2 capítulo2 estatica de partículas

Grupo tutor-el por el desarrollo integral de el Ingeniero 114/04/2023

Mecánica 1: Estática

Capítulo 2: Estática de Partículas

Vectores, Partículas y Cuerpos

14/04/2023Grupo tutor-el por el desarrollo

integral de elIngeniero 2

• Vector: parámetro que tiene magnitud y dirección. Se suman según la Ley del Paralelogramo.

• Vectores iguales tienen la misma magnitud y dirección

• Vector negativo de un vector dado es aquel que tiene misma magnitud pero dirección opuesta.

• Escalar: parámetro con magnitud, pero no dirección.

• Partícula: se usa este modelo cuando todas las fuerzas convergen al mismo punto.

• Cuerpo: se usa este modelo cuando no todas las fuerzas convergen al mismo punto.

Suma de vectores



• Ley del paralelogramo

• Ley del triángulo

B

B

C

C

• Ley de senos:

sin sin sinA B C

a b c

• La suma de vectores en conmutativa PQQP

• Resta de vectores: usar el vector negativo

2 2 2 2 cosb a c a c B

• Ley de cosenos:

Suma de vectores



• La suma de 3 o más vectores se logra aplicando en forma repetida la Ley del Triángulo.

• Ley del polígono: otra forma de efectuar la suma de 3 o más vectores.

• La suma de vectores es asociativa:

SQPSQPSQP

• Multiplicación de un vector por un escalar: afecta directamente la magnitud, y si el escalar es negativo, cambia la dirección

Resultante de Fuerzas Concurrentes



• Fuerzas concurrentes: grupo de fuerzas que pasan a un mismo punto.Al aplicarse a una partícula, también se pueden sustituir por una fuerza resultante, correspondiente al vector suma de las fuerzas aplicadas.

• Componentes del vector Fuerza: se refiere a 2 o más vectores fuerza que al actuar juntos, tienen el mismo efecto que un vector fuerza.

Problema resuelto 2.1



Dos fuerzas actúan en el perno A. Determine su resultante.

SOLUCION:

• Solución gráfica – construir a escala un paralelogramo con lados en las mismas direcciones de P y Q. Gráficamente evaluar la resultante equivalente, la cual es equivalente en dirección y proporcional en magnitud, a la diagonal.

• Solución trigonométrica – Usar la regla del triángulo para sumar vectores, en conjunto con la Ley de Cosenos y Ley de Senos para encontrar la resultante.




• Solución Trigonométrica – Aplicar la Ley del

Triángulo. De la Ley de Cosenos:

155cosN60N402N60N40

cos222

222 BPQQPR

N73.97R

AA

R

QBA

R

B

Q

A

2004.15

N73.97

N60155sin

sinsin

sinsin

De la Ley de Senos,

04.35

Es usual que al resolver problemas de 2 fuerzas y su resultante, se usen LEY DE

SENOS y LEY DE COSENOS. Eso sí, es indispensable un

adecuado planteamiento geométrico.

8

14/04/2023Grupo tutor-el por el desarrollo integral de

elIngeniero 8

Ejercicios

1. Calcular la magnitud de la fuerza resultante FR , así como su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj, desde el eje x positivo.

9


elIngeniero 9

Ejercicios

2. El poste será extraído del terreno por medio de las cuerdas A y B. Si en A se aplica la fuerza de 600 lb indicada en un ángulo de 60° con la horizontal, calcule la fuerza T en la cuerda B y el correspondiente ángulo . Considere que la fuerza resultante que actuará sobre el poste va será de 1200 lb vertical hacia arriba.

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elIngeniero 10

Ejercicios 3. El camión es jalado usando dos cuerdas. Calcule la magnitud de las fuerzas en ambas, de forma que la resultante de 950 N esté dirigida a lo largo del eje x positivo. Tome en cuanto que = 50°.

Componentes rectangulares de una Fuerza: Vectores unitarios



• Los componentes vectoriales pueden expresarse como el producto de los vectores unitarios por las magnitudes escalares de dichas componentes:

Fx y Fy son los componentes escalares de

jFiFF yx

F

• Un vector fuerza se puede descomponer en sus componentes perpendiculares, tal que el paralelogramo resultante sea un rectángulo. son conocidos como componentes rectangulares del vector.

yx FFF

yx FF

y

• Los vectores unitarios tienen la dirección de los ejes x y y, y tienen magnitud 1.

ji

y

Suma de Fuerzas por Suma de Componentes.



SQPR

• Para encontrar la resultante de 3 o más fuerzas

concurrentes:

jSQPiSQP

jSiSjQiQjPiPjRiR

yyyxxx

yxyxyxyx

• Descomponer cada fuerza en componentes rectangulares

• Las componentes escalares de la resultante son iguales a la suma de las correspondientes componentes escalares de las fuerzas dadas.

x

xxxxF

SQPR

y

yyyy

F

SQPR

x

yyx R

RRRR 122 tan

• Para encontrar la magnitud y dirección




Cuatro fuerzas actúan en el perno A. Calcule la resultante de la fuerza ejercida en dicho perno.

SOLUCION:

• Descomponer cada fuerza en sus componentes rectangulares.

• Calcular la magnitud y dirección de la resultante.

• Calcular las componentes de la resultante, sumando las componentes de las fuerzas.




SOLUCION:• Descomponer fuerzas en componentes rectang.

9.256.96100

0.1100110

2.754.2780

0.759.129150

4

3

2

1

F

F

F

F

compycompxmagfuerza

22 3.141.199 R N6.199R

• Calcular la magnitud y dirección.

N1.199

N3.14tan 1.4

• Calcular los componentes de la resultante sumando las componentes de las fuerzas.

1.199xR 3.14yR

Equilibrio de una Partícula



• Cuando la resultante de las fuerzas que actúan en una partícula es CERO, se dice que la partícula están en equilibro.

• Partícula afectada por 2 fuerzas:- Igual magnitud- Misma línea de acción- Sentido opuesto

• Partícula afectada por 3 o más fuerzas:- La solución gráfica crea polígono cerrado- La solución algebraica

00

0

yx FF

FR

• Primera Ley de Newton: Si la resultante de fuerzas en una partícula es CERO, ella permanecerá en reposo, o a velocidad constante en línea recta.

Diagramas de cuerpo libre



Diagrama Espacial: dibujo o croquis mostrando las condiciones físicas del problema.

Diagrama de cuerpo libre (DCL): es un esquema mostrando únicamente las fuerzas actuando en una partícula de nuestro interés.

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elIngeniero 17

Diagramas de cuerpo libre:una pequeña muestra

18


elIngeniero 18

Diagramas de Cuerpo Libre(DCL)una pequeña muestra

RECUERDE

En POLEAS SIN FRICCION, la magnitud de la fuerza de tensión es igual a ambos lados de la cuerda y la dirección de estas fuerzas, es igual a la dirección que lleva la cuerda.




Se quiere calcular la fuerza de arrastre, a una velocidad. dada, en el prototipo del casco de un velero. Un modelo se coloca en el canal de prueba y 3 cables alinean la proa en la línea central del canal. Para cierta velocidad, la tensión en el cable AB es 40 lb y en el cable AE es 60 lb.

Calcule la fuerza de arrastre ejercida en la proa y la tensión en el cable AC.

SOLUCION:

• Escogiendo la proa como cuerpo libre, dibuje el DCL respectivo.

• Exprese la condición de equilibrio para la proa, indicando que la suma de todas las fuerzas debe ser cero.

• Descomponga la ecuación del vector equilibrio en 2 ecuaciones de componentes. Resuelva para las 2 tensiones desconocidas de los cables.




SOLUCION:

• Se dibuja el DCL para la proa.

25.60

75.1ft 4

ft 7tan

56.20

375.0ft 4

ft 1.5tan

• Expresando la condición de equilibrio para la proa, se plantea la suma de todas las fuerzas igual a cero.

0 DAEACAB FTTTR




• Al descomponer la ecuación de equilibrio en componentes, se resuelve para las 2 tensiones desconocidas.

jT

iFT

R

iFF

jT

jTiT

jTiTT

ji

jiT

AC

DAC

DD

AE

ACAC

ACACAC

AB

609363.084.19

3512.073.34

0

lb 06

9363.03512.0

56.20cos56.20sin

lb 84.19lb 73.34

26.60coslb 4026.60sinlb 40


elIngeniero 22


22

jT

iFT

R

AC

DAC

609363.084.19

3512.073.34

0

Esta ecuación se satisface sólo si cada componente de la resultante es igual a cero.

609363.084.1900

3512.073.3400

ACy

DACx

TF

FTF

lb 66.19

lb 9.42

D

AC

F

T

Equilibrio de una Partícula



Note la conveniencia de trabajar según la cantidad de fuerzas involucradas:.

NOTE QUE:

Cuando hay 3 fuerzas en equilibrio, suele ser más útil utilizar• LEY DE SENOS• LEY DE COSENOS

NOTE QUE:

Cuando hay 4 o más fuerzas en equilibrio, únicamente se puede utilizar:• COMPONENTES

RECTANG.• ANÁLISIS VECTORIAL• Triángulo de fuerzas NO!

24


elIngeniero 24

Ejercicios4. Determine las componentes x y y de cada fuerza que actúa sobre

la placa de nudo de la armadura de puente. Muestre que la fuerza resultante es cero.

25


elIngeniero 25

Ejercicios5. Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su

dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

26


elIngeniero 26

Ejercicios

6. El tubo de 30 kg está soportado en A por un sistema de cinco cuerdas. Determine la fuerza necesaria en cada cuerda para obtener el equilibrio.

Fuerzas en el Espacio: componentes rectangulares



• El vector está contenido en el plano OBAC.

F

• Dividir en sus componentes vertical y horizontal.

yh FF sin

F

yy FF cos

hF• Dividir en sus componentes rectang.

sinsin

sin

cossin

cos

y

hz

y

hx

F

FF

F

FF

Componentes Rectangulares en el Espacio


integral de elIngeniero28

• Con los ángulos entre y los ejes,F

kji

FkjiF

kFjFiFF

FFFFFF

zyx

zyx

zyx

zzyyxx

coscoscos

coscoscos

coscoscos

• es un vector unitario a lo largo de la línea de acción de y son los cosenos directores para

F

F

zyx cosy ,cos,cos

Componentes rectangulares en el Espacio



La dirección de la fuerza está definida por la localización de 2 puntos,

222111 ,,y ,, zyxNzyxM

dFd

Fd

FdF

dFd

F

kdjdidd

FF

zzdyydxxd

kdjdid

NMd

zz

yy

xx

zyx

zyx

zyx

1

y une que vector

121212

/

MN N M

N M N M

r r r

r r r

NOTE QUE:




La tensión en el cable de anclaje es de 2500 N. Determine:

a) componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza que actúa en el perno A,

b) Los ángulos qx, qy, qz q que definen la dirección de la fuerza

SOLUCION:

• Partiendo de la ubicación relativa de los puntos A y B, determine el vector unitario partiendo de A hacia B.

• Usando el vector unitario, se calculan los componentes de la fuerza resultante en el perno A.

• Como las componentes del vector unitario equivalen al valor de los cosenos directores del vector fuerza, calcule los ángulos en cuestión.




SOLUCION:• Calcular el vector unitario que

va desde A hacia B.

m 3.94

m30m80m40

m30m80m40

222

AB

kjiAB

• Determine los componentes de la fuerza.

kji

kji

FF

N 795N 2120N1060

318.0848.0424.0N 2500

kji

kji

318.0848.0424.0

3.94

30

3.94

80

3.94

40




• Como los componentes del vector unitario equivalen al valor de los cosenos directores para el vector fuerza, se pueden entonces calcular estos ángulos, tal que:

kji

kji zyx

318.0848.0424.0

coscoscos

5.71

0.32

1.115

z

y

x


elIngeniero 33

Ejercicios

33

7. El poste está sometido a la fuerza F que tiene componentes Fx = 1.5 kN y Fz = 1.25 kN. Si = 75°, determine las magnitudes de F y Fy


elIngeniero 34

Ejercicios

34

8. Calcule las componentes rectangulares de la fuerza de 350 N. También calcule los ángulos directores (es decir, ángulos entre el vector fuerza y los ejes rectangulares).


elIngeniero 35

Ejercicios

35

8. Las retenidas de cable de acero se usan para dar soporte al poste telefónico. Represente la fuerza en cada alambre en forma vectorial cartesiana.


elIngeniero 36

Ejercicios

36

9. Tres cables sostienen un anillo de 900 libras de peso. Calcule la tensión en cada cable para mantener la posición de equilibrio.

2 capítulo2 estatica de partículas

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