UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES APUNTES DE CLASE FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA Segundo Semestre de 2015 Ingeniería comercial GUÍA Nº3 MARCEL SAINTARD Para CURSO de ÁLGEBRA II

GUIA Nº3

ESPACIOS VECTORIALES

I.- Espacios Vectoriales.

A.- Espacios Vectoriales y Subespacios.

1.- Averigüe si los siguientes conjuntos V son espacios vectoriales sobre R.

a) V = R con la suma y multiplicación habituales: R(R).

b) V = R2 con las operaciones: x + y = (x1 + y1, 0); x = (x1, 0) donde x = (x1, x2);

y = (y1, y2); R.

c) V = R2 con operaciones: x + y = (x1 + y1, 0); x = (x1, x2) donde x = (x1, x2);

y = (y1, y2); R.

d) V = R + con las operaciones: x + y = x·y; x =x

.

e) V = R2 con las operaciones: x + y = (x1+ y1, x2+ y2); x = (x1, x2) donde

x = (x1, x2); y = (y1, y2); R.

2.- Sea V = {f función / f:X K, donde X y K cuerpo} conjunto de vectores

en que se definen las operaciones:

f + g, con (f + g)(x) = f(x) + g(x); f, gV.

f , con (f)(x) = ·f (x); R, f, g V.

Demuestre que V(K) así definido es un espacio vectorial.

3.- Demuestre que Rn(R) es un espacio vectorial si se define como:

Rn = {v = (v1, v2,......, vn), vi R } y las operaciones vectoriales son:

v + w = (vl + w1, v2+ w2, ........, vn + wn)

v = (v1, v2, ......, vn), R, v, wRn.

4.- Averigüe, justificando, si son o no subespacios de R2(R) los siguientes conjuntos:

S1 = {(a, b)R2 / a = 0} S5 = {(, 3), R}

S2 = {(a, b)R2 / a b = 0} S6 = {(a, b)R2

/ a b}

S3 = {(a 1, a)R2, aR} S7 = {(a, b)R2

/ a· b = 0}

S4 = {(a, b)R2 / 2a b = 1} S8 = {(a, b)R2

/ a = b2}

2

5.- Averigüe si los siguientes conjuntos son o no subespacios vectoriales de R3(R):

S1 = {(x, y, z)R3 / x = z = 0} S5 = {(x1, x2, x3)R3

/ x1·x2 = 0}

S2 = {(x, y, z)R3 / x + y + z = 0} S6 = {(, 2, + ), , R}

S3 = {(x1, x2, x3)R3 / x1 = 1} S7 = {(x1, x2, x3)R3

/ x1 = x2}

S4 = {(x1, x2, x3)R3 / x1 x2 x3} S8 = {(x1, x2, x3)R3

/ x1 = 2x2}

6.- Encuentre tres subespacios vectoriales no triviales de R3 y tales que sus intersecciones

de dos en dos sean: i) {0} y, por otro lado, ii) S = {(, 0, 0), R}.

7.- En R3 considere los siguientes subespacios vectoriales:

S1 = {(0, x2, x3), x2, x3R}

S2 = {(x1, x2, x3)R3 / 1x1 + 2x2 + 3x3 =0; con 1, 2, 3 fijos en R}

S3 = {(x1, x2, x3)R3 / 3x2 + x3 = 0}.

Obtenga una forma característica para los vectores de S1S2; S1S3; S2S3.

8.- Sean 1, 2, 1, 2R, fijos.

a) Demuestre que el conjunto solución de la ecuación lineal 1x1 + 2x2 = 0 es un

subespacio vectorial de R3(R).

b) Haga lo mismo para el sistema de ecuaciones lineales: 0xx

0xx

2211

2211

.

9.- Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, demuestre que UW y U + W

son también subespacios de V.

Recuerde que U + W = {xV / x = u + w, con uU y wW}.

10.- Sean u = (2, 0, 1, 3), v = (5, 4, 7, 1) y w = (6, 2, 0, 9). Encuentre:

a) u v.

b) 7v + 3u.

c) 2v (u + v).

11.- Con u, v y w del ejercicio anterior, determine el vector x que satisface la ecuación lineal:

2u v + x = 7x + w.

12.- Sean u1 = (1, 3, 2, 0), u2 = (2, 0, 4, 1), u3 = (7, 1, 1, 4) y u4 = (6, 3, 1, 2).

Encuentre escalares reales 1, 2, 3, 4 tales que:

1 u1 + 2 u2 + 3 u3 + 4 u4 = (0, 5, 6, 3).

13.- Demuestre que no existen escalares 1, 2, 3 tales que:

1(1, 0, 2, 1) + 2(2, 0, 1, 2) + 3(1, 2, 2, 3) = (1, 0, 1, 0)

3

14.- ¿Cuáles de los siguientes vectores son c.l. de u = (l, 1, 3) y v = (2, 4, 0)?

a) (3, 3, 3) b) (4, 2, 6) c) (1, 5, 6) d) (0, 0, 0)

15.- Exprese los siguientes vectores como c.l. de u (2, 1, 4); v = (1, 1, 3) y w = (3, 2, 5).

a) (5, 9, 5) b) (2, 0, 6) c) (0, 0, 0) d) (2, 2, 3)

16.- Sean v1 = (2, 1, 0, 3); v2 = (3, 1, 5, 2) y v3 = (1, 0, 2, 1). ¿Cuáles de los siguientes

vectores se encuentran en el espacio generado 321 vvv ,, ?

a) (2, 3, 7, 3) b) (0, 0, 0, 0) c) (1, 1, 1, 1) d) (4, 6, 13, 4)

17.- a) Demuestre que los únicos subespacios de R(R) Son R mismo y el subespacio nulo

{}. (Los triviales)

b) Demuestre que los únicos subespacios no triviales de R2(R) son de la forma

v = {v / en R, v 0 fijo}

18.- Sean W1 y W2 subespacios del espacio vectorial V(K). Demuestre que si W1W2 es

subespacio de V entonces W1 W2 W2 W1.

19.- Demuestre que el conjunto de todas las c.l. de v = (1, 1, 0) y w = (0, 1, 1) es un

subespacio de R3(R).

20.- Encuentre, para cada conjunto de vectores, la forma característica de todo vector que

sea c.l. de ellos:

a) {(0, 1, 0), (1, 0, 1)}R3.

b) {(0, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 0)}R4.

c) {(1, 0, 1), (0, 2, 1), (2, 2, 1)}R3.

d) {(0, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1)}R4.

B.- Conjuntos l.i. ; l.d. Base y Dimensi6n.

1.- Demuestre que si dos vectores de un espacio vectorial V son linealmente dependientes

(l.d.) entonces uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

2.- Pruebe que todo conjunto de vectores que contiene al vector nulo es l.d.

3.- En cada caso, averigüe si los siguientes conjuntos de vectores son l.d. ó l.i. Si son l.d.,

exprese uno de ellos como c.l. de los otros:

a) {(1, 1, 2, 4), (2, 1, 5, 2), (1, 1, 4, 0), (2, 1, 1, 6)} en R4.

b) {(2, 1, 4), (3, 6, 2), (2, 10, 4)} en R3. c) {(6, 0, 1), (1, 1, 4)} en R3

.

d) {(3, 1, 1), (2, 1, 5), (4, 0, 3)} en R3. e) {(1, 0), (0, 0)} en R2

.

f) {(2, 1), (1, 0)} en R2. g) {(2, 1), (1, 0), (3, 1)} en R2

.

4

4.- Sean (a, b), (c, d) R2. Demuestre que: i) si ad bc = 0 entonces son l.d.

ii) si ad bc 0 entonces son l.i.

5.- Halle 3 vectores de R3 que sean l.d. y tales que dos cualesquiera de ellos sean l.i.

6.- Suponga que v1, v2, v3R3 tienen sus puntos iniciales en el origen. En cada caso

determine si ellos pertenecen a un mismo plano:

a) v1 = (1, 0, 2), v2 = (3, 1, 2), v3 = (1, 1, 0)

b) v1 = (2, 1, 4), v2 = (4, 2, 3), v3 = (2, 7, 6)

c) v1 = (3, 6, 9), v2 = (2, 4, 6), v3 = (1, 1, 1)

d) v1 = (4, 6, 8), v2 = (2, 3, 4), v3 = (2, 3, 4)

7.- ¿Para qué valores de k, los siguientes vectores resultan ser l.d., en R3?

v1 = (k, 2

1 ,

2

1 ), v2 = (

2

1 , k,

2

1 ), v3 = (

2

1 ,

2

1 , k).

8.- Pruebe que todo subconjunto no vacío de un conjunto de vectores l.i., es también l.i.

9.- Demuestre que si {v1, v2} es 1.i. y v3{v1, v2} entonces {v1, v2, v3} es l.i.

10.- Averigüe si los subespacios V y W de R4 definidos abajo son iguales.

V = {(1, 1, 2, 0), (2, 1, 1, 1), (3, 1, 2, 1)}

W = {(3, 0, 3, 1), (1, 2, 1, 1), (4, 1, 5, 1)}

11.- Explique por que los siguientes conjuntos de vectores no son base para los espacios

vectoriales que se indica (Resuelva a simple vista).

a) {(1, 2), (0, 3), (2, 7)} en R2. b) {(1, 3, 2), (6, 1, 1) en R3

.

12.- ¿Qué conjuntos de vectores son bases de R2 ó de R3

?

a) {(2, 1), (3, 0)} b) {(4, 1), (7, 8)}

c) {(0, 0), (1, 3)} d) {(3, 9), (4, 12)}

e) {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)} f) {(3, 1, 4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)}

g) {(2, 3, 1), (4, 1, 1), (0, 7, 1)} h) {(1, 6, 4), (2, 4, 1), (1, 2, 5)}

5

13.- Determine, en cada caso, la dimensión y una base del espacio solución del sistema de

ecuaciones lineales dado:

a)

0xx

0x2x

0x3xx2

32

21

321

b) 0xxxx5

0xxxx3

4321

4321

c)

0xx

0x2x

0x3xx2

32

21

321

d)

0x3x9x3

0x2x6x2

0xx3x

321

321

321

e)

0xxx2x

0xx3x

0xx2x2

0x2x5x

0xxx4x2

4321

421

432

321

4321

f)

0z2yx2

0z3y8x4

0zy4x2

0zy2x3

0zyx

14.- Determine bases para los siguientes subespacios de R3:

a) El plano 3x 2y + 5z = 0.

b) El plano x y = 0.

c) La recta. x = 2t; y = t; z = 4t, con t R.

d) Todos los vectores de la forma (a, b, c), donde b = a + c.

15.- Haga lo mismo de la pregunta anterior, para los siguientes s.e.v. de R4:

a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0).

b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d), donde d = a + b y c = a b.

c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d), donde a = b = c = d.

16.- Si se sabe que {v1, v2, v3} es una base para un espacio V. Demuestre que el conjunto

{v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3} también es base de V.

17.- ¿Para qué valores reales de k, los vectores (k l, k, k), (12k, k + 2, 2k) y (k, k, 2k),

formarán una base de R3(R)?

18.- Si se tiene los pares de subespacios vectoriales S y T, indicados en cada caso,

encuentre una base y la dimensión de S + T y de S T:

a) S = {(a, 0, b) / a, bR} y T = <{(1, 3, 2), (1, 1, 1)}>

b) S = <{(1, 2, 1),(1, 1, 1),(1, 3, 3)}> y T = <{(2, 3, 1),(1, 2, 2),(1, 1, 3)}>

c) S = <{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)}> y

T = <{(1, 0, 1, 0), (0, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 2)}>

d) S = <{(1, 2, 1, 2), (2, 3, 1, 0), (1, 2, 2, 3)}> y

T = <{(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 3, 0, 4)}>

6

19.- En el subespacio R3(R) se consideran los conjuntos W1 y W2 tales que:

W1 = {(x1, x2, x3) / 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0} y W2 = {(x1, x2, x3) / x1 x2 = 0}.

a) ¿Son W1 y W2 subespacios vectoriales de R3? Pruébelo.

b) Demuestre que W1 y W2 son distintos de R3.

c) Determine una base para W1 W2.

d) Encuentre una base para W1 y W2 extendiendo la base que obtuvo para W1W2.

e) Determine el espacio W1 + W2 y una base para él. ¿Es W1 + W2 = R3?

f) ¿Cuáles son las dimensiones de W1, W2, W1 W2, W1 + W2?

g) Construya una base para R3 extendiendo la que obtuvo para W2.

20.- Si B = {b1 = (1, 1, 0, 0), b2 = (0, 0, 1, 1), b3 = (1, 0, 0, 4), b4 = (0, 0, 0, 2)} es una base

de R4, hallar las coordenadas de cada uno de los vectores de la base canónica para R4

,

respecto de la base B dada.

21.- Sea B = {b1, b2, b3} la base ordenada de R3 formada por los vectores b1 = (1, 0, 1),

b2 = (1, 1, 1), b3 = (1, 0, 0). ¿Cuál es el vector coordenado asociado a x = (x1, x2, x3),

con respecto a la base ordenada B?

22.- En cada caso, encuentre el vector coordenado para v, con respecto a la base S dada.

a) v = (2, 1, 3); S = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (1, 3, 3)}

b) v = (5, 12, 3); S = {v1 = (1, 2, 3), v2 = (4, 5, 6), v3 = (7, 8, 9)}

23.- Sean B = {b1 = (1, 2, 3), b2 = (1, 1, 2), b3 = (2, 1, 2)} y

D = {d1 = (3, 1, 0), d2 = (2, 1, 3), d3 = (1, 3, 4)} dos bases de R3.

Si vB = (1, 2, 4) es el vector coordenado para vR3, con respecto a la base B,

encuentre:

a) El vector coordenado para v según la base canónica E = {e1, e2, e3}.

b) El vector vD, coordenado para v según la base D.