21.predavanje
DESCRIPTION
matematkaTRANSCRIPT
1
REALNA FUNKCIJA VIŠE NEZAVISNO PROMJENLJIVIH
Opšti oblik (eksplicitni) glasi:y = f(x1,x2,...,xn), (x1,...,xn) ∈ D ⊂ Rn.
Za n = 2, tj. za slučaj realne funkcije od dvije nezavisnopromjenljive, obično koristimo oznake x i y za nezavisnopromjenljive i z za odgovarajuću vrijednost funkcije i pišemo:
z = f(x,y).
2
( ) ( )x
yxfyxxf
x
z
x
zzyxf
xxxx
∆
−∆+=
∆
∆==′=′
→∆→∆
,,limlim ),(
00∂
∂
( ) ( ) ( )y
yxfyyxf
y
zzyxf
yyy
∆
−∆+==′=′
→∆
,,lim,
0∂
∂
.
Pretpostavimo da je argument y konstanta, funkciju z = f(x,y) možemo smatrati funkcijom jednog argumenta - x - i ispitivatipostojanje granične vrijednosti
PARCIJALNI IZVODI
3
′ =z exy
′ =z xeyy
′ =z x 0 ′ =z yy 2
′ =z x 0 ′ =z y 6
�Primjer 1. Prvi parcijalni izvodi funkcije z = xey su:
�Primjer 2. Prvi parcijalni izvodi funkcije z = y2, su
Npr. u tački, (2,3) su:
4
( )E pp
x
x
p1 11
1
1
1
= ⋅∂
∂
( )E pp
x
x
p1 22
1
1
2
= ⋅∂
∂
�Primjer 3. Neka je p1 cijena proizvoda A, p2 - cijenaproizvoda B, x1 i x2 odgovarajuće tražnje i neka tražnjaproizvoda A zavisi od cijene p2 proizvoda B i obrnuto, tj. x1 = f1(p1,p2) i x2 = f2(p1,p2). Tada se elastičnost tražnje x1 u odnosu na cijenu p1 zove parcijalna elastičnost:
Elastičnost (ukrštena) tražnje x1 u odnosu na cijenu p2 je.
5
( )E pp
x
x
p2 11
2
2
1
= ⋅∂
∂( )E p
p
x
x
p2 22
2
2
2
= ⋅∂
∂
Analogno:
Parcijalna elastičnost E1(p1) približno predstavlja procenatrasta (smanjenja) tražnje proizvoda A, ako se njegovacijena poveća za 1%, a cijena p2 proizvoda B ostane ista. Parcijalna elastičnost E2(p1) predstavlja (približno) procenat rasta (smanjenja) tražnje drugog proizvoda ako je njegova cijena nepromijenjena, a cijena proizvoda A se poveća za 1%.
6
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
2
2
2 2 2
2
z
x
z
x y
z
y x
z
y, , ,
yyyxxyxx zzzz ′′′′′′′′ ,,, ili
U opštem slučaju prvi parcijalni izvodi funkcije z = f(x,y) su takođe funkcije istih argumenata, pa ima smislagovoriti o eventualnom postojanju njihovih parcijalnihizvoda. Ukoliko postoje, te izvode zovemo drugim
parcijalnim izvodima funkcije z = f(x,y) i označavamosa
DRUGI PARCIJALNI IZVODI
7
′ = +z x yx 2 3 ′ = − +z y xy 4 3
′′ =z xx 2 ′′ =z xy 3 ′′ =z yx 3 ′′ = −z yy 4
mješoviti. sezovu yxxy ziz ′′′′
�Primjer 4. Prvi parcijalni izvodi funkcije z = x2 - 2y2 + 3xy su
Drugi parcijalni izvodi date funkcije su prvi parcijalnihizvodi prvih parcijalnih izvoda:
Drugi parcijalni izvodi
•Mješoviti izvodi, ako su neprekidni, su jednaki
8
TOTALNI DIFERENCIJAL
dzz
xdx
z
ydy= +
∂
∂
∂
∂
d z d dzz
xdx
z
ydy
z
x ydxdy2
2
2
22
2
22
2= = + +( )∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
Ako je z = f(x,y) funkcija sa neprekidnim parcijalnimizvodima, definišemo njen totalni diferencijal dz kao izraz
gdje su dx i dy diferencijali argumenata x i y.Drugi totalni diferencijal d2z je izraz
.
9
EKSTREMNE VRIJEDNOSTI
Za funkciju z = f(x,y) kažemo da u tački (a,b) imamaksimum ako je f(x,y) < f(a,b) za svaku tačku (x,y)≠(a,b) iz neke okoline tačke (a,b). Ako je, f(x,y) > f(a,b), kažemo da u tački (a,b) funkcijaz = f(x,y) ima minimum.Ako u tački (a,b) funkcija z = f(x,y) ima maksimum(minimum), onda se vrijednost f(a,b) zove maksimum
(minimum) funkcije. Minimum i maksimum se zovu i ekstremne vrijednosti.
10
′ =f a bx ( , ) 0 ′ =f a by ( , ) 0
Neophodan uslov da diferencijabilna funkcija z = f(x,y) u tački (a,b) ima ekstremnu vrijednost je
Tačke u kojima su parcijalni izvodi jednaki nuli zovu se stacionarne (kritične) tačke diferencijabilne funkcije.
Primjer 1. Stacionarne tačke funkcije z = 2x + 8y - x2 - 2y2
su rješenja sistema jednačina2 - 2x = 08 - 4y = 0
tj. data funkcija ima jednu stacionarnu tačku (1,2).
11
( )W a b z z zxx yy xy( , ) = ′′ ⋅ ′′ − ′′2
′′ <z xx 0 ′′ <z yy 0
′′ >z xx 0 ′′ >z yy 0
Dovoljan uslov (bez dokaza) da u stacionarnoj tački (a,b) funkcija z = f(x,y) ima ekstremum da izraz
bude pozitivan. Ako je, pritom,
(tada je i ) funkcija ima maksimum, ako je
(tada je i
Ako je W(a,b) < 0, funkcija nema ekstremum, a ako je W(a,b) = 0 pitanje ostaje otvoreno.Izraz W(x,y) zove se diskriminanta funkcije z = f(x,y).
) - minimum.
12
′ =z x 0′ =z y 0
′′ =z xxx 6 ′′ = −z xy 9 ′′ =z yyy 6
018 >=′′xxz
�Primjer 2. Odrediti ekstremne vrijednosti funkcijez = x3 + y3 - 9xy.Rješenje: Stacionarne tačke date funkcije su tačke (3,3) i (0,0) - rješenja sistema jednačina
tj. sistema 3x2 - 9y = 0, 3y2 - 9x = 0. Drugi parcijalni izvodi su
Kako je W(3,3) = 18⋅18 - 81 > 0, to u tački (3,3) funkcijaima ekstremum. Još je
pa je taj ekstremum minimum: zmin = z(3,3) = -27. U tački(0,0) je W(0,0) = 0⋅0 - 81 < 0, tj. u tački (0,0) data funkcijanema ekstremum.
13
Ako promjenljive x i y nijesu međusobno nezavisne nego suvezane nekom relacijom g(x,y) = 0 onda ekstremnuvrijednost funkcije z = f(x,y) zovemo uslovni (relativni) ekstremum. Rješavanjem jednačine g(x,y) = 0 po x ili po y, ako je to moguće, određivanje relativnog ekstremuma se svodi na određivanje ekstremuma funkcije jednogargumenta. Ako, pak, iz jednačine g(x,y) = 0 ni jednu odnepoznatih ne možemo izraziti u eksplicitnom obliku, relativni ekstremum određujemo kao ekstremum tzv. Lagranžove funkcije F(x,y) = f(x,y) + λg(x,y),gdje je λ parametar koji treba odrediti.
14
0),(
0
0
=
=′
=′
yxg
F
F
y
x
∂
∂
∂
∂
g
xdx
g
ydy+ = 0
∂
∂
∂
∂
g
xdx
g
ydy+ = 0
Potreban uslov: Stacionarne tačke određujemo iz sistemajednačina
Dovoljan uslov: Ako je drugi totalni diferencijal d2F u stacionarnoj tački (a,b,λ), uz uslov
pozitivan, funkcija u toj tački dostiže uslovni maksimum, a ako je negativan uslovni minimum. Uslov
dobija se diferenciranjem uslova g(x,y) = 0.
15
λ1
5
2= x1
4
5= y1
3
5=
λ 2
5
2= − x 2
4
5= − y 2
3
5= −
�Primjer 3. Odrediti ekstremne vrijednosti funkcijez = 6 - 4x - 3y, ako je x2 + y2 = 1.Rješenje: Lagranžova funkcija u navedenom primjeru jeF(x,y) = 6 - 4x - 3y + λ(x2 + y2 - 1).Stacionarne tačke se dobijaju iz sistema-4 + 2λx = 0-3 + 2λy = 0x2 + y2 = 1Rješenja navedenog sistema jednačina su
16
( )d F dx dy2 2 24
5
3
5
5
25 0, ,
= + >
( )d F dx dy2 2 24
5
3
5
5
25 0− − −
= − + <, ,
4
5
3
5,
− −
4
5
3
5,
Kako je d2F = 2λdx2 + 2λdy2, to je
(pretpostavljamo da dx i dy nijesu istovremeno jednaki nuli)
⇒ ima uslovni minimum, zmin = 1, a u tački
Primjetimo da ovdje, u cilju određivanja znaka d2F, nije bilopotrebno diferencirati uslov.
⇒uslovni maksimum, zmax = 11.
18
Problem višeproizvodnog preduzeća
• Preduzeće proizvodi 2 proizvoda
• R = P10Q1 + P20Q2
• Funkcija troškova C = 2Q12 + Q1Q2+2Q2
2
• Profit: π = R – C = P10Q1 + P20Q2 – (2Q12 +
Q1Q2+ 2Q22)
19
Problem višeproizvodnog preduzeća
• π = R – C = P10Q1 + P20Q2 – 2Q12 – Q1Q2 –
2Q22
• π1 = ∂π/∂Q1 = P10 – 4Q1 – Q2= 0; π2 = ∂π/∂Q2= P20 – Q1 – 4Q2 = 0;
• Dobijen je sistem koji ima jedinstveno rešenje:
Q1=(4P10-P20)/15, Q2=(4P20-P10)/15
20
Diskriminacija cijena
• Razlika elastičnosti na različitim tržištima
• Maksimizacija profita zahtijeva diskriminaciju cijena
• R=R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)
•C=C(Q) Q=Q1+Q2+Q3
•π = R1(Q1)+R2(Q2)+R3(Q3)– C(Q)
•πi = R'i(Qi)– C'(Q) , i =1,2,3
•Nakon izjednačavanja sa 0: C '(Q)= R'i(Qi), i=1,2,3
iQ
Q
∂
∂
21
Diskriminacija cijena
)1
1()1(di
i
i
i
i
ii
i
ii
i
ii
i
ii
PP
Q
dQ
dPP
dQ
dPQ
dQ
dQP
dQ
dRMR
ε+=+=
+==
)1
1(di
ii PMRε
−=
)1
1()1
1()1
1(3
32
21
1
321
εεε−=−=−
⇒==
PPP
MRMRMR
dd
22
12.5 Maksimizacija korisnosti i potrošačeva tražnja
• 12.5-1 Uslov prvog reda
• 12.5-2 Uslov drugog reda
• 12.5-3 Komparativnostatička analiza
• 12.5-4 Proporcionalne promjene cijena idohotka