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2. Resolución

de triángulos

Matemáticas 4º ESO Opción B

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1. Longitud, área, volumen y

semejanza 2. Semejanza y homotecia.

Teorema de Tales 3. Problemas topográficos 4. Razones trigonométricas.

Propiedades 5. Resolución de triángulos

rectángulos

Resolución de triángulos

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1. Longitud, área, volumen y semejanza

AMPLIANDO POLÍGONOS

Aquí tienes dibujados algunos polígonos. Dibuja estos mismos polígonos en las tramas que siguen. Observarás que, al hacerlo, hemos aumentado su tamaño, los hemos ampliado. Mide, en cada caso, el área, el perímetro y los ángulos. Compáralos con el original. ¿Qué permanece?. ¿Qué cambia?.


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AMPLIANDO CUBOS Aquí tienes un cubo de lado (arista) 1. Su superficie es 6 y su volumen 1.

Utilizando cubitos unidad como este construye un cubo de lado 2 y un cubo de lado 3. ¿Qué permanece?. ¿Qué cambia?. Halla las áreas y los volúmenes de los tres cubos. ¿Qué relación existe entre las áreas?. ¿Y entre los volúmenes?.

RAZÓN DE SEMEJANZA

Dos polígonos (o dos sólidos) son semejantes si tienen la misma forma. Dos polígonos (o sólidos) semejantes tienen las siguientes propiedades:

1) Los lados homólogos son proporcionales

Es decir, los cocientes entre sus longitudes son iguales. Este valor común se llama razón de semejanza.


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2AD

D'A'

DC

C'D'

BC

C'B'

AB

B'A' :donde De

AD 2D'A'

BC 2C'B'

DC 2C'D'

AB 2B'A'

Se dice que la razón de semejanza de ABCD a A’B’C’D’ es r = 2 y que la razón de

semejanza de A’B’C’D’ a ABCD es 21r' .

2) Los ángulos homólogos son iguales.

3) Entre los perímetros hay una relación, de forma que el cociente entre los perímetros es

igual a la razón de semejanza. P’ = 2 P

En general: P’ = rP siendo r la razón de semejanza.

4) Entre las áreas hay una relación cuadrática, de forma que el cociente entre las áreas es

igual al cuadrado de la razón de semejanza. A2A' 2 En general: ArA' 2 , siendo r la razón de semejanza.

5) Entre los volúmenes de dos sólidos semejantes hay una relación cúbica, de forma que el

cociente entre los volúmenes es igual al cubo de la razón de semejanza. Osea:

VrV' 3

El volumen de un cubo C’ es 216 veces el volumen de otro cubo C. ¿Cuál es la razón de semejanza?. Si la arista de C’ es 24 cm, ¿cuál es la arista del cubo C?.

AMPLIACIONES Y REDUCCIONES

Con una fotocopiadora podemos hacer ampliaciones y reducciones. Una ampliación del 25% significa que 100 milímetros del original se convierten en 125 milímetros en la copia. Una reducción del 30% significa que 100 milímetros del original se convierten en 70 mm en la copia.

Utilizando regla y compás, intenta reproducir los dibujos que siguen en dos casos:

a) Con una reducción del 50%.

b) Con una ampliación del 75%.


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ESCALAS En los mapas suelen utilizarse distintos tipos de escalas (generalmente de reducción). Por ejemplo, una escala de 1: 10000 significa que 1 centímetro del dibujo representa 10000 cm en el original.

a) En un mapa a escala de 1: 5000000, ¿cuál será la longitud real correspondiente a las longitudes

sobre el mapa de 3 cm; de 5 cm; de 10 cm?. b) Si la escala con la que se hizo un mapa está en la relación de 1: 400000, ¿cuántos km

2 tendrá en

la realidad una superficie que en el mapa mide 15 cm2

?. c) Tenemos un triángulo construido a escala 1: 2000. ¿Qué superficie representa en la realidad,

sabiendo que la base del triángulo mide 54’6 mm y la altura 48’7 mm ?. d) Un campo tiene forma triangular y sus lados miden 550 m, 680 m y 840 m. Calcula su área.

Sugerencia: Dibuja un triángulo a escala y mide su altura sobre dicho dibujo.


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PLANO DE UNA CASA

Este es el plano de una casa dibujado a escala 1: 100; es decir que 1 cm del plano representa 1 m en la realidad. Averigua las dimensiones – largo y ancho – del salón. Halla la superficie de la cocina y la superficie total del piso. ¿Qué precio tendrá en piso, si se paga a 109611 pesetas el metro cuadrado?.

PIRÁMIDE DE KEOPS

Haz una reproducción a escala de la gran pirámide de Keops, sabiendo que su altura mide 138 metros y que su base es un cuadrado de 227 metros de lado. Utiliza un recortable de cartulina con el desarrollo plano adecuado y las solapas necesarias.

TRIÁNGULOS

a) Construye con regla y compás un triángulo cuyos lados miden 10 cm, 8 cm y 6 cm. Construye otro triángulo cuyos lados midan 12 cm, 16 cm y 20 cm. ¿Son semejantes?. ¿Por qué?.


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b) Construye los triángulos ABC y A’B’C’ con los siguientes datos. ¿Son semejantes?. ¿Por qué?.

A=60º AB = 4 cm BC = 6 cm

A’=60º A’B’ = 6 cm B’C’ = 9 cm

c) Construye los triángulos ABC y A’B’C’ con los siguientes datos: ¿Son semejantes?. ¿Por qué?.

A=45º AB = 4 cm BC = 6 cm

A’ = 45º A’B’= 5 cm B’C’ = 9 cm

Dos triángulos son semejantes si: 1) Tienen los tres lados homólogos respectivamente proporcionales. 2) Tienen dos lados homólogos respectivamente proporcionales y un ángulo homólogo

respectivamente igual. 3) Tienen dos ángulos homólogos respectivamente iguales.

Estas propiedades se conocen como criterios de semejanza de triángulos.

MÁS TRIÁNGULOS

Los lados de un triángulo miden 5 cm, 8 cm y 7 cm. Construye un triángulo semejante a él sabiendo que su perímetro mide 40 cm.

COMETA

Una cometa de forma romboidal tiene diagonales de 50 cm y 75 cm. Queremos construir otra cometa con la misma forma pero un poco más grande. Exactamente, queremos añadir 10 cm a la diagonal menor para que mida 60 cm. ¿Cuántos cm deberemos añadir a la diagonal de 75 cm?.


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BASE Y ALTURA

La base y la altura relativa de un triángulo miden 4 cm y 5 cm, respectivamente. Calcula la base y la altura de un triángulo semejante que tenga un área igual a 90 cm2.

DOS ROMBOS

La razón de semejanza entre dos rombos es de 34 , y el área del mayor es de 192 cm2. Calcula el

área del rombo menor.

PATIO

Un patio tiene forma de cuadrilátero, ABCD, con dos lados paralelos. Medimos: AB = 5 m y AD = 12 m. Además sabemos que OA = 13 m y que OB = 16 m. ¿Cuánto mide BC?. ¿Cuánto mide DC?.


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LETRAS DESCONOCIDAS

Sustituye las letras por los valores numéricos que les corresponden:

2. Semejanza y homotecia. Teorema de Tales

HOMOTECIA

En la figura adjunta se dice que el triángulo A’B’C’ es homotético del triángulo ABC. Las tres rectas r, s y t se cortan en el punto O, llamado centro de homotecia. Como los triángulos son

semejantes, se cumple que: kOC

OC'

OB

OB'

OA

OA' y se dice que k es la razón de

homotecia.

Si k>0, las dos figuras están situadas al mismo lado respecto del punto O. Si k<0, las figuras se sitúan a ambos lados del punto O.

Dado el punto O y el número k 0, hacemos corresponder a cada punto AO, un punto A’

tal que O, A y A’ están en línea recta y kOA

OA' . Esta correspondencia se llama homotecia

de centro O y razón k.


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a) Las siguientes figuras son homotéticas. Halla el centro de homotecia y la razón de semejanza:

b) Halla la figura homotética de un cuadrado, tomando como centro de homotecia uno de los vértices, y como razón de homotecia 2.

c) Halla el triángulo homotético de un triángulo equilátero, tomando como centro de homotecia uno

de los vértices, y como razón de homotecia –1.

EL TEOREMA DE TALES

El teorema de Tales afirma que: Si dos rectas concurrentes r y s se cortan por dos segmentos paralelos AB y A’B’, se obtienen dos triángulos OAB y OA’B’ que son semejantes. Es decir:

AB

AB'

OB

OB'

OA

OA'

a) Para dividir el segmento AB en 5 partes iguales, trazamos por un extremo del segmento una recta r concurrente con AB y sobre ella a partir de A trazamos con ayuda del compás 5 segmentos iguales. La última división la unimos con B y por el resto de divisiones trazamos paralelas a B5 que determinan en AB los cinco segmentos iguales buscados. ¿Por qué son iguales dichos segmentos?.

b) Fijándote en el procedimiento anterior, busca un método que permita dividir el segmento AB en tres partes proporcionales a los segmentos x, y, z de la figura. ¿En qué teorema te basas?.


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ALTURAS Y CATETOS

En el triángulo rectángulo ABC observamos que la altura h relativa a la hipotenusa

determina otros dos triángulos rectángulos que son semejantes a ABC, ya que tienen un ángulo común con él. Por ser AMB semejante a CAB se cumple que el cociente cateto /

hipotenusa es igual en los dos triángulos: c

n

a

c De donde: nac2

resultado que se conoce como teorema del cateto : en todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Por ser los triángulos BMA y AMC semejantes al BAC, en cada uno de ellos el cociente cateto / cateto deberá ser el mismo que en BAC, es decir:

nmh :tanto Por h

m

n

h donde De

c

b

h

m

c

b

n

h

2

.

resultado que se conoce como teorema de la altura: en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Aplicando el teorema del cateto al cateto c, tenemos: nac2

Aplicando el teorema del cateto al cateto b, tenemos: mab2

Sumando las dos expresiones: 222 aaan)(manamacb .

Es decir: 222 acb

que es el teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.


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a) Completa la siguiente tabla, indicando el teorema utilizado:

Datos

Valores de las incógnitas

Teorema utilizado

h =

b =

c =

n =

b =

c =

n =

h =

c =

b) Para representar un segmento de longitud 3 basta tomar un segmento cualquiera y sobre él

trazar una semicircunferencia cuyo diámetro sea la longitud de dicho segmento. Dividiendo dicho segmento en 4 partes iguales y levantando la perpendicular por la primera división, obtenemos el

segmento de longitud deseada, 3 .

Observa que este resultado es una aplicación directa del teorema de la altura.

Utiliza este proceso para construir segmentos de longitudes 8y 7 ,6 ,5 ,2 .

c) Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 3 y 9 cm

respectivamente. Halla la longitud de los catetos y la altura relativa a la hipotenusa.

d) En un concurso de cometas, dos niños, separados por 120 m de distancia, tienen desplegadas

sus cometas sobre el plano vertical mediante 80 y 160 m de cordel en el instante en que éstas colisionan. ¿A qué altura del suelo colisionan los cometas?. Si caen verticalmente por su propio peso, ¿qué distancia habrá de caminar cada uno de ellos para recogerlas?.

h = 3


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TERNAS PITAGÓRICAS

a) El trío (3, 4, 5) es una terna pitagórica, ya que 222 543 . Averigua si son pitagóricas las

siguientes ternas: (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (15, 20, 25) y (20, 21, 29). Construye triángulos rectángulos cuyos lados tengan dichas dimensiones.

El área del triángulo rectángulo ABC de la figura es igual a ba2

1hc

2

1S , ya que un

cateto puede considerarse como base y el otro como altura. Por lo tanto: hahc . De

donde: c

bah

.

Es decir: en todo triángulo rectángulo se cumple:

El área es igual al semiproducto de los catetos.

La altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de los dos catetos partido por la hipotenusa.

b) En los triángulos rectángulos del apartado (a), halla el área y la altura relativa a la hipotenusa.


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3. Problemas topográficos

ANCHURA DE UN RÍO a) Un grupo de exploradores ha de cruzar un río. La profundidad de éste obliga a construir un

puente, para lo cual disponen de árboles de un bosque próximo. Necesitan conocer la anchura del río. ¿Cómo la calcularían rápidamente de manera aproximada?.

b) En la figura adjunta se indica un posible procedimiento para medir la anchura del río. Explica detalladamente en qué consiste. ¿Qué ocurre si la distancia Ax es demasiado grande?.

c) En la siguiente figura se describe otro método que es una modificación del anterior. ¿En qué

consiste?. Explícalo detalladamente. ¿Qué relación existe entre AP y BC?. Si BC=5 metros, ¿cuánto vale la anchura del río AP ?.


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ALTURA DE UN EDIFICIO Las normas municipales de cierta ciudad exigen que la relación entre la altura de los edificios y la anchura de la calle sea de 2 / 3. a) ¿Qué ángulo forman los rayos solares con la horizontal cuando empiezan a dar en la acera?. b) Si la altura ocupada por un piso es aproximadamente 3 metros, ¿cuántos pisos se permiten como

máximo en las calles de 18 metros de anchura?. ¿Y en las calles de 24 metros de anchura?.

EL TEODOLITO

Para hallar la altura de un edificio, basta considerar el triángulo OAB de la siguiente figura, que es una representación a escala del triángulo original:

Conocido el ángulo x y la distancia OA en el original, basta medir sobre el triángulo dibujado a escala la distancia AB y transformarla posteriormente teniendo en cuenta la escala empleada.¿Cómo podemos medir exactamente el ángulo x en el original?. Para obtener con precisión la medida del ángulo x se utiliza un aparato llamado teodolito, que consiste en dos círculos graduados situados en dos planos, horizontal y vertical, que pueden girar. Con este instrumento se pueden medir ángulos situados en planos verticales y también horizontales.


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a) Construye un teodolito con ayuda de dos círculos graduados, cartulina, madera y regla graduada. b) Utiliza el teodolito que has construido para averiguar la relación entre la altura del edificio donde

vives y la anchura de tu calle.

ALTURA DE UNA TORRE

Con ayuda de un teodolito y de una cinta métrica hemos obtenido las medidas indicadas en la siguiente figura. Averigua la altura de la torre, construyendo previamente un dibujo a escala. Da como aproximación de dicha altura la media de los valores obtenidos en la clase.

MEDIDA DE ÁNGULOS

Para medir ángulos se utilizan como unidades los grados ( º ), minutos ( ‘ ) y segundos ( “ ) sexagesimales, de manera que una circunferencia tiene 360º, un grado tiene 60’ y un minuto 60”. Podemos expresar un ángulo en grados o bien en grados, minutos y segundos. Por ejemplo:

42º 27’ 62” equivale a 42.467222º 52.123611º equivale a 52º 7’ 25”

Esta transformación se puede hacer con la calculadora científica, usando la tecla º ‘ “ con la que podemos transformar grados, minutos y segundos en grados. Para efectuar la transformación inversa basta pulsar SHIFT º ‘ “ .


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Ejemplo: para efectuar el producto 3 23º 14’ 18” basta proceder así:

de manera que: 3 23º 14’ 18” = 69º 42’ 54”

a) Efectúa estas operaciones entre ángulos, expresando el resultado en grados, minutos y

segundos:

1) 34º 16’ 52” + 24º 12’ 50” 2) 64º 42’ 16” – 15º 12’ 36” 3) 5 12º 34’ 46”

b) En un cuadrilátero el ángulo A vale 64º 25’ y el B vale 104º 35’. ¿Cuánto valdrán los ángulos C y D, sabiendo que los dos son iguales?.


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RADIANES

Si rodeas un bote o una lata de conservas con un hilo y comparas la longitud de la circunferencia del bote con su diámetro, verás que dicha longitud, L, es un poquito más de tres veces el diámetro.

El cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número un poco mayor que tres, tiene infinitas cifras decimales que no forman periodo (es decir, es un número

irracional) y se llama número ..

..3.1415927.D

L La longitud de la circunferencia es R2DL

Un radián es un ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que el radio.

Para averiguar cuántos radianes tiene una circunferencia, calcularemos el número de radios que contiene. Así:

Una circunferencia tiene

22

R

R

R

L radianes. Y como una circunferencia tiene 360º,

resulta que:

360º equivalen a 2 radianes.

a) ¿Cuántos grados, minutos y segundos mide un radián?.

b) Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1) 27º 15’ 2) 87º 30’ 42” 3) 90º 4) 45º 5) 30º 6) 60º

c) Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:

1) 0’5 radianes 2) 3

radianes 3)

6

radianes 4)

12

5


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4. Razones trigonométricas. Propiedades.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Todos los triángulos aquí dibujados son rectángulos, es decir tienen un ángulo recto. La hipotenusa es el lado de mayor longitud; los catetos son los otros dos lados. a) ¿Cuáles de dichos triángulos tienen la misma forma?. Clasifícalos según el criterio de “tener la

misma forma”. b) Mide, con ayuda de un transportador, los ángulos de cada triángulo. ¿Qué conclusiones

obtienes?. c) Dibuja varios triángulos que tengan la misma forma que éste:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En un triángulo rectángulo ABC, llamamos:

a

b

BC

AC

hipotenusa

opuesto catetoB sen

a

c

BC

AB

hipotenusa

contiguo catetoB cos

c

b

AB

AC

contiguo cateto

opuesto catetoB tan


41

Las funciones que asignan a cada ángulo x, su seno, coseno y tangente, se llaman funciones circulares:

x senx

FUNCIÓN SENO

x cos x

FUNCIÓN COSENO

x tan x

FUNCIÓN TANGENTE

a) Comprueba que tan x xcos

sen x

b) Comprueba que 1 xcossen x22

Esta última propiedad puedes verla aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC de la figura.

USA TU CALCULADORA

En tu calculadora dispones de las teclas SIN , COS , TAN . Con ellas puedes hallar los valores del seno, coseno y tangente de un ángulo dado. Por ejemplo:

65º sin 0.9063077 43º sin 0.6819983 65º cos 0.4226182

43º cos 0.7313537 65º tan 2.1445069 43º tan 0.932515

a) Con ayuda de tu calculadora completa la siguiente tabla y extrae de ella toda la información que

puedas sobre las funciones circulares:

ángulo (grados) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

SIN

COS

TAN


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b) Dos ángulos son complementarios si su suma vale 90º. Habrás observado en la actividad del

apartado anterior que sen 10º = cos 80º y que cos 10º = sen 80º. Y evidentemente, los ángulos de 10º y 80º son complementarios. ¿Se cumple esta propiedad siempre que se trate de ángulos complementarios?.

c) Si los ángulos A y B son complementarios, esto es, A+B=90º, entonces

Bsen A cos

B cosAsen . Observa

la siguiente figura y averigua geométricamente por qué es cierta esta propiedad:

d) En la calculadora puedes hallar el seno, coseno y tangente cuando el ángulo está dado en grados sexagesimales o en radianes, indistintamente.

Si el ángulo está expresado en grados sexagesimales, activa previamente el modo DEG , lo que se consigue pulsando las teclas MODE 4 . Este modo está activado por defecto.

Si el ángulo está expresado en radianes, debes activar el modo RAD , lo que se consigue pulsando las teclas MODE 5 .

Utilizando los modos DEG y RAD de la calculadora, halla el seno, coseno y tangente de los

siguientes ángulos: 75º; 27º 13’; 32º 15’ 23”; 0’75 rad; 1’2 rad; 23 rad.

ÁNGULOS DE 30º, 45º Y 60º a) En la siguiente tabla tienes un truco que te permitirá recordar fácilmente los valores del seno,

coseno y tangente para los ángulos de 30º, 45º y 60º. Explica en qué consiste el truco.

30º

45º

60º

SIN 2 1 2 2 2 3

COS 2 3 2 2 2 1

TAN 3 1 2 2 1 3

Utilizando la calculadora comprueba que, efectivamente, el truco funciona.

b) Para comprobar geométricamente el truco anterior, puedes utilizar las siguientes figuras y el teorema de Pitágoras. ¿Funciona?.

45º 60º

2

2 1

2

1 1

45º 30º

2

2

2

3


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HALLANDO ÁNGULOS

En tu calculadora dispones de la tecla SHIFT . Con ella puedes obtener un ángulo conocida una determinada función circular. Así:

0’5 SHIFT SIN da un ángulo cuyo seno es 0’5. 0’7 SHIFT COS da un ángulo cuyo coseno es 0’7. 1’3 SHIFT TAN da un ángulo cuya tangente es 1’3.

Según que la calculadora esté en modo DEG o en modo RAD, el resultado vendrá expresado en grados o en radianes.

a) ¿Cuánto miden los ángulos que se obtienen al pulsar las secuencias anteriores de teclas?.

b) Sabiendo que sen x = 0’7, halla cos x y tan x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y radianes.

c) Sabiendo que cos x = 0’62, halla sen x y tan x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y radianes.

d) Sabiendo que tan x = 2, halla sen x y cos x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y en radianes.

COMPLETA CON LA CALCULADORA

Completa la siguiente tabla, utilizando la calculadora:

X (GRADOS)

X (RADIANES)

SIN X 0’94 54

COS X 0’82 23

TAN X 3’5 1


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5. Resolución de triángulos rectángulos

ALTURA DE UN GLOBO Desde dos puntos, A y B, situados como indica la figura, medimos, con ayuda del teodolito, los ángulos a y b, resultando ser, respectivamente, 45º y 39º. Si la distancia entre los puntos A y B es de 500 metros y el punto C es inaccesible, ¿cuál es la altura a la que se encuentra el globo?.

UN TUNEL ¿Qué longitud tendrá el túnel ABCD?. ¿Cuál será su profundidad BP?.

EL OVNI ¿A qué altura se encuentra el ovni O?.


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TETRAEDRO Calcula el área de una cara de un tetraedro regular en función de la arista. ¿Qué ángulo forman dos caras entre sí?.

DIAGONALES DE UN ROMBO Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm.


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LADOS DESCONOCIDOS a) En el triángulo ABC de la siguiente figura se conocen el lado AC = 300 m y los ángulos B = 23º y

C=51º. Halla el lado desconocido BC.

b) En el triángulo ABC de la siguiente figura se conocen los lados AB = 190 m y AC = 235 m y se

sabe también que B=105º. Halla la medida del lado desconocido BC.

PARCELA Una parcela tiene forma triangular y sus dimensiones son 270 m, 240 m y 225 m. Halla la medida de los ángulos. Calcula también el área de la parcela.


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ÁREA Y PERÍMETRO En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 10 cm y los ángulos iguales miden 70º. Calcula su área y su perímetro.

ESCALERA

Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál es su inclinación si su base dista 2 m de la pared?.

POSTE

Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el horizonte?.


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