1ère baccalauréat en sciences vétérinaires mathématique

TD3 Mathématique

Faculté de Médecine Vétérinaire Université de Liège

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Séance de TD n°3 : Résolution

1. Dériver par rapport à x les fonctions suivantes :

a) 9�² + 1 b) ��

c) √� d) �²

e) �� f) (� + 1)²(2� + 3)

g) (1 − � )² h)

� ��

i) 3�� − 2� + 8 j) � − ��²

REPONSE :

a) ��(�) = 9 ∗ 2 �( ��) + 0 = 18 �

b) �(�) = �� = �� (�) = −1 ∗ �(��) = −1 ∗ �� = ��²

c) �(�) = √� = ��/ ��(�) = � ∗ �(�/ ��) = � ∗ ��/ = � √�

d) �(�) = �² = � /� ��(�) = � ∗ �( /��) = � ∗ ��/� = � √�

e) On se trouve devant une division, on va utiliser la formule : �� = �!��²

Posons u = 3x u’ = 3 ET v = (1-2x) v’ = -2

��(�) = 3 ∗ (1 − 2�) − 3� ∗ (−2)(1 − 2�)² = 3 − 6� + 6�(1 − 2�) = 3(1 − 2�)

f) Commençons par développer la fonction f(x) : �(�) = (� + 1) (2� + 3) = (� +1 + 2�) ∗ (2� + 3) = 2�� + 2� + 4� + 3� + 3 + 6� = 2�� + 7� + 8� + 3

1ère baccalauréat en Sciences Vétérinaires

Mathématique – Travaux dirigés

TD3 Mathématique


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Nous pouvons à présent plus facilement dériver cette fonction :

��(�) = 2 ∗ 3�(��) + 7 ∗ 2 ∗ �( ��) + 8 ∗ 1 ∗ �(��) + 0 = 6� + 14� + 8

g) �(�) = (1 − � )² = (1 − � ) /�

On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons (1-x²) = u f(x) = u2/3

��(�) = 23 ∗ -� �� ∗ -′ ��(�) = �∗ √� ∗ -′ Dérivons u : -� = −2 ∗ �

��(�) = �∗ √� ∗ (−2 ∗ �)

��(�) = ��∗��∗ √�

��(�) = ��∗��∗ (��/)

h) �(�) = � �� = (2� + 1)��


Posons (2x+1) = u u’ = 2

f(x) = u-1

��(�) = −1 ∗ -(��) ∗ -� = −1 ∗ -� ∗ 2 = −2-²

��(�) = � ( ��)²

i) ��(�) = 4 ∗ 3 ∗ �(��) − 2 ∗ 2 ∗ �( ��) + 0

��(�) = 12 ∗ �� − 4 ∗ �

j) �(�) = � − ��/ = 2 ∗ �� − 3 ∗ ��

��(�) = 2 ∗ (−1) ∗ �(��) − 3 ∗ (−2) ∗ �(� ��) = −2 ∗ �� + 6 ∗ ��

��(�) = � �² + 0�³

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2. Dériver les fonctions suivantes :

a) 22� �⁄ − 32 �⁄ b) 4��5

c) 678 (�) d) 9:;²(�)

e) �9:;(�) + cos (�) f) ln (6� + A)

g) (BC��)(BC��)

REPONSE :

a) ��(2) = 2 ∗ �� ∗ 2�D�� − 3 ∗ � ∗ 2�/�� = E� ∗ 2F − 2 ∗ 2��F = E� √2 − √G

b) On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons u = (4x+5) u’ = 4

f(x) = eu

��(�) = 4� ∗ -� = 4(��5) ∗ 4 = 4 ∗ 4��5

c) On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons u = ln(x) u’ = 1/x

f(x) = au

��(�) = ln(6) ∗ 6� ∗ -� = ln(6) ∗ 678(�) ∗ 1� = ln(6) ∗ 678 (�)�

d) On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons u = sin(x) u’ = cos(x)

f(x) = u²

��(�) = 2 ∗ - ∗ -� = 2 ∗ sin(�) ∗ cos (�)

OU

On se trouve devant une multiplication ( sin(x)*sin(x) ), on va utiliser la formule :

(- ∗ I)� = -� ∗ I + - ∗ I′

Posons u = sin(x) u’ = cos(x) ET v = sin(x) v’ = cos(x)

��(�) = cos(�) ∗ sin(�) + sin(�) ∗ cos(�) = 2 ∗ sin(�) ∗ cos (�)

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e) Pour la partie x*sin(x), on se trouve devant une multiplication, on va utiliser la

formule : (- ∗ I)� = -� ∗ I + - ∗ I′ Posons u = x u’ = 1 ET v = sin(x) v’ = cos(x)

��(�) = 1 ∗ sin(�) + � ∗ cos(�) + (cos(�))� = sin(�) + � ∗ cos(�) − sin(�)= � ∗ cos (�)

f) On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons u = ax+b u’ = a

f(x) = ln(u)

��(�) = 1- ∗ -� = 16� + A ∗ 6 = 66� + A

g) On se trouve devant une division, on va utiliser la formule : �� = �!��²

Posons u = ex – 1 u’ = ex ET v = ex + 1 v’ = ex

��(�) = 4� ∗ (4� + 1) − (4� − 1) ∗ 4�(4� + 1)²

��(�) = BC∗(BC�� BC��)(BC��)² = BC(BC��)²

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3. Calculer toutes les dérivées partielles des fonctions suivantes :

a) J(K, ℎ) = (N/�O/) O b) �(�, P, 2, Q) = �² + P² + �2Q³

c) R(J, K) = ST²(S�N)² d) U(2, ;) = �G Vln (WXW )Y e) Z(J, ℎ) = [J²ℎ f) R(\, Z) = WS]^

g) P(�, 2) = 69:; V2[ �G] − �_ − фY h) �(a, a�)24bb4 c-4 �+ = �d + �d�

REPONSE :

Pour les dérivées partielles, on dérive par rapport à une variable à la fois. Les autres variables étant

considérées comme des constantes.

a) Dérivée de R par rapport à r : dans ce cas-ci h est considéré comme une constante.

Commençons par écrire la fonction d’une manière plus pratique : J(K, ℎ) = N/ O + O/

O Donc la dérivée de

O² O vaut 0.

*S*N = � O ∗ 2 ∗ K = NO

- Dérivée de R par rapport à h : dans ce cas-ci r est considéré comme une constante.

On se trouve devant une division, on va utiliser la formule : �� = �!��²

Posons u = r²+h² u’= 2*h (puisque r est une constante, la dérivée de r² vaut 0)

ET v = 2h v’ = 2

eJeℎ = 2 ∗ ℎ ∗ 2 ∗ ℎ − (K + ℎ ) ∗ 2(2 ∗ ℎ)² = 4ℎ − 2K − 2ℎ 4ℎ² = 2ℎ − 2K²4ℎ² = ℎ − K²2ℎ²

b) Dérivée de f par rapport à x. Donc, y² sera considéré comme une constante et sa

dérivée vaudra 0 e�e� = 2 ∗ � + 0 + 1 ∗ 2Q� = 2 ∗ � + 2Q³

- Dérivée de f par rapport à y. Donc, x² et xtz³ seront considérés comme des

constantes et leur dérivée sera nulle. e�eP = 0 + 2 ∗ P + 0 = 2 ∗ P

TD3 Mathématique


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- Dérivée de f par rapport à t. Donc x² et y² seront considérés comme des

constantes et leur dérivée sera nulle. e�eP = 0 + 0 + �Q� ∗ 1 = �Q³

- Dérivée de f par rapport à z. Donc x² et y² seront considérés comme des

constantes et leur dérivée sera nulle. e�eP = 0 + 0 + 3�2 ∗ Q = 3�2 ∗ Q²

c) Dérivée de P par rapport à R. Donc E est une constante ainsi que r.


Posons u = RE² u’ = E² ET v = (R+r)² v’ = 2*(R+r)*(R+r)’ = 2*(R+r)*1

= 2*(R+r)

eReJ = f ∗ (J + K) − Jf ∗ 2 ∗ (J + K)(J + K)� (Mise en évidence de E²*(R+r)) :

*g*S = T/∗(S�N)∗h(S�N)�S∗ i(S�N)D

simplification : *g*S = T/∗h�S�Ni(S�N) = T²(N�S)(S�N)³

- Dérivée de P par rapport à r. Donc E est une constante ainsi que R.

On peut écrire la fonction de manière plus pratique pour cette dérivée :

R(J, K) = Jf ∗ (J + K)�


Posons u = (R+r) u’ = 1

eReK = Jf ∗ −2 ∗ -�� ∗ -� = −2Jf ∗ -�� ∗ 1 = −2Jf -� = −2Jf²(J + K)³

d) Dérivons U en fonction de t. Cela signifie que n0 et n sont des constantes et donc

ln(n0/n) est également une constante.


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U(2, ;) = Vln (;j; )Y ∗ 2��

eU2 = Vln (;j; )Y ∗ −1 ∗ 2� = −12² Vln (;j; )Y

- Dérivée de U en fonction de n. Cela signifie que n0 et t sont des constantes.


U(2, ;) = 12 ∗ (ln(;j) − ln(;)) = ln(;j)2 − ln (;)2

Etant donné que n0 et t sont des constantes, la dérivée de 78(WX)G vaut 0.

eU; = 0 − 12 ∗ 1; = −12;

e) Dérivée de V en fonction de R. Cela signifie que h est considéré comme une

constante. eZJ = 2 ∗ [ℎ ∗ J

- Dérivée de V en fonction de h. Cela signifie que R est une constante. eZJ = [J²

f) Dérivée de P en fonction de T. Cela signifie que nR et v sont considérés comme

des constantes. eR\ = ;JZ

- Dérivée de P en fonction de V. Cela signifie que nRT est considéré comme une

constante.


R(\, Z) = ;J\ ∗ Z�� eRZ = ;J\ ∗ −1 ∗ Z� = −;J\Z²

g) Dérivée de y en fonction de x. Cela signifie que a, t/T, U et ф sont des constantes et

que leur dérivée est nulle.

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Posons u = 2[ �G] − �_ − ф = kG] − k_ ∗ � − ф u’= − k_

y(u) = a*sin(u) eP� = 6 ∗ cos(-) ∗ -� = 6 ∗ cos l2[ l2\ − �Um − фm ∗ − 2[U= −2[6U ∗ no9 p2[ l2\ − �Um − фq

- Dérivée de y en fonction de t. Cela signifie que a, T, �/U et ф sont des

constantes et que leur dérivée est nulle.


Posons u = 2[ �G] − �_ − ф = k] ∗ 2 − k�_ − ф u’= k]

y(u) = a*sin(u) eP2 = 6 ∗ cos(-) ∗ -� = 6 ∗ cos l2[ l2\ − �Um − фm ∗ 2[\= 2[6\ ∗ no9 p2[ l2\ − �Um − фq

h) �+ = �d + �d! = d!�ddd! � = dd!

d!�d

- Dérivée de f en fonction de p. Cela signifie que p’ est une constante.

On se trouve devant une division, on va utiliser la formule : �� = �!��!�²

Posons u = pp’ u’ = p’ ET v = p’+p v’ = 1

e�a = a� ∗ (a� + a) − aa� ∗ 1(a� + a)² = a� + aa� − aa�(a� + a)² = a′²(a� + a)²

- Dérivée de f en fonction de p’. Cela signifie que p est une constante.


Posons u = pp’ u’ = p ET v = p’+p v’ = 1

*+d� = d∗&d!�d(�dd!∗�(d!�d)² = d/�dd!�dd!(d!�d)² = d²(d!�d)²

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4. Si W =2x²y + x³ - 3y²x, montrer que � rsr� + P rsrt = 3u

REPONSE :

- Commençons par résoudre rsr� (= dérivée de W en fonction de x. Cela signifie

que y sera considéré comme une constante):

vuv� = 2P ∗ 2 ∗ � + 3 ∗ � − 3P = 4P� + 3� − 3P²

- Ensuite, on résout rsrt (= dérivée de W en fonction de y. Cela signifie que x

sera considéré comme une constante):

vuvP = 2� + 0 − 3� ∗ 2P = 2� − 6�P

- Enfin, on obtient :

� vuv� + P vuvP = � ∗ (4P� + 3� − 3P ) + P ∗ (2� − 6�P)= 4P� + 3�� − 3P � + 2P� − 6�P = 6P� + 3�� − 9P �

3u = 3 ∗ (2� P + �� − 3 ∗ P �) = 6� P + 3�� − 9P �

CQFD

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5. La distribution de la température à travers une coupe de tissu est donnée par la relation \(�, 2) =w(�5 + 20��2 + 60�2 ) où C est une constante.

Vérifier que rr� �r]rG = rrG �r]r�

REPONSE :

a. rr� �r]rG = >Cela correspond à dérivé T en fonction de t. Ensuite, on dérive le résultat en

fonction de x.

v\v2 = w ∗ (0 + 20�� + 60� ∗ 2 ∗ 2) = w(20�� + 120�2)

vv� lv\v2 m = w ∗ (20 ∗ 3 ∗ � + 1202) = w(60� + 1202)

b. rrG �r]r� = >Cela correspond à dérivé T en fonction de x. Ensuite, on dérive le résultat en

fonction de t.

v\v� = w ∗ (5 ∗ �� + 202 ∗ 3 ∗ � + 602 ) = w(5�� + 602� + 602 )

vv2 lv\v�m = w ∗ (0 + 60� + 60 ∗ 2 ∗ 2) = w(60� + 1202)

wQFD

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6. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point donné :

a) P = 2� − �² x = 3

b) P = �(��) x = 2

c) P = 3 + 3� − �³ x = -1

d) P = �(��) x = 1

REPONSE :

La dérivée de f(x) au point x donné donne la pente de la tangente.

a) Commençons par dérivé y :

��(�) = 2 − 12 ∗ 2 ∗ � = 2 − �

Remplaçons x par 3 dans cette dérivée pour obtenir la pente de la tangente :

��(3) = 2 − 3 = −1

La pente de la tangente vaut donc -1.

Nous savons également que la tangente passe par le point x=3. On peut donc trouver y via la fonction

f(x) :

�(3) = 2 ∗ 3 − 3 2 = 1,5

Un point de la tangente est P(3 ; 1,5).

Etant donné que l’on connait un point de la droite (x,y) = (a,b) et la pente m, on peut utiliser la

formule : y = (b-a*m)+m*x pour trouver l’équation de la tangente :

\ ≡ P = &1,5 − 3 ∗ (−1)( + (−1) ∗ � = −� + 4,5

b) Commençons par dérivé y :

�(�) = 4(� − 1) = 4 ∗ (� − 1)��

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Posons u = (x-1) u’= 1

f(x) = 4*u-1

��(�) = 4 ∗ −1 ∗ -� ∗ -� = −4- ∗ 1 = −4(� − 1)²


��(2) = −4(2 − 1)² = −4

La pente de la tangente vaut donc -4.

Nous savons également que la tangente passe par le point x=2. On peut donc trouver y via la

fonction f(x) :

�(2) = 4(2 − 1) = 4

Un point de la tangente est P(2 ; 4).



\ ≡ P = &4 − 2 ∗ (−4)( + (−4) ∗ � = −4� + 12

c) Commençons par dérivé y :

��(�) = 3 − 3 ∗ �²

Remplaçons x par -1 dans cette dérivée pour obtenir la pente de la tangente :

��(1) = 3 − 3 ∗ 1 = 0

La pente de la tangente vaut donc 0.

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Nous savons également que la tangente passe par le point x=-1. On peut donc trouver y via la

fonction f(x) :

�(−1) = 3 + 3 ∗ (−1) − (−1)� = 3 − 3 + 1 = 1

Un point de la tangente est P(-1 ; 1).

Comme la pente est nulle, on se trouve dans une équation de type y = p. Comme on vient de

trouver que la tangente passait par un point en y=1, on peut trouver facilement l’équation de cette

tangente :

\ ≡ P = 1

d) Commençons par dérivé y :


Posons u = x u’ = 1 ET v = (x+1) v’=1

��(�) = 1 ∗ (� + 1) − � ∗ 1(� + 1)² = (� + 1 − �)(� + 1)² = 1(� + 1)²


��(1) = 1(1 + 1)² = 14

La pente de la tangente vaut donc ¼.

Nous savons également que la tangente passe par le point x=1. On peut donc trouver y via la

fonction f(x) :

�(1) = 1(1 + 1) = 12

Un point de la tangente est P(1 ; 1/2).



\ ≡ P = }12 − 1 ∗ l14m~ + 14 ∗ � = 14 � + 14

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7. Quel est le point de la courbe y = 7x – 3x² pour lequel la tangente fait un angle de 45° avec

l’axe des x ?

REPONSE :

On sait que la dérivée de f(x) en un point x donne la pente de la tangente.

De plus, on sait que la tangente de l’angle correspond à la pente de la droite. On peut donc

facilement savoir que la pente de la tangente = tg(45°) = 1. Il faut donc trouver la valeur de x pour

laquelle la dérivée de la fonction vaudra 1 (càd la pente de la tangente).

��(�) = 7 − 3 ∗ 2 ∗ � = 7 − 6�

On doit résoudre l’équation suivante : 7-6x=1

� = ��0 = 1

On sait donc que la tangente de cette courbe passe par x = 1. Pour trouver y, on va remplacer x

dans la fonction :

y = 7*1 – 3*1² = 4

Le point de la courbe est donc P(1 ; 4)

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8. Déterminer les points de la courbe 3y = x³ - 3x où la tangente est parallèle à la droite y =

3x.

REPONSE :

Comme la tangente est parallèle à la droite y, la pente de la tangente = la pente de la droite y =

3.

De plus, on sait que la dérivée de f(x) en un point x donne la pente de la tangente. Il faut donc

trouver la (ou les) valeur(s) de x pour laquelle la dérivée de la fonction vaudra 3 (càd la pente de la

tangente).

3P = �� − 3� P = �³� − �

��(�) = 13 ∗ 3 ∗ � − 1 = � − 1

Il faut donc résoudre l’équation suivante : x²-1 = 3

� = 4

� = ±√4 = ±2

Il y aura donc deux points :

P� = 2³3 − 2 = 23

P = (−2)³3 − (−2) = −23

P1(2 ; 2/3) et P2(-2 ; -2/3)

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9. Combien vaut l’ordonnée Q du point d’intersection de la tangente à la parabole y = x² + 2x

+ 2 en x = 2 et de l’axe vertical x = 0 ?

REPONSE :

On va commencer par trouver l’équation de la tangente. Ensuite, on cherchera l’ordonnée de

l’intersection de la tangente avec l’axe vertical.

Pour trouver l’équation de la tangente, on commence par calculer la pente. En effet, la pente

de la tangente équivaut à la dérivée de la parabole en x=2.

��(�) = 2 ∗ � + 2 �(2) = 2 ∗ 2 + 2 = 6

La pente de la tangente vaut 6.

Ensuite, on cherche le point d’intersection entre la tangente et la parabole :

�(2) = 2 + 2 ∗ 2 + 2 = 10

On a donc la pente de la tangente = 3 et un point de cette tangente P(2 ; 10). On peut donc trouver

l’équation de la tangente grâce à la formule : y = (b-a*m)+m*x

P = (10 − 2 ∗ 6) + 6 ∗ � = 6� − 2

\ ≡ P = 6� − 2

Pour trouver l’ordonnée de l’intersection avec l’axe vertical, on résout l’équation suivante :

y = 6*0 – 2 = -1

Q = -2

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10. Quelle est l’équation de la tangente au polynôme f(x) = (x³ - 2x² + 6x + 2) en x = -1 ?

REPONSE :

La dérivée de f(x) au point x donné donne la pente de la tangente.

��(�) = 3 ∗ � − 2 ∗ 2 ∗ � + 6 = 3� − 4� + 6

��(−1) = 3 ∗ (−1) − 4 ∗ (−1) + 6 = 3 + 4 + 6 = 13

La pente de la tangente vaut 13.

On cherche à présent le point d’intersection entre la tangente et le polynôme :

�(−1) = (−1)� − 2 ∗ (−1) + 6 ∗ (−1) + 2 = −1 − 2 − 6 + 2 = −7

Un point de la tangente est donc P(-1 ; -7).

Ayant la pente de la tangente et un point de cette tangente, on peut calculer l’équation de la

tangente via la formule : y=(b-a*m)+m*x

P = (−7 − (−1) ∗ 13) + 13 ∗ � = 13� + 6

\ ≡ P = 13� + 6

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11. En supposant que la résistance d’une poutre à section rectangulaire varie en raison directe

de la largeur (x) et du carré de la hauteur (y), quelles sont les dimensions de la poutre de

résistance maximale qu’on peut tirer d’un morceau de bois dont le diamètre est d ?

REPONSE :

Faisons une représentation afin d’avoir une meilleure compréhension de ce qui est demandé :

A. Trouver l’équation de la résistance :

Selon l’énoncé :

R= x*y²

On a ici deux variables : x et y. Il faut donc 2 équations pour trouver leurs valeurs.

Avec le dessin, on voit facilement qu’on se trouve dans un triangle rectangle. On peut donc utiliser le

théorème de Pythagore :

d² = y² + x²

y² = d² - x²

Remplaçons donc cette valeur de y² dans l’équation de la résistance :

J = � ∗ (e − � ) = e � − ��

B. Annuler la dérivée d’une équation permet d’obtenir un extremum.

On va donc dériver R et annuler cette dérivée :

J� = e − 3 ∗ �²

Poutre

d

x

y

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- 19 -

−3� + e = 0

� = �*²�� = *²�

� = ±�*²� = ± *√�

C. Si la dérivée seconde est négative, l’extremum est un maximum, si elle est positive, c’est

un minimum.

J�� = −3 ∗ 2 ∗ � = −6�

Si x = *√� : J�� = −6 ∗ *√� Ce qui est négatif. On se trouve donc face à un maximum

Si x = - *√� : J�� = −6 ∗ �*√� Ce qui est positif. On se trouve donc face à un minimum.

La valeur de x maximale est donc *√�

La valeur de y maximale est :

y² = d² - x² P = e − �²

P max = �e − ( e√3) = �e − e²3 = �23 e² = �23 e

� max = *√� et P max = � � e

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12. On veut réaliser une boîte sans couvercle de fond carré (côté = a – 2x) du plus grand

volume possible avec un morceau carré d’aluminium de côté a, en enlevant des carrés égaux

aux coins et en relevant ensuite le métal verticalement pour former les côtés. Quelle doit être

la longueur x du côté des carrés enlevés ?

REPONSE :

Voici une représentation de la situation :

Le grand carré orange correspond au morceau carré d’aluminium de côté a.

Les carrés égaux au coin sont ceux en pointillé bleu de côté x.

Le fond carré est en bleu foncé de côté a-2x

On veut le plus grand volume possible. Il faut donc trouver l’équation du volume et chercher

la valeur de x pour que ce volume soit maximal.

A. Equation du volume = surface * hauteur

La surface est la surface du carré foncé de côté a-2x => (a-2x)²

La hauteur est la hauteur du côté à relever = x

V=(a-2x)² * x

Z = (6² + 4�² − 46�) ∗ � = 4�³ − 46�² + 6²�

B. A présent il faut trouver la valeur maximale de ce volume. Pour ce faire, on va dériver la

fonction du volume et annuler la dérivée afin de trouver une valeur de x correspondant à

un extremum.

Z� = 4 ∗ 3 ∗ � − 4 ∗ 2 ∗ 6 ∗ � + 6 = 12� − 86� + 6²

On se trouve face à une équation du second degré.

a

x

a-2x

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� = A − 46n � = (−86) − 4 ∗ 12 ∗ 6 = 646 − 486 = 166²

� = −A ± √�26

� = −(−86) ± 166²2 ∗ 12 = 86 ± 4624

�� = 12624 = 62

� = 4624 = 66

Si x= a/2 => le fond de la boîte a pour côté (a-2*x) = (a-2*(a/2)) = 0. Il n’y aurait pas de boîte !

x=a/2 est donc un minimum

La valeur maximale est donc � = �0.

� max = �0

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13. Le prix de revient d’un article est p euros et le nombre que l’on peut en vendre varie de

façon inversement proportionnelle à la nième puissance du prix de vente. Déterminer le prix

de vente pour que le bénéfice soit maximal.

REPONSE :

p = prix de revient

n = nombre = �g^� où PV = prix de vente

B = bénéfice = (PV – p) *n

� = (RZ − a) ∗ 1RZW = (RZ − a)RZW

On veut la valeur de PV pour que le bénéfice soit maximal. On va donc dériver l’équation du

bénéfice et annuler cette dérivée pour avoir un extremum du PV.

A. Dérivée de B en fonction du PV (les autres variables sont considérées comme des

constantes) :


Posons u = (PV-p) u’ = 1 ET v = PVn v’ = n*PV(n-1)

�� = 1 ∗ RZW − (RZ − a) ∗ ; ∗ RZW��RZW² = RZW − ; ∗ RZW + ; ∗ a ∗ RZW��

RZ W= RZW ∗ (1 − ; + ; ∗ a ∗ RZ��)RZ W = (1 − ; + ; ∗ a ∗ RZ��)RZW

B. Annulation de cette dérivée :

(1 − ; + ; ∗ a ∗ RZ��)RZW = 0

1 − ; + ; ∗ a ∗ RZ�� = 0

; ∗ a ∗ RZ�� = ; − 1

RZ�� = W��W∗d

RZ = WdW��

PV max = WdW��

TD3 Mathématique


- 23 -

14. Une personne se trouve au point D dans un canot situé à 5km du point le plus proche (A)

de la côte (supposée rectiligne) ; elle souhaite atteindre le point B (situé à 6km du point A) en

un temps minimum. Sachant qu’elle peut ramer de telle sorte que le canot progresse à la

vitesse v1 = 3km/h et qu’elle peut marcher à la vitesse v2 = 6km/h, déterminer la distance x

entre le point C auquel elle doit accoster et le point A (t = espace parcouru / vitesse).

REPONSE :

v1 (vitesse du point D au point C) = 3km/h

v2 (vitesse du point C au point B) = 6km/h

On va écrire l’équation du temps en fonction de la distance et de la vitesse parcourues :

2 = �wI1 + w�I2 = �w3 + (6 − �)6

Etant donné que le triangle CAD est un triangle rectangle, on peut calculer la longueur de DC

grâce au théorème de Pythagore : �w = 5 + �²

�w = 5 + �²

On peut donc réécrire l’équation du temps en fonction uniquement de x comme inconnue :

2 = 5 + �²3 + (6 − �)6

Le temps doit être le temps minimum. On va donc dériver t et annuler la dérivée afin de

trouver la valeur de x qui minimise t.

- Pour la partie : 5/��²� on peut la réécrire :

�� ∗ (5 + � )�/

La dérivée de cette partie correspond à : �� ∗ � ∗ (5 + � )�F/ ∗ 2� = �

�∗5/��²

D

A C B 6-x x

5 km

TD3 Mathématique


- 24 -

- Pour la partie : (0��)0 on peut la réécrire : 00 − �0

La dérivée de cette partie correspond à : -1/6

2� = ��∗5/��² − �0

A présent, il faut annuler cette dérivée :

�3 ∗ 5 + �² − 16 = 0

Mise au carré : �/

�∗(5/��/) − ��0 = 0

��²�(5/��/)�0∗(5/��/) = 0

��²� 5�jj��0�²=0

Il est impossible d’annuler le dénominateur : 800+36x² comme on a un x².

Il faut donc annuler le numérateur : 3x²-25

3x² - 25 = 0

x² = 25/3

� = ±� 5� = ± 5√�

x étant une distance, il ne peut pas être négatif, le x minimum est donc 2,89 km (ou 5√�)

TD3 Mathématique


- 25 -

15. Combien vaut la dérivée de :

a) �(�) = ln (2' (�))

b) �(�) = sin (cos(�))

c) �(�) = 2'�(�) + 3 ∗ 2' (�) + 3 ∗ 2'(�) + 1

d) �(�) = 2'(4 ∗��t)

REPONSE :

a) On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons u = tg²(x) -’ = 2 ∗ 2'(�) ∗ &2'(�)(’ = 2 ∗ 2'(�) ∗ ��²(�) = ∗G,(�)��²(�)

f(x) = ln(u)

��(�) = �� ∗ -� = �G,/(�) ∗ ∗G,(�)��²(�) = G,(�)∗��²(�) = ��(C)��(C)∗��²(�) = ��8(�)∗�� (�)

b) On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons u = cos(x) u’= -sin(x)

f(x) = sin(u)

��(�) = cos(-) ∗ -� = cos(cos(�)) ∗ −sin (�)

c) On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons u = tg(x) u’ = 1/cos²(x)

f(x) = u³ + 3*u² + 3*u + 1

��(�) = 3 ∗ - ∗ -� + 3 ∗ 2 ∗ - ∗ -� + 3 ∗ -�

= 3 ∗ 2' (�) ∗ 1no9²(�) + 6 ∗ 2'(�) ∗ 1no9²(�) + 3 ∗ 1no9²(�)= 3 ∗ 2' (�)no9²(�) + 6 ∗ 2'(�)no9²(�) + 3no9²(�) = 3 ∗ 2' (�) + 6 ∗ 2'(�) + 3no9²(�)

TD3 Mathématique


- 26 -

d) On se trouve dans le cas : %�&'(�)()� = *+*, ∗ *,*�

Posons - = 4 ��t -� = 4 ��t ∗ (2� + P)� = 4 ��t ∗ 2 f(x) = tg(u)

��(�) = 1cos (-) ∗ -� = 1cos(4 ��t) ∗ 2 ∗ 4 ��t = 2 ∗ 4( ∗��t)no9²(4 ∗��t)

TD3 Mathématique


- 27 -

16. Quelle est la valeur maximale de f(x) = 2 x³ - 15 x² + 24 x + 1 entre x = 0 et x = 5 ?

REPONSE :

Pour maximiser la fonction f(x), il faut trouver les valeurs de x qui annulent la dérivée.

Ces valeurs seront des extremums. Ensuite, il faut voir si ce sont des minimums ou des

maximums.

A. Dérivée de f(x) :

��(�) = 2 ∗ 3 ∗ � − 15 ∗ 2 ∗ � + 24 = 6 ∗ � − 30 ∗ � + 24

B. Annulation de la dérivée :

6 ∗ � − 30 ∗ � + 24 = 0

Il faut résoudre cette équation du second degré. Calculons delta :

� = A − 46n � = (−30) − 4 ∗ 6 ∗ 24 = 324

Calculons les valeurs de x possibles :

� = −A ± √δ26

� = −(−30) ± √3242 ∗ 6 = 4 o- 1

Les valeurs de x trouvées (4 et 1) se situent bien dans l’intervalle demandé : entre x = 0 et x=

5. Il faut donc à présent savoir si ce sont des minimums ou des maximums.

C. Maximum ou minimum ?

Pour cela on calcule la dérivée seconde. Ensuite, on remplace x par les valeurs trouvées. Si la

solution est positive, la valeur de x est un minimum. Si la solution est négative, la valeur de x

est un maximum.

��(�) = 6 ∗ 2 ∗ � − 30 = 12 ∗ � − 30 ��(1) = 12 ∗ 1 − 30 = −18 C’est un maximum

��(4) = 12 ∗ 4 − 30 = 18 C’est un minimum

La fonction atteint un maximum à x = 1.

D. Calculer la valeur maximale de f(x)

�(1) = 2 ∗ 1� − 15 ∗ 1 + 24 ∗ 1 + 1 = 12

La valeur maximale de f(x) est f(1) = 12.

TD3 Mathématique


- 28 -

17. Combien vaut la dérivée par rapport à x de f(x,y) = [sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x)]² ?

REPONSE :

Comme c’est une dérivée partielle par rapport à x, cela signifie que y est considéré comme

une constante.


Posons - = sin(�) ∗ cos(P) + sin(P) ∗ cos (�) -� = cos(P) ∗ cos(�) + sin(P) ∗(− sin(�))

f(x) = u²

v�(�, P)v� = 2 ∗ - ∗ -� = 2 ∗ hsin(�) ∗ cos(P) + sin(P) ∗ cos(�)i∗ hcos(P) ∗ cos(�) − sin(P) ∗ sin(�)i

TD3 Mathématique


- 29 -

18. Combien vaut la dérivée de f(x) = (2x+2)³ - 3(2x+2)² + 3(2x+2) – 1 par rapport à z =

2x+2 ?

REPONSE :

Posons z = 2x+2

f(z) = z³ -3*z² +3*z -1

��(Q) = 3 ∗ Q − 3 ∗ Q + 3

r+(�)r� = 3 ∗ (2� + 2) − 6 ∗ (2� + 2) + 3

TD3 Mathématique


- 30 -

19. Montrer que la dérivée de f(x) = cosec(2*x) vaut f’(x) = 0.5*[sec²(x) – cosec²(x)].

La fonction cosec(x), appelée cosécante de x, est l’inverse du sin de x : cosec(x) = 1/sin(x) et

la fonction sec(x), appelée sécante de x, est l’inverse du cos de x : sec(x) = 1/cos(x).

REPONSE :

�(�) = no94n(2 ∗ �) = 1sin (2 ∗ �) = hsin (2�)i��


Posons u = sin(2x) u’ = cos(2x)*[2x]’ = 2*cos(2x)

f(x) = u-1

��(�) = −1 ∗ -� ∗ -� = −1 ∗ sin(2�)� ∗ 2 ∗ cos(2�) = −2 ∗ cos (2�)9:;²(2�)

A partir des relations des angles doubles suivantes (données dans le formulaire de

math) :

sin(2 ∗ �) = 2 ∗ sin(�) ∗ cos (�)

cos(2 ∗ �) = no9 (�) − 9:;²(�)

On peut déduire que ��(�) = � ∗��/(�)��W²(�)�h ∗��8(�)∗�� (�)i² = � ∗��/(�)� ∗��W²(�)�∗��8/(�)��²(�) = �� ∗��8 (�) + � ∗��²(�)

Selon l’énoncé, ��(�) = 0,5 ∗ h94n (�) − no94n (�)i = 0.5 ∗ V ��²(�) − ��W²(�)Y = � ��²(�) −� ��W²(�)

CQFD

TD3 Mathématique


- 31 -

20. Trouver la valeur de y correspondant à un maximum local du polynôme P(y) = 0.25*y4 –

0.5*y² + 2 :

Réponses proposées :

y = 0

y = 1

y = -1

Plusieurs solutions sont possibles

Aucune valeur n'est possible

Aucune des réponses proposées

REPONSE :

Pour trouver un maximum, il faut d’abord trouver les valeurs de y qui annulent la

dérivée de P(y).

A. Dérivée de P(y) :

R�(P) = 0,25 ∗ 4 ∗ P� − 0,5 ∗ 2 ∗ P = P� − P


Il faut résoudre l’équation suivante :

P� − P = 0

P ∗ (P − 1) = 0

On en déduit 3 valeurs possibles de y :

- y=0

- y²-1 = 0 y² = 1 P = ±√1 P = ±1

C. Maximum ou minimum ?

Pour savoir si ce sont des maximums ou des minimums, on calcule la dérivée seconde

en fonction de ces valeurs de y. Si le résultat est positif, y est un minimum, si le résultat est

négatif, y est un maximum.

��(P) = 3 ∗ P − 1

- ��(0) = 3 ∗ 0 − 1 = −1 y = 0 est un maximum

- ��(−1) = 3 ∗ (−1) − 1 = 2 y = -1 est un minimum

- ��(1) = 3 ∗ 1 − 1 = 2 y = 1 est un minimum.

La valeur de y correspondant à un maximum est donc y = 0

TD3 Mathématique


- 32 -

21. Combien vaut le minimum de la fonction f(x) = e(2-3x)*sin(2-3x) entre 0 et 1 ?

Réponses proposées :

x = (π + 8) / 12.

f(0) car la fonction est strictement croissante dans cet intervalle

f(1) car la fonction est strictement décroissante dans cet intervalle

f(x) = -0.3224

f(x) = 0.3224

Aucune des solutions proposées

REPONSE :

Pour trouver le minimum d’une fonction, il faut d’abord trouver les valeurs de x qui annulent

la dérivée de f(x).

A. Dérivée de f(x) :

On se trouve devant une multiplication, on va utiliser la formule : (- ∗ I)� = -� ∗ I + - ∗ I′ Posons - = 4( ��) -� = 4( ��) ∗ h2 − 3�i� = 4( ��) ∗ −3

Posons I = sin (2 − 3�) I� = cos(2 − 3�) ∗ h2 − 3�i� = cos(2 − 3�) ∗ −3

��(�) = −3 ∗ 4 �� ∗ sin(2 − 3�) + 4 �� ∗ −3 ∗ cos (2 − 3�)

Mise en évidence de -3*e(2-3x) : ��(�) = −3 ∗ 4 �� ∗ hsin(2 − 3�) + cos (2 −3�)i


Il faut résoudre l’équation suivante :

−3 ∗ 4 �� ∗ hsin(2 − 3�) + cos (2 − 3�)i = 0

−3 ∗ 4 �� ne sera jamais = à 0 dans l’intervalle x compris entre 0 et 1.

Il faut donc trouver les valeurs de x qui annule : hsin(2 − 3�) + cos (2 − 3�)i hsin(2 − 3�) + cos (2 − 3�)i = 0

sin(2 − 3�) = −cos (2 − 3�)

2'(2 − 3�) = −1 On peut voir dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques du

formulaire de mathématique que 2' �k� = 1 => on en déduit que −2' �k� =−1 2' �− k� = −1

2 − 3� = − k�

−3� = − k� − 2

TD3 Mathématique


- 33 -

� = �k�E�∗�� = k�E�

C. Trouver la valeur de f(x) quand x =k�E�

� l[ + 812 m = 4�k� ∗ sin �− [4 = −0,3224

f(x) = -0.3224

TD3 Mathématique


- 34 -

22. Combien vaut le développement en série de f(x) = x*tg(x) autour de x = 0 (arrêter au

premier terme non nul) ?

REPONSE :

Le développement en série consiste à calculer f(x) en remplaçant x par la valeur

donnée = 0. Puis de calculer f’(x) avec x= 0. Ensuite, f’’(x) avec x =0 et ainsi de suite. On

s’arrête comme demandé dans l’énoncé au premier terme non nul.

A. f(x0)

�(0) = 0 ∗ 2'(0) = 0 ∗ 0 = 0

Comme la valeur finale est nulle, on continue le développement.

B. f’(x0)

On se trouve devant une multiplication, on va utiliser la formule : (- ∗ I)� = -� ∗ I + - ∗ I′ Posons u = x u’ = 1 ET v = tg(x) v’ = 1/cos²(x)

��(�) = 1 ∗ 2'(�) + � ∗ 1no9²(�) = 2'(�) + �no9²(�)

��(0) = 2'(0) + 0no9²(0) = 0


C. f’’(x0)

On va décomposer en 2 dérivées pour plus de facilité :

- &2'(�)(� = ��²(�)

- � ��²(�) ′


Posons u = x u’ = 1 ET v= cos²(x) v’=2*cos(x)*[cos(x)]’ = 2*cos(x)*-sin(x)

} �no9²(�)~� = 1 ∗ no9 (�) − � ∗ −2 ∗ sin(�) ∗ cos (�)cos (�)� = no9 (�) + 2� ∗ sin(�) ∗ cos (�)cos (�)�= cos(�) + 2� ∗ sin (�)cos (�)³

TD3 Mathématique


- 35 -

Donc la dérivée seconde =

��(�) = ��²(�) + ��(�)� �∗��8 (�)�� ³(�)

��(0) = 1no9²(0) + cos(0) + 2 ∗ 0 ∗ sin (0)no9³(0) = 1 + 1 + 01 = 2

Comme la valeur finale est non nulle et que l’on doit s’arrêter au premier terme non nul. Le

développement en série est terminé. A présent, il faut calculer la valeur totale.

D. Valeur totale (= f(x)) :

On utilise la formule donnée dans le formulaire de mathématique :

�(�) = �(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j)2 + (� − �j)� ∗ ��(�j)3! + ⋯.

�(�) = 0 + (� − 0) ∗ 0 + (� − 0) ∗ 22 = �²

f(x)= x²

TD3 Mathématique


- 36 -

23. Combien vaut le développement en série de f(x) = cos(ex) autour de x = 0 (arrêter après 3

termes non nuls) ?

REPONSE :



s’arrête comme demandé dans l’énoncé au 3ème terme non nul.

A. f(x0) :

�(0) = cos(4j) = cos(1) = 0,54

La valeur finale est non nulle. Nous avons notre premier terme non nul. On continue le

développement en série.

B. f’(x0) :


Posons u = ex u’ = ex

f(x) = cos(u)

��(�) = − sin(-) ∗ -� = − sin(4�) ∗ 4� ��(0) = −sin(4j) ∗ 4j = − sin(1) ∗ 1 = −0,84

La valeur finale est non nulle. Nous avons notre deuxième terme non nul. On continue le


C. f’’(x0) :

On se trouve devant une multiplication, on va utiliser la formule : (- ∗ I)� = -� ∗ I + - ∗ I′ Posons u = − sin(4�) -� = − cos(4�) ∗ 4� ET v = 4� v’ =4�

��(�) = − cos(4� ) ∗ 4� ∗ 4� + (− sin(4� )) ∗ 4� = 4� ∗ h− cos(4� ) ∗ 4� − sin(4� )i

��(0) = 4j ∗ h− cos(4j) ∗ 4j − sin(4j)i = 1 ∗ h− cos(1) ∗ 1 − sin(1)i = −1,38

La valeur finale est non nulle. Nous avons notre troisième terme non nul. On arrête le


TD3 Mathématique


- 37 -

D. Valeur totale (=f(x)) :


�(�) = �(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j)2 + (� − �j)� ∗ ��(�j)3! + ⋯.

�(�) = 0,54 + (� − 0) ∗ −0,84 + (� − 0) ∗ −1,382 = 0,54 − 0,84� − 0,69�²

f(x)= 0,54 – 0,84 *x – 0,69*x²

TD3 Mathématique


- 38 -

24. Combien vaut le premier terme non nul du développement en série de f(x) = x²*sin(2x) autour de x

= 0 ?

REPONSE :



s’arrête comme demandé dans l’énoncé au premier terme non nul.

A. f(x0) :

�(0) = 0 ∗ sin(2 ∗ 0) = 0


B. f’(x0) :

On se trouve devant une multiplication, on va utiliser la formule : (- ∗ I)� = -� ∗ I + - ∗ I′ Posons u = x² u’ = 2*x ET v = sin(2x) v’ = cos(2x)*[2x]’ = 2*cos(2x)

��(�) = 2� ∗ sin(2�) + � ∗ 2 ∗ cos (2�)

��(0) = 2 ∗ 0 ∗ sin(2 ∗ 0) + 0 ∗ 2 ∗ cos(2 ∗ 0) = 0


C. f’’(x0) :


- (2� ∗ sin (2�))�

A nouveau, nous sommes face à une multiplication :

Posons u = 2x u’ = 2 ET v = sin(2x) v’ = 2*cos(2x)

(2� ∗ sin (2�))� = 2 ∗ sin(2�) + 2� ∗ 2 ∗ cos(2�) = 2 ∗ sin(2�) + 4� ∗ cos (2�)

- (2� ∗ cos (2�))′


Posons u = 2x² u’ = 4x ET v = cos(2x) v’ = -sin(2x)*[2x]’ = -2*sin(2x)

(2� ∗ cos(2�))� = 4� ∗ cos(2�) + 2� ∗ −2 ∗ sin(2�) = 4� ∗ cos(2�) − 4� ∗sin (2�)

TD3 Mathématique


- 39 -

Donc la dérivée seconde =

��(�) = 2 ∗ sin(2�) + 4� ∗ cos(2�) + 4� ∗ cos(2�) − 4� ∗ sin(2�)= 2 ∗ sin(2�) − 4�² ∗ sin(2�) + 8� ∗ cos (2�)

��(0) = 2 ∗ sin(2 ∗ 0) − 4 ∗ 0 ∗ sin(2 ∗ 0) + 8 ∗ 0 ∗ cos(2 ∗ 0) = 0


D. f’’’(x0) :


- (2 ∗ sin(2�))� = 2 ∗ 2 ∗ cos(2�) = 4 ∗ cos (2�)

Comme on a déjà calculé plus haut : la dérivée de sin(2x) = 2*cos(2x)

- (4�² ∗ sin(2�))′


Posons u = 4x² u’ = 2*4x = 8x ET v= sin(2x) v’ = 2*cos(2x)

(4� ∗ sin(2�))� = 8� ∗ sin(2�) + 4� ∗ 2 ∗ cos(2�) = 8� ∗ sin(2�) + 8� ∗ cos (2�)

- (8� ∗ cos(2�))′


Posons u = 8x u’ = 8 ET v = cos(2x) v’=-2*sin(2x)

(8� ∗ cos(2�))� = 8 ∗ cos(2�) + 8� ∗ (−2 ∗ sin(2�) = 8 ∗ cos(2�) − 16� ∗ sin (2�)

Donc la dérivée troisième =

��(�) = 4 ∗ cos(2�) − h8� ∗ sin(2�) + 8� ∗ cos(2�)i + 8 ∗ cos(2�) − 16� ∗ sin(2�)= 4 ∗ cos(2�) − 8� ∗ sin(2�) − 8� ∗ cos(2�) + 8 ∗ cos(2�) − 16�∗ sin(2�) = 12 ∗ cos(2�) − 8� ∗ cos(2�) − 24� ∗ sin (2�)

��(0) = 12 ∗ cos(2 ∗ 0) − 8 ∗ 0 ∗ cos(2 ∗ 0) − 24 ∗ 0 ∗ sin(2 ∗ 0) = 12 ∗ 1 − 0 − 0= 12

Voici le premier terme non nul. Le développement en série s’arrête donc ici. A présent, il faut

calculer la valeur de f(x).

E. Valeur totale (=f(x)) :


TD3 Mathématique


- 40 -

�(�) = �(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j)2 + (� − �j)� ∗ ��(�j)3! + ⋯.

�(�) = 0 + (� − 0) ∗ 0 + (� − 0) ∗ 02 + (� − 0)� ∗ 123! = �� ∗ 126 = 2 ∗ �³

f(x)= 2*x³

TD3 Mathématique


- 41 -

25. Développer la fonction e -x² en série de Mac Laurin (3 termes non nuls).

REPONSE :

Le développement en série consiste à calculer f(x) en remplaçant x par 0. Puis de

calculer f’(x) avec x= 0. Ensuite, f’’(x) avec x =0 et ainsi de suite. On s’arrête comme

demandé dans l’énoncé au 3ème terme non nul.

A. f(x0) :

�(0) = 4�j² = 1

Voici notre premier terme non nul. On continue le développement.

B. f’(x0) :

Posons u = -x² u’ = -2x

f(x) = eu

��(�) = 4� ∗ -� = 4��/ ∗ −2� = −2� ∗ 4��/

��(0) = −2 ∗ 0 ∗ 4�j/ = 0


C. f’’(x0) :

On se trouve devant une multiplication, on va utiliser la formule : (- ∗ I)� = -� ∗ I + - ∗ I′ Posons u = -2x u’ = -2 ET v = 4��/

v’=−2� ∗ 4��/

��(�) = −2 ∗ 4��/ + −2� ∗ −2� ∗ 4��/ = −2 ∗ 4��/ + 4� ∗ 4��/

��(0) = −2 ∗ 4�j/ + 4 ∗ 0 ∗ 4�j/ = −2 ∗ 1 + 0 = −2

Voici notre second terme non nul. On continue le développement.

D. f’’’(x0) :


- &−2 ∗ 4��/(� = −2 ∗ −2� ∗ 4��/ = 4� ∗ 4��² 4��/

étant la fonction de départ, nous l’avions déjà dérivée.

- (4� ∗ 4��/)′

TD3 Mathématique


- 42 -

On se trouve à nouveau face à une multiplication :

Posons u = 4x² u’ = 4*2x = 8x ET v= 4��/ v’= −2� ∗ 4��/

&4� ∗ 4��/(� = 8� ∗ 4��/ + 4� ∗ −2� ∗ 4��/ = 8� ∗ 4��/ − 8�� ∗ 4��/

Donc la dérivée troisième =

��(�) = 4� ∗ 4��/ + 8� ∗ 4��/ − 8�� ∗ 4��/ = 12� ∗ 4��/ − 8�� ∗ 4��/ = 4� ∗ 4��/ ∗h3 − 2� i

��(0) = 4 ∗ 0 ∗ 4�j/ ∗ h3 − 2 ∗ 0 i = 0


E. f’’’’(x0) :

On se trouve face à une multiplication :

Posons u = 4� ∗ 4��/ ET v = 3-2x² v’ = -2*2x = -4x

Pour calculer u’, on est à nouveau face à une multiplication :

Posons g = 4x g’ = 4 ET f = 4��/ f’ = −2� ∗ 4��/

-� = 4 ∗ 4��/ + 4� ∗ −2� ∗ 4��/ = 4 ∗ 4��/ − 8� ∗ 4��/

��(�) = �4 ∗ 4��/ − 8� ∗ 4��/� ∗ h3 − 2� i + 4� ∗ 4��/ ∗ −4�= �4 ∗ 4��/ − 8� ∗ 4��/� ∗ h3 − 2� i − 16� ∗ 4��/ ��(0) = �4 ∗ 4�j/ − 8 ∗ 0 ∗ 4�j/� ∗ h3 − 2 ∗ 0 i − 16 ∗ 0 ∗ 4�j/ = h4 − 0i ∗ 3 − 0 = 12

Voici notre troisième terme non nul. On arrête le développement et on peut calculer la valeur

finale de f(x).

F. Valeur totale ( = f(x)) :


�(�) = �(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j)2 + (� − �j)� ∗ ��(�j)3! + ⋯.

TD3 Mathématique


- 43 -

�(�) = 1 + (� − 0) ∗ 0 + (� − 0) ∗ − 22 + (� − 0)� ∗ 03! + (� − 0)� ∗ 124! = 1 − � + 1224 ∗ ��= 1 − � + ��

2

¢(£) = ¤ − £¥ + £¦¥

TD3 Mathématique


- 44 -

26. Dans l’intervalle de temps 0 < t < 3s, la hauteur d’une plante est donnée par h(t)=(9+4t+t²)1/2.

Développer la fonction h(t) en série de puissance de t (Mac Laurin, se limiter aux 3 premiers termes

non nuls). En se servant de cette approximation, calculer la hauteur de la plante en t=3 et comparer à la

hauteur réelle.

REPONSE :

Le développement en série consiste à calculer f(x) en remplaçant x par 0. Puis de

calculer f’(x) avec x= 0. Ensuite, f’’(x) avec x =0 et ainsi de suite. On s’arrête comme

demandé dans l’énoncé au 3ème terme non nul.

A. f(x0) :

ℎ(0) = 9 + 4 ∗ 0 + 0 = √9 = 3

Voici notre premier terme non nul. On continue le développement.

B. f'(x0) :


Posons u = 9+4t+t² u’ = 4+2*t

h(t) = u1/2

ℎ�(2) = 12 ∗ -�� ∗ -� = 12 ∗ (9 + 42 ∗ 2 )�� ∗ (4 + 22) = (4 + 22)2 ∗ √9 + 42 + 2 = 2 + 29 + 42 + 2²

ℎ�(0) = 2 + 09 + 4 ∗ 0 + 0² = 2√9 = 23

Voici notre second terme non nul. On continue le développement.

C. f’’(x0) :


Posons u = 2+t u’ = 1 ET v= 9 + 42 + 2² I� = �G��G�G² (correspond à la dérivée

précédente)

TD3 Mathématique


- 45 -

ℎ��(2) = 1 ∗ √9 + 42 + 2 − (2 + 2) ∗ 2 + 29 + 42 + 2² 9 + 42 + 2²

= (9 + 42 + 2 ) − (2 + 2)²9 + 42 + 2² ∗ 19 + 42 + 2 = 9 + 42 + 2 − (4 + 2 + 42)

(9 + 42 + 2 )� = 5

(9 + 42 + 2 )�

ℎ��(0) = 5(9 + 4 ∗ 0 + 0 )� = 527 = 0,18

Voici notre troisième terme non nul. On arrête le développement et on peut calculer la valeur

finale de h(t).

D. Valeur finale (=h(t)) :


�(�) = �(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j) + (� − �j) ∗ ��(�j)2 + (� − �j)� ∗ ��(�j)3! + ⋯.

ℎ(2) = 3 + (2 − 0) ∗ 23 + (2 − 0) ∗ 0,182 = 3 + 23 ∗ 2 + 0,09 ∗ 2²

Si t = 3 ℎ(3) = 3 + � ∗ 3 + 0,09 ∗ 3 = 5,81

A partir de l’approximation, la hauteur d’une plante en t=3 est de 5,81

A partir de l’équation de départ (càd la hauteur réelle), 9 + 4 ∗ 3 + 3² = √30 = 5,48

TD3 Mathématique


- 46 -

27. Quel graphique correspond à la dérivée (en pointillés) de la fonction f(x) (en continu) ?

REPONSE :

On peut procéder par élimination :

- Le graphique B :

On sait quand f(x) est un minimum, f’(x) doit être égal à 0. Or, on constate dans ce graphique

que ce n’est pas le cas : f(x) est à un minimum au niveau de la coordonnée (±3,5 ; ±12) et la

dérivée est encore plus basse.

- Le graphique C :

On sait que quand f(x) est croissant, f’(x) doit être positif. Or, dans ce graphique, f(x) est

croissant quand x est entre 0 et 1, et f’(x) est négative à ce moment.

- Le graphique D :

Même erreur que pour le graphique C. De plus, à f(4) la fonction est croissante, f’(4) devrait

donc être positive et ce n’est pas le cas.

Le graphique correct est le A.

1ère baccalauréat en sciences vétérinaires mathématique

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