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Matemticas 1 y 2 de ESO. Captulo 4: Nmeros Enteros Autora: Ana Lorente / Revisora: Adela Salvador

www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imgenes de INTEF

MATEMTICAS

www.apuntesmareaverde.org.es
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/

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Matemticas 1 de ESO. Captulo 1: Resolucin de problemas Autora: Adela Salvador / Revisora: Nieves Zuasti


2 Resolucin de problemas: 1 de ESO


Autora: Adela Salvador

Revisores: Nieves Zuasti y Sergio HernndezIlustraciones: Banco de imgenes del INTEF

1 ESO CAPTULO 1:RESOLUCIN DE PROBLEMAS
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/

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ndice

1. FASES EN LA RESOLUCIN DE UN PROBLEMA

2.1. ESTIMA EL RESULTADO2. PRIMERAS ESTRATEGIAS

2.2. EXPERIMENTA, JUEGA CON EL PROBLEMA

2.3. HAZLO MS FCIL PARA EMPEZAR

2.4. HAZ UN DIAGRAMA, UN ESQUEMA...

2.5. MIRA SI TU PROBLEMA SE PARECE A ALGUNO QUE YA CONOZCAS

2.6. ESCOGE UNA BUENA NOTACIN

3.1. EUREKA!

3. EMOCIONES Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS

3.2. BLOQUEOS

Resumen

4. JUEGOS Y PROBLEMAS

Qu es un problema? Cmo enfrentarse a unos problemas nuevos que, quizs, no sean fciles? Es

posible dar normas, conocer estrategias, para resolver mejor cualquier tipo de problema?Un problemamatemtico es una situacin en la que hay un objetivo que conseguir superando una seriede obstculos siempre que el sujeto que afronta la situacin no conozca procedimientos o algoritmosque le permitan, de inmediato, alcanzar el objetivo.

Lo que para una persona es un problema, para otra puede ser un simple ejercicio, o mucho ms que unproblema, una investigacin. La diferencia est en los conocimientos previos, y si para resolverlo debehacerse preguntas, aadir hiptesis al enunciado.

Ante un autntico problema muchas veces no sabe uno ni siquiera por dnde empezar. Veremos algu-nas estrategias de pensamientotiles en toda clase de problemas,

Pensamos que es lo mejor que se puede ensear pues el mundo evoluciona rpidamente en el que loque hoy nos parece imprescindible, maana puede haber quedado obsoleto, mientras que resolviendoproblemas se prepara a las personas a enfrentarse a lo desconocido y los procesos mentales nunca en-vejecen.

Hay estudios que confirman que la enseanza expresa de las etapas, cadencias, tcnicas y estrategiasconsigue mejores resultados que la mera prctica espontnea.

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Ejemplo 1:

1. FASES EN LA RESOLUCIN DE UN PROBLEMA

1. La madre de Mara observa que el cuentakilmetros de su coche marca24.312 km. Cuntos kilmetros le faltan para la prxima revisin, quedebe ser cada 5.000 km?

Siempre que tengas que resolver un problema es conveniente que sigas lossiguientes pasos:

Fase 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema

Lee con cuidado el enunciado, y piensa:

Cules son los datos? Qu piden?

Fase 2: Busca una buena estrategia.

Es un problema con operaciones con nmeros naturales, luego:

Qu operaciones aritmticas debo hacer? Habr que sumar? Habr que multiplicar?Habr que restar? Habr que dividir?

Fase 3: Lleva adelante tu estrategiaAhora s, ahora resolvemos el problema:

Si multiplicas 5.000 por 5 obtienes 25.000. Por tanto, la prxima revisin debe ser a los 25.000 km, lue-go a la madre de Mara le faltan 25.000 24.312 = 688 km para hacer la revisin.

Fase 4: Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Comprueba la estrategia.

Si sumas a 24.312 los 688 km del resultado tenemos los 25.000 km de la prxima revisin.

Actividades propuestas

2.

Inventa problemas similares!3. Estima cunto mide tu aula de largo y cunto de ancho. Se desea poner

un zcalo que vale a 6 el metro. Cuntos euros costar ponerlo?

4. El cuentakilmetros del padre de Juan marca 64.731 km. Si las revisionesson cada 5.000 km, cuntos kilmetros le faltan para la prximarevisin?

5. La piscina de Ins tiene forma de rectngulo. Sus lados miden 10 m delargo y 7 m de ancho. Desea rodear la piscina con una valla. El metro de valla vale 12 . Cuntocostar hacer la valla?

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2.1. Estima el resultado

2. ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

En muchas ocasiones nos basta con estimar el resultado, no con la solucin exacta.

Ya has estimado las dimensiones de tu aula.

A la madre de Mara, por ejemplo, para estar tranquila le basta saber que le faltan ms de 600 km parala prxima revisin. Mientras que el padre de Juan quizs no necesite saber que exactamente le faltan65.000 - 64.731 = 269 km para la prxima revisin, sino estimar que le faltan menos de 300 km paraempezar a preocuparse de hacerla.

Para realizar buenas estimaciones es conveniente haber practicado mucho.


Intenta ahora t estimar las soluciones de estos problemas:

6. Si tu paga semanal es de ocho euros, y ahorras toda la paga de un mes Podras comprarte unordenador porttil (que estimas que vale unos 1.500 euros)? Y con todas las pagas de un ao?

7. Piensa en una piscina a la que hayas ido alguna vez. Estima los litros de agua que puede contener.8. Un ascensor slo puede con 500 kg, cuntos de tus amigos piensas que

podran subirse?

9. Informan que a una manifestacin han ido 40.000 personas, cmo crees quelas han contado?

10.Si toda la poblacin mundial se diera la mano, qu longitud se formara?11.Cunta gente cabe de pie en tu aula?12.Cuntos kilmetros andas al ao?13.Cuntos granos de arroz hay en un kilo?2.2. Experimenta, juega con el problema

Al experimentar con los datos del problema es fcil que se te ocurra que debes hacer con ellos.


14.a) Piensa un nmero de tres cifras.b) Escrbelo al revs y resta el menor del mayor.

c) Escribe el resultado al revs y smalo al resultado de la resta.

d) Escribe la solucin final.

e) Prueba con varios nmeros, qu observas? Hay algn caso en el que no se obtenga la mis-ma solucin?

f) Prueba con cuatro cifras. Obtienes resultados del mismo tipo que las anteriores?

g) Te atreves con cinco cifras?

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2.3. Hazlo ms fcil para empezar

15."Las torres de Hanoi": Cuenta la leyenda que en tres agujas de oro hay sesenta y cuatro discos todosde distinto tamao, colocados de mayor a menor. Unos monjes cambian continuamente de sitioestos discos, uno cada segundo con las siguientes reglas: En cada movimiento slo se puede moverun disco. Y no podemos colocar nunca un disco encima de otro de menor tamao. Cuando hayanpasado todos los discos de una de las agujas a otra se acabar el mundo. Cunto falta para quetermine el mundo?

Para enfrentarte a este problema, ten en cuenta, lo primero, las fases, intenta entender bien el pro-blema.

Luego, hazlo ms fcil para empezar. En lugar de con 64 discos, empieza slo con un disco. A continua-cin, con dos, con tres... Manipula los objetos. Haz un esquema.

16.Cuadrado Mgico

Con los nmeros del 10 al 18 completa en tu cuaderno el cuadro de forma que obtengas la mis-ma suma en todas direcciones, en horizontal, en vertical, e incluso en las dos diagonales.

Hazlo ms fcil, comienza con un cuadrado mgico con los nmeros del 1 al 9. Cuntodebe sumar cada fila? Cul debe ser el nmero de la casilla central? La suma de 1 + 2 + + 9 = ? Qu nmero dividido entre 3 nos da: ?

Luego hazte las mismas preguntas con los nmeros del problema.

2.4. Haz un diagrama, un esquema...


17."Color del pelo": Tres amigas A, B, C, una rubia, otra morena y otra pelirroja, estn jugando a lascartas sentadas en una mesa circular, cada una pasa una carta a la que est a su derecha. La amiga Bha pasado una carta a la rubia. La amiga A ha pasado una carta a la que ha pasado una carta a lapelirroja. Cul es el color del pelo de A, B y C?

Al hacer un esquema y analizar las dos configuraciones que existen, se observa que una de ellas es in-

consistente, ya que uno de los amigos es a la vez rubio y pelirrojo. La solucin es la otra configuracin,que es consistente con el enunciado.

18."El depsito":De un depsito lleno de agua se saca la tercera parte del contenido, y an quedan1.200 litros de agua Qu capacidad tiene el depsito?

Si dibujas el depsito, enseguida sabrs la solucin.19.Una persona es 80 cm ms alta que la mitad de su altura. Qu estatura tiene?Lee y comprende con cuidado el enunciado, dibuja un esquema y sabrs la solucin.

20.Se calcula que Teano, la mujer de Pitgoras naci hacia el ao 519 antes de Cristo, cuntos aoshan pasado desde su nacimiento?

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2.5. Mira si tu problema se parece a alguno que ya conozcas

Es posible que tu problema tenga el mismo aire que otro que ya has resuelto, lo que puede proporcio-narte pistas tiles para resolver el nuevo.


21.Observa las ofertas de una tienda:Precio anterior Oferta

Camisetas 15 euros 12 euros

Chaquetas 40 euros 30 euros

Pantalones 32 euros 28 euros

Camisas 25 euros 21 euros

Una persona aprovecha estas ofertas y compra cinco camisas, una chaqueta, dos pantalones ytres camisetas. Averigua cunto se gasta y cunto se ahorra por comprar esa ropa en ofertas.

22.Se han apuntado 25 estudiantes a un viaje. Al pagar el billete 5 de ellos se dan cuenta que no hantrado dinero. El resto decide pagrselo, y abonan cada uno 3 . Cunto cuesta cada billete?

2.6. Escoge una buena notacin


23.Calcula mentalmente el producto de dos nmeros y luego suma un tercero:a) 5 x 9 + 26 = b) 200 x 7 + 128 = c) 60 x 8 + 321 =

Ahora al revs: nos dan el resultado y buscamos, de la forma anterior, con qu nmeros puedeobtenerse. Por ejemplo, nos dan 1000 y decimos 1000 = 100 x 7 + 300.

Sigue ese modelo para expresar los nmeros siguientes: 2000, 4000 y 5500.

24.Emmy Noether, una ilustre mujer matemtica, naci el 23 de marzo de 1882y muri el 14 de abril de 1935.

a) Cuntos aos tena al morir?

b) Cuntos aos han pasado desde el ao de su muerte?

c) Cuntos aos faltan para celebrar el centenario de su muerte? Cun-tos meses? Cuntos das?

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3.1. Eureka!

3. EMOCIONES Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Ya sabes que Arqumedesestaba en la baera cuando exclam Eureka! pues haba descubierto unaimportante propiedad de los cuerpos sumergidos. Algo parecido ocurre en muchas ocasiones. Tu mis-mo, si trabajas en un problema, luego tu inconsciente continua trabajando y, de repente, cuando me-nos lo esperas Eureka! Tienes la solucin. Esta situacin, esta emocin positiva y gratificante, tambinrecibe el nombre de Aj!En la Historia de la Ciencia se conocen muchas de estas situaciones. Busca alguna y reflexiona sobrecmo te sientes al resolver un problema, que en un primer momento, pareca imposible.

3.2. Bloqueos

Pero tambin pueden aparecer emociones negativas, a las que llamaremos bloqueos. Muchas veces, alintentar resolver un problemas, ste nos parece imposible, nos desanimamos, entran ganas de dejarlo

todo. Esto es un bloqueo. Pero eso le pasa a todo el mundo. Hay que sacar fuerzas y continuar. Buscarla causa del bloqueo.

Veamos algunos problemas sencillos que resultan complicados pues en ellos suele producirse un blo-queo. Intenta primero resolverlos y luego, si no te salen, lee la ayuda.

25.Sin levantar el lpiz une con 4 trazos rectos estos nueve puntos.o o o

o o o

o o o

Dibuja en tu cuaderno nueve puntos como los de la figura y intenta unirlos, con 4 trazos sin levantar ellpiz.

Recuerda, lo primero es comprender el enunciado. Prueba a hacerlo. Lo has conseguido? Estu-pendo. No lo consigues, intntalo un poco ms.

Bloqueo:Si no lo consigues es porque ests presuponiendo algo que no se ha dicho y es que no puedessalir del recinto limitado por los puntos. Haz trazos ms largos y lo conseguirs enseguida.

26.Con 3 palillos, todos iguales, puedes construir un tringulo equiltero. Con 5 palillos puedesconstruir 2 tringulos equilteros, cmo podemos construir cuatro tringulos equilteros igualescon seis palillos con la condicin de que el lado de cada tringulo sea lalongitud del palillo?

Experimenta, juega con el problema. Lo has conseguido! Entonces no hastenido un bloqueo.

Bloqueo:Nadie ha dicho que no pudieras salir del plano. Ah est el bloqueo. Loconsigues con un tetraedro regular.

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Te gusta jugar? Para ser un buen jugador en juegos de estrategia puedesutilizar las tcnicas que has aprendido con la resolucin de problemas.

4. JUEGOS Y PROBLEMAS

Fases:Lo primero, naturalmente, comprender bien las reglas del juego, quees similar a comprender el enunciado. Lo segundo, jugar, hasta encontrar unaestrategia ganadora. Luego jugar y ver si tu estrategia es realmente buena.Por ltimo, generalizar, intentar mejorar la estrategia.


Utiliza todo lo que has aprendido.

27.Y ahora un juego! Las tres en rayaSe juega de dos en dos. Copia en el cuaderno la tabla siguiente:

497 315 69 77

115 33 90 22

225 161 46 55

355 142 135 213

Una persona escoge dos nmeros, uno del conjunto A = {2, 3, 5, 7} y otro del conjunto B = {11,45, 71, 23}. Los multiplica mentalmente, y pone su marca (o una ficha, o una bolita de papel) so-bre el nmero resultante. La otra persona hace lo mismo cuando le toque el turno. Gana quienpone tres marcas en lnea recta.

Ahora a jugar!

28.Otro tablero de juego:Realiza el mismo juego de la actividad anterior con este otro tablero, y con los grupos de nme-ros: A = {2, 5, 7, 4} y B = {3, 11, 9, 1}.

63 7 21 6

22 4 15 5

45 2 55 44

12 36 18 77

Inventa con otros nmeros tu propio tablero de juegos.

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29.OtrojuegoEs un juego de calculadoray puede ser un juego cooperativo; un juego en el que seponen en comn las diferentes estrategias y se discute sobre el mejor procedimiento,el ms sencillo o el ms original.

Consta de cuatro fichas como las de la figura, donde se indican las teclas que estpermitido pulsar, y el resultado, en rojo, al que hay que llegar.

2 4

+

/ =

34

5 6

x /

+ =

147

1 0

+

x =

123

3 7

+

x =

93

El juego consiste, en primer lugar, en obtener el resultado en la calculadora. Debes anotar todos los mtodos encontrados. Piensa y anota en tu cuaderno cul es el

procedimiento que te ha resultado ms eficaz. Escribe, utilizando parntesis, las expresiones que ha utilizado la calculadora. Modifica el juego confeccionando nuevas fichas, modificando stas con otras teclas y con

otros resultados.

30.Hagamos magia!Dile a una persona que piense un nmero de tres cifras, que escriba ese nmero y, de nuevo, las trescifras, para formar un nmero de seis cifras. Pdele que lo divida entre 7, luego entre 11 y luego entre13. Se quedar sorprendida al comprobar que el resultado es el nmero que escribi. Sabes por qu?

31.Resuelve el crucigrama: Cpialo en tu cuaderno y resulvelo.x x = 24

x x x

x x = 35

x x x

x x = 30

= = =

6 50 84

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ELL S Y ELLOS INVESTIG N P R RESOLVER PROBLEM SCURIOSIDADES. REVISTA

LA REINA DE LAS CIENCIAS DEL S. XIX

Mary Somervillededic su vida al estudio de las ma-temticas y la fsica. Tradujo al ingls La MecnicaCeleste de Laplace, uno de los tratados cientficosms importantes de su poca. Escribi numerosasobras y artculos, viaj por Europa y se relacion conlos principales cientficos. La Reina Victoria le conce-di una pensin vitalicia en reconocimiento a su traba-jo. Fue una mujer feliz. Mirad lo que escribi:

Tengo 92 aos..., mi memoria para los aconteci-mientos ordinarios es dbil pero no para las ma-temticas o las experiencias cientficas. Soy todav-a capaz de leer libros de lgebra superior durantecuatro o cinco horas por la maana, e incluso deresolver problemas"

El progreso que ahora disfrutamos ha sido posible gracias a la iniciativa y al trabajo de miles de hombresy mujeres. Superaron retos y resolvieron problemas para los que necesitaron muchos conocimientosmatemticos

CONSTRUYERON PUENTES QUE NOSCOMUNICAN

DISEARON AVIONES QUE SOBREVUELANOCANOS

BARCOS QUE SURCAN LOS MARES

LA ELECTRICIDAD QUELLEGA A TODAS PARTES

LA INFORMTICA QUE NOS INVADE

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RESUMEN

Problema Es una situacin en la que hay un objetivo que conseguir superando una seriede obstculos siempre que el sujeto que afronta la situacin no conozca pro-

cedimientos o algoritmos que le permitan alcanzar el objetivo.

Fases en la resolucinde un problema

Fase 1: Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema.

Fase 2: Busca una buena estrategia.

Fase 3: Lleva adelante tu estrategia.

Fase 4: Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Comprueba la estra-tegia.

Algunas estrategias Estima el resultado. Experimenta, juega con el problema. Hazlo ms fcil para empezar. Haz un diagrama, un esquema... Mira si tu problema se parece a alguno que ya conozcas. Escoge una buena notacin.

Emociones y resolu-cin de problemas

Emocin positiva:

Idea feliz. Aja! Eureka!

Emocin negativa:

Bloqueo

Juegos de estrategia Para ser un buen jugador en juegos de estrategia puedes utilizar las tcnicasque has aprendido con la resolucin de problemas.

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1. La Jefe de Estudios de un colegio ha anotado en un cuadro el nmero de alumnos y alumnas queEJERCICIOS Y PROBLEMAS de 1 de ESO

han faltado a clase. En ese colegio hay ocho clases de Secundaria.

L M X J V TOTAL

1 A 2 3 5 1 3

1 B 3 4 1 3 2

2 A 2 6 3 4 3

2 B 5 1 0 2 1

3 A 4 2 3 1 0

3 B 6 3 1 2 3

4 A 2 3 1 4 0

4 B 4 2 2 2 0

TOTAL

Copia la tabla en tu cuaderno y resuelve all el ejercicio

a) Completa las ltimas fila y columna del cuadro.

b) Sabiendo que el nmero total de alumnos y alumnas de ese colegio en Secundaria es de 205,averigua cuntos haba en el colegio el jueves.

2. El extraordinario 3737 x 3 = 111

37 x 6 = 222

37 x 9 = 333

Consigue t ahora

444, 555, 666...

3. En una cuadrcula de cuatro por cuatro, coloca los nmeros del 1 al 16 en los cuadrados, cada unoen uno. Multiplica los nmeros de cada dos cuadrados adyacentes y escribe el producto en cadaarista. Suma los nmeros que hay en cada arista. Queremos que la suma sea lo menor posible,Cmo debemos colocar los nmeros del 1 al 16?

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4. Tringulos1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

Comprueba que el tringulo sigue hasta llegar a +10.

5. Estudia las maneras de dividir un cuadrado en cuatro partes iguales en forma y en rea.6. Nmeros en fuga: Estas operaciones se han quedado sin resolver por falta de algunos nmeros.

Puedes completarlas? Cpialo en tu cuaderno y resulvelo.

a) 3 8 9 b) 4 2: 5 = 17 resto 074 6 4 1 0

2 56

195 3

c) 2 3 x 75 = 20050

7. Dos mujeres haban ido al mercado a vender 30 manzanas cadauna. La primera tena la intencin de vender cada dosmanzanas por un . Cunto pensaba ganar? La segunda queravender cada tres manzanas por dos . Cunto ganara? Pero

no queran hacerse la competencia por lo que llegaron alsiguiente acuerdo: vender ambas cada cinco (2 + 3) manzanaspor tres (1 + 2) . Lo haban vendido todo. Han ganado 36 ?Les sobra un ! Con la venta anterior iban a ganar 35 , y hanganado 36 . Puedes explicarles qu ha ocurrido?

8. Sofa, que es muy sabia, se lo ha explicado, y se han puesto tan contentas que han decidido ir acomer las tres juntas. Pagaron la comida con 30 , y el camarero les devolvi 5 . Cada una se quedcon un , pero sobraban 2 que dejaron de propina. De nuevo tenan un problema! Ahora faltabaun ! Han pagado 10-1=9 cada una, que por 3 son 27 , ms 2 de propina son 27 + 2 = 29. Y en un

principio tenan 30. Les falta uno! Explica lo sucedido.

9. Letras y nmeros: Si sigues el orden alfabtico estas cuatro operaciones dan como resultado letrascon las que podrs formar una palabra:

(8 + 10): 3 + 7 x 1 5=

(23 15) + 2 x 4 =

1 x 4 + 6 : 2 + 5 x 1 =

45 x (1 + 0) 45 + 1 = Cpialo en tu cuaderno y resulvelo.

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10."El lobo, la cabra y el repollo": Un hombre tiene que cruzar un ro en una barcacon un lobo una cabra y un repollo, en la que slo puede ir l y una de las trescosas, teniendo en cuenta que si no est el hombre delante, el lobo se come lacabra y la cabra se come el repollo Cmo consigue transportarlos al otro lado

del ro?

11.Juan, Jaime y Jorge tienen cada uno dos oficios. Hay un barbero, un chofer, untabernero, un msico, un pintor y un jardinero. A qu se dedica cada uno deellos? Sabiendo que:

1: El chfer se burl del msico porque tena el pelo largo

2: El msico y el jardinero pescan con Juan

3: El pintor compr al tabernero vino

4: El chfer cortejaba a la hermana del pintor

5: Jaime deba 5 dlares al jardinero

6: Jorge vio a lo lejos a Jaime y al pintor.

12.Sorpresas del 8 y el 9:0 9 + 8 = 8

9 9 + 7 = 88

98 9 + 6 = 888

987 9 + 6 = 8888

9876 9 + 6 = 88888

98765 9 + 6 = 888888 Te animas a continuar la pirmide?

A. I. Fernndez

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PARA EL PROFESORADO

En la enseanza de las matemticas es conveniente, como afirmaba Freudenthal, hacer matemticasen la clase de matemticas y una forma de conseguirlo, es organizar clases de resolucin de problemas

o proponer pequeas investigaciones.Al investigar a los buenos resolutores de problemas se han obtenido dos conclusiones: La primera esque la capacidad para resolver problemas mejora con la prctica, la segunda es que el anlisis de losmtodos matemticos, as como el de las distintas estrategias que intervienen en la resolucin de pro-blemas tambin mejora dicha capacidad. Hay estudios que confirman que la enseanza expresa de lasetapas, cadencias, tcnicas y estrategias consigue mejores resultados que la mera prctica espontnea.Es preciso resolver muchos problemas. Esa ayuda slo puede ser eficaz si se ejerce sobre problemasconcretos y no como pre-requisito terico.

Trabajar en la resolucin de problemas es lo mejor que se puede proporcionar a una persona, ya queayuda a equipar a la persona para su actividad integral, no solamente en lo que se refiere a sus capaci-dades matemticas. El mundo evoluciona rpidamente, y tenemos la obligacin de preparar personasque en el futuro van a enfrentarse a situaciones desconocidas. Los procesos mentales no se hacen ob-soletos.

Un problema matemticoes una situacin en la que hay un objetivo que conseguir superando una se-rie de obstculos, siempre que el sujeto que afronta la situacin no conozca procedimientos o algorit-mos que le permitan alcanzar el objetivo.

Un problema tiene distinta calificacin en funcin de la persona que se lo plantee, y es evidente que loque son problemas para unos no lo son para otros. As cuando una persona sabe los rudimentos dellenguaje algebraico, un problema que pueda resolverse planteando una ecuacin de primer o segundo

grado o un sistema de ecuaciones no es un problema, sino un ejercicioal que se le aplica una regla fijaque es la notacin algebraica y los algoritmos para resolver las ecuaciones que resultan. Tambin esdistinto un problema de una investigacin, que al ser un proceso ms abierto, es la persona quien seplantea el objetivo que quiere conseguir. As, cuando un estudiante al resolver un problema se hacepreguntas, intentando generalizar el resultado o modificar las condiciones iniciales, est realizando unainvestigacin. Podemos pues distinguir entre ejercicio, problema, e investigacin.

La heurstica, trmino introducido por Polyaen su libro Cmo plantear y resolver problemas, es el "ar-te de resolver problemas" y trata de desvelar el conjunto de actitudes, procesos generales, estrategias ypautas que favorecen la resolucin de problemas en general y en particular de los problemas matem-ticos. Deca Polya: El profesor de matemticas no debera contentarse con dispensar el saber, sino quetambin debera intentar desarrollar en los estudiantes la capacidad de utilizar ese saber; debera insis-

tir en el saber hacer, en las actitudes adecuadas, en los hbitos intelectuales deseables.

Polya considera la resolucin de problemas como un proceso lineal en el que establece cuatro fases:1. Comprender el problema,2. Concebir un plan,3. Ejecutar un plan, y4. Examinar la solucin obtenida.

En cada una de estas fases hay una serie de pautas o sugerencias heursticas que pretenden fijar laatencin sobre aspectos concretos del problema, para sugerir ideas que permitan avanzar en su resolu-

cin.

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En Espaa en 1991 se publica Para pensar mejorde Miguel de Guzmn en el que se destaca la identifi-cacin de los distintos tipos de bloqueos, la importancia de la actividad subconsciente en el proceso deresolucin de problemas, el desarrollo de la creatividad, y la importancia de realizar un protocolo en elproceso de resolucin. Aconsejaba ensear matemticas basndose fundamentalmente en la ocupa-

cin activa con problemas alrededor de los contenidos que se pretende impartir.En Cmo hablar, de-mostrar y resolver en Matemticas (2003) reflexiona sobre la organizacin de una clase de problemas ylas tcnicas que la facilitan como el torbellino de ideas o el trabajo en grupo.

Una forma aconsejable para las clases de resolucin de problemas es organizar en ella el trabajo en grupos. Exis-ten muchas formas de organizar el trabajo en grupo, por lo que antes de proponer cualquier actividadgrupal debemos asegurarnos que el alumnado conoce algunas tcnicas bsicas. Si no es as gran partede la rentabilidad esperada se pierde ante un mal reparto de responsabilidades, una deficiente organi-zacin, una incorrecta administracin del tiempo, etc.

Grupos ni demasiado grandes, ni demasiado pequeos, podran estar formados por unas seis o sietepersonas. En un grupo debe haber una persona responsable y una persona secretaria:

La persona responsable tiene dos funciones, dinamizadora para mantener el inters delgrupo y cuidar que nadie se quede sin participar y organizadorapreocupndose de planifi-car los tiempos y las tareas asignadas a cada fase del trabajo.

La personasecretaria se ocupa de anotar todas las ideas que vayan surgiendo en el grupo ysistematizar las tareas que se vayan desarrollando y es portavozencargndose de exponerlas conclusiones de su equipo a toda la clase.

Cada una de las funciones descritas no deben asociarse siempre a una misma persona sino que es re-comendable un sistema de alternancia.

Papel del profesorado: En una clase de resolucin de problemas, nuestra labor es dinamizar a los distin-tos equipos, supliendo las deficiencias y ayudando en los primeros momentos a las organizadoras ensus funciones.

Cuando un profesor o una profesora plantea un trabajo en grupo para resolver problemas debe:

Elegir problemas con un enunciado atractivo y que resulte motivador. Graduar de manera conveniente la dificultad del problema. Analizar detenidamente los bloqueos que puedan surgir en la resolucin del problema y

utilizar los mtodos adecuados para superarlos. Percibir las dificultades que el trabajo en grupo plantea como tal y contar con recursos

para actuar frente a los obstculos que perturban su buen funcionamiento. Procurar establecer un ambiente adecuado dentro del aula que favorezca actitudes posi-

tivas hacia el aprendizaje.

Pero el aprendizaje de la resolucin de problemas es un proceso a largo plazo. No es un objetivo opera-tivo evaluable mediante un examen.

Para saber ms entra en:http://innovacioneducativa.upm.es/pensamientomatematico/node/91
http://innovacioneducativa.upm.es/pensamientomatematico/node/91http://innovacioneducativa.upm.es/pensamientomatematico/node/91http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/

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Matemticas 1 de ESO. Captulo 2: Nmeros Naturales. Divisibilidad Autora: Fernanda Ramos

www.apuntesmareaverde.org.es Revisor: Sergio Hernndez

Ilustraciones: Banco de Imgenes de INTEF

Nmeros Naturales. Divisibilidad. 1 de ESO18


Autora: Fernanda Ramos

Revisores: Sergio Hernndez, Milagros Latasa y Nieves Zuasti

Ilustraciones: Banco de imgenes del INTEF

1 ESO CAPTULO 2:NMEROS NATURALES.DIVISIBILIDAD
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3

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ndice

1.1. EL SISTEMA DE NUMERACIN

1. REPASO DE NMEROS NATURALES

1.2. OPERACIONES ELEMENTALES

2.1. MLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NMERO

2. DIVISIBILIDAD

2.2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

2.3. OBTENCIN DE TODOS LOS DIVISORES DE UN NMERO

3.1. NMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

3. NMEROS PRIMOS

3.2. LA CRIBA DE ERATSTENES

3.3. DESCOMPOSICIN DE UN NMERO EN FACTORES PRIMOS

3.4. MXIMO COMN DIVISOR DE VARIOS NMEROS

3.5. MNIMO COMN MLTIPLO DE VARIOS NMEROS

3.6. DESCOMPOSICIN FACTORIAL

ResumenJaime, Mara y Raquel van a visitar a su abuela a menudo. Jaime vacada 2 das, Mara cada 4 y Raquel solo va un da a la semana. Unda que coincidieron los tres, comentaron que nunca habancomido un pastel tan rico como el que hace su abuela. Ella afirm:El prximo da que volvis a coincidir, lo vuelvo a hacer.Cundo podrn volver a disfrutar del pastel?

En este captulo aprenderemos a resolver problemas similares aeste y profundizaremos en la tabla de multiplicar mediante

conceptos como: divisibilidad, factorizacin o nmeros primos.

Descubrirs algunos de los grandes secretos de los nmeros y nunca te imaginaras que la tabla demultiplicar escondiese tantos misterios ocultos

Fotografa: Clarisa Rodrgues

Sistema de numeracin griego clsico

Ilustracin: A. Ortega
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3

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1.1. Los sistemas de numeracin

1. REPASO DE NMEROS NATURALES

Por qu en otros pases, aunque se hablen lenguas diferentes, se usan los mismos nmeros?

El sistema de numeracin decimal

Esos nmeros, los que nosotros usamos, constituyen un lenguaje universal y se dice que estnexpresados en el sistema decimal.

El sistema de numeracin decimales el ms usado en todo el mundo y en casi todos los mbitos.

En este sistema el valor de una cifra en un nmero es diez veces mayor que el de la cifra situada a suderecha y diez veces menor que el valor de la situada a su izquierda. Por eso se dice que es un sistema

posicional: el valor de una cifra en un nmero depende del lugar que ocupe esa cifra.

Actividades resueltas

En el nmero 4652031 tenemos:

- La cifra de las unidades: el 1

- Luego la cifra de las decenas: el 3, cuyo valor en el nmero es 10 veces ms que el anterior,luego su valor ser:

310 = 30

- En tercer lugar, las centenas: el 0, cuyo valor ser el que resulte de multiplicar la cifra situadaen tercer lugar por 100 ( o por 102

010

)

2

- En cuarto lugar las unidades de millar :2, cuyo valor obtenemos multiplicando por 1000 ( o por103 ) la cifra situada en ese lugar :

= 0

2103 = 2000

- Luego, las decenas de millar: 5 cuyo valor ser:

5104 = 50000- En sexto lugar, las centenas de millar: 6, cuyo valor se obtiene multiplicando la cifra por 105.

6105 = 600000

- Y, por ltimo, las unidades de milln: 4, cuyo valor obtenemos multiplicndolo por 106 :

4 106 = 4000000

Con esto observamos que el nmero 4652031 se puede escribir utilizando potencias de 10 de la forma:

4652031 = 4 106 + 6 105 + 5 104 + 2 103 + 0 102 + 3 10 + 1 = 4106 + 6105 + 5104 + 2103 + 310 + 1

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1. Escribe mediante potencias de 10 los siguientes nmeros:a) 7653 b) 30500 c) 275643 d) 200543

2. Qu lugar ocupa la cifra 5 en los siguientes nmeros? En cul de los nmeros tiene mayor valor?Y menor?

a) 508744 b) 65339001 c) 7092157 d) 9745

3. Razona por qu en un nmero natural con dos cifras repetidas, stas no tienen el mismo valor.

Otro sistema de numeracin que todava se usa es el de los nmerosromanos. Te acuerdas de sus equivalencias?

Nmeros romanos

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000

Ejemplo:

El nmero MDL equivale en el sistema decimal al 1550. Si ahora leaadimos un V, es decir: MDLV, el nmero es el 1555, pero las cifrassiguen teniendo el mismo valor en ambos nmeros.

Uno de los primeros sistemas de numeracin que se utiliz fue el de

base 12hace ya ms de 5000 aos. Todava se usa cuando contamosobjetos por docenas o con algunas mediciones del tiempo (como losmeses de un ao)

Otros sistemas de numeracin

El sistema de base 2o sistema binario tambin es muy utilizado hoyen da, sobre todo en los ordenadores y calculadoras debido a susimplicidad, ya que para escribir nmeros en este sistema solo senecesitan dos cifras distintas: el 0 y el 1

Actividades propuestas4. Podras escribir los nmeros del 1 al 10 en el sistema binario?1.2. Operaciones elementales

Como ya sabes, multiplicar dos nmeros naturaleses equivalente asumar uno de ellos consigo mismo tantas veces como indica el otro.

Multiplicacin de nmeros naturales

Reloj con nmeros romanos

Cifras del sistema binario

Recuerda que:

Las palabras multiplicaciny producto significan lomismo, es decir, hacenreferencia a la misma

operacin.

Nota:

Aunque en primaria se usabael smbolo x para denotarel producto, a partir de ahora

y, por comodidad, losimbolizaremos con unpunto:

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Por ejemplo:

Hacer 6 5 es lo mismo que hacer 6 + 6 + 6 + 6 + 6

Si llamamos a, b y c a tres nmeros naturales, se cumple la siguientepropiedad:

Propiedad distributiva de la multiplicacin respecto a la suma

a (b+ c) = a b+ a c

Por ejemplo:

Sustituyendo las letras a por 2, b por 5 y c por 7, tenemos que:

2 (5 + 7) = 2 5 + 2 7

Esta propiedad tambin se cumple para la resta.

Considerando otra vez, a, b y c nmeros naturales cualesquiera, se cumple que:

Propiedad distributiva de la multiplicacin respecto a la resta

a (b c) = a b a c

Estas propiedades son muy tiles para hacer clculos mentales rpidos descomponiendo nmeros:

Calcular 15 23 mentalmente es complicado, pero si hacemos:

15 23 = 15 (20 + 3) = 15 20 + 15 3 resulta ms sencillo.Si leemos la igualdad de derecha a izquierda, es decir:

1520+153 = 15 (20+3) se suele decir que hemos sacado factor comn el nmero 15,pero realmenteestamos hablando otra vez de la propiedad distributiva.

Generalizando:

a (b + c) = a b + a c es lo mismo que: a b + a c = a (b + c) , y utilizando la propiedad conmutativa:b a + c a = (b + c) a.

a (b c) = a b a c es lo mismo que: a b a c = a (b c) , y utilizando la propiedad conmutativa:

b a c a = (b c) a.

Ejemplos:

a) 870 4 870 3 = 870 (4 3) = 870 1 = 870

b) 450 2 + 3 450 = (2 + 3) 450 = 5 450 = 2250

c) 45 6 45 5 = 45 (6 5) = 45 1 = 45

NotaRecuerda la propiedadconmutativa de lamultiplicacin:

a b= b aEjemplo:

2 3 = 3 2

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En el comedor del instituto las mesas son de 6 personas y en laclase de 1 de la ESO hay 33 alumnos, cuntas mesasocuparn?

Divisin de nmeros naturales

Vemos que habr 5 mesas ocupadas y sobrarn 3 alumnos quehan de sentarse en otra mesa:

33 6

3 5

Cada uno de los nmeros que intervienen en la divisin se llaman:

33 Dividendo 6 Divisor 5Cociente 3RestoAdems, como ya sabes, se cumple que: 33 = 6 5 + 3

Esta propiedad se cumple siempre para cualquier divisin. En general:

D d

r C

Se cumple que:

D = d c + r

Ejemplo:

El cociente entre 3658 y 65 es 56 y el resto 18. Escribe la relacin que existe entre estos cuatro valores.

3658 = 65 56 + 18

Ejemplos:

25/5, 25: 5 y5

25significan lo mismo: la divisin o el cociente de 25 entre 5.

La expresin:

25 5

0 5

Tambin significa lo mismo, pero en Secundaria y Bachillerato apenas se utiliza, as que conviene que tefamiliarices cuanto antes con las anteriores.

Nota:

La palabra cociente significa elresultado de hacer una divisin

Los smbolos utilizados pararepresentarlas son:

/, : , y la fraccin:

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Ya sabemos que dividir con calculadora es muy fcil, pero quhacemos si nos piden el resto de la divisin y solo podemos usar lacalculadora?

Divisiones con calculadora

Es muy sencillo. Vemoslo con un ejemplo:

Si hacemos:

325 5 65Pero si hacemos:

325 15 21.6666666667En el primer caso est claro que el cociente es 65 y el resto es 0, pero y en el segundo caso?

Claramente el cociente es 21. Ahora para calcular el resto tenemos que multiplicar este cociente por eldivisor y restrselo al dividendo. El resto ser: 325 (15 21) = 10.

En la expresin: 3 4 + 2, qu operacin realizaras antes, la multiplicacin o la suma?

Jerarqua de las operaciones

Existe una prioridad en las operaciones donde no existen parntesis y es que la multiplicacin y ladivisin siempre se realizan antes que las sumas y las restas.

Por tanto, la operacin anterior sera:

3 4 + 2 = 12 + 2 = 14

En general:

En operaciones con parntesis, primero hay que realizar las que estn entre parntesis y luego lasdems.

En operaciones sin parntesis, primero se efectan las multiplicacionesy divisionesy luego, las sumas yrestas.

Ejemplo:

Observa la diferencia entre estas dos operaciones:

(15 + 10) 3 = 25 3 = 75

15 + 10 3 = 15 + 30 = 45

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Notas

a) Es importante escribir los parntesis solo cuando sea necesario. Por ejemplo, en la expresin:(21 2) + 30 resulta innecesario, ya que por la prioridad en las operaciones, ya sabemos quetenemos que efectuar el producto antes que la suma.

b) Si realizamos una operacin en la calculadora sin parntesis sta ya respeta la jerarqua en lasoperaciones, por lo que si la operacin necesitase parntesis, hemos de incluirlos en lacalculadora.


5. Saca factor comn y calcula mentalmente:a) 23 4 23 3 b) 350 5 + 540 2 c) 55 13 55 3 d) 600 33 600 3

6. Construye dos nmeros con las cifras 4, 5 y 6 tal que su producto sea lo ms grande posible.7. Realiza las siguientes divisiones y comprueba con cada una de ellas la propiedad D = d c + r

6738 : 456 b) 34540 : 30 c) 240035 : 981 d) 397 : 45

8. Recuerdas la definicin de divisin exacta? Qu ocurre en la igualdad anterior si la divisin esexacta?

9. El equipo de ftbol del instituto decide celebrar su victoria de ligayendo de viaje con su entrenador. Sabiendo que el equipo lo componen20 alumnos, que el viaje les cuesta a cada uno 150 , la noche en

habitacin individual 50 y que han pagado 7350 en total, cuntosdas han estado de viaje?

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2.1. Mltiplos y divisores de un nmero entero

2. DIVISIBILIDAD

Recuerdas muy bien las tablas de multiplicar de todos los nmeros?

Mltiplos de un nmero

Escribe en tu cuaderno la del 5 y la del 7.

Sin darte cuenta, has escrito algunos de los mltiplos de 5 y de 7

Se definen los mltiplos de un nmero entero n como los nmeros que resultan de multiplicar esenmero npor todos los nmeros enteros.

Ejemplo:

La tabla del 5 que has escrito antes est formada por los valores:

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90,.

Todos ellos son mltiplos de 5.

La notacin matemtica de este concepto es:

5

Es decir:

5= { },...40,35,30,25,20,15,10,5,0

Ejemplo:

Cuenta los mltiplos de 5 que has escrito antes. Es posible hacerlo?Efectivamente, los mltiplos que tiene cada nmero entero son una cantidad infinita.


10.Calcula los siete primeros mltiplos de 8 y de 911.Cules de los siguientes nmeros son mltiplos de 12?

12, 13, 22, 24, 25, 100, 112, 142, 144

12.Halla los mltiplos de 11 comprendidos entre 12 y 90.

Un nmero entero aes divisorde otro nmero entero bcuando al dividir bentre a, el resto es 0.

Divisores enteros de un nmero

Nota

Todo nmero tiene siempre como divisor a 1 y a s mismo.

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Ejemplo:

a) 2 es divisor de 8 porque al dividir 8 entre 2, el resto es 0.

b) 10 es divisor de 20 porque al dividir 20 entre 10, el resto es 0.

c) 6 es divisor de 36 porque al dividir 36 entre 6, el resto es 0.d) 1 es divisor de 18 porque al dividir 18 entre 1, el resto es 0.

e) 18 es divisor de 18 porque al dividir 18 entre 18, el resto es 0

Si aes divisorde b, entonces tambin se dice que bes divisiblepor a.

Ejemplo:

a) 8 es divisible por 2 porque 2 es divisor de 8, es decir, al dividir 8 entre 2, el resto es 0.

b) 20 es divisible por 10 porque 10 es divisor de 20, es decir al dividir 20 entre 10, el resto es 0.

c) 36 es divisible por 6 porque 6 es divisor de 36, es decir, al dividir 36 entre 6, el resto es 0.Notas

a) Como habrs deducido, las relaciones ser mltiploy ser divisorson relaciones inversas.

b) No confundas las expresiones ser mltiplo, ser divisor y ser divisible. Vemoslo con un ejemplo:

Ejemplo:

De la igualdad: 5 3 = 15, podemos deducir lo siguiente:

5 y 3 son divisores de 15.

15 es mltiplo de 3 y de 5. 15 es divisible por 3 y por 5.


13.A partir de la igualdad: 64=24, escribe las relaciones que existen entre estos tres nmeros.14.Escribe frases usando las expresiones: ser mltiplo de, ser divisor de y ser divisible por y los

nmeros 10, 5 y 35.

2.2. Criterios de divisibilidad

Para ver si un nmero entero es divisible por otro nmero entero, basta con dividirlos y ver si el resto es0. Pero cuando los nmeros son grandes, las operaciones pueden resultar complicadas.

La tarea se simplifica si tenemos en cuenta los llamados criterios de divisibilidad que nos permitensaber si un nmero es divisible por otro sin necesidad de efectuar la divisin.

Un nmero entero es divisible por 2 cuando su ltima cifra es 0 o cifra par.

Criterio de divisibilidad por 2

Ejemplo:

Los nmeros: 312, 50, 346, 500, 780, 988 son divisibles por 2.

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Un nmero entero es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es mltiplo de 3


Ejemplo:

El nmero 231 es divisible por 3 ya que 2 + 3 + 1 = 6 que es mltiplo de 3.

El nmero 1002 es divisible por 3 ya que 1 + 0 + 0 + 2 = 3.

Si al sumar las cifras obtienes un nmero an grande y no sabes si es o no mltiplo de 3, puedes volvera aplicar el mismo sistema, solo tienes que volver a sumar todas sus cifras:

El nmero 69 es divisible por 3 ya que 6 + 9 = 15, y 15 es divisible por 3, pues 1 + 5 = 6 que esmltiplo de 3. Por tanto, 6, 15 y 69 son mltiplos de 3

El nmero 78596778696 es divisible por 3 ya que 7 + 8 + 5 + 9 + 6 + 7 + 7 + 8 + 6 + 9 + 6 = 78, y78 es divisible por 3 pues 7 + 8 = 15, y 15 lo es.

Un nmero entero es divisible por 4 si el nmero formado por las dos ltimas cifras del nmeroconsiderado es mltiplo de 4.


Ejemplo:

El nmero 3628 es divisible por 4 ya que termina en 28, que es mltiplo de 4.

Un nmero entero es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.


Ejemplo:

Los nmeros 4875 y 34590 son divisibles por 5.

Un nmero entero es divisible por 6 cuando lo es a la vez por 2 y por 3.


Ejemplo:

El nmero 7332 es divisible por 6 ya que:

- Lo es por 2 por ser par.

- Lo es por 3, ya que sus cifras suman 15 que es mltiplo de 3.

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Un nmero entero es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es 9 o mltiplo de 9


Ejemplo:

El nmero 6012 es divisible por 9 ya que: 6 + 0 + 1 + 2 = 9

El nmero 3903 no es divisible por 9 ya que: 3 + 9 + 0 + 3 = 15 que no es mltiplo de 9

Un nmero entero es divisible por 10 cuando termina en 0


Ejemplo:

El nmero 59870 es divisible por 10.

Nota

Observa que los nmeros que son divisibles por 10 lo son por 2 y por 5 y viceversa.

Un nmero entero es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugarimpar y la suma de las cifras que ocupan lugar par da 0 o mltiplo de 11


Ejemplo:

El nmero 80496 es divisible por 11 ya que: (8 + 4 + 6) (0 + 9) = 11


15.Di cuales de los siguientes nmeros son mltiplos de 2:23, 24, 56, 77, 89, 90, 234, 621, 400, 4520, 3411, 46295, 16392, 385500

Los nmeros elegidos, coinciden con los divisores de 2? Y con los que son divisibles por 2?

16.Escribe cuatro nmeros que sean divisibles por 10 y por 3 a la vez.17.Sustituye A por un valor apropiado para que:

a) 24 A75 sea mltiplo de 3.b) 1107 A sea mltiplo de 6.c) 5 A439 sea mltiplo de 11.

18. Todos los nmeros divisibles por 3 los son por 9? Y al revs? Razona la respuesta.19.Sabras deducir un criterio de divisibilidad por 15? Pon un ejemplo.

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20.Completa en tu cuaderno la siguiente tabla escribiendo verdadero o falso:Nmero Es? Verdadero/Falso

2567 Divisible por 2






2.3. Obtencin de todos los divisores de un nmero entero

En principio, para hallar los divisores naturales de un nmero entero N, lo vamos dividiendosucesivamente entre 1, 2, 3, 4,..., N. De esta manera, los divisores de N sern aquellos nmeros que lodividan exactamente, es decir den de resto 0.

Ejemplo:

Si queremos hallar los divisores de 18 lo tendramos que dividir entre 1, 2, 3, 4, 5,., 18 y ver en qucasos el resto es 0. Puedes comprobar que los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Lo que ocurre es que esta forma de calcular los divisores de un nmero se complica mucho cuando elnmero es grande. Por lo que, si utilizamos los criterios de divisibilidad que hemos aprendido, slotendremos que hacer las divisiones por los nmeros por los que N sea divisible.

Si la divisin es exacta, N: d = c,entonces el divisor (d) y el cociente (c) son divisores de N, lo que nospermite acortar la bsqueda de divisores, pues de cada divisin exacta obtenemos dos divisores.

Terminaremos de buscar ms divisores cuando lleguemos a una divisin en la que el cociente seamenor o igual que el divisor.


Veamos, como ejemplo, el clculo de los divisores del nmero 54.

Ya sabemos que todo nmero tiene como divisores a la unidad y a l mismo 1 y 54.

Es divisible por 2. (Termina en cifra par) 54 : 2 = 27 Ya tenemos dos divisores: 2 y 27.

Es divisible por 3. (5 + 4 = 9, mltiplo de 3) 54 : 3 = 18Ya tenemos dos divisores: 3 y 18.

Es divisible por 6. (Al ser divisible por 2 y 3) 54 : 6 = 9Ya tenemos dos divisores: 6 y 9.

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Es divisible por 9. (5 + 4 = 9, mltiplo de 9) 54 : 9 = 6.

Como el cociente 6 es menor que el divisor 9, ya hemos terminado. 9 y 6 (Repetidos).

Por tanto, los divisores de 54 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54.


21.Calcula los mltiplos de 25 comprendidos entre 1 y 200.22.Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) 40 es mltiplo de 10.

b) 2 es divisor de 10.

c) 4 es mltiplo de 8.

d) 55 es divisible por 11.e) 90 es divisor de 9.

f) 3 es divisible por 45.

23.Sustituye x e y por valores apropiados para el siguiente nmero sea divisible por 9 y por 10 a la vez:256x81y

24. Qu nico nmero con tres cifras iguales es divisible por 2 y por 9 a la vez?25. Calcula todos los divisores de los siguientes nmeros:

a) 65 b) 33 c) 60 d) 75 e) 100 f) 150

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3.1. Nmeros primos y compuestos

3. NMEROS PRIMOS

Cules son los divisores de 2? Y del 3? Y del 5? Y del 7? Encuentras alguna similitud entre ellos?

Pues s, los divisores de estos nmeros son el 1 y ellos mismos. A estos nmeros se les llama primos.

Un nmero primoes aquel nmero natural que solo tiene dos divisores: el 1 y l mismo.

Se llama nmero compuesto a aquel nmero natural que tiene ms de dos divisores, es decir, al que noes primo.

Nota

El 1 se considera que no es primo ni compuesto, ya que no verifica ninguna de las dos definiciones.

Ejemplo:

- Los nmeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29 son los diez primeros nmeros primos.- Nmeros como: 22, 45, 60, 98,345 o 39867657 son compuestos.


26.Contina la lista de nmeros primos del ejemplo 20 con 10 ms.27.Cunto nmeros primos crees que hay? Crees que se acaban en un momento dado o que son

infinitos?

3.2. La criba de Eratstenes

La criba de Eratstenes es un algoritmo (es decir, una secuencia de instrucciones) que permite hallartodos los nmeros primos menores que un nmero natural dado.

Nosotros lo haremos para los menores o iguales que 100, es decir, vamos a averiguar cules son losnmeros primos hasta el 100.

El algoritmo consta de los siguientes pasos:

a) Construimos una lista con los nmeros del 1 al 100

b) Inicialmente se tacha el 1, porque sabemos que no es primo.c) El primer nmero que quede sin tachar ha de ser primo. Se marca y se tachan sus mltiplos.d) Se repite de nuevo el paso d) hasta que se terminen los nmeros.

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Por tanto:

Dejamos sin tachar el siguiente nmero, que es el 2, que por lo tanto es primo, y tachamos todos losmltiplos de 2, quedando la lista como sigue:

Conservamos el 3 porque al ser el primero que aparece sin tachar, sabemos que es primo, peroeliminamos todos los mltiplos de 3, es decir, tachamos uno de cada tres nmeros. Nos queda unatabla as:

No necesitamos tachar el 4 porque ya est tachado, entonces vamos al 5 que es el siguiente nmero,por tanto no lo tachamos y eliminamos todos los mltiplos de 5 (algunos de los cuales ya estabantachados)

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Y luego seguimos de forma anloga con el 7 y tachando todos los mltiplos de 7.

Despus el siguiente nmero no tachado es el 11 y tachamos los mltiplos de 11.

Despus nos encontramos con el 13 y tachamos los mltiplos de 13.

De forma anloga vamos localizando los siguientes primos y tachando sus mltiplos hasta llegar a una

tabla de la forma:

Los nmeros que no quedan tachados en ningn paso es porque no son mltiplos de ningn nmeroanterior (sealados aqu en rojo).

En realidad, lo que Eratstenes estaba haciendo era construir una especie de filtro por el cual, alhacer pasar a todos los nmeros, slo quedaban los primos.

Por tanto, los nmeros primos que hay entre los primeros cien nmeros, son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91 y 97.


28.Te atreveras a repetir la criba de Eratstenes, pero hasta el 150?29.Busca los distintos significados de las palabras criba y algoritmo, en qu ms contextos los

puedes utilizar?

3.3. Descomposicin de un nmero natural en factores primos

Sabemos que un nmero primosolo tiene dos divisores: l mismo y el 1.

As que si quisiramos expresar un nmero primo como producto de otros dos, los nicos factores

seran el 1 y el propio nmero.

Por ejemplo, si quiero expresar 13 como producto de dos nmeros, sera:

13 = 1 13 o tambin 13 = 13 1

Sin embargo, si el nmero es compuesto, podr expresarse como producto de otros nmeros que noson ni el 1 ni l mismo.

Vamos a aprender a descomponer un nmero natural en factores primos, lo que significa expresar unnmero natural como producto de otros nmeros pero han de ser primos.

Descomponer un nmero natural en factores primos es expresar dicho nmero como un producto,

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donde todos sus factores son nmeros primos.

Para descomponer el nmero 20 podramos hacer: 20 = 4 5, pero la descomposicin en factoresprimos no sera correcta porque el 4 no es un nmero primo.

Su descomposicin sera 20 = 2 2 5, que se expresara como 20 = 2 5

Para descomponer un nmero compuesto (pues, como hemos visto, descomponer un nmero primo notiene ningn inters ni dificultad) en sus factores primos, se debe seguir el siguiente procedimiento:

a) Dividir el nmero natural dado por el menor primo posible utilizando para ello los criterios dedivisibilidad si es posible, o realizando la divisin si no hay otro remedio.

b) Realizar la divisin, y si el cociente es divisor de dicho nmero primo, realizar la divisin.

c) Si el cociente no es divisor de dicho nmero primo, buscar el menor nmero primo posible que seadivisor, recurriendo nuevamente a los criterios de divisibilidad o continuar dividiendo.

d) Seguir con el procedimiento hasta obtener el cociente igual a uno.

Notas

1) Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisoresprimos y a la izquierda los cocientes.

2) Los factores primos en la expresin del nmero ya factorizado se suelen escribir en orden creciente.

3) Cuando ya tengamos prctica, y con nmeros no demasiado grandes, podemos descomponer unnmero en producto de dos y luego cada uno de ellos en otros productos hasta que todos los factoresobtenidos sean primos.

Por ejemplo: 60= 302Como 30= 152 y 15=35, tenemos que: 60=3522 y por tanto, su descomposicin es: 60=22


35

1. Vamos a realizar la descomposicin en factoresprimos del nmero 90:Como 90 es mltiplo de 2, lo dividimos: 90 : 2 = 45Como 45 no es mltiplo de 2, buscamos el menorprimo posible por el que se pueda dividir, que es3, lo dividimos: 45 : 3 = 15.

Como 15 se puede volver a dividir entre 3,tenemos: 15 : 3 = 5Por tanto: 90 = 2 32

Esto se suele realizar como se seala en la nota 1de la siguiente forma:

5

904515

51

2335

2. Vamos a realizar otra factorizacin para elnmero 2550:

2550

1260

630

315

105

35

7

1

2

2

2

3

3

5

7

Por tanto: 2550 = 23 32 5 7

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30.Descompn en factores primos los siguientes nmeros:a) 40 b) 56 c) 75 d) 90



33.Si descomponemos en factores primos los nmeros: 10, 100, 1000, 10000 y 100000, qu es lo queobservas? Lo podras hacer de forma ms rpida sin necesidad de usar el mtodo general?

34.Qu ocurre al descomponer en factores primos los nmeros 4, 8, 16, 32, 64, 128,256?Podras continuar t la serie con 5 nmeros ms?

3.4. Mximo comn divisor de varios nmeros

Ejemplo:

Vamos a calcular los divisores de los nmeros 24 y 36:

Divisores de 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Divisores de 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18

Cules son los mayores divisores comunes a ambos? Los divisores comunes a ambos son varios: 1, 2, 3,4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12 y se dice que 12 es el mximo comn divisor de 24 y de 36.

Se llama mximo comn divisorde varios nmeros naturales al mayor de los divisores comunes a todosellos y se escribe M.C.D.

En el ejemplo anterior, escribiramos: M.C.D (24, 36) = 12

En principio, parece que hallar el M.C.D no es muy complicado, solo tenemos que calcular los divisoresde los nmeros, considerar los comunes y tomar el mayor de ellos. Pero este mtodo slo tiene sentidocon pocos nmeros y pequeos, ya que con muchos nmeros o con nmeros grandes, el clculo secomplica mucho.

Por eso, vamos a calcular el mximo comn divisor utilizando una serie de pasos, mediante los cuales elclculo se simplifica muchsimo:

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1. Factorizamos los nmeros

Clculo del M.C.D.

2. Tomamos los factores comunes a todos los nmeros elevados el menor exponente.

3. El producto de los factores considerados en el paso 2 es el M.C.D


Vamos a calcular el mximo comn divisor de los nmeros: 72, 90 y 120

1. Factorizamos cada nmero:

72 = 23 3

90 = 2 3

2

2

120 = 2

5

3

2. Tomamos los factores comunes a todos los nmeros elevados el menor exponente: Son 2 y 33 5

3. El producto de los factores considerados en el paso 2 es el M.C.D. Es decir:

M.C.D (72, 90, 120) = 2 3 = 6.

Nota

Dos nmeros naturales siempre tienen al menos un divisor en comn, el 1. Si ese es el M.C.D entonces

decimos que esos nmeros son primos entre s.


35.Calcula el M.C.D de los siguientes pares de nmeros:a) 60 y 45 b) 120 y 55 c) 34 y 66 d) 320 y 80

36.45. Calcula el M.C.D de los siguientes nmeros:a) 30, 12 y 22 b) 66, 45 y 10 c) 75, 15 y 20 d) 82, 44 y 16

3.5. Mnimo comn mltiplo de varios nmeros

El mnimo comn mltiplode varios nmeros naturales es el menor de los mltiplos que tienen encomn, y se escribe m.c.m.


Igual que con el m.c.d., se puede calcular el mnimo comn mltiplo aplicando la definicin que

acabamos de ver. Lo que ocurre es que se trata de una forma muy rudimentaria y que se complica

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mucho para nmeros grandes.

Vamos a calcular m.c.m (10, 15) aplicando esta definicin:

Mltiplos de 10 10, 20, 30, 40, 50, 60,

Mltiplos de 15 15, 30, 45, 60, 75, 90, Como vemos, mltiplos comunes a ambos son: 30, 60, 90, pero el menor de ellos es el 30. Por tanto:

m.c.m (10, 15) = 30

Vamos a ver ahora los pasos a realizar para simplificar este clculo y hacerlo ms mecnico:


Clculo del m.c.m.

2. Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

3. El producto de esos factores del paso anterior es el m.c.m.


Veamos cmo calcular el mnimo comn mltiplo de 16, 24, 40 siguiendo estos pasos:


16 = 2

24 = 2

4

3

40 = 2

33

2. Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

5

En nuestro caso: 24

3. Multiplicando estos factores tenemos que:

, 3 y 5

m.c.m(16, 24, 40) = 24

3 5 = 240

Actividades propuestas37.Calcula el m.c.m. de los siguientes pares de nmeros:

a) 60 y 45 b) 120 y 55 c) 34 y 66 d) 320 y 80

38.Calcula el m.c.m de los siguientes nmeros:a) 30, 12 y 22 b) 66, 45 y 10 c) 75, 15 y 20 d) 82, 44 y 16

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Problemas

Pero, adems, el clculo del m.c.d. y del m.c.m. es muy til para resolver problemas reales.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo:

Una dependienta de una tienda de regalos tiene un rollo de lazo rojo de 15 m y uno azul de 20 m. Comopara envolver cada regalo utiliza siempre trozos de 1 metro, y las quiere cortar en trozos de la mismalongitud para tenerlas preparadas para hacer empaquetar cajas de modo que no sobre nada en losrollos. Cul es la longitud mxima que puede cortar cada rollo para hacer los paquetes?

Estamos buscando un nmero natural que sea divisor de 15 y de 20 a la vez. De los nmeros quecumplan esto, escogeremos el mayor.

Esto es, precisamente, el M.C.D:M.C.D. (15, 20) = 5

Por tanto, la longitud de cada trozo de lazo para los paquetes ser de 5 m.

Ejemplo:

El abuelo de Ana toma unas pastillas para el corazn cada 8 horas y otras para la circulacin cada 12horas.

Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez.

Dentro de cuantas horas volver a tomrselos a la vez?

Estamos buscando un nmero de horas que ser mayor o igual a 12, y mltiplo de 8 y de 12 a la vez. Detodos los nmeros que lo cumplan, nos interesa el ms pequeo. Es decir, tenemos que calcular:

m.c.m.(8, 12) = 24

Por tanto, dentro de 24 horas se tomar ambos medicamentos a la vez.


39.Mara y Paula tienen 25 cuentas blancas, 15 cuentas azules y 90 cuentas rojas. Quieren hacer elmayor nmero de collares iguales sin que sobre ninguna cuenta.

a) Cuantos collares iguales pueden hacer?b) Qu nmero de cuentas de cada color tendr cada collar?

40.Un autobs pasa por una parada cada 18 minutos, otro cada 25 minutos y un tercer autobs cada36 minutos. Si a las 9 de la maana han pasado en ese lugar los tres autobuses a la vez. A qu horavuelven a coincidir?

41.Se compran en una florera 24 rosas y 36 claveles. Cuntos centros de mesa se pueden elaborar sise coloca la mxima cantidad de flores sin que sobre ninguna? Cuntas rosas y claveles se colocanen cada centro de mesa?

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42.Ral tiene varios avisos en su mvil: uno que da una seal cada 60 minutos, otro que da una sealcada 150 minutos y un tercero que da una seal cada 360 minutos. Si a las 10 de la maana las 3seales de aviso han coincidido.

a) Cuntas horas como mnimo han de pasar para que vuelvan a coincidir?

b) A qu hora volvern a dar la seal otra vez juntos?43.Cul ser la menor cantidad de caramelos que se puede repartir en partes iguales entre grupos de20, 30, o 60 nios? Determina en cada caso cuntos caramelos les toca a cada nio.

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CURIOSIDADES. REVISTA

A qu pensabas que los nmeros eran solo eso, pues nmeros?

Pues no, hay nmeros perfectos, nmeros amigos, hasta nmeros gemelos!!

Nmeros perfectos

Son nmeros perfectos los que soniguales a la suma de sus divisores, exceptol mismo.

El ms pequeo es el 6: 6 = 1 + 2 + 3

El siguiente es el 28: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Despus del 28, no aparece ningn

nmero perfecto hasta el 496, el cuartonmero perfecto es el 8.128, el quintoperfecto es 33.550.336. Se observa quecada nmero perfecto es mucho mayorque el anterior. Qu curioso!!

Habr alguna frmula para obtenernmeros perfectos?

Pues s, la descubri Euclides y es lasiguiente:

2n-1 (2n

Siendo n un nmero natural y siempreque (2

- 1)

n

Nmeros amigos

-1) sea primo

Dos nmeros amigosson dos enteros positivos tales quela suma de los divisores propios de uno de ellos es igual alotro. (Se consideran divisores propios

Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:

de un nmero atodos sus divisores excepto l mismo)

Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22,44, 55 y 110, que suman 284

Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, quesuman 220

Para los pitagricos los nmeros amigos eran muyespeciales, pues les atribuan propiedades casi mgicas.

Nmeros gemelosSe llaman nmeros primos gemelos a los pares denmeros primos que son impares consecutivos (3 y 5, 11 y13,). Puedes encontrar t alguno ms?

Se supone que el nmero de primos gemelos es infinito,pero est sin demostrar.

Lo que s se puede demostrar es que existen dos nmerosprimos consecutivos cuya diferencia sea tan grande comoqueramos.

Nmeros primos en la msica y literatura El compositor francs Olivier Messiaen, inspirndose en la naturaleza, utiliz los nmeros

primos para crear msica no mtrica empleando sonidos con duracin un nmero primopara crear ritmos impredecibles.

El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, describe en primerapersona la vida de un joven autista, utiliza nicamente los nmeros primos para numerarlos captulos.

La soledad de los nmeros primos, novela escrita por Paolo Giordano, gan el premioStrega en 2008.

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En 1996 cientos de miles de cigarrasnacieron en EEUU. Se reprodujeron y murieronun mes despus de haber esparcido sus huevos. Hoy, 17 aos despus, lo estnhaciendo de nuevo. Esta especie de cigarra aparece slo cada 13 17 aos. Sushuevos permanecen bajo tierra durante todo este tiempo. En breve desaparecernhasta su prxima visita en el ao 2030.

13 y 17 aos? Tendr algo que ver que sean nmeros primos?

Si las cigarras tuvieran un ciclo de, por ejemplo 12 aos, un depredador podra tenerciclos de 1, 2, 3, 4, 6 12 aos para coincidir con ellas. Con un ciclo de 17, sus

opciones se reducen a 17 y a 1. Sabr la evolucin de nmeros primos?

Quin era Eratstenes el de la famosa criba que

estudiamos antes?Eratstenes naci en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa.

Vivi entre los aos 275 y 195 antes de Cristo.Por varias dcadas, fue el director de la famosa Biblioteca de

Alejandra. Fue una de las personas ms reconocidas de la poca,

pero lamentablemente slo pocos fragmentos de lo que escribi

sobrevivieron en el tiempo.

Finalmente, muri en una huelga voluntaria de hambre, inducido

por la ceguera que lo desesperaba.

An as, Eratstenes se hizo famoso por dos descubrimientos:

- Por la medicin increblemente precisa que hizo del dimetro de

la Tierra

- Por haber fabricado una criba, o un filtro, para descubrir todos los

nmeros primos.

QU RELACIN TIENEN EL ESPIONAJE CON LA EVOLUCIN DE ALGUNOSINSECTOS?

La relacin entre ambos son los nmeros primos.

La teora de los nmeros primos tiene aplicacin en la criptografa, ciencia que estudia formasde cifrar mensajes secretos que solo puedan ser descifrados por el receptor, pero por nadiems. El proceso de cifraje requiere el uso de una clave secreta y para descifrar el mensaje,normalmente, al receptor solo le hace falta aplicar la clave al revs.

Pero lo ideal sera tener una clave para un cifraje fcil y descifrado difcil. Esto se lograutilizando nmeros primos muy grandes, de 80 cifras o ms.

Hoy en da la criptografa tiene gran importancia para las comunicaciones entre los gobiernos,compras por Internet o llamadas por telfono mvil.

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RESUMEN

Concepto Definicin Ejemplos

El sistema denumeracin decimal esposicional

El valor de una cifra en un nmero dependedel lugar que ocupa en el nmero El 1 no tiene el mismo valoren 1845 que en 6351

Jerarqua de lasoperaciones

-En las operaciones con parntesis, primerose realizan los parntesis y despus lo dems.

-En las operaciones sin parntesis primero serealizan multiplicaciones y divisiones y luegosumas y restas.

La operacin 23+7 tienecomo resultado 13, no 20,que es lo que resultaraefectuandoincorrectamente antes lasuma que el producto.

- Divisor

- Divisible- Mltiplo

- a es divisorde b cuando al dividir b entre

a el resto es 0.- a es mltiplo de b o a es divisible por b

cuando al dividir a entre b el resto es 0.

2 y 3 son divisores de 6.6 es mltiplo de 2 y de 3.6 es divisible por 2 y por 3.

Criterios de divisibilidad Simplifican mucho el clculo de ladescomposicin factorial y, en generalaveriguar cuando un nmero es divisible porotro.

3742 es divisible por 2.

4980 es divisible por 2 ypor 5.

2957 es divisible por 3.

Nmero primo Es aquel que solo tiene dos divisores: el 1 y lmismo. 23 y 29 son nmerosprimos.

Nmero compuesto Es aquel que tiene ms de dos divisores, esdecir, que no es primo.

25 y 32 son nmeroscompuestos.

Criba de Eratstenes Es un algoritmo que permite calcular todoslos nmeros primos menor que uno dado.

Los primos menores que 20son: 2,3,5,7,11,13,17 y 19

Descomponer unnmero en factores

primos

Es expresarlo como producto de nmerosprimos.

60 = 2 35

Mnimo comn mltiplode varios nmeros

Es el menor de los mltiplos que tienen encomn.

m.c.m.(18, 12)= 36

Mximo comn divisorde varios nmeros

Es el mayor de los divisores comunes a todosellos.

M.C.D.(18, 12) = 4

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Repaso nmeros naturales

EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Matemticas 1 de ESO

1.Escribe mediante potencias de 10 los siguientes nmeros:

a) 84300 b) 3333 c) 119345 d) 903711

2.Qu lugar ocupa la cifra 4 en los siguientes nmeros? En cul de los nmeros tiene mayor valor? Ymenor?

a) 508744 b) 653349001 c) 47092157 d) 9745

3. Saca factor comn y calcula mentalmente:

a) 28 4 28 3 b) 30 4 + 50 2 c) 66 23 66 13 d) 700 44 700 4

4.Construye dos nmeros con las cifras 6,7 y 8 tal que su producto sea lo ms grande posible.

5. Realiza las siguientes divisiones y comprueba con cada una de ellas la propiedad: D = d c + r

a) 3844 : 45 b) 74840 : 30 c) 983035 : 981 d) 847 : 45

6.Halla, utilizando solo la calculadora, los cocientes y los restos de las siguientes divisiones:

a) 654 : 77 b) 543 : 7 c) 8374 : 85 d) 9485 : 11 e) 6590 : 41

7.Realiza las siguientes operaciones:

a) (55 + 12) 4 b) 66 2 + 10 c) 55 + 70 3 + 11 d) 330 10 2 + 82

8.Di cuales de las siguientes operaciones tienen el mismo resultado:

a) 2 (46 - 16) b) 2 46 - 16 c) 2 46 8 16 d) 2 (46 + 16) e) 2 46 + 16

9.Realiza las operaciones del ejercicio anterior en la calculadora y comprueba la importancia de aadirlos parntesis.

10.Realiza las siguientes operaciones:

a) 4 (44 + 5) 6 2 + 9 b) 2(3 + 11) - (4 + 12) c) (18 - 4)5 + 3 7 - 13 d) 512+(3 - 2)4 - 3 + 45 - 5

11. Inventa un problema en el que tengas que realizar la siguiente operacin: 5 + 4(6 - 2)

12. Halla, utilizando solo la calculadora, los cocientes y los restos de las siguientes divisiones:

a) 376 : 37 b) 299 : 7 c) 3524 : 65 d) 585 : 22 e) 2060 : 51

13. Realiza las siguientes operaciones:

a) (34 + 23) 5 b) 87 2 + 10 c) 55 + 65 3 + 11 d) 230 100 2 + 90

14. Di cuales de las siguientes operaciones tienen el mismo resultado:

a) 8 (22 12) b) 8 22 12 c) 8 22 8 12 d) 8 (22 + 12) e) 8 22 + 12

15. Realiza las operaciones del ejercicio anterior en la calculadora y comprueba la importancia de aadirlos parntesis.

16. Realiza las siguientes operaciones:

a) 4(65 + 7) 5 2 + 4 b) 2(3 + 9) - (4 + 8) c) (22 - 4)5 + 3 2 - 1 d) 5 4 + (4 - 2) 5 3 + 4 6 - 5

Inventa un problema en el que tengas que realizar la siguiente operacin: (34 + 7) 8

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17. Sabemos que para el viaje de fin de curso son necesarios 3 autobuses, ya que viajarn 103 alumnos.En los dos primeros autobuses viajan el mismo nmero de estudiantes y en el tercero un alumnoms que en los otros dos. Cuntas personas viajan en cada autobs?

18. MAGIA!

Sigue los siguientes pasos:

- Piensa en dos nmeros naturales de una cifra.

- Multiplica el primero por 2 y smale 8.

- Multiplica el resultado anterior por 5.

- Suma el segundo nmero que habas pensado al resultado anterior.

- Resta 40 al ltimo resultado

Qu ocurre? Es casualidad? Pasar siempre lo mismo? Puedes explicarlo?

Divisibilidad19.Escribe los diez primeros mltiplos de 6 y los diez primeros mltiplos de 9. Cules son comunes a

ambos?

20. Escribe cuatro nmeros que cumplan que la cifra de las unidades sea el triple que la de las decenasde manera que dos de ellos sean divisibles por 2 y los otros dos no lo sean.

21. Indica cuales de los siguientes nmeros son mltiplos de 15:

1, 30, 50, 60, 70, 75, 100, 125, 150

22. Di cuales de los siguientes nmeros son mltiplos de 5. Y de 10? Cules coinciden? Por qu?

23, 24, 56, 77, 89, 90, 234, 621, 400, 4520, 3411, 46295, 16392, 385500

23.Escribe cuatro nmeros de cuatro cifras que cumplan que la cifra de las decenas sea el doble que lade las unidades de manera que uno de ellos sean divisible por 3, otro por 11, otro por 2 y otro por4.

24. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla escribiendo verdadero o falso:

Nmero Es? Verdadero/Falso







25.Haz una lista con los valores de las monedas y billetes del sistema monetario euro.

Figura entre ellos algn nmero primo? Por qu crees que es as?

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26. Pedro tiene una forma muy peculiar de dar el telfono a sus amigos: les dice que consta de nuevecifras, que no se repite ninguna y que leyndolo de izquierda a derecha se cumple:

- La primera cifra es un mltiplo de 3 mayor que 6.

- Las dos primeras cifras forman un mltiplo de 2 y de 5.

- Las tres primeras cifras forman un nmero par mltiplo de 3

- Las cuatro primeras cifras forman un nmero que es mltiplo de 5 pero no de 2.

- Las cinco primeras cifras forman un nmero mltiplo de 2 y de 3.

- Las seis primeras cifras forman un nmero mltiplo de 11.

- La sptima cifra es un mltiplo de 7.

- Las ocho primeras cifras forman un nmero impar.

- Las cuatro ltimas cifras forman un mltiplo de 11.

Sabras averiguar cul es su telfono?

27. Calcula cuntos cuadrados puedes contar en la siguiente figura:

28.Sustituye x e y por valores apropiados para el siguiente nmero sea divisible por 2 y por 11 a la vez:

256x81y

29.Sabemos que el nmero 1452 es mltiplo de 11. Calcula otro mltiplo de 11 solo cambiando delugar las cifras de este nmero.

30.Completa en tu cuaderno con las expresiones ser mltiplo de, ser divisor de o ser divisiblepor:

a) 40 es . 10.b) 2 es .. 10.

c) 4 es .. 8.

d) 335 es . 11.

e) 90 es .. 45.

f) 3 es ..15.

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Nmeros primos

31. Descompn en factores primos los siguientes nmeros: 1530, 2457 y 7440.

32.Observa la descomposicin factorial de los siguientes nmeros a, b, c, d y contesta:

a = 2 32 b = 2 3 c = 5 7 d = 2 32 7

a) Cul de ellos es mltiplo de a?b) Cules son divisores de d?c) Cules son primos entre s?

33.Averigua cuales son los nmeros cuyas descomposiciones factoriales son:

a) x = 23 32 7 b) y = 52 22 11 c) z = 2 52 7

34.Calcula el M.C.D de los siguientes pares de nmeros:

a) 9 y 12 b) 18 y 42 c) 8 y 15 d) 108 y 630

35.Calcula el m.c.m. de los siguientes pares de nmeros:

a) 140 y 300 b) 693 y 1485 c) 365 y 600 d) 315 y 1845

36.Calcula el m.c.m y M.C.D. de los siguientes nmeros:

a) 24, 60 y 80 b) 60, 84 y 132 c) 270, 315 y 360 d) 240, 270 y 36

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1. Cul es el resultado de 20 15 + 3?A

1eso

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