2 2 2 2 ( ) - halapa.com · ∫e xdx e x e x e xdxx x x x⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∫...

1

Zadatak 021 (Alen, gimnazija) Izračunaj integral:

( ) ( )2 2

.x a x a dx− ⋅ +∫

Rješenje 021 Ponovimo!

Množenje potencija istih eksponenata: ( ) .nn n

a b a b⋅ = ⋅

Razlika kvadrata: ( ) ( ) 2.2a b a b a b− ⋅ + = −

Kvadrat razlike: ( )2 2 22 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +

Najprije podintegralnu funkciju pretvorimo (transformiramo) u podesniji oblik za integriranje:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 222 2 22 2

x a x a dx x a x a dx x a dx x a dx

− ⋅ + = − ⋅ + = − = − =∫ ∫ ∫ ∫

( )5 3

4 2 2 4 2 2 22 2 2

5 3

x xx a x a dx x dx a x dx a dx a a x C= − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ + =∫ ∫ ∫ ∫

1 25 3 2 .5 3

x a x a x C= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ +

Vježba 021 Izračunaj integral:

( ) ( )1 1 .x x dx− ⋅ +∫

Rezultat: 1 3 .3

x x C⋅ − +

Zadatak 022 (Sanja, informatika) Izračunaj integral:

.x arctg x dx⋅∫


Metoda parcijalne integracije: .u dv u v v du= ⋅ −∫ ∫

parcijalna integraci

1

21

2 2

j

2 1

22 1a

2 2

u arctg x du dxx

x x xx arctg x dx dv x dx v x dx arctg x dx

x

= ⇒ =

+ ⋅ = = ⇒ = = = ⋅ − ⋅ =∫ ∫ ∫ +

21 12 .22 2 1

xx arctg x dx

x= ⋅ ⋅ − ⋅ ∫

+

(Pogledati Polinomi (5), Zadatak 001)

Ako je kod racionalne funkcije ( )( )

,P x

Q x gdje su P(x) i Q(x) cijeli polinomi, stupanj brojnika P(x) veći

ili jednak stupnju nazivnika Q(x), moramo te polinome podijeliti:

( )2 2

2 2: 1 .2 2 221 1 1

1

11

1

1x x

x xx x xx

= + −± ±

−

= ⇒ =+ + +

2

Nastavljamo integrirati:

1 1 1 1 12 21

2 22 2 2 21 1

dxx arctg x dx x arctg x dx x arctg x dx

x x

⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ − =∫ ∫ ∫ ∫

+ +

[ ]1 1 1 1 12 2

2 2 2 2 2x arctg x x arctg x C x arctg x x arctg x C= ⋅ ⋅ − ⋅ − + = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =

21 1 12 .2 2 2 2 2

x x xx arctg x arctg x C arctg x C

+= ⋅ ⋅ + ⋅ − + = ⋅ − +


.arctg x dx∫

Rezultat: ( )1 2ln 1 .

2x arctg x x C⋅ − ⋅ + +

Zadatak 023 (Iva, ekonomija) Izračunaj integral:

2.tg x dx∫


sin 2 2, cos si 1 ,

co.n

s

x a b a btg x x x

x c c c

−= + = = −

Integral razlike: ( ) ( )( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫

Računamo integral:

2 2 2sin 1 cos 1 cos 12 12 2 2 2 2cos cos cos cos cos

x x xtg xdx dx dx dx dx

x x x x x

− = = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

.2

cos

dxdx tg x x C

x= − = − +∫ ∫

Vježba 023

Izračunaj integral: 2.ctg x dx∫

Rezultat: .ctg x x C− − +

Zadatak 024 (Ivana, gimnazija) Izračunaj integral:

2sin .x dx∫


Funkcija polovičnog kuta:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 2sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos2

2 2 2 2 2/

2 2

2 .x xα α α

α α α= ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ −

Računamo integral:

( ) ( ) [ ]1 1 12

sin 1 cos 2 1 cos2 cos22 2 2

x dx x dx x dx dx x dx= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

supstitucija

12

1 1 1 1 1cos cos

2 2 2 2 222

t x dt dx dxdx dx t dt dx t dt

dt

= ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =

⇒ = ⋅

⇒ = ⋅

3

1 1 1 1 1 1 sin 2sin sin 2 sin 2 .

2 2 2 2 2 4 2 4

x xx t x x C x x C C

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ + = − +

Vježba 024

Izračunaj integral: 2cos .x dx∫

Rezultat: sin 2

.2 4

x xC+ +

Zadatak 025 (Ivana, gimnazija) Izračunaj integral:

sin5 sin3 .x xdx⋅∫


Formula za pretvorbu produkta u sumu trigonometrijskih funkcija:

( ) ( )1

sin sin cos cos2

.α β α β α β⋅ = ⋅ − − +

Računamo integral:

( ) ( ) [ ]1 1

sin5 sin3 cos 5 3 cos 5 3 cos2 cos82 2

x xdx x x x x dx x x dx⋅ = ⋅ − − + = ⋅ − = ∫ ∫ ∫

supstitucija supstitucij1 1 1 1

cos2 cos82

a

2 8

1 12 8

2 8

2 2 2t x u x

dt dx dx dt du dx dx d

x x

u

d xdx

= =

= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ ⇒ =

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅

∫ ∫

1 1 1 1 1 1 1 1cos cos cos cos sin sin

2 2 2 8 4 16 4 16t dt u du t dt u du t u C= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + =∫ ∫ ∫ ∫

1 1 sin 2 sin8sin 2 sin8 .

4 16 4 16

x xx x C C= ⋅ − ⋅ + = − +


sin10 sin15 .x xdx⋅∫

Rezultat: sin5 sin 25

.10 50

x xC− +


2 sin3 .xe x dx⋅∫


Parcijalna integracija:

Ako su u = u(x) i v = v(x) neprekinuto derivabilne funkcije, tada je:

.u dv u v v du= ⋅ −∫ ∫

Važni integrali:

1 1 1sin co ,s cos si ,n .ax ax

ax dx ax ax dx ax e dx ea a a

= − ⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫

Računamo integral:

4

( )

parcijalna integracija

'sin3 sin3 cos2 sin3 3 3 3 cos3

12 2 2

2

u x du x dx x dx x dx

x x xdv e dx v e d

xe

x e

xdx = ⇒ = = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⇒ = = ⋅

⋅ = =∫

∫

1 1 1 32 2 2 2sin3 3 cos3 sin3 cos3

2 2 2 2

x x x xx e e xdx e x e xdx= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =∫ ∫

( )

opet parcijalna integracija

'cos3 cos3 sin3 3 3 sin3

12 2

1 32 sin

2

32

2

2u x du x dx x dx x dx

x x xdv e dx v e d e

e

x

x x = ⇒ = = − ⋅ ⋅ = − ⋅

= ⇒ = = ⋅∫

= ⋅ ⋅ − ⋅ =

( )1 3 1 12 2 2

sin3 cos3 3 sin32 2 2 2

x x xe x x e e x dx

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =∫

1 3 1 32 2 2sin3 cos3 sin 32 2 2 2

x x xe x e x e x dx

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =∫

1 3 92 2 2sin 3 cos3 sin 3 .2 4 4

x x xe x e x e x dx= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∫

Vidimo da smo opet dobili početni integral. Zbog toga je

1 3 92 2 2 2sin3 sin 3 cos3 sin 3 ,2 4 4

x x x xe x dx e x e x e x dx⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫

odakle slijedi (integral s lijeve strane prebacimo na desnu stranu)

1 3 92 2 2 2sin 3 sin 3 cos3 sin 32 4 4

x x x xe x dx e x e x e x dx⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒∫ ∫

9 1 32 2 2 2sin3 sin 3 sin 3 cos34 2 4

x x x xe x dx e x dx e x e x⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒∫ ∫

9 1 32 2sin 3 1 sin 3 cos34 2 2

x xe x dx e x x

⇒ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒∫

13 1 32 2sin 3 sin 3 cos34

4/

132 2

x xe x dx e x x

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒∫

⋅

2 32 2sin 3 sin 3 cos3 .13 2

x xe x dx e x x C

⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ +∫


sin .x xdx⋅∫

Rezultat: sin cos .x x x C− ⋅ +


sin cos .x x x dx⋅ ⋅∫



5


.u dv u v v du= ⋅ −∫ ∫

Važni integrali:

,1 1

sin cos cos .sinax dx ax ax dx axa a

= − ⋅ = ⋅∫ ∫

Sinus dvostrukog kuta: 2 sin cos sin 2 .x x x⋅ ⋅ =

Računamo integral:

1 1sin cos sin cos 2 sin cos sin 2

12

2 2 2x x xdx x x xdx x x xdx x xdx⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫⋅ =∫ ∫


1sin 2 sin 2 co

1 1 1 1cos2 cos 2

2 2 2 2

s 22

u x du dx

dv x dx v x d x

x x dx

x

x

= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ =∫ = ⇒ =

= ⇒ = = −

⋅∫

1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 1cos 2 cos2 sin 2

2 2 2 4 4 4 4 2

x x x x x xx dx x dx x C

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − + ⋅ = − + ⋅ = − + ⋅ ⋅ + =∫ ∫

cos2 sin 2.

4 8

x x xC

⋅= − + +


8 sin cos .x x xdx⋅ ⋅ ⋅∫

Rezultat: 2 cos 2 sin 2 .x x x C− ⋅ ⋅ + +

Zadatak 028 (Marina, ekonomija) Izračunaj integral:

( )sin ln .x dx∫




.u dv u v v du= ⋅ −∫ ∫

Računamo integral:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )


1sin

1sin ln sin lnln cos ln cos lnu x du x dx x x

x x

dv dx v dx x

dx x x x dx

= = ⋅ − ⋅ ⋅ =∫ = ⇒ = ⋅

= ⇒ = =∫

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

opet parcijalna integracij

sin ln cos l

a

1cos lnn sinsin ln lnu x du x dx

x

dv dx v

x x x dx x x

dx x

= ⇒ = − ⋅

= ⇒

= ⋅ − = ⋅ − =∫ = =∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1

sin ln cos ln sin ln sin ln cos ln sin lnxx

x x x x x dx x x x x x dx

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + =∫ ∫

( ) ( ) ( )sin ln cos ln sin ln .x x x x x dx= ⋅ − ⋅ − ∫

Vidimo da smo opet dobili početni integral. Zbog toga je

6

( ) ( ) ( ) ( )sin ln sin ln cos ln sin ln ,x dx x x x x x dx= ⋅ − ⋅ −∫ ∫

odakle slijedi (integral s lijeve strane prebacimo na desnu stranu)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sin ln sin ln sin ln cos ln 2 sin ln sin ln cos l /:n 2x dx x dx x x x x x dx x x x+ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )( )sin ln sin ln cos ln .2

xx dx x x C⇒ = ⋅ − +∫


sin .axe bx dx⋅∫

Rezultat: ( )sin cos

.2 2

axe a bx b bx

Ca b

⋅ ⋅ − ⋅+

+


2ln 1 .x x dx

+ +∫




.u dv u v v du= ⋅ −∫ ∫

Računamo integral:

2ln 1x x dx

+ + =∫

( )2

2

2

2 2

2 2 2 2


1 1ln 1 1

1 1

1 11

1 1 1 1

22

1

1

u x x du x dxx x x

x dxdx dx

x x

x x

x xx x x

dv dx v dx x

= + + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ = + + ⋅ +

= ⋅ + = ⋅

= =

= + + + + +

= ⇒ = =

+ +

+ +

∫

2 2ln 1 ln 12 21 1

dx x dxx x x x x x x

x x

= ⋅ + + − ⋅ = ⋅ + + − =∫ ∫

+ +

supstitucij

2 2ln 1 ln 12

/:2

a

2 2 21 1

2 2

t x t x

t dt x dx t dt x

t dtx x x x x x

tdx

= + ⇒ = +

⋅ = ⋅

= ⋅ + + − = ⋅ + + − =∫

⇒ =

2 2 2ln 1 ln 1 ln 1

dtx x x x x x dt

tx x x

tt

= ⋅ + + − = ⋅ + + − = ⋅ + + − =∫ ∫

2 2ln 1 1 .x x x x C

= ⋅ + + − + +

7


.xx e dx−⋅∫

Rezultat: 1

.x

Cxe

+− +


cos.

2sin

x xdx

x

⋅∫




.u dv u v v du= ⋅ −∫ ∫

Računamo integral:

cos

2sin

x xdx

x

⋅=∫

supstitu

parcija

cija

lna integracija

cos cos 1 1

2 2 2 sinsin si sin cosn

u x du dx

x x dtdv dx v

t x dtdx

t xx x tx dx=

= ⇒ =

= ⇒ = = = = − = −∫ ∫

= =

=

⇒

1ln .

sin sin sin sin sin 2

x x dx x xdx tg C

x x x x x

= − − − = − + = − + +∫ ∫


arcsin .x dx∫

Rezultat: 2arcsin 1 .x x x C⋅ + + +

Zadatak 031 (Sanja, informatika) Izračunajte integral:

( ) ( )

2.

21 1

xdx

x x∫

+ ⋅ −


( )ln .

1

2,

dx dxx a

x a x ax a

= ± = −∫ ∫± ±±

Kvadrat razlike: ( )2 2 22 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ + Razlika kvadrata: ( ) ( ) 2.2

a b a b a b+ ⋅ − = −

Kratak opis integriranja racionalne funkcije (racionalnog razlomka):

�� Ako je zadan nepravi racionalni razlomak, tj. ako je stupanj polinoma u brojniku veći ili jednak od stupnja polinoma u nazivniku, treba brojnik podijeliti s nazivnikom (dijeljenje polinoma!)

8

�� Integriranje racionalne funkcije nakon odvajanja cijelog dijela svodimo na integriranje pravog

racionalnog razlomka ( )( )

,P x

Q x gdje su P(x) i Q(x) cijeli polinomi, pri čemu je stupanj polinoma P(x)

niži od stupnja polinoma nazivnika Q(x).

�� Ako je Q(x) polinom u nazivniku oblika

Q(x) = (x – a) · (x – b) · (x – c),

gdje su a, b i c različiti realni korijeni polinoma Q(x), onda je moguće rastaviti razlomak ( )( )

P x

Q x na

parcijalne razlomke:

( )( )

.P x A B C

Q x x a x b x c= + +

− − −

�� Za izračunavanje neodređenih koeficijenata A, B i C uvijek množimo taj identitet s

nazivnikom lijeve strane da se riješimo svih nazivnika:

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )/P x P xA B C A B C

Q x x a x b x c x a x b x c x a xx a x b x c

b x c= + + ⇒ = + + ⇒

− − − − ⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ − ⋅

−−

− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P x A x b x c B x a x c C x a x b⇒ = ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ −

�� Izmnožimo sve zagrade na desnoj strani pa skupimo zajedno članove istih potencija baze x,

poredavši te skupine po padajućim potencijama baze x, a lijevu stranu identiteta uvijek prepisujemo.

�� Ako su dva polinoma identički jednaki, tada su jednaki koeficijenti istih potencija baze x.

�� Dobije se sustav linearnih jednadžbi iz kojeg odredimo vrijednosti koeficijenata A, B i C.

Kratak opis integriranja racionalne funkcije (racionalnog razlomka):

�� Ako je zadan nepravi racionalni razlomak, tj. ako je stupanj polinoma u brojniku veći ili

jednak od stupnja polinoma u nazivniku, treba brojnik podijeliti s nazivnikom (dijeljenje polinoma!)

�� Integriranje racionalne funkcije nakon odvajanja cijelog dijela svodimo na integriranje pravog

racionalnog razlomka ( )( )

,P x

Q x gdje su P(x) i Q(x) cijeli polinomi, pri čemu je stupanj polinoma P(x)

niži od stupnja polinoma nazivnika Q(x).

�� Ako je Q(x) polinom u nazivniku oblika

Q(x) = (x – a) · (x – b)2 · (x – c)3,

gdje su a, b i c različiti realni korijeni polinoma Q(x), pri čemu je b korijen višestrukosti 2, a c korijen

višestrukosti 3, onda je moguće rastaviti razlomak ( )( )

P x

Q x na parcijalne razlomke:

( )( ) ( ) ( ) ( )

.2 2 3

P x A B C D E F

Q x x a x b x cx b x c x c

= + + + + +− − −− − −

�� Za izračunavanje neodređenih koeficijenata A, B, C, D, E i F uvijek množimo taj identitet s

nazivnikom lijeve strane da se riješimo svih nazivnika:

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3

P x A B C D E F

Q x x a x b x cx b x c x c

= + + + + + ⇒− − −− − −

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 2 2

2 3

3/

P x A B C D E F

x a x b x cx a x b x c x b x c x c

x a x b x c= + + + + + ⇒− − −− ⋅ − ⋅ − − −

⋅ − ⋅ − ⋅ −−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 3

P x A x b x c B x a x b x c C x a x c⇒ = ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

.D x a x b x c E x a x b x c F x a x b+ ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ −

9

�� Nakon kvadriranja i kubiranja izmnožimo sve zagrade na desnoj strani pa skupimo zajedno

članove istih potencija baze x, poredavši te skupine po padajućim potencijama baze x, a lijevu stranu

identiteta uvijek prepisujemo.

�� Ako su dva polinoma identički jednaki, tada su jednaki koeficijenti istih potencija baze x.

�� Dobije se sustav linearnih jednadžbi iz kojeg odredimo tražene vrijednosti koeficijenata A, B,

C, D, E i F.

Zato ćemo najprije izračunati neodređene koeficijente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 21 1 1 11 1 1 1 1 1

2/ 1 1

x A B C x A B C

x x x xx x x x

x

x x

x= + + ⇒ = + + ⇒+ − + −+ ⋅ − − + ⋅

⋅ + ⋅ −− −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

1 1 1 1 2 1 1 1x A x B x x C x x A x x B x C x⇒ = ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⇒ = ⋅ − ⋅ + + ⋅ − + ⋅ + ⇒

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2x A x A x A B x B C x C x A B x A C x A B C⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ − + ⋅ + ⇒ = + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − + ⇒

( ) ( ) ( )2 2 jednakost polinoma0 21 0x x A xA AC Bx CB −

⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⇒ ⇒

+ − ⋅ +

+

�

uvrstimo C iz druge1 1

12 0 2

2

jednadžbe

u treću jednadžb0 0

u 0

A B A BA B

A C C AA B A

A B C A B C

+ = + = + =

⇒ − ⋅ + = ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ − + ⋅ = − + = − + =

metoda suprotnih koeficijenata,/:4

zbrojimo jednadžbe

1 14 1

3 0 4

A BA A

A B

+ = ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⋅ − =

11 1 3

1 144 4 4

1 .1 2 1

224 4 2

AB B B

A B

C C CC A

= + = = − =

⇒ + = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ = == ⋅

Sada računamo integral:

( ) ( ) ( )

1 3 12

4 4 22 21 11 1 1

xdx dx

x xx x x

= + + =∫ ∫ + − + ⋅ − −

( )

1 3 1 1 3 1 1ln 1 ln 1

24 1 4 1 2 4 4 2 11

dx dx dxx x

x x xx

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ − + ⋅ − =∫ ∫ ∫

+ − − −

( )1 3 1

ln 1 ln 1 .4 4 2 1

x x Cx

= ⋅ + + ⋅ − − +⋅ −

Vježba 031 Izračunajte integral:

( ) ( ).

21 1

dx

x x∫

− ⋅ +

Rezultat: ( ) ( )

1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln .

4 4 2 1 2 1 4 1

xx x C C

x x x

−⋅ − − ⋅ + − + = − + ⋅ +

⋅ + ⋅ + +

Zadatak 032 (Sanja, informatika) Odredite površinu lika omeđenog krivuljom x = f(y) = y

2 – 2 · y – 3 i ordinatnom osi.

10


Ako je neprekinuta krivulja zadana u pravokutnim koordinatama

jednadžbom x = f(y), onda se površina krivocrtnog trapeza omeđenog tom

krivuljom, dvjema horizontalama u točkama y = c i y = d te odsječkom osi

ordinate c ≤ y ≤ d određuje formulom:

( ) .d

S f y dyc

= ∫

Najprije odredimo ordinate točaka u kojima zadana krivulja siječe

ordinatnu os:

( )

1 20 42 2 3 0 22 1,2 22 33

ax b b a c

y y b yax f y y y

c

= = − ± − ⋅ ⋅ ⇒ − ⋅ − = ⇒ = − ⇒ = ⇒

⋅= = − ⋅ − = −

( )2 4 4 1 3 2 4 12 2 16 2 4

1,2 1,2 1,2 1,22 1 2 2 2y y y y

± − ⋅ ⋅ − ± + ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

2 4 63

1 12 2.

2 4 21

2 22 2

y y

y y

+ = = =

⇒ ⇒ − − = = = −

Sa slike vidi se:

( )1 1 1 12 22 3 2 3

3 3 3 3S y y dy y dy y dy dy

− − − −= − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

22

3 21 1 1| | 3 |

3 3 3 3

y yy

− − −= − ⋅ − ⋅ =

( ) ( ) ( )1 3 23 21 3 1 3 3 1 33

= ⋅ − − − − − − ⋅ − − =

( ) ( ) ( )1 28 28 24 36 32 2

1 27 1 9 3 4 8 12 10 .3 3 3 3 3

− + += ⋅ − − − − − ⋅ − = − + + = = =

Vježba 032 Odredite površinu lika omeđenog krivuljom x = f(y) = 2 – y – y2 i ordinatnom osi.

Rezultat: 4.5.

Zadatak 033 (Sanja, informatika)

Odredite površinu lika omeđenog krivuljama ( ) ( )52 22 1 i .

1 2 2y f x x x y f x x= = + ⋅ + = = − +


Kada je površina S omeđena sa dvije neprekinute krivulje y = f1(x) i y = f2(x) i sa dvije vertikale x = a

i x = b, gdje je f1(x) ≤ f2(x) za a ≤ x ≤ b vrijedi formula:

( ) ( ) .2 1

bS f x f x dx

a = −∫

Najprije odredimo granice integriranja tako što riješimo sustav jednadžbi, tj. nađemo sjecišta zadanih

krivulja (parabola):

d

c

x = f(y)

x

y

O

4

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4 6

3

- 1

y

x

d

c

x = f(y)

x

y

O

11

2 2 15 5 52 2 2 2 22 1 2 1 0 2 2 1 052 2 2 2

/ 2

2

y x x

x x x x x x x xy x

= + ⋅ +⇒ + ⋅ + = − + ⇒ + ⋅ + + − = ⇒ ⋅ + ⋅ + − = ⇒

= − +

⋅

4 2 42 24 4 2 5 0 4 4 3 0 41,2 2

3

ab b a c

x x x x b xa

c

= − ± − ⋅ ⋅

⇒ ⋅ + ⋅ + − = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅= −

( )4 16 4 4 3 4 16 48 4 64 4 8

1,2 1,2 1,2 1,22 4 8 8 8x x x x

− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅

4 8 4 1

1 18 8 2.

4 8 12 3

2 28 8 2

x x

x x

− + = = =

⇒ ⇒ − − − = = = −

2,6

2,4

2,2

2

1,8

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5

y = f1(x)

y = f2(x)

S

ba

y

x

Sa slike vidi se:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 25 3 32 2 2 22 1 2 2 2 22 2 23 3 3 3 3

2 2 2 2 2

S x x x dx x x dx x dx x dx dx

= − + − − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ + = − ⋅ − ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

− − − − −

1 1 1 1 1 1

3 22 2 2 2 2 23 2 33 22 | 2 | | | | |3 2 2 3 23 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

x xx x x x= − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − + ⋅ =

− − − − − −

3 3 2 22 1 3 1 3 3 1 3 2 1 27 1 9 3 1 3

3 2 2 2 2 2 2 2 3 8 8 4 4 2 2 2

= − ⋅ − − − − − + ⋅ − − = − ⋅ + − − + ⋅ + =

2 28 8 3 4 28 8 12 1 20 1 20 7 87 5 .

3 8 4 2 2 3 4 4 3 4 3 4 3 3

2 28

8 4

= − ⋅ − − + ⋅ = − ⋅ + + = − ⋅ + = − ⋅ + = − + =

Vježba 033

Izračunajte površinu lika omeđenog krivuljama (parabolama): 1 12 2i 3 .4 2

y x y x x= ⋅ = ⋅ − ⋅

Rezultat: 8.

12

Zadatak 034 (Sanja, informatika) Kolika je površina lika omeđenoga krivuljom f(x) = 2 · x3 – x2 + x + 10 i tangentom na

krivulju f(x) = 2 · x3 – x2 + x + 10 u njezinoj točki s apscisom 1.


Kada je površina S omeđena sa dvije neprekinute krivulje y = f1(x) i y = f2(x) i sa dvije vertikale x = a

i x = b, gdje je f1(x) ≤ f2(x) za a ≤ x ≤ b vrijedi formula:

( ) ( ) .2 1

bS f x f x dx

a = −∫

Jednadžba tangente u točki D(x0, y0) krivulje y = f(x) glasi:

y – y0 = f ' (x0) · (x – x0).

Budući da je zadana apscisa tražene točke D, njezina ordinata iznosi:

( )( ) ( ) ( )

13 21 2 1 1 1 10 1 2 1 1 10 12 1, 12 .3 2

2 10

xy f y f y D

y f x x x x

= ⇒ = = ⋅ − + + ⇒ = = − + + ⇒ = ⇒

= = ⋅ − + +

Sada tražimo tangentu na krivulju f(x) = 2 · x3 – x2 + x + 10 u njezinoj točki D(x0, y0) = D(1, 12):

( )( )

( ) ( )1

0' ' '2 26 2 1 1 6 1 2 1 1 1 6 2 1' 26 2 10 0 0

x

f x x x f ff x x x

=

= ⋅ − ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ = − + ⇒= ⋅ − ⋅ +

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

, 1, 120 0

' '1 5 12 5 1 12 5 5 5 5 12

0 0 0

' '1 5

0

D x y D

f y y f x x x y x y x y x

f x f

=

⇒ = ⇒ − = ⋅ − ⇒ − = ⋅ − ⇒ − = ⋅ − ⇒ = ⋅ − + ⇒= =

5 7.y x⇒ = ⋅ +

Površina traženog lika omeđena je krivuljom f(x) = 2 · x3 – x

2 + x + 10 i tangentom y = 5 · x + 7.

Da bismo odredili granice integriranja, vertikale x = a i y = b, moramo naći presjek krivulja, tj. riješiti

sustav jednadžbi:

3 22 10 3 2 3 22 10 5 7 2 10 5 7 0

5 7

y x x xx x x x x x x x

y x

= ⋅ − + +⇒ ⋅ − + + = ⋅ + ⇒ ⋅ − + + − ⋅ − = ⇒

= ⋅ +

rastavljamo

na fakt

3 2 3 2 22 4 3 0 2 2

o e3

r3 0x x x x x x x x

⇒ ⋅ − − ⋅ + = ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ + − − ⋅ + = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ili

0 ili 0

2 22 1 1 3 1 0 1 2 3 0

a b a

bx x x x x x

bx x

a

⇒ ⋅ ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − = ⇒ − ⋅ ⋅ + − = ⇒ ⇒

⋅ ⇒ =

= =

=

=

( )

11

1121 0 4

1 1 4 2 32 2,3 22 3 02,3 2 22 , 1 , 3

x

xx b b a c

xax x x

a b c

= = − = − ± − ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ − ± − ⋅ ⋅ −⋅⋅ + − = =⋅ = = = −

1 1 11 1 1

1 51 1 24 1 252,32,3 2,3 44 4

x x x

xx x

= = =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − ±− ± + − ±== =

13

11

31 5 4

1 .22 4 41

1 5 6 3

3 4 4 2

x

ax

b

x

=

= −− +

⇒ = = = ⇒ = − −

= = − = −

Znači moramo integrirati u granicama od 3

2a = − do b = 1. Sa

slike vidi se:

( ) ( )1 13 2 3 22 10 5 7 2 4 33 3

2 2

S x x x x dx x x x dx= ⋅ − + + − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ + =∫ ∫

− −

1 1 1 13 22 4 3

3 3 3 3

2 2 2 2

x dx x dx x dx dx= ⋅ − − ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

− − − −

4 3 21 1 1 12 | | 4 | 3 |

4 3 23 3 3 32 2 2 2

x x xx= ⋅ − − ⋅ + ⋅ =

− − − −

1 1 1 11 14 3 2| | 2 | 3 |2 33 3 3 3

2 2 2 2

x x x x= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =

− − − −

4 3 21 3 1 3 3 34 3 2

1 1 2 1 3 12 2 3 2 2 2

= ⋅ − − − ⋅ − − − ⋅ − − + ⋅ − − =

1 81 1 27 9 3 1 65 1 35 5 51 1 2 1 3 1 2 3

2 16 3 8 4 2 2 16 3 8 4 2

= ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ + = ⋅ − − ⋅ − ⋅ − + ⋅ =

65 35 5 15 65 35 65 35 195 140 960 625 4910 6 .

32 24 2 2 32 24 3

20

2 2 24 96 96 96

− − += − − + + = − − + = − − + = = =

Vježba 034 Izračunajte površinu lika omeđenog parabolom y2 = 4x i pravcem 4x – 5y + 4 = 0.

Rezultat: 9 1

1 .8 8

=

Zadatak 035 (Sanja, informatika)

Izračunajte površinu lika omeđenog sinusoidom f(x) = sin x, pravcima , 22

x xπ

π= = ⋅ i

apscisnom osi.

Rješenje 035

Sa slike vidi se:

• površina lika u intervalu od do2

ππ je pozitivna

• površina lika u intervalu od do 2π π⋅ je negativna pa ćemo uzeti njezinu apsolutnu

vrijednost (ili obrnuti granice integriranja):

14

( ) ( )22 2

sin sin sin cos | cos |

22 2

S x dx x dx x dx x xπ ππ π π

ππ π ππ= = + = − + − =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos2 cos 1 0 1 1 1 2 1 2 3 kvadratne jedinice .2

ππ π π

= − − − + − − − = − + − − = + − = + =

Napomena!

Budući da određeni integral (kao površina) može biti i negativan, tada govorimo o relativnoj površini.

To je površina dijela područja iznad osi x umanjena za površinu dijela područja ispod osi x. Tada bi

rješenje zadatka iznosilo:

( ) ( )22

sin cos | cos2 cos 1 0 1.2

22

S x dx xππ π

πππ

= = − = − − − = − − = −∫

Vježba 035

Izračunajte površinu lika omeđenog sinusoidom f(x) = sin x, pravcima ,3 2

x xπ π

= = i

apscisnom osi.

Rezultat: ( )1

kvadratnih jedinica .2

Zadatak 036 (Tony, informatika) Izračunajte površinu omeđenu krivuljama f(x) = e

x, f(x) = e

-x i x = 1.


Kada je površina P omeđena sa dvije neprekinute krivulje y = f1(x) i y = f2(x) i sa dvije vertikale x = a

i x = b, gdje je f1(x) ≤ f2(x) za a ≤ x ≤ b vrijedi:

( ) ( ) .2 1

bP f x f x dx

a = −∫

Grafovi funkcija f(x) = ex i f(x) = e-x su eksponencijalne krivulje, a x = 1 je pravac okomit na x os.

Sa slike vidi se da moramo izračunati

površinu omeđenu eksponencijalnim

krivuljama y = ex i y = e-x i pravcima x = 0 i

x = 1. Tražena površina izražena je

integralom:

1 1 1

0 0 0

x xx xP e e dx e dx e dx

− − = − = − =∫ ∫ ∫

( )1 1 1 1| | | |0 0 0 0

x xx xe e e e− −

= − − = + =

1 111 0 0 1 1 2.e e e e e ee e

−= − + − = − + − = + −

2,5

2

1,5

1

0,5

-0,5

-1 1 2 3

y

xb = 1a = 0

x = 1

y = e-xy = ex

15

Vježba 036 Izračunajte površinu omeđenu krivuljama f(x) = ex, f(x) = e-x i x = – 1.

Rezultat: 1

2 .ee

− −

Zadatak 037 (Tony, informatika) Kolika je površina lika omeđenog krivuljom y = e

3x, pravcem x = 3 i tangentom na krivulju

y = e3x

u njezinoj točki s apscisom 0?


Kada je površina P omeđena sa dvije neprekinute krivulje y = f1(x) i y = f2(x) i sa dvije vertikale x = a

i x = b, gdje je f1(x) ≤ f2(x) za a ≤ x ≤ b vrijedi:

( ) ( ) .2 1

bP f x f x dx

a = −∫

Jednadžba tangente na krivulju y = f(x) u točki D(x0, y0) glasi:

( ) ( )'.

0 0 0y y f x x x− = ⋅ −

Najprije nađemo ordinatu točke D:

( )( ) ( ) ( ) ( )

0 3 0 00 0 0 1 0, 1 .3

xf e f e f D

xf x e

= ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

=

Tangenta na krivulju y = e3x

u točki D(0, 1) ima jednadžbu:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 ' ' 3 0 ' ' '3 03 0 3 0 3 0 3 1 0 3.x xf x e f x e f e f e f f

⋅= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

', 0, 1 , 3

0 0 01 3 0 1 3 3 1.

'0 0 0

D x y D f xy x y x y x

y y f x x x

= =⇒ − = ⋅ − ⇒ − = ⋅ ⇒ = ⋅ +

− = ⋅ −

Graf funkcije f(x) = e3x je eksponencijalna krivulja. Graf funkcije f(x) = 3 · x +1 je pravac, a x = 3 je

pravac okomit na x os.

Sa slike vidi se da moramo izračunati površinu omeđenu eksponencijalnom krivuljom y = e3x

i

pravcima y = 3 · x +1 i x = 3. Tražena površina izražena je integralom:

( )3 33 33 1 3 10 0

x xP e x dx e x dx = − ⋅ + = − ⋅ − =∫ ∫

23 3 33 3 3 13 33 | 3 | |3 20 0 00 0 0

xx xe dx x dx dx e x= − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )3 3 31 3 1 33 3 3 03 2 2 2| | | 3 0 3 0

3 2 3 20 0 0

xe x x e e

⋅ ⋅= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ − − − =

( ) ( ) ( )9 91 3 1 27 1 1 27 2 2 81 18 2 1019 0 9 99 0 3 1 3 3 .

3 2 3 2 3 3 2 6 6

e ee e e e

⋅ − − − ⋅ −= ⋅ − − ⋅ − − = ⋅ − − − = ⋅ − − − = =

Vježba 037 Kolika je površina lika omeđenog krivuljom y = e3x, pravcem x = 3 i tangentom na krivulju

y = e3x

u njezinoj točki s ordinatom 1?

Rezultat: 92 101

.6

e⋅ −

30

x = 3

y = 3x + 1

y = e3x

y

x

16

Zadatak 038 (Tanja, studentica)

Izračunajte integral: .x

x e dx⋅∫



.u dv u v v du= ⋅ −∫ ∫

Računamo integral:


.u x du dx

x x xdv e dx

x x x x xx e dx x e e dx

v e d

e

e

e

x

x C

⋅ = = ⋅ − = ⋅ − +∫ ∫

= ⇒ =

= ⇒ = =∫

Vježba 038

Izračunajte integral: ln .x x dx⋅∫

Rezultat: 2 2

ln .2 4

x xx C⋅ − +

Zadatak 039 (Alex, Visoka škola za sigurnost)

Izračunajte integral: ( )2 1 .x dx⋅ +∫


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )gdje je konstant ,a 0C f x dx C f x dx C C f x g x dx f x dx g x dx⋅ = ⋅ ≠ ± = ±∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1.

1

,

nxn

x dx C dx x Cn

+= + = +∫ ∫

+

Računamo integral:

( )2

22 1 2 22

2.

xx dx xdx dx x dx dx x C x x C⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Vježba 039

Izračunajte integral: ( )4 1 .x dx⋅ +∫

Rezultat: 2

2 .x x C⋅ + +

Zadatak 040 (Alex, Visoka škola za sigurnost)

Izračunajte određeni integral: ( )2

1 .1

x dx−∫


Newton-Leibnizova formula: Ako je F ' (x) = f(x), onda je ( ) ( ) ( ) ( )| .bb

f x dx F x F b F aaa

= = −∫

Računamo određeni integral:

( ) ( ) ( )2 2 22 22 2 2 2 1 4 1 3 1

1 | | 2 1 2 1 1 .2 2 2 2 2 2 21 11 1 1

xx dx x dx dx x

− = − = − = − − − = − − − = − =∫ ∫ ∫

Vježba 040

Izračunajte određeni integral: ( )3

1 .2

x dx−∫

Rezultat: 3

.2

2 2 2 2 ( ) - halapa.com · ∫e xdx e x e x e xdxx x x x⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∫...

Documents