2. der einfache gleichstromkreis -...

2. Der einfache Gleichstromkreis

Dipl.-Ing. Uwe Wittenfeld 2013 Der einfache Gleichstromkreis

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2.1 Einführung

Strom kann nur in einem geschlossenen Kreis fließen. Eine Spannungsquelle trennt positive und negative Ladungen. Es kann ein Stromfluss vom Pluspol zum Minuspol der Spannungsquelle stattfinden, wenn der Kreis geschlossen ist.

Beispiel: Anschluss einer Glühlampe

Für allgemeine Betrachtungen wird die Lampe durch einen Widerstand ersetzt. So wie es verschiedene Glühlampen gibt, so gibt es auch verschiedene Widerstände, die für den Stromfluss ein mehr oder weniger großes „Hindernis“ darstellen.

Widerstand Stromfluss

2.2 Elektrische Spannung und Leistung

Die Trennung von Ladungsträgern in einer Spannungsquelle erfordert Arbeit, gespeicherte

Arbeit wird Energie genannt. Arbeit und Energie werden in Joule1 gemessen (Formelzeichen:

W, Einheitenzeichen: J).

Spannung ist definiert als Arbeit pro Ladung. Sie wird in Volt2 gemessen. Formelzeichen: U, Einheitenzeichen: V

Wie in der Mechanik wird als Leistung die Arbeit pro Zeit definiert.

Leistungen werden in Watt3 angegeben. (1 W = 1 VA)

1 James Prescott Joule, 1818 – 1889, britischer Physiker 2 Alessandro Volta, 1745 – 1827, italienischer Physiker 3 James Watt, 1736 – 1816, schottischer Erfinder



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2.3 Elektrischer Widerstand, Ohm’sches Gesetz

Bereits 1826 veröffentlichte Ohm4 seine Erkenntnisse, dass der Strom durch einen Leiter

proportional zur angelegten Spannung ist. Der Proportionalitätsfaktor ist eine

Materialkonstante und wird Widerstand genannt.

Ohm’sches Gesetz Einheit: Ohm Formelzeichen: R, Einheitenzeichen: Ω

Leitwert Der Kehrwert des Widerstandes heißt Leitwert und wird in Siemens5 gemessen. Formelzeichen: G, Einheitenzeichen: S (Achtung: nicht mit einem kleinen s für Sekunden verwechseln!)

Stromdichte Der maximal durch einen Leiter fließende Strom ist durch den Querschnitt des Leiters begrenzt. In Cu-Leitern sollten maximal 5 A pro mm² fließen. Für große Ströme sind also dicke Kabel notwendig. Anwendung; Schmelzsicherung

Zusammenfassung Formeln

4 Georg Simon Ohm, 1789 – 1854, deutscher Physiker 5 Ernst Werner Siemens, 1816 – 1892, deutscher Erfinder und Industrieller



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Notizen zur Lösung der Aufgaben



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2.4 Spezifischer Widerstand

Um definierte Widerstände herstellen zu können oder um den Widerstand einer Leitung

berechnen zu können, benötigt man den spezifischen Widerstand des Materials.

Der spezifische Widerstand gibt den Widerstand eines Leiters von einem Meter Länge mit

einem Querschnitt von einem mm² in Ohm an. Der Kehrwert des spezifischen Widerstandes

wird spezifischer Leitwert genannt.

ρ (Rho) : spezifischer Widerstand in

γ (Gamma) :spezifische Leitfähigkeit in

Nach: Georg Strauss, IKA Reutte

Beispiele:

a. Wie groß ist der Leiterwiderstand einer Kupferleitung von 100 m Länge und einem

Querschnitt von 1,5 mm² ? (ca. 1,2 Ω)

b. Eine Spule besteht aus 100 m Kupferdraht mit einem Durchmesser von 0,2 mm. Wie groß ist

ihr Widerstand? (R = 56,7 )

c. Gegeben ist eine 60 km lange Hochspannungsleitung aus Aluminium mit einem Durchmesser

von 5cm. Die Leitung wird von einem Strom von 2 kA durchflossen. Berechne den

Leiterwiderstand. (R = 0,85)

d. Eine Baustelle ist 650 m von einer Spannungsquelle entfernt und wird durch eine Zuleitung

aus Kupferdraht (0,0175 Ω mm2 / m) mit Strom versorgt. Die Belastung des Kupferdrahtes

beträgt 25 A.

Berechne den durch die Zuleitung auftretenden Spannungsverlust für einen

Drahtdurchmesser von 5 mm!

(R=1,16 Ω , U=29V)



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2.5 Reale (ohmsche) Widerstände

Schaltzeichen:

DIN EN 60617 ANSI

Klassisch werden Widerstände mit axialen Anschlüssen für TTH-Verdrahtung (Thrue-The-Hole) verwendet, d.h. Drahtenden umbiegen, durch Löcher in der Leiterplatte stecken und auf der Rückseite festlöten. Durch kleinere Baugruppen werden jedoch überwiegend in SMD-Bauweise (Surface-Mounted-Device) verwendet. Die mechanische Größe eines Widerstandes hängt nicht von seinem Widerstandswert sondern von der zulässigen Belastung ab. Der Wert eines klassischen Widerstandes wird durch einen Farbcode dargestellt.

Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Widerstände.JPG



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.

SMD-Widerstände werden nicht mit Farbcodes, sondern mit einer dreistelligen Nummer gekennzeichnet Das untere Bild zeigt einen 2 MΩ Widerstand. Das Rastermaß des blauen Gitters beträgt 1mm.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Register3.jpg

Die Tabelle auf der rechten Seite zeigt die Umrechnung der aufgedruckten Zahl in den Widerstandswert. www.electronicsplanet.ch/Praxis/widercod/farbwid.htm

Für Widerstände in der Elektronik, die keine große Verlustleistung (Wärmebildung)

abführen müssen wird entweder eine Kohleschicht (preiswert, aber große Toleranz) oder

eine Metalloxidschicht (teurer aber genauer) verwendet. Die genaue Einstellung des

Widerstandswertes wird durch die Schichtdicke oder eine Wendelung vorgenommen.

Übung:

1. Geben sie den Farbcode für folgende Widerstandswerte und Toleranzen an:

a. 470Ω, 5%

b. 91kΩ, 10%

c. 470Ω, 2%

2. Bestimmen Sie die Werte der Musterwiderstände



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Selbstverständlich stehen nicht für jeden Widerstandswert fertige Widerstände zur

Verfügung. Bei vielen Anwendungen kommt es auch nicht auf eine perfekte

Übereinstimmung an, wobei zu beachten ist, dass übliche Widerstände eine Toleranz von

mehreren Prozent haben.

Die Werte käuflicher Widerstände sind den sogenannten E-Reihen angepasst. Dabei teilt

man jede Dekade in 3 (E3), 6 (E6), 12 (E12) usw. bis E192 ein. Die Abstände der einzelnen

Werte sind dabei nicht linear sondern logarithmisch abgestuft. Die folgende Grafik zeigt die

Werte der E12-Reihe über 2 Dekaden. Widerstände der E12 Reihe zwischen 10Ω und 1MΩ

stehen Ihnen im Labor für Experimente zur Verfügung.

Quelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:E12_values_graph.svg

Graphische Darstellung der E12-Reihe über 2 Dekaden.

2.6 Veränderbare Widerstände Reale Widerstände sind nicht perfekt konstant. Ihr Wert hängt z.B. von der Temperatur ab.

Es sind aber spezielle Widerstände verfügbar, die sich durch physikalische Größen wie z.B.

die Lichtstärke oder die Temperatur stark ändern und zur Messung dieser Größen eingesetzt

werden können. Auf diese Bauelemente wird zu einem späteren Zeitpunkt eingegangen.



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2.7 Reihenschaltung von Widerständen

In einer Reihenschaltung durchfließt der Strom der Reihe nach alle Widerstände, er ist

überall gleich.

In einer Reihenschaltung ist der Strom überall gleich groß.

In der Reihenschaltung ist die Summe aller Teilspannungen

gleich der Gesamtspannung.

Dieser Zusammenhang wird auch als Kirchhoffsche6 Maschenregel bezeichnet.

Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist

gleich der Summe aller Teilwiderstände.

6 Gustav Robert Kirchhoff, 1824 - 1887



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Allgemeine Maschenregel:

Mit der Maschenregel lassen sich auch komplexe elektrische Schaltungen mit mehreren

Maschen analysieren, da die Regel für jede einzelne Masche gültig ist. Dazu formuliert man

die Maschenregel dann am Besten in ihrer allgemeinen Form:

Maschenregel: ∑

Aufgaben zur Reihenschaltung:

1. Eine Spannungsquelle (U = 12V) wird an eine Reihenschaltung von 3 Widerständen

(R1 = 470Ω, R2 = 1,5kΩ, R3 = 2,2kΩ) angeschlossen. Berechnen Sie den Strom, den

die Spannungsquelle liefert und die Spannungen an den drei Widerständen.

2. An einer Spannungsquelle ist eine Reihenschaltung von 2 Widerständen

angeschlossen. Durch R1, der einen Wert von 500Ω hat, fließt ein Strom von einem

mA. Wie groß ist die Versorgungsspannung, wenn R2 den Wert 3,5 kΩ hat.



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2.8 Parallelschaltung von Widerständen

Bei der Parallelschaltung von Widerständen liegt an allen Widerständen die gleiche

Spannung (hier: die Versorgungsspannung) an.

In einer Parallelschaltung ist die Spannung überall gleich groß.

In der Parallelschaltung ist der Strom durch die Spannungsquelle gleich der

Summe aller Einzelstöme durch die Widerstände.

Dieser Zusammenhang wird auch als Kirchhoffsche Knotenregel bezeichnet.

Knotenregel:

∑

Für den Ersatzwiderstand gilt folgender Zusammenhang:

∑

Merksatz:

Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste

Einzelwiderstand.



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Aufgaben zu Reihen und Parallelschaltung:

1. Berechnen Sie den Strom durch die Spannungsquelle bei folgenden vorgegebenen

Werten: U=10V, R1=100Ω, R2=200Ω, R3=50Ω

2. Alle Widerstände der folgenden Schaltungen haben 1Ω. Wie groß ist jeweils der

Gesamtwiderstand?

3. Alle Widerstände haben den Wert 10Ω. Wie groß ist der Strom durch die

Spannungsquelle und durch den Widerstand R4, wenn an die Klemmen eine

Spannung von 10V angelegt wird?

4. Alle Widerstände der folgenden Schaltung haben den Wert 3Ω. Wie groß ist der

(Ersatz-)Widerstand zwischen den Punkten A und B?



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2.9 Spannungsteiler Der unbelastete Spannungsteiler

Nicht für jede Spannung, die in einer Schaltung benötigt wird, steht eine entsprechende Spannungsquelle zur Verfügung. Das Problem kann dadurch gelöst werden, dass aus einer Spannungsquelle, die eine höhere Spannung liefert, die gewünschte Spannung mit Hilfe eines Spannungsteilers „geteilt“ wird.

In der obigen Schaltung soll mit Hilfe eines Spannungsteilers aus der Versorgungsspannung

U0 die Ausgangsspannung UA abgeleitet werden.

Maschenregel: Uo = U1 + U2 = U1 + UA UA = U0 - U1

Knotenregel: I1 = I2 = I

Bedenken Sie:

Der Teilungsfaktor hängt nur von Widerstandsverhältnissen ab!

Voraussetzung für die Anwendung der Formel ist, dass der Spannungsteiler nicht belastet ist. D.h., es ist sicherzustellen, dass I1 und I2 identisch sind.

Aufgabe: Es steht eine Spannungsquelle mit einer Spannung von 5V oder 12V zur Verfügung. Berechnen Sie für beide Spannungsquellen einen Spannungsteiler, der eine Spannung von 3,3V liefert.

a. Welche Widerstände würden für einen „perfekten“ Spannungsteiler gebraucht? b. Welche Ausgangsspannung würde sich ergeben, wenn Sie die Werte der Widerstände

mit einem beliebigen Faktor multiplizieren? c. Sie haben beliebige Widerstände aus der E12-Reihe zur Verfügung. Die

Widerstandstoleranzen werden vernachlässigt. Wählen Sie zwei möglichst passende Widerstände aus und berechnen Sie die Ausgangsspannung des „realen“ Spannungsteilers.

d. Welche Möglichkeit gibt es, die Abweichung der Ausgangsspannung vom

gewünschten Wert zu minimieren?



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Praktische Anwendung: Einstellbarer Spannungsteiler: Oft ist es wünschenswert, einen Spannungsteiler neu einstellen zu können, ohne die Widerstände auszuwechseln. Solche Bauteile werden Potentiometer (oder kurz: Poti) genannt. Drehpotentiometer (es gibt auch Schiebepotentiometer) haben üblicherweise einen Drehbereich von 270°. Potentiometer werden nur noch selten angewendet, wenn sie häufig bedient werden (z.B. Lautstärkeregler), da sie einem mechanischen Verschleiß unterliegen.

Präzisionspotentiometer mit Getriebe

Joystick mit zwei Potentiometern



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Der belastete Spannungsteiler

Beim belasteten Spannungsteiler wird die Ausgangsspannung UA durch einen zusätzlichen Widerstand RL belastet. Der Strom durch die Spannungsquelle und den Widerstand R1 teilt sich in I2 und IA auf. Folgende Zusammenhänge sind somit bekannt:

(1) I1 = I2 + IA

(2) U0 = U1 + UL Die Ausgangsspannung UA ist immer niedriger (höchstens gleich) als die Ausgangsspannung des unbelasteten Spannungsteilers Das folgende Bild zeigt die Ausgangsspannung eines belasteten Potentiometers in Abhängigkeit vom Drehwinkel.

Quelle der Abbildungen: W. Pippels, Grundlagen der Elektrotechnik, 12. Juli 2013



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2.10 Messtechnik Dieser Aspekt wird in den technischen Übungen abgehandelt und praktisch geübt.

2.11 Nichtlineare Widerstände Bisher wurde immer von linearen Widerständen ausgegangen. Ein doppelt so hohe Spannung würde auch einen doppelt so hohen Strom bedeuten. Der Wert des Widerstandes ist immer gleich. Es gibt aber durchaus Widerstände, die ihren Wert abhängig von einer physikalischen Größe andern. Das kann z.B. die Temperatur, der Lichteinfall oder die anliegende Spannung sein.

PTC (positiver Temperaturkoeffizient) Kaltleiter: Mit steigender Temperatur nimmt auch der Widerstand zu.

NTC (negativer Temperaturkoeffizient) Heißleiter: Mit steigender Temperatur nimmt der Widerstand ab.

Fotowiderstand

Der Widerstandswert hängt von der Intensität des Lichtfalls ab.

Varistor

Oberhalb einer gewissen Spannung wird der Widerstand kleiner.

Ende Kapitel 2

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