ดงนน จะมจ านวนเตม x และ y ทท าให ax by d
เพราะวา |d c จะได c dq เมอ q เปนจ านวนเตม
ดงนน ( ) ( )c dq a qx b qy
เนองจาก qx และ qy เปนจ านวนเตม ท าใหไดขอสรปตามตองการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
37
เฉลยแบบฝกหด
เรอง จ านวนเฉพาะสมพทธ
1. ก) เปน ข) ไมเปน เพราะวา ( 170,221) 17 ค) เปน 2. ก) ผด เชน (9,12) 3 ดงนน 9 และ 12 ไมเปนจ านวนเฉพาะสมพทธ
ข) ถก ให 2( , 1)d a a ดงนน |d a และ 2| ( 1)d a เพราะฉะนน 2| ( 1)d a a a สงผลให |1d นนคอ 1d ค) ถก ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ และ (2 1,2 1)d a a เหนชดวา d เปนจ านวนค เนองจาก | (2 1)d a และ | (2 1)d a ดงนน | ((2 1) (2 1))d a a เพราะฉะนน | 2d เพราะวา d เปนจ านวนค ท าใหไดวา 1d
3. สมมตวา ( , ) 1a b และ ( , ) 1a c ดงนน 1ax by และ 1ax cy เมอ , , ,x x y y เปนจ านวนเตม เพราะฉะนน 1 ( )( ) ( ) ( )ax by ax cy a axx bx y cxy bc yy ท าใหสรปไดวา ( , ) 1a bc โดยแบบฝกหดเรองขนตอนวธของยคลด ชดท 2 ขอ 2
4. เปนผลจากขอ 3 เมอ b c 5.
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
38
เฉลยแบบฝกหด เรอง ตวคณรวมนอย
1. ก) 1534 ข) 252980 ค) 1150500 ง) 69030
2. 240 420
48a
3. ก) ถก เพราะวา 2 | ( , )a b ดงนน 2 ( , )a b สงผลให [ , ]( , ) 2
ab aba b ab
a b
ข) ถก ให ( , )d a b และ [ , ]m a b
ดงนน |d a และ |d b และ |a m และ |b m
ท าใหสรปไดวา |d m
ค) ผด เชน 6a และ 15b จะได [ , ] 30a b แต 90ab
4. 74 5. ให a และ b เปนจ านวนเตม และ [ , ]m ab a b
กรณ ab เปนจ านวนค เพราะวา |ab m ดงนน m เปนจ านวนค
กรณ ab เปนจ านวนค ดงนน a และ b ตองเปนจ านวนค
ท าใหไดวา a b เปนจ านวนค
เพราะวา ( ) |a b m ดงนน m เปนจ านวนค
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
39
เฉลยแบบฝกหดระคน
1. ก) ( , ) 5a b ข) 29, 10x y ค) [ , ] 6405a b
2. (216, ) ( ,104) (104,4) 4b b 3. ให ( , 2)d a a ดงนน |d a และ | ( 2)d a ท าใหไดวา | 2d
ดงนน 1d หรอ 2d
กรณ a เปนจ านวนค เพราะวา |d a ดงนน 1d
กรณ a เปนจ านวนค เพราะวา 2 | a และ 2 | ( 2)a ดงนน 2 d นนคอ 2d
4. สมมตวา |p ab และ 2| ( )p a b ดงนน |p a หรอ |p b
กรณ |p a เพราะวา 2| ( )p a b ดงนน |p b ท าใหไดวา 2 |p ab
กรณ |p b เพราะวา 2| ( )p a b ดงนน 2|p a ท าใหไดวา |p a เพราะฉะนน 2 |p ab
5. เนองจาก [ , ]( , )
abab a b
a b ดงนน ( , ) 1a b
6. ให [ , ]m a b สมมตวา |a c และ |b c
โดยขนตอนวธการหาร จะได c mq r เมอ q เปนจ านวนเตม และ 0 r m
ดงนน r c mq
เพราะวา | , | , |a m b m a c และ |b c เพราะฉะนน |a r และ |b r
ถา 0r จะไดวา m r ซงเปนขอขดแยง ดงนน 0r นนคอ |m c
7. เพราะวา ( , ) ( , ) 5a b a a b และ 80ab ดงนน 80[ , ] 16
( , ) 5
aba b
a b
8. 13d และ เศษเหลอทเทากนมคาเทากบศนย
9. 135 10. [25,40] 200 นาท ดงนน นาฬกาทงสองจะปลกพรอมกนครงตอไปเวลา 9.20 .
11. 200 12. 20
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
40
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
41
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
เรอง ตอน
เซต บทน า เรอง เซต
ความหมายของเซต
เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต
เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร
การใหเหตผล
ประพจนและการสมมล
สจนรนดรและการอางเหตผล
ประโยคเปดและวลบงปรมาณ
สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย
สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง
จ านวนจรง
บทน า เรอง จ านวนจรง
สมบตของจ านวนจรง
การแยกตวประกอบ
ทฤษฏบทตวประกอบ
สมการพหนาม
อสมการ
เทคนคการแกอสมการ
คาสมบรณ
การแกอสมการคาสมบรณ
กราฟคาสมบรณ
สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน
สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม
สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ
ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย
ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน
ความสมพนธ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
42
เรอง ตอน
ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ
อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน
ฟงกชนเบองตน
พชคณตของฟงกชน
อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส
ฟงกชนประกอบ
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
เลขยกก าลง
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
ลอการทม
อสมการเลขชก าลง
อสมการลอการทม
ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต
อตราสวนตรโกณมต
เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย
ฟงกชนตรโกณมต 1
ฟงกชนตรโกณมต 2
ฟงกชนตรโกณมต 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย
สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน
ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน
การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร
การหาคาสดขด
ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม
ล าดบ
การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต
ลมตของล าดบ
ผลบวกยอย
อนกรม
ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
43
เรอง ตอน
การนบและความนาจะเปน .
บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน
การนบเบองตน
การเรยงสบเปลยน
การจดหม
ทฤษฎบททวนาม
การทดลองสม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เนอหา
แนวโนมเขาสสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสสวนกลาง 3
การกระจายของขอมล
การกระจายสมบรณ 1
การกระจายสมบรณ 2
การกระจายสมบรณ 3
การกระจายสมพทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสมพนธระหวางขอมล 1
ความสมพนธระหวางขอมล 2
โปรแกรมการค านวณทางสถต 1
โปรแกรมการค านวณทางสถต 2
โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย
ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส
การถอดรากทสาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบองทยดหดได