2013 manual de estadÍstica

Sistema de Gestión

de la Investigación

UPN

2013

MANUAL DE ESTADÍSTICA

SISTEMA DE GESTIÓN DE LA INVESTIGACIÓN UPN pág. - 2 -

MANUAL DE

ESTADÍSTICA

Profesor: MsC. Luis Alberto Rubio Jácobo


PRESENTACIÓN

El equipo de docentes que coordina las propuestas y la elaboración de instrumentos para el

Sistema de Gestión de la Investigación de la Universidad Privada del Norte, tiene el agrado

de presentar la segunda versión del Manual de Estadística para proyectos de investigación.

Este manual constituye un material de consulta básica para docentes y estudiantes de las

diferentes carreras profesionales de nuestra universidad, posibilitando el uso adecuado de la

estadística, requerida en diversos momentos del proceso investigativo.

Esperamos que con su uso, el presente manual vaya enriqueciéndose y haciéndose más

familiar para todos los que de una u otra manera estamos involucrados con la investigación

en todas sus manifestaciones.


ÍNDICE

PARTE 1: CONCEPTOS GENERALES ............................................................................................. - 6 -

1. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA ............................................................................... - 6 -

2. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA ................................................................... - 6 -

3. UNIVERSO: ............................................................................................................... - 6 -

4. POBLACIÓN: ............................................................................................................. - 6 -

5. MUESTRA ................................................................................................................. - 6 -

6. MUESTREO .............................................................................................................. - 7 -

7. UNIDAD DE ESTUDIO .............................................................................................. - 7 -

8. OBSERVACIONES .................................................................................................... - 7 -

9. VARIABLE ................................................................................................................. - 7 -

10. PARÁMETRO ............................................................................................................ - 8 -

11. ESTIMADOR ............................................................................................................. - 8 -

12. TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS:........................................................... - 8 -

13. INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS ................................................. - 9 -

PARTE 2: PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN...................................................................... - 10 -

1. CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS (CDF) .................................... - 10 -

2. PARTES DE UN CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.................... - 10 -

3. ELEMENTOS PARA CONSTRUIR UN CDF ........................................................... - 10 -

4. PROPIEDADES DE UN CDF .................................................................................. - 11 -

5. CONSTRUCCIÓN DE CUADROS DE FRECUENCIAS ......................................... - 11 -

6. CONSTRUCCIÓN DE CDF CON EXCEL ............................................................... - 12 -

7. GRÁFICO ESTADÍSTICO ....................................................................................... - 21 -

8. PARTES DE UN GRÁFICO ESTADÍSTICO............................................................ - 21 -

9. CRITERIOS PARA CONSTRUIR GRÁFICOS ........................................................ - 21 -

10. TIPOS DE GRAFICOS ESTADÍSTICOS ................................................................. - 22 -

11. CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS DE EXCEL ........................... - 22 -

PARTE 3: MEDIDAS ESTADÍSTICAS ............................................................................................. - 24 -

1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ..................................................................... - 24 -

2. MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN ................................................................................. - 24 -

4. MEDIDAS DE VARIABILIDAD ................................................................................... - 25 -

5. MEDIDAS DE FORMA ............................................................................................... - 25 -

6. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: ........ - 26 -

7. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIACIÓN . - 27 -

8. MEDIDAS ESTADÍSTICAS CON MEGASTAT .......................................................... - 28 -

9. APLICACIÓN: (Evaluación de un caso) ..................................................................... - 28 -


PARTE 4: ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN ............................................................ - 31 -

1. ANÁLISIS DE CORRELACIÓN ............................................................................... - 31 -

2. ANÁLISIS DE REGRESIÓN .................................................................................... - 31 -

PARTE 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ....................................................................... - 34 -

1. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ............................................................................... - 34 -

2. LA DISTRIBUCIÓN POISSON ................................................................................ - 36 -

3. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ................................................................................. - 39 -

4. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR ............................................................ - 39 -

5. APLICACIÓN CON MEGASTAT ............................................................................. - 40 -

PARTE 6: ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA ......................................................................................... - 42 -

1. ESTIMACION PUNTUAL......................................................................................... - 42 -

2. ESTIMACIÓN INTERVÁLICA .................................................................................. - 42 -

3. APLICACIÓN UTILIZANDO MEGASTAT ................................................................ - 44 -

PARTE 7: DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA ........................................................ - 47 -

1. MUESTREO ............................................................................................................ - 47 -

2. TÉCNICAS DE MUESTREO ................................................................................... - 47 -

3. DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA ................................................. - 47 -

5. FÓRMULAS PARA DETERMINAR EL TAMAÑO DE MUESTRA .......................... - 48 -

6. PASOS A SEGUIR PARA DETERMINAR LA MUESTRA ÓPTIMA ....................... - 48 -


PARTE 8: PRUEBA DE HIPÓTESIS................................................................................................ - 51 -

1. DEFINICIONES PRELIMINARES ........................................................................... - 51 -

2. CLASES DE HIPÓTESIS ........................................................................................ - 51 -

3. ERRORES QUE SE COMETEN EN UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS: ................... - 51 -

5. TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS: .................................................................. - 52 -

6. ETAPAS DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS: ......................................................... - 52 -

8. FÓRMULAS DE ALGUNOS ESTADÍSTICOS DE PRUEBA ................................... - 53 -

9. PRUEBA DE HIPÓTESIS CON MEGASTAT .......................................................... - 54 -



PARTE 1: CONCEPTOS GENERALES

1. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA

La Estadística es una ciencia que nos ofrece un conjunto de métodos y técnicas para recopilar, organizar, presentar, analizar e interpretar un conjunto de datos respecto a variables en estudio de una población, con el fin de obtener conclusiones y tomar decisiones sobre determinados hechos o fenómenos en estudio. La estadística es una rama de la matemática y es parte del método científico. En la actualidad, para hacer investigación científica se necesita conocer de estadística.

2. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA La Estadística se clasifica de la siguiente manera: 2.1. Estadística Descriptiva

Es aquella área de la Estadística que describe y analiza una población, sin pretender sacar conclusiones de tipo general. Es decir, las conclusiones obtenidas son válidas sólo para dicha población.

2.2. Estadística Inferencial Es aquella área de la Estadística, cuyo propósito es inferir o inducir leyes de comportamiento de una población, a partir del estudio de una muestra. Es decir las conclusiones obtenidas a partir de una muestra, son válidas para toda la población.

3. UNIVERSO: Es el conjunto de individuos, objetos o entes que tienen características comunes, definidas en forma general en un espacio y tiempo. Ejemplo: Conjuntos de alumnos, conjunto de docentes universitarios, conjunto de pacientes, conjunto de clientes, conjunto de proveedores, conjunto de viviendas, conjunto de establecimientos, conjunto de documentos, etc.; de una determinada región o zona en un tiempo determinado.

4. POBLACIÓN: Es un conjunto grande y completo de individuos, elementos o unidades que presentan como mínimo una característica en común y observable. Para definir una población esta debe contener los siguientes elementos: contenido, espacio y tiempo. Al número de elementos de una población de denota por “N”. Una población puede clasificarse de la siguiente manera: A. Según su extensión:

Población Finita: Es aquella que tiene un determinado número de elementos. Población Infinita: Es aquella cuyos elementos no se pueden contar.

B. Según su ámbito o naturaleza: Población Objeto: Esta dada por los elementos que forman la población. Población Objetivo: está dada por la información que da la población objeto

Nota: De un universo se pueden desprender muchas poblaciones, pero operativamente se pueden hablar indistintamente como población o universo.

5. MUESTRA

Es una parte o un subconjunto de la población en estudio. También se puede decir que es una colección de unidades de muestreo seleccionados de un marco muestral o de varios marcos muestrales. Al número de elementos de la muestra se denota por “n”. Una muestra tiene las siguientes características: a. Es representativa. b. Es adecuada. Para la determinación del tamaño de muestra se utilizan técnicas de muestreo donde dependiendo de esta, se utiliza correctamente las fórmulas adecuadas.


6. MUESTREO Es una técnica estadística por la cual se realizan inferencias o generalizaciones para una población examinando solo una muestra de ella. Es una técnica empleada para seleccionar elementos de una población. Su propósito es proporcionar diferente tipo de información estadística de naturaleza cuantitativa o cualitativa. Por su gran importancia los investigadores lo utilizan en los diferentes campos de saber y también lo usamos en la vida diaria.

7. UNIDAD DE ESTUDIO Es el animal persona o cosa de quien se dice algo. Es el elemento quien nos va a dar la información. Es el individuo u objeto del cual se toman las mediciones u observaciones. Ejemplos: Un docente, un auxiliar de educación, un votante, una factura, una empresa, una botella de cerveza, una universidad, una vaca, una gota de sangre, etc.

8. OBSERVACIONES Estadísticamente son los datos que se recolectan para un estudio. Una observación o dato es cuando una variable en sí toma un valor específico.

9. VARIABLE Una variable es una característica de estudio de una población. Una variable es lo que se quiere evaluar en una investigación. Las características toman diferentes valores que varían de individuo a individuo o de objeto a objeto. Aquellas características que permanecen inalterables en las unidades de estudio reciben el nombre de constantes. Generalmente, las variables se designan con las últimas letras mayúsculas del abecedario: X, Y, Z; y los valores de las variables se designan con letras minúsculas: xi, yi, etc. Las variables se clasifican de la siguiente manera:

Por su relación: variable dependiente - variable independiente.

Por su escala de medición: Nominal – Ordinal – Intervalo – Razón.

Por su naturaleza: Cuantitativas - Cualitativas. Ejemplos: Unidad de estudio Variable

Estudiante Peso, talla, edad, ci, número de hermanos, raza, color de ojos, tipo de sangre, etc.

Empresa Ganancia, costos, producción, número de trabajadores, número de computadoras, etc.

PYME Número de trabajadores, años de funcionamiento, ganancias, etc.


10. PARÁMETRO Es un valor, una cantidad, un indicador que se obtiene con información de la población. Dentro de estos tenemos: a. El promedio poblacional b. La varianza poblacional. c. La proporción poblacional, etc.

11. ESTIMADOR Es un valor, una cantidad, un indicador que se obtiene con información de la muestra. Dentro de estos tenemos: a. El promedio muestral. b. La varianza muestral. c. La proporción muestral, etc.

12. TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS:

Las técnicas de recolección de datos permiten la obtención sistemática de información acerca de los objetos de estudio (personas, objetos y fenómenos) y de su entorno. Como ya se mencionó, la recolección de datos tiene que ser sistemática, ya que, si los datos se recolectan al azar será difícil responder las preguntas de investigación de una manera concluyente. Las técnicas de recolección de datos son

1. Utilización de la información disponible 2. Observación 3. Entrevista( cara a cara) 4. Cuestionarios auto administrados 5. Discusión con grupos focales 6. Otras

OBSERVACIÓN

La observación es una técnica que implica seleccionar ver y registrar sistemáticamente la conducta y características de seres vivos, objetos o fenómenos. La observación de la conducta humana es una técnica de recolección de datos muy utilizada que puede llevarse a cabo de diferentes formas:

a. Observación participativa: El observador participa en la situación que observa.

b. Observación no participativa: El observador no participa en la situación que observa. Las observaciones pueden servir para diferentes propósitos. Pueden dar información adicional y más confiable de la conducta de las u.e. que las entrevistas o los cuestionarios. Los cuestionarios pueden ser incompletos ya que se pueden olvidar algunas preguntas o porque los entrevistados olvidan o no desean contestar algunas cosas. Con la observación se puede, entonces, verificar la información recolectada (especialmente sobre temas como alcoholismo, drogadicción, sida,) pero también puede ser una fuente primaria de información (observación sistemática de los juegos de los niños). La observación de la conducta humana puede formar parte de algún estudio, pero como consume tiempo se usa con mayor frecuencia en estudios de pequeña escala. ENTREVISTA La entrevista es una técnica de recolección de datos que involucra el cuestionamiento oral de los entrevistados ya sea individualmente o en grupo. Las respuestas a las preguntas durante la entrevista pueden ser registradas por escrito o grabadas en una cinta. La entrevista puede conducirse con diferentes grados de flexibilidad. Las entrevistas utilizan una cédula para asegurar que se discuten todos los puntos, pero dando suficiente tiempo y permitiendo seguir cualquier orden. El entrevistador puede hacer preguntas adicionales para obtener tanta información adicional como sea posible, Las preguntas son abiertas y no hay restricciones para las respuestas. Este método poco estructurado de hacer las preguntas puede ser útil para entrevistas individuales o grupales con informantes claves.


Un método de entrevista flexible es útil si el investigador sabe poco del problema o de la situación que está investigando. Se aplica en estudios exploratorios y en los estudios de caso. ENCUESTAS Hoy en día la palabra "encuesta" se usa más frecuentemente para describir un método de obtener información de una muestra de individuos. Esta "muestra" es usualmente sólo una fracción de la población bajo estudio. Una "encuesta" recoge información de una "muestra." Una "muestra" es usualmente sólo una porción de la población bajo estudio. Las encuestas pueden ser clasificadas de muchas maneras. Una dimensión es por tamaño y tipo de muestra. Las encuestas pueden ser usadas para estudiar poblaciones humanas o no humanas (por ejemplo, objetos animados o inanimados, animales, terrenos, viviendas). Mientras que muchos de los principios son los mismos para todas las encuestas, el foco aquí será en métodos para hacer encuestas a individuos. Las encuestas pueden ser clasificadas por su método de recolección de datos. Las encuestas por correo, telefónicas y entrevistas en persona son las más comunes. En los métodos más nuevos de recoger datos, la información se entra directamente a la computadora ya sea por un entrevistador adiestrado o aún por la misma persona entrevistada. Un ejemplo bien conocido es la medición de audiencias de televisión usando aparatos conectados a una muestra de televisores que graban automáticamente los canales que se observan.

OTRAS TÉCNICAS DE RECOLECCION DE DATOS

a. Técnica de grupo nominal. b. Técnica Delphi. c. Historias de vida. d. Escalas. e. Ensayos. f. Estudios de casos. g. Mapeo. h. Técnicas rápidas de evaluación de sondeo. i. Encuestas participativas.

13. INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS

Si tenemos presente el tema de investigación por el que nos estamos guiando se percibirá que, una vez obtenidos los indicadores de los elementos teóricos y definido el diseño de la investigación, se hará necesario estructurar las técnicas dé recolección de datos correspondientes, para así poder construir los instrumentos que nos permitan obtener tales datos de la realidad. Un instrumento de recolección de datos es, en principio, cualquier recurso del que pueda valerse el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de ellos información. Ya adelantábamos que dentro de cada instrumento concreto pueden distinguirse dos aspectos diferentes: una forma y un contenido. La forma del instrumento se refiere al tipo de aproximación que establecemos con lo empírico, a las técnicas que utilizamos para esta tarea; una exposición más detallada de las principales es la que se ofrece al lector en este mismo capítulo. En cuanto al contenido éste queda expresado en la especificación de los datos concretos que necesitamos conseguir; se realiza, por lo tanto, en una serie de ítems que no son otra cosa que los indicadores bajo la forma de preguntas, de elementos a observar, etc. De este modo, el instrumento sintetiza en sí toda la labor previa de investigación: resume los aportes del marco teórico al seleccionar datos que corresponden a los indicadores y, por lo tanto, a las variables o conceptos utilizados; pero también expresa todo lo que tiene de específicamente empírico nuestro objeto de estudio, pues sintetiza a través de las técnicas de recolección que emplea, el diseño concreto escogido para el trabajo.


PARTE 2: PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN En la Estadística se trabaja generalmente con una gran cantidad de datos los cuales por facilidad de análisis y cálculos se organizan en Cuadros de Distribución de Frecuencias (CDF) y Gráficos Estadísticos (GE). 1. CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS (CDF)

Un cuadro de distribución de frecuencias, es una tabla resumen rectangular de un conjunto de datos que muestra el comportamiento o distribución de la variable en estudio en forma rápida y resumida. Aun cuando un cuadro de frecuencias se construye a libre criterio de quien lo ejecuta, generalmente es común seguir algunos pasos que de alguna forma homogenizan criterios y ayudan a los fines didácticos. Para realizar este análisis se tiene que tener en cuenta el tipo de variable que se está evaluando.

2. PARTES DE UN CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Las partes de un CDF son las siguientes:

a. Número del cuadro de frecuencias en forma correlativa. b. Título: Especificar la variable y la población en estudio. c. Encabezado o conceptos. d. Cuerpo o contenido del cuadro de frecuencias. e. Nota de pie (no siempre es necesaria). f. Fuente. g. Elaboración.

3. ELEMENTOS PARA CONSTRUIR UN CDF

Para construir un cuadro de frecuencias se utilizan los siguientes elementos: a. Valores de la variable Xi

Los valores de la variable o datos se representan por Xi. Ejm: Si se tienen 50 datos sus valores correspondientes no agrupados se representan como X1, X2, X3,..., X50.

b. Intervalos de clase Los intervalos son subconjuntos de la recta real Ron que están definidos por un límite menor o inferior Li y un límite mayor o superior Ls.

c. Frecuencia 1. Frecuencia absoluta simple

Se denota por fi. Está constituida por el número de veces que se repite un valor. En el caso de intervalos es el número de observaciones comprendidas en dicho intervalo. Estas frecuencias siempre son enteros positivos y además la suma de todos ellos es el tamaño de la muestra “n”.

2. Frecuencia relativa Se denota por hi. Indica la relación o proporción existente entre la frecuencia absoluta simple y el número total de datos. Estas frecuencias son números fraccionarios positivos entre o y 1. Para fines interpretativos estas frecuencias se expresan en % (hi%). Así:

n

fihi o 100(%) x

n

ifhi

3. Frecuencia absoluta acumulada Se denota por Fi. Resulta de la suma de las frecuencias cuyas marcas de clase son iguales o menores a la marca de clase del intervalo dado o considerado, es decir: F1 = f1 F2 = f1 + f2 F3 = f1 + f2 + f3


............................................. …………………………………………………… Fj = f1 + f2 + f3 + ....... + fi

4. Frecuencia relativa acumulada Se denota Hi. Resulta de la suma de las frecuencias relativas simples hasta la frecuencia del intervalo considerado. Así:

H4 = h1 + h2 + h3 + h4 H6 = h1 + h2 +....+ h6

Para fines interpretativos estas frecuencias se expresan en % (Hi%)

d. Marca de clase Se denota por “Yi”. Es el promedio de los valores correspondientes a los límites inferior y superior de cada uno de los intervalos determinados.

4. PROPIEDADES DE UN CDF

a. Las fi y Fi son siempre números enteros positivos. Es decir: fi, Fi ≥ 0. b. Las hi y Hi son siempre números fraccionarios positivos comprendidos entre 0 y 1, es decir

0≤ hi, Hi ≤ 1. c. F1 siempre es igual f1 y H1 siempre es igual a h1. d. La suma de todas las fi es igual a n y la suma de las hi es igual a 1. e. Fm siempre es igual a n y Hm siempre es igual a 1.

5. CONSTRUCCIÓN DE CUADROS DE FRECUENCIAS

Para la construcción de los CDF hay que tener en cuenta el tipo de variable que se esta analizando, es decir, si es cuantitativa continua, cuantitativa discreta o variable cualitativa.

a. CDF PARA UNA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA Para la construcción de este cuadro hay que realizar los siguientes pasos: PASO 1. Determinar el Rango del conjunto de datos. PASO 2. Determinar el número de intervalos “m”.

Este valor siempre es un número entero (Redondeo) PASO 3. Determinar la amplitud “A” interválica (de cada intervalo).

Este valor está en función de la estructura de la base de datos (tomar el inmediato superior)

PASO 4. Determinar el nuevo rango “R2” (Solamente si se tomó un inmediato superior)

A: es la amplitud teniendo en cuenta el inmediato superior. PASO 5. Determinar los intervalos y finalmente construir el cuadro.

b. Cdf para una variable cuantitativa discreta

Para la construcción de un CDF para una variable cuantitativa discreta (valores discretos) ya no se utiliza los pasos anteriores solamente colocar en los intervalos a los diferentes valores discretos.

c. Cdf para una variable cualitativa Para la construcción de un CDF para una variable cualitativa se sigue los mismos pasos que para una variable cuantitativa discreta, es decir, solamente colocar en los en los intervalos a las diferentes categorías de la variable cualitativa.

R = Valor máximo - Valor mínimo

m = 1 + 3.322 log ( n )

A = R / m

R2 = A * m


6. CONSTRUCCIÓN DE CDF CON EXCEL Si bien es cierto que el EXCEL no es un programa exclusivamente diseñado para análisis de datos, es muy utilizado dentro del análisis de estos cuando se realiza una investigación científica. Una de las ventajas y razones de su uso, está en su fácil acceso, pues en todas las computadoras está instalado y así se podrá explorar el funcionamiento de las herramientas que se presentan en este programa.

A. CONSTRUCCIÓN DE CUADROS DE FRECUENCIA UTILIZANDO TABLAS DINÁMICAS

Para construir cuadros de distribución de frecuencias a través de Excel se utiliza la herramienta TABLAS DINÁMICAS. Teniendo en cuenta esta base de datos realizar los siguientes pasos: Hacemos clic en Insertar /tabla dinámica…. aparece la siguiente pantalla:

Luego aparecen las siguientes ventanas de trabajo…….activamos (a) lista de base de datos de Excel y (b) Tabla Dinámica. Luego siguiente… seleccionamos el rango respectivo, luego siguiente…..luego seleccionamos la opción diseño. En la opción diseño seleccionamos la variable que vamos a analizar y con el cursor activamos dicha variable y lo arrastramos hasta la opción FILA y luego la misma variable la arrastramos hasta la opción DATOS. Finalmente aceptamos y obtenemos los resultados.

En función a lo que se quiera obtener como resultados de la variable analizada, se selecciona OPCIONES DE TABLA DINÁMICA para obtener ya sea totales, promedio o frecuencia de dicha variable. Esta ventana de trabajo es la siguiente:

B. CONSTRUCCIÓN DE CUADROS DE FRECUENCIA UTILIZANDO MEGASTAT

Para construir cuadros de distribución de frecuencias con Megaestat se utiliza la opción Complementos/MegaStat… Distribución de Frecuencias. Luego se debe seleccionar para variables cuantitativas o variables cualitativas.


Si se selecciona variable cuantitativa se aprecia la siguiente ventana, donde debemos ingresar el rango de los datos de la variable, luego se hace la selección de datos respectiva y activamos algún tipo de gráfico. Se pueden realizar algunas modificaciones al CDF dependiendo del investigador como tamaño de intervalos, número de intervalos, límite superior, límite inferior, etc.

7. GRÁFICO ESTADÍSTICO

Un gráfico estadístico es una representación pictórica, cuyo objetivo es expresar el comportamiento de una variable en estudio.

Los gráficos estadísticos son representaciones de información real que existe en nuestro mundo, es una expresión artística de datos reales y observados.

Un gráfico sirve también para comparar visualmente el comportamiento de dos o más variables similares o relacionadas.

8. PARTES DE UN GRÁFICO ESTADÍSTICO

Numeración.

Título: Aquí se señala la población en estudio y la variable de interés.

Diagrama: está dado por el propio dibujo, el cual representa el comportamiento de los datos.

Escalas y/o leyendas: Son indicadores donde se precisa la correspondencia entre los elementos del gráfico y la naturaleza de las medidas representadas.

Fuente: Aquí se señala el CDF que permitió obtener el respectivo gráfico.

9. CRITERIOS PARA CONSTRUIR GRÁFICOS

No existe una regla específica para la construcción de gráficos, pero si es posible considerar algunas recomendaciones o criterios.

Se emplea una diversidad de gráficos, cuya estructura o forma dependerá del tipo de variable que se está estudiando.

Este gráfico debe tener rasgos simples y de fácil comprensión.


10. TIPOS DE GRAFICOS ESTADÍSTICOS Hay varias tipos de gráficos, los cuales dependen del tipo de variable que se está evaluando. Presentaremos aquí los más importantes:

a. Gráfico de bastones: Se utiliza cuando se tienen datos de una variable cuantitativa discreta.

b. Histograma: Se utiliza cuando se tienen datos de una variable cuantitativa continua.

c. Gráfico de Barras: Se utiliza cuando se tienen datos de una variable cualitativa.

d. Gráfico Sectorial o Pastel: Se utiliza cuando se tiene información de una variable cualitativa o cuantitativa discreta.

e. Polígono de frecuencias: Se utiliza para indicar el comportamiento de un conjunto de datos.

f. Gráfico de series de tiempo: Se utiliza para analizar variables cuantitativas continuas pero expresadas en el tiempo.

g. Gráfico de Cajas y Bigote: Se utiliza para analizar el comportamiento de una variable cuantitativa. Se obtiene en base a los cuartiles.

h. Gráfico de la telaraña: Sirve para visualizar el comportamiento de una variable cuantitativa cuando evalúa ciertos criterios de evaluación.

11. CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS DE EXCEL

Excel puede crear gráficos a partir de datos previamente seleccionados en una hoja de cálculo. El usuario puede “insertar” un gráfico en una hoja de cálculo, o crear el gráfico en una hoja especial para gráficos. En cada caso el gráfico queda vinculado a los datos a partir de los cuales fue creado, por lo que si en algún momento los datos cambian, el gráfico se actualizará de forma automática. Los gráficos de Excel contienen muchos objetos, títulos, etiquetas en los ejes que pueden ser seleccionados y modificados individualmente según las necesidades del usuario. Para crear un gráfico con el Asistente para Gráficos, se deben seguir los siguientes pasos: 1. Seleccionar los datos a representar.

2. Ejecutar el comando Insertar / Gráfico o hacer clic en el botón A continuación aparece el siguiente cuadro de diálogo del Asistente para Gráfico que permite elegir el tipo y subtipo de gráfico que se va a utilizar entre dos listas que son estándares y personalizados.


Luego seleccionar el rango de los datos a evaluar, señalando correctamente las series que están evaluando.

Luego debemos configurar los aspectos que conciernen a la presentación del gráfico, aportando una vista preliminar del mismo. Así, se determinan el título, las inscripciones de los ejes, la apariencia de éstos, la leyenda, la aparición o no de tabla de datos y los rótulos. Las opciones de <Atrás, Siguiente> y Finalizar son las mismas que en los otros cuadros. Finalmente hacer clic en el botón Finalizar, el gráfico aparece ya en el lugar seleccionado. Si se quiere desplazar a algún otro lugar sobre la propia hoja en que se encuentra basta seleccionar todo el gráfico y arrastrarlo con el mouse.


PARTE 3: MEDIDAS ESTADÍSTICAS La estadística descriptiva es una técnica que consiste en obtener indicadores que describen el comportamiento de un conjunto de datos. Dentro de estas medidas estadísticas tenemos:

A. Las medidas de Posición: Dentro de estas tenemos: a. Medidas de tendencia central: media, moda, mediana. b. Medidas de localización: cuartiles, deciles y percentiles.

B. Las medidas de variación: rango, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación. C. Las medidas de deformación: asimetría y kurtosis.

1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1.1. MEDIA ARITMÉTICA

Se denota por x

Es la medida estadística más fácil de calcular.

La media o promedio es el punto central de un conjunto de datos.

Para calcular la media aritmética se utilizan las fórmulas adecuadas ya sea sin son datos agrupados o datos no agrupados.

1.2. MEDIANA

Se denota por Me.

Es un valor que divide al conjunto de datos en dos partes iguales, es decir, cada segmento tiene el 50% de los datos.


1.3. MODA

Se denota por Mo.

La moda es el valor que más se repite en un conjunto de datos.

En un conjunto de datos se presentan los siguientes casos: a. No existir datos Amodal b. 1 moda Unimodal. c. 2 modas Bimodal d. 3 a más modas Multimodal


2. MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN

2.1. CUARTILES

Se denotan por Qk, donde k=1,2,3

Son valores que dividen a un conjunto de datos en 4 partes iguales, es decir, cada sector tiene el 25% de los datos.

Para calcular la media aritmética se utilizan las fórmulas adecuadas ya sea si son datos agrupados o datos no agrupados.

2.2. DECILES

Se denotan por Dk, donde k=1,2,3,4,5,6,7,8,9


2.3. PERCENTILES

Se denotan por Pk, donde k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, … , 99




4. MEDIDAS DE VARIABILIDAD 3.1. RANGO

Se denota por R y la medida de variabilidad más fácil de calcular.

Es la diferencia que existe entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos.

3.2. VARIANZA

Mide la variabilidad de un conjunto de datos respecto a un valor central (promedio)

Mide la variabilidad pero en unidades elevadas al cuadrado, por lo tanto es ilógica su interpretación.


3.3. DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Mide la variabilidad de un conjunto de datos respecto a su valor central pero en unidades originales.

Esta es la medida de variabilidad que tiene una interpretación lógica.

Se obtiene al obtener la raíz cuadrada de la varianza. 3.4. COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Se denota por C.V.

El C.V. sirve para determinar si un conjunto de datos tiene un comportamiento homogéneo o heterogéneo.

Para llegar a determinar la homogeneidad se compara con un valor convencional del 33%.

Si el CV ≤ 33% el conjunto de datos tiene un comportamiento homogéneo.

Si el CV > 33% el conjunto de datos tiene un comportamiento heterogéneo.

5. MEDIDAS DE FORMA 4.1. ASIMETRÍA

La asimetría se entiende como la deformación horizontal de un conjunto de datos.

Para conocer esta asimetría se calcula el coeficiente de asimetría As.

En un conjunto de datos pueden presentar los siguientes casos:

a. As= 0, el conjunto de datos es simétrica.

b. As<0, el conjunto de datos es asimétrica negativa.

c. As>0, el conjunto de datos es asimétrica positiva.

4.2. KURTOSIS

Se entiende por Kurtosis a la deformación vertical de un conjunto de datos, es decir, mide el apuntamiento o achatamiento de un conjunto de datos.

Para conocer qué tipo de asimetría tiene un conjunto de datos, se utilizan las siguientes formulas:

A. Kurtosis en función de los momentos

Si K1>3, el conjunto de datos es leptocúrtica.

Si K1=3, el conjunto de datos es mesocútica.

Si K1<3, el conjunto de datos es platicúrtica. M4: Momento de orden cuatro respecto a la media. M2: Momento de orden dos respecto a la media.

S

MoXAs

S

MeXAs

)(3

13

123 2

QQ

QQQAs

2

2

4

)(1

M

MK


B. Kurtosis en función de los momentos de orden 4

Si K2>0, el conjunto de datos es leptocúrtica.

Si K2=0, el conjunto de datos es mesocútica.

Si K2<0, el conjunto de datos es platicúrtica.

C. Kurtosis en función de los cuantiles

Si K3>0.263, el conjunto de datos es leptocúrtica.

Si K3=0.263, el conjunto de datos es mesocúrtica.

Si K3<0.263, el conjunto de datos es platicúrtica.

6. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL:

MEDIDAS PARA DATOS NO AGRUPADOS PARA DATOS AGRUPADOS

PROMEDIO n

x

X

n

i

i 1

Xi: datos n = número de datos

n

fY

X

m

ii

ii

Yi: Marca de clase o punto medio fi: frecuencia absoluta simple n: número de datos.

MODA

Procedimiento: Observar la base de datos y determinar el valor que más se repite.

21

1ALiMo

Li: límite inferior del intervalo modal. A: amplitud interválica

12

11

jj

jj

ff

ff

MEDIANA

Procedimiento:

Ordenar la serie en forma ascendente

Cuando “n” impar: Me = valor central

Cuando “n” par: Me = promedio de los valores centrales

j

j

f

FnALiMe

12/

Li: límite inferior del intervalo mediano. A: amplitud interválica.

2/n es el elemento determinante

Fj-1: Frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano fj: Frecuencia abs. simple del intervalo mediano

3)(

22

4 s

MK

)(2 1090

13

PP

QQAs


CU

AN

TIL

ES

QUARTILES Seguir pasos similares a la mediana.

j

j

Kf

FknALiQ

14/

Similar a la Me. Lo único que cambia es el elemento determinante.

DECILES Seguir pasos similares a la mediana.

j

j

Kf

FknALiD

110/


PERCENTILES

Seguir pasos similares a la mediana.

j

j

Kf

FknALiP

1100/


7. FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIACIÓN

MEDIDAS PARA DATOS NO AGRUPADOS PARA DATOS AGRUPADOS

RANGO minmax VVR

LILSR

Ls: Límite superior Li: Límite inferior

VA

RIA

NZ

A

POBLACIONAL N

uXN

i

i

1

2

2

)(

Xi : Datos de la población

u : promedio poblacional

N: Número de elementos de la población

N

fuYm

i

ii

1

2

2

*)(

Yi : Marca de clase

u : promedio poblacional

N: Número de elementos de la población fi: frecuencia absoluta simple

MUESTRAL

1

)(1

2

2

n

xx

s

n

i

i

Xi : Datos de la muestra

x : promedio muestral

n : Número de elementos de la muestra

1

*)(1

2

2

n

fyy

s

m

i

ii

yi: Marca de clase

y : promedio muestral

n : Número de elementos de la muestra fi: frecuencia absoluta simple

Fórmulas abreviadas

n

i

n

i

i

in

x

xn

s1

1

2

22

)(

1

1

m

i

m

i

ii

iin

fy

fyn

s1

1

2

22

)(

1

1

DESVIACIÓN ESTÁNDAR 2

D.E. Poblacional

2ss

D.E. Muestral

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

100*..u

VC

C.V. Poblacional

100*..x

sVC

C.V. Muestral


8. MEDIDAS ESTADÍSTICAS CON MEGASTAT En Excel los pasos a seguir para obtener estas medidas son los siguientes: a. Tener una base de datos respecto a variables cuantitativas. b. Seleccionar en MegaStat / Estadística descriptiva/…. aparece la siguiente ventana, luego

hay que ingresar los datos respectivos:

9. APLICACIÓN: (Evaluación de un caso)

RUBIOJA S.A. es una de las firmas consultoras financieras más importantes del Perú. Ofrece asesoría financiera y servicios a firmas particulares y a gobiernos regionales. Grecia Rubio, acababa de ser encargada del departamento de personal de esta empresa. En los tres años pasados, se han agregado otros ayudantes y hace seis semanas, se sumó al departamento un estadístico recién graduado. Damne empezó hace poco a revisar las prácticas de contratación del departamento. Empezó la revisión examinando el campo más crítico, las personas en adiestramiento financiero. La firma contrata entre 60 y 130 de estas personas al año, según sea el crecimiento de la firma, el movimiento de empleados y el número de perspectivas “notables" que encuentre. Prácticamente todos los que están en adiestramiento financiero se contratan entre los estudiantes del último año de escuelas superiores con especialización financiera. Damne seleccionó al azar 100 de los 197 candidatos que habían sido contratados hace dos años y aún seguían trabajando. Cada ficha contenía la información siguiente (los datos van en el apéndice adjunto):

1. Género. (0=Femenino y 1=Masculino) 2. Edad al contratarse. 3. Promedio ponderado de sus notas universitarias (escala de 0 a 20). 4. Calidad de la universidad de procedencia. (1=Excelente, 2=Muy buena, 3=Buena y 4=Regular) 5. Nota de la prueba de aptitudes. La prueba produce una puntuación de 0 (muy improbable que tenga

éxito en el trabajo) a 100 (muy probable que tenga éxito en el trabajo). 6. Evaluación del rendimiento al final del segundo año. Esta evaluación produce una puntuación

numérica desde 0 (muy malo) hasta 100 (excelente). La Gerencia de RUBIOJA S.A. están seguros de que la escala es de intervalo y también han decidido, con base en los tres años de experiencia con dicha escala, que una puntuación inferior a 50 es insatisfactoria, 50-69 es satisfactoria, 70-89 por sobre el promedio, y por encima de 89 es excelente. Grecia llama al estadístico a su oficina y le dice: "Estoy encantada de tener un estadístico que nos ayude. No estamos aún listos a desarrollar un modelo estadístico acabado de lo que constituye una buena contratación, pero es tiempo de empezar a evaluar algunas de las variables de que tenemos información. El gran número de personas que contratamos, el alto costo de adiestrarlas y el hecho de que no podemos evaluar realmente los rendimientos, hasta fines del segundo año, significan que cualquier mejoría en nuestra eficacia de contratación tendrá por resultado ahorros sustanciales para la firma. Para comenzar a tratar el tema, ¿Podrías dar respuesta a las siguientes preguntas?

1. Necesitamos un resumen de la edad del personal al contratarse, del promedio de calificaciones de grado y de la evaluación del rendimiento en el segundo año, para tener una apreciación general del grupo en adiestramiento financiero. ¿Cuál es el perfil de este personal?

2. ¿Es más alto el puntaje de varones en la nota de la prueba de aptitudes que el de mujeres? ¿Y en la evaluación del rendimiento?


3. Un criterio inicial en RUBIOJA S.A era mantener la calificación promedio de grado de los contratados por encima de 14.00. ¿Se sigue manteniendo este criterio?

4. Otro criterio era mantener por lo menos un tercio de los contratados que provengan de escuelas de categoría 2. ¿Se sigue manteniendo este criterio?

5. ¿Son diferentes los rendimientos en la prueba de entrada para las diferentes calidades de escuelas de donde provienen los candidatos? ¿Y en la Evaluación del rendimiento del segundo año?

Si Ud. fuera el analista que conclusiones le daría a Grecia Rubio respecto al análisis que realizó. Utilice la siguiente base de datos.

No. Género Edad Calificación Calidad Universitaria Índice-Éxito Rendimiento 2

1 1 22 15,41 3 62 72

2 1 26 15,71 1 60 71

3 1 22 12,45 2 80 66

4 1 23 15,69 2 86 91

5 1 25 16,05 1 86 48

6 1 26 16,21 3 64 95

7 0 27 14,42 2 54 82

8 1 23 12,87 3 80 92

9 1 23 13,08 2 62 73

10 1 26 16,30 3 77 81

11 1 24 15,82 4 61 67

12 0 24 14,85 3 67 95

13 0 36 13,31 4 95 96

14 1 27 16,67 4 62 59

15 0 26 16,35 2 50 79

16 1 24 12,50 1 62 88

17 1 26 12,32 1 81 52

18 1 23 14,72 2 76 71

19 1 24 13,94 2 87 75

20 1 24 16,92 2 73 75

21 0 25 13,14 3 85 93

22 1 23 14,92 3 57 84

23 1 23 13,81 2 89 90

24 0 26 15,53 3 70 83

25 1 25 15,33 3 65 73

26 0 25 12,95 2 89 97

27 1 24 12,24 4 87 88

28 1 23 14,94 4 89 81

29 1 22 12,57 3 94 74

30 0 30 12,92 3 71 67

31 1 24 15,94 1 63 80

32 1 25 13,80 4 67 64

33 1 23 14,42 3 96 82

34 1 24 14,72 2 73 82

35 1 26 12,60 3 92 81

36 0 23 14,53 3 88 77

37 1 26 14,76 4 82 89

38 0 26 13,12 3 84 95

39 1 26 13,35 4 86 58

40 0 23 14,76 2 72 74

41 1 22 15,27 4 82 89

42 1 26 17,00 2 77 68

43 1 24 16,57 2 66 77

44 1 26 14,02 3 73 67

45 1 25 13,08 1 85 99

46 1 24 13,93 3 58 96

47 1 25 14,17 2 58 97

48 0 24 14,65 3 79 92

49 1 22 13,92 1 50 95


50 1 25 13,28 3 93 67

51 1 25 12,96 2 75 52

52 0 23 13,97 2 82 82

53 1 25 13,92 3 57 83

54 1 24 14,92 3 67 87

55 1 24 16,33 2 60 73

56 0 23 14,25 4 56 67

57 1 23 15,29 1 94 72

58 1 26 15,23 3 92 66

59 1 26 15,73 3 81 95

60 0 23 12,94 1 73 82

61 1 24 15,96 1 91 84

62 1 24 16,96 2 72 98

63 1 27 12,23 3 85 93

64 1 22 15,35 2 96 87

65 0 23 16,77 2 85 57

66 1 24 16,12 2 89 85

67 0 25 14,34 3 92 81

68 1 24 14,69 3 66 95

69 1 22 14,67 2 85 90

70 1 23 15,56 2 54 80

71 1 22 12,35 2 85 48

72 1 24 13,39 3 65 71

73 0 26 16,99 1 76 63

74 0 28 15,29 4 63 87

75 0 26 15,93 2 89 97

76 1 25 13,41 3 83 97

77 1 25 15,55 2 57 79

78 1 25 13,97 1 96 71

79 0 23 12,81 4 72 72

80 1 24 12,99 2 73 89

81 1 25 15,67 2 53 94

82 1 23 12,47 3 86 78

83 1 24 12,77 3 64 89

84 0 24 14,67 1 80 84

85 0 25 13,94 3 77 91

86 1 24 14,90 1 52 69

87 1 23 15,44 2 70 89

88 0 23 16,03 4 90 91

89 1 29 12,15 4 74 89

90 0 22 13,42 2 95 94

91 0 26 12,02 4 84 95

92 0 22 13,04 3 68 78

93 0 30 14,35 4 92 84

94 1 25 13,65 2 52 85

95 1 23 12,66 2 82 69

96 1 26 13,22 3 56 71

97 1 23 13,43 3 85 58

98 1 22 15,54 4 85 93

99 1 26 16,51 3 64 97

100 1 23 16,91 3 61 83


PARTE 4: ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN 1. ANÁLISIS DE CORRELACIÓN

El análisis de correlación es una técnica estadística que mide el grado de asociación o afinidad entre las variables cuantitativas consideradas en un estudio.

Se llamará CORRELACIÓN SIMPLE cuando se trata de analizar la relación entre dos variables. Se llamará CORRELACIÓN LINEAL O RECTILÍNEA si la función es una recta, y de CORRELACIÓN NO LINEAL cuando la función es una curva o una función de grado superior.

El COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON, es el estadígrafo que mide el grado de asociación o afinidad entre las variables cuantitativas y se denota por “r” la cual se define como:

Interpretación: -1 -0.7 -0.4 0 0.4 0.7 +1 Perfecta Alta Regular Baja Baja Regular Alta Perfecta

N E G A T I V A P O S I T I V A 2. ANÁLISIS DE REGRESIÓN

2.1. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

El análisis de regresión es una técnica estadística que consiste en determinar la relación funcional entre dos variables cuantitativas en estudio.

Esta relación funcional entre las variables, es una ecuación matemática de la forma Y= A + B X, que recibe el nombre también de Función de Regresión o Modelo de Regresión.

A la variable Y se le denomina variable dependiente, a la variable X independiente y a las variables A, B se les denomina parámetros de la ecuación de regresión.

La finalidad del Análisis de Regresión es hacer pronósticos es decir, hacer estimaciones futuros de la variable dependiente.

PASOS A SEGUIR:

a. Realizar el diagrama de dispersión y ver el comportamiento de la variable. b. Aplicar el método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios para estimar los

parámetros de la ecuación. Las fórmulas son las siguientes:

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

iii

XXn

YXYXn

B

1

2

1

2

1 11

)(

XBYA

c. Para hacer el pronóstico o el valor estimado de Y, reemplazar en la ecuación matemática el respectivo valor de Xo, de la siguiente manera:

Y = A + B (Xo)

n

i

n

i

i

n

i

n

i

ii

n

i

n

i

n

i

iiii

YYnXXn

YXYXn

r

1

2

1

1

2

1 1

22

1 1 1

)()(


2.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

El ARLM es una técnica estadística que consiste en determinar el modelo de regresión lineal múltiple de una variable respuesta (Y) y un conjunto de variables independientes (Xs).

El modelo de regresión lineal múltiple está dado por la siguiente ecuación:

KK XXXY ...22110

Para encontrar este modelo, es decir, estimar sus coeficientes también se utiliza el Método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios.

Los elementos de este modelo de regresión múltiple son los siguientes: Y es la variable dependiente o variable respuesta. A las Xs se le llama variables independientes. Bs se les llama coeficientes de regresión.

En el ARLM se prueban las siguientes Hipótesis: Ho: Los Bs son iguales a cero (No hay efecto de las variables independientes en Y); H1: Los Bs son diferentes de cero (Por lo menos un X influye en Y).

Para dar respuesta a esta Hipótesis se utiliza el análisis de varianza.

2.4. REGRESIÓN LINEAL CON EXCEL (MEGASTAT) Para realizar estos ejercicios se deben realizar los siguientes pasos: Hacer clic en Complementos / MegaStat /…… y aparece la siguiente ventana….

Luego aparece la ventana de diálogo donde hay que ingresar el rango de Y, el rango de X, activar rótulos, las opciones de salida y algunas alternativas de interés para el investigador.

Luego tomar las decisiones respectivas.


APLICACIÓN 01 LA EMPRESA HIDRANDINA de la ciudad de Trujillo, está haciendo un estudio sobre los consumos de energía (en miles de kilowatts - hora) y el número de áreas de trabajo en un conjunto de Empresas Privadas. Para este estudio se selecciona una muestra aleatoria de 10 Empresas Privadas, en la cual se obtuvo los siguientes resultados: (ver cuadro) Se solicita: a. Estimar la ecuación de regresión lineal. b. Evaluar el consumo (en miles de kilowatts-hora), para una Empresa que tiene 6 áreas de trabajo.

SALIDA DEL MEGASTAT: Regression Analysis

r² 0.857 n 10 r 0.926 k 1 Std. Error 2.021 Dep. Var. Consumo de energía (miles de kw)

ANOVA table

Source SS df MS F p-value Regression 196.2333 1 196.2333 48.06 .0001 Residual 32.6667 8 4.0833

Total 228.9000 9 Regression output

confidence interval

variables coefficients std. error t (df=8) p-value 95% lower 95% upper

Intercept -1.8889 1.5763 -1.198 .2651 -5.5237 1.7460

Número de áreas de trabajo 3.2222 0.4648 6.932 .0001 2.1504 4.2941

APLICACIÓN 02:

El Administrador General de Vencedores S.A. está haciendo un estudio entre el gasto de mantenimiento de sus computadoras y el año de antigüedad de dichas máquinas. Para esto recurre a la oficina de Mantenimiento y Contabilidad obteniendo la siguiente información: (ver cuadro) Se solicita: a. Estimar la ecuación de regresión lineal. b. Estimar cuánto sería el costo de mantenimiento de una computadora que tiene 7 años. c. Calcular e interpretar el valor del coeficiente de regresión lineal “r”

APLICACIÓN 03: El jefe de personal de una empresa comercializadora cree que existe una relación entre la tardanza al trabajo y la edad del trabajador. Con el propósito de estudiar el problema tomó en cuenta la edad de diez trabajadores escogidos al azar y contabilizó los días de tardanza durante todo un año. Los resultados fueron como se observa en la tabla que sigue: Se solicita: a. Construir el diagrama de dispersión. b. Obtener la ecuación de la recta de regresión. c. Si un docente tiene 38 años, averiguar ¿Cuántas tardanzas se

espera que tenga al año? d. Si un trabajador tiene 3 tardanzas al año, averiguar ¿Qué edad se

puede esperar que tenga este trabajador? e. Determinar el grado de relación entre las variables en estudio.

Nº de casa Número de

áreas de trabajo

Consumo de energía (miles de

kw)

1 2 4

2 4 11

3 4 10

4 3 5

5 1 3

6 3 6

7 1 3

8 5 18

9 5 14

10 3 7

Total

Nº de maquina

Tiempo de antigüedad

(años)

Costo de mantenimiento.

($)

1 1 14

2 1 16

3 2 20

4 2 24

5 3 30

6 3 28

Total

Nº Edad en

años Nº de Tardanza en

un año

1 25 20

2 50 5

3 35 10

4 20 20

5 45 8

6 50 2

7 30 15

8 40 12

9 62 1

10 40 8

Total


PARTE 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La Distribución Binomial es una las distribuciones de probabilidad discretas más importantes, la cual tiene muchas aplicaciones en Ingeniería, Administración, etc.

Esta distribución se origina en los Ensayos o Experimentos Bernoulli que consiste en realizar 1 experimento, con la obtención de dos resultados posibles, llamados “éxito” y “fracaso”. Ejemplos: 1. Lanzar una moneda. 2. Rendir un examen. Ensayos de Bernoulli 3. Observar el sexo de un recién nacido. 4. Encender una máquina, etc.

Experimento Binomial: Es aquel que consiste en realizar “n” veces ensayos de Bernoulli, en el cual se debe cumplir lo siguiente: a. Cada ensayo tienen solo dos resultados posibles. b. Los ensayos son independientes. c. La probabilidad de éxito “p” es constante en cada ensayo.

Esta distribución tienen las siguientes características: 1. Su variable aleatoria está definida como: X: Número de éxitos en “n” ensayos. 2. Su recorrido o rango es: Rx = {0,1,2,3,4,5, …, n} 3. Su función de probabilidad está dada por:

4. Sus parámetros son : n: Número de veces que se repite el experimento o tamaño de muestra. p: Probabilidad de éxito en cada uno de los ensayos o proporción de interés.

5. Su notación es : X B ( n, p ) 6. Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente

APLICACIÓN CON MEGASAT:

APLICACIÓN 01: En el almacén de la Empresa MAESTROS, hay 12 artículos eléctricos de los cuáles 3 de ellos son defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 5 a partir del grupo. Cuál es la probabilidad de que:

a. Exactamente 1 sea defectuoso. b. Ninguno sea defectuoso. c. Menos de 2 sean defectuosos. d. Más de 3 sean defectuosos.

A. P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla B. P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a ) C. P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 ) D. P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) - P ( X ≤ a - 1 ) E. P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 ) F. P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 ) G. P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )


SOLUCIÓN:

Binomial distribution

5 n

0.25 p

cumulative

X P(X) probability

0 0.23730 0.23730

1 0.39551 0.63281

2 0.26367 0.89648

3 0.08789 0.98438

4 0.01465 0.99902

5 0.00098 1.00000

1.00000

1.250 expected value

0.938 variance

0.968 standard deviation

APLICACIÓN 02: En la Universidad Privada del Norte – Escuela de Postgrado se está aplicando un nuevo método de enseñanza del aprendizaje del Idioma Portugués. Después de completar con la aplicación de este método se evalúa que el 1% salió desaprobado. El director académico selecciona en forma aleatoria estudiantes al azar de la Universidad: a. ¿Cuál es la probabilidad de que exista más de 3 desaprobados? b. ¿Cuál es la probabilidad de que exista menos de 3 desaprobados? c. ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 2 y 4 desaprobados inclusive?

0.00

0.20

0.40

0.60

0 1 2 3 4 5

P(X

)

X

Binomial distribution (n = 5, p = 0.25)


APLICACIÓN 03: Según información de Secretaría Académica de la UPN, el 65% de los estudiantes son de género masculino y el resto del género femenino. Para la aplicación de una encuesta por parte de la asistenta social, se selecciona aleatoriamente a 10 estudiantes: a. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar a menos de 5 hombres? b. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar más de 5 hombres? c. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar a 3 y 8 hombres inclusive? d. ¿Cuál es la probabilidad de encuestar a ningún hombre?

2. LA DISTRIBUCIÓN POISSON

La Distribución de Poisson es otra de las distribuciones de probabilidad discretas más importantes porque se aplica en muchos problemas reales.

Esta distribución se origina en problemas que consisten en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo (unidad de medida). Ejemplos:

1. Número de manchas en un metro cuadrado de un esmaltado de un refrigerador. 2. Número de vehículos que llegan a una estación de servicios durante una hora. 3. Número de llamadas telefónicas en un día. 4. Número de clientes que llegan a un banco durante las 10 y 12 p.m. 5. Número de bacterias en un cm

3 de agua.

Esta distribución tienen las siguientes características: - Su variable aleatoria está definida como:

X: Número de ocurrencias en 1 unidad de medida (Tiempo, Volumen, Superficie, etc)

- Su recorrido o rango es: Rx = {0,1,2,3,4,5, ….}

Su función de probabilidad está dada por:

Su parámetro es λ: tasa promedio de ocurrencia en 1 unidad de medida.

Su notación es: X P( λ )

Uso de tabla: Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente APLICACIÓN CON MEGASTAT APLICACIÓN 01 En un estudio de Satisfacción del Cliente, se determinó que las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de caja, con una tasa promedio de 24 personas por hora, durante la hora punta comprendida entre 11:00 am y 12:00 am de cierto día. El jefe administrativo desea calcular las siguientes probabilidades:

H. P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tabla I. P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a ) J. P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 ) K. P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) - P ( X ≤ a - 1 ) L. P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 ) M. P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 ) N. P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )


a. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 personas durante esa hora? b. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 5 personas durante esa hora? c. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 5 personas durante esa hora? d. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 8 personas durante esa hora?

SOLUCIÓN:

Poisson distribution

24 mean rate of occurrence

cumulative

X P(X) probability

0 0.00000 0.00000

1 0.00000 0.00000

2 0.00000 0.00000

3 0.00000 0.00000

4 0.00000 0.00000

5 0.00000 0.00000

6 0.00001 0.00001

7 0.00003 0.00005

8 0.00010 0.00015

9 0.00027 0.00043

10 0.00066 0.00108

11 0.00144 0.00252

12 0.00288 0.00540

13 0.00531 0.01072

14 0.00911 0.01983

15 0.01457 0.03440

16 0.02186 0.05626

17 0.03086 0.08713

18 0.04115 0.12828

19 0.05198 0.18026

20 0.06238 0.24264

21 0.07129 0.31393

22 0.07777 0.39170

23 0.08115 0.47285

24 0.08115 0.55400

25 0.07791 0.63191

26 0.07191 0.70382

27 0.06392 0.76774

28 0.05479 0.82253

29 0.04534 0.86788

30 0.03628 0.90415

0.90415

24.000 expected value

24.000 variance

4.899 standard deviation


APLICACIÓN 02 Si la secretaria de una Escuela de Postgrado, recibe un promedio de 2 llamadas cada 3 minutos por motivos académicos. Calcular lo siguiente:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba más de 3 llamadas en 3 minutos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba menos de 2 llamadas en tres minutos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba exactamente 2 llamadas en tres minutos? d. ¿Cuál es la probabilidad de reciba 5 llamadas en 6 minutos? e. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba menos de 2 llamadas en un minuto?

APLICACIÓN 03 En un estudio por parte del Ministerio de Transporte y Comunicaciones (MTC), se ha determinado que en la carretera panamericana con destino a Lima, hay en promedio 20 accidentes por semana (7 días), calcular las siguientes probabilidades:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana no haya ningún accidente? b. ¿Cuál es la probabilidad de que en dos semanas haya 10 accidentes? c. ¿Cuál es la probabilidad de que en 1semana ocurra menos de 15 accidentes? d. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día haya tres o menos accidentes? e. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día haya tres o más accidentes?

APLICACIÓN 04 En el Centro de impresiones de la UPN se comete dos fallas en las impresiones debido a causas externas cada vez que se imprimen 2,500 hojas como promedio. Con esta información determinar:

a. La probabilidad de que en una impresión de 500 hojas, ocurra uno más errores. b. La probabilidad de que no ocurrirán errores en una impresión de 50 hojas.

APLICACIÓN 05 Los clientes de una empresa llegan a la tienda de venta aleatoriamente, a una tasa de 300 personas por hora. Calcular la probabilidad de que:

a. Una persona llegue durante un periodo de 1 minuto. b. Por lo menos dos personas lleguen durante un periodo dado de un minuto. c. Ninguna persona llegue durante un periodo de 1 minuto.

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

P(X

)

X

Poisson distribution (µ = 24)


3. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal, llamada también Curva de Gauss (en recuerdo al científico que la descubrió), es la distribución de probabilidad más importante en la Estadística y por ende del cálculo de Probabilidades.

Esta distribución de probabilidad es importante porque las variables aleatorias continuas (peso, edad, talla, producción, gasto en publicidad, temperatura, ventas, PBI, ganancias, etc.) que son variables que más se evalúan en una investigación científica o investigación de mercados se aproximan a esta distribución de probabilidad.

También es importante porque se utiliza como aproximación de las distribuciones discretas tales como: la Binomial, la Poisson, etc.

CARACTERÍSTICAS

1. Tiene como parámetros a y 2. Su función de probabilidad está dada por:

Xxf

X

,2

1)(

2

2

1

Además: - +

- < < + y > 0

3. El promedio puede tomar valores entre – y + mientras que > 0, entonces existen infinitas curvas normales.

4. Esta función de probabilidad es asintótica con respecto al eje X, (a pesar de tener recorrido infinito, la curva nunca toca el eje X); además es unimodal y es simétrica con respecto a la

media . 5. El área bajo esta función o curva es 1 ó 100%, de la misma manera se sabe que las áreas

comprendidas bajo la curva normal son:

1. = 68.3%

2. 2 = 95.5%

3. 3 = 99%

- 3 2 1 1 2 3 +

5. Para calcular probabilidades en la distribución normal se necesitarán infinitas tablas de probabilidad.

4. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

1. Es una distribución a la cual se le ha modificado la escala original; esta modificación se ha

logrado restando la media al valor de la variable original y dividiendo este resultado por , la nueva variable se denota por Z y recibe el nombre de variable estandarizada


ZX

2. La modificación de la escala ha permitido elaborar una tabla para el cálculo de las probabilidades; si esto no hubiera sido posible, sería necesario construir una tabla para

cada valor de y . 3. La función de densidad de la variable estandarizada es:

f z ez

( )

1

2

1

2

2

4. El promedio (valor esperado) y la varianza de Z son: E(Z) = 0 , V(Z) = 1 5. Notación:

Si X es v.a. continua distribuida normalmente con media y varianza 2, la denotamos por:

X N( , 2).

Aplicando esta notación a la variable normal estandarizada Z, escribimos:

Z N(0 , 1), esto se interpreta como, Z tiene distribución normal con media 0 y varianza 1. 6. La superficie bajo la curva normal Z estandarizada también es igual a 1. Por consiguiente,

las probabilidades pueden representarse como áreas bajo la curva normal estandarizada entre dos valores.

7. Debido a que la distribución normal es simétrica muchas de las tablas disponibles contienen sólo probabilidades para valores positivos de Z.

USO DE TABLA Si se conoce el comportamiento de una variable, es decir, se sabe que tienen una distribución normal, para calcular las diferentes probabilidades se tiene que estandarizar la variable. Una vez estandarizada la variable, recién utilizar la tabla de la distribución normal estandarizada o tabla Z.

FÓRMULAS:

a. )()()(

aZP

axPaxP

b. )(1)(1)(1)(

aZP

axPaxPaxP

c. )()()()()(

axP

bxPaxPbxPbxaP

5. APLICACIÓN CON MEGASTAT APLICACIÓN 01: El rendimiento académico de los estudiantes de una Universidad, tiene una distribución normal con media igual a 15 y varianza igual a 4. Si se selecciona un estudiante de esta Universidad, encuentre la probabilidad de que: a. El rendimiento sea menor que 16. b. El rendimiento sea menor que 14. c. El rendimiento este entre 14 y 18. d. El rendimiento sea mayor 15.5.

SOLUCIÓN


Reemplazando valores:

APLICACIÓN 02: Los salarios mensuales de los trabajadores administrativos tiene un comportamiento normal cuya media es S/. 2100 y una desviación estándar de S/. 50. Cuántos trabajadores tienen salarios: a. Menores de S/. 2150. b. Menores de S/. 2200. c. Mayores a S/. 2180. d. Entre 2080 y 2150 soles.

APLICACIÓN 03: El tiempo de duración de los focos eléctricos de los cañones proyectores tienen una distribución normal con una media de 1000 horas y una desviación estándar de 250 horas. Determinar la probabilidad de que: a. Un foco tomado al azar se queme antes de las 990 horas de funcionamiento. b. Un foco se queme entre 980 y 1120 horas de funcionamiento. c. Un foco dure más de 998 horas.

APLICACIÓN 04: NEUMA Perú, es una empresa que produce llantas para automóviles en nuestro país. La vida útil de estas llantas se distribuye aproximadamente como una normal con media y desviación estándar iguales a 32000 y 1000 millas respectivamente. Esta empresa quiere exportar estas llantas por lo que empieza a hacer ciertos cálculos acerca de la calidad de estas llantas, para lo cual se hace las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta producida por esta empresa tenga una vida útil de 31900 millas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una llanta producida por esta empresa tenga una vida útil desde 31000 y

33000 millas? c. Si la empresa fija una garantía de 30000 millas. ¿Qué porcentaje de esta producción necesitará ser

reemplazada?


PARTE 6: ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

1. ESTIMACION PUNTUAL Es aquel único valor que se obtiene de la muestra, es decir, que para su cálculo se debe tener

información muestral. Las fórmulas para calcular o realizar estas estimaciones son las siguientes:

PROMEDIO VARIANZA PROPORCIÓN

PARÁMETRO

2 P

ESTIMACIÓN PUNTUAL

2. ESTIMACIÓN INTERVÁLICA

Al realizar una estimación, siempre se va a cometer un error. Entonces, cuando estimamos un parámetro nunca va a ser exacto, ese valor será mayor o menor al verdadero. Entonces se obtendrá un intervalo de valores posibles. Ese intervalo se llama estimación interválica. A esa diferencia mayor o menor se llama error de estimación, el cual está en relación directa con la variabilidad del estimador y el nivel de confianza determinado por el investigador. La estimación interválica para un parámetro en general, está dada por:

2/2/ˆˆ ZZ

Error de Estimación Error de estimación

También se puede escribir de la siguiente manera:

2/ˆ: Z

Para determinar este intervalo se necesita de: a. La estimación puntual. b. La desviación estándar del estimador. c. Nivel de confianza, el cual será repartido para cada lado del intervalo.

n

x

x

n

i

i 1̂

1

)(

ˆ1

2

22

n

xx

s

n

i

i

n

apP ˆ

ESTIMACIÓN: Es el proceso mediante el cual se intenta determinar el valor del parámetro de la

población a partir de la información de una muestra. Al realizar una estimación siempre se va a

cometer un error. Existen dos tipos de estimación:

A. ESTIMACIÓN PUNTUAL B. ESTIMACIÓN INTERVÁLICA


FÓRMULAS DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA

I. INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL PROMEDIO POBLACIONAL

A. Si la muestra (n) es mayor de 30 y la varianza poblacional es conocida:

n

Zx

2/

:

B. Si la muestra (n) es menor o igual a 30 y la varianza poblacional es desconocida:

n

stx

n )1,2/(:

II. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL

A. Si la proporción poblacional se conoce:

n

PQZpP

2/:

B. Si la proporción poblacional No se conoce: (entonces hay que calcularla en la muestra)

n

pqZpP

2/:

III. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

A. Si las muestras son de tamaño n1>30 y n2>30 (grandes) y además las varianzas poblacionales se CONOCEN:

2

2

2

1

2

1

2/2121)(:

nnZxx

B. Si las muestras son de tamaño n1<30 y n2<30 (pequeñas) y además las varianzas poblacionales DESCONOCIDAS:

)11

()(:21

2

)2,2/(2121 21 nnstxx cnn

Donde:

2nn

s)1n(s)1n(s

21

2

22

2

112

c

, se llama varianza mancomunada

IV. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES:

A. Si p1 y p2 se determinan a partir de muestras:

2

22

1

11

2/2121)(:

n

qp

n

qpZppPP


3. APLICACIÓN UTILIZANDO MEGASTAT

RESPECTO AL PROMEDIO: APLICACIÓN 01: Los estudiantes de Administración de una Universidad realizaron un trabajo de aplicación respecto a los sueldos de los trabajadores de la mina YANACOCHA, para lo cual seleccionaron una muestra aleatoria de 24 trabajadores en la cual se determinó que el sueldo promedio semanal es de $160 y una varianza de 10 dolares

2.

a. Calcular un intervalo de confianza para el sueldo promedio con el 90% de confianza. b. Calcular un intervalo de confianza para el sueldo promedio con el 95% de confianza.

SOLUCIÓN:


APLICACIÓN 02: La Gerencia de la empresa HAMILTON LIGH está interesado en conocer el contenido de nicotina promedio de su marca de cigarrillos. Para lo cual selecciona una muestra de 14 cigarros obteniendo un promedio de 25 miligramos y una varianza de 16 miligramos

2.

a. Calcular un intervalo de confianza para el sueldo promedio con el 99% de confianza. b. Calcular un intervalo de confianza para el sueldo promedio con el 95% de confianza. c. Calcular un intervalo de confianza para el sueldo promedio con el 90% de confianza.

APLICACIÓN 03: Nuestro amigo BRUNO se dedica al negocio de los AUTOS, el sospecha que su margen de beneficios mensual promedio por auto vendido está por debajo del promedio nacional de S/. 700. Para evaluar su margen de beneficio toma información (muestra) respecto a 8 meses cuya información es la siguiente:

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 Promedio Varianza

BENEFICIO 800 840 780 850 810 790 805 800

a. Calcular un intervalo de confianza para el margen de beneficio promedio con el 99% de confianza. b. Calcular un intervalo de confianza para el margen de beneficio promedio con el 95% de confianza. c. Calcular un intervalo de confianza para el margen de beneficio promedio con el 90% de confianza.

RESPECTO A LA PROPORCIÓN: APLICACION 04: Según un vendedor de automóviles, de todos los vehículos adquiridos por los docentes universitarios, en más del 80% de los casos el color es elegido por la mujer. Para verificar esta hipótesis se toma una muestra de 400 parejas que han comprado autos nuevos durante el último año, hallándose que en 310 casos el color fue en efecto elegido por la dama. Calcular:

a. El intervalo confidencial para la proporción considerando el 99 % de confianza. b. El intervalo confidencial para la proporción considerando el 90% de confianza.

SOLUCIÓN


RESPECTO A LA DIFERENCIA DE PROMEDIOS: 1. La SUNAT está haciendo auditoría en ciertos grifos gasolineros. Selecciona en forma aleatoria 05 grifos de 2

empresas diferentes (Texaco y Repsol). Los ingresos en miles de soles semanales se presentan a continuación: TEXACO : 90 85 95 76 80 REPSOL : 84 87 90 92 90

a. Estimar un intervalo de confianza para la diferencia de medias (DIFERENCIA DE LOS INGRESOS PROMEDIOS) con el 90% de confianza.

b. Estimar un intervalo confidencial para la diferencia de medias (DIFERENCIA DE LOS INGRESOS PROMEDIO) con el 99% de confianza.

RESPECTO A LA DIFRENCIA DE PROPORCIONES: 1. Se toman muestras independientes para determinar el la proporción de personas que esta a favor de un

impuesto al combustible. La primera muestra consiste en 100 personas que solamente trabajan en Trujillo y la segunda muestra es de 100 personas del cercado de Trujillo. Se determina que 50 y 60 personas de las respectivas muestras están de acuerdo con el aumento.

a. Calcular un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones considerando el 99% de confianza.

b. Calcular un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones considerando el 90% de confianza.


PARTE 7: DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA 1. MUESTREO

2. TÉCNICAS DE MUESTREO

3. DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA Para determinar el tamaño, primero hay que identificar la variable a estudiar (cuantitativa o cualitativa). Luego depende de cuatro factores o elementos que son los siguientes:

PARA UNA VARIABLE CUANTITATIVA a. Un nivel de confianza: es adoptado por el investigador, el cual puede ser 90%, 95% o 99% y que

origina el valor de Z. b. El error de estimación (E): es fijado por el investigador c. La desviación estándar o varianza: son valores que se obtienen por estudios anteriores, por la

muestra piloto o por la distribución de la población. d. El Tamaño de la población (N): generalmente no se conoce. PARA UNA VARIABLE CUALITATIVA a. Un nivel de confianza: es adoptado por el investigador, el cual puede ser 90%, 95% o 99% y que

origina el valor de Z. b. El error de estimación (E): también es fijado por el investigador c. La proporción poblacional (P): son valores que se obtienen por estudios anteriores, por la muestra

piloto y si no se conoce asumir p=0.5. d. El Tamaño de la población (N): generalmente no se conoce.

Es una TÉCNICA ESTADÍSTICA por la cual se realizan inferencias a la población examinando solo

una parte de ella, ésta parte recibe el nombre de MUESTRA, la cual debe ser estadísticamente

representativa y adecuada.

Ventajas: Desventajas:

Costo reducido • Presencia del error de muestreo

Mayor rapidez y exactitud • Presencia de gran variabilidad de las observaciones.

Minimiza los costos.

Existen 2 tipos de técnicas de muestreo:

A. TECNICAS PROBABILÍSTICAS: B. TECNICAS NO PROBABILÍSTICAS

Muestreo aleatorio simple • El muestreo a criterio o juicio.

Muestreo aleatorio estratificado • El muestreo por cuotas.

Muestreo sistemático • El muestreo por conveniencia.

Muestreo por conglomerados • etc.

Etc.


5. FÓRMULAS PARA DETERMINAR EL TAMAÑO DE MUESTRA

VARIABLE Cualitativa

(Proporción Poblacional) Cuantitativa

(Promedio Poblacional)

POBLACIÓN INFINITA

(Cuando no se conoce N)

2

2

0

)1(

E

PPZn

2

22

0E

SZn

POBLACIÓN

FINITA (Cuando se conoce N)

)1()1(

)1(22

2

PPZNE

NPPZn

222

22

)1( SZNE

NSZn

Z= es el valor de la distribución normal estandarizada para un nivel de confianza fijado por el investigador.

S= Desviación estándar de la variable fundamental del estudio o de interés para el investigador. Obtenida por estudios anteriores, muestra piloto, criterio de experto o distribución de la variable de interés.

P= es la proporción de la población que cumple con la característica de interés.

E= % del estimador o en valor absoluto (unidades). Fijada por el investigador.

N= Tamaño de la población.

6. PASOS A SEGUIR PARA DETERMINAR LA MUESTRA ÓPTIMA

A. Identificar el tipo de variable a analizar.

B. Asumir que la población es infinita y aplicar la fórmula respectiva señalada anteriormente. Esta muestra se denomina muestra previa.

C. Luego si se conoce el tamaño de la población N, obtener la fracción de muestreo N

n0

Si %50 N

n, entonces la muestra definitiva es n0 (muestra previa)

Si %50 N

n, entonces se ajusta la muestra.

D. Para ajustar la muestra se tiene que aplicar la siguiente fórmula:

N

n

nn

0

0

1

, n es la muestra final.

ESTIMACIÓN DE LOS VALORES A APLICAR EN LAS FÓRMULAS

A. Valor de Z: es el valor de la abscisa de la distribución normal estandarizada teniendo en

cuenta el nivel de confianza fijado por el investigador, por lo tanto este valor se encuentra en las tablas estadísticas respectivas. Para hacer el trabajo menos tedioso, presentamos a continuación los diferentes valores de Z


TABLA N° 01

VALORES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA(Z)

Nivel de confianza

(1-)

Nivel de significancia

()

Valor Z

Bilateral Unilateral

90% = 0.90 95% = 0.95 98% = 0.98 99% = 0.99

10% = 0.10 5% = 0.05 2% = 0.02 1% = 0.01

1.64 1.96 2.32 2.57

1.28 1.64 2.05 2.32

B. Cálculo del Valor de P: Se calcula este valor cuando la variable de estudio es cualitativa.

TABLA N° 02

COMPORTAMIENTO DE P y Q

P Q=1-P PQ

0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95

0.95 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05

0.0475 0.090 0.160 0.210 0.240 0.250 0.240 0.210 0.160 0.090 0.0475

C. Cálculo del valor de la varianza (Si la variable es CUANTITATIVA): este valor es obtenida

por estudios anteriores, muestra piloto, criterio de experto o distribución de la variable de interés.

D. Cálculo del error de estimación: generalmente se asume 2%, 5%, y 8% de error. Este valor

es fijado por el investigador. Es la diferencia entre el parámetro (población) y el estimador

(muestra). Es decir: ooE ˆ .Este error puede ser absoluto o relativo. Si E=±0.35 se

denomina error absoluto. Si consideramos un error del 10% de la media, es decir, E=10%

( x )= 0.10 (3.5)=0.35 se denomina error relativo.

7. APLICACIÓN UTILIZANDO MEGASTAT APLICACIÓN 01 ¿Cuál será el tamaño de corridas de producción adecuado si se requiere estimar el tiempo promedio para efectuar la producción de un producto químico con una confianza del 95%? Además en un estudio piloto se encontró 5.3x horas y s = 2.2 horas y además el investigador asume E = 0.35 horas.

APLICANDO MEGASTAT


APLICACIÓN 02 El Director de la sección de control de la rabia del Dpto. de salud pública de la ciudad de Chiclayo desea obtener una muestra de los registros de dicho Dpto. acerca de las mordidas de perro reportadas durante el año anterior, para estimar la edad media de las personas mordidas. El director desea una seguridad del 95%, con un E=2.5 y en base a estudios anteriores conoce que la desviación estándar es de 15 años. ¿De qué tamaño debe ser la muestra?

APLICACIÓN 03 Se desea estimar el tiempo medio de duración de artefactos eléctricos (focos) producidos por la empresa PHILIPS. Se sabe por un estudio piloto de 10 focos que la desviación estándar del tiempo de duración es de 20 meses. ¿De qué tamaño debe ser la muestra para estimar el tiempo medio de duración con un error máximo de 4 meses y con una confianza del 95%?

APLICACIÓN 04 Por estudios científicos se sabe que el Coeficiente de Inteligencia promedio para jóvenes según la escala de Weshler es de 100 puntos con una desviación estándar de 15 puntos. Determinar el tamaño de muestra para realizar una investigación sobre niveles de inteligencia en la UPN, si se admite un error del 2% del promedio y una seguridad del 95%.

APLICACIÓN 05 Se desea estimar la proporción de jóvenes de la ciudad de CHICLAYO que hacen uso de Internet como mínimo una hora diaria con un 95% de confianza. De estudios anteriores se conoce que P=0.70 y se desea un E = 5%. ¿Cuál debe ser el tamaño de muestra?


PARTE 8: PRUEBA DE HIPÓTESIS 1. DEFINICIONES PRELIMINARES

a. HIPÓTESIS: es una respuesta a priori a un problema. b. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA: en un enunciado acerca del valor de un parámetro

poblacional. c. PRUEBA DE HIPOTESIS: es un procedimiento basado en la información muestral y en la

teoría de probabilidad, para determinar si una hipótesis estadística debe ser aceptada o rechazada.

2. CLASES DE HIPÓTESIS

2.1. HIPÓTESIS NULA.

Se denota por Ho.

Es una afirmación o enunciado tentativo que se realiza acerca del valor de un parámetro poblacional.

Por lo común es una afirmación acerca del parámetro de población cuando toma un valor específico.

2.2. HIPÓTESIS ALTERNATIVA.

Se denota por H1.

Es una afirmación o enunciado contraria a la presentada en la hipótesis nula. 3. ERRORES QUE SE COMETEN EN UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS:

Decisión posible Ho verdadera Ho falsa

Aceptar Ho Decisión correcta Error tipo II

Rechazar Ho Error tipo I Decisión correcta

Error Tipo I:

•Se comete este error cuando se rechaza la hipótesis nula, cuando es verdadera.

•Se denota por α = P(Rechazar Ho/Ho es verdadera)

Error Tipo II:

•Se comete este error cuando se acepta la hipótesis, cuando es falsa.

•Se denota por β = P(Aceptar Ho/Ho es falsa)


5. TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS:

A. PRUEBA BILATERAL O PRUEBA DE DOS COLAS

B. PRUEBA UNILATERAL O PRUEBA DE UNA SOLA COLA:

6. ETAPAS DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS:

Ho: = 0 H1: 0

•Prueba de cola inferior o izquierda

Ho: = 0

H1: < 0

•Prueba de cola superior o derecha

Ho: = 0 H1: > 0

/2 /2

MÉTODO TRADICIONAL

1. Plantear la hipótesis nula y alternativa. (Ho y H1) 2. Especificar el nivel de significancia (generalmente la plantea el

investigador). (α =0.05, 0.01) 3. Calcular un valor experimental: Estadístico de prueba que debe

ser especificado en términos de un estimador del parámetro a probar.

4. Calcular el valor crítico: valor que se encuentra en la tabla de probabilidades, que representa el valor que determinará la región de aceptación y rechazo.

5. Tomar la decisión de aceptar o rechazar Ho. 6. Dar conclusión respectiva.

MÉTODO MODERNO

1. Plantear la hipótesis nula y alternativa. (Ho y H1) 2. Observar el valor p (significancia)

Si p< 0.05 RECHAZAR Ho

Si p ≥ 0.05 ACEPTAR Ho


8. FÓRMULAS DE ALGUNOS ESTADÍSTICOS DE PRUEBA

FÓRMULAS DE LOS ESTADÍSTICOS DE PRUEBA

I. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL PROMEDIO POBLACIONAL:

A. Si n es mayor de 30 y la varianza poblacional es conocida: Estadístico de prueba:

n

xZ

2/ZZ

t (distribución normal)

B. Si n es menor o igual a 30 y la varianza poblacional es desconocida: Estadístico de prueba:

n

s

xt

)1,2/(

nttt

(distribución t de student)

II. PRUEBA DE HIPÓTESS PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL

Estadístico de prueba:

n

PQ

PpZ

Esta fórmula es tanto para muestras grandes como para muestras pequeñas.

III. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

C. Si las muestras son de tamaño n1>30 y n2>30 (grandes) y además las varianzas poblacionales se CONOCEN: Estadístico de prueba:

2

2

1

1

21)(

nn

DxxZ

D. Si las muestras son de tamaño n1<30 y n2<30 (pequeñas) y además las varianzas poblacionales DESCONOCIDAS:

21

21

11

)(

nnS

Dxxt

c

(distribución t de student)

Donde :

, se llama varianza mancomunada

IV. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES:

C. Si p1 y p2 se determinan a partir de muestras:

2

22

1

11

21)(

n

qp

n

qp

DppZ

Esta fórmula es tanto para muestras grandes como para muestras pequeñas.

2/ZZ

t

2/ZZ

t

)1,2/(

nttt

2nn

s)1n(s)1n(s

21

2

22

2

112

c

2/ZZ

t


9. PRUEBA DE HIPÓTESIS CON MEGASTAT

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN


PRUEBA T DE STUDENT PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES

PRUEBA T DE STUDENT PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES

PRUEBA Z PARA COMPARAR PROPORCIONES

10. APLICACIÓN UTILIZANDO MEGASTAT APLICACIÓN 01: Las ganancias en miles de dólares de 10 centros educativos de nuestro medio han producido la siguiente información: 15.8, 12.7, 13.2 16.9, 10.6, 18.8, 11.1, 14.3, 17.0 y 12.5. Otro conjunto de centros educativos fueron evaluados también respecto a sus ganancias en miles dólares, obteniendo los siguientes resultados: 24.9, 23.6, 19.8, 22.1, 20.4, 21.6, 21.8 y 22.5


Realizar una prueba de hipótesis para verificar si las ganancias de este último grupo son superiores a

las ganancias de las empresas de nuestro medio. Para probar esta hipótesis utilice un = 0.05. SOLUCIÓN: (Aquí se utiliza la prueba T para muestras independientes)

Hypothesis Test: Independent Groups (t-test, pooled variance)

T1 T2

14.290 22.088 mean

2.738 1.637 std. dev.

10 8 n

16 df

-7.7975 difference (T1 - T2)

5.3911 pooled variance

2.3219 pooled std. dev.

1.1014 standard error of difference

0 hypothesized difference

-7.08 t

2.61E-06 p-value (two-tailed)

APLICACIÓN 02 Jorge Meléndez, Administrador del BCP, está interesado en saber si existe diferencia significativa entre los tiempos de atención al cliente de los mismos empleados que trabajan en los dos turnos: mañana y tarde. Al respecto, ayer personalmente registró los tiempos que utilizaron los empleados para atender a sus clientes en ambos turnos. Los tiempos en minutos que registró fueron los siguientes:

Mañana 2.10 4.10 4.70 3.70 6.00 3.90

Tarde 4.00 4.50 3.70 4.00 4.10 3.45

A la luz de estos resultados, ¿a qué conclusión llegó Jorge Meléndez? Utilice un nivel de confianza del 95%.


SOLUCIÓN: (Aquí se utiliza la prueba T para muestras pareadas)

Hypothesis Test: Paired Observations

0.00000 hypothesized value

4.08333 mean Mañana

3.95833 mean Tarde

0.12500 mean difference (Mañana - Tarde)

1.30987 std. dev.

0.53475 std. error

6 n

5 df

0.23 t

.8244 p-value (two-tailed)

APLICACIÓN 03 Un fabricante de microcircuitos está interesado en determinar si dos diseños diferentes producen un flujo de electricidad equivalente. El ingeniero responsable ha obtenido la siguiente información:

Diseño 1 20.3 22.5 23.3 29.1 26.5 22.1 20.8 28.6 23.3 21.5

Diseño 2 23.5 26.5 23.6 21.5 26.4 27.9 22.5 25.5 26.7 23.9

Diseño 3 29.1 26.5 22.1 25.6 23.5 26.5 25.5 26.7 20.3 22.5

Diseño 4 20.3 22.5 25.5 26.7 28.9 17.3 21.5 20.4 27.9 26.5

Con =0.01, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de electricidad entre los dos diseños.

SOLUCIÓN: (Aquí se utiliza análisis de varianza)


One factor ANOVA

Mean n Std. Dev

23.80 10 3.163 Diseño 1

24.80 10 2.089 Diseño 2

24.83 10 2.657 Diseño 3

23.75 10 3.865 Diseño 4

24.30 40 2.944 Total

ANOVA table

Source SS df MS F p-value

Treatment 10.833 3 3.6110 0.40 0.7558

Error 327.266 36 9.0907

Total 338.099 39

APLICACIÓN 04 Una compañía desea estudiar el efecto que tiene la pausa para el café, sobre la productividad de sus obreros. Selecciona 6 obreros y mide su productividad en un día cualquiera (sin pausa para el café), y luego mide la productividad de los mismos 6 obreros en un día que se concede la pausa para el café. Las cifras que miden la

productividad son las que siguen: Con = 0,05. ¿A qué conclusión llegará la compañía?.

TRABAJADOR 1 2 3 4 5 6

Sin pausa 23 35 29 33 43 32

Con pausa 28 38 29 37 42 30

APLICACIÓN 05 En fecha reciente fue descubierto un neurotransmisor cerebral endógeno llamado galanina. Según parece, éste afecta de manera directa el deseo de ingerir alimentos con un alto contenido de grasa. Mientras más alta sea la cantidad de este neurotransmisor de origen natural en un individuo, mayor será el apetito que este sienta por la comida con alto contenido de grasa. Recientemente una compañía farmacéutica desarrolló una sustancia experimental que bloquea la galanina sin alterar el apetito por otros alimentos más saludables (es decir con menos grasas). Un neurocientífico piensa que esa sustancia experimental será muy útil para controlar la obesidad. Se realiza un experimento para lo cual se elige 10 mujeres obesas todas ellas voluntarias y se les administra el medicamento experimental durante 06 meses. Se registra el peso inicial y el peso final (después de 6 meses) de cada persona. Los pesos se presentan en la siguiente tabla. Probar si el uso del medicamento experimental produce pérdida de peso en las personas. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Persona PESO INCIAL (libras) PESO FINAL (libras)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

165 143 175 135 148 155 158 140 172 164

145 137 170 136 141 138 137 125 161 156

15.00

20.00

25.00

30.00

Diseño 1 Diseño 2 Diseño 3 Diseño 4

Comparison of Groups


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS MOYA, R. (1991). Estadística descriptiva. Editorial San Marcos. Lima-Perú. ARON A, ARON E. (2001). Estadística para psicología. Editorial Prentice Hall y Pearson Educación. Buenos Aires. KERLINGER, F.; LEE, H. (2002). Investigación del comportamiento. Editorial McGraw-Hill/Latinoamericana. México 2002. OTINIANO, C. (2007). Guía metodológica de la estadística descriptiva e inferencia. Editorial San Marcos. Primera edición. Lima-Perú.

SANTOS, J. (2009). Diseño de encuestas para estudios de mercado. Técnicas de muestreo y análisis multivariante. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces S.A. HERNANDEZ, R. (2006). Metodología de la investigación. Editorial Mc Graw Hill. Cuarta Edición. México. PÁGINAS WEBS: http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/10descriptiva.htm http://www.fisterra.com/mbe/investiga/10descriptiva/10descriptiva2.pdf

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2013 manual de estadÍstica

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