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Ítalo Rolim Nogueira e Janaína Esmeraldo Rocha
Interpolação por Spline Cúbica e
Método de Integração de Simpson
para Cálculo de Campo Magnético
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC
CENTRO DE TECNOLOGIA – CT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - PET
PLANO BÁSICO: MÉTODOS NUMÉRICOS
Orientadores:
Lucas Chaves Gurgel
Janailson Rodrigues Lima
Tutor:
José Carlos Teles Campos
Autores:
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Índice
Histórico
Motivação
Interpolação
Interpolação polinomial
Método de Lagrange
Método de Newton
Funções spline • Spline cúbica
Integração numérica
Métodos de integração • Regra do Trapézio
• Regra de Simpson
Aplicação em eletromagnetismo
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Histórico
O nascimento do eletromagnetismo se deu no século XIX,
com a clássica experiência do físico dinamarquês Hans
Christian Oersted (1771-1851).
Em 1820, ele verificou que, ao colocar um bussola sob um
fio onde passava uma corrente elétrica, verificava-se um
desvio na agulha dessa bússola. A partir dessa
experiência, Oersted estabeleceu uma relação entre as
propriedades elétricas e magnéticas, dando origem ao
eletromagnetismo.
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Histórico
E assim influenciou os futuros trabalhos de seus
contemporâneos como Michael Faraday, Joseph Henry,
André-Marie Ampère, Jean-Baptiste Biot, Félix Savart,
Carl Friedrich Gauss, Samuel Morse, Heinrich Lenz e
James Clerk Maxwell, entre outros.
Hans Christian Oersted
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Motivação
Lei de Biot-Savart:
Onde: • é uma constante relacionada ao meio
• i é a corrente constante que percorre o fio
• r é a distância do ponto onde será calculado o campo magnético ao ponto do fio que causa o mesmo
• é um infinitesimal do comprimento do fio por onde passa a corrente
• é um vetor unitário na direção do ponto do fio ao ponto onde será calculado o campo magnético
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Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo
finito:
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Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo
finito:
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Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio não-
retilíneo finito:
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Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio não-
retilíneo finito:
Onde:
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Motivação
Cálculo do campo magnético para um fio não-
retilíneo finito:
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Interpolação
Interpolar uma função é aproximá-la por meio de
outra.
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Para quê interpolar?
Conhecemos apenas valores numéricos de uma função, e
precisamos calcular valores de pontos não tabelados.
A função estudada é demasiado trabalhosa para certos
cálculos (diferenciação e integração, por exemplo).
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Tipos de interpolação
Linear
Polinomial
Trigonométrica
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Interpolação polinomial
Conhecendo (n+1) pontos distintos de uma função f(x),
temos os nós da interpolação.
Os nós são base para a função interpoladora g(x), pois
como condição da interpolação tem-se:
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Interpolação polinomial
Graficamente, os nós da interpolação serão pontos
coincidentes nas função f e g. Os intervalos entre os nós
não necessariamente coincidem, e o erro depende do
método utilizado.
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Formas de obter o polinômio interpolador
Com (n+1) nós, é possível obter um polinômio de grau n
que interpola todos os pontos. A fórmula do polinômio
interpolador é:
(n+1) incógnitas
(n+1) equações suficiente
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Formas de obter o polinômio interpolador
Matriz dos coeficientes do sistema linear com
variáveis :
Matriz dos termos independentes:
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Funções da base de Lagrange
Polinômio da base de Lagrange para interpolar
(n+1) pontos:
Assim,
quando
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Funções da base de Lagrange
O polinômio interpolador na forma de Lagrange
têm a seguinte expressão:
Com a base de Lagrange, sempre teremos:
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Método de Newton
O polinômio interpolador de grau n que interpola
(n+1) pontos pelo método de Newton é o seguinte:
Onde representa o operador diferenças
divididas de ordem i entre os pontos ,
com k variando de 0 a i.
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Método de Newton
Cálculo do operador diferenças divididas:
Ordem 0:
Ordem 1:
Ordem 2:
Ordem n:
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Complexidade dos métodos
Método de Lagrange:
Método de Newton:
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Funções spline em interpolação
Dificuldade de interpolar (n+1) pontos em um único
polinômio de grau n.
Na aproximação polinomial por partes, tem-se um
polinômio interpolador para cada intervalo entre nós.
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Spline linear
Aproximação de uma função f por uma função
linear por partes:
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Funções spline em interpolação
A spline cúbica, usa polinômios cúbicos para
interpolar os nós dois a dois.
Características positivas:
Flexibilidade do polinômio cúbico.
Sem picos ou trocas de curvatura abruptas nos nós.
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Spline cúbica
Grafíco de pontos interpolados pro spline cúbica:
2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
20
25
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Spline cúbica
Supondo que f(x) esteja tabelada em (n+1) pontos,
o polinômio interpolante é composto de n
polinômios , um para cada intervalo entre
dois nós.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
5
10
15
20
25
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Spline cúbica
As condições de existência dos polinômios são:
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Spline cúbica
Os polinômios , k de 1 a n, são trabalhados a
partir da seguinte expressão, de forma a simplicar
os cálculos:
4n coeficientes
4n equações
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Spline cúbica
Número de equações obtidas pelas condições de
interpolação:
(n+1) para interpolar f nos nós
(n-1) para ser contínua nos nós
(n-1) para as derivadas de nos nós
(n-1) para as derivadas segundas de nos nós
Total: 4n-2 equações insuficientes
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Spline cúbica
Duas condições em aberto.
Nesta análise as duas equações faltosas foram:
Essa escolha define uma spline natural. Fora do intervalo
delimitado, a spline é linear ou bastante próxima de uma
função linear.
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Spline cúbica
Relacionando todas as condições e fazendo as seguintes
substituições:
as seguintes fórmulas para os coeficientes são obtidas:
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Spline cúbica
Os valores de e de são constantes e nós
conhecemos, mas ainda é necessário descobrir todos
os .
Pela continuidade das derivadas, monta-se o sistema
linear AX = B tal que:
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Spline cúbica
Continuação do sistema linear:
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Spline cúbica
Resolvido o sistema, todos os dados necessários à
determinação dos coeficientes foram encontrados.
Os polinômios da função spline são determinados.
Algoritmo:
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Exemplo de spline cúbica
Para os pontos (1,2), (3,4), (5,6), (10,20), (12,2), (15,24),
(18,88), (20,38) e (30,1) interpolamos uma função cujo gráfico
é o seguinte:
0 5 10 15 20 25 30-40
-20
0
20
40
60
80
100
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Integral de Riemann
A integral de Riemann de uma função f no intervalo
[a, b] é o limite seguinte, desde que ele exista:
Onde satisfazem a =
e onde , para cada i = 1, 2, ..., n e
é arbitrariamente escolhido no intervalo [ ].
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Integral de Riemann
Uma função f que é contínua em um intervalo [a, b]
também é integrável, segundo Riemann, em [a, b].
Isso permite escolher, para conveniência de cálculo,
que os pontos sejam igualmente espaçados em
[a, b] e, para cada i = 1, 2, ..., n, escolher .
Nesse caso,
onde .
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Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais
Suponha que f C[a, b], que a integral de Riemann de g exista em [a, b] e que g(x) não mude de sinal em [a, b]. Então existe um número c em (a, b) tal que:
Quando g(x) , o teorema acima torna-se o usual Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele fornece o valor médio da função f no intervalo [a, b] como:
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Métodos de Integração
Freqüentemente é necessário o cálculo da integral
definida de uma função que não tenha primitiva
explícita ou cuja primitiva não seja fácil de obter.
Para isso, utilizam-se métodos para calcular uma
aproximação da integral.
O método básico envolvido na aproximação é
chamado quadratura numérica. Ele utiliza
polinômios interpoladores de Lagrange.
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Métodos de Integração
Sendo o polinômio interpolador de Lagrange:
Pn(x) =
e seu erro de truncamento:
A fórmula de quadratura aproxima o valor da integral por:
onde n é o grau do polinômio interpolador.
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Regra do Trapézio
Esta regra utiliza pontos igualmente espaçados
juntamente com o polinômio linear de Lagrange:
P1(x) =
Para utilizar a Regra do Trapézio na aproximação
de fazemos:
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Regra do Trapézio
Assim, a fórmula de quadratura fornece:
Como não muda de sinal no intervalo
[ ], podemos aplicar o Teorema do Valor Médio com Peso
para Integrais no termo de erro:
E(f) =
E(f) =
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Regra do Trapézio
Portanto, a Regra do Trapézio fica:
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Regra do Trapézio
Assim, é aproximada pela área de um trapézio:
Como o termo de erro para a regra do trapézio envolve
f(2), esta regra fornece o resultado exato quando
aplicada a qualquer função cuja segunda derivada seja
identicamente zero, ou seja, qualquer polinômio de grau
menor ou igual a um.
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Regra de Simpson
Esta regra resulta da integração em [a, b] do
segundo polinômio interpolador de Lagrange com
pontos igualmente espaçados e com nós:
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Regra de Simpson
Da fórmula de quadratura, temos:
Entretanto, ao deduzir a regra de Simpson dessa
forma, obtemos apenas um termo de erro
envolvendo f(3). Abordando o problema de outra
forma, podemos deduzir um termo envolvendo f(4).
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Regra de Simpson
Suponha que f seja expandida no polinômio de
Taylor de grau 3 sobre . Então, para cada x
[ ], existe um número em com:
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Regra de Simpson
Como nunca é negativo em , o
Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais
implica que:
para algum .
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Regra de Simpson
Mas,
Substituindo as equações acima, temos:
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Regra de Simpson
Mas,
Portanto,
Pode-se mostrar por métodos alternativos que os valores nesta expressão podem ser substituídos por um valor comum em , resultando na Regra de Simpson:
![Page 52: 2010.1 - Interpolação por Spline Cúbica e Método de Integração de Simpson para Cálculo de Campo Magnético.pdf](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050805/55cf9430550346f57ba03592/html5/thumbnails/52.jpg)
Regra de Simpson
Como o termo do erro envolve a quarta derivada
de f, a Regra de Simpson fornece resultados exatos
para polinômios de grau menor ou igual a 3.
Assim, é aproximada pela área:
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Regra do Trapézio x Regra de Simpson
Cálculo da integral definida no intervalo [0,2] de uma
função f(x):
F(x) X2 X4 Sen(x)
Valor Exato 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389
Trapézio 4,000 16,000 1,333 3,326 0,909 8,389
Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421
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Algoritmo
Cálculo do campo magnético para um fio não-
retilíneo finito desenhado por spline cúbica.
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Validação do algoritmo
Para fio retilíneo finito com corrente constante de 2 A:
Pelo método de Simpson:
Campo_Magnetico = 2.677650437111723e-008
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Dificuldades Encontradas
A modelagem matemática e o raciocínio lógico
envolvido nas inúmeras tentativas de previsões de
erros.
O sinal envolvido nos cálculos das contribuições
das parcelas dos campos magnéticos.
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Conclusões
A curva obtida pela spline cúbica simula
adequadamente todos os tipos de curvas.
Os valores obtidos pelo Método de Simpson se
mostraram bastante próximos aos valores reais
com erros percentuais mínimos.
A partir dos pequenos erros obtidos para fios
retilíneos finitos, pode-se validar o método para
fios não-retilíneos.
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Bibliografia
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da
Rocha. Cálculo numérico. São Paulo: MAKRON Books,
1988;
BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise
Numérica. São Paulo: CENGAGE Learning, 2008.
HAYT Jr., William H.; BUCK, John A. Eletromagnetismo.
Rio de Janeiro: LTC, 2003.
SERWAY, Raymond A.; JEWETT Jr., John W. Princípios de
Física: Eletromagnetismo – Volume 3. São Paulo:
CENGAGE Learning, 2004.
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Agradecimentos
A Deus;
À família;
Aos petianos;
A todos os aqui presentes.
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Obrigado pela atenção!