20011128 distancia
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8/18/2019 20011128 Distancia
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IES LEOPOLDO CANO MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS
COMPLEJOS III
Nombre......................................................................................................... Curso-grupo .......... Nº.......
1.- (a) Dado el complejo z=-3+4i, da en forma binómica y representar gráficamente -z, z y 1 /z
(b) Da en forma polar y representa gráficamente el opuesto, el conjugado y el inverso de w=220º.
2.- Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 3+i, la parte real del primero es 2 y su
cociente es imaginario puro.
3.- Calcula: (a) 45
77
2i
ii z
−−= en forma binómica y polar.
(b) 3 z
4.- Dados los números complejos z=1150º , v=9 30º y t = i 31+ , calcula z·v+t 5 .
5.- Halla las razones trigonométricas del ángulo AOB, siendo A el afijo del complejo =12 - 5i y B el
afijo del complejo =8 + 6i.
6.- Halla el módulo y el argumento del complejo)i(
i
º cosº sen z
7575
322
−+
= y da z en forma polar y
binómica.
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IES LEOPOLDO CANO MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS
SOLUCIONES COMPLEJOS III
1.- (a) Dado el complejo z=-3+4i, da en forma binómica y representar gráficamente -z, z y 1 /z
(b) Da en forma polar y representa gráficamente el opuesto, el conjugado y el inverso de w=220º.
(a) z = -3-4i (b) w =2 - - 20º
- z= 3-4i, -w=2 20º+180º=2 200º
i 25
4
25
3
Z
1 −−= ( )20º 2
1
w
1
−=
2.- Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 3+i, la parte real del primero es 2 y su
cociente es imaginario puro.
z = a + bi
w = c + di
z+w=(a+c)+(b+d)i
Re(z)=2⇒ a=2
z+w=3+i⇒
=+=+1
3
d b
ca
id c
ad bc
d c
bd ac)dic()dic(
)dic()bia(
dicbia
w z
2222 +−+
++=
−+−+=
++=
w
z=0+k i⇒ ac+bd=0
Basta resolver el sistema:
=+
=+
=+
=
0
1
3
2
bd ac
d b
ca
a
=−=
⇒=−−⇒=−+⋅
−===
2
1020112
1
1
2
2
12
b
bbb)b(b
bd
c
a
; existen dos soluciones:
−=+=+=−=i1w yi 2 z
2i1w yi 2 z
2 2
11
2
3.- Calcula: (a)45
77
2i
ii z
−−= en forma binómica y polar.
(b) 3 z
(a) 45
77
2i
ii z
−−= 180º 101 i =+−=−
⋅−−
=−
=⋅
−= 10
12
11
2
1
2
1
52
2
745
14
i
i
ii
i
(b) ( ) 210113
36018033
180 , ,k ,r º k º º === ⋅+
W=220º
W=2-20º-W=2200º
1/W
r1
r3
r2
z=-3+4i
-z=3-4iz=-3-4i
1/z
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IES LEOPOLDO CANO MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS
Existen tres ra í ces c ú bicas:
=+==
−====+==
−+
+
+
i r
1 r
i r
2
3
21
2 3
21
1
)º seniº (cos
)º seniº (cos
º º
º º º
º
30030011
11
606011
240603
180120602
60
4.- Dados los números complejos z=1150º , v=9 30º y t = i 31 + , c alcula z·v+t 5 .
t = i 31 + =260º pues 2=+=+ 31| |i 31 y arg( t )= α ⇔
==
23
3
/ sen
tg
α
α
z·v+t 5 z= 1150º ·9 30º +(2 60º )
5 = 9 180º +32 300º =-9+ 32(cos 300 º + i sen 300 º )= == −+−
−− − ii 316169329
2
3
2
1
i 316 7 −=
5.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo AOB, siendo A el afijo del complejo =12 - 5i y B
el afijo del complejo =8 + 6i.
−=
=
−=
⇒−==−+=−=
12
5
13
12
13
5
2251213512512
a tg
a cos
a sen
)i(arga ;)(|i|||α
==
==
==
⇒+==+=+=
4
3
8
6
5
4
10
8
5
3
10
6
2268106868
a tg
b cos
b sen
)i(argb ;|i|||β
sen ( a b − )= 65
56
13
5
5
4
13
12
5
3 =−⋅−⋅=⋅−⋅ a senb cosa cosb sen
cos ( a b − )= 65
33
13
5
5
3
13
12
5
4 =−⋅−⋅=⋅−⋅ a senb sena cosb cos
tg ( a b − )=33
56=
−−
)a b (cos
)a b (sen
Otra forma:
13711411451268 22 =+−=+−=−−+=−= )(|i||)i()i(||| AB α β
Por el teorema del coseno: ) BO Acos(OBOAOBOA AB ⋅⋅⋅−+= 2222
137=169+100 - 2·13·10 ) BO Acos(⋅ 65
33
10132
132
10132
137100169
=⋅⋅=⋅⋅−+
=⇒ ) BOˆ
Acos(
( )65
56
4225
3136
4225
1089422522
65
3311 ===−=−+= −) BO A(cos) BO A(sen
6.- Halla el módulo y el argumento del complejo)i(
i
º cosº sen z
7575
322
−+
= y da z en forma polar y
binómica.
)i(
i
º cosº sen z
7575
322
−+
=)i( º senº cos
º
1515
460
−= = ( )
===−−+−
º
º º
)º (isen)º (cos15
115151
6060 44
475º =
=4(cos 75º + i sen 75º)= ( ) ( )ii 26264
26
4
26
4 ++−=
++−
bˆ
O
B
A
8
12
-5
6
13
10
a b AOB −=
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sen 75º =sen(45º+30º)= sen 45º· cos 30º + cos 45º· sen 30º =4
26
2
1
2
2
2
3
2
2 +=⋅+⋅
cos 75º =cos(45º+30º)= cos 45º· cos 30º - sen 45º· sen 30º = 4
26
2
3
2
2
2
3
2
2 −=⋅−⋅