公务员之路 从华图起步

2017 年多省事业单位联考职测

数量运算

主讲人：贾文博

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目录

数量关系........................................................................................................................ 4

第一章 方程法....................................................................................................... 4

第二章 数字特性法............................................................................................... 5

第三章 枚举法....................................................................................................... 6

第四章 赋值法....................................................................................................... 7

第五章 工程问题................................................................................................... 8

第六章 经济利润问题........................................................................................... 9

第七章 最值问题................................................................................................. 11

第八章 行程问题................................................................................................. 13

第九章 排列概率问题......................................................................................... 14

第十章 几何问题................................................................................................. 17

第十一章 容斥问题............................................................................................. 19

第十二章 杂题..................................................................................................... 21

边端（植树方阵）问题................................................................................ 21

时间类问题.................................................................................................... 22

数量关系

第一章 方程法

1. 方程问题的未知数

（1）若量化关系含有“比”、“是”等关键字，优先设其后面的量为 x；

（2）若未知数与分数、百分数、倍数等有比例关系，则根据比例值，设为 Nx

2. 方程组问题的解法

（1）未知数系数利用直接代入时，优先考虑“代入消元法”

（2）未知数系数倍数关系比较明显时，优先考虑“加减消元法”

3. 不定方程问题的解法

（1）代入排除法，将选项作为已知量代入不定方程，看是否满足题意

（2）观察各个未知数的系数，利用奇偶特性、倍数特性、尾数特性进行讨论分析

4. 不定方程组的解法

（1）将不定方程组之间进行消元，转化为不定方程，然后根据不定方程解法进行求解

（2）若求“x+y+z”的定值为多少，可以将任意一个未知数先赋值为 0，转化为方程组

问题，再进行计算

【例 1】某单位举办国庆茶话会，买来 4 箱同样重的苹果，从每箱取出 24 千克后，结

果各箱所剩的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。那么原来每箱苹果重多少千克？

A. 16 B. 24 C. 32 D. 36

【例 2】加油站有 150 吨汽油和 102 吨柴油，每天销售 12 吨汽油和 7 吨柴油。问多少

天后，剩下的柴油是剩下的汽油的 3 倍？

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【例 3】某农场有一批大米需运往市中心的超市销售，现只租到一辆货运卡车，第一次

运走了总数的五分之一还多 60 袋，第二次运走了总数的四分之一少 60 袋，最后还剩 220

袋没有运走，则这批大米一共有（ ）袋。

A. 400 B. 450 C. 500 D. 640

【例 4】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装 29 份相同的文件。每个红色

文件袋可以装 7 份文件，每个蓝色文件袋可以装 4 份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需

要红色、蓝色文件袋的数量分别为（ ）个。

A. 1、6 B. 2、4 C. 3、2 D. 4、1

【例 5】超市将 99 个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装 12 个苹果，小包装盒每个

装 5 个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?

A. 3 B. 4 C. 7 D. 13

【例 6】有 10 元、20 元、50 元面值的钞票共 10 张，总额为 250 元。问 10 元的钞票最

多有多少张？

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【例 7】去商店买东西，如果买 7 件 A 商品，3 件 B 商品，1 件 C 商品，一共需要 50

元，如果是买 10 件 A 商品，4 件 B 商品，1 件 C 商品，一共需要 69 元，若 A、B、C 三种商

品各买 2 件，需要多少钱？

A.28 元 B.26 元 C.24 元 D.20 元

第二章 数字特性法

1. 整除特性

题目中出现较多分数、百分数、比例、倍数、余数或平均数时，优先考虑整除特性

2. 比例型倍数特性

如果等量关系符合n

A Bm

的形式，则可以推出 B 是 m 的倍数，A 是 n 的倍数

3. 奇偶特性

（1）任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

（2）任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

【例 1】教室里有若干名学生，走了 10 名女生后，男生人数是女生 2 倍，又走了 9 名

男生，女生人数是男生的 5 倍，原来有多少名女生？

A. 15 B. 12 C. 10 D. 9

【例 2】为帮助果农解决销路，某企业年底买了一批水果，平均发给每部门若干筐之后

还多了 12 筐，如果再买进 8 筐则每个部门可分得 10 筐，则这批水果共有（ ）筐。

A. 192 B. 198 C. 200 D. 212

【例 3】某公司去年有员工 830 人，今年男员工人数比去年减少 6%，女员工人数比去

年增加 5%，员工总数比去年增加 3 人，问今年男员工有多少人？

A. 329 B. 350 C. 371 D. 504

【例 4】甲、乙两个班各有 40 多名学生，男女生比例甲班为 5:6，乙班为 5:4。则这两

个班的男生人数之和比女生人数之和（ ）

A. 多 1 人 B. 多 2 人 C. 少 1 人 D. 少 2 人

【例 5】一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上

的数字和十位上的看反了，准备付 21 元取货。售货员说：“您应该付 39 元才对”。请问书比

杂志贵多少钱？

A. 20 B. 21 C. 23 D. 24

第三章 枚举法

识别特征

1. 数据较少，40 秒以内能枚举完所有数据，优先枚举法；

2. 数据特别多，并且出现“依次类推”、“按此规律”或“……”等词语，可以先枚举

几个数，进行不完全归纳，总结出相应规律，以简化计算。

【例 1】一根竹笋从发芽到长大，如果每天长一倍，经过 10 天长到 40 分米，那么长到

2.5 分米时，要经过多少天？

A.6 B.8 C.4 D.12

【例 2】黑母鸡下 1 个蛋歇 2 天，白母鸡下一个蛋歇 1 天，两只鸡共下 10 个蛋最少需

要多少天？

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【例 3】餐厅需要使用 9 升食用油，现在库房里库存有 15 桶 5 升装的、3 桶 2 升装的、

8 桶 1 升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的 9 升食用油？

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【例 4】把自然数 A 的十位数、百位数和千位数相加，再乘以个位数字，将所得积的个

位数字续写在 A 的末尾，成为对 A 的一次操作。设 A=4626，对 A 进行一次操作得到 46262，

再对 46262 操作，由此进行下去，直得出 2010 位的数为止，则这个 2010 位数的各位数字

之和是：

A.28 B.32 C.24 D.26

【例 5】用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第

1 条直线将平面分成 2 块，第 2 条直线将平面分成 4 块。第 3 条直线将平面分成 7 块，按此

规律将平面分为 22 块需：

A. 7 条直线 B. 8 条直线 C. 9 条直线 D. 6 条直线

第四章 赋值法

1. 识别特征

若题目中给出的三个量，满足

（1）乘法关系，即“A=B×C”的形式，

（2）只给定了其中一个量或者未给定任何一个量

【例 1】两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要 3小时，点完细蜡烛要 1小时。同时点燃两

根蜡烛，一段时间后，同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的 3倍。问两根蜡烛燃烧了多

长时间？

A. 30 分钟 B. 35 分钟 C. 40 分钟 D. 45 分钟

【例 2】甲乙一起工作来完成一项工程，如果甲单独完成需要 30 天，乙单独完成需要

24 天，现在甲乙一起合作来完成这项工程，但是乙中途被调走若干天，去做另一项任务，

最后完成这项工程用了 20天，则乙中途被调走（ ）天。

A. 8 B.3 C. 10 D. 12

【例 3】一种溶液，蒸发一定水后，浓度为 10%；再蒸发同样的水，浓度为 12%；第三

次蒸发同样多的水后，浓度变为多少？

A.14% B.17% C.16% D.15%

第五章 工程问题

1. 核心公式：

工作总量＝工作效率×工作时间。

2.特征解法

（1） 若题目只给定工作时间，优先通过赋值工作总量为工作时间的公倍数（或最小公

倍数）进行赋值。

（2）若题目中不仅给定工作时间，还给出与效率相关的某个限定关系，优先按照效率

之间的比例关系进行赋值。

（3）若题目给出工作时间、工作效率或工作总量中多个量的值，优先通过设某个量为

未知数，利用方程法进行求解。

【例 1】甲乙两个水池大小形状完全相同，但排水孔口径不同，将两个水池内装满的水

匀速排空分别需要 2 小时和 3 小时。早晨 5 点半两个装满水的水池同时开始排水，到什么时

候乙水池中剩余的水量正好是甲水池剩余水量的 2 倍？

A. 7 点 B. 7 点半 C. 8 点 D. 6 点半

【例 2】某项工程，甲工程队单独施工需要 30天完成，乙施工队单独施工需要 25天完

成，甲队单独施工了 4天后改由两队一起施工，期间甲队休息了若干天，最后整个工程共耗

时 19天完成，问甲队中途休息了几天？

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【例 3】甲、乙、丙三个工程队完成一项工作的效率比为 2∶3∶4。某项工程，乙先做

了 1/3 后，余下交由甲与丙合作完成，3 天后完成工作。问完成此工程共用了多少天？

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【例 4】某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量为阴雨天的 2.5 倍。灌满

该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇水 18 天。小李 6 月 1 日 0：00 灌满

水箱后，7 月 1 日 0：00 正好用完。问 6 月有多少个阴雨天？

A. 10 B. 16 C. 18 D. 20

【例 5】A 工程队的效率是 B 工程队的 2 倍，某工程交给两队共同完成需要 6 天。如果

两队的工作效率均提高一倍，且 B 队中途休息了 1 天，问要保证工程按原来的时间完成，A

队中途最多可以休息几天？

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【例 6】甲乙两个工程队共同修建一段长为 2100 千米的公路，甲队每天比乙队少修 50

千米，甲队先单独修 3 天，余下的路程与乙队合修 6 天完成，则乙队每天所修公路的长度是：

A. 135 千米 B. 140 千米 C. 160 千米 D. 170 千米

第六章 经济利润问题

1. 单件商品主要考察成本和打折：

（1）利润＝单价-成本；

（2）售价=定价×折扣

（3）期望利润＝定价-成本；

（4）实际利润＝售价-成本；

2. 多件商品从数量进行切入：

总价＝单价×销售数量

3. 分段计费类问题，主要讨论段与段之间的分界点

【例 1】某产品售价为 67.1 元，在采用新技术生产节约 10%成本之后，售价不变，利润

可比原来翻一番。问该产品最初的成本为多少元？

A. 51.2 B. 54.9 C. 61 D. 62.5

【例 2】某商场出售甲乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲电脑两次提价 10%，乙电

脑连续两次降价 10%，最后两种电脑均以 9801 元售出各一台，与价格不升不降比较，则商

场盈亏情况是：

A. 不赚不亏 B. 少赚 598元 C. 多赚 980.1元 D. 多赚 490.05元

【例 3】某商品每件成本 72 元，原来按定价出售，每天可售出 100 件，每件利润为成

本的 25%，后来按照定价的 90%出售，每天销售量提高到原来的 2.5 倍，照这样计算，每天

的利润比原来增加多少元？

A. 450 B. 550 C. 600 D. 650

【例 4】2010 年某种货物的进口价格是 15 元/公斤，2011 年该货物的进口量增加了一

半，进口金额增加了 20%。问 2011 年该货物的进口价格是多少元/公斤？

A.10 B.12 C.18 D.24

【例 5】某网店以高于进价 10%的定价销售 T 恤，在售出 2/3 后，以定价的 8 折将余下

的 T 恤全部售出，该网店预计盈利为成本的：

A. 3.2% B. 不赚也不亏 C. 1.6% D. 2.7%

【例 6】某书店开学前新进一批图书，原计划按 40%的利润定价出售，售出 80%图书之

后，剩下的图书打折出售，结果所得利润比原计划少 14%，则剩下的图书销售时按定价打了

几折？

A. 7 B. 8.5 C. 8 D. 7.5

【例 7】某城市居民用水价格为：每户每月不超过 5 吨的部分按 4 元/吨收取；超过 5

吨不超过 10 吨的部分按 6 元/吨收取；超过 10 吨的部分按 8 元/吨收取。某户居民两个月共

交水费 108 元，则该户居民这两个月用水总量最多为多少吨？

A. 17.25 B. 21 C. 21.33 D. 24

【例 8】某商场在进行“满百省”活动，满 100 省 10，满 200 省 30，满 300 省 50。大于

400 的消费只能折算为等同于几个 100、200、300 的加和。已知一位顾客买某款衬衫 1 件支

付了 175 元，那么买 3 件这样的衬衫最少需要：

A.505元 B.475元 C.445元 D.515元

第七章 最值问题

1. 抽屉原理

识别特征：至少（最少）……保证……

解法：答案=所有不利情况数+1。

2. 数列构造

识别特征：“最多（少）……最少（多）……”、“排名第……最多（少）……”

解法：定位——构造——加和

【例 1】有软件设计专业学生 90 人，市场营销专业学生 80 人，财务管理专业学生 20

人及人力资源管理专业学生 16 人参加求职招聘会，问至少有多少人找到工作就一定保证有

30 名找到工作的人专业相同？

A. 59 B. 75 C. 79 D. 95

【例 2】调研人员在一次市场调查活动中收回了 435 份调查问卷，其中 80%的调查问卷

上填写了被调查者的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才

能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？

A.101 B.175 C.188 D.200

【例 3】某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，

要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少 5 名党员参加的培训完全

相同。问该单位至少有多少名党员？

A. 17 B. 21 C. 25 D. 29

【例 4】要把 21 棵桃树栽到街心公园里 5 处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必

须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵？

A. 7 B. 8 C. 10 D. 11

【例 5】某贸易公司有三个销售部门，全年分别销售某种重型机械 38 台、49 台和 35

台，问该公司当年销售该重型机械数量最多的月份，至少卖出了多少台？

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

【例 6】100 人参加 7 项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数

都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加?

A. 22 B. 21 C. 24 D. 23

【例 7】某连锁企业在 10 个城市共有 100 家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。

如果专卖店数量排名第 5 多的城市有 12 家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多

有几家专卖店？

A.2 B.3 C.4 D.5

第八章 行程问题

1. 基本公式

路程（s）＝速度（v）× 时间（t）

等距离平均速度：v 平均= （其中 v1、v2 分别为往返速度）

2. 流水行船公式

（1）顺流航程 s＝（v 船＋v 水）×顺流时间 t

（2）逆流航程 s＝（v 船－v 水）×逆流时间 t

3. 相遇追及公式

（1）相遇距离 s＝（v1＋v2）×相遇时间 t

（2）追及距离 s＝（v1－v2）×追及时间 t

4. 多次相遇追及的距离公式

（1）直线型两端出发 n 次相遇，共同行走距离=（2n-1）×两地初始距离；

（2）直线型单端出发 n 次相遇，共同行走距离=（2n）×两地初始距离；

（3）环线型 n 次相遇，共同行走的距离=n×环线长度。

【例 1】一队伍要到距驻地 90 公里处的地方执行任务，坐机动车速度为 60 公里/小时，

步行速度为 15 公里/小时，开始全体人员坐机动车行进，但中途机动车出现故障，不能继续

运输，全体人员改步行行进，到达目的地共用时 2 小时 15 分钟，则步行的距离为多少公里？

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

【例 2】某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需 35

秒，而轿车过桥的时间是动车的 3 倍，已知该动车的速度是每秒 70 米，轿车的速度是每秒

21 米，这列动车的车身长是（轿车车身长忽略不计）：

A. 120 米 B. 122.5 米 C. 240 米 D. 245 米

【例 3】一艘船往返于甲乙两港口之间，已知水速为 8 千米/时，该船从甲到乙需要 6

小时，从乙返回甲需 9 小时，问甲乙两港口的距离为多少千米？（ ）

A. 216 B. 256 C. 288 D. 196

1 2

1 2

2v v

v v

【例4】一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3倍。现该船靠

人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少2/5。问船在静

水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的多少倍? （ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

【例 5】环形跑道长 400 米，老张、小王、小刘从同一地点出发，围绕跑道分别慢走、

跑步和骑自行车。已知三人速度分别为 1 米/秒，3 米/秒和 6 米/秒。问小王第 3 次超越老张

时，小刘已超越小王多少次？

A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次

【例 6】一只猎豹锁定了距离自己 200 米远的一只羚羊，以 108 千米/小时的速度发起

进攻，2 秒钟后，羚羊意识到危险，以 72 千米/小时的速度快速逃命。问猎豹捕捉到羚羊时，

羚羊跑了多少路程？

A. 520 米 B. 360 米 C. 280 米 D. 240 米

【例 7】某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10 秒钟后他下车去追小偷，

如果他的速度比小偷快一倍，比汽车慢 4/5，则此人追上小偷需要：

A. 20 秒 B. 50 秒 C. 95 秒 D. 110 秒

【例 8】甲、乙两人在长 30 米的泳池内游泳，甲每分钟游 37.5 米，乙每分钟游 52.5 米。

两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从

出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇了多少次？

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

第九章 排列概率问题

1. 排列与组合的区别

前者与顺序有关，后者与顺序无关。

2. 基本公式

排列公式： ( 1) ( 1)m m

n n

m

P A n n n m

连乘 个

组合公式：( 1) ( 1)

( 1) 1

m n m

n n

n n n mC C

m m

3. 加法原理和乘法原理

加法原理：若完成一件事，可以根据某个条件分为几种情况，各种情况都能独立完成任

务，则将多种情况计算出的结果相加，所得的和为完成这件事的种类数。

乘法原理：若完成一件事，需要划分成多个步骤依次完成，每个步骤内的任务之间没有

交叉，则将每个步骤计算出的结果想乘，所得的积为完成这件事的种类数。

4. 常用技巧和方法

捆绑法：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整

体，再与其他元素一起进行排列。

隔板法：如果题目表述为一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元

素，则将隔板插入元素之间，计算出分类总数。

反向法：某种情况下的计算较多且复杂，则优先从反面情况考虑，再用总情况数减去反

面情况数，最终求出结果。

5. 基本概率

某种情况发生的概率＝满足条件的情况数÷总的情况数。

6. 分类概率

某项任务可以在多种情况下完成，则分别求解满足条件的每种情形的概率，然后将所有

概率值相加。

7. 分步概率

某项任务必须按照多个步骤完成，则分别求解特定条件下每个步骤的概率，然后将所有

概率值相乘。

【例 1】某单位人事部共有 18 名职员，现欲从中任意挑选 2 名作为本单位职工代表参

加市建党 90 周年演讲比赛，则共有（ ）不同的挑选方法。

A. 36 B. 106 C. 153 D. 306

【例 2】某单位要从 8 名职员中选派 4 人去总公司参加培训，其中甲和乙两人不能同时

参加。问有多少种选派方法？

A. 40 B. 45 C. 55 D. 60

【例 3】某单位有职工 15 人，其中业务人员 9 人。现要从整个单位选出 3 人参加培训，

要求其中业务人员的人数不能少于非业务人员的人数。问有多少种不同的选人方法？

A. 156 B. 216 C. 240 D. 300

【例 4】为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派出

3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的

种数在以下哪个范围之内？

A. 大于 20000 B. 5001~20000 C. 1000~5000 D. 小于 1000

【例 5】小区内空着一排相邻的 8 个车位，现有 4 辆车随机停进车位，恰好没有连续空

位的停车方式共有多少种？（ ）

A.48 B.120 C.360 D.1440

【例 6】将 7 个大小相同的桔子分给 4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到 1 个桔子，

一共有几种分配方法？

A. 14 B. 18 C. 20 D. 22

【例 7】单位订阅了 30 份学习材料发放给 3 个部门，每个部门至少发放 9 份材料。问

一共有多少种不同的发放方法？（ ）

A. 12 B. 10 C. 9 D. 7

【例 8】某单位有 50 人，男女性别比为 3∶2，其中有 15 人未入党。如从中任选 1 人，

则此人为男性党员的概率最大为多少？

A. 3

5 B.

2

3 C.

3

4 D.

5

7

【例 9】某办公室 5 人中有 2 人精通德语。如从中任意选出 3 人，其中恰有 1 人精通德

语的概率是多少？

A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.75

【例 10】两支篮球队打一个系列赛，三场两胜制，第一场和第三场在甲队的主场，第

二场在乙队的主场。已知甲队主场赢球概率为 0.7，客场赢球概率为 0.5。问甲队赢得这个系

列赛的概率为多少？

A. 0.3 B. 0.595 C. 0.7 D. 0.795

【例 11】学校要举行夏令营活动，由于名额有限，需要在符合条件的 5 个同学中通过

抓阄的方式选择出两个同学去参加此次活动。于是班长就做了 5 个阄，其中两个阄上写有“去”

字，其余三个阄空白，混合后 5 个同学依次随机抓取。计算第二个同学抓到“去”字阄的概

率为：

A. 0.4 B. 0.25 C. 0.2 D. 0.1

第十章 几何问题

1. 几何基本公式

（1）周长公式

正方形 C 正方形＝4a； 长方形 C 长方形＝2（a＋b）； 圆形 C 圆＝2πR

（2）面积公式

正方形 S 正方形＝a2； 长方形 S 长方形＝ab； 圆形 S 圆＝πR2

三角形 S 三角形＝ ah； 平行四边形面积 S 平等四边形＝ah；

梯形面积 S 梯形＝1

2（a＋b）h； 扇形面积 S 扇形＝

n

360°πR2

（3）表面积公式

正方体的表面积＝6a2 长方体的表面积＝2ab＋2bc＋2ac

球体的表面积＝4πR2＝πD2 圆柱体的表面积＝2πR2＋2πRh

圆柱体的底面积＝2πR2 圆柱体的侧面积＝2πRh

（4）体积公式

1

2

正方体的体积＝a3 长方体的体积＝abc 球的体积＝4

3πR3＝

1

6πD3

圆柱体的体积＝πR2h 圆锥体的体积＝1

3πR2h

2. 几何基本特性

（1）三角形不等式性质

在三角形三边中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

（2）等量最值原理

周长相同的多个平面图形，越接近于圆，其面积越大；面积相同的多个平面图形，越接

近于圆，其周长越小。

表面积相同的多个立体图形，越接近于球，其体积越大；体积相同的多个立体图形，越

接近于球，表面积越小。

【例 1】把一个半径为 3 厘米的金属小球放到半径为 5 厘米且装有水的圆柱形烧杯中。

如全部浸入后水未溢出，则水面比为放入小球之前上升多少厘米？

A. 1.32 B. 1.36 C. 1.38 D. 1.44

【例 2】一个长方体形状的玻璃鱼缸，从鱼缸的内侧量，它的 2 个相邻的侧面及底面的

面积分别为 5、6、7.5 平方分米，则这个玻璃鱼缸最多可以装（ ）立方分米的水。

A. 12 B. 15 C. 16 D. 18

【例 3】如右图所示，甲和乙在面积为 54π 的半圆形游泳池内游泳，

他们分别从位置 A 和 B 同时出发，沿直线同时游到位置 C。若甲的速度为

乙的 2 倍，则原来甲、乙两人相距：

A. 29 米 B.15 米 C. 39 米 D.18 米

【例 4】在下图中，大圆的半径是 8，求阴影部分的面积是多少？

A. 120 B. 128

C. 136 D. 144

【例 5】某小区打算在如图所示的心形花园阴影部分种植月季花，图中正方形 ABCD 的

边长为 8 米，求种植月季花的面积为多少平方米？（ ）

A.64 B.8π+32

C.16π+32 D.8π+64

【例 6】已知三角形三边长分别为 3、15、X。若 X 为正整数，则这样的三角形有多少

个？

A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 无数个

【例 7】相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体，其中体积最大的是：

A. 四面体 B. 六面体 C. 正十二面体 D. 正二十面体

【例 8】若干个相同的立方体摆在一起，前、后、左、右的视图都是“ ”，问这堆

立方体最少有多少个？

A. 4 B. 6 C. 10 D. 8

【例 9】现要在一块长 25 公里、宽 8 公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视

半径为 5 公里，如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨

塔？

A.4 B.5 C.6 D.7

第十一章 容斥问题

1. 基本公式

两集合 A 和 B 之间的关系： A B A B A B

三集合 A、B 和 C 之间的关系：

A B C A B C A B B C C A A B C

2. 画图法

（1）图示中每一部分都有自己的含义，标数切不可写错；

（2）注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分，及“三个条件都不满足”的情形。

3. 多集合反向构造

题中给出多个集合，问题中出现“至少……都……”的情况下，一般采用逆向思考，利用极端

情况来解题，解题步骤为反向、求和、做差。

【例 1】某班对 50 名学生进行体检，有 20 人近视，12 人超重，4 人既近视又超重，该

班有多少人既不近视又不超重？（ ）

A. 22 人 B. 24 人 C. 26 人 D. 28 人

【例 2】某班有 120 名学生，其中 60%会说法语，余下的只会说英语。同时，会说法语

的学生中有 25%也会说英语，那么该班一共有多少学生会说英语？（ ）

A.66 B.60 C.72 D.78

【例 3】某班有 70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓球

的学生中至少有百分之几喜欢打羽毛球？（ ）

A. 30% B. 45% C. 60% D. 70%

【例 4】 一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上

午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都待在屋里。期间，不下雨的天数是 12 天，

他上午待在旅馆的天数为 8 天，下午待在旅馆的天数为 12 天，他在北京共待了（ ）。

A. 16 天 B. 20 天 C. 22 天 D. 24 天

【例 5】某单位派 60 名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或

蓝色裤子。其中有 12 人穿白上衣蓝裤子，有 34 人穿黑裤子，29 人穿黑上衣，那么穿黑上

衣、黑裤子的有多少人？（ ）

A. 12 B. 14 C. 15 D. 29

【例 6】对 39 种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的

有 17 种，含乙的有 18 种，含丙的有 15 种，含甲、乙的有 7 种，含甲、丙的有 6 种，含乙、

丙的有 9 种，三种维生素都不含的有 7 种，则三种维生素都含的有多少种？（ ）

A.4 B.6 C.7 D.9

【例 7】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该

单位的所有职工中，参加合唱活动的有 189 人，参加象棋活动的有 152 人，参加羽毛球活动

的有 135 人，参加两种活动的有 130 人，参加三种活动的有 69 人，不参加任何一种活动的

有 44 人。该单位的职工人数为（ ）。

A. 233 B. 252 C. 321 D. 520

【例 8】有 135 人参加某单位的招聘，31 人有英语证书和普通话证书，37 人有英语证

书和计算机证书，16 人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分

人只有一种证书。该单位要求必须至少有两种以上证书的应聘者才有资格参加面试。问至少

有多少人不能参加面试？（ ）

A.50 B.51 C.52 D.53

【例 9】建华中学共有 1600 名学生，其中喜欢乒乓球的有 1180 人，喜欢羽毛球的有

1360 人，喜欢篮球的有 1250 人，喜欢足球的有 1040 人，问以上四项球类运动都喜欢的至

少有几人？（ ）

A. 20 人 B. 30 人 C. 40 人 D. 50 人

【例 10】阅览室有 100 本杂志，小赵借阅过其中 75 本，小王借阅过 70 本，小刘借阅

过 60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。

A. 5 B. 10 C. 15 D. 30

第十二章 杂题

边端（植树方阵）问题

1.植树问题

单边线型植树公式：棵数=总长÷间隔+1；

单边环型植树公式：棵数=总长÷间隔；

2.方阵问题

N 阶实心方阵：最外圈为 4N-4 人，

总人数= =(外圈人数÷4+1)2， 2N

相邻两圈相差 8 人。

【例 1】长度为 250 米的马路上每隔 5 米植树一棵，则该条路上共有树木几棵？（ ）

A.50 棵 B.51 棵 C.52 棵 D.53 棵

【例 2】一环形跑道上画了 100 个标记点，已知任意两个相邻标记点之间的跑道距离相

等。某人在环形跑道上跑了半圈，问他最多经过几个标记点？（ ）

A.49 B.50 C.51 D.100

【例 3】环保部门对一定时间内的河流水质进行采样，原计划每 41 分钟采样 1 次，但

在实际采样过程中，第一次和最后一次采样的时间与原计划相同，每两次采样的间隔变成

20 分钟，采样次数比原计划增加了 1 倍。问实际采样次数是多少次？（ ）

A. 22 B. 32 C. 42 D. 52

【例 4】某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层人数是 108 人，则这个学校共有

多少名学生？（ ）

A.724 人 B.744 人 C.764 人 D.784 人

【例 5】 一个由边长 25 人和 15 人组成的矩形方阵，最外面两圈人数总和为（ ）。

A. 232 B. 144 C. 165 D. 196

【例 6】有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共 400 块。将这些瓷砖铺在一块正

方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色的瓷砖铺，第三周

用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方

形地面上的绿色瓷砖共有（ ）块。

A.180 B.196 C.210 D.220

时间类问题

1. 平年与闰年

（1）平年 365 天，闰年 366 天。

（2）大月为：1、3、5、7、8、10、12 月（每月均为 31 天）；小月为： 4、6、9、

11 月（每月 30 天）；2 月平年 28 天、闰年 29 天。

（3）闰年判别法则：非世纪年整除 4 为闰年，世纪年整除 400 为闰年。（世纪年指年份

末两位为 00 的年份）

2. 年龄问题

（1）过 N 年，每人都长 N 岁；

（2）两个人的年龄差在任何时间节点都不发生改变；

（3）子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪。

2. 钟表问题

（1）表盘一周为 360°，分针的旋转速度为 6°/分钟，时针的旋转速度为 0.5°/分钟；

（2）时针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

【例 1】根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年 8 月份有 22 个工作日，那么

当年的 8 月 1 日可能是（ ）。

A.周一或周三 B.周三或周日 C.周一或周四 D.周四或周日

【例 2】小王在每周的周一和周三值夜班，某月他共值夜班 10 次，则下月他第一次值

夜班可能是几号？（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

【例 3】甲每工作 5 天休息周六周日 2 天，法定节假日如非周六周日也要加班。已知甲

某年休息了 106 天，那么他下一年 12 月的第一个休息日是（ ）。

A. 12 月 1 日 B. 12 月 2 日 C. 12 月 3 日 D. 12 月 4 日

【例 4】小强的爸爸比小强的妈妈大 3 岁，全家三口的年龄总和 74 岁，9 年前这家人的

年龄总和 49 岁，那么小强的妈妈今年多少岁？（ ）

A. 32 B. 33 C. 34 D. 35

【例 5】小王与父亲属相相同，小王的母亲比他父亲小 4 岁，某个蛇年小王的母亲年龄

正好是小王的 3 倍（年龄按阴历年份计算，出生当年算 0 岁），则小王的属相可能是（ ）。

A. 蛇 B. 马 C. 羊 D. 猴

【例 6】从钟表的 12 点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时

间约（ ）。

A.43 分钟 B.45 分钟 C.49 分钟 D.61 分钟

【例 7】张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为 110°，

七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是 110°，那么张某外出买菜用了多少分

钟？（ ）

A.20 分钟 B.30 分钟 C.40 分钟 D.50 分钟

【例 8】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发

现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了 1 小时多少分？（ ）

A.51 B.47 C.45 D.43