2013年度大学入試センター試験...

第１問〔１〕

AB =+ +

◊- +

11 3 6

11 3 6

=

+ + + -1

1 6 31

1 6 3( )•

( )

=+ -

=+ -

11 6 3

11 6 32 2 2( ) ( ) ( )

=

+ -=

+ -1

1 6 31

1 6 32 2 2( ) ( ) ( ) ……ア

=

+ + -=

+1

1 2 6 6 31

2 6 4( )

=

+ + -=

+1

1 2 6 6 31

2 6 4( )

=

◊ -+ -

1 6 2

2 6 2 6 2

( )

( )( )

=-

-=

-6 22 6 4

6 24( )

=-

-=

-6 22 6 4

6 24( )

……イ，ウ

1 1

1 3 6 1 3 6A B

+ = + + + - +( ) ( )

　　　　 = 2 2 6+ ……エ，オ

　以上により，

A B AB

A B+ = +d D1 1

　　 = 6 24

2 2 6-

◊ +( )

　　 = ( )( )6 2 6 12

- +

　　 = 6 6 22

- -

　　 = 4 6

2-

……カ，キ

− 1 −

２０１3 年度大学入試センター試験解説〈数学ⅠA〉

〔２〕

(1) 「r ⇒ (p または q)」の対偶は，

「(p または q) ⇒ r」……①

ここで，ド・モルガンの法則より，

(p または q) C ( p かつ q )

であるから，①は，

「( p かつ q ) ⇒ r」

よって答えは，① ……ク

(2) (p または q) を満たす選択肢は，

①　内角が 30°，45°，105°の三角形

②　正三角形

③　三辺の長さが 3，4，5 の三角形

④　頂角が 45°の二等辺三角形

の 4 つである。

このうち，r を満たさないものは，①と④であるから，答えは①，④ ……ケ，コ

(3) p：二等辺三角形である

q：直角三角形である

であるから， (2) の選択肢のうち， ( p かつ q ) を満たすものは，

⓪　直角二等辺三角形

のみであり，これは

r：45°の内角を少なくとも 1 つもつ

をも満たす。

よって，「( p かつ q ) ⇒ r」は真である。

これと (1) ， (2) より，

「r ⇒ (p または q)」は真，

「(p または q) ⇒ r」は偽

であるから，r は (p または q) であるための，十分条件であるが，必要条件ではない。

よって，答えは，② ……サ

− 2 −

2013 年度センター試験　数学ⅠA

第２問　直線 y = - x……①　の傾きは - 1 であるから，①上を動く点 P の x 座標が 2 増加すると，

y 座標は 2 減少する。

　直線 y = 10x……②　の傾きは 10 であるから，②上を動く点 Q の x 座標が 1 増加すると，

y 座標は 10 増加する。

　よって，2 点 P，Q が出発して t 秒後の座標は，それぞれ，

　　　P (- 8 + 2t，8 - 2t)，Q (t，10t)

である。

　点 P が原点 O に到達するのは，

　　　 - 8 + 2t = 0 より，t = 4 ……ア

のときである。

(1) 0 < t < 4 のときの図は，右のようになる。

このとき， VOPP' と VOQQ' の面積の和 S は，

S = 12

8 2 8 212

10- - +{ } - + ◊( ) ( )t t t t

= 2 (4 - t)2 + 5t2

= 2 (16 - 8t + t2) + 5t2

= 7t2 - 16t + 32 ……イ〜カ

さらに，

S = 716

7322d Dt t- +

= 787

6449

322d Dd Dt - - +

= 787

1607

2d Dt - + ……③

であるから，0 < t < 4 においては，t = 87

……キ，ク

で S は最小値 1607

をとる。 ……ケコサ，シ

0 < t < 4 における③のグラフは，右のようになる。

a £ t £ a + 1 (0 < a < 3)……④

において，

(ⅰ)　S が t =87

で最小となるのは， 87

が④の範囲

に含まれるときである。

よって，a £ 87

£ a + 1 より，答えは，

　　　17

£ a £ 87

……ス，セ，ソ，タ

− 3 −

8

t

y

x

A

P

P’O Q’

Q

- 8

- 8 + 2t

10t

8 - 2t

Ot

4

32

S

87

1607

3


(ⅱ)　S が t = a で最大となるのは，④の範囲が右の

　グラフに示す場合か，これよりも左にあるときである。

右のグラフのようになるのは，

a a+ +

=( )1

287

より，a = 914

であるから，答えは，

0 < a £ 9

14 ……チ，ツテ

(2) 原点 O を通り，放物線 y = 2x2 を平行移動したグラフの式は，

y = 2x2 + bx……⑥

と表すことができる。

⑥が P，Q を通ることから，

　8 - 2t = 2 (- 8 + 2t)2 + b (-8 + 2t) ……⑦

10t = 2t2 + bt……⑧

t ? 4 より，⑦の両辺を - 8 + 2t で割ると，

- 1 = 2 (- 8 + 2t) + b……⑨

t ? 0 より，⑧の両辺を t で割ると，

10 = 2t + b……⑩

ここで，⑨ - ⑩をつくると，

- 11 = - 16 + 2t　　これより，t =52

……ト，ナ

このとき，⑩より，b = 5 となるから，⑥は，

y = 2x2 + 5x

　 = 252

2d Dx x+

　 = 254

2516

2d Dd Dx + -

　 = 254

258

2d Dx + -

　よって，

　　x 軸方向に-5

4，y 軸方向に

-258

だけ ……ニ〜フ

平行移動すればよい。

− 4 −

O a a + 1t

4

32

80

S

87


第3問題意を図示すると右のようになる。

AD = AO = 3，

PD = PO = 1 である。

VAOP において三平方の定理を用いると，

AP = +3 12 2

= 10 ……アイ

ここで，四角形 AOPD の面積は，2 VAOP = 3・1 = 3

であるが，AP ⊥ OD であるから，

12

AP•OD = 3

これより， ODAP

= = =6 6

103 10

5 ……ウ，エオ，カ

さらに， VAOD において余弦定理を用いると，

cos–OAD = AO AD ODAO AD

2 2 2

2+ -◊ ◊

　　　　　 = 3 3

3 105

2 3 3

1 125

245

2 22

+ -

◊ ◊=

+ -=

d D ……キ，ク

ここで，AB は円 O の直径であるから，–ACB = 90°

よって，AC = AB cos–OAD ＝ 645

245

◊ = ……ケコ，サ

このとき，

VABC = 12

AB•AC sin–OAD

　 = 12

1 2◊ ◊ - –AB AC OADcos

　 = 12

6245

145

2

◊ ◊ -d D 　 =

12

6245

35

21625

◊ ◊ ◊ = ……シ〜タ

さらに，

BC = AB sin–OAD = 635

185

◊ =

ここに， VABC の内接円の中心を Q，半径を q とすると，

VABC = VQAB + VQBC + VQCA

より，

21625

12

612

185

12

245

365

= ◊ + ◊ + ◊ =q q q q

− 5 −

D

A

O

B

CP11

33


よって，q = 65

……チ，ツ

(1) 題意を図示すると右のようになる。

AB = CE ( = 6)

AC = CA ( 共通 )

–ACB = –CAE ( = 90° )

より， VABC ≡ VCEA であるから，それぞれの内

接円の半径も等しい。よって ,QR ⁄⁄ AC である。

これと，図に網目をつけた四角形が合同な正方形

であることから，

QR = AC - 2q

= - ◊ =245

265

125

……テト，ナ

ここに， 125

265

2= ◊ = q であるから，2 円 Q，R は外接する ( ② )。 ……ニ

(2) 上図で VAQF ∽ VAPD であり，相似比は QF：PD = 65

：1 = 6：5 であるこ

とから，AQ = 65

AP = 65

106 10

5◊ = ……ヌ，ネノ，ハ

PQ = 6 5

5-

AP = 15

10105

◊ = ……ヒフ，ヘ

ここに，PQ = 105

365

65

< = = q

PQ = 105

255

55

1< = =

より，点 P は円 Q の内部に，点 Q は円 P の内部にあることがわかる ( ② )。 ……ホ

〈ウ〜カの別解〉

AP と OD の交点を H とする。

AP ^ OD より

VOHP @ VAHO @ VAOP

であるから，

HP：HO = HO：HA = OP：OA = 1：3

よって，HP：HO：HA = 1：3：9

ここに， AP = 10 より，

HO3

1 9AP

3 1010

=+

=

よって， OD HO= =23 10

5 ……ウ，エオ，カ

− 6 −

DF

A

E

O

R

B

C

P

Q


H D

A

PO

3

1

− 7 −

第4問(1) 各桁に 1，2，3，4 の 4 通りの数の決め方があるから，

44 = 256 ( 個 ) ……アイウ

(2) 各桁が異なる数であることから，1，2，3，4 の 4 数の順列を求めると，

4！ = 4•3•2•1 = 24 ( 個 ) ……エオ

(3) (ⅰ)　4 つから 2 つを選ぶ組合せを求めると，

4 2

4 32 1

6C =◊◊

= ( 通り ) ……カ

(ⅱ)　4 つから 2 つを選ぶ組合せを求めると，

4C2 = 6 ( 通り ) ……キ

(ⅲ)　(ⅰ) と (ⅱ) より，6・6 = 36 ( 個 ) ……クケ

(4) (ⅰ)　四つとも同じ数字である場合は 4 通りであるから，得点が 9 点である確率は，

4

2561

64= ……コ，サシ

得点が 3 点である確率は，(3) (ⅲ) より，

36

2569

64= ……ス，セソ

(ⅱ)　3 回現れる数字が一つと，1 回だけ現れる数字が一つあるとき，それぞれの数字

　の決め方が，4P2 = 4•3 = 12 ( 通り )

　その各々に対して，1 回だけ現れる数字の位置の決め方が 4 通りあるから，得点が

2 点となる確率は，

12 4

2563

16◊

= ……タ，チツ

　さらに，数字の重複がない確率は， (2) より， 24256

であるから， ( 以上の余事象であ

る ) 得点が 1 点となる確率は，

14 36 48 24

256144256

916

-+ + +

= = ……テ，トナ

(ⅲ)　以上により，得点の期待値は，

9

4256

336

2562

48256

1144256

024

216◊ + ◊ + + ◊ + ◊•

= 36 108 96 144 0

256384256

32

+ + + += = (点) ……ニ，ヌ

である。


24256

2013年度大学入試センター試験...

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