Asignatura:

Bioestadística

L.Q. Jorge Cortez Elizalde

Villahermosa, Tabasco

Universidad Autónoma de Guadalajara

CAMPUS TABASCOQUÍMICO FARMACÉUTICO BIÓLOGO

Distribución de probabilidad de variables discretas:Objetivo: El alumno conocerá el concepto de variable aleatoria y podrá analizar el comportamiento probabilista de la variable, a través de su distribución y sus características numéricas

1. Definir los términos distribución de probabilidad y variable aleatoria.

2. Distinguir entre distribuciones de probabilidad discretas y continuas.

3. Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta.

4. Describir las características y el cálculo de probabilidades de una distribución de probabilidad binomial.

5. Describir las características y el cálculo de probabilidades de una distribución de probabilidad hipergeométrica.

6. Describir las características y el cálculo de probabilidades de una distribución de probabilidad Poisson.

¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD?

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD. Una lista de todos los resultados posibles de un experimento y desus probabilidades asociadas a esos resultados.

CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD1. La probabilidad de un resultados particular se encuentra entre 0 y 1.2. Los resultados son eventos (numéricos) mutuamente excluyentes.3. La lista es exhaustiva. La suma de las probabilidades asociadas a los diferentes eventos es igual a 1.

VARIABLE: Adj. que varia o puede variar.f. Mat. Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto. Número que resulta de una medida u operación.

VARIABLE DISCRETA: La que consta de unidades o partes separadas unas de otras, como los árboles de un monte, los soldados de un ejército, los granos de una espiga, etc.

VARIABLE CONTINUA: La que consta de unidades o partes que no están separadas unas de otras, como la longitud de una línea, el área de una superficie, el volumen de un sólido, la cabida de un vaso, etc.

Las probabilidades para cada valor de la VA X se muestran en la tabla. En este ejemplo la tabla representa la función de distribución de probabilidad (fdp) de la VA X.

Numero de medicamentos(x) Frecuencia X=x)0 1425 0.34051 1351 0.32282 793 0.18953 348 0.08324 156 0.03735 58 0.01396 28 0.00677 15 0.00368 6 0.00149 3 0.0007

10 1 0.000212 1 0.0002

Total 4185 1

Tabla 4.2.2 Distribución de probabilidad del numero de medicamentos consumidos con y sin prescripción durante el embarazo entre las mujeres descritas en el ejemplo 4.2. 2

En un articulo de la revistaAmericanJournal o/Obstetrics and Gynecology, Buitendijk y Bracken (A-I) aseguran que durante 25 años se ha tornado mayor conciencia de los efectos potencialmente dañinos de los medicamentos y químicos en el desarrollo de los fetos. En una poblaci6n de mujeres dadas de alta en maternidad, en un hospital del este de EUA, entre 1980 y 1982, los autores valoraron y estudiaron la asociaci6n del uso d~ medicamentos con varias características de la madre, por ejemplo uso de alcohol, tabaco y adicción a fármacos. Sus hallazgos sugieren que la

Una distribución de probabilidad para una variable discreta

En la tabla 4.2.2 se observa que los valores de P(X = x) son todos positivos. menores que 1 y la suma de los mismos es igual a 1. Estas no son características particulares de este ejemplo, sino que son características para todas las distribuciones de probabilidad de variable discreta. Por lo tanto, se dan las siguientes propiedades indispensables en una distribución de probabilidad para una variable discreta:

Distribuciones acumuladas: Algunas veces es mas conveniente trabajar con la distribuci6n de probabilidad acumulada de una variable aleatoria. La distribuci6n de probabilidad acumulada para la variable discreta cuya distribuci6n de probabilidad esta dada en la tabla 4.2.2 puede obtenerse sumando sucesivamente las probabilidades, P(X = x), que aparecen en la ultima columna. La probabilidad acumulada para Xi se escribe como F(x) P(X≤ x). Es toda la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor especifico xi'

Numero de medicamentos(x) Frecuencia P(X=x) Frecuencia acumulada P(X≤x)0 1425 0.3405 0.34051 1351 0.3228 0.66332 793 0.1895 0.85283 348 0.0832 0.9364 156 0.0373 0.97335 58 0.0139 0.98726 28 0.0067 0.99397 15 0.0036 0.99758 6 0.0014 0.99899 3 0.0007 0.9996

10 1 0.0002 0.999812 1 0.0002 1

Total 4185 1

Ejemplo: media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La distribución binomial es una de las distribuciones utilizadas mas ampliamente en estadística aplicada. La distribución se deriva de un procedimiento conocido como ensayo de Bernoulli, nombrado así en honor del matemático suizo James Bernoulli (1654-1705), quien realizó contribuciones importantes en el campo de la probabilidad, incluyendo, particularmente, la distribución binomial. cuando en un proceso aleatorio o experimento, llamado ensayo, puede ocurrir solo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, como vida o muerte, enfermo o sano, masculino o femenino, el ensayo se llama ensayo de Bernoulli.

Proceso de Bernoulli Una secuencia de ensayos de Bernoulli forma un proceso de Bernoulli, si se cumplen las siguientes condiciones: 1. En cada ensayo ocurre uno de dos posibles resultados, mutuamente excluyentes. Uno delos posibles

resultados se denota (arbitrariamente) como un éxito y el otro., como fracaso. 2. La probabilidad de un éxito, denotado por p, permanece constante de un ensayo a otro, y la

probabilidad de fracaso, 1 -p, se denota con q. 3. Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de algún ensayo en particular no es afectado por el resultado de cualquier otro ensayo.

Uso de la combinación como procedimiento en maestros grandes Fácilmente se puede anticipar que hacer una lista del numero de secuencias se hace mas y mas difícil y tedioso según crece el tamaño de la muestra, por 10 cual es necesario un método sencillo para contar el numero de secuencias. Este método es proporcionado por la formula de conteo que permite determinar rápidamente cuantos subconjuntos de objetos pueden formarse cuando en diferentes subconjuntos se utilizan números de objetos que componen el conjunto del cual se extraen. Cuando el orden de los objetos dentro de un subconjunto es inmaterial, el subconjunto se llama combinación de objetos. Si un conjunto consta de n objetos y se pretende formar un subconjunto de x objetos, sin ver el orden de los objetos dentro del subconjunto, el resultado se llama combinaci6n. Por ejemplo, se define la combinación como sigue cuando la combinación se forma tomando x objetos de un conjunto de n objetos:

DEFINICIÓN Una combinación de n objetos tomados x a la vez es un subconjunto desordenado de x de los n objetos.

EI numero de combinaciones de n objetos que pueden formarse tomando x a la vez esta dado por:

EJEMPLOHay cinco vuelos diarios desde Pittsburgh hasta Pensylvania por US Airways . Suponga que laprobabilidad de que cada vuelo arribe en forma demorada es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de losvuelos llegue demorado el día de hoy?

¿Cuál es el número promedio de vuelosdemorados?, ¿Cuál es la varianza de los vuelos demorados?

DISTRIBUCION DE POISSON

La siguiente distribuci6n discreta a considerar es la distribuci6n de Poisson, llamada así en honor del matemático francés Simeon Denis Poisson (1781-1840), quien tiene amplio reconocimiento por la publicaci6n de su trabajo en 1837. Esta distribud6n ha sido empleada extensamente en bióloga y medicina como modelo de probabilidad.

Si x es el numero de ocurrencias de algún evento aleatorio en un intervalo de espacio 0 tiempo (0 algún volumen de materia), la probabilidad de que x ocurra es dada por

Proceso de Poisson Como se ha visto, la distribución binomial resulta de un conjunto de suposiciones acerca de un proceso implícito para formar un conjunto de observaciones numéricas. Lo mismo ocurre en el caso de la distribución de Poisson. Las siguientes afirmaciones describen lo que se conoce como proceso de Poisson:

1. Las ocurrencias de los eventos son independientes. La ocurrencia de un evento en un intervalo de espacio o tiempo no tiene efecto en la probabilidad de una segunda ocurrencia del evento en el mismo, o en algún otro intervalo. 2. Teóricamente, debe ser posible la ocurrencia de un evento en un numero infinito de veces dentro del intervalo. 3. La probabilidad de una sola ocurrencia del evento en un intervalo dado es proporcional a la dimensión del intervalo. 4. En cualquier fracción infinitesimal del intervalo, la probabilidad de mas de una ocurrencia del evento es in significante.

Una característica interesante de la distribución de Poisson es que la media y la variancia son iguales.

Distribución Normal

Es una de las distribuciones más importantes. Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. La familia normal es una familia de variables aleatorias continuas. Esta distribución fue descrita por primera vez, en 1773, por Abraham De Moivre como el valor limite de la densidad binomial cuando el numero de ensayos es infinito. Este descubrimiento no llamo mucho la atención y la distribución fue

redescubierta de nuevo por Pierre-Simon Laplace y Carl Friedrich Gauss medio siglo después. Ambos ≪ ≫se dedicaban a resolver problemas de astronomía y cada uno de ellos obtuvo la distribución normal como la que aparentemente describía el comportamiento de los errores en las medidas astronómicas.La distribución normal es de gran importancia en el análisis y calculo de todos los aspectos relacionados con datos experimentales en ciencias y en medicina. De hecho, la mayoría de los métodos estadísticos básicos que estudiaremos en los próximos capítulos se apoyan en la distribución normal.

En el caso de las distribuciones normales, nos encontramos con la misma situación ya que también existen muchas distribuciones diferentes. En ellas cada densidad tiene la forma:

Ejemplo 5.3.1. Una de las mayores contribuciones a la contaminación atmosférica es la provocada por los hidrocarburos procedentes de los tubos de escape de los automóviles. Sea X los gramos de hidrocarburos emitidos por un automóvil por cada milla recorrida. Supongamos que X es una variable distribuida normalmente y que tiene una media de 1 g y una desviación típica de 0.25 g. La densidad de X viene dada por la siguiente ecuación: