Modelado acústico de silenciadores

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2. Fundamentos teóricos

2.1. Silenciadores

2.1.1. Introducción

El objetivo de este capítulo es la introducción de las bases teóricas en las que se

fundamenta el proyecto de investigación.

Para comenzar, se hará una breve introducción a los silenciadores, así como de

los conceptos más relevantes asociados a los mismos y se proporcionará una

clasificación según su tipología. Seguidamente se describirán las aplicaciones

principales de los silenciadores en el mercado, y se analizarán algunos factores que hay

que tener presentes a la hora de trabajar y diseñar un determinado silenciador.

Una vez introducido el mundo en el cual nos moveremos a lo largo de la

memoria del presente proyecto, se asentarán las bases teóricas en las cuales se basa la

metodología de simulación que se empleará.

Marco de los silenciadores

La contaminación acústica se ha convertido en uno de los problemas

medioambientales más importante en la actualidad. La existencia de unos niveles de

ruido por encima de los límites máximos admisibles por organismos nacionales e

internacionales, representa un grave problema que afecta a la salud, a la calidad de vida

y al medio ambiente. Se hace, pues, imprescindible articular mecanismos de control del

ruido generado en actividades, instalaciones, edificaciones, obras y servicios.

Los silenciadores son unos dispositivos que pretenden paliar el problema

asociado a los conductos a la salida de motores de combustión, a las maquinarias

industriales, así como a sistemas de ventilación, que tienen como característica común

la producción de un alto nivel de ruido.

Para eliminar el ruido inducido en los conductos, no hay más remedio que

modificar el sistema de conductos a la salida de dicha fuente. Los silenciadores son

unos obstáculos previstos para contrarrestar la transmisión del sonido. Así pues, un

silenciador es un dispositivo conectado a una fuente de ruido y cuya misión es reducir el

nivel sonoro hasta unos valores aceptables, a través de un conducto, tubería o una

abertura, sin perjudicar el transporte del medio.

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2.1.2.Tipologías

Los silenciadores se pueden clasificar de acuerdo a sus tipos, características de

rendimiento y aplicaciones.

En la presente memoria vamos a considerar dos grandes grupos de silenciadores,

los llamados activos y los pasivos. En cada uno de los tipos se expondrán ejemplos que

permitan visualizar las características más generales de cada uno de ellos.

2.1.2.1. Silenciadores pasivos

Los silenciadores pasivos se basan en emplear medios físicos para la atenuación

del sonido.

El uso de medios físicos para atenuar el sonido se puede implementar basándose

en dos principios claramente diferenciados, lo que nos lleva a considerar, a su vez, dos

tipos de silenciadores pasivos:

-Silenciadores reactivos.

-Silenciadores disipativos.

Esta nueva clasificación se fundamente en la diferencia en los mecanismos de

atenuación de cada uno de ellos. Por un lado, la atenuación en los silenciadores pasivos

se puede llevar a cabo debido a la reflexión de las ondas acústicas (silenciadores

reactivos) o a la absorción acústica de un determinado material absorbente

(silenciadores disipativos).

A) Silenciadores reactivos

En este tipo de silenciadores, la atenuación se produce, básicamente, por

fenómenos de tipo reactivo en los que parte de la energía incidente regresa a la fuente

propagadora del ruido debido a la reflexión que se produce por cambios de sección o

bien por otras singularidades de tipo geométrico. La atenuación del sonido se realiza a

partir del principio físico de la reflexión, mediante el cual, parte de la energía que incide

es devuelta a la fuente debido a la reflexión de ondas. Como se ha comentado, para ello

utilizan su propia geometría y cámaras de expansión sin emplear ningún material

absorbente.

Esta tipología de silenciadores se puede fundamentar en las reflexiones sencillas

o múltiples del sonido debidas a cambios en la sección transversal del conducto,

Modelado acústico de silenciadores

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revestimiento del conducto con resonadores, o bien a ramificaciones de las secciones

del conducto con diferentes longitudes (en cuyo caso, se denominan silenciadores

reflectante), o bien en la atenuación sonora en resonancias débilmente amortiguadas de

los elementos (en cuyo caso, se denominan silenciadores resonadores).

Los cambios de sección que se imponen en esta tipología de silenciador,

siempre y cuando se hagan con ciertos criterios de diseño, permiten obtener un gran

número de reflexiones que palíen de forma considerable el ruido existente. Estos

silenciadores presentan atenuaciones razonables a bajas frecuencias y son utilizados,

usualmente, para atenuar ruidos a bajas frecuencias.

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de esta tipología de silenciador con

diversos cambios de sección y una cámara de expansión:

Hay que tener muy presente que este tipo de silenciadores normalmente posee

ciertas frecuencias en torno a las cuales la atenuación se reduce prácticamente a cero.

Este efecto es debido a que, como se comentó anteriormente, su atenuación se basa en la

reflexión de las ondas sonoras y el silenciador presentará, inevitablemente, diversas

frecuencias de resonancia en las que la atenuación se verá mermada casi a cero al entrar

en resonancia.

Por otro lado, como parece lógico, un silenciador de este tipo conseguirá mayor

atenuación mientras más obstáculos se ponga al fluido ya que inducen más reflexiones.

No obstante, a la vez, se inducirá mayor pérdida de carga y, por ello, el silenciador debe

ser diseñado teniendo presente este parámetro de pérdida.

Dentro de esta tipología de silenciadores, se pueden considerar distintas formas

de variar la sección.

Área discontinua

Una forma simple de inducir reflexión en un silenciador consiste en diseñarlo

con área discontinua. En la figura siguiente se observa una posible disposición de un

silenciador cilíndrico con cámara discontinua, en el que la sección cilíndrica de la

entrada amplía su diámetro al avanzar por el silenciador:

Fig. 2.1 Silenciador reactivo

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Tal y como se detallará más adelante, existen diversas formas de medir la

atenuación acústica que el silenciador es capaz de aportar. Entre las más comunes se

encuentra la pérdida de inserción IL y la pérdida de transmisión TL. En el presente

proyecto, siempre que se pretenda caracterizar cualquier silenciador, se calculará el

índice de pérdida de transmisión (TL) o las pérdidas de transmisión que el silenciador es

capaz de aportar. Por ello, a continuación se va a definir las perdidas de transmisión

(TL) debidas a la reflexión de las ondas sonoras para el silenciador mostrado

anteriormente. El valor viene dado por la siguiente expresión:

2

1 2

1 210.log

4TL

S SD

S S

Cámara de expansión

La inmensa mayoría de los silenciadores reactivos presentan cámaras de

expansión, siendo éstas uno de los principales objetos de estudio en el capítulo cuarto,

en el que se lleva a cabo la labor de investigación que se considera el corazón de este

proyecto.

Las cámaras de expansión, aunque parecidas, presenta algunas diferencias con

los silenciadores de área discontinua. En las cámaras de expansión, un aumento de la

superficie en algún punto implica, necesariamente, una disminución del mismo valor en

otro punto, de tal manera que se crea una cámara como se puede observar en la figura

2.5. En ese caso, los silenciadores con cámara de expansión varían la sección sólo en el

interior, pero la salida presenta igual sección que la entrada. Con ello, al ser iguales las

superficies de entrada y salida, se está provocando que el fluido entre y salga a

velocidades parecidas (en realidad, algo menor a la salida, debido a la pérdida de carga).

Fig. 2.2. Silenciador reactivo cámara discontinua.

Modelado acústico de silenciadores

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La atenuación del silenciador se define a partir del TL que viene indicado en la

siguiente expresión:

2

21 210.log 1

2 1

sin2 2

TLkl

S SD

S S

Existen numerosas formas de diseñar un silenciador con cámara de expansión,

entre ellas, la más común es la mostrada en la figura anterior. Seguidamente, se

presentan otras posibles formas de realizar ese diseño.

Ramas laterales

Estos silenciadores se caracterizan por tener una cámara de expansión en

paralelo al conducto principal por el que entra y sale el fluido. La mayor reflexión y

atenuación se producirá en la cámara en paralelo. En la figura siguiente, se muestra un

silenciador de esta tipología.

Este silenciador podría llevar otra cámara en su parte inferior, análoga a la que

presenta. Con ello, se conseguiría aumentar, aún más, su atenuación, si bien se

produciría un incremento de precio, así como de pérdida de carga

Fig.2.3. Cámara de expansión simple

Fig.2.4. Silenciador con rama lateral

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En este caso, la expresión de las pérdidas de transmisión es la siguiente:

Silenciador de Helmholtz

Este silenciador presenta una cámara de expansión similar al anterior, si bien

dicha cámara se encuentra acoplada a uno de los laterales del silenciador.

Él silenciador de Helmholtz es el equivalente acústico del sistema mecánico de

masa-muelle. Como se puede observar en la figura 2.7, el silenciador consta de un

volumen cerrado, que actúa como muelle y que, a su vez, está conectado al sistema de

conductos mediante un conducto de menor tamaño, en cuyo interior el fluido actúa

como la masa. El volumen es análogo al muelle y el aire en el cuello es similar a una

masa.

En la cámara de expansión del silenciador de Helmholtz se produce el efecto

resonador que produce la atenuación del sonido. A continuación, se muestra una gráfica

que describe la atenuación, medida en TL, que este silenciador puede aportar.

Fig. 2.5. Silenciador de Helmholtz

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Fig. 2.6. Pérdidas de transmisión para un resonador de Helmholtz

Una vez introducidos algunos los silenciadores puramente geométricos, hay que

destacar que muchos de ellos presentan chapas de material perforado. Los silenciadores

con placas perforadas se estudiarán en los capítulos 3 y 4, analizando su

comportamiento y la forma de caracterizarlos.

B) Silenciadores disipativos o resistivos

Estos silenciadores se caracterizan por el hecho de emplear materiales

absorbentes de gran superficie específica, especialmente en forma de fibra. En este caso,

el ruido no se refleja únicamente, como sucedía en los silenciadores reactivos, sino que

la potencia sonora que incide sobre el material absorbente se transforma en calor,

además de ofrecer cierta resistencia al flujo. Los silenciadores resistivos son los más

adecuados para hacer frente a ruido de alta frecuencia y, curiosamente, tienen asociados

efectos reactivos debido a la presencia de expansión y contracciones.

En este caso, la atenuación del sonido no se produce por reflexión sino que el

material absorbente se encarga de una atenuación sonora de banda ancha por conversión

de la energía sonora en calor, con una pérdida de presión relativamente pequeña (poca

pérdida de carga).

Teniendo presente que el material absorbente es el encargado de atenuar el

sonido, se deben tomarse muchas precauciones con el fin de evitar que el recubrimiento

u obstrucción de la superficie del material absorbente, en el caso de silenciadores

disipativos situados en conductos que transportan gases contaminados con polvo o

material incrustado. En el presente proyecto se empleará lana de roca como material

absorbente que, análogamente a como sucede con cualquier material poroso, tiene una

Modelado acústico de silenciadores

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protección en su superficie para no deshacerse con la corriente fluida, superficie que,

por cierto, se puede obstruir con facilidad. En silenciadores que se alojen en corrientes

con polvo, se deberán instalar filtros a la entrada del silenciador que impidan el paso de

partículas que erosionen el silenciador, con el consiguiente incremento de pérdida de

carga.

La amortiguación se consigue, normalmente, por las fuerzas viscosas. Por ello,

uno de los objetivos en este tipo de silenciadores es maximizar las velocidades de las

partículas en el material poroso. Esto se favorece manteniendo una pequeña distancia

entre el absorbente y la pared. En cualquier caso, debe llegarse a un equilibrio ya que,

un aumento excesivo de la velocidad inducirá mayor pérdida de carga del fluido al paso

por el silenciador, así como una mayor erosión de éste.

En la figura 2.7 se pueden observar algunos de los ejemplos más comunes de

estos silenciadores.

Los silenciadores disipativos o resistivos suelen presentar las siguientes partes:

Fig. 2.8. Partes silenciador disipativo

1: Sección transversal de entrada.

2: Elementos de transición (puede prescindirse de ellos en algunos silenciadores).

Fig. 2.7. Ejemplo silenciadores disipativos

Modelado acústico de silenciadores

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3: Recubrimiento permeable al sonido.

4: Material absorbente del sonido (bafles de absorbente).

En relación con los silenciadores anteriores, la novedad radica en el material

absorbente, el cuál debe poder caracterizarse de forma tal que permita su modelado de

forma fiable. En el anexo 2, se hace referencia a dicho material y se describe la forma

de caracterizarlo como un fluido equivalente. En el presente proyecto, se trabajará con

lana de roca que es uno de los materiales absorbentes más comunes en este tipo de

aplicaciones.

Por otro lado, conviene recordar que, en innumerables situaciones en las que se

precisa atenuar ruido a alta y baja frecuencia, es suficiente poner en serie un silenciador

disipativo con uno reactivo.

2.1.2.2. Silenciadores activos

El control activo de ruido (Active Noise Control, ANC) es una tipología de

silenciadores realimentados, en los cuales se mide el ruido que le llega y se actúa contra

él imponiendo una onda que “choque” contra el ruido haciendo que éste se reduzca.

Estos silenciadores tienen el siguiente funcionamiento: un micrófono detecta

sonido y, a continuación, un sistema compuesto por un ordenador, un amplificador y un

altavoz, genera un sonido con los mismos valores de amplitud y frecuencia pero fase

opuesta. Una de las características del ANC es que añade energía al sistema, con lo cual

existe la posibilidad de crear más ruido y más daño en el sistema, a menos que éste se

adapte con éxito. Sucede, pues, lo contrario que en silenciadores pasivos, en donde la

energía del sistema es absorbida.

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Fig.2.9. Sistema de control activo del ruido realimentado

Conviene hacer notar que los silenciadores activos son más precisos y versátiles,

si bien suelen ser considerablemente más caros y requerir, a la vez, mayor

mantenimiento.

Existe la posibilidad de considerar silenciadores que están a mitad de camino

entre el de control activo y el de control pasivo. Así, se hablará de silenciadores semi-

activos o híbridos en el que ambos métodos están involucrados, en mayor o menor

medida.

2.1.3. Evaluación acústica de los silenciadores

A continuación, se procede a indicar y definir los parámetros que se emplean

usualmente para caracterizar los silenciadores. Estos parámetros medirán la atenuación

que el silenciador es capaz de proporcionar y, además, permitirán realizar un análisis

comparativo de los distintos silenciadores. Teniendo presente que la atenuación depende

de la frecuencia, también dependerán de ella los parámetros.

Existen tres índices básicos de medida de atenuación sonora en silenciadores:

Índice de Pérdidas de Inserción (IL)

Este parámetro se define como la diferencia entre dos niveles de potencia

acústica (análogamente, puede ser presión e intensidad acústica) medidos en un mismo

Modelado acústico de silenciadores

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punto, antes y después de que un silenciador haya sido insertado entre el punto de

medida y la fuente de ruido.

Para poder determinar este índice, se ha de medir el conducto sin silenciador y

con silenciador, con el fin de poder hallar la diferencia entre ambos (dicha diferencia

coincide con lo que el silenciador es capaz de atenuar en dicho conducto)

En la ecuación que aparece a continuación, se define dicho índice de pérdidas de

inserción (IL).

[2.1]

Donde Wref es la potencia acústica sin silenciador y W la potencia acústica con

silenciador. Como se ha comentado anteriormente, en lugar de potencia acústica se

puede expresar en función de la presióno intensidad acústica, obteniéndose el mismo

valor de dicho índice.

Índice de Pérdidas de Transmisión (TL)

El índice de pérdidas de transmisión (TL) es la relación entre la potencia

acústica que incide en el silenciador y la potencia acústica transmitida por éste cuando

se utiliza una salida anecoica (es decir, capaz de absorber las ondas sonoras sin

reflejarlas). En teoría, este índice es independiente de la fuente de ruido y, en ausencia

de flujo medio, las pérdidas de transmisión se obtienen por medio de la siguiente

expresión:

[2.2]

Donde S1 y S2 son las áreas de los conductos de entrada y salida

respectivamente, la presión incidente y la presión transmitida.

Como se ha comentado, la fórmula anterior mostrada no tiene en cuenta la

influencia del flujo medio que es la hipótesis con la que se va a trabajar a lo largo de

todo el proyecto. El hecho de no suponer flujo medio, limita la velocidad del fluido en

el interior del silenciador a 20 m/s. Por encima de este umbral no se obtendrán

Modelado acústico de silenciadores

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resultados fiables, lo cuál se ha de tener presente a la hora de realizar cualquier medida.

Generalmente, las pérdidas de transmisión de silenciadores absorbentes no están

afectadas por el flujo del aire, a condición de que la velocidad del mismo no exceda de

un valor aproximado de 20 m/s en la sección transversal más estrecha del silenciador,

que es donde la velocidad es máxima. En la práctica, deben considerarse distribuciones

no uniformes del flujo; por ello, la velocidad límite de 20 m/s corresponde a una

velocidad de diseño de entre 10 y 15 m/s (según normativa UNE- EN ISO 7235).

El índice de pérdidas de transmisión (TL) es el parámetro más empleado a la

hora de definir las curvas de atenuación de los distintos silenciadores. En las

simulaciones que se presentarán posteriormente al análisis teórico, éste será el

parámetro elegido para describir las curvas de atenuación antes comentadas. Por ello, a

la hora de presentar los resultados de atenuación, existen diversas alternativas para

mostrar la misma información.

El TL es un parámetro que depende de la frecuencia, lo cuál permitirá expresar

dicho índice de diversas formas.

TL en función de la frecuencia

La primera opción consiste en representar la curva de atenuación a partir del TL,

en función de la frecuencia de forma continua. De esta forma, se tiene el valor del índice

para cada valor de frecuencia. Este método es el que más información ofrece y es más

intuitivo a la hora de tratar de interpretar los diferentes mecanismos que en el

silenciador influyen para generar dicha curva de atenuación. Este aspecto será de gran

interés en el presente proyecto ya que hay que comparar diversos silenciadores.

TL en bandas de octava

La segunda opción para medir la atenuación acústica consiste en usar bandas de

octava. Ésta es la forma más usual de caracterizar comercialmente la atenuación

acústica de los silenciadores. Más concretamente, suele ser la información que aparece

en los distintos catálogos de silenciadores.

En este caso, se divide el rango de frecuencias en bandas o segmentos tales que

cada uno de ellos esté delimitado por una frecuencia inferior (f1) y otra superior (f2),

verificándose que para cada una de las bandas el valor de f2 es el doble de f1. La

frecuencia central (fc) es la media geométrica de las dos frecuencias antes definidas.

Modelado acústico de silenciadores

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En definitiva las bandas se definen a continuación

f1 Fc f2

22 Hz. 31.5 Hz. 44 Hz.

44 Hz. 63 Hz. 88 Hz.

88 Hz. 125 Hz. 176 Hz.

176 Hz. 250 Hz. 355 Hz.

355 Hz. 500 Hz. 710 Hz.

710 Hz. 1000 Hz. 1420 Hz.

1420 Hz. 2000 Hz. 2840 Hz.

2840 Hz. 4000 Hz. 5680 Hz.

5680 Hz. 8000 Hz. 11360 Hz.

11360 Hz. 16000 Hz. 22720 Hz.

Fig. 2.10. Tabla bandas de octava

La atenuación en bandas de octava vendrá dada como diversos valores del índice

TL, para cada una de las bandas antes definidas. El valor de cada banda representará la

media de todos los valores de atenuación, para cada una de las frecuencias comprendida

en el rango de frecuencias de dicha banda (entre f1 y f2).

Diferencia de nivel, LD.

La tercera opción suele ser menos común a los anteriores. Se basa en la

diferencia de los niveles de presión acústica medidos en la fuente de generación de

ruido (aguas arriba del silenciador) y en la salida (aguas abajo del silenciador).

En este caso, no es necesaria una terminación anecoica en la salida del

silenciador. La ecuación que lo define es la siguiente:

[2.3]

Donde:

es la presión aguas arriba.

es la presión aguas abajo.

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2.1.4. Aplicaciones

A continuación, se van a mostrar las aplicaciones más importantes de los

silenciadores, con el fin de vislumbrar el enorme campo de aplicación que tiene este

tipo de dispositivos. Con un breve repaso a las innumerables aplicaciones, podrá

apreciarse con mayor claridad la enorme adaptabilidad que hay que hacer con los

silenciadores: diseños ad hoc, a medida, según la aplicación buscada. Esto requiere un

equipo de ingenieros y técnicos para diseñar cada uno de los silenciadores, recalcando

con ello la gran importancia de agilizar y abaratar este proceso.

Las principales aplicaciones en las que se usan los atenuadores acústicos son las

siguientes:

Atenuación del ruido del sistema y evitar las interferencias con los equipos de

calefacción, ventilación y aire acondicionado (HVAC).

Evitar o reducir la transmisión del ruido a través de aberturas de ventilación de

las salas con altos niveles interiores de sonido.

Atenuación del ruido de escape generado por líneas de alta presión.

Atenuación del ruido generado en la entrada y salida de los motores de

combustión interna.

Atenuación del ruido de entrada y salida de ventiladores, compresores y

turbinas.

Seguidamente se detallarán detenidamente las aplicaciones más comunes:

2.1.4.1. Equipos de HVAC

La tecnología de calefacción, ventilación y aire acondicionado (HVAC) es el

mayor campo de aplicación para los silenciadores. Su tarea es atenuar el ruido del

ventilador y el sonido regenerado causado por los accesorios del conducto situado fuera

de las cámaras en donde se requieren bajos niveles de sonido. Deben observarse los

escapes de aire.

Los silenciadores llamados de diafonía, se usan para conseguir el cumplimiento

de los requisitos de aislamiento del sonido entre cámaras adyacentes. Si el equipo

precisa cumplir requisitos acústicos muy exigentes, puede ser necesario unir los

silenciadores resonadores a los silenciadores disipativos. Tanto desde el punto de vista

acústico, como desde el punto de vista económico, una disposición aceptable consta de

un silenciador resonador próximo al ventilador (silenciador primario) y un silenciador

Modelado acústico de silenciadores

17

disipativo cerca de la salida (silenciador secundario).

A continuación, se muestran las distintas soluciones que pueden integrarse en el

circuito de aire acondicionado o calefacción, para atenuar el ruido. En las instalaciones

suelen haber varias de las soluciones que se explican a continuación.

Prevención del sonido regenerado

Teniendo presente que la potencia sonora de un ruido de flujo de banda ancha es

aproximadamente proporcional a la sexta potencia de la velocidad de flujo, para evitar

el sonido regenerado es muy importante mantener la velocidad de flujo máxima, en la

sección transversal del conducto y, en cambio, la velocidad suficientemente baja a lo

largo del conducto. Los elementos insertados en los conductos que causan la emisión de

vórtices (torbellinos) periódicos, proporcionan tonos puros. Este efecto se puede evitar

mediante formas particulares y orientaciones especiales con respecto a la dirección del

flujo. Las guías de paletas aplicadas sobre separadores y en curvas, para la reducción de

las pérdidas de presión, causarán sonidos regenerados adicionales, a menos que se

construyan como absorbentes del sonido.

Silenciadores de tubo flexible

Las conexiones en el circuito de ventilación entre conductos no alineados, se

pueden conseguir por medio de tubos radialmente rígidos pero axialmente flexibles. Los

silenciadores de tubo flexible producen una alta pérdida por transmisión mientras sean

perfectamente circulares en su sección transversal y no se deformen por los daños

durante la instalación ni tengan curvas demasiado estrechas. Los recubrimientos

internos proporcionan atenuación especialmente a altas frecuencias.

Fig.2.11. Silenciadores de tubo flexible

Modelado acústico de silenciadores

18

Atenuación diafónica

En la tecnología de ventilación, la diafonía es la transmisión sonora desde una

cámara a otra, a través de un conducto de ventilación que está abierto en ambos

extremos. Si hay requisitos relativos al aislamiento del sonido entre las dos cámaras,

esta transmisión lateral debería suprimirse mediante la colocación de silenciadores de

diafonía en el conducto entre las dos cámaras. La atenuación diafónica incluye la

pérdida por transmisión de la canalización, la pérdida por inserción del silenciador y la

reflexión final.

Ventilación de talleres industriales

En caso de ser necesaria la protección del sonido de las proximidades, los

talleres y las plantas cerradas con salidas de ventilación en la fachada serán provistos de

silenciadores en las salidas de ventilación en la fachada. Esto suele ser necesario en

industrias próximas a zonas urbanas. Si, por razones económicas, es necesario el uso de

la ventilación natural, las salidas tendrán un área grande y se fijarán con silenciadores

disipativos. Para requisitos de control de sonido moderados, son suficientes los registros

de ventilación con persianas atenuantes. En el caso en que los requisitos sean mayores,

deberían considerarse los dispositivos de protección del sistema de las condiciones

atmosféricas, dado que se puede generar sonido bajo ciertas condiciones atmosféricas

(especialmente, a través del viento y la lluvia).

2.1.4.2. Plantas industriales

El control del ruido es aplicable, por ejemplo, en plantas de energía, en plantas

químicas, en minas y plantas de procesado de minerales. En este tipo de plantas, es

preciso reducir el ruido en los siguientes casos:

- En lados de aspiración y presión de los dispositivos de movimiento de aire.

- En sistemas de convección de molinos y otros equipos de procesado.

- En lados de aspiración y extracción de hornos y turbinas de gas.

- En los sistemas de convección de plantas de convección neumáticas y de izado.

- Tras válvulas de control en tuberías.

- Para válvulas de seguridad.

- En los sistemas de ventilación de cerramientos y cabinas.

Modelado acústico de silenciadores

19

A continuación, se van a resumir las principales aplicaciones de silenciadores en

este tipo de instalaciones para cada posible ruido que puedan generarse en él.

Ventiladores

En plantas tecnológicas, los ventiladores se consideran como una de las fuentes

de ruido más. Dependiendo de los requisitos de control de ruido, los silenciadores se

deberían fijar en los lados de la entrada y/o de la salida. Un pico de emisión en el rango

de baja frecuencia, es una característica de la mayoría de los equipos de movimiento de

aire. Además, de un sonido de banda ancha, la emisión puede tener también

componentes tonales.

La frecuencia característica de atenuación y la pérdida de presión de un

silenciador, deberían ser adecuadas a las características del dispositivo de movimiento

de aire. Para superposiciones de ruido de banda ancha y componentes tonales, es

recomendable la combinación de los silenciadores disipativos de banda ancha con

resonadores sintonizables y silenciadores reactivos. Si se va a atenuar a bajas

frecuencias, entonces se debería proporcionar un espacio suficiente para el silenciador,

dado que la atenuación a bajas frecuencias requiere recubrimientos gruesos. Para

componentes tonales, los silenciadores resonadores pueden presentar una solución que

precisa un pequeño espacio.

Cuando se determina el punto de funcionamiento de un ventilador, hay que tener

en cuenta la pérdida de presión en el silenciador. Pérdidas de presión significativas

requerirán más potencia del ventilador, lo que supondrá un incremento en la emisión

sonora y mayores costes de operación.

Si se montan los silenciadores directamente enfrente o detrás de un ventilador, se

debería considerar el hecho de que el sonido generado por el ventilador puede excitar la

carcasa del silenciador. La excitación fuerte del sonido generado por el ventilador en la

carcasa, puede provocar la radiación de sonido en el conducto. En tal situación, el

rendimiento del silenciador estará limitado por esta trayectoria lateral. Por ello, se

recomienda que las conexiones flexibles sean construidas en la pared del conducto antes

que en la del silenciador. Si éste se monta en el mismo soporte de la estructura que el

ventilador, se deberían proporcionar, si es necesario, montajes elásticos adicionales para

la carcasa del ventilador. Para requisitos de control de ruido elevados, se requieren

elementos resistentes en la carcasa del silenciador con el fin de evitar la transmisión del

sonido lateral que limite el rendimiento del silenciador.

Ventilación de minas

La ventilación en las minas está basada, generalmente, en ventiladores axiales

grandes, situados por encima del suelo y capaces de operar con grandes volúmenes de

flujo. Los silenciadores con separadores se montan sobre difusores verticales u

horizontales. Ellos sufren la corrosión y abrasión, por lo que deben ser altamente

resistentes a las tensiones dinámicas. Se usan separadores que contienen resonadores de

Modelado acústico de silenciadores

20

un cuarto de longitud de onda y/o resonadores de Helmholtz construidos en acero

inoxidable y elementos de cemento.

Habría que considerar la dirección de la radiación sonora en la selección. Como

sucede, generalmente, para el caso de grandes secciones transversales de salida, se

determina la radiación por la difracción del sonido referido a la geometría de la salida.

Ventiladores de tiro inducido

Para ayudar al tiro natural (convectivo) en plantas de energía, se usan los

ventiladores para transportar los gases de combustión fuera de las plantas pasando por

elementos de filtración y a través de la chimenea. A pesar de la filtración, los gases de

combustión suelen transportan cenizas y otros residuos de combustión que pueden

transformar los elementos absorbentes e ineficaces en depósitos de polvo formados en la

superficie. Por tanto, los elementos resonadores se usarán en los silenciadores. Dado

que el rango de temperaturas de funcionamiento está entre 100 ºC y 200 ºC, habrá que

tener presente el efecto de la temperatura.

Torres de refrigeración

Los silenciadores en torres de refrigeración húmedas están sometidos a tensiones

corrosivas debidas al alto grado de humedad. Las gotas de agua de refrigeración

producen ruido con una emisión máxima entre 1 kHz y 2 kHz. Éste es el ruido

dominante en las torres de refrigeración de tiro natural. En torres de refrigeración de tiro

inducido, se produce también una emisión de ruido a baja frecuencia procedente de los

ventiladores.

En general, para el control del ruido se usan los silenciadores con separadores

construidos con absorbedores porosos hidrofóbicos. Es absolutamente necesario un

recubrimiento protector del absorbedor que sea acústicamente transparente. Para evitar

la corrosión, las estructuras y recubrimientos de los separadores deberían fabricarse de

acero inoxidable, aluminio o material plástico.

En las torres de refrigeración de tiro natural, la pérdida de presión en el

silenciador no debería ser mayor de 10 Pa. Sin embargo, en torres de refrigeración de

tiro inducido se admite hasta 70 Pa.

Compresores

Los compresores son máquinas para la compresión de los gases. Los

silenciadores se usan para el control del ruido en el lado de la aspiración (por ejemplo,

atmósfera) y en el lado de presión (por ejemplo, tuberías). La selección del silenciador

depende del tipo de compresor. Principalmente, se puede hacerse una distinción entre:

− Turbocompresores.

− Compresores de pistón.

Modelado acústico de silenciadores

21

Los silenciadores para turbocompresores son generalmente disipativos. Pueden

ser de gran tamaño como, por ejemplo, en sistemas de entrada para grandes turbinas

estacionarias de gas que generan potencia eléctrica.

Los turbocompresores generan tonos, la frecuencia proporcionada por el

producto depende del número de aletas de la turbina y de la frecuencia de rotación. En

la selección de los silenciadores de separador, es importante asegurar que la longitud de

onda de los tonos a la frecuencia de paso de las aletas sea menor que el doble de la

anchura del camino aéreo. Los silenciadores para los turbocompresores requieren una

estabilidad mecánica particular debido, principalmente, a la excitación de las

vibraciones desde el fluido y por el sonido de la estructura. Los silenciadores de

admisión para turbocompresores deberían ser suficientemente robustos de tal manera

que los componentes no causen pérdidas y daños al compresor.

Los compresores de pistón generan un flujo de pulsación que produce ruido y

vibraciones mecánicas. Se usan cámaras de plenum y/o resonadores amortiguados de un

cuarto de longitud de onda. Las cámaras de plenum son cámaras de expansión con un

volumen preferiblemente 12 veces el volumen del recorrido del pistón. Los resonadores

sintonizados a la misma frecuencia o grupos de resonadores sintonizados a diferentes

frecuencias, se usan para conseguir una atenuación de banda ancha.

Los silenciadores se diseñan a menudo como recipientes a presión

(absorbedores). Un tipo diferente de diseño emplea uno o más platos perforados

montados en la sección transversal del conducto, a los que se les puede dar forma para

que actúen como toberas de tipo Venturi.

En el lado de aspiración, también deberían tenerse presente en el diseño, las

fuerzas que actúan. Si se transporta aerosoles o polvo, es importante asegurar que no se

forman depósitos perjudiciales en el lecho absorbente del sonido.

Cerramientos, cabinas y ventilación de salas de máquinas

Cuando se encierran las máquinas con fines de control del sonido, se debería

eliminar el calor generado dentro del cerramiento y, entonces, será precisa una

ventilación. En este caso, se deberían proporcionar silenciadores para el sistema de

ventilación con el fin de mantener el efecto del cerramiento. Sus atenuaciones deberían

asegurar el aislamiento requerido. La misma idea se aplica para el aire fresco

proporcionado a las cabinas para personal y para la ventilación de las salas de máquinas.

Control neumático

En el caso de los neumáticos, se suelen proporcionar silenciadores en los puntos

en los que el aire escapa de herramientas y válvulas. Estos silenciadores deberían ser

pequeños y no afectar al funcionamiento del equipo, incluso si se engrasan o

contaminan de cualquier otra forma. Un gran número de diseños comerciales

Modelado acústico de silenciadores

22

disponibles cumplen con este requisito.

Válvulas de seguridad

Los requisitos de los silenciadores de escape para las válvulas de seguridad

vienen generalmente determinados por el considerable flujo en volumen del medio, la

gran pérdida de presión en el silenciador y los repentinos cambios en la presión durante

el arranque. Se aplican requisitos especiales de seguridad para garantizar el

funcionamiento, incluso después de una larga parada. Es importante asegurar que las

partes del silenciador (como material comprimido absorbente del sonido) o el hielo, no

causen bloqueos. En la operación del silenciador de escape, actúan fuerzas

considerables, lo cuál debería tenerse en cuenta en la selección.

Hornos

Los silenciadores se colocan en la línea de extracción de los hornos para reducir

el ruido de combustión y el ruido generado por los ventiladores de tiro inducido. Se

requieren requisitos especiales a causa de la temperatura, generalmente alta, durante el

funcionamiento y, frecuentemente, a causa del polvo agresivo químicamente

transportado por los gases de combustión. Esto también se aplica a las plantas de

desulfuración y desnitrificación.

Es importante seleccionar cuidadosamente la forma y el material para prevenir

que se reduzca el rendimiento acústico del silenciador por depósitos de polvo. Por tanto,

es preferible el uso de los silenciadores resonadores en este área. Hay que tener en

cuenta la presencia de líquidos agresivos químicamente, durante el arranque y parada.

Turbinas de gas e instalaciones de pruebas para motores

En los flujos de extracción de las turbinas de gas, los silenciadores están a

menudo sometidos a elevadas temperaturas, así como a altas velocidades de flujo y

depósitos. Estas condiciones de funcionamiento requieren una cuidadosa selección de

los materiales. Los absorbedores de fibras deberían ser resistentes al calor, con fibras

largas para evitar ser transportadas fuera por las fuerzas alternativas causadas por el

flujo. Las cámaras que tienen el material absorbente del sonido no deberían ser

demasiado grandes y deberían ser rellenas de forma apretada con el fin de que no se

produzcan cavidades. Se deberían proporciona recubrimientos (generalmente varios

lechos) de platos perforados, mallas y/o paños. Mayoritariamente, sólo se permiten

pequeñas pérdidas de presión en estos silenciadores.

Convectores neumáticos

Los silenciadores también tienen aplicación en convectores neumáticos para la

ventilación de silos, para el flujo del almacén en plantas de machaqueo y otras plantas

de procesamiento. Los requisitos de seguridad funcional son mayores debido al peligro

de depósito de polvo. Por tanto, usualmente se usan los silenciadores resonadores. Se

Modelado acústico de silenciadores

23

deberían considera las propiedades químicas del material transportado y los requisitos

de seguridad contra explosiones.

2.1.4.3. Motores de combustión interna

A) Vehículos

En el funcionamiento de motores de combustión interna, los ruidos de entrada y

salida necesitan una atenuación por medio de silenciadores, a fin de que el vehículo

cumpla con los límites legales de ruido especificados, y que el nivel de confort acústico

para los pasajeros sea aceptable.

El control de ruido de entrada se obtiene, principalmente, usando silenciadores

reactivos combinados con elementos de filtro del aire. El conjunto se denomina filtro de

atenuación. Una atenuación suplementaria se puede conseguir por medio de resonadores

de un cuarto de longitud de onda adicional, modificando la sección transversal e

instalando recubrimientos absorbentes del sonido en las paredes de la cámara del

silenciador.

El espectro del ruido de extracción se determina por el flujo de volumen pulsante

que emana desde los elementos cilíndricos de salida. Los silenciadores reactivos se usan

predominantemente para el control del ruido. Para motores de baja y media

potencia, se acepta una pérdida de presión ligeramente mayor en comparación con los

silenciadores disipativos. Sólo los motores de alto rendimiento equipados con turbo

compresores de sobrealimentación, cargadores de onda choque, son exclusivamente

equipados con silenciadores disipativos para el sistema de extracción.

Es importante que el absorbedor (preferiblemente, lana mineral que,

ocasionalmente, se combinará con lana de acero inoxidable) cumpla los estrictos

requisitos concernientes a las tensiones causadas por la pulsación del gas, vibración

mecánica, altas temperaturas e influencias químicas. No se debería endurecer o sellar

por depósitos del gas de extracción. Cuando las cámaras de expansión están vacías sin

absorbedor, se deberían diseñar para permitir que desagüe el líquido condensado con el

flujo. Los silenciadores reactivos y disipativos se utilizan también conjuntamente.

Para el dominio de la baja frecuencia, la atenuación se determina por el tamaño y

la localización de los envases de los silenciadores en la línea de extracción. Las toberas

de tipo Venturi son utilizadas, también, para la atenuación de baja frecuencia. En el

dominio de la media y alta frecuencia, son efectivas ramas laterales, tubos perforados,

pantallas, así como codos. Se debería evitar valores mínimos en la frecuencia

característica del sonido aéreo y radiación sonora de la carcasa. Con esta aplicación, los

requisitos son más difíciles de satisfacer debido a que deberían cumplirse diferentes

Modelado acústico de silenciadores

24

temperaturas de operación, dependiendo de la carga de la máquina, de su velocidad y

del enfriamiento sobre la trayectoria a lo largo de la línea de extracción.

B) Motores estacionarios

Los motores de combustión interna estacionarios difieren, en algunos aspectos,

de los motores de combustión interna para automóviles. El rango de velocidad de los

motores individuales es mucho más pequeño, principalmente, a algunos modos fijos de

operación, que facilita la selección del sistema silenciador. En contraste a los motores

automóviles, los rangos de potencia de salida pueden diferir considerablemente de una

planta a otra (en varios megavatios) en función de los diferentes tipos de silenciador

usados. Los requisitos acústicos son, a menudo, más estrictos, por ejemplo, para las

instalaciones en hospitales. Sin embargo, a veces sólo son permisibles pequeñas

pérdidas de presión, en el caso de ciertos tipos de silenciadores usados para automóviles

que no pueden ser utilizados aquí. En plantas estacionarias con altas potencias de salida,

las frecuencias de ignición son, a menudo, bajas, lo cuál requiere una cuidadosa

disposición del silenciador para bajas frecuencias (por debajo de 100 Hz).

2.1.5. Consideraciones de diseño

A continuación, se va a explicar de forma concisa los principales criterios a tener

en cuenta a la hora de llevar a cabo el diseño y optimización de cualquier tipo de

silenciador.

En el diseño de silenciadores hay que conocer, previamente, las condiciones en

las que este trabajará (humedad, temperatura, caudal, presión, etc.) ya que, en función

de ellas, funcionará mejor un silenciador u otro con diferentes características. Por ello,

seguidamente se van a detallar distintas características y efectos que condicionarán el

diseño de los silenciadores para que, una vez introducidos, se indique como abordar la

optimización de un silenciador.

Modelado acústico de silenciadores

25

A) Resistencia a la abrasión y protección de las superficies

absorbentes

La abrasión de los materiales usados en silenciadores disipativos puede producir

el transporte de partículas del recubrimiento interior en el flujo del gas.

Si la superficie de un material absorbente del sonido está dañada

mecánicamente, entonces serán suficientes velocidades de flujo bajas para transportar

un gran número de partículas por la erosión. Este proceso puede, incluso, resultar en el

agotamiento de un elemento absorbente global (como un separador).

Para proteger el material absorbente dentro de los silenciadores contra humedad,

agua o contaminantes transportados en el gas (en particular, en hospitales y en

industrias de procesamiento de alimentos), se usan láminas metálicas para sellados

herméticos. Estas láminas metálicas no sólo reducen el rendimiento de la atenuación a

altas frecuencias (típicamente, por encima de 1 kHz), sino que también se pueden

romper durante la operación en planta. Una diferencia en las presiones totales (es decir,

la estática y la dinámica) dentro y fuera del elemento de sellado causa tensiones en la

lámina metálica. Las altas temperaturas y las partículas agudas (y calientes) que

impactan, incrementan el riesgo de daño. En ese caso, la protección interior del

absorbente del sonido por medio de láminas metálicas necesita cuidadosas

consideraciones sobre el espesor de las láminas metálicas, temperaturas, velocidades de

flujo y contaminación del gas.

B) Peligro de incendio y protección contra explosiones

Si se transportan aerosoles de aceites, existe un peligro de incendio iniciado o

trasmitido por los silenciadores de ventilación para equipos técnicos. Ésta es la situación

particular en laboratorios químicos, grandes cocinas e instalaciones de ensayo de

máquinas. Las sustancias orgánicas como polvo de harina o de leche, pueden formar

mezclas explosivas con el aire y esto hay que tenerlo en cuenta cuando, a través del

silenciador, fluyen gases que transportan polvo.

En todas estas aplicaciones y de acuerdo con muchos códigos de construcción,

se deben usar materiales "no combustibles" para el silenciador. Se ha de evitar la

recogida de grasa, aceite o polvo en el material absorbente mediante el uso de formas y

disposiciones apropiadas de los silenciadores. Para cumplir los requisitos de

protección contra fuegos y explosiones, también son aceptables los silenciadores

resonadores sin material absorbente y con precauciones contra depósitos de polvo.

C) Arranque y parada en plantas

Los silenciadores en plantas técnicas pueden causar problemas cuando se

arranca o para la planta. Se debe proporcionar un espacio suficiente para la expansión

de componentes del silenciador con el fin de conseguir cambios considerables en la

Modelado acústico de silenciadores

26

presión y/o temperatura. Particularmente, en el caso de variaciones de presión y para

recubrimientos de láminas metálicas, debe ser posible aliviar la sobrepresión en el

revestimiento absorbente.

En las fases de arranque y parada de plantas, a menudo, hay temperaturas por

debajo del punto de rocío, especialmente dentro de los revestimientos absorbentes y

dentro de la carcasa del silenciador. Habría que evitar la recogida de mezclas (por

ejemplo, por corrientes de secado en planta. Pueden aparecer problemas particulares de

corrosión y se debería permitir la eliminación de los líquidos condensados.

D) Corrosión

Las carcasas, recubrimientos y particiones de silenciadores de hojas de metal, así

como los flancos de montaje, deben ser protegidos de los efectos de las condiciones

atmosféricas, ácidos en gases de escape y diferencias de potencial de diferentes

materiales. La corrosión se puede evitar mediante la selección de materiales particulares

(por ejemplo, aluminio), o bien por aplicaciones de recubrimientos protectores (por

ejemplo, goma).

E) Requisitos higiénicos y riesgo de contaminación

Es conveniente tener presente que, en función del sistema en el que se implante

el silenciador, éste debe cumplir ciertos requisitos en cuanto a limpieza. Dicho

silenciador puede ser implantado en diversas aplicaciones donde se requiere cierto nivel

de higiene tales como:

− En salas limpias.

− En plantas de procesamiento de alimentos.

− En hospitales.

− En plantas de energía.

Los problemas higiénicos se pueden presentar cuando el polvo se deposita sobre

superficies adhesivas de los revestimientos absorbentes del sonido, particularmente en

combinación con la humedad. Si la temperatura del aire es elevada, entonces las

partículas viables (bacterias) también pueden plantear algún que otro problema. En

plantas de energía nuclear se puede producir contaminación nuclear.

Para los recubrimientos de los silenciadores en algunas plantas críticas se deben

usar superficies lisas. Se deben evitarse grandes cavidades y bordes protuberantes ya

que favorecen la recogida de polvo y humedad y, además, aumentan la pérdida de

presión.

Modelado acústico de silenciadores

27

AENOR AUTORIZA EL USO DE ESTE DOCUMENTO A UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA

F) Inspección y limpieza, descontaminación

En todo caso, deberían tomarse medidas para la inspección, limpieza y

reemplazamiento de los silenciadores o separadores.

En la mayoría de las aplicaciones de equipos HVAC, existen unos requisitos

especiales que hacen necesaria la limpieza y descontaminación periódica. Por tanto, es

necesario que los elementos (separadores) se puedan desmontar para la limpieza

(descontaminación) o reemplazamiento. En este caso, también se debe limpiar la

carcasa del silenciador. Los separadores pueden limpiarse usando aire comprimido,

chorros de vapor, cepillos y disolventes, o fluido descontaminante, dependiendo del

diseño.

Un depósito de polvo formado sobre los separadores después de un cierto tiempo

de operación en flujo pulverulento, conducirá a una importante disminución en la

pérdida por inserción. Por ello, es necesario adoptar medidas con el fin de permitir una

limpieza periódica.

Análisis de optimización y objetivos

Durante este proyecto se pretenderá dominar el programa de simulación

Virtual.Lab, con el fin de poder realizar diversos análisis de sensibilidad que nos van a

permitir obtener una serie de conclusiones acerca de la influencia de diversos

parámetros en la atenuación acústica de los silenciadores. Con ello, se podrá saber qué

parámetros se deben modificar para obtener la atenuación buscada para cada frecuencia,

lo cual es un asistente perfecto para la difícil tarea de diseño.

En la actualidad, el tema de atenuación acústica es bastante complejo y necesita

ser objeto de nuevos y profundos estudios. Por lo general, el diseño de cualquier

silenciador se hace en base a la experiencia y tratando de imitar los detalles de los

silenciadores conocidos que presentan buena atenuación. En este proyecto se trata de

llegar a conclusiones que ayuden al diseño de los silenciadores.

A la hora de diseñar un silenciador, es importante conocer exactamente las

características de la máquina y el entorno en que el silenciador se instalará. Por un lado,

al hablar de “optimizar” pretendemos indicar que el diseño debe producir un silenciador

que presente la mejor atenuación con el menor precio posible. El factor económico es

esencial a la hora de diseñar un silenciador y, generalmente, el precio suele tener una

relación directa con el peso del silenciador. Es razonable pensar que se pueden

conseguir grandes atenuaciones para cualquier frecuencia si se dispone de recursos

económicos ilimitados. No obstante, si se hace un diseño razonable, se podrá conseguir

altos niveles de atenuación en las frecuencias deseadas con un coste que no sea

desorbitado.

Modelado acústico de silenciadores

28

El espectro de ruido es un dato esencial ya que, al expresar el ruido existente en

función de la frecuencia, se sabrá en qué frecuencias se precisa mayor o menor

atenuación. Con ello, se puede diseñar un silenciador con el fin de que atenué en las

frecuencias requeridas y que no lo haga donde no se precise, lo cuál puede implicar un

importante ahorro económico.

Además hay que tener presente aspectos tales como la pérdida de carga que el

silenciador ofrece al paso del fluido, el tipo de fluido que atraviesa el silenciador (puede

o no ser abrasivo desgastando el silenciador), el tamaño del que se dispone para instalar

el silenciador, mantenimiento requerido, etc.

En capítulos posteriores, se realizarán diversos análisis de sensibilidad que

permitirán deducir la influencia de los diversos parámetros en las tipologías más

comunes, con el objetivo de facilitar el diseño de silenciadores. En el primero de los

análisis, se tratará de optimizar el diseño de uno de los silenciadores, según lo

comentado anteriormente.

Modelado acústico de silenciadores

29

2.2.Teoría de cálculo de silenciadores

2.2.1. Teoría de propagación de ondas sonoras en

conductos

Introducción

En este apartado se trata de presentar, de manera concisa, la teoría de

propagación de ondas así como su fundamento acústico. Para ello, se comenzará

definiendo las distintas ondas que se pueden encontrar, en función de las características

del medio en que se propaguen y la fuente que las cree. Entre ellas, se indicará cuáles

serán objeto de estudio y cuáles no.

A lo largo del desarrollo matemático que se describirá a continuación, se llegará

a la ecuación de ondas sobre la que se aplicarán distintas hipótesis simplificativas que se

irán detallando y explicando conforme avance el desarrollo. A su vez, dicha ecuación se

particularizará para el caso de conductos, proporcionando la ecuación aplicable a los

silenciadores objeto de estudio en el presente proyecto.

Una vez definida la ecuación de ondas, se procederá a plantear el método

matricial y, para situaciones con geometrías complejas, el método de los elementos

finitos con el fin de calcular la matriz de transferencia del método matricial.

2.2.1.1.Tipos de Ondas sonoras

La propagación de las ondas depende, en gran medida, del medio en el cual se

propaguen y existen grandes diferencias entre la propagación de una onda por un sólido

o por un fluido, tanto si éste es liquido como si es gaseoso.

Ondas longitudinales

Si se trabaja en un medio fluido, bien sea liquido o gas, los cambios en la tensión

transversal del fluido son suficientemente pequeñas y pueden ser despreciados. Por

tanto, se admitirá que, en este medio, sólo pueden existir ondas mecánicas elásticas

longitudinales. Estas ondas se caracterizan porque la dirección de la velocidad de la

partícula es paralela a la dirección de propagación de la onda, tal y como se puede

apreciar en la siguiente figura:

Modelado acústico de silenciadores

30

En el proyecto presente, se trabajará con este tipo de ondas al estudiar la

atenuación del ruido que entra al silenciador integrado en el seno de un gas,

concretamente aire.

Dentro de las ondas longitudinales se distinguen tres tipos:

- Ondas planas: En este tipo de ondas todos los puntos poseen el mismo estado

acústico. Este hecho implica que cada uno de los puntos posee la misma presión sonora

y la misma velocidad de partícula, formando planos paralelos. Este tipo de ondas

coincide con el representado en la figura anterior.

- Ondas esféricas: Son características de las fuentes de onda con forma esférica. No

obstante, también se pueden producir cuando el radio de la fuente es muy pequeño

comparado con la longitud de onda del sonido. Este tipo de ondas se caracterizan

porque todos los puntos de su superficie oscilan radialmente a la misma amplitud y fase;

es decir, se expanden las ondas radialmente a su foco de emisión. Una forma simple de

visualizar este tipo de ondas consiste en emplear una analogía al imaginarse las

oscilaciones presentes en el agua en la cual, tras estar en reposo, se tira una piedra que

genera oscilaciones radiales.

- Ondas cilíndricas: Aparecen cuando el foco de la onda es un cilindro longitudinal

infinito. En tal situación, toda la superficie del cilindro oscila en fase y con la misma

amplitud, propagándose las ondas con la geometría cilíndrica de dicha fuente.

Ondas transversales

En este tipo de ondas, hay que tener en cuenta cambios de tensión normal y

tangencial, no sólo normal como en las ondas longitudinales. Se trata de ondas

características al propagarse en un medio sólido. Este hecho implica que en el medio

sólido, al contrario de lo que sucede en el medio fluido, existen tanto ondas

transversales como ondas longitudinales. En este caso, la oscilación de las partículas es

perpendicular a la dirección de la onda. En la siguiente figura se hace una

reconstrucción de una onda de esta tipología.

Fig. 2.12. Características de una onda longitudinal

Modelado acústico de silenciadores

31

2.2.1.2. Fundamentos acústicos del movimiento de

onda (Ecuación de ondas)

Para el análisis de atenuación acústica de silenciadores conviene destacar dos

modelos fundamentales:

- Modelo fluido dinámico general.

- Modelo acústico lineal.

Estos modelos de atenuación se detallan a continuación:

Modelo fluido dinámico

A través de tres ecuaciones se podrá plantear un sistema que con las pertinentes

simplificaciones conducirá a una solución. Dichas ecuaciones coinciden con la de la

energía, la ecuación de continuidad, así como la de equilibrio dinámico.

Las ecuaciones que definen un sistema se detallan seguidamente.

- Ecuación de continuidad:

La ecuación de continuidad viene dada por la siguiente expresión:

( )

( )

( )

[2.2.1]

Donde:

es la densidad del fluido.

u, v y w son las componentes de la velocidad u .

Fig. 2.13. .Características de una onda transversal

Modelado acústico de silenciadores

32

La ecuación anterior, definida para las 3 direcciones del espacio, expresa la

conservación de la masa para un volumen de control definido por: ,

donde x, y, z, se miden en un sistema inercial,

- Ecuación de equilibrio dinámico:

Las ecuaciones de equilibrio dinámico son las de Navier-Stokes para fluidos

newtonianos. Estas ecuaciones expresan el equilibrio dinámico de las fuerzas inerciales,

volumétricas, de presión y viscosas.

(

)

[ (

)]

[ (

)]

(

)

[ (

)]

[ (

)]

(

)

[ (

)]

[ (

)]

[2.2.2]

Las ecuaciones anteriores se obtienen considerando el equilibrio dinámico de

fuerzas sobre un volumen de control.

- Ecuación de la energía:

La ecuación de la energía permite introducir en el sistema el principio de

conservación de la energía. Para ello, se debe verificar la siguiente ecuación:

Energía entrante = Energía saliente + Energía acumulada

Tomando un volumen de control diferencial, se obtiene, finalmente, la ecuación

que se muestra a continuación:

[

( )

{ ( )}] [2.2.3]

Llegado a este punto, el problema tiene infinitas soluciones ya que el número de

ecuaciones es inferior al de incógnitas. Para solventar este hecho y conseguir que el

problema tenga una única solución, se incluirán tres ecuaciones adicionales: la ecuación

de estado, la de energía interna y la de viscosidad, así como las condiciones de contorno

iniciales propias del problema. Las ecuaciones citadas son las siguientes:

Modelado acústico de silenciadores

33

( ) [2.2.4]

( )

( )

A la hora de obtener de la solución de un problema general de flujo, se plantea la

búsqueda de los campos de velocidades u, v, w, de presión p, de temperatura T, de

densidad , la energía interna E y de viscosidad , partiendo de un dominio dado, de

las propiedades del fluido, de las ecuaciones anteriormente mencionadas y de un

conjunto de condiciones de contorno iniciales.

De esta manera se ha conseguido tener un sistema que presenta solución única,

con igual numero de ecuaciones que de incógnitas. No obstante, hay que ser realista y

ser consciente de que se ha obtenido un sistema de ocho ecuaciones no lineales con

ocho incógnitas. La resolución de un tal sistema suele ser, en muchos casos,

inabordable. Ante tal situación, se tratará de imponer alguna otra condición adicional

que permita simplificar el proceso de resolución. Por ejemplo, podríamos tratar de hacer

“lineal” el sistema, a costa de perder exactitud y rango de validez de los resultados.

Modelo lineal

Como hemos indicado anteriormente, forzar a que el sistema descrito sea lineal

es un recurso necesario para poder obtener una solución del mismo. El peaje a pagar por

esa simplificación es la pérdida de precisión en los resultados que se obtengan. No

obstante, en cualquier caso, el problema que se deduce de dicho sistema será mucho

más simple y podrá comprobarse que su solución no estará muy lejana de la real. Este

modelo será el que emplearemos a lo largo de este proyecto.

Para la materialización del modelo lineal hay que realizar diversas hipótesis que

simplifiquen el modelo original y que se definen a continuación.

En este trabajo se supondrá que la presión, densidad y velocidad de las

partículas, en el caso de medio en movimiento, son pequeñas en relación al valor medio

o de equilibrio. Esto implica que a la presión y velocidad media o de equilibrio, se

superpone una amplitud acústica pequeña, despreciable frente al valor medio, lo que se

representa de la siguiente manera:

[2.2.5]

Siendo p, valores pequeños frente al valor medio,

Modelado acústico de silenciadores

34

La hipótesis anterior supone una limitación de la aplicación de la ecuación de

ondas, restringiendo ésta a fenómenos acústicos con ondas de baja amplitud. En

concreto, no debemos superar los 140 dB, a partir de los cuales el resultado obtenido no

sería tan razonable.

En cualquier caso, a pesar de que la solución así obtenida sea válida,

únicamente, para menos de 140 dB, los silenciadores suelen presentar atenuaciones no

mayores de unos 80 dB. Por ello, la primera hipótesis que hemos impuesto puede no

tener excesiva relevancia para las simulaciones que se realizarán a lo largo de este

proyecto.

La segunda hipótesis consiste en admitir que se empleará el aire como fluido a

atenuar. Además, admitiremos que el aire es un fluido ideal y, por tanto, verificará la

ecuación de gas ideal y, además, consideraremos que su viscosidad es despreciable

La tercera hipótesis consiste en suponer que el proceso de propagación de ondas

es adiabático (entre el interior y el exterior no es posible intercambio térmico). Este

supuesto se justifica porque la variación de temperatura en las partículas se considera

despreciable en cualquier perturbación acústica. Esta hipótesis implica que, al ser el gas

ideal, el proceso es isoentrópico.

Empleando las ecuaciones de comportamiento de gas ideal y teniendo presente

las hipótesis anteriores:

[2.2.6]

El diferencial de la ecuación anterior:

[2.2.7]

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

[2.2.8]

Aplicando la última ecuación a una masa fija:

[2.2.9]

Reordenando y teniendo en cuenta la velocidad del sonido en el medio, c0, se

obtiene:

[2.2.10]

[2.2.11]

Modelado acústico de silenciadores

35

A continuación se van a plantear las ecuaciones de Navier- Stokes, teniendo en

cuenta el aire con comportamiento de gas ideal. Por otro lado, se ha supuesto que las

funciones , P y u varían ligeramente respecto a sus valores medios y que la

aceleración viene indicada por la ecuación que se muestra a continuación

[2.2.12]

Además, el término de la fuerza por unidad de volumen se debe a . Con

todo ello se puede suponer que la ecuación de continuidad queda como sigue:

(

) [2.2.13]

Sustituyendo las tres ecuaciones en la de Navier-Stokes simplificada se obtiene

la siguiente expresión:

( ) (

) ( ) [2.2.14]

Operando en la relación anterior resulta:

[2.2.15]

Para linealizar la ecuación, se ha de tener presente que no se consideran los

términos de orden superior. Por otro lado, el término ( ) es mucho menor que

y, por tanto, no se tendrá en cuenta. Además, el término es nulo ya que P0 es

constante.

Finalmente, la ecuación de Navier linealizada queda de la siguiente manera:

[2.2.16]

Llegado a este punto, sólo queda analizar la ecuación de continuidad. Como

hemos supuesto que las variables acústicas sufren pequeñas variaciones en torno a su

valor medio, la ecuación de continuidad, se expresará de la siguiente manera:

( ) [( ) ]) [2.2.17]

Tras operar en la ecuación anterior resulta lo siguiente:

( ) [2.2.18]

Una vez simplificada, se puede proceder a la linealización de la ecuación

anterior, teniendo presente que el término es un infinitésimo de orden superior frente

al resto de términos y, por tanto se despreciará. Además, como la densidad media tiene

Modelado acústico de silenciadores

36

un valor constante, resulta que

.

Finalmente, la expresión de la ecuación de continuidad linealizada es la

siguiente:

[2.2.19]

Una vez se han obtenido las tres ecuaciones linealizadas se procede a hallar la

ecuación de ondas objeto del estudio:

[2.2.20]

[2.2.21]

Combinando dichas expresiones se obtiene lo que sigue:

[2.2.22]

Teniendo en cuenta la hipótesis de pequeñas variaciones de presión y densidad,

se puede suponer que:

[2.2.23]

Considerando las ecuaciones linealizadas de continuidad y la ecuación obtenida

anteriormente, junto a esta última, se obtiene la ecuación de ondas:

[2.2.24]

Si se considera la excitación armónica, definida como , se obtiene

finalmente la ecuación de Helmholtz:

[2.2.25]

El anterior análisis se ha llevado a cabo sin tener presente la influencia de flujo

medio. En el supuesto de haberlo tenido en cuenta, el problema se complicaría bastante

al aparecer diversos términos que, en ocasiones, no serán fáciles de eliminar. No

obstante, este hecho no influirá en el presente proyecto ya que no consideramos la

influencia de dicho flujo medio.

El flujo medio es un efecto que, tal y como se ha comentado, aparece

únicamente cuando el fluido que atraviesa el silenciador lo hace a grandes velocidades.

Cuando esto sucede, el aire, al atravesar el silenciador y por el simple hecho de

atravesarlo a cierta velocidad, induce un ruido en éste generando vibraciones y ruido.

Se ha llegado a un sistema de ecuaciones lineales más simple de abordar que el

de partida. En cualquier caso, de cara al presente proyecto interesa particularizar dicho

Modelado acústico de silenciadores

37

sistema a conductos.

Ondas sonoras en conductos

Como se acaba de comentar, se va a particularizar el sistema obtenido al caso de

trabajar ante conductos, lo cuál suele ser usual a la hora de hablar de silenciadores. En

ellos, se supondrá que la presión sonora es casi constante a lo largo de la sección

constante. Por tanto, supondremos que se está ante ondas longitudinales tal y como se

dedujo que era lo usual por estar ante un fluido (aire, particularmente).

La suposición de onda plana será valida en la llamada región de onda plana, en

la cual el análisis se llevará a cabo como unidimensional. En el presente proyecto se

supondrá que se trabaja siempre en frecuencias dentro de esta región de onda plana y,

por tanto, se tomará como válidas las simplificaciones que de ellas deriven.

Teniendo presente que el eje Z es la dirección por la cual entra y sale el fluido, la

ecuación de Helmholtz simplificada para el caso comentado anteriormente, tiene la

siguiente forma y solución respectivamente:

[2.2.26]

( ) [2.2.27]

Siendo y amplitudes complejas asociadas a la onda progresiva y

regresiva, respectivamente.

En las ecuaciones anteriores se ha obviado la influencia de la onda en las

coordenadas “x” e “y” ya que se estaba suponiendo ecuación de onda plana en la

dirección principal del silenciador. Esto es válido para ondas planas que se inducen en

conductos donde se pueda despreciar la viscosidad (válido siempre que el silenciador no

sea excesivamente estrecho) y su dimensión principal (eje Z) mayor que los otros dos.

En el caso en que deba aplicarse la ecuación general, ésta sería de la forma:

En el caso de suponer onda plana (ejes X e Y despreciables), la ecuación de la

velocidad queda como se indica a continuación:

( )

( )

( ) [2.2.28]

Siendo la impedancia característica del medio.

Para el cálculo de la ecuación anterior, se precisa conocer las condiciones de

contorno en el conducto en el que se estén aplicando las ecuaciones.

Modelado acústico de silenciadores

38

En resumen, se ha obtenido un método mucho más simple que el inicial. el cuál

era prácticamente irresoluble para la mayoría de los casos. Gran cantidad de programas

de cálculo y simulación toman como válidas las hipótesis de simplificación que hemos

expuesto anteriormente, generando resultados intuitivos y razonables para la inmensa

mayoría de los casos.

En cualquier caso, hay que ser consciente en todo momento que se está

obteniendo tan sólo una aproximación, y que ésta es válida para pequeñas

perturbaciones y bajos niveles sonoros (por debajo de 140 dB) pero que, en el caso de

los silenciadores, no es excesivamente crítico, al trabajar bastante por debajo de dichos

valores.

2.2.2. Análisis de los sistemas en conductos

Introducción

Una vez descritas las ecuaciones de onda particularizada para el caso de

conductos, se procede a analizar el método que será empleado por las simulaciones que

se llevarán a cabo.

El programa que nos permitirá la simulación acústica de los silenciadores, tiene

la opción de elegir entre resolver problemas según el método de los elementos finitos

(MEF), o bien empleando el método de las condiciones de contorno (BEM).

En el proyecto que se expone, se empleará el método de los elementos finitos

para realizar las distintas simulaciones que, a lo largo del tercer y cuarto capítulo, se

detallarán.

A continuación, se procederá a explicar el método matricial, para acabar

definiendo el método de elementos finitos en los casos de geometrías complejas en los

que se precise su uso. En cualquier caso, partiendo de la base explicada hasta ahora, se

trata de comprender cuál es el funcionamiento, a grandes rangos, del programa que

permitirá modelar y simular el comportamiento de los silenciadores.

2.2.2.1. Método matricial

En este apartado se trata de obtener el campo de presiones y velocidades de

volumen a lo largo del silenciador. Con ellos, se podrá definir el silenciador ya que,

como bien se comentó anteriormente, en función de esos valores se podrá definir la

atenuación acústica del silenciador, que lo caracterizará

Modelado acústico de silenciadores

39

El citado método de la matriz de transferencia o método matricial, se emplea

para analizar sistemas tales como silenciadores o filtros acústicos. Por regla general, los

silenciadores se compondrán de diversos elementos acoplados uno detrás de otro. Para

poder llegar a una solución de forma simple supondremos que se trabaja a bajas

frecuencias, de tal manera que se pueda suponer comportamiento unidimensional en

cada uno de los tubos o elementos de los que se compone el silenciador.

En este método, se generará la matriz de transferencia por separado, de cada uno

de los elementos de los que se compondrá el silenciador. En ellos, se supondrá

comportamiento unidimensional y, una vez construidas todas las matrices, ya que el

silenciador es análogo a poner en serie todos y cada uno de sus elementos, bastará con

multiplicar las matrices de transferencia para tener resuelto el problema matricial.

Estamos suponiendo que los niveles de velocidad de volumen, así como presión

a la salida de un elemento o parte del silenciador, coincide con la velocidad de volumen

y presión a la entrada del siguiente, garantizando que se pueda plantear la resolución del

sistema tal y como se acaba de indicar.

Los elementos o partes a los que se ha referido los párrafos anteriores, podrían

ser cambios bruscos de sección transversal, tubos extendidos y/o tubos perforados,

conectados en serie.

A continuación se va a ilustrar la base teórica del método de la matriz con el

siguiente ejemplo de conducto simple:

Fig.2.14. Conducto simple

La presión sonora y la velocidad de volumen en las posiciones 1 (extremo

superior) y 2 (extremo en sentido descendente), en la figura anterior, se pueden

relacionar por las siguientes expresiones:

[2.2.30]

[2.2.31]

Modelado acústico de silenciadores

40

Donde A, B, C, y D son los elementos que componen la matriz de transferencia y

se llaman los parámetros de cuatro polos. Éstas son cantidades complejas, dependientes

de la frecuencia, que incorporan las características acústicas del conducto y describen la

respuesta espectral de éste. Éstos se pueden calcular mediante métodos clásicos.

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma matricial, lo que da

nombre al método que se está considerando.

[2.2.32]

Equivalentemente podemos escribir:

[2.2.33]

Donde es un vector de estado que incorpora las variables de

presión p y velocidad u, en la entrada y en la salida del conducto o silenciador.

Por otro lado, se define T como la siguiente matriz de transferencia:

[2.2.34]

Dicha matriz relaciona velocidad de volumen y presión sonora entre la entrada y

salida del elemento que se está estudiando. Además, se cumple que el determinante de

la matriz es uno, y es simétrica.

A continuación, se va a plantear un ejemplo algo mas complejo en el que se

tengan varios elementos en serie, en concreto seis elementos, en los cuales se podrá

construir la matriz de transferencia. En la siguiente figura se muestra un posible ejemplo

de ilustración:

Fig. 2.15. Conducto complejo

Modelado acústico de silenciadores

41

En este caso, se tienen seis matrices de transferencia que, al estar los elementos

en serie unos detrás del otro, si se quiere conocer la velocidad de volumen y la presión a

la salida, a partir de la entrada, se pueden relacionar a partir de una matriz de

transferencia que se obtendrá al multiplicar las seis matrices de los elementos en serie

de los que se compone el silenciador.

[2.2.35]

Para resolver el ejemplo anterior, bastaría conocer todas y cada una de las

matrices de transferencia, para cada uno de los elementos que integran el silenciador.

Hoy en día, no resulta complicado encontrar en la literatura, matrices de transferencia

para distintos tipos de conductos y geometrías, en algunos casos, incluso, dependiendo

de parámetros adicionales tales como la conductividad del calor.

En cualquier caso, hay determinadas situaciones en las que la geometría es muy

complicada hasta el punto de generar unas ecuaciones matemáticas con una elevada

complejidad elevada. Por ello, se suele recurrir a resolver el problema empleando el

método de los elementos finitos con el fin de obtener numéricamente cada constante.

2.2.2.2. Aplicación del Método de Elementos Finitos

En lo que sigue, se trata de explicar el procedimiento seguido para la aplicación

del método de elementos finitos, empleado por el Virtual.lab para las simulaciones que

se realizarán durante el presente proyecto. En este procedimiento se pretende calcular

los campos de presiones y velocidades acústicos con los que obtener la atenuación

acústica.

Al igual que se ha supuesto hasta ahora, no se tendrá en cuenta la influencia del

flujo medio. En cualquier caso, hay que ser consciente de esta suposición, mas aún al

trabajar con material absorbente (trabaja a más velocidad de fluido), así como al trabajar

con placas perforadas en las se reduce con facilidad, la sección de paso aumentando la

velocidad de forma considerable.

Se seguirá empleando el método unidimensional calculado en el anterior

desarrollo, considerando como único movimiento de las partículas, el asociado a la

perturbación acústica.

Se partirá de la ecuación de ondas y, sobre ella, se desarrollará el planteamiento

de elementos finitos para, más adelante, comentar los aspectos fundamentales

asociados, tales como, las matrices resultantes, el sistema de ecuaciones obtenido y las

posibles condiciones de contorno. Con lo anterior se procede al planteamiento

matemático.

En ocasiones, la resolución analítica no es viable para problemas con geometría

Modelado acústico de silenciadores

42

compleja, pudiendo encontrar, para ellos, alguna simplificación que, a costa de obtener

una peor aproximación permita resolver el problema forzando que se satisfagan

condiciones de contorno en los grados de libertad.

El problema de elementos finitos se puede plantear partiendo de la formulación

diferencial, o bien de un principio variacional. En el primer caso, el método de

elementos finitos se puede considerar como un método de residuos ponderados

(Galerkin) que es una técnica que se utiliza para una solución aproximada de las

ecuaciones diferenciales. En el segundo caso, el método de elementos finitos puede ser

considerado como un método variacional (Rayleigh-Ritz).

En este trabajo, se empleará el desarrollo a partir de residuos ponderados. De

esta manera, se pretende obtener la propagación de la onda en el interior del silenciador,

así como sus principales características.

La ecuación de ondas deducida en la sección anterior es la siguiente:

[2.2.36]

Esta ecuación se denomina ecuación de Helmholtz ya que considera

comportamiento armónico. Esta expresión gobierna el comportamiento del campo de

presiones acústicas en el seno del fluido, durante el movimiento asociado al avance de

la onda de presión.

A continuación se aplica el procedimiento matemático que da lugar a las

ecuaciones de elementos finitos. Para ello, se considera la formulación de Galerkin.:

2

2 2

0

1d d 0

V V

PP V P P V

c t

[2.2.37]

Aplicando el teorema de Green a la segunda integral, resulta lo siguiente:

2

2 2

0

1d d d 0

V A V

PP V P P A P P V

c t

[2.2.38]

Reformulando la expresión anterior se deduce:

2

2 2

0

1d d d

V V A

PP V P P V P P A

c t

[2.2.39]

El operador diferencial L se caracteriza por la siguiente ecuación:

P L P

[2.2.40]

Modelado acústico de silenciadores

43

Considerando la presión como único grado de libertad por nodo, y discretizando

el volumen en ne elementos, la presión se puede expresar como sigue:

eP N P

[2.2.41]

siendo eP

el vector de presiones en cada nodo del elemento.

De las últimas tres ecuaciones resulta:

21 0

1

1

1d

d

d

e

e

e

e

e

e

nt te e e

Vi

nt t te e e

Vi

nt t te e

Ai

P N N P Vc

P N L L N P V

P N n P A

[2.2.42]

Donde n es el vector normal a la superficie de contorno en cada punto. Se

observa que sólo intervienen dos variables espaciales, ya que se está considerando un

problema axisimétrico, dichas variables son la coordenada del eje de revolución “z” y la

coordenada radial r. De esta forma, las integrales en el volumen son, en realidad,

integrales de área (puesto que no hay variación circunferencial y la integral asociada a la

coordenada circunferencial da como resultado 2). Si se define la matriz B del

siguiente modo:

1

1

1

....

n

n

n

NN

r r rB L N N N

NN

z z z

[2.2.43]

Entonces la anterior ecuación se puede escribir como sigue:

21 10

1

1d d

d

e e

e e

e

e

n nt te e e e

V Vi i

nt t e

Ai

N N V P B B V Pc

N n P A

[2.2.44]

Por último, introduciendo la nomenclatura:

Modelado acústico de silenciadores

44

21 0

1

1

1d

d

d

e

e

e

e

e

e

nt e

Vi

nt e

Vi

nt t e

Ai

M N N Vc

K B B V

F N n P A

[2.2.45]

la ecuación se puede expresarse como sigue:

e eM P K P F

[2.2.46]

El problema resultante es un sistema de ecuaciones diferenciales que es de

simple resolución. Considerando excitación armónica, el problema proporcionará la

presión en los nodos para cada frecuencia de excitación.

A continuación, se desarrollan las matrices integrales anteriores. La presión P en

un punto del elemento e se obtiene a partir de la ecuación que se muestra a continuación

1

( , )n

e

i i

i

P N P

[2.2.47]

Donde:

eP N P [2.2..48]

Pi

e

es la presión en el nodo i del elemento e.

Ni ( , ) es el valor de la función de forma asociada al nodo i del elemento e en el

punto de coordenadas locales y .

n es el número de nodos por elemento

Por otro lado:

1( , )...... ( , )nN N N

[2.2.49]

y

1 .....

te e e

nP P P [2.2.50]

Modelado acústico de silenciadores

45

Para el caso de problema axisimétrico, la transformación isoparamétrica de

coordenadas se puede expresar como sigue:

1

1

( , )

( , )

ne

i i

i

ne

i i

i

r N r

z N z

[2.2.51]

Donde:

ri

e

es la coordenada r en el sistema global cilíndrico del nodo i del elemento e.

zi

e

es la coordenada z en el sistema global cilíndrico del nodo i del elemento e.

La matriz jacobiana de la transformación de coordenadas se puede expresar de la

siguiente manera:

1 1

1 1

n ni i

i i

i i

n ni i

i i

i i

N Nr zr z

r z N Nr z

[2.2.52]

Las derivadas parciales de las funciones de forma, respecto a las coordenadas

globales, se muestran a continuación:

1

i i

i i

N Nr z

r

N r z N

z

[2.2.53]

El gradiente de la presión en un punto se puede expresar del siguiente modo:

P

rP

P

z

[2.2.54]

Modelado acústico de silenciadores

46

Utilizando la expresión de [B], el gradiente queda como sigue:

PBP [2.2.55]

En el caso del problema axisimétrico, las integrales de volumen quedan como se

muestra a continuación:

( , )d ( , ) d d d 2 ( , ) d de e

e

V VF r z V F r z r r z F r z r r z [2.2.56]

Y en función de las coordenadas locales del elemento resulta:

( , )d 2 ( , )det ( , )d d

e

e

VF r z V F J r [2.2.57]

Utilizando este resultado, es posible calcular las matrices de masa y rigidez

mediante las siguientes integrales:

2

0

12 ( , ) ( , ) det ( , )d d

2 ( , ) ( , ) det ( , )d d

te

te

M N N J rc

K B B J r

[2.2.58]

Por otro lado, el cálculo del vector de fuerzas no es tan directo como la masa y la

rigidez, ya que depende del gradiente de la presión en el contorno considerado. En

cualquier caso, dicho gradiente se relaciona con la velocidad del fluido en el contorno.

Este término se utiliza para forzar un determinado campo de velocidades en un

contorno, cuando es necesario especificar dicha condición de contorno.

Por ello, no se suele expresar el vector de fuerzas mediante el gradiente de

presiones, sino en términos de la velocidad del fluido.

Aplicando la fórmula de Navier-Stokes se obtiene la siguiente ecuación:

0 de

t te e

A

UF N n A

t

[2.2.59]

Suponiendo que la derivada parcial de la velocidad respecto al tiempo es

constante en todo el contorno, y teniendo en cuenta el vector {n} se tiene lo siguiente:

0 de

te en

A

UF N A

t

[2.2.60]

Modelado acústico de silenciadores

47

donde

nU

t

es la derivada temporal de la componente normal de la velocidad en el

contorno.

En el caso en que admitamos comportamiento armónico, se obtiene lo siguiente:

0 0jn

n n

UP U

t

[2.2.61]

0j d

e

te e

nA

F U N A [2.2.62]

Expresado en coordenadas locales axil-simétricas resulta:

02 j ( )de t

ns

F U N r s s [2.2.63]

Modelado acústico de silenciadores

48