20131006 h10 lecture3_matiyasevich
TRANSCRIPT
Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема ГильбертаТретья лекция
Ю.В.Матиясевич
Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема ГильбертаТретья лекция
Ю.В.Матиясевич
Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми
числамиЧасть 2. Десятая проблема Гильберта
Третья лекция
Ю.В.Матиясевич
Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Теорема Куммера
(m + n
m
)= Cm
m+n
=(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа mи n в позиционной системе счисления с основанием p и сложимих «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов изразряда в разряд при этом сложении.
Теорема Куммера
(m + n
m
)= Cm
m+n
=(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа mи n в позиционной системе счисления с основанием p и сложимих «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов изразряда в разряд при этом сложении.
Теорема Куммера
(m + n
m
)= Cm
m+n
=(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа mи n в позиционной системе счисления с основанием p и сложимих «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов изразряда в разряд при этом сложении.
Теорема Куммера
(m + n
m
)= Cm
m+n
=(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа mи n в позиционной системе счисления с основанием p и сложимих «в столбик»;
αp(m, n) равно количеству переносов изразряда в разряд при этом сложении.
Теорема Куммера
(m + n
m
)= Cm
m+n
=(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
Теорема (Ernst Eduard Kummer [1852]). Запишем числа mи n в позиционной системе счисления с основанием p и сложимих «в столбик»; αp(m, n) равно количеству переносов изразряда в разряд при этом сложении.
Теорема Куммера
(m + n
m
)=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
Теорема Куммера
(m + n
m
)=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
Теорема Куммера
(m + n
m
)=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Имеется⌊k
p
⌋чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
⌊k
p
⌋p
Имеется⌊k
p2
⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,
⌊k
p2
⌋p2
Имеется⌊k
p3
⌋чисел кратных p3: p3, 2p3, 3p3, . . . ,
⌊k
p3
⌋p3
...
βp(k) =
⌊k
p
⌋+
⌊k
p2
⌋+
⌊k
p3
⌋+ . . .
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Имеется⌊k
p
⌋чисел кратных p:
p, 2p, 3p, . . . ,
⌊k
p
⌋p
Имеется⌊k
p2
⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,
⌊k
p2
⌋p2
Имеется⌊k
p3
⌋чисел кратных p3: p3, 2p3, 3p3, . . . ,
⌊k
p3
⌋p3
...
βp(k) =
⌊k
p
⌋+
⌊k
p2
⌋+
⌊k
p3
⌋+ . . .
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Имеется⌊k
p
⌋чисел кратных p:
p, 2p, 3p, . . . ,⌊k
p
⌋p
Имеется⌊k
p2
⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,
⌊k
p2
⌋p2
Имеется⌊k
p3
⌋чисел кратных p3: p3, 2p3, 3p3, . . . ,
⌊k
p3
⌋p3
...
βp(k) =
⌊k
p
⌋+
⌊k
p2
⌋+
⌊k
p3
⌋+ . . .
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Имеется⌊k
p
⌋чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
⌊k
p
⌋p
Имеется⌊k
p2
⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,
⌊k
p2
⌋p2
Имеется⌊k
p3
⌋чисел кратных p3: p3, 2p3, 3p3, . . . ,
⌊k
p3
⌋p3
...
βp(k) =
⌊k
p
⌋+
⌊k
p2
⌋+
⌊k
p3
⌋+ . . .
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Имеется⌊k
p
⌋чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
⌊k
p
⌋p
Имеется⌊k
p2
⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,
⌊k
p2
⌋p2
Имеется⌊k
p3
⌋чисел кратных p3: p3, 2p3, 3p3, . . . ,
⌊k
p3
⌋p3
...
βp(k) =
⌊k
p
⌋+
⌊k
p2
⌋+
⌊k
p3
⌋+ . . .
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Имеется⌊k
p
⌋чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
⌊k
p
⌋p
Имеется⌊k
p2
⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,
⌊k
p2
⌋p2
Имеется⌊k
p3
⌋чисел кратных p3: p3, 2p3, 3p3, . . . ,
⌊k
p3
⌋p3
...
βp(k) =
⌊k
p
⌋+
⌊k
p2
⌋+
⌊k
p3
⌋+ . . .
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Имеется⌊k
p
⌋чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
⌊k
p
⌋p
Имеется⌊k
p2
⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,
⌊k
p2
⌋p2
Имеется⌊k
p3
⌋чисел кратных p3: p3, 2p3, 3p3, . . . ,
⌊k
p3
⌋p3
...
βp(k) =
⌊k
p
⌋+
⌊k
p2
⌋+
⌊k
p3
⌋+ . . .
Теорема Куммера
k! = 1 · 2 · 3 · · · k = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
Имеется⌊k
p
⌋чисел кратных p: p, 2p, 3p, . . . ,
⌊k
p
⌋p
Имеется⌊k
p2
⌋чисел кратных p2: p2, 2p2, 3p2, . . . ,
⌊k
p2
⌋p2
Имеется⌊k
p3
⌋чисел кратных p3: p3, 2p3, 3p3, . . . ,
⌊k
p3
⌋p3
...
βp(k) =
⌊k
p
⌋+
⌊k
p2
⌋+
⌊k
p3
⌋+ . . .
Теорема Куммера
(m + n
m
)=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
Теорема Куммера
(m + n
m
)=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
Теорема Куммера
(m + n
m
)=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
Теорема Куммера
(m + n
m
)=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
Теорема Куммера
(m + n
m
)=
(m + n)!
m!n!
= 2α2(m,n)3α3(m,n) . . . pαp(m,n) . . .
k! = 2β2(k)3β3(k) . . . pβp(k) . . .
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
=
(⌊m + n
p
⌋−⌊m
p
⌋−⌊n
p
⌋)+
(⌊m + n
p2
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊n
p2
⌋)+
+
(⌊m + n
p3
⌋−⌊m
p3
⌋−⌊n
p3
⌋)+ . . .
Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
=
(⌊m + n
p
⌋−⌊m
p
⌋−⌊n
p
⌋)+
(⌊m + n
p2
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊n
p2
⌋)+
+
(⌊m + n
p3
⌋−⌊m
p3
⌋−⌊n
p3
⌋)+ . . .
Теорема Куммера
⌊m + n
pk
⌋−⌊m
pk
⌋−⌊n
pk
⌋=
{1, если есть перенос0, если нет переноса
m =∑r
j=0 mjpj = mr . . . mk mk−1 . . . m0
n =∑r
j=0 njpj = nr . . . nk nk−1 . . . n0
m + n =∑r
j=0 `jpj = `r . . . `k `k−1 . . . `0
bm/pkc = mr . . . mk
bn/pkc = nr . . . nkb(m + n)/pkc = `r . . . `k
Теорема Куммера
⌊m + n
pk
⌋−⌊m
pk
⌋−⌊n
pk
⌋=
{1, если есть перенос0, если нет переноса
m =∑r
j=0 mjpj = mr . . . mk mk−1 . . . m0
n =∑r
j=0 njpj = nr . . . nk nk−1 . . . n0
m + n =∑r
j=0 `jpj = `r . . . `k `k−1 . . . `0
bm/pkc = mr . . . mk
bn/pkc = nr . . . nkb(m + n)/pkc = `r . . . `k
Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
=
(⌊m + n
p
⌋−⌊m
p
⌋−⌊n
p
⌋)+
(⌊m + n
p2
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊n
p2
⌋)+
+
(⌊m + n
p3
⌋−⌊m
p3
⌋−⌊n
p3
⌋)+ . . .
Теорема Куммера
αp(m, n) = βp(m + n)− βp(m)− βp(n)
=
⌊m + n
p
⌋+
⌊m + n
p2
⌋+
⌊m + n
p3
⌋+ . . .
−⌊m
p
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊m
p3
⌋− . . .
−⌊n
p
⌋−⌊n
p2
⌋−⌊n
p3
⌋− . . .
=
(⌊m + n
p
⌋−⌊m
p
⌋−⌊n
p
⌋)+
(⌊m + n
p2
⌋−⌊m
p2
⌋−⌊n
p2
⌋)+
+
(⌊m + n
p3
⌋−⌊m
p3
⌋−⌊n
p3
⌋)+ . . .
Следствия теоремы Куммера
Лемма. При сложении чисел a и b в двоичной системесчисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разрядв том и только том случае, когда биномиальный коэффициент(a+b
a
)явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что (a + b
a
)= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент(ab
)явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a неменьше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k ak ≥ bk
(a
b
)=
(b + (a− b)
b
)
Следствия теоремы КуммераЛемма. При сложении чисел a и b в двоичной системесчисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разрядв том и только том случае, когда биномиальный коэффициент(a+b
a
)явлется нечетным
, то есть существует натуральное числоd такое, что (
a + b
a
)= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент(ab
)явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a неменьше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k ak ≥ bk
(a
b
)=
(b + (a− b)
b
)
Следствия теоремы КуммераЛемма. При сложении чисел a и b в двоичной системесчисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разрядв том и только том случае, когда биномиальный коэффициент(a+b
a
)явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что (a + b
a
)= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент(ab
)явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a неменьше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k ak ≥ bk
(a
b
)=
(b + (a− b)
b
)
Следствия теоремы КуммераЛемма. При сложении чисел a и b в двоичной системесчисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разрядв том и только том случае, когда биномиальный коэффициент(a+b
a
)явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что (a + b
a
)= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент(ab
)явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a неменьше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k ak ≥ bk
(a
b
)=
(b + (a− b)
b
)
Следствия теоремы КуммераЛемма. При сложении чисел a и b в двоичной системесчисления не проиходит ни одного переноса из разряд в разрядв том и только том случае, когда биномиальный коэффициент(a+b
a
)явлется нечетным, то есть существует натуральное число
d такое, что (a + b
a
)= 2d + 1.
Лемма. Биномиальный коэффициент(ab
)явлется нечетным
тогда и только тогда, когда каждый двочный разряд числа a неменьше соответствующего двоичного разряда числа b:
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k ak ≥ bk
(a
b
)=
(b + (a− b)
b
)
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b =⇒(a
c
)нечетн.
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b =⇒(a
c
)нечетн. ∧
(b
c
)нечетн.
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b =⇒(a
c
)нечетн. ∧
(b
c
)нечетн. ∧
∧(
(a− c) + (b − c)
a− c
)нечетн.
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b =⇒(a
c
)нечетн. ∧
(b
c
)нечетн. ∧
∧(
(a− c) + (b − c)
a− c
)нечетн.
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b ⇐=
(a
c
)нечетн. ∧
(b
c
)нечетн. ∧
∧(
(a− c) + (b − c)
a− c
)нечетн.
Поразрядное умножение
a =∞∑k=0
ak2k b =∞∑k=0
bk2k c =∞∑k=0
ck2k
a . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 1 . . .b . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 1 . . .c . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . .
a− c . . . 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . .b − c . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 . . .
c = a&b ⇐⇒(a
c
)нечетн. ∧
(b
c
)нечетн. ∧
∧(
(a− c) + (b − c)
a− c
)нечетн.
Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m =
(m
m
)um +
(m
m − 1
)um−1 +
(m
m − 2
)um−2+
+ · · ·+(m
n
)un + · · ·+
(m
1
)u +
(m
0
)
2m =
(m
0
)+ · · ·+
(m
n
)+ · · ·+
(m
m
)
c =
(m
n
)⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧
c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m}
Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m =
(m
m
)um +
(m
m − 1
)um−1 +
(m
m − 2
)um−2+
+ · · ·+(m
n
)un + · · ·+
(m
1
)u +
(m
0
)
2m =
(m
0
)+ · · ·+
(m
n
)+ · · ·+
(m
m
)
c =
(m
n
)⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧
c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m}
Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m =
(m
m
)um +
(m
m − 1
)um−1 +
(m
m − 2
)um−2+
+ · · ·+(m
n
)un + · · ·+
(m
1
)u +
(m
0
)
2m =
(m
0
)+ · · ·+
(m
n
)+ · · ·+
(m
m
)
c =
(m
n
)⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧
c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m}
Биномиальные коэффициенты
(1 + u)m =
(m
m
)um +
(m
m − 1
)um−1 +
(m
m − 2
)um−2+
+ · · ·+(m
n
)un + · · ·+
(m
1
)u +
(m
0
)
2m =
(m
0
)+ · · ·+
(m
n
)+ · · ·+
(m
m
)
c =
(m
n
)⇐⇒ ∃upq{(1 + u)m = pun+1 + cun + q ∧
c < u ∧ q < un−1 ∧ u > 2m}
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждоеперечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждоеперечислимое множество M имеет экспоненциальнодиофантово представление
〈a1, . . . , an〉 ∈M⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) =
= ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}
a = bc ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a, b, c , x1, . . . , xm) = 0}
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждоеперечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждоеперечислимое множество M имеет экспоненциальнодиофантово представление
〈a1, . . . , an〉 ∈M⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) =
= ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}
a = bc ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a, b, c , x1, . . . , xm) = 0}
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждоеперечислимое множество является диофантовым.
Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждоеперечислимое множество M имеет экспоненциальнодиофантово представление
〈a1, . . . , an〉 ∈M⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm{EL(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm) =
= ER(a1, . . . , an, x1, x2, . . . , xm)}
a = bc ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a, b, c , x1, . . . , xm) = 0}
Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
0 < 1 < αb(2) < · · · < αb(n) < αb(n + 1) < . . .
Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
0 < 1 < αb(2) < · · · < αb(n) < αb(n + 1) < . . .
Рекуррентные последовательности второго порядка
βb(0) = 1 βb(n + 1) = bβb(n)
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
0 < 1 < αb(2) < · · · < αb(n) < αb(n + 1) < . . .
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1)− α2(n)
= 2(n + 1)− n
= n + 2
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1)− α2(n)
= 2(n + 1)− n
= n + 2
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1)− α2(n)
= 2(n + 1)− n
= n + 2
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1)− α2(n)
= 2(n + 1)− n
= n + 2
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1)− α2(n)
= 2(n + 1)− n
= n + 2
Рекуррентные последовательности второго порядка
α2(0), α2(1), . . . , α2(n), . . .
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
α2(n + 2) = 2α2(n + 1)− α2(n)
= 2(n + 1)− n
= n + 2
Диофантовость последовательности αb(k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x , b, k , x1, . . . , xm)такой что
b ≥ 4 & x = αb(k)⇐⇒ ∃x1 . . . xm{Q(x , b, k, x1, . . . , xm) = 0}
Диофантовость последовательности αb(k)
Основная лемма. Существует многочлен Q(x , b, k , x1, . . . , xm)такой что
b ≥ 4 & x = αb(k)⇐⇒ ∃x1 . . . xm{Q(x , b, k, x1, . . . , xm) = 0}
Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
(b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
(b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
Скорость роста
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n+2) = bαb(n+1)−αb(n) b ≥ 2
(b − 1)αb(n + 1) ≤ αb(n + 2) ≤ bαb(n + 1)
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
От α к β
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd(n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n ≤ αd(n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
(bd − 1d + 1
)n
≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ bn ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤(bd + 1d − 1
)n
От α к β
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd(n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n ≤ αd(n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
(bd − 1d + 1
)n
≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ bn ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤(bd + 1d − 1
)n
От α к β
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd(n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n ≤ αd(n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
(bd − 1d + 1
)n
≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ bn ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤(bd + 1d − 1
)n
От α к β
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd(n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n ≤ αd(n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
(bd − 1d + 1
)n
≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ bn ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤(bd + 1d − 1
)n
От α к β
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd(n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n ≤ αd(n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
(bd − 1d + 1
)n
≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ bn ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤(bd + 1d − 1
)n
От α к β
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn
bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(b − 1)n ≤ αb(n + 1) ≤ bn ≤ αb+1(n + 1) ≤ (b + 1)n
(bd − 1)n ≤ αbd(n + 1) ≤ (bd)n ≤ αbd+1(n + 1) ≤ (bd + 1)n
(d − 1)n ≤ αd(n + 1) ≤ dn ≤ αd+1(n + 1) ≤ (d + 1)n
(bd − 1d + 1
)n
≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ bn ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤(bd + 1d − 1
)n
От α к β
(bd − 1d + 1
)n
≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ bn ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤(bd + 1d − 1
)n
a = bn ⇐⇒
⇐⇒ ∃d{αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ a ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)+
12
}
От α к β
(bd − 1d + 1
)n
≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ bn ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤(bd + 1d − 1
)n
a = bn ⇐⇒
⇐⇒ ∃d{αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)≤ a ≤ αbd+1(n + 1)
αd(n + 1)≤ αbd(n + 1)
αd+1(n + 1)+
12
}
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1)− αb(n)
Ab(n) =
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
(b −11 0
)Ab(n) = Ψn
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1)− αb(n)
Ab(n) =
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
(b −11 0
)Ab(n) = Ψn
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1)− αb(n)
Ab(n) =
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
(b −11 0
)Ab(n) = Ψn
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1)− αb(n)
Ab(n) =
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
(b −11 0
)
Ab(n) = Ψn
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1)− αb(n)
Ab(n) =
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
(b −11 0
)
Ab(n) = Ψn
Матричное представление
αb(0) = 0 αb(1) = 1 αb(n + 2) = bαb(n + 1)− αb(n)
Ab(n) =
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)
Ab(n + 1) = Ab(n)Ψb
Ψb =
(b −11 0
)Ab(n) = Ψn
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнение
det(Ab(n)) = α2b(n)− αb(n + 1)αb(n − 1)
= α2b(n + 1)− bαb(n + 1)αb(n) + α2
b(n)
= α2b(n − 1)− bαb(n − 1)αb(n) + α2
b(n)
= det(Ψnb)
= (det Ψb)n
= 1
x2 − bxy + y2 = 1
{x = αb(n + 1)y = αb(n)
{x = αb(n − 1)y = αb(n)
Характеристическое уравнениеЛемма. Если x2− bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что{
x = αb(n + 1)y = αb(n)
или же{x = αb(n)y = αb(n + 1)
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Характеристическое уравнениеЛемма. Если x2− bxy + y2 = 1, то найдется число n такое, что{
x = αb(n + 1)y = αb(n)
или же{x = αb(n)y = αb(n + 1)
Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Индукция по y : случай y = 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем
x = 1 = αb(1) = αb(n + 1)
y = 0 = αb(0) = αb(n)
Индукция по y : случай y = 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1
, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем
x = 1 = αb(1) = αb(n + 1)
y = 0 = αb(0) = αb(n)
Индукция по y : случай y = 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1, следовательно x = 1.
Полагая n = 0, имеем
x = 1 = αb(1) = αb(n + 1)
y = 0 = αb(0) = αb(n)
Индукция по y : случай y = 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
x2 = 1, следовательно x = 1. Полагая n = 0, имеем
x = 1 = αb(1) = αb(n + 1)
y = 0 = αb(0) = αb(n)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
y − 1
n − 1
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
by − x = αb(n − 1),
y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
by − x =
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
by − x =
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, что
by − x =
αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
n − 1
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
αb(n − 1) = bαb(n)− αb(n + 1)
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x?≥ 0
x = by +1− y2
x≤ by z = by − x
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x?≥ 0
x = by +1− y2
x≤ by z = by − x
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x?≥ 0
x = by +1− y2
x
≤ by z = by − x
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x?≥ 0
x = by +1− y2
x≤ by z = by − x
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоby − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
by − x?≥ 0
x = by +1− y2
x≤ by z = by − x
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z?≤ y
x = by +1x− y2
x
> by − y2
y= by − y
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z?≤ y
x = by +1x− y2
x
> by − y2
y= by − y
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z?≤ y
x = by +1x− y2
x
> by − y2
y= by − y
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z?≤ y
x = by +1x− y2
x
> by − y2
y= by − y
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
z?≤ y
x = by +1x− y2
x
> by − y2
y= by − y
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2 − byz + z2 ?= 1
y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2
= x2 − bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2 − byz + z2 ?= 1
y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2
= x2 − bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2 − byz + z2 ?= 1
y2 − byz + z2
= y2 − by(by − x) + (by − x)2
= x2 − bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2 − byz + z2 ?= 1
y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2
= x2 − bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2 − byz + z2 ?= 1
y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2
= x2 − bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2 − byz + z2 ?= 1
y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2
= x2 − bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1), y = αb(n), x = αb(n + 1)
y2 − byz + z2 ?= 1
y2 − byz + z2 = y2 − by(by − x) + (by − x)2
= x2 − bxy + y2
= 1
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1
По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
x = by − z = bαb(m + 1)− αb(m) = αb(m + 2)
n = m + 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
x = by − z = bαb(m + 1)− αb(m) = αb(m + 2)
n = m + 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
x = by − z = bαb(m + 1)− αb(m) = αb(m + 2)
n = m + 1
Индукция по y : случай y > 0Лемма. Если x2 − bxy + y2 = 1 и y ≤ x , то найдется число nтакое, что x = αb(n + 1), y = αb(n).
Мы ожидаем, чтоz = by − x = αb(n − 1) y = αb(n) x = αb(n + 1)
Мы знаем, что 0 ≤ z = by − x < y , y2 − byz + z2 = 1По индукционному предположению существует m такое, что
y = αb(m + 1), z = αb(m)
x = by − z = bαb(m + 1)− αb(m) = αb(m + 2)
n = m + 1
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }
⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
Требуется:
〈x , k〉 ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)
⇐⇒ ?
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
Требуется:
〈x , k〉 ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)
⇐⇒ ?
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
Требуется:
〈x , k〉 ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)
⇐⇒ ?
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
Требуется:
〈x , k〉 ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)
⇐⇒ ?
Диофантово представление множества чисел αb
Следствие леммы:
x ∈Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb(n), . . . }⇐⇒ ∃y{x2 − bxy + y2 = 1}
Требуется:
〈x , k〉 ∈ Nb ⇐⇒ x = αb(k)
⇐⇒ ?
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k`, 0 ≤ n < k
Ab(m) =
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ψm
b
= Ψn+k`b
= Ψnb(Ψk
b)`
= Ab(n)A`b(k)
=
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k`, 0 ≤ n < k
Ab(m) =
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ψm
b
= Ψn+k`b
= Ψnb(Ψk
b)`
= Ab(n)A`b(k)
=
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k`, 0 ≤ n < k
Ab(m) =
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)
= Ψmb
= Ψn+k`b
= Ψnb(Ψk
b)`
= Ab(n)A`b(k)
=
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k`, 0 ≤ n < k
Ab(m) =
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ψm
b
= Ψn+k`b
= Ψnb(Ψk
b)`
= Ab(n)A`b(k)
=
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k`, 0 ≤ n < k
Ab(m) =
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ψm
b
= Ψn+k`b
= Ψnb(Ψk
b)`
= Ab(n)A`b(k)
=
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k`, 0 ≤ n < k
Ab(m) =
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ψm
b
= Ψn+k`b
= Ψnb(Ψk
b)`
= Ab(n)A`b(k)
=
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k`, 0 ≤ n < k
Ab(m) =
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ψm
b
= Ψn+k`b
= Ψnb(Ψk
b)`
= Ab(n)A`b(k)
=
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
Доказательство.
m = n + k`, 0 ≤ n < k
Ab(m) =
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ψm
b
= Ψn+k`b
= Ψnb(Ψk
b)`
= Ab(n)A`b(k)
=
(αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)≡(
αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
)`(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)α`b(k + 1) (mod αb(k))
αb(k) | αb(n)
m = n + k`, 0 ≤ n < k
n = 0 m = k`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)≡(
αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
)`(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)α`b(k + 1) (mod αb(k))
αb(k) | αb(n)
m = n + k`, 0 ≤ n < k
n = 0 m = k`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)≡(
αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
)`(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)α`b(k + 1) (mod αb(k))
αb(k) | αb(n)
m = n + k`, 0 ≤ n < k
n = 0 m = k`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)≡(
αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
)`(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)α`b(k + 1) (mod αb(k))
αb(k) | αb(n)
m = n + k`, 0 ≤ n < k
n = 0 m = k`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)≡(
αb(n + 1) −αb(n)αb(n) −αb(n − 1)
)(αb(k + 1) 0
0 −αb(k − 1)
)`(mod αb(k))
αb(m) ≡ αb(n)α`b(k + 1) (mod αb(k))
αb(k) | αb(n)
m = n + k`, 0 ≤ n < k
n = 0 m = k`
Свойства делимости
m = k`
Ab(m) = A`b(k)
=
(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`=
(bαb(k)− αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
)`=
[αb(k)
(b −11 0
)− αb(k − 1)
(1 00 1
)]`= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E ]`
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
Свойства делимости
m = k`
Ab(m) = A`b(k)
=
(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`
=
(bαb(k)− αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
)`=
[αb(k)
(b −11 0
)− αb(k − 1)
(1 00 1
)]`= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E ]`
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
Свойства делимости
m = k`
Ab(m) = A`b(k)
=
(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`=
(bαb(k)− αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
)`
=
[αb(k)
(b −11 0
)− αb(k − 1)
(1 00 1
)]`= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E ]`
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
Свойства делимости
m = k`
Ab(m) = A`b(k)
=
(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`=
(bαb(k)− αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
)`=
[αb(k)
(b −11 0
)− αb(k − 1)
(1 00 1
)]`
= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E ]`
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
Свойства делимости
m = k`
Ab(m) = A`b(k)
=
(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`=
(bαb(k)− αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
)`=
[αb(k)
(b −11 0
)− αb(k − 1)
(1 00 1
)]`= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E ]`
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
Свойства делимости
m = k`
Ab(m) = A`b(k)
=
(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`=
(bαb(k)− αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
)`=
[αb(k)
(b −11 0
)− αb(k − 1)
(1 00 1
)]`= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E ]`
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
Свойства делимости
m = k`
Ab(m) = A`b(k)
=
(αb(k + 1) −αb(k)αb(k) −αb(k − 1)
)`=
(bαb(k)− αb(k − 1) −αb(k)
αb(k) −αb(k − 1)
)`=
[αb(k)
(b −11 0
)− αb(k − 1)
(1 00 1
)]`= [αb(k)Ψb − αb(k − 1)E ]`
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
Свойства делимости
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)=
Ab(m)
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
≡ (−1)`α`b(k − 1)E + (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)Ψb (mod α2
b(k))
= (−1)`α`b(k − 1)
(1 00 1
)+
+(−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)
(b −11 0
)(mod α2
b(k))
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
Свойства делимости
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ab(m)
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
≡ (−1)`α`b(k − 1)E + (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)Ψb (mod α2
b(k))
= (−1)`α`b(k − 1)
(1 00 1
)+
+(−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)
(b −11 0
)(mod α2
b(k))
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
Свойства делимости
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ab(m)
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
≡ (−1)`α`b(k − 1)E + (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)Ψb (mod α2
b(k))
= (−1)`α`b(k − 1)
(1 00 1
)+
+(−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)
(b −11 0
)(mod α2
b(k))
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
Свойства делимости
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ab(m)
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
≡ (−1)`α`b(k − 1)E + (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)Ψb (mod α2
b(k))
= (−1)`α`b(k − 1)
(1 00 1
)+
+(−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)
(b −11 0
)(mod α2
b(k))
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
Свойства делимости
(αb(m + 1) −αb(m)αb(m) −αb(m − 1)
)= Ab(m)
=∑̀i=0
(−1)`−i(`
i
)αib(k)α`−ib (k − 1)Ψi
b
≡ (−1)`α`b(k − 1)E + (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)Ψb (mod α2
b(k))
= (−1)`α`b(k − 1)
(1 00 1
)+
+(−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1)
(b −11 0
)(mod α2
b(k))
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | `α`−1b (k − 1)
αb(k) | `
m = k`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | `α`−1b (k − 1)
αb(k) | `
m = k`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | `α`−1b (k − 1)
αb(k) | `
m = k`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | `α`−1b (k − 1)
αb(k) | `
m = k`
Свойства делимостиЛемма. α2
b(k) | αb(m)⇒ kαb(k) | m
αb(m) ≡ (−1)`−1`αb(k)α`−1b (k − 1) (mod α2
b(k))
αb(k) | `α`−1b (k − 1)
αb(k) | `
m = k`