41cart.ebalbharati.in/balbooks/pdfs/701020004.pdf1.ख ल ददल ल म प च र ष ख ड...

Amnë`m ñ_mQ>©\$moZdarb DIKSHA App X²dmao nmR>çnwñVH$mÀ`m n{hë`m n¥îR>mdarb Q. R. Code X²dmaoo {S>{OQ>b nmR>çnwñVH$ d àË`oH$ nmR>m_Ü`o Agboë`m Q. R. Code X²dmao Ë`m nmR>mg§~§{YV AÜ``Z AÜ`mnZmgmR>r Cn`wŠV ÑH$lmì` gm{hË` CnbãY hmoB©b.

1

1 भौमिमिक रचनामिभाग पमिला

4 समी लाबीचा रषाखड PS काढा व ताचा लबदभाजक काढा. ताला रषा CD ह नाव दा.� रषा CD लबदभाजक आह का, ह पडताळणासाठी का कराल ?

m∠CMS = °

� l(PM) = l(SM) अाह का ?

शजारी ∠ABC ची आकती ददली आह.कोनदभाजक कोनाच दोन समान भाग करतो. दकरण BM हा ∠ABC चा दभाजक आह का ?

C

MB

A

� आपण मागील इततामध रषा, रषाखड, कोन, कोनदभाजक इतादीचा अभास कला आह.आपण कोनाच माप अशामध मोजतो. ∠ABC च माप 40° असल, तर ती मादहती आपण m∠ABC = 40° अशी दलदहतो.

कोनदभाजक (Angle bisector)

रषाखडाचा लबदभाजक (Perpendicular bisector of a line segment)

मरिकोणाचा कोनाचा दभाजकाचा गणधिमकिी1. ∆PQR हा कोणताही दरिकाण काढा.2. कपासचा साहायान दरिकोणाच तीनही कोन दभागा.

(दभाजक परस मोठ नसलास त वाढवन एकमकाना छदतीलअस पाहा.)

3. ह तीनही कोनदभाजक एकाच दबदतन जातात महणजच तएकसपािी आहत. ता सपात दबदला I नाव दा.

4. दरिकोणात I पासन दरिकोणाचा बाज PQ, QR व PR वरअनकरम IA, IB, IC ह लब काढा. ा तीनही लबाची लाबीमोजा. का ददसत ? IA = IB = IC ाचा अनभव घा.

M

C

P S

D

जाणन घऊा.

जरा आठिा.

P

Q R

I

A C

B

2

मरिकोणाचा बाजचा लबदभाजकाचा गणधिम

किी1. पट टीचा साहायान एक लघकोन दरिकोण

व एक दवशालकोन दरिकोण काढा. परतकदरिकोणाचा बाजच लबदभाजक काढा.

2. परतक दरिकोणाचा बाजच लबदभाजकएकसपाती आहत ह अनभवा.

3. दरिकोणाचा बाजच लबदभाजक जादबदत दमळतात, ता दबदला C नाव दा. C दबदपासन दरिकोणाचा दशरोदबदपयतची अतर मोजा. का ददसत ? CX = CY = CZ ह अनभवा.

4. लबदभाजकाचा सपात दबद कोठ आह ाच दनरीकषण करा.

1. खाली ददलला मापाच रषाखड काढा व ताच लबदभाजक काढा.(1) 5.3 समी (2) 6.7 समी (3) 3.8 समी

2. खाली ददलला मापाच कान काढा व ताच दभाजक काढा.(1) 105° (2) 55° (3) 90°

3. एक दवशालकोन दरिकोण व एक काटकोन दरिकोणकाढा. परतक दरिकोणातील कोनदभाजकाचासपात दबद काढा. परतक दरिकोणातील सपात दबद

कोठ आह ?4. एक काटकोन दरिकोण काढा. ताचा भजाच

लबदभाजक काढा. ताचा सपात दबद कोठ आह ?

5*. मदिली, शला व अज ह दतघ एका शहरातवगवगळा दठकाणी राहत असन ताचा घरापासनसमान अतरावर खळणाच एक दकान आह. हआकतीचा साहायान दशशवणासाठी कोणतीभौदमदतक रचना वापरावी ? सपषीकरण दा.

Z

C

Y

X

X

Y ZC

I

C

� अमधक िामििीसाठी (1) दरिकोणाच कोनदभाजक एकसपािी (concurrent) असतात.

ताचा सपातदबदस अििमध (incentre) महणतात. तो I ाअकषरान दशशवला आह.

(2) दरिकोणाचा बाजच लबदभाजक एकसपािी असतात. ताचासपात दबदस पररिध दकवा पररकदर (circumcentre)महणतात. तो C ा अकषरान दशशवला आह.

सरािसच 1

3

मरिकोण रचनाकिी काही कोनाची व भजाची माप ददली असता दरिकोण काढता तो का त पाहा.

∆ABC असा काढा की l(AB) = 4 समी, l(BC) = 3 समी�असा दरिकोण काढता ईल का ?� ा अटी पाळणार अनक दरिकोण काढता तात.

ह अनभवा.� ा मादहतीवरन एकमव दरिकोण काढता ावा

अशी अपकषा असल तर आणखी कोणती अट घालावी लागल ?

कोणतीही इमारत बाधणापववी ता इमारतीची रचना सवशपरिम कागदावर काढली जात. ता इमारतीची छोटी परदतकती बनवलली सद धा तमही पादहली असल. ता रखाटनाचा आधार इमारत बाधण सोप जात. ताचपरमाण कोणतीही भौदमदतक रचना करणापववी ता रचनची कची आकती काढन घतलास ददलली रचना करणास मदत होत. रचनतील दकराचा करम ठरवता तो.

Z

X Y

5 समी

6 समी

4 समी

Y

Z

X

4 समी5 समी

6 समी

(I) मरिकोणाचा िीन बाजची लाबी मदली असिा मरिकोण काढण.उदा. ∆XYZ असा काढा की l(XY) = 6 समी, l(YZ) = 4 समी, l(XZ) = 5 समी कची आकती काढताना ददलली मादहती चटकन व शक तवढा ोग परमाणात दाखवा. उदाहरणात बाज XY सवायत मोठी आह, महणन कचचा आकतीतही ती तशीच असावी. आकिी काढणाचा पाऱा.

1. कचचा आकतीपरमाण रख XY हा 6 समी लाबीचा पाा घतला आह.

2. रख XZ ची लाबी 5 समी असलामळ कपासमध 5 समी अतर घऊन कपासच लोखडी टोक X वर ठवन रख XY चा एका बाजला एक कस काढला.

3. कपासमध 4 समी अतर घऊन कपासच लोखडी टोक Y वर ठवन आधी काढलला कसाला छदणारा कस काढला. छदनदबदला Z नाव ददल.

रख XZ व रख YZ काढल. पााचा दसऱा बाजस कस काढन तशीच दरिकोण रचना करन दाखवली आह.

YX

Z

5 समी 4 सम

ी

6 समी

4 समी

6 समी

5 समी

X Y

Z

कची आकती



4

1. खाली ददलला मापावरन दरिकोण काढा.(a) ∆ABC मध l(AB) = 5.5 समी,

l(BC) = 4.2 समी, l(AC) = 3.5 समी(b) ∆STU मध l(ST) = 7 समी,

l(TU) = 4 समी, l(SU) = 5 समी(c) ∆PQR मध l(PQ) = 6 समी,

l(QR) = 3.8 समी, l(PR) = 4.5 समी5 समी

5.5 समी

50°P Q

RG

R

P Q 50°

5.5 समी

कची आकती5 समी

R

P Q 50°5.5 समी


5 समी

2. पाा 5 समी व उरलला परतक भजची लाबी3.5 समी असलला समद दवभज दरिकोण काढा.

3. बाज 6.5 समी असलला समभज दरिकोणाचीरचना करा.

4. तमही सवत: बाजची लाबी घा व एक समभज दरिकोण, एक समद दवभज दरिकोण व एक दवषमभज दरिकोण काढा.

(II) मरिकोणाचा दोन बाज ि तानी सिामिषट कलला कोन मदला असिा मरिकोण काढण.उदा. ∆PQR असा काढा की l(PQ) = 5.5 समी, m∠P = 50°, l(PR) = 5 समी

(कची आकती काढन तामध ददलली मादहती दाखवली आह. ∠P लघकोन आह. तसा कचचा आकतीतही काढला आह.)

आकिी काढणाचा पाऱा1. कचचा आकतीपरमाण रख PQ हा 5.5 समी लाबीचा

पाा घतला.

2. दकरण PG असा काढला की m∠GPQ = 50°

3. कपासमध 5 समी अतर घा. कपासच लोखडी टोकP वर ठवन दकरण PG वर कस काढला. ता छदनदबदलाR नाव ददल. दबद Q व दबद R जोडा. ∆PQR हाअपदकषत दरिकोण तार झाला.

दकरण PG हा रख PQ चा दसऱा बाजला दखील काढता तो. आता कची आकती पढीलपरमाण काढ. तानसार ∆PQR काढला.


5.5 समी

5 समी

P Q

R

G

50°

5

1. ∆MAT मध l(MA) = 5.2 समी,m∠A = 80°, l(AT) = 6 समी

2. ∆NTS मध m∠T = 40°,l(NT) = l(TS) = 5 समी

3. ∆FUN मध l(FU) = 5 समी,l(UN) = 4.6 समी, m∠U = 110°

4. ∆PRS मध l(RS) = 5.5 समी,l(RP) = 4.2 समी, m∠R = 90°

(III) दोन कोन आमण तानी सिामिषट कलला बाजची लाबी मदली असिा मरिकोण काढण.उदा. ∆XYZ असा काढा की l(YX) = 6 समी, m∠ZXY = 30°, m∠XYZ = 100°

∠XYZ हा दवशालकोन आह. तस कचचा अाकतीतही दाखवल आह.

आकिी काढणाचा पाऱा

1. कचचा अाकतीपरमाण रख YX हा6 समी पाा घतला.

2. दकरण YR हा असा काढला कीm∠XYR = 100°

3. रख XY चा जा बाजला दबद R आह,ताच बाजला दकरण XD असा काढला,की m∠YXD = 30°. YR व XDा दकरणाचा छदनदबदला Z नाव ददल.∆XYZ हा अपदकषत दरिकोण तारझाला.

4. पााचा दसऱा बाजला दखील असाचदरिकोण काढता तो ह अनभवा.

उदा. ∆ABC मध m∠A = 60°, m∠B = 40° व l(AC) = 6 समी आह. तर तमही ∆ABC काढ शकता का ? दरिकोण काढणासाठी आणखी कोणती मादहती अपदकषत आह ? ती मादहती दमळवणासाठी कोणता गणधमश वापरता ईल ? कची आकती काढन ठरवा.

दरिकोणातील तीनही कोनाचा मापाचा बरजचा गणधमश आठवा. हा गणधमश वापरन रख AC ला समादवषकरणार ∠A व ∠C ाची माप दमळतील का ?

जरा डोक चालिा.

Z

Y X 100° 30°

6 समी

D

Y X

Z

100°30°

R

6 समी


सरािसच 3¤ खाली ददलला मापावरन दरिकोण काढा.

6


3 समी

5 समी

L

M N

1. ∆SAT, मध l(AT) = 6.4 समी,m∠A = 45°, m∠T = 105°

2. ∆MNP, मध l(NP) = 5.2 समी,m∠N = 70°, m∠P = 40°

3. ∆EFG, मध l(EG) = 6 समी,m∠F = 65°, m∠G = 45°

4. ∆XYZ, मध l(XY) = 7.3 समी,m∠X = 34°, m∠Y = 95°

(IV) कणम ि एका बाजची लाबी मदली असिा काटकोन मरिकोण काढण.दरिकोणात एक कोन काटकोन असल तर तो दरिकोण काटकोन दरिकोण असतो ह आपलाला माहीत आह.

अशा दरिकोणात काटकोनासिोरील भजा मिणज कणम हो.उदा. ∆LMN असा काढा की m∠LMN = 90°, कणश = 5 समी, l(MN) = 3 समी

ददलला मादहतीवरन, कची आकती काढा.

m∠LMN = 90° महणन अदाज काटकोन दरिकोण काढला व काटकोनाची खण दाखवली आह. महणजच ददलली मादहती कचचा आकतीत दाखवली.

आकिी काढणाचा पाऱा1. कचचा आकतीत दाखवलापरमाण रख MN हा पाा

3 समी लाबीचा काढला.2. रख MN चा दबद M पाशी 90°मापाचा कोन करणारा

दकरण MT काढला.3. कपासमध 5 समी अतर घऊन कपासच लोखडी टोक

दबद N वर ठवन दकरण MT ला छदणारा कस काढला.छदनदबदस L नाव ददल. ∆LMN तार झाला.

4. पााचा दसऱा बाजला दखील अशीच आकती काढतात, ह लकषात घा.

1. ∆MAN, मध m∠MAN = 90°,l(AN) = 8 समी, l(MN) = 10 समी.

2. काटकोन दरिकोण STU मध कणश SU = 5 समीव l(ST) = 4 समी.

3. ∆ABC मध l(AC) = 7.5 समी,m∠ABC = 90° , l(BC) = 5.5 समी.

4. ∆PQR मध l(PQ) = 4.5 समी,l(PR) = 11.7 समी, m∠PQR = 90°.

5. दवदारायनी दरिकोण रचनासाठी वगवगळी उदाहरण तार करन सराव करावा.

M N

T

3 समी

5 समी

L

सरािसच 4¤ खाली ददलला मापावरन दरिकोण काढा.

सरािसच 5खाली ददलला मापावरन दरिकोण काढा.

7

A

B

QP

पढील मादहतीपरमाण दरिकोण काढणाचा परतन करा.1. ∆ABC मध m∠A = 85°, m∠B = 115° l(AB) = 5 समी2. ∆PQR मध l(QR) = 2 समी, l(PQ) = 4 समी, l(PR) = 2 समी वरील दोनही दरिकोण तमही काढ शकलात का ? काढ शकत नसाल तर तामागील कारण शोधा.

� अमधक िामििीसाठी किीउदा. ∆ABC असा काढा की, l(BC) = 8 समी, l(CA) = 6 समी, m∠ABC = 40°.

BC ा 8 समी लाबीचा पाावर 40° चा कोन करणारा दकरण काढा. तावर l(AC) = 6 समी ईल अस A साठी दोन दबद दमळतात, ह कपासचा साहायान अनभवा. महणजच ददलला मापाच दोन वगळा आकाराच दरिकोण दमळतात. दरिकोणाच तीनही कोन ददल असतील व एकही बाज ददली नसल तर दरिकोण काढता ईल का ? अस दकती दरिकोण काढता तील ?

किी


रषाखडाची एकरपिा (Congruence of segments) किी I एक आताकती कागद घा. ा कागदाचा समोरासमारील बाज जळवा. ता ततोतत जळतात ह अनभवा.किी II पट टीचा साहायान रख AB ची लाबी मोजा आदण रख PQ ची लाबी मोजा व दलहा. l(AB) = ............. l(PQ) = .............

रख AB व रख PQ ा रषाखडाची लाबी समान आह ना ? ता रषा उचलन एकमकीवर ठवता त नाहीत. एक पारदशशक कागद AB वर ठवन ता कागदावर AB रषाखड दबदचा नावासह दगरवा. पारदशशक कागदावर दमळालला नवा रषाखड PQ वर ठवन तपासा. A दबद P वर ठवलास B दबद Q वर पड शकतो ह अनभवा. ावरन रख AB ही रख PQ शी एकरप आह ह समजत. ावरन असा दनषकषश दनघतो की दोन रषाखडाची लाबी समान असल तर त रषाखड ततोतत जळतात महणजच त एकरप आहत, अस महणतात. रषाखड AB व रषाखड PQ ह एकरप असतील तर तरख AB ≅ रख PQ अस दलदहतात.

ि िला सिजल.

�जर ददलला रषाखडाची लाबी समान असल तर त रषाखड एकरप असतात.

{जर रख AB ≅ रख PQ महणजच रख PQ ≅ रख AB. {जर रख AB ≅ रख PQ, रख PQ ≅ रख MN तर रख AB ≅ रख MN ह लकषात घा. महणजच एक रषाखड दसऱाशी व दसरा दतसऱाशी एकरप असल तर पदहला रषाखड दतसऱाशी दखील एकरप असतो.

8

B 35°

A

C

90°

TI

N P

T

Q

100°

A

B

H G

F

D

EC

M RG

N B

D

E

C

Q P Z Y X W A B C

किी I कोणतही एक खोक घा. ताचा परतक कडची लाबी मोजा. कोणता कडा एकरप आहत त पाहा.

किी II

खाली ददलला आकारावरन एकरप रषाखडाचा जोडा दलहा.

(1) रख AB ≅ रख DC

(2) रख AE ≅ रख BH

(3) रख EF ≅ रख .......

(4) रख DF ≅ रख .......


1. खालील अाकतीमधील एकरप रषाखडाचा जोडा दलहा. (कककटकाचा वापर करन ता शोधा.)

(i) ...........................

(ii) ...........................

(iii) ...........................

(iv) ...........................

2. खालील रषवर लगतचा कोणताही दोन दबदमध समान अतर आह. तावरन ररकामा जागा भरा.

(i) रख AB ≅ रख ....... (ii) रख AP ≅ रख ....... (iii) रख AC ≅ रख .......(iv) रख ....... ≅ रख BY (v) रख ....... ≅ रख YQ (vi) रख BW ≅ रख .......


कोनाची एकरपिा (Congruence of angles)

पढ ददलला कोनाच दनरीकषण करन समान माप असणाऱा कोनाचा जोडा दलहा.

9

35°100°

90°

I

S R

ST

RS

PM

M Y ZN

L X

40° 40°

�घडाळात दकती वाजल आहत ? �दोन काटामध दकती अश मापाचा कोन झाला

आह ? �ा कोनाशी एकरप कोन घडाळाचा काटामध आणखी

दकती वाजता असतो ?

किी

चला, चचाम करा.

आकतीत दाखवलापरमाण 40°च ∠LMN व ∠XYZ ह दोन कोन काढा. एक पारदशशक कागद ∠LMN वर ठवन दबदचा नावासह कोनाचा भजा दगरवा. पारदशशक कागद उचलन दमळालला कोन ∠XYZ वर ठवा. दबद M दबद Y वर, दकरण MN दकरण YZ वर ठवन दकरण ML हा दकरण YX वर पडतो ह अनभवा. ावरन समान मापाच कोन एकरप असतात ह समजत. कोनाची एकरपता भजाचा लाबीवर अवलबन नसत. कोनाची एकरपता कोनाचा मापावर अवलबन असत. ∠LMN व∠XYZ एकरप आहत ह∠LMN ≅∠XYZ अस दलदहतात.


�जा कोनाची माप समान असतात, त कोन एकरप असतात.

{ जर ∠LMN ≅∠XYZ तर ∠XYZ ≅∠LMN{ जर ∠LMN ≅∠ABC आदण ∠ABC ≅∠XYZ तर ∠LMN ≅∠XYZ

10

90°

45° 30°

BA

O C

D 45° 30°

P

Q R

S

T

R L

N

M

Geogebra Software मधील Construction tools चा वापर करन दरिकोण व वतशळ काढा.

(a) (b) (c) (d)किी I वरील आकतीतील वतशळाच दनरीकषण करा.

वरीलपरमाण 1 समी, 2 समी, 1 समी, 1.3 समी दरिजची वतशळ कागदावर काढा व ता वतशळाकार चकता कापा. ा चकता एकमकीवर ठवन कोणता चकता एकमकीशी ततोतत जळतात ह तपासा.

मनरीकषण : 1. आकती (a) व (c) मधील वतशळ एकमकाशी जळणारी आहत.2. आकती (b) व (c) मधील वतशळ तसच, आकती (a) व आकती (d) मधील वतशळ एकमकाशी

जळणारी नाहीत.जी वतशळ एकमकाशी ततोतत जळतात ताना एकरप ििमळ महणतात.

किी II वगवगळा आकाराचा पण समान जाडीचा बागडा आणन तातील कोणता बागडा एकरप आहत त शोधा.

किी III ववहारात तमहाला एकरप वतशळ कोठ ददसतात त शोधा.किी IV घरातील वतशळाकार कडा असलला ताटला दकवा वाटा घा. ताचा कडा एकमकीशी जळवन

कोणता कडा एकमकीशी एकरप आहत त पाहा.ि िला सिजल.�जा वतशळाचा दरिजा समान असतात, ती वतशळ एकरप असतात.

qqq

1 समी 1 समी2 समी 1.3 समी

ICT Tools or Links

सरािसच 7¤खाली काही कोन ददल आहत. तातील एकरप कोनाचा जोडा एकरपतच दचनह वापरन दलहा.


ििमळाची एकरपिा (Congruence of circles)

11

2 पणााक सखाचा गणाकार ि भागाकार

�मागील इततत आपण पणायकाची बरीज व वजाबाकी कराला दशकलो आहोत. ताचा उपोग करन खालील ररकामा जागा भरा.

(1) 5 + 7 = (2) 10 + (- 5) = (3) - 4 + 3 =(4) (- 7) + ( - 2) = (5) (+ 8) - (+ 3) = (6) (+ 8) - (- 3) =

�खालील परतक दकरच उततर 3 ईल अशा परकार ररकामा कसात ोग सखा दलहा.

पणााक सखाचा गणाकार मरी शाळतन घरी जाताना दतची साकल पकचर झाली. पकचर काढणासाठी दतचाकड परस पस नवहत. तवहा दतला सशात, सनहल आदण कलपनान परतकी पाच रप उसन ददलान दतचाजवळ 15 रप उसन गोळा झाल व दतचा साकलची दरसती झाली. आपण उसन रप दकवा कजश ‘-’ (ऋण) दचनहान दाखवतो महणज मरीवर 15 रपाच कजश हात दकवा दतचाजवळ - 15 रप हात. ि आपण (- 5) + (- 5) + (- 5) = - 15 ह जाणन घतल. ावरन (- 5) ×3 = 3 × (- 5) = - 15 ह धानात त. दसऱा ददवशी मरीन आईकडन 15 रप आणन परतकाच पस परत कल व कजश फडल दकवा कमी कल. कजश काढन टाकण महणज पस दमळवण ह समजन - (- 15) = +15 ह लकषात घा.

आपण पणश सखाच गणाकार व भागाकार दशकलो आहोत. ा दकरा करणासाठी पाढ दखील तार कल आहत. आता पणायक सखाच गणाकार अभास महणजच ऋण सखा, धन सखा व शन दमळन जो समह आह तातील सखाच गणाकार पाह. (- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3) ही बरीज महणजच (- 3) ही सखा 4 वळा घऊन कलली बरीज हो. ती -12 त. ही बरीज आपण (- 3) × 4 = - 12 अशी दलह शकतो. ताचपरकार (- 5) ×6 = - 30, (- 7) ×2 = - 14, 8 × (- 7) = - 56

(- 6) + ( ) 4 - ( ) 7 + ( )

(- 5) - ( ) - 8 + ( ) 9 - ( )

3



12

आता (- 4) चा पाढा तार कर. (- 4) ×0 = 0 ातील आकदतबधाच दनरीकषण करा. ि (- 4) चा गणक (- 4) ×1 = - 4 एका एककान वाढला की गणाकार 4 न कमी झालला ददसतो. (- 4) ×2 = - 8 (- 4) ×3 = - 12 हाच आकदतबध ठवन (- 4) हा पाढा वरचा बाजला गणक कमी करन वाढवला, तर तो असा होईल. (- 4) × (- 2) = 8 (- 4) चा गणक एका एककान कमी झाला, (- 4) × (- 1) = 4 की गणाकार 4 न वाढतो ह धानात घा. (- 4) ×0 = 0 खालील सारणीत (- 5) चा पाढा ददला आह. सारणीतील (- 6) व (- 7) च पाढ पणश करा.

(- 5) × (- 3) = 15 (- 6) × (- 3) = (- 7) × (- 3) =

(- 5) × (- 2) = 10 (- 6) × (- 2) = (- 7) × (- 2) =

(- 5) × (- 1) = 5 (- 6) × (- 1) = (- 7) × (- 1) =

(- 5) ×0 = 0 (- 6) ×0 = (- 7) ×0 =

(- 5) ×1 = - 5 (- 6) ×1 = (- 7) ×1 =

(- 5) ×2 = - 10 (- 6) ×2 = (- 7) ×2 =

(- 5) ×3 = - 15 (- 6) ×3 = (- 7) ×3 =

(- 5) ×4 = - 20 (- 6) ×4 = (- 7) ×4 =

�दोन धन पणायकाचा गणाकार धन पणायक तो.�एक धन पणायक व एक ऋण पणायक ाचा

गणाकार ऋण पणायक तो. �दोन ऋण पणायकाचा गणाकार धन पणायक तो.

(धन सखा) × (धन सखा) = (धन सखा)(धन सखा) × (ऋण सखा) = (ऋण सखा)(ऋण सखा) × (धन सखा) = (ऋण सखा)(ऋण सखा) × (ऋण सखा) = (धन सखा)



¤गणाकार करा.

(i) (- 5) × (- 7) (ii) (- 9) × (6) (iii) (9) × (- 4) (iv) (8) × (- 7)

(v) (- 124) × (- 1) (vi) (- 12) × (- 7) (vii) (- 63) × (- 7) (viii) (-7) × (15)

13


पणााक सखाचा भागाकार एका धन पणायकाला दसऱा धन पणायकान भागणाची दकरा आपलाला माहीत आह. असा भागाकार पणशसखा दकवा अपणायक असतो, हही आपण जाणतो.

जस, 6 ÷2 = 62

= 3, 5 ÷3 = 53

= 1 + 23

सखारषवर शनाचा डावीकड आपण ऋण पणायक सखा दाखव शकतो. ताचपरमाण ताच भागही दाखव शकतो.

ि , , 32

, ा सखा, सखारषवर दाखवला आहत.

−

1212, ,

32

32, −

,

−

5252, ा परसपर दवरद ध सखाचा जोडा आहत ह धानात घा.

महणजच 12 +

−12 = 0, 3

2 +

−( )32

= 0, - 52

+ 52

= 0

दवरद ध सखाचा जोडीला बरीज वसत सखाची जोडी असही महणतात.

(- 1) × (- 1) = 1 ह आपण पादहल आह. ा समीकरणाचा दोनही बाजना (- 1) न भागल तर

(- 1) = 11−( ) ह समीकरण दमळत. महणन

11−( ) हा भागाकार महणज (- 1) आह ह जाणन घा.

ावरन 6 × (- 1) = 6 ×11−( ) =

61−( ) ह समजत.

धन पणााकाला ऋण पणााकान भागण

72−

=7 11 2×

−( )× = 7 ×11−( ) × 12 =

71 × (- 1) × 12 =

7 12

( )× −( )= −7

2

ऋण पणााकाला ऋण पणााकान भागण

−−132

=−( )×−( )×1 131 2 =

−( )−( )

× ×1113 1

2 = −( )× −( )× = × =1

11

132

1 132

132

ाचपरमाण −−254 =

254 ,

−−182 =

182 = 9 इतादी पडताळन पाहा.

ावरन ऋण पणायकाचा भागाकार समजतो.एका पणााक सखला दसऱा शनिर पणााक सखन भागल की मिळणारा भागाकार मलमििाना छद िा

धन पणााक सखा असािा िा सकि आि, महणन 72− = −7

2 ,

−−113 =

113 अस दलदहतात.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

− 52

− 32

32

52

−52

−32

52

14

- 13 - 27 - 24 + 9

- 15+ 41 + 12 + 13

- 18

- 8- 28

- 37

qqq


पणायक सखाचा भागाकाराच दनम गणाकाराचा दनमासारख आहत.

� दोन धन पणायक सखाचा भागाकार, धन सखा त.

� दोन ऋण पणायक सखाचा भागाकार, धन सखा त.

� धन पणायक व ऋण पणायक ाचा भागाकार, नहमी ऋण सखा त.

सरािसच 91. खालील उदाहरण सोडवा.

(i) (- 96) ÷ 16 (ii) 98 ÷ (- 28) (iii) (- 51) ÷68 (iv) 38 ÷ (- 57)(v) (- 85) ÷ 20 (vi) (-150) ÷ (- 25) (vii) 100 ÷60 (viii) 9 ÷ (- 54)(ix) 78 ÷ 65 (x) (- 5) ÷ (- 315)

2*. जाच उततर 245 ईल अस पणायकाच तीन भागाकार तार करा.

3*. जाच उततर −57 ईल अस पणायकाच तीन भागाकार तार करा.

4. खाली एका तलावात काही सखा धारण कलल मास आहत. कोणताही 4 जोडा घऊन तातील सखाच गणाकार करा. तसच चार वगळा जोडा घऊन तातील सखाचा भागाकार करा.

उदािरणारम

1. (-13) × (-15) = 195 2. (-24) ÷9 = − =−24

983

15

3 िसामि-लसामि


�सवायत लहान मळ सखा (prime number) कोणती ? �1 त 50 ा सखामध दकती मळसखा आहत ? ताची ादी करा.�खालील सखापकी जा सखा मळसखा आहत, ता सखाभोवती वतशळ करा.

17, 15, 4, 3, 1, 2, 12, 23, 27, 35, 41, 43, 58, 51, 72, 79, 91, 97सििळ सखा (coprime numbers) : जा दोन सखाचा सामाईक दवभाजक फकत 1 हाच असतो, ता सखा एकमकीचा सििळ सखा आहत अस महणतात. सहमळ सखाना सापकष िळ सखा (relatively prime numbers) असही महणतात.जस : 10 व 21 ा सखा सहमळ सखा आहत. कारण 10 च दवभाजक : 1, 2, 5, 10 आदण

21 च दवभाजक 1, 3, 7, 21. ा दोनही सखाचा दवभाजकामध 1 हा एकमव सामाईक दवभाजक आह. (3, 8) ; (4, 9); (21, 22) ; (22, 23) ; (23, 24) ा काही सहमळ सखा आहत. दोन करमवार सखा सहमळ असतात ाचा पडताळा घा.


जाडिळ सखा (Twin prime numbers)जा दोन मळ सखातील फरक 2 आह, ता दोन मळ सखाना जोडमळ सखा अस महणतात.जस : (3, 5) ; (5, 7) ; (11, 13) ; (29, 31) इतादी.

सरािसच 101. जी सखा मळ नाही आदण स कतही नाही, अशी सखा कोणती आह ?2. पढील जोडापकी सहमळ सखाचा जोडा ओळखा.

(i) 8, 14 (ii) 4, 5 (iii) 17, 19 (iv) 27, 153. 25 त 100 पयतचा सवश मळ सखाची ादी करा. ता दकती आहत त दलहा.4. 51 त 100 पयतचा सवश जोडमळ सखा दलहा.5. 1 त 50 मधील सहमळ सखाचा 5 जोडा दलहा.6. मळ सखापकी समसखा कोणता ?


सखच िळ अिि पाडण (Prime factorisation of a number) सखाचा लसादव व मसादव काढणासाठी कलिडचा एक सोपा व महतवाचा दनम अनकदा वापरला जातो. “कोणिीिी सकत सखा िी िळ सखाचा गणाकाराचा रपाि मलमििा ि” हा तो दनम आह.

16

2 24

2 12

2 6

3 3

1

24 = 2 ×12 = 2 ×2 ×6 ...12 च अवव पाडल आहत.= 2 ×2 ×2 ×3 ...6 च अवव पाडल आहत.

2 व 3 ह मळ अवव आहत.

63

×

×

7 9

7 3 × 3

45

5 × 9

5 × 3 3×

20

×

×

2 10

2 2 × 5

3 117

3 39

13 13

1

117 = 3 ×3 ×13

117 = 13 ×9= 13 ×3 ×3

250 = 2 ×125= 2 ×5 ×25= 2 ×5 ×5 ×5

2 250

5 125

5 25

5 5

1250 = 2 ×5 ×5 ×5

सखाच मळ अवव कस पाडाच त पाह.उदा. 24 ही सखा मळ अववाचा गणाकाराचा रपात दलहा.

मळ अवव काढणाची पद धतउभी िाडणी आडिी िाडणी

24 = 2 ×2 ×2 ×3

लकषाि ठिा ःमदलली सखा मिचा िळ अििाचा गणाकाराचा रपाि

मलमिण मिणज ता सखच िळ अिि पाडण िो. उदा. खाली ददलला सखा मळ अववाचा गणाकार रपात दलहा.

63 = 7 ×3 ×3 45 = 5 ×3 ×3 20 = 2 ×2 ×5उदा. 117 च मळ अवव पाडा. उदा. 250 च मळ अवव पाडा.

17

2 40

2 20

2 10

5 5

1

40 = 10 ×4 = 5 ×2 ×2 ×2

40 = 8 ×5 = 2 ×2 ×2 ×5

24 = 4 ×6 = 2 ×2 ×2 ×3

32 = 8 ×4 = 2 ×2 ×2 ×2 ×2

2 32

2 16

2 8

2 4

2 2

1

2 24

2 12

2 6

3 3

1

उदा. 40 च मळ अवव पाडा. उभी िाडणी आडिी िाडणी

40 = 2 ×2 ×2 ×5सरािसच 11

¤खालील सखाच मळ अवव पाडा. (i) 32 (ii) 57 (iii) 23 (iv) 150 (v) 216 (vi) 208 (vii) 765 (viii) 342 (ix) 377 (x) 559


िितिि सािाईक मिभाजक (िसामि) [Greatest Common Divisor, (GCD) or Highest Common Factor (HCF)]

आपण धन पणायक सखाच मसादव आदण लसादव अभासल आहत. आता ताचा आणखी िोडा अभास कर.ददलला सखाचा मसादव महणज ता सखाचा सवायत मोठा सामाईक दवभाजक असतो.�खालील परतक उदाहरणात सखाच सवश दवभाजक दलहा व मसादव काढा. (i) 28, 42 (ii) 51, 27 (iii) 25, 15, 35

जाणन घऊा. िळ अिि पद धिी : मळ अवव पाडन सखाचा मसादव काढण सोप जात.उदा. मळ अवव पद धतीन 24 व 32 ाचा मसादव काढा.

परतक सखमध 2 हा सामाईक अवव 3 वळा तो महणन मसादव = 2 ×2 ×2 = 8

18

2 60 12 362 30 6 183 15 3 9

5 1 3

उदा. 195, 312 व 546 ाचा मसादव काढा.

195 = 5 ×39 312 = 4 ×78 546 = 2 ×273 = 5 ×3 ×13 = 2 ×2 ×2 ×39 = 2 ×3 ×91

= 2 ×2 ×2 ×3 ×13 = 2 ×3 ×7 ×13 परतक सखमध 3 व 13 ह सामाईक अवव एककदा आल आहत. ∴ मसादव = 3 ×13 = 39उदा. 10, 15 व 12 ाचा मसादव काढा. 10 = 2 ×5 15 = 3 ×5 12 = 2 × 2 ×3 ा सखामध कोणतीही मळ सखा सामाईक दवभाजक नाही. 1 हा एकच सामाईक दवभाजक आह.

महणन मसादव = 1उदा. 60, 12 व 36 ाचा मसादव काढा.

60 = 4 ×15 12 = 2 ×6 36 = 3 ×12 = 2 ×2 ×3 ×5 = 2 ×2 ×3 = 3 ×3 ×4

= 2 ×2 ×3 ×3 ∴मसादव = 2 ×2 ×3 = 12ह उदाहरण उभा माडणीन कर. एकाच वळी सवश सखा दलहन मळ अवव काढ.

∴मसादव = 2 ×2 ×3 = 12 लकषात घा, की 12 हा 36 व 60 चा दवभाजक आह.

�ददलला सखापकी एक सखा इतर सखाची दवभाजक असल तर ती सखा ता ददलला सखाचा मसादव असत.

�ददलला सखासाठी एकही मळ सखा सामाईक अवव नसल, तर ता सखाचा मसादव 1 असतोकारण 1 हा ताचा एकमव सामाईक दवभाजक असतो.

* अमधक िामििीसाठीदोन करमागत सम सखाचा मसादव 2 असतो आदण दोन करमागत दवषम सखाचा मसादव 1 असतो.

ह दनम दवदवध उदाहरण घऊन पडताळन पाहा.


19

(1) मोठा सखला लहान सखन भागा.(2) ा भागाकारात दमळणाऱा बाकीन आधीचा भाजकाला भागा. (3) पारी 2 मध भागाकारान दमळणाऱा बाकीन पारी 2 मधील

भाजकाला भागा व बाकी काढा.(4) ापरमाण बाकी शन दमळपयत दकरा करा. जा भागाकारात बाकी शन दमळाली ता भागाकारातील भाजक

हा आधी ददलला सखाचा मसादव आह.∴ 144 व 252 ाचा मसादव = 36

209) 247 ( 1 -209 38)209 (5

-

190 19)38(2

-

38 00

144) 252( 1 -144 108)144( 1

-

108 36)108(3

-

108 000

लघिि सािाईक मिभाज (लसामि) [Least common multiple (LCM)] ददलला सखाचा लसादव महणज तापकी परतक सखन दवभाज अशी लहानात लहान सखा असत.�खाली ददलला सखाच पाढ दलहा व ताच लसादव काढा.

(i) 6, 7 (ii) 8, 12 (iii) 5, 6, 15


िसामि काढणाची भागाकार पद धिउदा. 144 आदण 252 चा मसादव काढा.

उदा. 209247

ा सखला सदकषपत रप दा.

सदकषपत रप दणासाठी दोनही सखाचा सामाईक अवव शोध. ासाठी 247 व 209 ाचा मसादव भागाकार पद धतीन काढ. ि 19 हा मसादव आह महणज अशसिानी व छदसिानी असणाऱा सखाना 19 न भाग जाईल.

∴ 209247 =

209÷19247 ÷19 =

1113

सरािसच 121. मसादव काढा. (i) 25, 40 (ii) 56, 32 (iii) 40, 60, 75 (iv) 16, 27 (v) 18, 32, 48 (vi) 105, 154 (vii) 42, 45, 48 (viii) 57, 75, 102 (ix) 56, 57 (x) 777, 315, 588

2. भागाकार पदधतीन मसादव काढा व सदकषपत रप दा.

(i) 275525 (ii)

76133 (iii)

16169

20

उदा. 60 व 48 ाचा लसादव काढा. परतक सखच मळ अवव पाह.

60 = 2 ×2 ×3 ×5 48 = 2 ×2 ×2 ×2 ×3वरील गणाकारात णारी परतक मळ सखा पाह. 2 ही सखा जासतीत जासत 4 वळा आली आह. (48 चा अववामध) 3 ही सखा जासतीत जासत 1 वळा आली आह. (60 चा अववामध)5 ही सखा जासतीत जासत 1 वळा आली आह. (60 चा अववामध)

∴ लसादव = 2 ×2 ×2 ×2 ×3 ×5 = 10 ×24 = 240उदा. 18, 30 व 50 ाचा लसादव काढा.

18 = 2 ×9 30 = 2 ×15 50 = 2 ×25 = 2 ×3 ×3 = 2 ×3 ×5 = 2 ×5 ×5

वर ददलला गणाकारात 2, 3 व 5 ा मळ सखा तात.2 ही सखा जासतीत जासत वळा, 3 ही सखा जासतीत जासत वळा व 5 ही सखा जासतीत

जासत वळा आली आह.∴लसादव = 2 ×3 ×3 ×5 ×5 = 450 ∴ 18, 30, 50 ाचा लसादव 450 आह. उदा. 16, 28 व 40 ाचा लसादव काढा.

2 16 28 40

2 8 14 20

2 4 7 10

2 7 5

�दवभाजतचा कसोटा वापरन सवश सखाना भाग जाणाऱा सखा शोधा व दतन ददलला सखाना भागा. भागाकारान दमळालला सखासाठी हीच दकरा शक तवढा वळा करा.

�आता दमळालला सखापकी कमीत कमी दोन सखाची दवभाजक असलली सखा शोधन दतन जाना भाग जातो ता सखाना भागा. जा सखला भाग जात नाही, ती तशीच ठवा. हीच दकरा शक तवढा वळा करा.

�1 दशवा इतर कोणताही साधारण अवव नसलास भागाकार िाबवा. �डावा सतभातील सखाचा गणाकार करा. ताला सवायत खालचा आडवा

ओळीतील सखानी गणा.∴ लसादव = 2 ×2 ×2 ×2 ×5 ×7 = 560

2 18 30

3 9 15

3 5

उदा. 18 व 30 ाचा लसादव व मसादव काढा. ताचा गणाकार व ददलला सखाचा गणाकार ाची तलना करा.मसादव = 2 ×3 = 6लसादव = 2 ×3 ×3 ×5 = 90मसादव ×लसादव = 6 ×90 = 540ददलला सखाचा गणाकार = 18 ×30 = 540ददलला सखाचा गणाकार = मसादव ×लसादव

उभी माडणी


21

ावरन अस ददसत की दोन सखाचा गणाकार ता दोन सखाचा मसादव व लसादव ाचा गणाकाराएवढा असतो. ा दवधानाचा पडताळा खालील सखाचा जोडासाठी घा. (15, 48), (14, 63), (75, 120)उदा . 15, 45 व 105 ाचा लसादव व मसादव काढा.

3 15 45 105

5 5 15 35

1 3 7

15 = 3 ×545 = 3 ×3 ×5105 = 3 ×5 ×7 मसादव = 3 ×5 = 15लसादव = 3 ×3 ×5 ×7 = 315

उदा. दोन अकी दोन सखाचा गणाकार 1280 आह आदण ताचा मसादव 4 आह, तर ताचा लसादव काढा.मसादव ×लसादव = ददलला सखाचा गणाकार 4 ×लसादव = 1280

∴ लसादव = 12804

= 320

सरािसच 131. लसादव काढा.

(i) 12, 15 (ii) 6, 8, 10 (iii) 18, 32 (iv) 10, 15, 20 (v) 45, 86(vi) 15, 30, 90 (vii) 105, 195 (viii) 12, 15, 45 (ix) 63, 81(x) 18, 36, 27

2. खाली ददलला सखाचा मसादव आदण लसादव काढा. ताचा गणाकार हा ददलला दोन सखाचागणाकाराएवढा असतो ाचा पडताळा घा.(i) 32, 37 (ii) 46, 51 (iii) 15, 60 (iv) 18, 63 (v) 78, 104

लसामि ि िसामि ाचा उपोगउदा. दकानात 450 गरम जरमची लहान बाटली 96 रपाना आह व ताच जरमची 600 गरम वजनाची मोठी बाटली

124 रपाना आह, तर कोणती बाटली खरदी करण जासत फादशीर आह ? उकल : आपण एकमान पद धत दशकलो आहोत. तापरमाण परतक बाटलीतील

1 गरम जरमची दकमत काढन तलना कर शकतो. पण लहान सामाईक अवव घणापकषा मोठा सामाईक अवव घतलास आकडमोडसोपी होत.

450 व 600 चा मसादव 150 आह ाचा वापर कर. 450 = 150 ×3, 600 = 150 ×4

22

उकल ः

∴ लहान बाटलीतील 150 गरम जरमची दकमत 963

= 32 रप

मोठा बाटलीतील 150 गरम जरमची दकमत 1244

= 31 रप

∴ 600 गरम जरमची बाटली खरदी करण जासत फादशीर आह.

उदा. बरीज करा. 1728

+ 1135

रीि 1 ः बरीज करणासाठी अपणायकाच छद समान कर.

1728 +

1135

= 17 35 11 28

28 35× + ×

×=

595 30828 35+×

=90328 35×

= 903980

= 129140

रीि 2ः बरीज करणासाठी 28 व 35 ाचा लसादव काढ.

उकल ः लसादव = 7 ×4 ×5 = 140

1728 + 11

35 = 17 5

28 5××

+ 11 435 4×× =

85 44140+

= 129140

छदाचा गणाकार करणाऐवजी लसादव घतलामळ आपली आकडमोड दकती सोपी झाली बर !

उदा. एका सखला अनकरम 8, 10, 12, 14 ा सखानी भागल असता परतक वळी बाकी 3 उरत, तर अशी लहानात लहान सखा कोणती आह ?

उकल ः भाज सखा शोधणासाठी ददलला भाजकाचा लसादव काढ.लसादव = 2 ×2 ×2 ×5 ×3 ×7 = 840ता लसादवमध परतक वळी दमळणारी बाकी दमळव.ती सखा = लसादव + बाकी = 840 + 3 = 843

उदा. 16,20,80 ा सखाचा लसादव काढा.उकल ः 16 = 2 ×2 ×2 ×2

20 = 2 ×2 ×580 = 2 ×2 ×2 ×2 ×5लसादव = 4 × 4 × 5 = 80

ि एक गमत ददसली का ? 80 ही ददलला सखापकी एक आह आदण 16 व 20 ा ददलला इतर सखा दतचा दवभाजक आहत.

लकषाि ठिा ःददलला सखापकी सवायत मोठा सखचा इतर सखा दवभाजक असतात

ता वळी ती मोठी सखा ददलला सखाचा लसादव असत.

वरील दनम पडताळणासाठी (18,90) (35,140,70) ह सखासमह तपासा.

2 8 10 12 14

2 4 5 6 7

2 5 3 7

4 16 20 80

4 4 5 20

5 1 5 5

1 1 1

23

उदा. शस, शलाका आदण सनहल एका वतशळाकार धावपटीचा एका दठकाणावरन एकाच वळी पळणास सरवात करतात व अनकरम 16, 24 व 18 दमदनटात एक फरी पणश करतात, तर त दतघही कमीत कमी दकती वळानतर सरवातीचा दठकाणावर एकाच वळी तील ?

उकलः जा वळनतर त एकरि तील, ती वळ 16, 24, व 18 ाचा पटीत असल. ती कमीत कमी दकती असल त शोधणासाठी लसादव काढ.

16 = 2 ×2 ×2 ×2 24 = 2 ×2 ×2 ×3 18 = 2 ×3 ×3 लसादव = 2 ×2 ×2 ×2 ×3 ×3 = 144

144 दमदनटानी दकवा 2 तास 24 दमदनटानी त एकरि तील. सरािसच 14

1. ोग पाश दनवडा. (i) 120 व 150 ाचा मसादव ................... आह. (1) 30 (2) 45 (3) 20 (4) 120 (ii) खालीलपकी ....... ा सखाचा मसादव 1 नाही. (1) 13, 17 (2) 29, 20 (3) 40, 20 (4) 14, 152. मसादव व लसादव काढा. (i) 14, 28 (ii) 32, 16 (iii) 17, 102, 170 (iv) 23, 69 (v) 21, 49, 843. लसादव काढा. (i) 36, 42 (ii) 15, 25, 30 (iii) 18, 42, 48 (iv) 4, 12, 20 (v) 24, 40, 80, 1204. एका सखला 8, 9, 10, 15, 20 ा सखानी भागल असता परतक वळी 5 बाकी उरत, तर अशी लहानात

लहान सखा दलहा.5. 348

319, 221247

, 437551

ा अपणायकाना सदकषपत रप दा.

6. दोन सखाचा लसादव व मसादव अनकरम 432 व 72 आह. दोन सखापकी एक सखा 216 असल तर दसरी सखा काढा.

7. दोन अकी दोन सखाचा गणाकार 765 अाह आदण ताचा मसादव 3 आह, तर ताचा लसादव काढा.8. एका दवकरताजवळ 392 मीटर, 308 मीटर, 490 मीटर लाबीचा परकसटकचा दोऱाची तीन गडाळी

आहत. दोरी उरणार नाही अशापरकार ता तीनही गडाळातील दोरीच सारखा लाबीच तकड पाडल, तर परतक तकडा जासतीत जासत दकती लाबीचा झाला असल ?

9*. दोन करमागत सम सखाचा लसादव 180 आह, तर ता सखा कोणता ?

qqq

24

4 कोन ि कोनाचा जोडा


कोनाचा अिभामग ि बाहयभाग शजारील आकतीमध परतलातील कोनाचा भजावरील दबदवदतररकत असलल दबद N, दबद M, दबद T ासारखा

दबदचा समह महणज ∠PQR चा अिभामग हो. (Interior of an angle)

परतलातील ज दबद कोनाचा भजावर नाहीत व कोनाचा अतभाशगात नाहीत अशा दबद G, दबद D, दबद E ासारखा दबदचा समह महणज ∠PQR चा बाहयभाग हो. (Exterior of an angle)

सलगन कोन (लगिच कोन) (Adjacent angles) शजारचा आकतीतील कोन पाहा. ∠BMQ व ∠QMD ा कोनाची दकरण MQ ही एक भजा सामाईक आह आदण M हा दशरोदबद सामाईक आह. ा कोनाचा अतभाशगात एकही दबद सामाईक नाही. त एकमकाच शजारी आहत. अशा कोनाना सलगन कोन महणतात. सलगन कोनाची एक भजा सामाईक असन उरलला दोन भजा सामाईक भजचा दवरद ध बाजना असतात आदण ताचा दशरोदबद सामाईक असतो. सलगन कोनाच अतभाशग दवदभनन असतात. वरील आकतीत ∠BMD व ∠BMQ ा कोनाचीही MB ही भजा सामाईक आह. पण त सलगन कोन नाहीत, कारण ताच अतभाशग दवदभनन नाहीत.

�शजारील कोनाच नाव दलहा. ....................�कोनाचा दशरोदबदच नाव दलहा. ................ �कोनाचा`भजाची नाव दलहा. ....................�भजावर दाखवलला दबदची नाव दलहा. .........C

A

B

P

Q R

MTN

O

S E

DG

B

Q

DM


25

RS

Q

T

P

N

M

अतभाशगातील दबदची नाव

बाहयभागातील दबदची नाव

कोनाचा भजावरील दबदची नाव

Q R

P S


A

W B

NXR

C

Q V

UT

Y�

G

P

TS

RQ

B

CA

N


�जा दोन कोनाचा दशरोदबद सामाईक असतो, एक भजा सामाईक असत व ताच अतभाशग दवदभनन असतात, ता कोनाना सलगन कोन महणतात.

सरािसच 151. आकतीच दनरीकषण करा व ∠AWB साठी पढील सारणी पणश करा.

2. खालील आकतामधील सलगन कोनाचा जोडा दलहा.

3. कोनाचा खालील जोडा सलगन आहत का ? सलगन नसलास कारण दलहा.

(i) ∠PMQ व ∠RMQ (ii) ∠RMQ व ∠SMR

(iii) ∠RMS व ∠RMT (iv) ∠SMT व ∠RMS

कोमटकोन (Complementary angles)

�∠PQR हा एक काटकोन काढा. �ताचा अतभाशगात S हा कोणताही दबद घा.�दकरण QS काढा. �∠PQS व ∠SQR ाचा मापाची बरीज करा.�बरीज दकती ईल ?

जा दोन कोनाचा िापाची बरीज 90°असि ि कोन परसपराच कोमटकोन अािि, अस मिणिाि. ि ∠PQS व ∠SQR ह परसपराच कोदटकोन आहत.

26

उदा. (a + 15)°व (2a)° ह एकमकाच कोदटकोन आहत, तर परतक कोनाच माप दकती ?

उकल : a + 15 + 2a = 90 3a + 15 = 90 3a = 75 a = 25 ∴a + 15 = 25 + 15 = 40° आदण 2a = 2 ×25 = 50°

BTA

परक कोन (Supplementary angles)�शजारील आकतीत AC ही एक रषा ददली आह. रषवरील B दबदपासन BD हा दकरण काढला आह. ि दकती कोन आहत ? �m∠ABD = °, m∠DBC = °�m∠ABD + m∠DBC = °

जा दोन कोनाचा िापाची बरीज 180°असि, ता दोन कोनाना परसपराच परक कोन अस मिणिाि.ि ∠ABD व ∠DBC ह परसपराच परक कोन आहत.

D

CBA

50°

P

QR

C

B

A

40°


उदा. आकतीतील कोनाच दनरीकषण करा व चौकटीत ोग ती सखा दलहा.

m∠ABC = °

m∠PQR = ° m∠ABC + m∠PQR = °

∠ABC व ∠PQR ाचा मापाची बरीज 90° महणन त परसपराच कोदटकोन आहत.

उदा. 70°मापाचा कोनाचा कोदटकोनाच माप दकती ?उकल : ददलला कोनाचा कोदटकोनाच माप x मान. 70 + x = 90 ∴70 + x - 70 = 90 - 70 x = 20° 70°मापाचा कोदटकोनाच माप 20°आह.

सरािसच 161. खाली काही कोनाची माप ददली आहत. ताचा कोदटकोनाची माप दलहा. (i) 40° (ii) 63° (iii) 45° (iv) 55° (v) 20° (vi) 90° (vii) x°2. (y - 20)°आदण (y + 30)° ह एकमकाच कोदटकोन आहत, तर परतक कोनाच माप काढा.


रषा AB वर T हा एक दबद आह. �∠ATB ा कोनाचा परकार कोणता ? � ताच माप दकती ?

27

110°

P Q

R

70°

M

N

T

N

TP

M

उदा. (a + 30)°व (2a)°ह एकमकाच परक कोन आहत तर परतक कोनाच माप दकती ?

उकल : a + 30 + 2a = 180

∴3a = 180 - 30

∴3a = 150

∴a = 50

∴ a + 30 = 50 + 30 = 80°

∴ 2a = 2 ×50 = 100°

उदा. खालील आकतीतील कोनाच दनरीकषण करा व चौकटीत ोग ती सखा दलहा.

�m∠PQR = °m∠MNT = °

�m∠PQR + m∠MNT = °

∠PQR व ∠MNT ह परसपराच परक कोन आहत.

उदा. 135°मापाचा परक कोनाच माप काढा.

उकल ः परक कोनाच माप p° मान.

परक कोनाचा मापाची बरीज 180°असत.

135 + p = 180

∴135 + p - 135 = 180 - 135

∴ p = 45

∴135°मापाचा परक कोनाच

माप 45°अाह. ∴ ता कोनाची माप 80°व 100°आहत.

सरािसच 171. खाली ददलला कोनाचा परक कोनाची माप दलहा. (i) 15° (ii) 85° (iii) 120° (iv) 37° (v) 108° (vi) 0° (vii) a°2. खाली काही कोनाची माप ददली आहत. तातन जोडा जळवन परक कोनाचा आदण कोदटकोनाचा जोडा तार करा. m∠B = 60° m∠N = 30° m∠Y = 90° m∠J = 150° m∠D = 75° m∠E = 0° m∠F = 15° m∠G = 120°

3. ∆XYZ मध m∠Y = 90°,∠X व ∠Z ा कोनामधील परसपर सबध दलहा.4. कोदटकोनाचा जोडीतील कोनाचा मापातील फरक 40°असल तर ता कोनाची माप काढा.

5. PTNM हा आत आह. ा आकतीतील परक कोनाचा जोडा दलहा.

6*. जर m∠A = 70° तर ∠A चा कोदटकोनाचा परक कोनाच माप दकती ?

7. ∠A व ∠B परसपराच परक कोन आहत आदण m∠B = (x + 20)°, तर m∠A दकती ?

28

CBA

AB

Cअाकती (i)

अाकती (ii)

T

P

L

MN


खालील दवधानाची चचाश करा. दवधान बरोबर असलास ताच उदाहरण दा. दवधान चक असलास कारण सागा.

�दोन लघकोन परसपराच कोदटकोन अस शकतात. �दोन लघकोन परसपराच परक कोन अस शकतात.�दोन काटकोन परसपराच कोदटकोन अस शकतात. �दोन काटकोन परसपराच परक कोन असतात. �एक लघकोन व एक दवशालकोन ह परसपराच �एक लघकोन व एक दवशालकोन परसपराच कोदटकोन अस शकतात. परक कोन अस शकतात.


मिरदध मकरण (Opposite rays)शजारील अाकतीतील दकरणाची नाव सागा.

दकरणाचा आरभदबदच नाव सागा. आकती (i) मधील कोनाच नाव दलहा.

शजारील आकती (ii) मधील कोनाच नाव दलहा.आकतीतील B हा आरभदबद असलला दकरणाची नाव दलहा.

अाकती (i) मध दकरण BC व दकरण BA दमळन एक दवशालकोन होतो तर आकती (ii) मध दकरण BC व दकरण BA दमळन सरळकोन होतो व एक सरळ रषा दमळत. ि दकरण BC व दकरण BA ह एकमकाच दवरद ध दकरण आहत.


�जा दोन दकरणाचा आरभदबद सामाईक असतो व ता दकरणानी एक रषा तार होत, ता दकरणाना परसपराच दवरद ध दकरण महणतात.


1. शजारील अाकतीतील दवरद ध दकरणाची नाव दलहा.

2. दकरण PM व दकरण PT ह दवरद ध दकरण आहत का ? सकारण दलहा.

29

रषी जोडीिील कोन (Angles in linear pair)

� शजारील अाकतीतील कोनाची नाव दलहा. � कोनाची जोडी कोणता परकारची आह ? � कोनाचा असामाईक भजा कोणता आहत ? � m∠PQR = ° � m∠RQS = ° � m∠PQR + m∠RQS = 180°

आकतीतील ∠PQR व ∠RQS ह सलगन कोन आहत तसच त परक कोन आहत. ताचा असामाईक भजा ह परसपराच दवरद ध दकरण आहत, महणजच ता भजानी एक रषा तार होत. ह दोन कोन रषी जोडीत आहत अस महणतात. रषी जोडीिील कोनाचा िापाची बरीज 180°असि.

�जा दोन कोनाची एक भजा सामाईक असत व असामाईक भजानी सरळ रषा तार होत, ताना रषी जोडीतील कोन महणतात. रषी जोडीतील कोन परसपराच परक कोन असतात.

मिरदध कोन (Vertically opposite angles)शजारील आकतीत रषा PT व रषा RS ा

परसपराना Q दबदत छदतात. चार कोन तार झाल आहत. ∠PQR हा दकरण QP व दकरण QR ानी तार झाला आह. QP व QR ा दकरणाच दवरद ध दकरण अनकरम QT व QS आहत. ता दवरद ध दकरणानी तार झालला कोन ∠SQT आह महणन ∠SQT हा ∠PQR चा दवरद ध कोन आह अस महणतात.

S

Q

P

TR

SQP

R




उपकरि : सटरॉ दकवा सरळ काडा घऊन अभासलला कोनाचा जोडा तार करा.


खाली ददलला वणशनापरमाण कोनाचा जोडा काढा. काढता त नसलास कारण दलहा. (i)सलगन नसलल कोदटकोन (ii)परक नसलल रषी जोडीतील कोन(iii) रषी जोडीत नसलल परक कोन (iv) रषी जोडीत नसलल सलगन कोन(v)ज कोदटकोनही नाहीत व सलगन कोनही नाहीत (vi) कोदटकोन असलल रषी जोडीतील कोन

30

P

Q

T

R

S

a

b

c

d


A

B C

बहभजाकिीच आिरकोन (Interior angles of a polygon)

मरिकोणाच आिरकोन∆ABC च ∠A, ∠B व ∠C ह अातरकोन आहत.

�m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB = °




· जा दोन दकरणानी कोन तार झाला, ताचा दवरद ध दकरणानी तार झालला कोन पदहला कोनाचा दवरद ध कोन असतो.

मिरद ध कोनाचा गणधिम

�ददलला आकतीतील ∠PQS चा दवरद ध कोन कोणता ?आकतीत दाखवलापरमाण m∠PQS = a, m∠SQT = b, m∠TQR = c, m∠PQR = d

अस मान.∠PQS व ∠SQT ह रषी जोडीतील कोन आहत.

∴a + b = 180° तसच m∠SQT व m∠TQR ह रषी जोडीतील कोन आहत. ∴b + c = 180° ∴a + b = b + c ∴a = c . . . . . . (दोनही बाजमधन b वजा करन) ∴∠PQS व ∠TQR ाची माप समान आहत महणजच त कोन एकरप आहत. ताचपरमाण m∠PQR = m∠SQT महणजच ∠PQR व ∠SQT एकरप आहत.

· दोन रषानी एकमकीना छदल असता होणाऱा परसपर दवरद ध कोनाची माप समान असतात.

सरािसच 201. रषा AC व रषा BD परसपराना P ा दबदत छदतात. m∠APD = 47° ∠APB, ∠BPC, ∠CPD ाची माप दलहा.

2. रषा PQ व रषा RS परसपराना M दबदत छदतात. m∠PMR = x° ∠PMS, ∠SMQ व ∠QMR ाची माप दलहा.

A B

CDP

47°

P

QR

S

Mx°

31

खालील सारणीच दनरीकषण करा व दनषकषश काढा.बाजची सखा

बहभजाकिीच नाि

बहभजाकिीमरिकोणाची

सखाआिरकोनाची बरीज

3 दरिकोण 1 180°×1 =

4 चौकोन 2 180° ×2 =

5 पचकोन 3 180°×3 =

6 षट कोन 4 180° × =

7 सपतकोन 5

8 अषकोन 6

n n बाज असलली आकती (n - 2) 180°× (n - 2)

लकषात घा की, बहभजाकतीत वरीलपरमाण तार झालला दरिकोणाची सखा ही ता बहभजाकतीचा बाजचा सखपकषा दोनन कमी असत.


� n बाज असलला बहभजाकतीचा आतरकोनाचा मापाची बरीज = 180°× (n - 2)

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

32

मरिकोणाचा बाहयकोन (Exterior angle of a triangle)∆ABC ची बाज BC आकतीत दाखवलापरमाण वाढवली, तर ∠ACD हा नवा कोन दरिकोणाबाहर तार होतो.

∠ACD हा ∆ABC चा बाहयकोन आह. ∠ACD व ∠ACB ही रषी जोडीतील कोनाची जोडी आह. ∠PAB व ∠QBC हही ∆ABC च बाहयकोन आहत.

P A

BQ C D

ba

c

d

e

f

P

Q R

· दरिकोणाची एक बाज वाढवलावर जो कान दरिकोणाचा लगतचा आतरकोनाशी रषी जोडी करतो, ता कोनाला दरिकोणाचा बाहयकोन महणतात.

उदा. शजारील आकतीमध दरिकोणाच बाहयकोन दाखवल आहत. a, b, c, d, e, f ह ∆PQR च बाहयकोन आहत. परतक दरिकोणाला ापरमाण सहा बाहयकोन असतात.

बाहयकोनाचा गणधिम

शजारील आकतीत ∠PRS हा ∆PQR चा एक बाहयकोन आह. ∠PRQ हा ताचा लगतचा आतरकोन आह. इतर दोन आतरकोन महणज ∠P व ∠Q ह ∠PRS पासन लाब महणजच दर आहत. ∠P व ∠Q ाना ∠PRS च दरसि आतरकोन महणतात.m∠P + m∠Q + m∠PRQ = ° ...........(दरिकोणाचा दतनही कोनाची बरीज)

m∠PRS + m∠PRQ = ° ...........(रषी जोडीतील कोन)

∴m∠P + m∠Q + m∠PRQ = m∠PRS + m∠PRQ∴ m∠P + m∠Q = m∠PRS (m∠PRQ दोनही बाजतन वजा करन)

P

Q R S




33

1. ∠ACD हा ∆ABC चा बाहयकोन आह. ∠A व ∠B ाची माप समान आहत. जर m∠ACD = 140°तर ∠A व ∠B ाची माप काढा.

2. शजारील आकतीतील कोनाची माप पाहन तावरन उरलला तीनही कोनाची माप दलहा.

qqq

· Geogebra चा साहायान एकच आरभदबद असणार दोन दकरण काढा. Move Option चा उपोग करन दकरणाच भरमण करा. एका दवदशष कसितीत त दवरदध दकरण तार होतात ाचा पडताळा घा.

· रषी जोडीच कोन तार करा. सामाईक भजा move करन वगवगळा रषी जोडीतील कोनाचा जोडा अनभवा.

· Geogebra मधील Polygon Tools चा उपोग करन दवदवध बहभजाकती काढा व ताचा आतरकोनाचा मापाचा गणधमाशचा पडताळा घा.

3*. ∆ABC ा समद दवभज दरिकोणात ∠A व ∠B ाची माप समान आहत. ∠ACD हा ∆ABC चा बाहयकोन आह.∠ACB व ∠ACD ची माप अनकरम (3x - 17)° व (8x + 10)° आहत, तर ∠ACB व ∠ACD ाची माप काढा. तसच ∠A व ∠B ाचीही माप काढा.

A

B C D

140°

· दरिकोणाचा बाहयकोनाच माप ह ता कोनाचा दरसि आतरकोनाचा मापाचा बरजएवढ असत.

CA

DE

F 4y8y

6y

B

O


ICT Tools or Links


34

5 पररि सखा ि तािरील मकरा

पररि सखा (Rational numbers)मागील इततामध आपण 1, 2, 3, 4, ..... ा मोजसखा महणजच नसदगशक सखा अभासला आहत.

नसदगशक सखा, शन आदण नसदगशक सखाचा दवरद ध सखा दमळन तार झालला पणायक सखा समह

आपलाला माहीत आह. तसच 711 ,

25 ,

17 अस अपणायकही आपलाला पररदचत आहत. पणायक सखा व

अपणायक सखा अशा सवश सखाना सामावणारा एखादा सखा समह आह का ? ाचा दवचार कर.

4 = 123 , 7 = 7

1, - 3 = −3

1 , 0 = 0

2 ापरमाण सवश पणायक सखा आपलाला

mn ा रपात

दलदहता तात ह आपलाला माहीत आह. जर m हा कोणताही पणायक आदण n हा कोणताही शनतर पणायक

असल तर mn ा सखला पररम सखा महणतात. अशा पररम सखाचा समह वरील सवश परकारचा सखाना

सामावन घतो. खालील सारणी पणश करा.

पररि सखािरील मकरा पररम सखा ा अश व छद वापरन ववहारी अपणायकाचा रपात दलदहला जातात महणन पररम सखावरील दकरा ा अपणायकावरील दकरापरमाण करतात.

(1) 57 +

911 = 55 63

77+ =

11877 (2) 1

7 - 3

4 =

4 2128−

= −1728

(3) 2 17 + 3

814 = 15

7 +

5014 (4)

913 ×

47 =

9 413 7×× =

3691

= 3014

+ 5014 (5)

35 × ( )−4

5 = 3 45 5× −( )× =

−1225

= 8014

= 407

(6) 913 × 263 = 3 2

1× = 6

1

−335

−17 −511

5

नसदगशक सखा × �पणायक सखा �पररम सखा �

पररम सखा 57 , 34 , −1728 , 2.17 इ.

पणायक सखा - 3, - 8, - 1 इ.

पणश सखा 0

नसदगशक सखा 1, 2, 3, .....


35


एखादा सखला दसऱा सखन भागण मिणज ा सखला दसऱा सखचा गणाकार वसिान गणण.

आपण पादहल आह की, 56 व

65 ,

211 व

112 ा गणाकार वसत सखाचा जोडा आहत.

तसच, −

54 ×

−

45 = 1 ; −

72

×−

27 = 1 ावरन

−

54 व

−

45 आदण

−

72 व

−

27 ा गणाकार वसत सखाचा जोडा आहत. महणजच

−54 व

−45 ह एकमकाच गणाकार

वसत आहत आदण −72 व −2

7 हही परसपराच गणाकार वसत आहत.

साभाळा बर!

उदा. −119 व

911 ाचा गणाकार - 1 आह महणन

−119 ,

911 ही गणाकार वसताची जोडी नािी.


आपण दवदवध सखा समहाची दवशषता पाह. तासाठी गटात चचाश करत पढील सारणी पणश करा. नसदगशक सखा समह, पणायक सखा समह आदण पररम सखा समह दवचारात घऊ. ा परतक सखा समहासमोर बरीज, वजाबाकी, गणाकार व भागाकार ा दकरा कलामळ दमळणार दनषकषश (�) दकवा (×) ा खणन दाखवा. शनान भागाकार करता त नाही ह धानात घा. � नसदगशक सखाची बरीज कली तर उततर नहमी नसदगशक सखाच दमळत, महणन नसदगशक सखा

समहाचा पढ बरीज ा चौकटीखाली (�) अशी खण करा. � दोन नसदगशक सखाची वजाबाकी कली तर उततर नहमी नसदगशक सखा त अस नाही. कारण 7 - 10 = - 3 अशी असख उदाहरण आहत, महणन वजाबाकीचा चौकटीखाली (×)

अशी खण करा. सारणीत (×) ही खण आलास ताच कारण सपष करा. सोदाहरण (×) च कारण दताना, असख उदाहरणापकी एक परस आह.

सखा सिि बरीज िजाबाकी गणाकार भागाकार

नसदगशक सखा � ×(7 - 10 = - 3)

� ×(3 ÷ 5 = 3

5)

पणायक सखा

पररम सखा

36

25

पररि सखाचा दरमानचा सखा· 2 त 9 ा नसदगशक सखाचा दरमान दकती नसदगशक सखा अाहत ? ता दलहा.

· - 4 त 5 ाचा दरमान कोणता पणायक सखा आहत ? ता दलहा.

· 12

व 34

ाचा दरमान कोणता पररम सखा असतील ?



�नसदगशक सखा समह हा बरीज व गणाकार ा दकरासाठी परसा आह, पण वजाबाकी व भागाकार ा दकरासाठी परसा नाही, महणजच दोन नसदगशक सखाची वजाबाकी व भागाकार नसदगशक सखा असलच अस नाही.

�पणायक सखा समह बरीज, वजाबाकी, गणाकार ा दकरासाठी परसा आह, पण भागाकार ा दकरसाठी परसा नाही.

�पररम सखा समह हा बरीज, वजाबाकी, गणाकार व भागाकार ा सवश दकरासाठी परसा आह. मारि शनान भागता त नाही.

सरािसच 221. खालील पररम सखाची बरीज करा.

(i) 536 +

642 (ii) 1 2

3 + 2 4

5 (iii)

1117 + 13

19 (iv) 2 3

11 + 1

377

2. खालील पररम सखाची वजाबाकी करा.

(i) 711

- 37

(ii) 1336 -

240 (iii) 1 2

3 - 3

56 (iv) 4

12 - 3

13

3. खालील पररम सखाचा गणाकार करा.

(i) 311 ×

25 (ii) 12

5 ×

415 (iii)

−( )89 ×

34 (iv)

06 ×

34

4. गणाकार वसत सखा दलहा.

(i) 25 (ii)

−38 (iii)

−1739 (iv) 7 (v) - 7

13

5. खालील पररम सखाचा भागाकार करा.

(i) 4012 ÷ 104 (ii) −10

11 ÷ −11

10 (iii)

−78 ÷

−36 (iv) 2

3 ÷ (- 4)

(v) 2 15 ÷5

36 (vi)

−513 ÷ 726 (vii)

911 ÷ −( )8 (viii) 5 ÷

37

उदा. 12 व 4

7 ा पररम सखाचा दरमानचा पररम सखा शोध. तासाठी ा सखाना समचछद रप दऊ.

12 =

1 72 7×× =

714 , 4

7 =

4 27 2×× =

814

7 व 8 ा लगतचा नसदगशक सखा आहत. परत 714 व 8

14 ा लगतचा पररम सखा आहत का ?

कोणताही पररम सखचा छद मोठा करता तो. ताच पटीत ताचा अशही मोठा होतो.

714 =

70140 , 8

14 =

80140 . . . (अशाला व छदाला 10 न गणन)

आता 70140 <

71140 ...... < 79

140 <

80140 ि

714 व 8

14 चा दरमान दकती सखा दमळाला ?

तसच 714 =

7001400 , 8

14 =

8001400 . . . (अशाला व छदाला 100 न गणन)

महणन 7001400 <

7011400 ...... < 799

1400 <

8001400

ावरन पररम सखाच रपातर अदधकादधक मोठ छद असणाऱा सममल सखामध कल की, ताचा दरमानचा अदधकादधक पररम सखा वकत करता तात.उदा. 1

2 व 35

ा पररम सखाचा दरमानचा सखा शोधण. 12

व 35

ा पररम सखाना परिम समचछद

रप दऊ.

जस 12 = 5

10, 3

5 = 6

10

सखारषवर 510

, 610

ा सखा दशशवणार दबद आहत. ताना जोडणाऱा रषाखडाचा मधदबद शोध व तो दबद

जी सखा दाखवतो ती पाह.

12 5

10610

+

= 11

20 आता हा दबद ता रषाखडाचा मधदबद आह.

कारण, 610

- 1120

= 12 1120− = 1

20 तसच 11

20 - 5

10 = 11 10

20− = 1

20

∴ 510

व 610

ाचा दरमान बरोबर मधावर 1120

ही सखा आह. महणजच 12 व

35 ाचा दरमान

1120 ही सखा आह. ाच रीतीन

12 व

1120 आदण 11

20 व

35 ाचा दरमानचा सखा शोधता तील.

10 610

510

−110

1120

38


· दोन पररम सखाचा दरमान असख पररम सखा असतात.


¤खाली ददलला दोन सखाचा दरमानचा तीन पररम सखा दलहा.

(i) 27

, 67

(ii) 45 ,

23 (iii) -

23 ,

45 (iv)

79 , - 5

9

(v) −34

, +54 (vi) 7

8, −53

(vii) 57

,117

(viii) 0, −34

� अमधक िामििीसाठी जर m ही पणायक सखा असल तर m + 1 ही लगतची मोठी पणायक सखा असत. m व m + 1

ाचा दरमान एकही पणायक सखा नसत. करमागत नसलला कोणताही दोन पणायक सखाचा दरमानचा पणायक सखा मोजता तात ह अनभवा; मारि कोणताही दोन पररम सखाचा दरमान असख पररम सखा असतात.


दशाश अपणायकाच गणाकार व भागाकार कस कराच ह आपण पादहल आह.

35 110. = 35.1 × 1

10= 351

10 × 1

10= 351

100 = 3.51

35 1100. = 35 1

1. × 1

100 = 351

10 × 1

100= 351

1000

= 0. 351

35.1 ×10 = 35110

×10 = 351.0

35.1 ×1000 = 35110

×1000 = 35100010

= 35100.0

ावरन लकषात त की, दशाश अपणायकाला 100 न भागण महणज दशाशदचनह 2 घर डावीकड नण, 1000 न गणण महणज दशाशदचनह तीन घर उजवीकड नण. अस भागाकार व गणाकार करताना खालील दनम उपोगी पडतात. दशाश अपणायकाचा अपणायकी भागानतर दकतीही शन दलदहली दकवा पणायक भागाचा आधी दकतीही शनदलदहली तरीही दशाश अपणायकाची दकमत बदलत नाही.

1.35 = 135100 ×

100100 =

1350010000 = 1.3500

39

0. 35 = 35100 × 10001000 =

35000100000 = 0.35000 इतादी.

1.35 = 001.35 ाचा उपोग कसा होतो त पाहा.

1 35100.

= 001 35100.

= 0.0135


पररि सखाच दशाशरप (Decimal representation of rational numbers)

उदा. 74 ही पररम सखा दशाशरपात दलहा.

(1)7 = 7.0 = 7.000 (अपणायकी भागानतर दकतीही शन दता तात.)

(2)7 ला 4 न भागलावर 1 चा भाग लागला व बाकी 3 उरत. आता 1 ा पणायकानतर दशाशदचनह दलह. बाकी 3 चा पढ भाजातील 0 दलहन 30 ला 4 न भाग. आता णारा भागाकार हा अपणायक भाग आह महणन भागाकारात दशाशदचनहानतर 7 दलह. आता भाजातील अजन एक 0 खाली घऊन भागाकार पणश कर.

ा भागाकारात दशाश अपणायकी भागानतर दलदहलला शनाचा उपाग कला आह.

उदा. 2 15 दशाशरपात दलहा.

2 15 =

115 ाच दशाशरप तीन परकारानी शोध.

15 च दशाशरप काढ.

(I) (II) (III) 2.2 5) 11.000 - 10 010 - 10 00

0.2 5) 1.0 - 0 10 - 10 00

15 = 0.2

115 =

11 25 2××

= 2210

= 2.2

115 = 2.2

∴ 2 15= 2.2

उदा. −58 ही पररम सखा दशाशरपात दलहा.

58 च दशाशरप भागाकार करन 0.625 दमळत. ∴

−58 = - 0.625

वरील सवश उदाहरणात बाकी शन आली आह. भागाकाराची दकरा पणश झाली आह. पररम सखाचा अशा दशाशरपाला खदडत दशाशरप महणतात.

1.75 4) 7.000 - 4 30 - 28 20 - 20 00

40

उदा. काही पररम सखाच दशाशरप कस वगळ आह त पाह.

(i) 53 ही सखा दशाशरपात दलहा. (ii)

211 ही सखा दशाशरपात दलहा.

∴53 = 1.666....... ∴

211 = 0.1818.......

∴53 = 1.6 ∴

211 = 018.

(iii) 213 च दशाशरप काढा. 2

13 = 7

3 (iv) 5

6 च दशाशरप काढा.

213 = 2.33... 5

6 = 0.833...

∴ 213 = 2.3 ∴ 5

6 = 0.83

वरील सवश उदाहरणात भागाकाराची दकरा पणश होत नाही. दशाशमचनिाचा उजिीकड एक अक अरिा कािी अकाचा सिि पनिा पनिा िो, अशा अपणााकाला आििती दशाश अपणााक मिणिाि. जा दशाश अपणायकात दशाशदचनहाचा उजवीकड एकच अक पनहा पनहा तो, तावर दटब माडतात जस,

213 = 2.33... = 2.3 तसच दशाशदचनहाचा उजवीकड जो अकाचा गट पनहा पनहा तो, ता गटावर आडवी

रघ दतात. जस, 211 = 0.1818........ = 018. आदण 5

6 = 0.83

2.33 3) 7.00 - 6 1 0 - 9 10 - 9 01

0.833 6) 50 - 48 020 - 18 020 - 18 02

0.18 11) 2.00 - 0 20 - 11 90 - 88 20

1.66 3) 5.00 - 3 2 0 - 1 8 20 - 18 2

· काही पररम सखाच दशाशरप खदडत, तर काही पररम सखाच दशाशरप आवतवी असत.

·

·

·

·

·

�भागाकार न करता, कोणता छद असणाऱा पररम सखाच दशाश रप खदडत असल ह शोधा.



41

सरािसच 24¤खालील पररम सखा दशाशरपात दलहा.

(i) 134

(ii) −78

(iii) 7 35 (iv)

512 (v)

227 (vi) 4

3 (vii) 7

9


बरीज, वजाबाकी, गणाकार व भागाकार ा दचनहाचा वापर करन दलदहलली सखाची माडणी महणजपदावली असत.72 ÷ 6 + 2 × 2 ही पदावली सोडवन उततर काढा.

िौसाची रीि िगरची रीि

72 ÷ 6 + 2 × 2 72 ÷ 6 + 2 × 2= 12 + 2 × 2 = 12 + 2 × 2= 12 + 4 = 14 × 2= 16 = 28

दोनही उततर वगवगळी आली. कारण दोघानी वगवगळा करमान दकरा कला. ापरमाण दकराचा करम वगळा घतला तर उततर वगवगळ त. अस होऊ न महणन दकराचा करम ठरवणासाठी काही दनम कल आहत. त दनम पाळल तर एकच उततर दमळत. त दनम पाह. कधी कधी जी दकरा परिम करावी अशी अपकषा असत, ता वळी पदावलीत कसाचा वापर करतात.

पदािली सोडिणाच मनि(1) राशीत एकापकषा अदधक दकरा असतील तर गणाकार व भागाकार ा दकरा डावीकडन उजवीकड जा

करमान आला असतील ता करमान करावा.(2) नतर बरीज व वजाबाकी ा दकरा, डावीकडन उजवीकड जा करमान आला असतील ता करमान करावा.(3) कसात एकापकषा जासत दकरा असतील तर, वरील दोन दनम पाळन ता दकरा आधी करावा.

वरील दनम वापरल की हौसाची रीत बरोबर आह ह समजत. ∴72 ÷ 6 + 2 × 2 = 16

खालील पदावली सोडव.

उदा. 40 × 10 ÷5 + 17 उदा. 80 ÷ (15 + 8 - 3) + 5 = 400 ÷5 + 17 = 80 ÷ (23 - 3) + 5 = 80 + 17 = 80 ÷20 + 5 = 97 = 4 + 5

= 9

42

लकषाि ठिा ःदकराचा करम सपष होणासाठी एकापकषा जासत वळा कसाचा उपोग करावा लागतो. तासाठी साधा कस ( ) , चौकटी कस [ ], मदहरपी कस { } वापरल जातात.कस सोडवताना सवायत आतील कसातील दकरा आधी करतात. नतर करमान बाहरचा कसातील दकरा करतात.

उदा. 2 × {25 ×[(113 - 9) + (4 ÷2 ×13)]}

= 2 ×{25 × [104 + (4 ÷2 ×13)]}

= 2 ×{25 × [104 + (2 ×13)]}

= 2 ×{25 × [104 + 26]}

= 2 ×{25 ×130}

= 2 ×3250 = 6500

उदा. 34 -

57 ×

13

= 34 -

521 (आधी गणाकार)

= 3 21 5 484

× − × (नतर वजाबाकी)

= 63 2084−

= 4384

कसातील दकरासवश परिम

चा, ची, चगणाकार दकरा

उदा. 200 च 14

= 200 ×14

गणाकार बरीज वजाबाकीभागाकार

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

+ ×÷ -

सरािसच 25 खालील पदावली सोडवा.1. 50 ×5 ÷2 + 242. (13 ×4) ÷2 - 263. 140 ÷ [(- 11) × (- 3) - (- 42) ÷14 - 1)]4. {(220 - 140) + [10 ×9 + (- 2 ×5)]} - 100

5. 35 +

38 ÷ 64

उपकरि : चौकटीतील अकाचा व दचनहाचा वापर करा व दकमत 112 ईल अशी पदावली तार करा.

* अमधक िामििीसाठीपदावली सोडवताना दचनहाचा करम

क च भा ग ब व ( ) × ÷ × + -

qqq

43

6 घािाक


7 मलाना परतकी 4 वहयाच वाटप कल. एकण वहया = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 वहया

ि बरजची दकरा अनक वळा कली आह.एकाच सखची अनक वळा कलली बरीज ही गणाकाराचा रपात माडता त.एकण वहया = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 ×7 = 28


पाा ि घािाक (Base and Index)

आता 2 ही सखा अनक वळा घऊन कलला गणाकाराची माडणी िोडकात कशी करतात त पाह. 2 × 2 ×2 ×2 × 2 × 2 × 2 ×2 ि 8 वळा 2 घऊन गणाकार कला आह.

ही माडणी िोडकात 28 अशी करतात. ि 28 ह गणाकाराच घाताक रप आह. ामध 2 हा पाा व 8 हा घािाक आह.

उदा. 5 ×5 × 5 ×5 = 54 ि 54 ही घातादकत सखा आह. 54 ा घाताक रपातील सखत 5 ही सखा ‘पाा’ आदण 4 ही सखा ‘घाताक’ आह. ाच वाचन ‘5 चा घाताक 4’ दकवा ‘5 चा चौिा घात’ अस करतात.

सामानपण a ही कोणतीही सखा असल तर, a × a × a × .......... (m वळा) = am

am च िाचन ‘a चा घािाक m’ मकिा ‘a चा m िा घाि’ अस करिाि. इर m िी नसमगमक सखा अाि.

∴ 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 महणज 54 ा घातादकत सखची दकमत 625 आह.

तसच −

23

3

= −23 ×

−23 ×

−23 =

−827 महणज

−

23

3

ची दकमत −827 आह.

71 = 7, 101 = 10 ह धानात घा. कोणतािी सखचा पमिला घाि मिणज िी सखाच असि. सखचा घाताक 1 असल तर तो न दलदहणाचा सकत आह. जस 51 = 5 , a1 = a

8 घाताक

पाा2

44


सरािसच 261. पढील सारणी पणश करा.

अ. कर. घािामकि सखा

पाा घािाक गणाकार रप मकिि

(i) 34 3 4 3 × 3 × 3 × 3 81(ii) 163

(iii) (-8) 2(iv) 3

737

37

37

× × ×812401

(v) (-13)4

2. दकमत काढा. (i) 210 (ii) 53 (iii) (- 7)4 (iv) (-6)3 (v) 93

(vi) 81 (vii) 45

3

(viii) −

12

4

िगम ि घन (Square and cube) 32 = 3 × 3 53 = 5 × 5 × 5 32 च वाचन 3 चा दसरा घात 53 च वाचन 5 चा दतसरा घात दकवा 3 चा वगश अस करतात. दकवा 5 चा घन अस करतात.

लकषाि ठिा ःकोणतािी सखचा दसरा घाि मिणज ता सखचा िगम िो.कोणतािी सखचा मिसरा घाि मिणज ता सखचा घन िो.

पाा सिान असलला घािामकि सखाचा गणाकार

उदा. 24 × 23 उदा. (- 3)2 × (- 3)3

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = (- 3) ×(- 3) × (- 3) × (- 3) ×(- 3) = 27 = (- 3)5

ावरन 24 × 23 = 24 + 3 = 27 ावरन (- 3)2 × (- 3)3 = (- 3)2 + 3 = (- 3)5

उदा. −

25

2

× −

25

3

= −

25 × −

25 × −

25 × −

25 × −

25 =

−

25

5

ावरन −

25

2

× −

25

3

= −

+23

2 3

= −

25

5

45

35

53


· जर a ही पररम सखा असल आदण m व n ह धन पणायक असतील, तर am × an = am+n

सरािसच 27 सोप रप दा.

(i) 74 ×72 (ii) (- 11)5 × (- 11)2 (iii) 67

67

3 5

×

(iv) −

× −

32

32

5 3

(v) a16 × a7 (vi) P5

3

×

P5

7


सिान पाा असलला घािामकि सखाचा भागाकारउदा. 64 ÷62 = ? उदा. (- 2)5 ÷ (- 2)3 = ?

66

4

2 = 6 6 6 6

6 6× × ×

×

−( )−( )22

5

3 =−( )× −( )× −( )× −( )× −( )

−( )× −( )× −( )2 2 2 2 2

2 2 2

= 6 ×6 = (- 2)2

= 62

∴64 ÷62 = 64 - 2 = 62 ∴(- 2)5 ÷ (- 2)3 = (- 2)2


· जर a ही शनतर पररम सखा, m व n ह धन पणायक आदण m > n, असतील तर aa

m

n = am n−

a° चा अिश a-m चा अिश a-m = 1am

∴ a-1 = 1a

a ¹ 0 असल तर a-m = a-m ×1 तसच a × 1a = 1 महणज a ×a- 1 = 1

aa

m

m = 1 तसच = a-m × aa

m

m ∴a- 1 हा aचा गणाकार वयसत आह.

aa

m

m = a m m− = a0 = aa

m m

m

− +

ापरमाण चा गणाकार वयसत आह.

∴ a0 = 1 = aam

0

= 1am

∴53

1

−

= 35

a-m = 1am

46

उदा. 47

3

−

ही घाताककत सखया पाह.

47

3

−

= 1474747

× × = 1

64343

= 34364

= 74

3


· यावरन जर, a ≠0,b ≠0, आकण m ही धन पणााक सखया असल तर ab

m

−

= ba

m

.

खालील उदाहरणाच दनरीकषण करन कोणता दनम दमळतो त पाह.

उदा. (3)4 ÷ (3)6 उदा. 35

2

÷

35

5

= 3364

=

3535

3535353535

×

× × × × =

1

353535

× × =

135

3

= 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3× × ×

× × × × × = 123

∴34 ÷36 = 34 - 6 = 3- 2 ∴ 35

2

÷

35

5

= 3

5

2 5

−

= 35

3

−


· जर a ही पररम सखा असल a ≠0 आकण m व n ा पणायक सखा असतील, तर aa

m

n = am n−


पाा (- 1) असल आदण घाताक पणश सखा असल तर का होत त पाहा.

(- 1)6 = (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) = 1 ×1 ×1 = 1

(- 1)5 = (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) = 1 ×1 × (- 1) = - 1

m ही सम सखा असल तर (- 1)m = 1 आदण m ही दवषम सखा असल तर (- 1)m = - 1


1. सोप रप दा. (i) a6 ÷ a4 (ii) m5 ÷m8 (iii) p3 ÷p13 (iv) x10 ÷ x10

2. ककमत काढा.

(i) (- 7)12 ÷ (- 7)12 (ii) 75 ÷73 (iii) 45

3

÷

45

2

(iv) 47 ÷45

47

दोन सखाचा गणाकाराचा ि भागाकाराचा घाि खालील उदाहरणाच दनरीकषण करन कोणता दनम दमळतो त पाह.

उदा. (2 ×3)4 उदा. 45

3

= (2 ×3) × (2 ×3) × (2 ×3) × (2 ×3) = 45 ×

45 ×

45

= 2 ×2 ×2 ×2 ×3 ×3 ×3 ×3 = 24 ×34 = 4 4 45 5 5× ×× × =

45

3

3


जर a व b या शनयतर पररमय सखया असतील आकण m ही पणााक सखया असल तर

(1) (a × b)m = am × bm (2) ab

m

= a

b

m

m

amn( ) मिणज घािामकि सखचा घाि

उदा. 523( ) उदा. 7 1

72 5

2 5− −

−( ) =

( ) a

am

m− =

1

= 52 × 52 × 52 = 52 + 2 + 2 = 52 × 3 = 56

=17

71010

− =

उदा. 25

2 3

−

= 25

2

−

× 25

2

−

× 25

2

−

= 25

2 2 2

− + − + −( ) ( ) ( )

= 25

6

−

am( )n = am × am × am × ......... n वळा = am + m + m......... n वळा = am × n

वरील उदाहरणावरन हा दनम दमळतो.


· जर a ही शनतर पररम सखा व m अादण n ा पणायक सखा असतील, तर am( )n = am × n = amn


=× × × ×

=

− − − − −

− ×

17 7 7 7 71

7

2 2 2 2 2

2 5( )

48

कोणतीही खप मोठी अिवा खप लहान सखा दलदहताना एक अकी पणायक असलली दशाश अपणायकी सखाव 10 चा ोग घात ाचा गणाकार करन दलदहतात. ाला ता सखच (Standard form) परमादणत रप महणतात.

घाताकाच नियम लकात ठवा ः जर a आदण b ा शनतर पररम सखा, m, n ह पणायक असतील तर,

· am × an = am + n · am ÷ an = am - n · a1 = a · a0 = 1 · a am

m− =

1

· (ab)m = am × bm · ab

m

=

ab

m

m · (am)n = amn · ab

m

−

= ba

m

सरािसच 291. सोप रप दा.

(i) 1512

3 4

(ii) 34 2( )− (iii) 1

7

3 4

−

(iv) 25

2 3

− −

(v) 654( )

(vi) 67

5 2

(vii)

23

4 5

−

(viii) 58

3 2

−

(ix) 34

6 1

(x) 25

3 2

−

2. खालील सखा धन घाताक वापरन दलहा.

(i) 27

2

−

(ii) 113

5

−

(iii) 16

3

−

(iv) (y)-4

गमणि िाझा सोबिी : मिजानाि, खगोलशासरिाि

(1) दशमान पदधतीत सखा दलदहताना 10 चा घाताकाचा दवशष उपोग करता तो. परवी व चदर ातील अतर 38,40,00,000 मीटर आह. 10 चा घाताक वापरन ह अतर खालीलपरमाण दलदहतात. 384 000 000 = 384 × 106

38 4000000 = 38.4 ×107

3 84000000 = 3.84 × 108 (परमादणत रप)

(2) ऑककसजनचा अणचा वास दममीमध खाली ददला आह.

0.0000000000000356 = 3.56 × 10- 14

(3) पढील सखा परमादणत रपात दलदहणाचा परतन करा. स ाशचा वास 1400000000 मीटर आह. परकाशाचा वग = 300000000 मीटर/सकद आह.

(4) शजारील आकतीमध Googol ही सखा दशशवली आह ती 10 चा घाताकाचा रपात दलदहणाचा परतन करा.

49

2 144 2 72 2 36 2 18 3 9 3 3 1


पणम िगम सखच िगमिळ काढण ददलला सखला ताच सखन गणल असता णारा गणाकार हा ता सखचा वगश असतो. उदा. 6 × 6 = 62 = 36 62 = 36 ाच वाचन आपण 6 चा वगश 36 आह अस करतो.उदा. (- 5) × (- 5) = (- 5)2 = 25 (- 5)2 = 25 ाच वाचन (- 5) चा वगश 25 अस आह.


�मदलला सखच िगमिळ काढण. उदा. 3 × 3 = 32 = 9 ि 3 चा वगश 9 आह. हीच मादहती 9 च वगशमळ 3 आह अशा रपात दलदहता त. वगशमळासाठी ही खण वापरतात. 9 महणज 9 च वगशमळ ∴ 9 = 3 आह.उदा. 7 × 7 = 72 = 49 ∴ 49 = 7उदा. 8 × 8 = 82 = 64 ावरन 64 = 8 (- 8) × (- 8) = (- 8)2 = 64 ावरन 64 च वगशमळ - 8 असही दमळत. x ही धन सखा असल तर दतची दोन वगशमळ असतात. तापकी ऋण वगशमळ − x न व धन वगशमळ x न दशशवल जात.उदा. 81 च वगशमळ काढा. 81 = 9 × 9 = -9 × -9 ∴ 81 = 9 अादण - 81 = -9 आपण बहतक वळा धन वगशमळाचा दवचार करतो.

�मदलला सखच अिि पद धिीन िगमिळ काढण. उदा. 144 च वगशमळ काढा. ददलला सखच मळ अववा पासन समान अववाचा जोडा करा. 144 = 2 × 72 = 2 × 2 × 36 = 2 × 2 × 2 ×18 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 दमळालला अववामधील समान अववाचा जोडा तार करा. परतक जोडीतील एक अवव घऊन ताचा गणाकार करा. 144 = 2 ×2 ×3 = 12 ∴ 144 = 12

50

2 324 2 162 3 81 3 27 3 9 3 3 1

उदा. 324 च वगशमळ काढा. ददलला सखच मळ अवव काढन समान अववाचा जोडा करा. 324 = 2 × 162 = 2 × 2 × 81 = 2 × 2 × 3 ×27 = 2 × 2 × 3 ×3 × 9 = 2 × 2 × 3 ×3 × 3 ×3 वगशमळासाठी परतक जोडीतील एक सखा घा व गणाकार करा. 324 = 2 ×3 ×3 = 18 ∴ 324 = 18

सरािसच 30¤ वगशमळ काढा. (i) 625 (ii) 1225

(iii) 289 (iv) 4096 (v) 1089� अमधक िामििीसाठी (भागाकार पद धिीन िगमिळ)

(1) 9801 च वगशमळ काढा. (2) 19321 च वगशमळ काढा. (3) 141.61 च वगशमळ काढा.

9801 99=

जा सखच मळ अवव फार मोठ आहत व तामळ अवव पाडण कठीण आह, दतच वगशमळ शोधणासाठी ही पद धत उपोगी पडत.

आता आणखी एक उपोग पाहणासाठी 137 काढ.

qqq

11.7

1 137.00 + 1 - 1 21 037 + 1 - 21 227 1600 + 7 - 1589 234 11

137 > 11.7पण (11.8)2 = 139.24∴11.7 < 137 < 11.8ापरमाण 137 चा जवळपासची सखा शोधता त.

जा सखच वगशमळ पणश सखा नाही, दतचा वगशमळाचा जवळपासचा दशाश अपणायक ा पद धतीन दमळ शकतो.

99

9 9801 + 9 - 81 189 1701 + 9 -1701 198 0000

139

1 19321 + 1 - 1 23 093 + 3 - 69 269 2421 + 9 - 2421 278 0000

11.9

1 141.61 + 1 - 1 21 041 + 1 - 21 229 2061 + 9 - 2061 238 0000

51

7 जोडसिभालख

जोडसिभालखअज आदण दवज ाचा शतातील गवहाच उतपादन कवटलमध दकती आह ाची मादहती खाली दोन

सतभालखामध दशशवली आह. ताच दनरीकषण करा.

दोनही आलखातील मादहती एकाच आलखात दाखवता त का त पाह. पढील आलख पाहा. ापरमाण कमी जागत जासत मादहती दता ईल, तसच अज व दवज ाचा गवहाचा उतपादनाची तलना करण सोप जाईल. अशा परकारचा सतभालखाला जोडसतभालख महणतात.

जोडसतभालखाच दनरीकषण करन खालील परशनाची उततर दा.

· कोणता वषवी दोघाच गवहाच उतपादनसारखच आह ?

· 2014 साली कोणाच गवहाच उतपादनजासत होत ?

· 2013 साली परतकाच गवहाच उतपादनदकती होत ?

x अकष

अजच गह उतपादन

उतपा

दन कव

टल

वषश

परमाण ः Y अकषावर : 1 समी = 10 कवटलY अकष

0

10

20

30

40

50

60

20122011 2013 2014

दवजच गह उतपादन

उतपा

दन कव

टल

वषश

परमाण ः Y अकषावर : 1 समी = 10 कवटल

x अकष

Y अकष

0

अजच आदण दवजच गह उतपादन

10

20

30

40

50

60

20122011 2013 2014

वषश

उतपा

दन कव

टल

दवज

अज परमाण ः Y अकषावर ः 1 समी = 10 कवटलY अकष

0 x अकष


52

जोडसतभालखाच वाचन पणशहरातीलपाच दिवसाचकमालव दकमानतापमान(°Cमध) दिलआह.जोडसतभालखाच दनरीकषणकरनपढीलपरशनाची उततरदा.

· X-अकषावरकाणती मादहती िशशवलीआह?· Y-अकषावरकाणती मादहती िशशवलीआह?· सवाातजासत तापमानकोणता दिवशीआह?· दकमान तापमानकोणता दिवशीसवाातजासतआह?

· गरवारीकमालव दकमान तापमानातफरकदकती?

· कोणता दिवशी कमाल व दकमान तापमानातीलफरकसवाातजासतआह?

जाणन घऊया.

जोडसतभालख (Joint bar graph) काढणएकाशाळतीलमलआदणमली ाचीसखा दिलीआह. मादहतीवरनजोडसतभालखतारकरा.

इतता 5वी 6वी 7वी 8वी 9वी 10वीमल 52 68 67 50 62 60मली 57 63 64 48 62 64

जोडसतभालखासाठी पायऱया1. आलखकागिावरXअकषवYअकषआदण

ताचाछिनदिि िाखवा.2. िोनजोडसतभालखातीलअतरसमानठवन

Xअकषावर इतता िाखवा.3. Yअकषावर परमाणठरवा.

जस 1 एकक=10मल/मली,Yअकषावरमलाची/मलीचीसखािशशवा.

4. ठरदवलला परमाणानसार परतक इतततीलमलाचा व मलीचा सखा िाखवणाऱासतभाची उची ठरवा व सतभालखकाढा.िोन सतभ वगळ िाखवणासाठी वगळ रगवापरा.

x अकष

Y अकष परमाणःYअकषावरः1समी=5° c

सोम मगळ िध गर शकर

तापमान

कमालतापमानदकमान तापमान

x अकष

Y अकष

5वी 6वी 7वी 8वी 9वी 10वी

दवदारााचीसखा

परमाणः1समी=10 दवदारथीमलमली

53

रोपाच नावशाळच नाव

फळवार

ह मला समजल.

· जोडसतभालखा सवव सतभातची रदी समान असावी.· लगचा दोनी जोडसतभातील अतर समान असाव.· जोडसतभालखाचा वापर लनातमक अभासासाठी करा.

गणित माझा सोबती : वततमानपतर, माणसक, माणहतीच सादरीकरि

· वतपताील ववववध परकारचा आलखातचा सतगर करन तावर चचाव करा.

1. आालख 2. रषालख 3. वतालख

ICT Tools or Links

मावीच सादरीकरण कराना जोडसतभालखाऐवजी ववववध आलखातचा वापर कला जाो. MS-Excell, Graph Matica, Geogebra ातमध असलल वगवगळ आलख वशकषकातचा मदीन पाा.

सरावसच 311. जागवक वकषवदनी दोन शाळातनी लावलला रोपातची सतखा सारणीमध वदली आ, तावरन जोडसतभालख

काढा.

बदाम करतज कडवलतब अशोक गलमोर

नन ववदाल 40 60 72 15 42

भार ववदाल 42 38 60 25 40

2. एका जस सटरवर शवनवारी व रवववारी वगवगळा फळातच जस घणासाठी आलला गराकातची सतखा सारणी दशववली आ. ता मावीवरन जोडसतभालख काढा.

मोसतबी सतती सफरचतद अननसशवनवार 43 30 56 40रवववार 59 65 78 67

54

3. गामपचात दनवडणकीमध पाच मतदान कदरावर खालीलपरमाण मतदान झाल. तावरन जोडसतभालख काढा.

1 2 3 4 5परष 200 270 560 820 850

कसरिा 700 240 340 640 470

4. भारतातील पाच शहराच कमाल व दकमान तापमान °C मध ददल आह. तावरन जोडसतभालख काढा.

ददली मबई कोलकता नागपर कपरिलाकमाल तापमान 35 32 37 41 37दकमान तापमान 26 25 26 29 26

5. सारणीमध सोलापर, पण िील शासकी रगणालात एका ददवसात लसीकरण कलला बालकाची सखाददली आह. तावरन जोडसतभालख काढा.

डी. पी.टी. परक पोदलओ परक गोवर कावीळसोलापर 65 60 65 63

पण 89 87 88 86

6. महाराष व गजरात राजातील साकषर लोकाच परमाण शकडवारीमध ददलल आह. तावरन जोडसतभालखकाढा.

1971 1981 1991 2001 2011महाराष 46 57 65 77 83गजरात 40 45 61 69 79

कदर करमाकवकती

शहरतापमान

शहर लसीच नाव

राज सन

गदणती गमत1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

ावरन 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n2 ह सरि लकषात त का ?ह सरि n = 5, 6, 7, 8, ... ा सखासाठी पडताळन पहा.

दवजानाचा परागातील नोदीवरन अनमान काढणासाठी तसच भगोल, अिशशासरिामधही जोडसतभालखाचा उपोग होतो.

qqq

55


बमजक राशी (Algebraic expressions)

· खाली ददलला काडाची रचना पाहा व आकदतबधाच दनरीकषण करा.

काडाची रचना ...... .. ...... .. ......

चौरस 1 2 3 4 .. 10 .. n

काडाची सखा

4 7 10 13 .. ...... .. ......

3 + 1 6 + 1 9 + 1 12 + 1 .. ...... .. ......

3 ×1 + 1 3 ×2 + 1 3 ×3 + 1 3 ×4 + 1 3 ×10 + 1 3 ×n + 1

वरील आकदतबधाच दनरीकषण करन लकषात त की, काडाची सखा = 3 ×चौरसाची सखा + 1 चौरसाची सखा बदलती आह. ती 2, 3, 4, ... , 10,... ापकी काहीही अस शकत. चौरसाची सखा माहीत नसलास ती अकषरान दाखवतात. ि चौरसाची सखा n ा अकषरान दाखवली आह.

n ह चल आह. चलाचा उपोग कलली 3 × n + 1 महणजच 3n + 1 ही बदजक राशी आह.

= 3 चड= 3 दरिकोण= 3t

आताची पररदमती = 2l + 2b= 2(l + b)


· 3n + 1, 3t, 2x + 3y, 2(l + b) ा बदजक राशी आहत.ा राशीमध n, t, y, l, b, x ही चल आहत.

8 बमजक राशी ि तािरील मकरा

+ चड + बरट

+ = आब + परx + x + y + y + y = 2x + 3y

=

l

bl

b

56

उदा. बदजक राशी ः 4x2 - 2y + 56

xz

ा राशीत 4x2 ह पदहल पद आह. तात 4 हा सहगणक आह.

-2y ह दसर पद आह. तात -2 हा सहगणक आह.

56

xz ह दतसर पद आह. तात 56

हा सहगणक आह.


3x ा राशीत 3 हा x ा चलाचा सहगणक (coefficient) अाह. -15t मध -15 हा t ा चलाचा सहगणक अाह. जा राशीत गणाकार ही एकच दकरा असत ता राशीला पद (term) महणतात. बदजक राशी एकपदी असत दकवा अनक पदाची बरीज असत.

पद सहगणक चल

11mn 11 m, n

-9x2y3 -9 x, y

56

p 56

p

a 1 a

लकषाि ठिा: �15 - x ा बदजक राशीत दोन पद आहत. पदहल पद 15 ही एक सखा आह. 15 - x = 15 + (-x) ∴ दसर पद - x आह. ा पदामधील x ा चलाचा सहगणक (- 1) आह.�जा पदातील चल व ताच घाताक समान असतात, ता पदाना सरप पद (सजाती पद) महणतात.

सजािी पद (सरप पद) (Like terms) मिजािी पद (मभननरप पद) (Unlike terms)

(i) 2x, 5x, - 23

x (ii) -5x2y, 67

yx2 (i) 7xy, 9y2, - 2xyz, 8mn, 8m2n2, 8m3n

बमजक राशीच परकार (Types of algebraic expressions) पदाचा सखवरन राशीच नाव ठरत. एक पद असलास एकपद राशी, दोन पद असलास द दवपद राशी, तीन पद असलास दरिपद राशी, तीनहन जासत पद असलास बहपद राशी अस नाव ददल जात. एकपद राशी द दवपद राशी दरिपद राशी बहपद राशी� 4x � 2x - 3y � a + b + c � a3 - 3a2b + 3ab - b3

� 56

m � 2l + 2b � x2 - 5x + 6 � 4x4 - 7x2 + 9 - 5x3 - 16x

� - 7 � 3mn - 5m2n � 8a3 - 5a2b + c � 5x5 - 12 x + 8x3 - 5

सरािसच 32¤ खालील राशीच पदाचा सखवरन एकपद राशी, द दवपद राशी इतादी परकार वगवीकरण करा. (i) 7x (ii) 5y - 7z (iii) 3x3 - 5x2 - 11 (iv) 1 - 8a - 7a2 - 7a3

(v) 5m - 3 (vi) a (vii) 4 (viii) 3y2 - 7y + 5

57

दवचार करा.3x + 4y = दकती?3 पर + 4 आब = 7 पर ?7m - 2n = 5m ?

2x + 4y+ 3x + 2y

5x + 6y

9x2y2 - 7xy+ 3x2y2 + 4xy

12x2y2 - 3xy


बमजक राशीची बरीज (Addition of algebraic expressions)�एकपदीची बरीज (Addition of monomials)उदा. 3 पर + 4 पर = (3 + 4) पर = 7 पर उदा. 3x + 4x = (3 + 4) x = 7x सजाती पदाची बरीज एकाच परकारचा वसतचा बरजपरमाण करतात.उदा. बरीज करा. (i) - 3x - 8x + 5x = (- 3 - 8 + 5)x = - 6x

(ii) 23

ab - 57

ab = ( 23

- 57

) ab = −121 ab

(iii) - 2p2 + 7p2 = (- 2 + 7)p2 = 5p2

�द मिपद राशीची बरीज (Addition of binomial expressions)

आडिी िाडणी उभी िाडणीउदा. (2x + 4y) + (3x + 2y) = 2x + 3x + 4y + 2y = 5x + 6y

सजाती पदाची बरीज करताना ता पदाचा सहगणकाची बरीज करन तापढ चल दलदहतात.उदा. बरीज करा. 9x2y2 - 7xy ; 3x2y2 + 4xy आडिी िाडणी उभी िाडणी (9x2y2 - 7xy) + (3x2y2 + 4xy) = 9x2y2 - 7xy + 3x2y2 + 4xy = (9x2y2 + 3x2y2) + (- 7xy + 4xy) = 12x2y2 - 3xy

साभाळा बर!

3x + 7y ि दोनही पद सजाती नाहीत तामळ ताची बरीज 3x + 7y दकवा 7y + 3x अशीच दलहावी लागत.

सरािसच 33¤ बरीज करा. (i) 9p + 16q ; 13p + 2q (ii) 2a + 6b + 8c; 16a + 13c + 18b

(iii) 13x2 - 12y2 ; 6x2 - 8y2 (iv) 17a2b2 + 16c ; 28c - 28a2b2 (v) 3y2 - 10y + 16 ; 2y - 7 (vi) - 3y2 + 10y - 16 ; 7y2 + 8

58

(जी राशी वजा कराची ता राशीतील परतक पदाच दचनह बदलन बरीज करावी.)

16x + 23y + 12z + 9x - 27y + 14z- + -

7x + 50y - 2z

-


बमजक राशीची िजाबाकी (Subtraction of algebraic expressions) पणायकाची वजाबाकी करताना एका पणायकातन दसरा पणायक वजा करण महणजच पदहला पणायकात दसऱा पणायकाची दवरद ध सखा दमळवण ह आपण अभासल आह. ाच दनमाचा वापर आपण बदजक राशीचा वजाबाकीसाठी करणार आहोत.उदा. 18 - 7 उदा. 9x - 4x = 18 + ( - 7) = 11 = [9 + (- 4)]x = 5x

उदा. पदहला राशीतन दसरी राशी वजा करा. 16x + 23y + 12z ; 9x - 27y + 14z आडवी माडणी उभी माडणी (16x + 23y + 12z) - (9x - 27y + 14z) = 16x + 23y + 12z - 9x + 27y - 14z = (16x - 9x) + (23y + 27y) + (12z - 14z) = 7x + 50y - 2z

सरािसच 34¤ पदहला राशीतन दसरी राशी वजा करा. (i) (4xy - 9z) ; (3xy - 16z) (ii) (5x + 4y + 7z) ; (x + 2y + 3z)

(iii) (14x2 + 8xy + 3y2) ; (26x2 - 8xy - 17y2) (iv) (6x2 + 7xy + 16y2) ; (16x2 - 17xy) (v) (4x + 16z) ; (19y - 14z + 16x)


बमजक राशीचा गणाकार (Multiplication of algebraic expressions)�एकपदीला एकपदीन गणणउदा. 3x × 12y उदा. (- 12x) × 3y2 = 3 × 12 × x × y = - 12 × 3 × x × y × y = 36xy = - 36xy2

उदा. 2a2 × 3ab2 उदा. (- 3x2) × (- 4xy) = 2 × 3 × a2 × a × b2 = (- 3) × (- 4) × x2 × x × y = 6a3 b2 = 12x3y

दान एकपदीचा गणाकार करताना, सवशपरिम सहगणकाचा दचनह लकषात घऊन गणाकार करावा.नतर चलाचा गणाकार करावा.

59

3x + 4y ×5x + 7y 15x2 + 20xy + 21xy + 28y2

15x2 + 41xy + 28y2

[5x न गणन]

(3x + 4y) (5x + 7y)= 3x (5x + 7y) + 4y (5x + 7y)= 3x ×5x + 3x × 7y + 4y ×5x + 4y ×7y= 15x2 +21xy + 20xy + 28y2

= 15x2 +41xy + 28y2

[7y न गणन]

[बरीज करन]

�द मिपदीला एकपदीन गणण उदा. x (x + y) उदा. (7x - 6y) ×3z = 7x ×3z- 6y ×3z = x × x + x × y = 7 × 3 × x × z - 6 × 3 × y × z = x2 + xy = 21xz - 18yz

�द मिपदीला द मिपदीन गणणउदा.

उदा. एका आताकती शताची लाबी (2x + 7) मी व रदी (x + 2) मी आह, तर ता शताच कषरिफळ काढा.उकल : आताकती शताच कषरिफळ = लाबी × रदी = (2x + 7) × (x + 2) = 2x (x + 2) + 7 (x + 2) = 2x2 + 11x + 14 आताकती शताच कषरिफळ (2x2 + 11x + 14) मी2

सरािसच 351. गणाकार करा. (i) 16xy × 18xy (ii) 23xy2 × 4yz2

(iii) (12a + 17b) × 4c (iv) (4x + 5y) × (9x + 7y)

2. एका आताची लाबी (8x + 5) समी व रदी (5x + 3) समी आह, तर ता आताच कषरिफळ काढा.


एकचल सिीकरण (Equations in one variable)�खालील समीकरण सोडवा.

(1) x + 7 = 4 (2) 4p = 12 (3) m - 5 = 4 (4) t3 = 6


उदा. 2x + 2 = 8 उदा. 3x - 5 = x - 17 ∴ 2x + 2 - 2 = 8 - 2 3x - 5 + 5 - x = x - 17 + 5 - x ∴ 2x = 6 ∴2x = -12 ∴ x = 3 ∴ x = -6

60

उदा. एका आताची लाबी ही ताचा रदीचा दपटीपकषा 1 समी जासत आह. ता आताची पररदमती 50 समी असलास ताची लाबी दकती ?उकल : आताची रदी x समी मान. आताची लाबी (2x + 1) समी होईल. 2 × लाबी + 2 × रदी = आताची पररदमती 2 (2x + 1) + 2x = 50 ∴ 4x + 2 + 2x = 50 6x + 2 = 50 6x = 50 - 2 ∴ 6x = 48 ∴ x = 8 आताची रदी 8 समी आह. आताची लाबी = 2x + 1 = 2 ×8 + 1 ∴ आताची लाबी = 17 समी आह.

उदा. एक नसदगशक सखा व दतची लगतची पढची सखा ाची बरीज 69 आह, तर ता सखा कोणता ?

उकल : एक नसदगशक सखा x मान. पढची लगतची सखा x + 1 आह. (x) + (x + 1) = 69 ∴x + x + 1 = 69 ∴ 2x + 1 = 69 2x = 69 - 1 ∴2x = 68 ∴x = 34 नसदगशक सखा = 34लगतची पढील नसदगशक सखा =34 + 1 = 35

लकषाि ठिा ः एखाद पद समीकरणातील ‘=’ ा दचनहाचा एका बाजकडन दसऱा बाजकड नत

असताना ताच दचनह बदलाव लागत.

सरािसच 361. (3x - 11y) - (17x + 13y) ा वजाबाकीसाठी अचक पाश दनवडा. (i) 7x - 12y (ii) -14x -54y (iii) -3 (5x +4y ) (iv) -2 (7x + 12y )2. (23 x2 y3z) ×(-15x3yz2) ाच उततर .................... ईल . (i) -345 x5 y4 z3 (ii) 345 x2 y3 z5 (iii) 145 x3 y2 z (iv) 170 x3 y2 z3

3. खालील समीकरण सोडवा.

(i) 4x + 12 =

92 (ii) 10 = 2y + 5 (iii) 5m - 4 = 1

(iv) 6x - 1 = 3x + 8 (v) 2 (x - 4) = 4x + 2 (vi) 5 (x + 1) = 744. राकशच व सादनाचा वापकषा 5 वषायनी कमी आह. ताचा वाची बरीज 27 वषष आह, तर परतकाच

व दकती ?5. एका वनराईमध अशोकाची जवढी झाड लावली तापकषा जाभळाची 60 झाड अदधक लावली. ति दोनही

परकारची एकण झाड 200 असतील, तर जाभळाची झाड दकती लावली ?6. शभागीजवळ 50 रपाचा जवढा नोटा आहत ताचा दपपट नोटा 20 रपाचा आहत. दतचाजवळ

एकण 2700 रप आहत तर 50 रपाचा नोटा दकती ?7*. दवराटन कलला धावा रोदहतचा धावाचा दपपट होता. दोघाचा दमळन झालला धावा द दवशतकापकषा

दोनन कमी होता तर दोघानी परतकी दकती धावा काढला ?qqq

61

सकीणम परशनसगरि 11. खालील उदाहरण सोडवा.

(i) (-16) × (-5) (ii) (72) ÷ (-12) (iii) (-24) × (2)(iv) 125 ÷ 5 (v) (-104) ÷ (-13) (vi) 25 × (-4)

2. मळ अवव पाडन खालील सखाचा मसादव व लसादव काढा.(i)75, 135 (ii) 114, 76 (iii) 153, 187 (iv) 32, 24, 48

3*. सदकषपत रप दा.

(i) 322391 (ii)

247209 (iii) 117

1564. खालील सखाच वगशमळ काढा.

(i) 784 (ii) 225 (iii) 1296 (iv) 2025 (v) 256

5. एका दनवडणकीसाठी चार मतदान कदर ददलली आहत. परतक कदरावरील कसरिा व परष ानी कललामतदानाची मादहती सारणीत ददलली आह. तावरन जोडसतभालख काढा.

मतदार कदर नवोद दवदाल दवदादनकतन शाळा दसटी हासकल एकलव शाळाकसरिा 500 520 680 800परष 440 640 760 600

6. पदावली सोडवा.(i) 45 ÷ 5 + 20 ×4 - 12 (ii) (38 - 8) × 2 ÷ 5 + 13

(iii) 53473221

+ ÷ (iv) 3 ×{ 4 [ 85 + 5 - (15 ÷ 3) ] + 2 }

7. सोडवा.

(i) 512

716

+ (ii) 3 25

- 214 (iii) 12

5103

×−( ) (iv*) 4 3

8 ÷ 2518

8. ∆ABC असा काढा की, m∠A = 55°, m∠B = 60°, आदण l(AB) = 5.9 समी.9. ∆XYZ असा काढा की, l(XY) = 3.7 समी l(YZ) = 7.7 समी, l(XZ) = 6.3 समी.10. ∆PQR असा काढा की, m∠P = 80°, m∠Q = 70°, l(QR) = 5.7 समी.11. ददलला मापावरन ∆EFG काढा. l(FG) = 5 समी, m∠EFG = 90°, l(EG) = 7 समी.12. ∆LMN मध l(LM) = 6.2 समी, m∠LMN = 60°, l(MN) = 4 समी तर ∆LMN काढा.13. खालील कोनाचा कोदटकोनाची माप दलहा.

(i) 35° (ii) a° (iii) 22° (iv) (40-x)°14. खालील कोनाचा परक कोनाची माप दलहा.

(i) 111° (ii) 47° (iii) 180° (iv) (90-x)°15. खालील आकता काढा.

(i) सलगन कोनाची जोडी (ii) परक कोन आहत परत सलगन नाहीत अस कोन(iii) दोन सलगन कोदटकोनाची जोडी

62

16. ∆PQR मध ∠P व ∠Q ाची माप समान आहत व m∠PRQ = 70° तर खालील कोनाची माप काढा.(i) m∠PRT (ii)m∠P (iii)m∠Q

17. सोप रप दा.

(i) 54 ×53 (ii) 23

6

÷ 2

3

9

(iii) 7

272

8 6

×

−

(iv) 45

2

÷

54

18. दकमत काढा.

(i) 1716 ÷ 1716 (ii) 10-3 (iii) (23)2 (iv) 46 × 4-4

19. सोडवा.

(i) (6a-5b-8c) + (15b+2a-5c) (ii) (3x+2y)(7x-8y)(iii) (7m-5n) - (-4n-11m) (iv) (11m-12n+3p) - (9m+7n-8p)

20. खालील समीकरण सोडवा.

(i) 4(x + 12) = 8 (ii) 3y + 4 = 5y - 6

बहपामी परशन

खालील परशनाना पाशी उततर ददली आहत. ता उततरापकी ाग पाश दनवडा. 1. दरिकोणाच तीनही कानदभाजक एकसपाती असतात. ताचा सपातदबदस .................... महणतात.

(i) पररमध (ii) दशरोदबद (iii) अतमशध (iv) छददबद

2. 37

3 4

−

= .................

(i) 37

7

−

(ii) 37

10

−

(iii) 73

12

(iv) 3

7

20

3. 5 ÷ 3213

− ाच सरळरप .................... आह.

(i) 3 (ii) 5 (iii) 0 (iv) 13

4. 3x - 12

= 52

+ x ा समीकरणाची उकल .................... आह.

(i) 53 (ii) 7

2(iii) 4 (iv)

32

5*. खालीलपकी कोणता पदावलीची दकमत 37 आह ?(i) 10 × 3 + (5 + 2) (ii) 10 × 4 + (5 - 3)

(iii) 8 × 4 + 3 (iv) (9 × 3) + 2

qqq

P

Q R T

63

9 सिपरिाण आमण वसिपरिाण


सिपरिाण (Direct proportion) आपण मागील इततत दोन सखाची तलना करन ती गणोततराचा रपात कशी दलदहतात त पादहल आह.उदा. अाता खालील दचरि पाहा. ि वतशळात दाखवलला वासामळ वतशळाच झालल भाग दाखवल आहत.

(A) (B) (C) (D) ि वासाची सखा व तार होणाऱा वतशळाचा भागाची सखा ाचा काही सबध ददसन तो का ?�आकती (A) मध एका वासामळ वतशळाच भाग झाल आहत.�आकती (B) मध दोन वासामळ वतशळाच भाग झाल आहत.�आकती (D) मध चार वासामळ वतशळाच भाग झाल आहत.

वासाची सखा

भागाची सखा= 12 =

24 =

36 =

48 ि वासाची सखा व तामळ झालला भागाची सखा

ाच गणोततर कसिर अाह.

उदा. नगरपादलकचा शाळतील दवदारायना दमळालला वहयाची सखा खालील सारणीत दाखवली आह.

िल 15 12 10 5

िहया 90 72 60 30

महणजच ह गणोततर 1:6 अस कसिर दकवा काम (constant) आह. वरील दोनही उदाहरणात अस ददसत की, वासाची सखा वाढली तर वतशळातील भागाची सखा वाढत. दवदारायची सखा कमी झाली तर वहयाची सखा दखील कमी होत. वासाची सखा व वतशळ भागाची सखा ा समपरमाणात आहत तसच दवदािवी सखा व वहयाची सखा समपरमाणात आहत.उपकरि : � मोटार साकलमध भरलल पटोल आदण दतन कापलल अतर ह समपरमाणात असत का ? दवचार

करा. � दवजानातील व दनददन ववहारातील सम परमाणात बदलणाऱा सखाची उदाहरण दता तील का?

ताची चचाश करा.

मलाची सखा

वहयाची सखा =

1590

= 1272

= 1060

= 530

= 16

मिभाग दसरा

64

उदा. 10 पनाची दकमत 60 रप असल तर, अशा 13 पनाची दकमत दकती रप ?उकल : 13 पनाची दकमत काढाची आह. ती x रप होईल अस मान.

पनाची सखा व ताची दकमत समपरमाणात 1060 =

13x

असलामळ ताच गणोततर माडन समीकरण दमळव. ∴10x = 780 (दोनही बाजना 60x न गणल)

x =78

13 पनाची दकमत 78 रप आह.

सरािसच 371. 7 दकगर काद 140 रपाना तर 12 दकगर काद दकती रपाना दमळतील ?2. 600 रपामध 15 पढा कडबा दमळतो, तर 1280 रपामध दकती पढा कडबा दमळल ?3. रोज 13 दकगर 500 गरम परक खराक 9 गाईना परतो, ताच परमाणात 12 गाईना दकती खराक लागल ? 4. 12 कवटल सोाबीनला 36,000 रप पडतात, तर 8 कवटल सोाबीनची दकमत दकती ?5. दोन मोबाइलची दकमत 16,000 रप आह अस 13 मोबाइल खरदी कल, तर एकण दकती रप

लागतील ?


वसिपरिाण (Inverse proportion)

वकषारोपण करणासाठी 90 खड ड खणाच आहत. तासाठी काही सवसवक जमल आहत. एक सवसवक रोज एक खड डा खणतो.

15 सवसवकाना त खड ड खणाला 9015 = 6 ददवस लागतील.

10 सवसवकाना त खड ड खणाला 9010 = 9 ददवस लागतील.

सवसवकाची सखा व खड ड खणणासाठी लागणार ददवस ह समपरमाणात आहत का ?

सवसवकाची सखा किी झाली की लागणार ददवस िाढिाि ाउलट सवसवकाची सखा वाढली तर कामाच ददवस कमी होतात. सवसवक व ददवस ाचा सखाचा गणाकार कसिर आह. ा सखा वसत परमाणात आहत अस महणतात.

उदा.समजा सधाला एका सगहातील 48 उदाहरण सोडवाची आहत. दतन रोज 1 उदाहरण कल तर दतला

सगह पणश करणास 48 ददवस लागतील. दतन रोज 8 उदाहरण सोडवली तर, सगह पणश करणास दतला 488

= 6 ददवस लागतात. ती रोज 12 उदाहरण करत असल तर दतला 4812 = 4 ददवस लागतील.

रोज सोडवलली उदाहरण व लागणार ददवस वसत परमाणात आहत. ताचा गणाकार कसिर आह. 8 ×6 = 12 ×4 = 48 ×1 ह लकषात घा.

65

उदा. एक मोठी दभत बाधाला 15 मजराना 8 तास लागतात; तर 12 मजराना तच काम कराला दकती तास लागतील ?उकल : मजराची सखा वाढली की कामाच तास कमी होतात. मजराची सखा व ताना लागणारा वळ ाच परमाण वसत आह. मजराची सखा व दभत बाधाला लागणार तास ाचा गणाकार कसिर आह. आता x ा चलाचा वापर करन ह उदाहरण सोडव. 12 मजराना x तास लागतात अस मान. 12 × x = 15 ×8 15 मजराना 8 तास लागतात. ∴ 12x = 120 12 मजराना x तास लागतात. ∴ x = 10

ावरन 12 मजराना दभत बाधाला 10 तास लागतील.उदा. वगाशमध 40 पानी हसतदलकखत अक तार करणाच काम चाल कल. एका दवदाराशला हा अक तार

कराला 80 ददवस लागतात, तर 4 दवदारायना अक तार कराला दकती ददवस लागतील ?उकल : एकच काम जासत दवदािवी करत असतील तर कमी ददवस लागतील महणज दवदािवी सखा व

ददवसाची सखा ाच परमाण वसत आह. चार दवदारायना x ददवस लागतात अस मान.

4x = 80 ×1

x = 804

x = 20 ∴4 दवदारायना 20 ददवस लागतील.

उदा. एका शाळतील 7 वी च दवदािवी सहलीसाठी एका शतमळामध बसन गल. ता वळी आलल ताच काही अनभव पाह. परतक अनभवातील सखा समपरमाणात आहत की वसतपरमाणात त दलहा.

� सहलीसाठी परतक मलाकडन खचाशसाठी 60 रप घतल. एकण 45 दवदािवी होत महणन रप जमल.

जर 50 दवदािवी असत तर रप जमल असत. मिदारााची सखा ि जिणारी िगमणी ि ........ परिाणाि आिि.� शाळजवळचा दमठाईवालान सहलीसाठी 90 लाड ददल.

45 दवदािवी सहलीला आल तर परतकाला लाड दमळाल.

30 दवदािवी सहलीला आल असत तर परतकाला लाड दमळाल असत.

मिदारााची सखा ि परतकाला मिळणार लाड ........ परिाणािध आिि.� सहलीच दठकाण शाळपासन 120 दकमी हात. शतमळात जाताना बसचा वग ताशी 40 दकमी होता महणन तास लागल.

परत ताना बसचा वग ताशी 60 दकमी होता महणन तास लागल. बसचा िग ि लागणारा िळ ि ........ परिाणाि आिि.

दवदािवी ददवस

1 80

4 x

66

1. एका शताची खरपणी पणश करणास 5 मजराना 12 ददवस लागतात, तर 6 मजराना दकती ददवस

लागतील ? 15 मजराना दकती ददवस लागतील ?

2. मोहनरावानी रोज 40 पान ापरमाण एक पसतक वाचल, तर त पसतक 10 ददवसात वाचन पणश होत. तच पसतक 8 ददवसात वाचन पणश कराच असलास दररोज दकती पान वाचावीत ?

3. मरीचा साकल चालवणाचा वग ताशी 6 दकमी आह. ती 12 दकमी अतरावरील मावशीचा घरी जाणार आह, तर दतला दकती वळ लागल ? दतचा साकलचा वग ताशी 4 दकमी झाला, तर दतला दकती वळ लागल ?

4. एका शासकी गोदामातील धानसाठा 4000 माणसाना 30 ददवस परतो, तर तो धानसाठा 6000 माणसाना दकती ददवस परल?

� शतकऱान ताचा झाडाची बोर जमा कली. ती 180 होती.

तान 45 दवदारायना ती समान वाटली. परतकाला बोर दमळाली.

जर 60 दवदािवी असत तर परतकाला बोर दमळाली असती. मिदारााची सखा ि परतकाला मिळणारी बोराची सखा ि ........ परिाणािध आिि.



भागीदारी (Partnership) एखादा ववसा चाल करताना जागा, कची सामगी इतादीसाठी पस लागतात. ता रकमला भाडवल महणतात. अनकदा दोन दकवा अदधक वकती दमळन भाडवल गोळा करतात. महणजच ता वकती भागीदारीत गतवणक करन ववसा सर करतात. भागीदारीचा ववसाात बकमध भागीदाराच स कत खात असत. ता ववसाासाठी भाडवलाची जा परमाणात गतवणक असत ता परमाणात ववसाात झालला नफा दकवा तोटा ाच वाटप कल जात. उदा. झलम व अिवश ानी अनकरम 2100 व 2800 रप भाडवल घालन ववसा चाल कला. ताना

3500 रप फादा झाला. तो कसा वाटावा ?

उकल : भाडवलाच परमाण काढ. 2100:2800 महणज 21002800

= 34 महणन भाडवलाच परमाण 3:4 आह.

नफाच वाटप भाडवलाचा परमाणात कराच आह. झलमचा नफा 3x व अिवशचा नफा 4x मान. ∴ 3x + 4x = 3500 एकण नफा 3500 आह. ∴7x = 3500 ∴ x = 500 झलमला 3x = 1500 रप व अिवशला 4x = 2000 रप नफा दमळल.

उदा. एका ववसाात दचनम आदण सरम ानी 130000 रप भाडवल 3:2 ा परमाणात गतवल तर परतकाची गतवणक दकती ? ा ववसाात ताना 36000 रपाचा नफा झाला, तर परतकाचा नफा दकती असल ?

उकल : दचनम आदण सरम ाचा गतवणकीच परमाण 3:2 आह. गतवणकीचा परिाणाि नफाची वाटणी होत महणन नफाच परमाण 3:2 असल.

67

उदा. अबदल, सजल व सोहम ानी सालीला 30 रप व 70 रप आदण 50 रप ददल. सालीन तात 150 रप घालन कागद, रग ा वसत आणला. तापासन सवायनी भटकाडष बनवली व ती सवश भटकाडष दवकली. ताना एकण 420 रप नफा दमळाला. तर परतकाला दकती नफा दमळाला ?

उकल : चौघाच दमळन एकण भाडवल 300 रप हात. तापकी सालीच 150 रप होत महणज दनमम भाडवल दतच होत. ताना एकण 420 रप नफा दमळाला. सालीचा नफा 420 ची दनमपट महणज 210 रप झाला. उरलला 210 रप नफा अबदल, सजल व सोहम ाना वाटला.

अबदल, सजल व सोहम ाच भाडवल अनकरम 30 रप व 70 रप आदण 50 रप आह. भाडवलाच परमाण 30:70:50 आह. महणजच 3:7:5 आह. दतघाचा नफा 210 रप आह.

ताचा नफा अनकरम 3k, 7k, 5k मान. 3k + 7k + 5k = 210 ∴ 15k = 210 ∴ k = 14 महणज अबदलचा नफा = 3k = 3 × 14 = 42 रप सजलचा नफा = 7k = 7 × 14 = 98 रप, सोहमचा नफा = 5k = 5 × 14 = 70 रपउदा. सररताबन, आशा आदण मीनाकषी ानी परतकी 2400, 5200 व 3400 रप गतवन ववसा चाल

कला. ताना 50% नफा झाला. तो तानी कसा वाटन घावा ? तो काढन न घता पढचा वषाशचा ववसाासाठी भाडवलात दमळवला, तर परतकीची पढचा वषाशसाठी भागीदारी दकती असल ?

उकल : एकण भाडवल = 2400 + 5200 + 3400 = 11000 रप ा भाडवलावर 50% नफा झाला.

∴एकण नफा = 11000×50100

= 5500

भाडवलाचा परमाणात नफा वाटाचा आह.

दचनमची गतवणक 3y व सरमची गतवणक 2y मान. 3y + 2y = एकण गतवणक ∴5y = 130000

55y

=

1300005

∴y = 26000 ∴दचनमची गतवणक = 3y = 3 ×26000 = 78,000 सरमची गतवणक = 2y = 2 ×26000 = 52000

दचनमचा नफा 3x व सरमचा नफा 2x मान. 3x + 2x = एकण नफा

5x = 36000

55x

=

360005

∴ x = 7200 ∴दचनमचा नफा = 3x = 3 ×7200 = 21600 सरमचा नफा = 2x = 2 ×7200 = 14400

..... (5 न भागन) ..... (5 न भागन)

68

आपण दोन सखाच परमाण दोनही सखाना सामाईक दवभाजकान भागन सोप करन घतो. ताचपरमाण दोनपकषा अदधक सखाच परमाण सोप करता त. भागीदारीच परमाण = 2400 : 5200 : 3400 = 24 : 52 : 34 (100 न भागन) = 12 : 26 : 17 (2 न भागन)सररताबनचा नफा =12p, आशाचा नफा = 26p, मीनाकषीचा नफा = 17p मान.

∴12p + 26p + 17p = 55p = 5500 ∴p = 550055

= 100

∴ सररताबनचा नफा = 12 × 100 = 1200, आशाचा नफा = 26 ×100 = 2600 व मीनाकषीचा नफा = 17 ×100 = 1700, नफा काढन न घता तो भाडवलात दमळवला तर परतकीच नव भाडवल काढ. पढचा वषाशसाठी सररताबनच भाडवल = 2400 + 1200 = ` 3600 पढचा वषाशसाठी आशाच भाडवल = 5200 + 2600 = ` 7800 पढचा वषाशसाठी मीनाकषीच भाडवल = 3400 + 1700 = ` 5100

1. सरश आदण रमश ानी 144000 रप 4:5 ा परमाणात गतवन एक भखड खरदी कला. काही वषायनी तो दवकन ताना 20% नफा दमळाला, तर परतकाला दकती नफा दमळाला?

2. दवराट व समाट ानी अनकरम 50000 रप व 120000 रप गतवन ववसा चाल कला. ा ववसाात ताना 20% तोटा झाला. तर परतकाला दकती तोटा झाला ?

3. शवता, दपष आदण नदचकत ा दतघानी दमळन सोलापरी चादर व टरॉवल दवकणाचा ववसा 80000 रप गतवन सर कला. तापकी शवताच भाडवल 30000 रप होत व दपषच भाडवल 12000 रप होत. ताना वषाशखरीस 24% नफा झाला, तर नदचकतची भागीदारी

दकती होती ? नदचकतला दमळालला नफाची रककम दकती?

4. अ व ब ानी दमळालला 24500 रप नफा 3:7 ा परमाणात वाटन घतला. परतकान आपलाला दमळालला नफापकी 2% रककम सदनक कलाण दनधीला ददली, तर परतकान दकती रककम दनधीसाठी ददली ?

5*. जा, सीमा, दनकखल आदण दनलश ानी ववसाासाठी 3:4:7:6 ा परमाणात 360000 रपाची भागीदारी कली. तर जाच भाडवल दकती रप होत ? ताना ा ववहारात 12% नफा झाला. तर दनकखलचा वाटाला दकती रप दमळतील ?

qqq

�वरील उदाहरणात सररताबन, आशा व मीनाकषी ातील परतकीन नफा काढन न घता सवत:चा गतवणकीत दमळवला, तर पढचा वषायसाठी ताचा गतवणकीच परमाण काढा.



69


बक ही पशाच ववहार करणारी सरकारमान ससिा असत. बकमळ पशाच दनोजन महणज अिशदनोजन करण सोप जात. बकमध रोख रकमचा भरणा करण दकवा रोख रककम काढण असा ववहार करता तो. तासाठी बकत खात उघडाव लागत. बकमध दवदवध परकारची खाती असतात.


मिमिध खािी�चाल खाि (Current account) चाल खात मखत: वापाऱासाठी व रोज पशाच ववहार करणाऱासाठी असत. ामध खातदार एका ददवसात दकतीही वळा दवघव कर शकतो. बक ा खातासाठी पासबक व मागणी कलास चकबक दत. ा परकारचा खातावर बक वाज दत नाही. चकचा साहायान बकत पस भरता तात दकवा बकतन पस काढता तात.�बचि खाि (Savings account) खातदाराला ठरावीक रककम बकत जमा करन बचत खात उघडता त. काही बकामध काहीही रककम जमा न करता खात उघडता त. ा खातावर दररोजचा जमा दशलकचा आधार बक काही वाज दत. अनकदा ठरावीक काळामध दकती वळा पस काढता तात ावर दनबयध असतात. ा खातासाठी बक पासबक व मागणीनसार चकबक दत.�आििती ठि खाि (Recurring deposit account) ा खातामध दर मदहनाला ठरादवक रककम जमा करतात. ती दकती असावी ह बक खातदार ठरवतात. ा परकारचा ठवीवर बक वाज दत. ह वाज बचत खातापकषा जासत असत, अशा खातामळ खातदाराची सकतीची बचत होत. उपरोकत खातासाठी बकत कधी कधी स कत खात असण सोईच असत. उदा., पदत-पतनी, पालक व पाल इतादी. तसच ववसाातील भागीदारी, हाउदसग सोसाटी, सवाभावी नास इतादीसाठी बकतील खात एकाहन जासत वकतीना वापरण जररीच असत.�िदि ठि (Fixed deposit) ठवीदार ठरावीक रककम ठरावीक कालावधीसाठी बकत जमा करन ठवतो. ा परकारचा ठवीवर बक बचत खातापकषा अदधक वाजदर दत. मदत ठवीवरील वाजदर परतक बकत दभनन अस शकतो. जषठ नागररकाना दनदमत दरापकषा िोडा जासत वाजदर दमळतो. करमडट, ए.टी.एि/डमबट काडम : बकत न जाता रोख रककम दमळवणासाठी ATM (Automated teller machine) काडाशचा उपोग होतो. रोख रकमदशवा ववहार करणासाठी करदडट काडश व डदबट काडश वापरता त. ही काडष दवनतीवरन ता बकचा खातदारास दमळ शकतात.

10 बक ि सरळवाज

70


�तमही बकच पासबक पादहल आह का ? ा दठकाणी बक पासबकाच एक पान ददलल आह. तातील नोदीच दनरीकषण करा.

ओळ कर. पककत कर.

LINENO.

िारीखमदनाकDATE

िपशीलबौरा

PARTICULARS

चक करिाकचक करिाकCHEQUE

No.

रककिकाढली

मनकाली गई रकिAMOUNT

WITHDRAWN

रककिठिली

जिा की गईरकि

AMOUNT DEPOSITED

मशललकबाकी जिा

BALANCE

1. 2.2.2016 cash 1500.00 7000.002. 8.2.2016 cheque 232069 5000.00 12000.003. 12.2.2016 cheque 243965 3000.00 9000.004. 15.2.2016 self 1500.00 7500.005. 26.2.2016 interest 135.00 7635.00

�ददनाक 2.2.16 रोजी बकत जमा कलली रककम रप. दशलक रककम रप.

�ददनाक 12.2.16 रोजी चक कर. 243965 न रककम काढली. दशलक रककम रप.

�ददनाक 26.2.16 रोजी बकन वाज (interest) ददल आह. ताची रककम रप.

बचत खात व आवतवी ठव खात ासाठी पासबक असत. ता पासबकामध तारखनसार ठवलल पस, काढलल पस व दशलक ा सवायची नोद असत.

उपकरि : तमचा घरातील मोठा वकतीचा परवानगीन ताचा बकचा पासबकातील नोदीचा अिश समजन घा.


सदवदान सगणक खरदी करणासाठी द.सा.द.श. 8 दरान बककडन 30000 रप एका वषाशसाठी कजाशऊ घतल. मदत पणश झालावर घतलला रकमपकषा दतला 2400 रप जादा दाव लागल.� ा मादहतीवरन खालील चौकटीत ोग सखा दलहा.

मद दल = ` , वाजाचा दर = ` , वाज = ` , मदत = वषश

बकत परत कलली एकण रककम = 30000 + 2400 =


वरील उदाहरणात सदवदान बकत एकण दकती रककम जमा कली ह काढणासाठी मद दल व वाज ाची बरीज कली. ा रकमला रास अस महणतात.

िद दल + वाज = रास

71

उदा. नहान दचाकी वाहन घणासाठी द.सा.द.श. 12 दरान बककडन रप 50,000 कजश घतल. एका वषाशनतर ती बकस एकण दकती रककम परत दईल ?

उकल : वरील उदाहरणात मदतीनतर बकस एकण परत कलली रककम काढाची आह महणजच रास काढाची आह. ि मद दल 50000 रप आह. द.सा.द.श. 12 दरान महणज 100 रप मद दलावर 1 वषाशच वाज 12 रप आह.वाजाच मद दलाशी असलल गणोततर दोन परकारानी दलहन समीकरण दमळव.50000 रप मद दलावर दमळणार वाज x रप मान.100 रप मद दलावर दमळणार वाज 12 रप आह.

x50000 =

12100

x50000 × 50000 =

12100 × 50000 (दोनही बाजना 50000 न गण )

x = 6000(बकस परत दणाची रककम) रास = मद दल + वाज

= 50000 + 6000 ∴बकस परत दणाची रककम = ` 56000

उदा. आकाशन द.सा.द.श. 8 दरान बकत 25000 रप 3 वषायसाठी ठव महणन ठवल, तर ताला परतक वषवी दकती वाज दमळाल ? एकण दकती वाज दमळाल ?

उकल : ा उदाहरणात मद दल 25000 रप, मदत 3 वषश, वाजाचा दर शकडा 8 आह.100 रप मददलावर 8 रप वाज आह महणन 25000 रप मद दलावर 1 वषाशला x रप वाज आह, अस मान. वाजाच मद दलाशी असलल गणोततर पाह.

x25000 =

8100

∴x

25000 × 25000 = 8100 ×25000 (दोनही बाजना 25000 न गण)

∴ x = 2000

आकाशला 1 वषाशसाठी 2000 रप वाज दमळाल.आकाशला 3 वषायच एकण = 2000 × 3 = 6000 रप वाज दमळाल.

72


सरळवाजाची उदाहरण सोडवताना एका सरिाचा उपोग होतो, त सरि पाह. दरवषवी मद दल काम ठवन एकाच दरान वाजाची आकारणी होत. ता आकारणीला सरळवाजाची आकारणी महणतात. ‘म’ मद दल ‘क’ वषायसाठी ठवल आदण वाज दर दसादश ‘द’ असल तर एकण दकती वाज दमळल त काढ. ‘म’ मद दलावर 1 वषाशच वाज ‘व’ मान. 1 वषाशच वाज व मद दल ाच गणोततर पाह. आधीच उदाहरण सरिान सोडव.

∴व

म=

द

100 ∴व =

म × द

100 वरील उदाहरणात म = 25000, द = 8, क = 3

क वषाशच वाज = व ×क = म × द ×क

100 एकण वाज =

म × द ×क

100

∴एकण वाज = मद दल × दर ×काळ

100 =

25000 ×8 ×3

100

= 6000 महणन एकण वाज 6000 रप आह.


�एकण वाज = म × द ×क

100 ि म = मद दल, द = वाजाचा दर, क = मदत (वषष)

उदा. सदीपभाऊन मलाचा दशकषणासाठी द.सा.द.श. 8 12

दरान बककडन 120000 रप शकषदणक कजश 4 वषायसाठी घतल. तानी ती मदत सपली तवहा बकला एकण दकती रककम परत कली ?

उकल : ा उदाहरणात मद दल 120000 रप आह. सरि वापरन वाज काढ. म = 120000, द = 8.5, क = 4

∴एकण वाज = म × द ×क

100 = 120000 8 5 4× ×.

100

= 120000 85 4100 10

× ××

= 120 85 4× ×

= 40800 बकस परत कलली एकण रककम महणजच रास = 120000 + 40800 = 160800 रप ददल.

73

1. ररहानान 1500 रप शाळतील सचदकमध द.सा.द.श. 9 दरान 2 वषायसाठी ठवलास दतला एकण दकती रककम दमळल ?

2. जठालाल ानी बककडन द.सा.द.श. 10 दरान 2,50,000 रप 5 वषायचा मदतीन गहकजश घतल. तर ताना परतक वषवी दकती वाज दाव लागल ? तसच ताना बकला एकण दकती रककम दावी लागल?

3*. शीकातन 85,000 रप द.सा.द.श. 7

दरान 2 12

वषायसाठी ‘बचत’ बकत ठवल.

तर ताना मदतीचा शवटी दकती सरळवाज दमळाल ?

4. वाजाचा काही दरान 5000 रप मद दलावर 4 वषायत 1200 रप वाज होत, तर ताच दरान ताच मदतीत 15000 रप मद दलाच वाज दकती होईल ?

5. पकजन 1,50,000 रप द.सा.द.श. 10 दरान 2 वषायसाठी बकत ठव महणन ठवल, तर ता मदतीनतर एकण दकती रककम ताना परत दमळल ?



मद दल, मदत, दर, रास ापकी तीन बाबी ददलास चौिी बाब काढण. सरिामध शोधणाचा सखसाठी अकषर मानन समीकरण माडन उदाहरण सोडवता त.उदा. मद दल = 25000 रप, रास = 31,000 रप, मदत = 4 वषष तर वाजाचा दर दकती ? ि रास - मद दल = एकण वाज 31000 - 25000 = 6000 मद दल = 25000 रप, मदत = 4 वषष, वाज = 6000 रप,

आता आपण सरिाचा साहायान वाजाचा दर काढा. दर = द मान

सरळवाज = मद दल ×दर ×कालावधी

100

6000 = 25000 × द ×4

100

द = 6000 ×100

25000 ×4

∴द = 6 ∴ वाजाचा दर द.सा.द.श 6 रप आह.

उदा. उनमशन काही रककम 5 वषायसाठी सरळवाजान कजाशऊ घतली. वाजाचा दर द.सा.द.श. 9 आह. तान मदतीअखर एकण 17400 रप परत कल. तर तान दकती कजश घतल होत ?

वाज = मद दल ×दर ×कालावधी

100 ह सरि उदाहरण सोडवणासाठी चटकन वापरता त नाही.

74

कारण वाज व मद दल दोनही माहीत नाहीत; परत 100 रप मद दलावर 5 वषायत 45 रप वाज होत. महणन 100 + 45 = 145 रप रास होत. आता मद दल व रास ाच गणोततर दोन परकार माडन समीकरण दमळव.

उनमशच मद दल म असल तर म

17400 =

100145

∴म = 100 17400145× = 12000

∴उनमशच कजश 12000 रप होत.


�सरि वापरन नवीन परकारच समीकरण माडन ह उदाहरण सोडवता ईल का ?सरािसच 41

1. 1700 रपाच, द.सा.द.श. काही दरान, 2 वषायच वाज 340 रप त, तर वाजाचा दर श ........असल. (i) 12 % (ii) 15 % (iii) 4 % (iv) 10 %2. 3000 रपाच दवदशष दराच, दवदशष वषायच वाज 600 रप त; तर 1500 रपाच दततकाच दराच

दततकाच वषायच वाज दकती रप ईल ? (i) 300 रप (ii) 1000 रप (iii) 700 रप (iv) 500 रप3. जावदन 12000 रप द.सा.द.श. 9 दरान काही वषायसाठी बकत ठवल. तो दरवषवी वाजाची रककम काढन

घई. दकती वषायत ताला वाजासह एकण 17400 रप दमळतील?

4*. लताबन ानी गहोदोग सर करणासाठी बकतन काही रककम द.सा.द.श. 10 दरान 2 12

वषायसाठी कजाशऊ.

घतली. तानी कजश फडणासाठी एकण 10250 रप वाज ददल, तर तानी एकण दकती रककम कजाशऊ

घतली होती ?

5. खालील सारणीतील ररकामा जागा भरा.

मददल वाजाचा दर (द.सा.द.श.) मदत (काळ) वाज रास

(i) 4200 7% 3 वषष ...... ......(ii) ...... 6% 4 वषष 1200 ......(iii) 8000 5% ...... 800 ......(iv) ...... 5% ...... 6000 18000(v) ...... 2 1

2 % 5 वषष 2400 ......

उपकरि : � दवदवध बकाना परतकष भट दा व ताचा दवदवध खातावर ददल जाणार वाज जाणन घा. � शाळमध दशकषकाचा मदतीन सचदका (बचत बक) तार करा. तात खात उघडन आदिशक

बचत करा.qqq

75

11 ििमळ


�शजारील वतशळातील दरिजा, जीवा व वास ओळखा व ताची नाव खालील सारणीत दलहा.

ििमळाचा परीघ (Circumference of a circle)किी I पाणाची दडगोलाकती बाटली कागदावर ठवन तळाभोवती

वतशळ काढा. दोऱाचा साहायान वतशळाचा परीघ मोजा.किी II बागडीचा परीघ दोऱान मोजा.किी III कोणताही एका वतशळाकार वसतचा दोऱाचा साहायान

परीघ मोजा.


परीघ ि वास सबध

किी I खाली ददलला वसतच परीघ व वास मोजन पररघाच वासाशी असणार गणोततर सारणीत दलहा.

अ. कर. वसत परीघ वास पररघाच वासाशी गणोततर1. 19 समी 6 समी 19

6 = 3.16

2. ........ ........ ........

3. ........ ........ ........

सारणीवरन पररघाच वासाशी असलल गणोततर तपासा. आपणास का आढळन त ?

दरिजाजीवावास

A B

C

D

E

F

O

बागडी

वतशळाकार पालिी िाळी

बरणीच झाकण

76

कोणताही वतशळाचा पररघाच ताचा वासाशी असणार गणोततर दतपटीपकषा दकदचत जासत असन जवळपास कसिर असत. ही कसिर सखा π (पा) ा गीक वणाशकषरान दशशवली जात. ही सखा पररम सखा नाही ह

िोर गदणतजजानी पररशमान दसद ध कल आह. ववहारामध πची दकमत 227

दकवा 3.14 अशी घतली जात.

उदाहरणात π ची दकमत ददली नसल तर ती 227

अस गहीत धरतात.

दरिजा ‘r’, वास ‘d’ व परीघ ‘c’ असलास परीघ (c)वास (d)

= π महणजच c = πd

पण d = 2r ∴ c = π×2r महणजच c = 2πr

उदा. एका वतशळाचा वास 14 समी आह, उदा. एका वतशळाची दरिजा 35 समी आह, तर ताचा परीघ काढा. तर ताचा परीघ काढा.

उकल : वतशळाचा वास : d = 14 समी उकल : वतशळाची दरिजा : r = 35 समीवतशळाचा परीघ = πd वतशळाचा परीघ = 2πr

c = 227

×14 c = 2 × 227

×35 ∴वतशळाचा परीघ = 44 समी ∴वतशळाचा परीघ = 220 समी

उदा. एका वतशळाचा परीघ 198 समी आह, उदा. एका वतशळाचा परीघ 62.80 समी तर ताची दरिजा व वास काढा. आह. π= 3.14 घऊन वतशळाचा

उकल : वतशळाचा परीघ, c = 2πr वास काढा.198 = 2 × 22

7 × r उकल : वतशळाचा परीघ, c = πd

r = 198 × 12 × 722

62.80 = 3.14 × d

दरिजा = 31.5 समी 62 803 14..

= d

∴ वास = 2 × 31.5 = 63 समी 20 = d

∴ वास = 20 समी

उदा. एका वतशळाकार जागची दरिजा 7.7 मीटर आह. ता जागस तीन पदरी तारच कपण घालणासाठी परदतमीटर 50 रप परमाण दकती खचश ईल ?

उकल : वतशळाकार जागचा परीघ = 2πr = 2 × 227

×7.7 = 48.4

एकपदरी कपण घालणासाठी लागणाऱा तारची लाबी = 48.4 मीएकपदरी कपणाचा खचश = तारची लाबी × परदतमीटर दर

= 48.4 ×50= 2420 रप

∴तीनपदरी कपणाचा खचश = 3 ×2420 = 7260 रप

77

सजाती राशीच गणोततर काढताना ताची एकक समान असावी लागतात.22 दकमी = 22 ×1000 = 22000 मीटर

A BA B

A B

उदा. एका बसचा चाकाचा वास 0.7 मी आह. दोन गावामधील 22 दकमी अतर पणश करणासाठी चाकाच दकती फर होतील ?

उकल : चाकाचा परीघ = πd

= 227

×0.7

= 2.2 मी महणज चाकाचा एक फरा पणश झाला की 2.2 मी. अतर पार होत. (1 फरा = 1 परीघ)

चाकाच एकण फर = अतर परीघ

= 22000

2.2 = 220000

22 = 10000

22 दकमी अतर पणश करणासाठी बसचा चाकाच 10000 फर होतील.

सरािसच 421. खालील सारणी पणश करा.

अ.कर. दरिजा (r) वास (d) परीघ (c)

(i) 7 समी ......... .........

(ii) ......... 28 समी .........

(iii) ......... ......... 616 समी

(iv) ......... ......... 72.6 समी

2. एका वतशळाचा परीघ 176 समी आह. तर ताची दरिजा काढा.

3. एका वतशळाकार बागची दरिजा 56 मीटर आह. बागभोवती तारच चार पदरी कपण घालणासाठी परदतमीटर 40 रप परमाण दकती खचश ईल ?

4. एका बलगाडीचा चाकाचा वास 1.4 मीटर आह. ता बलगाडीला 1.1 दकलोमीटर अतर पणश करणासाठी दतचा चाकाच दकती फर होतील ?


ििमळकस (Arc of the circle)बाजला एक परकसटकची वतशळाकार बागडी दाखवली आह. समजा ही बागडी A व B दबदपाशी तटली, तर दचरिातील बागडीचा परतक तकडाला वतशळाचा सदभाशत का महणतात ?

78


सोबतचा आकतीमध जीवा AB मळ वतशळाच दोन भाग झाल आहत. तापकी कस AXB हा लहान आह, ताला लघकस महणतात आदण कस AYB हा मोठा आह, ताला मिशालकस महणतात. लघकस AXB हा कस AB असाही दलदहतात. जा दोन वतशळकसाच अतदबद सामाईक असतात आदण त दोन वतशळकस दमळन वतशळ पणश होत, त कस एकमकाच सगतकस असतात. ि कस AYB व कस AXB ह एकमकाच सगतकस आहत. सोबतचा आकतीमध जीवा RT हा वतशळाचा वास आह. वासामळ वतशळाच दोनही कस समान होतात. ताना अधमििमळकस महणतात, ह धानात घा.

A B

X

Y

Y

R T

X

O

AZ

B

कदरी कोन ि कसाच िाप (Central angle and Measure of an arc)

सोबतचा आकतीमध, वतशळकदर ‘O’ हा ∠AOB चा दशरोदबद आह. वतशळाचा कदरदबद हा जा कोनाचा दशरोदबद असतो. ता कोनाला कदरी कोन महणतात. आकतीतील ∠AOB हा कस AZB शी दनगदडत कदरी कोन आह. ििमळ कसान कलला कदरी कोनाच िाप ि ता कसाच िाप िानल जाि.�लघकसाच िाप शजारील आकतीमध ∠AOQ ा कदरी कोनाच माप 70°आह.∴ लघकस AYQ च माप 70°आह. ∴ m(कस AYQ) = 70° अस दलदहतात.

�मिशालकसाच िाप दवशालकसाच माप = 360°- सगत लघकसाच माप

∴आकतीतील दवशालकस AXQ च माप 360°- 70°= 290° आह.

A

O Q

Y

X

70°

A

O Q

YX

290°

79

A B

Y

X

O A

Geogebra Software चा उपोग करन कदरी कोन आदण कसाची दवदवध माप ाचा सहसबध move option चा उपाग करन अनभवा.

ICT Tools or Links

qqq

PX

Q R

Y

O

�ििमळाच िाप आकतीत दाखवलापरमाण वतशळाची OA ही दरिजा घडाळाचा काटाचा दवरदध ददशन पणश कोनातन दफरत. ता वळी होणारा कोन 360°मापाचा आह. दतच A ह टोक एक वतशळ पणश करत. वतशळान कलला कदरी कोन 360°आह. ∴ पणश वतशळाच माप 360° असत.

�अधमििमळकसाच िाप आता, आकतीवरन अधशवतशळ कस AXB व अधशवतशळकस AYB ाची माप ठरवा.


�लघकसाच माप ह ताचा सबदधत कदरी कोनाचा मापाएवढ असत.�दवशालकसाच माप = 360°- सगत लघकसाच माप �अधशवतशळकसाच माप 180°असत.


1. अचक पाश दनवडा. जर कस AXB व कस AYB ह एकमकाच सगतकस असतील आदण m(कस AXB) = 120° तर

m(कस AYB) = दकती ? (i) 140° (ii) 60° (iii) 240° (iv) 160°

2. ‘O’ कदर असलला वतशळात काही कस दाखवल आहत. तापकी वतशळामधील लघकस, दवशालकस व अधशवतशळकस ाची नाव दलहा.

3. O कदर असलला वतशळात लघकस PXQ च माप 110°आह, तर दवशालकस PYQ च माप काढा.

o

80

12 पररमििी ि कषरिफळ


पररमििी (Perimeter)

बददसत आकतीचा सवश बाजचा लाबीची बरीज महणज ता अाकतीची पररदमती असत.बहभजाकतीची पररदमती = दतचा सवश बाजचा लाबीची बरीज.

∴ चौरसाची पररदमती = 4 ×बाज आताची पररदमती = 2 लाबी + 2 रदी a बाज असलला चौरसाची पररदमती = 4a लाबी l आदण रदी b असलला आताची पररदमती= 2l + 2b

उदा. एका अाताची पररदमती 64 समी आह. ताची लाबी 17 समी असल, तर रदी दकती असल ?उकल : आताची रदी x समी मान.

2 लाबी + 2 रदी = पररदमती 2 (लाबी + रदी) = 64

2 (17 + x) = 642 17

2+( )x = 64

2

17 + x = 32 x = 15

आताची रदी 15 समी आह.

उदा. लाबी 28 समी व रदी 20 समी असलला एकाआताची पररदमती एका चौरसाचा पररदमती

एवढी आह. तर ता चौरसाची बाज दकती ?उकल : आताची पररदमती = 2 (लाबी + रदी)

= 2 (28 + 20) = 96

चौरसाची बाज a असल तर 4a = 96

चौरसाची पररदमती = 96 4a = 96

∴ a = =964

24

चौरसाची बाज 24 समी आह.

10 मी

15 म

ी

5 मी

15 म

ी

सरािसच 441. एका आताची लाबी व रदी दपपट कली, तर ता आताची पररदमती मळ आताचा पररदमतीचा दकती पट

होईल ?2. एका चौरसाची बाज दतपपट कली, तर ताची पररदमती मळ चौरसाचा पररदमतीचा दकती पट होईल?

3. शजारी मदानाची अाकती ददली आह. तामध बाजचालाबीची माप ददली आहत. तावरन मदानाची पररदमतीकाढा.

4. एक मीटर लाबीचा चौरसाकती कापडाचा तकडा घऊन आकतीतदाखवलापरमाण चार समान आकाराच रमाल कल. सवश रमालानाबाजन लस लावणासाठी दकती लाबीची लस लागल ?

81

100 समी = 1 मी

25 समी = 25100 मी


कषरिफळ (Area)

�चौरसाच कषरिफळ = बाज ×बाज = (बाज)2

�आताच कषरिफळ = लाबी ×रदी = l ×b कषरिफळ ह चौरस मीटर, चौरस समी, चौरस दकमी इतादी एककात मोजतात.किी I खो-खो, कबडी ा खळासाठी आखलली पटागण, टदनस कोटश, बरडदमटन कोटश ापकी शक असल ताची लाबी व रदी मोजा. पररदमती व कषरिफळ काढा.

किी IIअदनरद धचा घराचा एका दभतीला नवा रग दाचा आह. दभतीची लाबी 7 मीटर व उची 5 मीटर

आह. रगाऱान रग दणाचा दर परदतचौरस मीटर 120 रप सादगतला, तर ताला रगाऱाला दकती रप दाव लागतील ह ठरवा.

उदा. एका 40 मीटर लाब व 30 मीटर रद अशा एका आताकती बागचा आत कपणालगत बागभोवती 2 मीटर रदीचा रसता कराचा आह. ता रसतावर 25 समी × 20 समी आकाराचा फरशा बसवाचा आहत तर अशा दकती फरशा आणावा लागतील ?

फरशा बसवणाचा भागाच कषरिफळ काढ.बागच कषरिफळ = 40 ×30 = 1200 चौमी

रसता सोडन आतील बागच कषरिफळ = 36 ×26 = 936 चौमी∴ फरशा बसवणाचा भाग = 1200 - 936 = 264 चौमी

परतक फरशीच कषरिफळ = 25100 ×

20100 =

120 चौमी

एका फरशीच कषरिफळ 120 चौमी तर 264 चौमी जागत बसणाऱा फरशाची सखा काढ.

फरशाची सखा =

= 264 ÷ 120

= 264 ×20 = 5280महणन 5280 फरशा आणावा लागतील.

जागच एकण कषरिफळएका फरशीच कषरिफळ

2

2

40

30

मी

मी

मी

मी

82

उदा. एका आताकती करीडागणाची लाबी 65 मीटर व रदी 30 मीटर आह. ता करीडागणालगत बाहरन चारही बाजना 1.5 मीटर रदीचा रसता आह. ता रसताच कषरिफळ काढा.

उकल ः उदाहरणात करीडागणाचा आकार आताकती आह. समजा ABCD ह करीडागण आह. ताभोवती 1.5 मीटर रदीचा रसता आह.

ABCD चा सवश बाजनी 1.5 मीटर अतर ठवलावर PQRS हा आत दमळतो. आत PQRS ची लाबी = 65 + 1.5 + 1.5 = 68 मीटरआत PQRS ची रदी = 30 + 1.5 + 1.5 = 33 मीटर

रसताच कषरिफळ = आत PQRS च कषरिफळ - आत ABCD च कषरिफळ= 68 × 33 - 65 × 30 = - = चौरस मीटर


� वरील उदाहरणातील रसताच कषरिफळ वगळा ररतीन काढता ईल का ?

उदा. एका मोबाइलची लाबी 13 समी व रदी 7 समी आह. तावरील PQRS हा सकरीन आकतीत दाखवलापरमाण आह.तर सकरीनच कषरिफळ दकती ?

उकलः मोबाइलचा कडानी तार झालला आत ABCD मान. ताची लाबी 13 समी व रदी 7 समी आह. AB, BC व DC चा बाजन 1.5 समी अतर सोडल व DA चा बाजन 2 समी अतर सोडल तर तार होणारा आत PQRS मान.

आत PQRS ची लाबी = समीआत PQRS ची रदी= समी

सकरीनच कषरिफळ = आत PQRS च कषरिफळ = .... × .... = चौसमीकिी

वगवगळा आकाराच मोबाइल पाहा. ताचावर बसवलला सकरीनच कषरिफळ काढा.

P Q

S R

A B

D C

30 मी

65 म

ी

1.5 मी

13 स

मी

7 समी

P Q

S R

A

B

D

C1.5 समी

2 समी

1.5

समी

1.5

समी

सरािसच 451. एका चौरसाची बाज 12 समी असलास, ता चौरसाच कषरिफळ काढा.2. एका आताची लाबी 15 समी आदण रदी 5 समी असलास ता आताच कषरिफळ काढा.3. एका आताच कषरिफळ 102 चौसमी आह. आताची लाबी 17 समी आह, तर आताची पररदमती दकती?4*. एका चौरसाची बाज दतपपट कली तर, ताच कषरिफळ मळ चौरसाचा कषरिफळाचा दकती पट होईल ?

83

आकिी 1: दबद M, रख QR वर आह. आकिी 2: दबद M, रख QR चा बाहर आह.

p p

q

q

∆PMR व ∆PMQ काटकान दरिकोण आहत.

A(∆PQR) = A (∆PMQ) + A(∆PMR)

= 12

× l(QM)×l(PM) + 12

×l(MR) ×l(PM)

= 12

[l(QM) + l(MR)] × l(PM)

= 12

l(QR) × l(PM)

= 12

× पाा × उची

A(∆PQR) = 12


∆PMR व ∆PMQ काटकान दरिकोण आहत.

A(∆PQR) = A(∆PMR) - A (∆PMQ)

= 12

×l(MR) ×l(PM) - 12

× l(MQ)×l(PM)

= 12

[l(MR) - l(MQ)] × l(PM)

= 12× l(QR) × l(PM)

= 12


A(∆PQR) = 12


P

QRM

उची

पाा

P

Q RM

उची

पाा

काटकोन मरिकोणाच कषरिफळ (Area of right angled triangle)किी एकाच मापाच दोन काटकोन दरिकोण कापन घा. त आकतीत दाखवलापरमाण जोडा. एक आत तार

होतो ह अनभवा. दरिकोणाचा काटकोन करणाऱा बाज p व q ा लाबीचा आहत व आताचाही ताच बाज आहत. आकतीवरन ददसत की, आताच कषरिफळ = 2 × काटकोन दरिकोणाच कषरिफळ

∴ 2 ×काटकोन दरिकोणाच कषरिफळ = p ×q

∴ काटकोन दरिकोणाच कषरिफळ = p ×q

2


� काटकोन दरिकोणाच कषरिफळ = 12 ×काटकोन करणाऱा बाजचा लाबीचा गणाकार

काटकोन दरिकोणात काटकोन करणाऱा दोन भजापकी एक भजा पाासाठी मानली तर काटकोन करणारी दसरी भजा ा वळी उची असत.

काटकोन दरिकोणाच कषरिफळ = 12 पाा × उची

∆ABC हा कोणताही दरिकोण असल तर पाासाठी कोणतीही एक बाज घतात. ता बाजचा समोरील दशरोदबदपासन पाावर टाकलला लबाच माप ही ता दरिकोणाची उची असत.

∆PQR ा कोणताही दरिकोणात QR हा पाा घतला. P पासन QR ा पाावर PM हा लब काढला.


84

दरिकोणाच कषरिफळ = 12


उदा. एका काटकोन दरिकोणाचा काटकोन करणाऱाबाज 3.5 समी व 4.2 समी आहत, तर ता दरिकोणाच कषरिफळ काढा.

उकलः काटकोन दरिकोणाच कषरिफळ = 12

×काटकोन करणाऱा बाजचा लाबीचा गणाकार

= 12

×3.5 ×4.2

= 7.35 चौसमी

उदा. एका दरिकोणाचा पाा 5.6 समी व उची 4.5 समी आह, तर ता दरिकोणाच कषरिफळ दकती ?

उकलः दरिकोणाच कषरिफळ = 12

×पाा ×उची

= 12

×5.6 ×4.5

= 12.6 समी2

(चौसमी ह समी2 असही दलदहतात.)

1. एका ददनददशशकचा पानाची लाबी 45 समी व रदी 26 समी आह, तर ता पानाच कषरिफळ दकती ?2. एका दरिकोणाची उची 3.6 समी व पाा 4.8 समी आह, तर ता दरिकोणाच कषरिफळ दकती ?3. एका आताकती भखडाची लाबी 75.5 मीटर व रदी 30.5 मीटर आह. ताचा दर 1000 रप चौरस

मीटर असलास, ता भखडाची दकमत दकती ?4. आताकती सभागहाची लाबी 12 मीटर व रदी 6 मीटर आह. ा खोलीत 30 समी बाज असलला

चौरसाकती फरशा बसवाचा आहत; तर सपणश सभागहात दकती फरशा बसतील ? ा उदाहरणातीलचौरसाकती फरशा 15 समी बाजचा घतला तर दकती फरशा लागतील ?

5. शजारील आकतीत दाखवलापरमाण माप असलला बागची पररदमती व कषरिफळ काढा.

A B

CD

EF

G Hlb

h

h

पषठफळ (Surface area)कोणतािी मरिमििी िसिचा सिम पषठभागाचा कषरिफळाची बरीज मिणज ता िसिच पषठफळ असि.

�इकषटकामचिीच पषठफळ �इकषकादचतीला सहा पषठ असतात. �परतक पषठ आताकार असत.

�समोरासमोरील आताकार पषठाच कषरिफळ समान असत. �परतक कड दतला जोडणाऱा इतर दोन कडाना लब असत.

�इकषकादचतीचा आडवा पषठाची लाबी l न व रदी b न दाखव. उभा पषठाची उची h न दाखव.




85

आत ABCD च कषरिफळ = आत GHEF च कषरिफळ = लाबी × रदी = l ×bआत ADGF च कषरिफळ = आत BCHE च कषरिफळ = रदी × उची = b ×hआत CHGD च कषरिफळ = आत ABEF च कषरिफळ = लाबी × उची = l ×hइकषकादचतीच एकण पषठफळ = सवश आताचा कषरिफळाची बरीजइकषकादचतीच एकण पषठफळ = 2 (लाबी × रदी + रदी × उची + लाबी × उची)

= 2 (l ×b + b ×h + l ×h) = 2 (lb + bh + lh)�घनाच पषठफळ�घनाला 6 पषठ असतात.�परतक पषठ चौरसाकार असत.�सवश पषठाच कषरिफळ समान असत.�चौरसाची बाज l मान.�घनाचा एका पषठाच कषरिफळ = चौरसाच कषरिफळ�घनाच एकण पषठफळ = 6 चौरसाचा कषरिफळाची बरीज

= 6 ×बाज2

= 6 × l 2

उदा. लाबी 1.5 मीटर, रदी 1.2 मीटर व उची 1.3 मीटर अशी माप असलली पताची इकषकादचती आकाराची बद पटी तार कराची असलास तास दकती परिा लागल ?

उकल : पटीची लाबी = l = 1.5 मीटर, रदी = b = 1.2 मीटर, उची = h = 1.3 मीटरपटीच पषठफळ = 2 (l ×b + b ×h + l ×h) = 2 (1.5 ×1.2 + 1.2 ×1.3 + 1.5 ×1.3)

= 2 (1.80 + 1.56 + 1.95) = 2 (5.31) = 10.62 चौमी.

पटी तार करणासाठी एकण 10.62 चौमी परिा लागल.

उदा. एका घनाकती पटीची बाज 0.4 मी आह. ता पटीला बाहरन रग दणासाठी दर चौरस मीटरला 50 रप परमाण दकती खचश ईल ?

उकल : बाज = l = 0.4 मीटरघनाच एकण पषठफळ = 6 × (l)2

= 6 × (0.4)2

= 6 ×0.16 = 0.96 चौमी 1 चौमी रगवणाचा खचश 50 रप.

∴ 0.96 चौमी रगवणाचा खचश = 0.96 ×50= 48 रप

पटी रगवणासाठी 48 रप खचश ईल.

h

bl

86

qqq

गमणिी गििकाही तीन अकी सखा अशा असतात की, तातील अकाचा जो गणाकार ईल

तान ता सखस भाग जातो.उदा. (i) 175 ही सखा घा, 1 × 7 × 5 = 35, 175

355=

(ii) 816 ही सखा घा, 8 × 1 × 6 = 48, 81648

17=

(iii) 612 ही सखा घा, 6 × 1 × 2 = 12, 61212

51=

ापरमाण 135, 312,672 ा सदधा सखा आहत.अशा आणखी काही सखा शोधा.


1. घनाचा बाज खालीलपरमाण असलास ताच एकण पषठफळ काढा.(i) 3 समी (ii) 5 समी (iii) 7.2 मी (iv) 6.8 मी (v) 5.5 मी

2. खाली इकषकादचतीची लाबी, रदी व उची अनकरम ददलली आह, तावरन ताच एकण पषठफळ काढा.(i) 12 समी, 10 समी, 5 समी. (ii) 5 समी, 3.5 समी, 1.4 समी.(iii) 2.5 समी, 2 मी, 2.4 मी. (iv) 8 मी, 5 मी, 3.5 मी.

3. एका आगपटीची लाबी 4 समी, रदी 2.5 समी व उची 1.5 समी आह. ता आगपटीला बाहरन रगीतकागद ततोतत दचकटवाचा आह, तर एकण दकती कागद लागल ?

4. बागतला पालापाचोळा टरॉलीवरन वाहन नणासाठी झाकण नसलली पताची पटी तार कराची आह. दतचीलाबी 1.5 मीटर, रदी 1 मीटर व उची 1 मीटर आह. तासाठी एकण दकती परिा लागल ? ती पटी आतन वबाहरन गजदवरोधक रगान रगवाची आह, तर 150 रप परदतचौरस मीटरपरमाण ती पटी रगवणास दकतीखचश ईल ?

87

13 पारागोरसचा मसद धानि


काटकोन मरिकोण (Right angled triangle) जा दरिकोणाचा एक कोन काटकोन असतो, ता दरिकोणास काटकोन दरिकोण महणतात आदणता काटकोनासमोरील बाजला कणश महणतात, ह आपणास माहीत आह.�खालील काटकोन दरिकोणातील कणायची नाव दलहा.

∆ABC चा कणश ∆LMN चा कणश ∆XYZ चा कणश

पारागोरसचा मसद धानि (Theorem of Pythagoras)

पािागोरस हा िोर गीक गदणती करिसतपवश सहावा शतकात होऊन गला. गदणत दवषातील ताच ोगदान खप मोठ आह. गदणत दशकवणाची ताची हातोटी दवलकषण लोकदपर होती. तान अनक दशष तार कल. काटकोन दरिकोणासबधीचा एक दसद धानत फार पववीपासन अनक दशातील लोकाना माहीत होता. भारतातील शलवसरि ा गिातही तो आह. ता दसद धानताची दसद धता पािागोरसन परिम ददली महणन ताच नाव ता दसद धानताला ददल गल. काटकोन मरिकोणाि कणामचा िगम िा इिर दोन बाजचा िगााचा बरजइिका असिो. हा तो पािागोरसचा दसद धानत आह.

किी कणश आदण काटकोन करणारी एक भजा ददली असता खालील कचचा आकतीतील मापापरमाण काटकोन दरिकोण काढा. दतसऱा भजची लाबी मोजा. पािागोरसचा दसद धानताचा पडताळा घा.

(i) (ii) (iii)

A

B C

5

3

P

Q

R

6

10

A

B C

L

M

N Y

X

Z

X

Z

Y

17

15

88

जािन घऊया.

सोबचा आक ीवरन, पाथागोरसचा वसद धान खालीलपरमाण वलवा. ∆ABC मध ∠B काटकोन असल र, [l(AC)]2 = [l(AB)]2 + [l(BC)]2 साधारणपण काटकोन वतकोणा काटकोन करणाऱा बाजतपकी एक बाज पाा मणन घा व दसरी बाज उतची मणन घा. मग ा वसद धान (कित)2 = (पाया)2 + (उची)2. असा वलवा.

पाथागोरसचा णसद धानताचा पडताळा घणासाठी खालील की करा.कती एका काडवशीटच समान मापाच 8 काटकोन वतकोण कापा. ताचा भजा कोणताी लातबीचा अस शका. ता वतकोणाचा कणव ‘a’ एकक, काटकोन करणाऱा बाज ‘b’ एकक व ‘c’ एकक आ, अस मान.

ता वतकोणाच कषतफळ bc2 आ, लकषा घा.

आा वगळा काडवशीटवर (b + c) एकक बाज असणार दोन चौरस पननसलन काढा. आक ी दाखवलापरमाण आधी कापलला 8 वतकोणातपकी 4 वतकोण चौरस ABCD मध ठवा आवण रावलल 4 वतकोण अाकीमध दाखवलापरमाण चौरस PQRS मध ठवा. वतकोणातनी झाकलल भाग रखातवक करा.

आकी (i) आकी (ii)

आकतातच वनरीकषण करा. आकी (i) मध ररकामा जाग जाची बाज ‘a’ आ असा चौरस ार झाला आ. आकी (ii) मध ररकामा जाग ‘b’ व ‘c’ बाज असलल दोन चौरस ार झाल आ. दोनी चौरसातमध रखातवक कलला भाग समान मणज चार काटकोन वतकोणातचा कषतफळाइका आ. आकी (i) मध चौरस ABCD च कषतफळ = a2 + 4 ×काटकोन वतकोणातच कषतफळ

= a2 + 4 ×12 bc

= a2 + 2bc

A

B C

उतची

पाा

कणव

a

b

c

A B

CD

a a

a a

b

b

b

b

c

c

c

P Q

S R

b

b

b

b c

c

c

c

c

89

आकती (ii) मध चौरस PQRS च कषरिफळ = b2 + c2 + 4 ×काटकोन दरिकोणाच कषरिफळ

= b2 + c2 + 4 ×12 bc

= b2 + c2 + 2bcचौरस ABCD च कषरिफळ = चौरस PQRS च कषरिफळ

∴ a2 + 2bc = b2 + c2 + 2bc ∴a2 = b2 + c2


� आकती (i) मध ररकामा चौकोनाचा परतक कोन काटकोन आह, ह कोनमापकादशवा पडताळन पाहता ईल का ?

किी एका काडशशीटवर 3 समी, 4 समी व 5 समीचा मापाचा एक काटकोन दरिकोण काढा. परतक बाजवर चौरसाची रचना करा. परतक चौरसाच कषरिफळ काढन पािागोरसचा दसद धानताचा पडताळा घा.

पािागोरसचा दसद धानत वापरन काटकोन दरिकोणाचा दोन बाज ददलास दतसरी बाज काढता त.उदा. ∆ABC मध ∠C = 90°, l(AC) = 5 समी आदण l(BC) = 12 समी, तर l(AB) = दकती?उकल : काटकोन दरिकोण ABC मध∠C = 90° महणन बाज AB हा कणश आह. पािागोरस दसद धानतानसार,

l(AB)2 = l(AC)2 + l(BC)2

= 52 + 122

= 25 + 144∴ l(AB)2 = 169∴ l(AB)2 = 132

∴ l(AB) = 13∴ रख AB ची लाबी = 13 समी

B

C A

12

5

A

B C

90

L

M N7

24

xQ

PR

9

41

x E D

F8

x

17

सरािसच 481. खालील आकता पाहा व ‘x’ ची दकमत काढा.

(i) (ii) (iii)2. काटकोन ∆PQR मध ∠P = 90° जर l(PQ) = 24 समी आदण l(PR) = 10 समी, तर

रख QR ची लाबी काढा.3. काटकोन ∆LMN मध ∠M = 90° जर l(LM) = 12 समी आदण l(LN) = 20 समी, तर

रख MN ची लाबी काढा.

4. 15 मी लाबीची एक दशडी जदमनीपासन 9 मीटर उचीवरील एका कखडकीपाशी पोहचत, तर दभतीचा पााव दशडीच खालच टोक ामधील अतर काढा.


नसदगशक सखाचा दरिकटामध जर मोठा सखचा वगश हा इतर दोन सखाचा वगायचा बरजइतका असल तर ताला पारागोरसच मरिकट महणतात. जा दरिकोणाचा भजाची लाबी अशा दरिकटातील सखानी दशशवली जात तो दरिकोण काटकोन दरिकोण असतो.उदा. (7,24,25) हा सखा समह पािागोरसच दरिकट आह का ?

7, 24, 25 ातील परतक सखचा वगश कर.72 = 49, 242 = 576, 252 = 625∴49 + 576 = 625∴72 +242 = 252

∴7, 24 व 25 ह पािागोरसच दरिकट आह.उपकरि : 1 त 50 ा सखासमहातील सखा पाहा व तामधील पािागोरसची दरिकट शोधा.

सरािसच 491. पढ काही दरिकट ददली आहत, तातील पािागोरसच दरिकट ठरवा.

(i) 3, 4, 5 (ii) 2, 4, 5(iii) 4, 5, 6 (iv) 2, 6, 7(v) 9, 40, 41 (vi) 4, 7, 8

2. खाली काही दरिकोणाचा बाज ददला आहत, तावरन कोणत दरिकोण काटकोन दरिकोण आहत, तओळखा.(i) 8, 15, 17 (ii) 11, 12, 15 (iii) 11, 60, 61 (iv) 1.5, 1.6, 1.7(v) 40, 20, 30

qqq

91

14 बमजक सरि - िगम मिसिार

शजारील आकतीत आत ABCD दाखवला आह. ा आताची लाबी y एकक आह व रदी (2x) एकक आह. ा आताकती तकडातन x एकक बाज असलला चौरस कापन घतला. रगीत भागाच कषरिफळ काढणासाठी बदजक राशीवरील दकराचा वापर करता ईल.आत ABCD च कषरिफळ ह A( ABCD) अस दलह.

रगीत भागाच कषरिफळ = A( ABCD) - A( MNCP) = 2xy - x2

रगीत भागाच कषरिफळ = A( ASPD) + A( SBNM) = (y - x) ×2x + x2

= 2xy - 2x2 + x2

= 2xy - x2


िगममिसिार बदजक राशीचा गणाकार करन दमळालली राशी ही ता गणाकाराचा दवसतार असतो. दवदशष परकारचा राशीच दवसतार एकदम दलदहता ाव ासाठी सरि तार कली जातात. तापकी काही सरि आपण पाह.

�शजारील आकतीत PQRS ा चौरसाची बाज (x + y) आह.

∴A ( PQRS) = (x + y)2

PQRS हा चौरस I, II, III, IV अशा आतामध दवभागला आह. PQRS ा चौरसाच कषरिफळ ह आत I, II, III, IV ाचा कषरिफळाची बरीज आह.

∴A ( PQRS) = A (आत I) + A (आत II) + A (आत III) + A (आत IV) (x + y)2 = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2

∴ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

आता (x + y)2 हा बदजक राशीचा गणाकार कर. (x + y) (x + y) = x (x + y) + y (x + y)

= x2 + xy + yx + y2 ∴ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y) ा द दवपदीचा वगश करन अालली बदजक राशी ही कषरिफळाचा मापनावरन दमळालला राशीएवढी आह. ∴ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ह द दवपदीचा वगशदवसताराच सरि आह.

P

S

Q

RIV

III

III

x

x

x

x

yy

y

y

किी I


A

C

B

D

2x M

P

N

Sx

xx

y

92

किी II शजारील आकतीत PQRS हा a बाज असलला चौरस असन ताच 4 आतात दवभाजन कल आह.जस (a - b) बाजचा चौरस, b बाजचा चौरस व (a - b) आदण b बाज असलल 2 आत. A (चौरस I) + A (आत II) + A (आत III) + A (चौरस IV) = A ( PQRS) (a - b)2 + (a - b) b + (a - b) b + b2 = a2

(a - b)2 + 2ab - 2b 2 + b2 = a2

(a - b)2 + 2ab - b2 = a2

∴(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

बदजक राशीचा गणाकार करन सरि तार कर. (a - b)2 = (a - b) × (a - b) = a (a - b) - b (a - b) = a2 - ab - ab + b2

= a2 - 2ab + b2


�(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 �(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

वगश दवसतार सरिामध a आदण b साठी कोणताही सखा घतलास त पडताळता त.जस a = 5, b = 3 घतलास.

P

S

Q

R

IV

III

III

a

a-b b

(a + b)2 = (5 + 3)2 = 82 = 64a2 + 2ab + b2 = 52 + 2 × 5 × 3 + 32

= 25 + 30 + 9 = 64

(a - b)2 = (5 - 3)2 = 22 = 4a2 - 2ab + b2 = 52 - 2 × 5 × 3 + 32

= 25 - 30 + 9 = 4

खालील दकमती घऊन वगश दवसतार सरि पडताळा. (i) a = - 7 , b = 8 (ii) a = 11 , b = 3 (iii) a = 2.5 , b = 1.2मिसिार करा.उदा. (2x + 3y)2 उदा. (5x - 4)2

= (2x)2 + 2(2x) × (3y) + (3y)2 = (5x)2 - 2(5x) × (4) + 42

= 4x2 + 12xy + 9y2 = 25x2 - 40x + 16उदा. (51)2 उदा. (98)2

= (50 + 1)2 = (100 - 2)2

= 502 + 2 ×50 ×1 + 1 × 1 = 1002 - 2 ×100 × 2 + 22

= 2500 + 100 + 1 = 10000 - 400 + 4 = 2601 = 9604

93

* (a + b) (a - b) चा मिसिार(a + b) (a - b) = (a + b) × (a - b)

= a (a - b) + b (a - b)= a2 - ab + ba - b2

= a2 - b2

(a + b) (a - b) = a2 - b2

(a + b) (a - b) = a2 - b2



सरािसच 501. दवसतार करा.

(i) (5a + 6b)2 (ii) a b2 3

2

+

(iii) (2p - 3q)2 (iv) x

x−

2 2

(v) (ax + by)2 (vi) (7m - 4)2 (vii) x +

12

2

(viii) a a−

1 2

2. (8 - 1x

) ा द दवपदीचा वगश खालीलपकी कोणता ? ोग पाश दलहा.

(i) 64 - 12x(ii) 64 + 12x

(iii) 64 - 16x

+ 12x (iv) 64 + 16

x +

12x

3. m2n2 + 14mnpq + 49p2q2 हा वगश दवसतार खालीलपकी कोणता राशीचा आह ?

(i) (m + n) (p + q) (ii) (mn - pq) (iii) (7mn + pq) (iv) (mn + 7pq)

4. दवसतार सरिाचा उपोग करन दकमत काढा.(i) (997)2 (ii) (102)2 (iii) (97)2 (iv) (1005)2

उदा. (3x + 4y) (3x - 4y) = (3x)2 - (4y)2 = 9x2 - 16y2

उदा. 102 ×98 = (100 + 2) (100 - 2) = (100)2 - (2)2 = 10000 - 4 = 9996

सरािसच 511. दवसतार सरि वापरन खालील गणाकार दलहा.

(i) (x + y) (x - y) (ii) (3x - 5) (3x + 5)

(iii) (a + 6) (a - 6) (iv) x56+

x

56−

2. दवसतार सरिाचा उपोग करन दकमत काढा.(i) 502 ×498 (ii) 97 ×103 (iii) 54 ×46 (iv) 98 ×102

94


बमजक राशीच अिि पाडण. आपण पणश सखाच अवव पाडाला दशकलो आहोत. आता बदजक राशीच अवव पाडणाची दकरा पाह.परिम एकपदीच अवव पाह.

15 = 3 ×5 महणज 3 व 5 ह 15 च अवव आहत.तसच 3x = 3 × x महणज 3 व x ह 3x च अवव आहत.

5t2 ही राशी पाहा. 5t2 = 5 × t2 = 5 × t × t1, 5, t, t2, 5t, 5t2 ह सगळ 5t2 च अवव आहत.6 ab2 = 2 ×3 × a × b × b

एकपदीच अवव पाडताना परिम सहगणकाच अवव पाडता आल तर पाडावत, नतर चलभागाच अवव पाडावत.

सरािसच 52¤खालील राशीच सवश अवव सट करन राशी गणाकार रपात दलहा.

(i) 201 a3 b2 (ii) 91 xyt2 (iii) 24 a2 b2 (iv) tr2s3


द मिपदीच अिि पाडण 4xy + 8xy2 ा द दवपदीतील परतक पदाच 4 x आदण y ह अवव आहत.∴ 4xy + 8xy2 = 4(xy + 2xy2) = 4x (y + 2xy) = 4xy (1 + 2y) दोनही पदाच सामाईक अवव शोधन त कसाबाहर गणाकाराचा रपात दलहीत गल, की द दवपदीच अवव पाडता तात. 9a2bc + 12abc2 = 3(3a2bc + 4abc2) = 3abc (3a + 4c) ापरमाण अवव पाडता तात. (a + b) (a - b) = a2 - b2 ह सरि आपलाला माहीत आह. ावरन, a2 - b2 = (a + b) (a - b) असही अवव दमळतात. अवव पाडा.उदा. a2 - 4b2 = a2 - (2b)2 उदा. 3a2 - 27b2 = 3(a2 - 9b2)

= (a + 2b) (a - 2b) = 3(a + 3b) (a - 3b)

सरािसच 53¤ खालील राशीच अवव पाडा.

(i) p2 - q2 (ii) 4x2 - 25y2 (iii) y2 - 4 (iv) p2 - 125

(v) 9x2 - 116

y2 (vi) x2 - 12x(vii) a2b - ab (viii) 4x2y - 6x2

(ix)12

y2 - 8z2 (x) 2x2 - 8y2

qqq

95

सरासरी

15 साकखकी

िार सोििार िगळिार बधिार गरिार शकरिार शमनिार

मिमनट 20 20 22 18 18 20

1 दकमी = 1000 मीटर1.5 दकमी = 1500 मीटर

सहा दवदारायच घर व शाळा ामधील अतराची बरीज

एकण दवदािवीसरासरी =

950 + 800 + 700 + 1500 + 1000 + 750

657006

= = 950 मी

अकसमताला रोज घरापासन साकलन शाळत जाणासाठी दकती दमदनट लागतात त ददल आह.अकसमताला सोमवार त शदनवार साकलन शाळत जाणासाठी लागलला वळ खालील सारणीत ददला आह.

ावरन अस ददसत की कधी दतला 18 दमदनट लागतात, कधी 22 दमदनट लागतात, तर कधी 20 दमदनट लागतात. शाळचा 6 ददवसाचा दवचार कला तर दतला शाळत जाणासाठी दररोज अदाज दकती दमदनट लागतात ? गदणतात असा अदाज करणासाठी सरासरी काढतात. ि 6 ददवसाचा दमदनटाची बरीज करन ता बरजला 6 न भागल तर जी सखा दमळत ती अदाज रोज लागणारी वळ असत. ती ा सवश सखाची सरासरी आह.

सरासरी = सहा ददवसातील शाळत जाणासाठी लागणाऱा दमदनटाची बरीज

एकण ददवस

= 20 + 20 + 22 + 18 + 18 + 20

6= 1186 = 19

23

अकसमताला शाळत जाणासाठी सरासरी 19 23 दमदनट एवढा वळ रोज लागतो.

उदा. एका शाळन, दवदारायच घर शाळपासन दकती दर आह ह जाणन घणासाठी सवषकषण कल. तापकी खाली सहा दवदारायच ताचा घरापासन शाळपयतच अतर ददल आह. ता अतराची सरासरी काढ.950 मी, 800 मी, 700 मी, 1.5 दकमी, 1 दकमी, 750 मी.

उकल : दवदारायचा घरापासन शाळप यतचा अतराची सरासरी काढणाकररता सवश अतर एकाच एककात मोजावी लागतात.

=

शाळतील दवदारायच घर व शाळा ामधील अतराची सरासरी 950 मीटर आह.


96

1. एका शहरामध एका आठवडात पडलला पाऊस दममी मध ददला आह. तावरन आठवडाची पावसाची सरासरी काढा.

9, 11, 8, 20, 10, 16, 122. शाळचा सनहसमलनामध सवदसद धा मदहला

बचत गटान आपला खादपदािायचा सटरॉल लावला होता. दर तासाला झालली दवकरी ` 960, ` 830, ` 945, ` 800, ` 847, ` 970 ापरमाण आह. तर ताशी सरासरी दकती रपाची दवकरी झाली ?

3. दवदभाशत 5 वषायत पडलला पावसाची नोद खाली दाखवली आह. तावरन पावसाची 5 वषायतील सरासरी काढा.

900 दममी, 650 दममी, 450 दममी, 733 दममी, 400 दममी4. एका शतकऱान पशखादाची पोती आणली.

ताची वजन दक.गर मध खाली ददली आहत. तर पोताच सरासरी वजन काढा.

49.8, 49.7, 49.5, 49.3, 50, 48.9, 49.2, 48.8


उदा. एका आठवडात सातही ददवस दोरीचा उडाचा सराव ऋतजा करत होती. परतक ददवशी एका दमदनटात दतन मारलला उडाची सखा खाली ददली आह. 60, 62, 61, 60, 59, 63, 58

सरासरी = सात ददवसात मारलला उडाची बरीज

एकण ददवस

= 7

+ + + + + + =

एका दमदनटात मारलला उडाची सरासरी = 60.42

जा सखबद दल मादहती हवी, दतच जवढ नमन आपलाला ददलला सामगीत दमळतात, ताना परापताक महणतात. आपण जाणतो की, दोरीचा उडा नसदगशक सखामध मोजतात. कोणताही ददवशी अपणायकात उडा मारलला नसतात. पण सरासरी अपणायकात ऊ शकत.


सरासरी = ददलला मादहतीमधील सवश परापताकाची बरीज

एकण परापताकाची सखा

उपकरि : � वगाशतील दवदारायच 10 च गट करन परतक गटातील मलाचा उचीची सरासरी काढा. � वगशदशकषकाकडन हजरी परिक घऊन एका आठवडाची सरासरी हजरी काढा.


97


िारिारिा मििरण सारणी (Frequency distribution table)

कधी कधी ददलला मादहतीमध काही परापताक अनक वळा तात. एखादा परापाक मकिी िळा आला आि ि दाखिणाऱा सखला ता परापाकाची िारिारिा मिणिाि. अशावळी वारवारता सारणी तार करतात. ा सारणीमध परापताक, ताळाचा खणा व वारवारता अस तीन सतभ असतात.1. पदहला सतभामध लहान सखपासन सरवात करन मोठा सखपयतच परापताक दलहा. उदा. 1, 2, 3, 4, 5, 6 ा सखा एकाखाली एक करमान माडावा.2. मादहतीमधील सखा करमान वाचा. परतक वळी मादहतीमधील सखा वाचली, की सारणीमध ता

सखजवळचा सतभात ‘।’ अशी खण करा. ा खणला ताळाची खण महणतात. जस 3 ही सखा वाचन 3 ा सखसमोर दसऱा सतभात ‘।’ अशी खण करा. चार खणापयतचा खणा

।।।। अशा दलदहला तर पाचवी खण ।।।। अशी करा. तामळ ताळाचा एकण खणा मोजण सोप होत. 3. परतक सखसमोरील ताळाचा एकण खणाची सखा मोजन दलहा. दतला वारवारता महणतात. दतसऱा

सतभात वारवारता दलहा.4. शवटी सवश वारवारताची बरीज करतात. ती N ा अकषरान दशशवतात. ही बरीज एकण परापताकाइतकी असत.

मदलला िामििीिरन िारिारिा सारणी िार करण

उदा. एका वगाशतील काही मलीच घरापासन शाळपयतच अतर (दकमी) मध ददल आह. 1, 3, 2, 4, 5, 4, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 6, 4, 6 तावरन वारवारता सारणी कशी तार करतात त पाह.

परापताक ताळाचा खणा वारवारता

1 ।। 2

2 । 1

3 ।। 2

4 ।।।। 5

5 ।। 2

6 ।।। 3

एकण वारवारता N = 15

परापताक मोजताना जी सखा मोजली, ती लकषात ठवणासाठी ता सखवर रघ ओढतात. ि पदहल तीन परापताक मोजन झालानतर परापताकाची ादी परापताक मोजताना ददली आह.(1, 3, 2, 4, 5, 4, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 6, 4, 6)

98

दपराचा आईन बाजारातन वाटाणाचा शगा आणला. आईन शगा सोलणास सरवात कली. दपरा जवळच बसन आपला गदणताचा अभास करत होती. दतच लकष सहज आई सोलत असलला शगाकड गल. काही शगामधन 4 दाण तर काही शगामधन 7 दाण दनघाल. मग दपरान तातील 50 शगा उचलला, ता सोलला आदण तातील दाणाचा सखाची नोद घतली. दपरान वाटाणाचा शगामधील दाणाची वारवारता सारणी तार कली.

दाणाची सखा ताळाचा खणा वारवारता

2 ।।।। ।।। 8

3 ।।।। ।।।। ।।।। 15

4 ।।।। ।।।। ।। 12

5 ।। 2

6 ।।।। ।। 7

7 ।।। 3

8 ।।। 3

एकण वारवारता N = 50

4, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 3, 2, 82, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 88, 2, 5, 3, 4, 4, 3, 6, 2, 34, 4, 3, 3, 2, 6, 4, 4, 7, 23, 6, 3, 6, 6, 6, 7, 6, 7, 3

आई : त सोललला शगामध सरासरी दकती दाण दनघाल ह काढता ईल का ?

मपरा : ा 50 सखाची बरीज करन बरजला 50 न भागाच ना ? दकचकट काम आह.

आई : आपण त काम सोप कर. वारवारता सारणीत 2 दाण दकती शगामध, 3 दाण दकती शगामध इतादी मादहती आह ना ?

मपरा : हो ! 2 दाण 8 शगामध, 3 दाण 15 शगामध, 4 दाण 12 शगामध वगर मादहती आह. आता आल लकषात. 2 × 8, 3 ×15, 4 ×12 अस गणाकार करन

ताची बरीज कली तरी ता पननास सखाची बरीज दमळल.

आई : सात लहान गणाकार व ताची बरीज करण जरा सोप आह ना ! खप मोठी सामगी असत ता वळी वारवारता सारणीचा असा उपोग होतो.

मपरा : मग एकण परापताकाची बरीज 206 आली महणन सरासरी = 206

50 = 4.12 एवढी

झाली.आई : कोणताही शगमध वाटाणाच दाण पणश

सखतच असतात पण सरासरी ही अपणायकात ऊ शकत. ि परतक शगमध साधारण 4 दाण आहत अस महणता ईल.

गमणि िाझा सोबिी : घराि, बाजाराि

99

सरासरीचा उपोग दवजानाचा सवश शाखा, वदक शाखा, भगोल, अिशशासरि, सामादजक शासरि इतादी दवषातही होतो.

qqq


�परापताकाच वगवीकरण सोपा पद धतीन करणासाठी ताळाचा खणाचा वापर करता तो. �खणाची सखा वारवारता दाखवत, अशा परकारचा सारणीला वारवारता सारणी महणतात.�परापताकाची सखा मोठी असत ता वळी वारवारता सारणीचा उपोग सरासरी काढणासाठी हातो.


1. एका वगाशतील 30 मलाची उची (समी) मध ददली आह. तावरन वारवारता सारणी तार करा. 131, 135, 140, 138, 132, 133, 135, 133, 134, 135, 132, 133, 140, 139, 132,

131, 134, 133, 140, 140, 139, 136, 137, 136, 139, 137, 133, 134, 131, 1402. एका वसाहतीमध 50 कटब राहतात. परतक कटबातील वकतीची सखा पढ ददली आह. तावरन वारवारता

सारणी तार करा. 5, 4, 5, 4, 5, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 5, 1, 3, 2, 4, 5, 3, 3, 2,

4, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 2.3. एक फासा 40 वळा फकला तर वरचा पषठभागावर दमळालला सखाची नोद कली.

तावरन वारवारता सारणी तार करा. 3, 2, 5, 6, 4, 2, 3, 1, 6, 6, 2, 3, 5, 3, 5, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 2, 6,

3, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 1, 4, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 3, 4,

4. एका वसदतगहाचा खानावळीमध 30 मलाना जवणामध खालीलपरमाण पोळाची सखा लागत. तावरन वारवारता सारणी तार करा.

3, 2, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 3, 2, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 2

100

सकीणम परशनसगरि 21. एजलन 15000 रप द.सा.द.श. 9 दरान काही वषायसाठी बकत ठवल. दतला मदतीअखर 5400 रप

सरळवाज दमळाल, तर दतन दकती वषायसाठी रककम ठवली ?2. एका रसताचा डाबरीकरणाच काम करणासाठी 10 मजराना 4 ददवस लागतात. तर 8 मजराना दकती ददवस

लागतील ?3. नसरददीन व महश ानी परतकी ` 40,000 व ` 60,000 गतवन ववसा चाल कला. ा ववसाात

ताना 30% नफा झाला. तर परतकाला दकती नफा दमळाला ?4. एका वतशळाचा वास 5.6 समी आह तर ताचा परीघ काढा.5. दवसतार करा.

(i) (2a - 3b)2 (ii) (10 + y)2 (iii) p q3 4+

2 (iv) y

y−

3 2

6. सरिाचा उपोग करन गणाकार करा.(i) (x - 5) (x + 5) (ii) (2a - 13) (2a + 13)(iii) (4z - 5y) (4z+ 5y) (iv) (2t - 5) (2t + 5)

7. एका बलगाडीचा चाकाचा वास 1.05 मीटर आह, तर चाकाचा 1000 फऱामध बलगाडी दकतीदकलोमीटर अतर कापल ?

8. एका 40 मी लाबीचा आताकती बागच कषरिफळ 1000 चौमी आह, तर बागची रदी काढा व तसच बागचीपररदमती काढा. ा बागभोवती दरवाजाची 4 मीटर जागा सोडन 3 पदरी कपण घालाच आह, ताचा खचश250 र परदतमीटर आह. तर कपण घालणासाठी लागणारा खचश काढा.

9. आकतीत ददलला मादहतीवरन कणश AC काढा तसच ∆ABC ची पररदमती काढा.

10. एका घनाची बाज 8 समी आह तर ता घनाच एकण पषठफळ दकती ?

11. अवव पाडा. 365y4z3 - 146y2z4

बहपामी परशनखालील परशनाना पाशी उततर ददली आहत. ता उततरापकी ाग पाश दनवडा.

1. 33, 34, 35, x, 37, 38, 39 ा सखाची सरासरी 36 आह तर x ची दकमत ....... असल.(i) 40 (ii) 32 (iii) 42 (iv) 36

2. (612 - 512) ही वगशसखाची वजाबाकी .................... ही त.(i) 1120 (ii) 1230 (iii) 1240 (iv) 1250

3. 2600 रपाची 8 ः 5 ा परमाणात, समीर व सनीता ा दोघामध वाटणी कली तर परतकाचा वाटाला.................... व .................... इतक रप तील.(i) ` 1500, ` 1100 (ii) ` 1300, ` 900

(iii) ` 800, ` 500 (iv) ` 1600, ` 1000qqq

A

B C

20

21

101

उततरसची

2.(i) मसादव 25, सदकषपत रप 1121

(ii) मसादव 19, सदकषपत रप47

(iii) मसादव 23, सदकषपत रप73

सरावसच 13 1. (i) 60 (ii) 120 (iii) 288

(iv) 60 (v) 3870 (vi) 90 (vii) 1365 (viii) 180(ix) 567 (x) 1082. (i) 1; 1184 (ii) 1; 2346 (iii) 15; 60

(iv) 9; 126 (v) 26; 312 सरावसच 14 1. (i) 30 (ii)40, 20

2. (i) 14; 28 (ii) 16; 32 (iii) 17; 510(iv) 23; 69 (v) 7; 5883. (i) 252 (ii) 150 (iii) 1008 (iv) 60 (v)240

4. 365 5. (i) 1211 (ii)

1719 (iii) 23

296. 144

7. 255 8. 14 मी 9. 18 व 20 सरावसच 15 1. अतभाशगातील दबद ः R,C,N,X बाहयभागातील दबद ः T, U, Q, V, Y कानाचा भजावरील दबद ः A, W, G, B2. ∠ANB व ∠BNC, ∠BNC व ∠ANC,∠ANC व ∠ANB, ∠PQR व ∠PQT

3. (i) सलगन आहत.(ii) आदण (iii) सलगन नाहीत कारण अतभाशग दभनन नाहीत.(iv) सलगन आहत.सरावसच 16 1. (i) 50° (ii) 27° (iii) 45°

(iv) 35° (v) 70° (vi) 0° (vii) (90-x)°2. 20°आदण 70°सरावसच 17 1. (i) 165° (ii) 95° (iii) 60°

(iv) 143° (v) 72° (vi) 180° (vii) (180-a)°2. कादटकानाचा जोडा ः (i) ∠B व ∠N(ii) ∠D व ∠F (iii) ∠Y व ∠Eपरक कोनाचा जोडा ः (i) ∠B व ∠G (ii) ∠N व ∠J.3. ∠X व ∠Z ह एकमकाच कोदटकोन आहत.4. 65° व 25°

सरावसच 1 1. -- 2. -- 3. दरिकोणाचा अतभाशगात 4.काटकोन दरिकोणाचा कणाशवर.5. दरिकोणाचा पररमध काढण. सरावसच 2 --

सरावसच 3 -- सरावसच 4 -- सरावसच 5 --

सरावसच 6 1.(i) रख MG ≅ रख GR(ii) रख MG ≅ रख NG (iii) रख GC ≅ रख GB(iv) रख GE ≅ रख GR

2. (i) रख AB ≅ रख WA (ii) रख AP ≅ रख YC(iii) रख AC ≅ रख PY (iv) रख PW ≅ रख BY(v) रख YA ≅ रख YQ (vi) रख BW ≅ रख ZX(वरील परशनासाठी परतकाची अनक बरोबर उततर ऊ शकतात.)

सरावसच 7 ¤∠AOB ≅ ∠BOC ,

∠AOB ≅ ∠RST, ∠AOC ≅ ∠PQR ,

∠DOC ≅ ∠LMN , ∠BOC ≅ ∠RST सरावसच 8 ¤(i) 35 (ii) -54 (iii) -36 (iv) -56

(v) 124 (vi) 84 (vii) 441 (viii) -105

सरावसच 9 1. (i) -6 (ii) −72

(iii) −34

(iv) −23

(v) −174

(vi) 6 (vii) 53

(viii) −16

(ix) 65

(x) 163

2. 24 ÷ 5, 72 ÷ 15, -48 ÷(-10) इ.

3. -5 ÷ 7, -15 ÷ 21, 20 ÷ (-28) इतादी अनक

सरावसच 10 1. 1 2. 4,5 व 17,19

3. 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,79, 83, 89, 97 एकण 16 मळ सखा4. 59 व 61, 71 व 73 5. (2,3),(5,7),(11,12),(17,19),(29,30) इतादी अनक 6. 2 सरावसच 11 ¤ (i) 2 ×2×2×2×2 (ii) 3 ×19 (iii) 23 (iv) 2 × 3 × 5 × 5(v) 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3(vi) 2 × 2 × 2 × 2 × 13 (vii) 3 × 3 × 5 × 17(viii) 2 × 3 × 3 × 19 (ix)13 × 29 (x) 13 × 43सरावसच 12 1.(i) 5 (ii) 8 (iii) 5 (iv) 1

(v) 2 (vi) 7 (vii) 3 (viii) 3 (ix) 1 (x) 21

102

5. (i) ∠P व ∠M (ii) ∠T व ∠N (iii) ∠P व ∠T (iv) ∠M व ∠N(v) ∠P व ∠N (vi) ∠M व ∠T6. 160° 7. m∠A = (160-x)°सरावसच 18 1. दकरण PL व दकरण PM;

दकरण PN व दकरण PT. 2. नाहीत. कारण ता दकरणानी एक रषा तार होत नाही.सरावसच 19 ---सरावसच 20 1. m∠APB = 133°,

m∠BPC = 47°, m∠CPD = 133° 2. m∠PMS = (180 - x)°, m∠SMQ = x°,

m∠QMR = (180 - x)° सरावसच 21 1. m∠A = m∠B = 70° 2. 40°, 60°, 80° 3. m∠ACB = 34°,m∠ACD = 146°, m∠A = m∠B = 73°

सरावसच 22 1. (i) 71252 (ii)

6715 (iii)

430323

(iv) 25577

2. (i) 1677 (ii)

1445

(iii) −136 (iv)

76

3. (i)655 (ii)

1625 (iii) −

23

(iv) 0

4. (i)52

(ii) −83

(iii) −3917 (iv)

17

(v) −322

5. (i)43 (ii)

100121 (iii)

74 (iv) −

16

(v) 25 (vi) −

107 (vii) −

988 (viii)

252

सरावसच 23 ¤(i) 374757

, , (ii)2330

2230

2130

, ,

(iii) − −915

715

415

, , (iv) 690 4

9, ,− (v) − −

24

1434

, ,

(vi) 1724

1124

1324

, , − (vii) 678797

, ,

(viii) − − −18

28

58

, , इतादी अनक

सरावसच 24 ¤(i) 3.25 (ii) -0.875 (iii) 7.6

(iv) 0.416 (v) 3142857. (vi) 1.3 (vii) 0.7

सरावसच 25 1. 149 2. 0 3. 4 4. 60 5. 1720

·· ·

सरावसच 26 1. -- 2.(i) 1024 (ii) 125 (iii) 2401

(iv) -216 (v) 729 (vi) 8 (vii)64125 (viii)

116

सरावसच 27 ¤(i) 76 (ii) (-11)7 (iii) 67

8

(iv) −

32

8

(v) a( )23 (vi) p5

10

सरावसच 28

1. (i) a2 (ii) m−3 (iii) p−10 (iv) 1

2.(i) 1 (ii) 49 (iii) 45

(iv) 16

सरावसच 29 1. (i) 1512

12

(ii) 3 8−

(iii) 17

12

−

(iv) 25

6

(v) 620 (vi)

67

10

(vii) 23

20

−

(viii) 58

6

−

(ix) 34

6

(x)

25

6

−

2. (i) 72

2

(ii)

311

5

(iii)

61

3

दकवा 63

(iv) 14y

सरावसच 30 1. (i) 25 (ii) 35 (iii) 17

(iv) 64 (v) 33 सरावसच 31 --

सरावसच 32 ¤(i) एकपदी = 7 x ; a ; 4 (ii) द दवपदी = 5y- 7 z ; 5m - 3(iii) दरिपदी = 3 x3 -5x2-11; 3y2 - 7y + 5(iv) बहपदी = 1 - 8a -7a2 -7a3

सरावसच 33 ¤(i)22p + 18q

(ii) 18a + 24b+ 21c (iii) 19x2 -20y2

(iv) -11a2b2 + 44c (v) 3y2 - 8y + 9

(vi) 4y2 + 10y -8

सरावसच 34 ¤(i) xy + 7z (ii) 4x + 2y +4z(iii) -12x2 + 16xy +20y2

(iv) -10x2 + 24xy + 16y2

(v) -12x + 30z - 19y

103

सरावसच 35 1. (i) 288x2y2 (ii) 92xy3z2

(iii) 48ac + 68bc (iv) 36x2 + 73xy + 35y2

2. (40x2 + 49x + 15) चौसमी

सरावसच 36 1. -2(7x + 12y) 2. -345x5y4z3

3. (i) 1 (ii)52

(iii) 1 (iv) 3 (v) -5 (vi)695

4. 16 वषष, 11 वषष 5. 130 6. 30 नोटा 7. 132, 66

सकीणश 1 1. (i) 80 (ii) -6 (iii) -48 (iv) 25(v) 8 (vi) -100 2. (i) 15; 675

(ii) 38; 228 (iii) 17; 1683 (iv) 8; 96

3. (i) 1417

(ii) 1311 (iii)

34 4. (i) 28 (ii) 15

(iii) 36 (iv) 45 (v) 16 5. --

6. (i) 77 (ii) 25 (iii) 4924 (iv) 1026

7. (i) 4148

(ii) 2320

(iii) -8 (iv) 6320 8. --

9. -- 10. -- 11. -- 12.-- 13. (i) 55°(ii) (90 - a)°(iii) 68°(iv) (50 + x)°14. (i) 69°(ii) 133°(iii) 0°(iv) (90 + x)°

15. -- 16. (i) 110°(ii) 55°(iii) 55°

17. (i) 57 (ii)32

3

(iii)

72

2

(iv)

45

3

18. (i) 1 (ii) 1

1000 (iii) 64 (iv) 16

19. (i) 8a + 10b - 13c

(ii) 21x2 -10xy - 16y2

(iii) 18m - n (iv) 2m - 19n + 11p

20. (i) x = -10 (ii) y = 5

बहपाशी परशन 1. अतमशध 2. 73

12

3. 3

4. 32 5. 10 ×3 + (5 + 2)

सरावसच 37 1. ` 240 2. 32 पढा

3.18 दकगर 4. ` 24000 5. ` 104000

सरावसच 38 1. 10 ददवस; 4 ददवस 2. 50 पान

3. 2 तास; 3 तास 4. 20 ददवस

सरावसच 39 1. ` 12800; ` 16000

2. ` 10000; ` 24000 3. ` 38000; ` 9120

4. ` 147; ` 343 5. ` 54000; ` 15120

सरावसच 40 1. ` 1770

2. ` 25000; ` 375000 3. ` 14875

4. ` 3600 5. ` 180000

सरावसच 41 1. 10% 2. ` 300 3. 5 वषष

4. ` 41000 5. (i) ` 882, ` 5082

(ii) ` 5000, ` 6200 (iii) 2 वषष, ` 8800(iv) ` 12000, 10 वषष (v) ` 19200, ` 21600

सरावसच 42 1. (i) 14 समी; 44 समी

(ii) 14 समी; 88 समी (iii) 98 समी; 196 समी(iv) 11.55 समी; 23.1 समी 2. 28 समी3. ` 56320 4. 250 फर

सरावसच 43 1. 240°2. लघकसाची नाव ः कस PXQ, कस PR,कस RY, कस XP, कस XQ, कस QYदवशालकसाची नाव ः कस PYQ, कस PQR, कस RQY, कस XQP, कस QRXअधशवतशळकसाची नाव ः कस QPR, कस QYR 3. 250°

सरावसच 44 1. 2 पट 2. 3 पट3. 90 मी 4. 8 मी

सरावसच 45 1. 144 चौसमी 2. 75 चौसमी3. 46 समी 4. 9 पट

सरावसच 46 1. 1170 चौसमी 2. 8.64 चौसमी3. ` 2302750 4. 800 फरशा ; 3200 फरशा5. 156 मी ; 845 चौमी

104

सरावसतच 47 1. (i) 54 चौसमी (ii) 150 चौसमी

(iii) 311.04 चौमी (iv) 277.44 चौमी (v) 181.5 चौमी2. (i) 460 चौसमी (ii) 58.8 चौसमी (iii) 31.6 चौमी(iv) 171 चौसमी 3. 39.5 चौसमी 4. 6.5 चौमी, ` 1950

सरावसतच 48 1. (i) 25 एकक (ii) 40 एकक

(iii) 15 एकक 2. 26 समी 3. 16 समी 4. 12 मी

सरावसतच 49 1. (i) आ (ii) नाी (iii) नाी

(iv) नाी (v) आ (vi) नाी

2. (i) आ (ii) नाी (iii) आ (iv) नाी (v) नाी

सरावसतच 50 1. (i) 25 60 362 2a ab b+ +

(ii) a ab b2 2

4 3 9+ + (iii) 4 12 92 2p pq q− +

(iv) xx

224 4

− + (v) a x abxy b y2 2 2 22+ +

(vi) 49 56 162m m− + (vii) x x2 14

+ +

(viii) aa

222 1

− + 2. 6416 1

2− +x x

3. mn pq+( )7 2 4. (i) 994009 (ii) 10404

(iii) 9409 (iv) 1010025

सरावसतच 51 1. (i) x y2 2− (ii) 9 252x −

(iii) a2 36− (iv)x25

362

− 2. (i) 249996

(ii) 9991 (iii) 2484 (iv) 9996

सरावसतच 52 ¤(i) 3 67× × × × × ×a a a b b

(ii) 13 7× × × × ×x y t t

(iii) 2 2 2 3× × × × × × ×a a b b

(iv) t r r s s s× × × × ×

सरावसतच 53 ¤(i) p q p q+( ) −( )(ii) 2 5 2 5x y x y+( ) −( ) (iii) y y+( ) −( )2 2

(iv) p p+

−

15

15 (v) 3 1

43 1

4x y x y+

−

(vi) xx

xx

+

−

1 1(vii) ab a −( )1

(viii) 2 2 32x xy x−( ) (ix) 12

4 4y z y z+( ) −( )

(x) 2 2 2x y x y+( ) −( )सरावसतच 54 1. 12.29 वममी 2. ` 892

3. 626.6 वममी 4. 49.4 वकगररसरावसतच 55 1.

उची 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 एकि

मल 3 3 5 3 3 2 2 1 3 5 30

2. वकी 1 2 3 4 5 एकणकटतब 1 13 16 13 7 50

3.परापातक 1 2 3 4 5 6 एकणवारतवारा 2 8 13 8 5 4 40

4.पोळा 2 3 4 5 एकण

मल 9 10 8 3 30

सतकीणव 2 1. 4 वषष 2. 5 वदवस

3. ` 12000 ; ` 18000 4. 17.6 समी

5. (i) 4 12 92 2a ab b− + (ii) 100 20 2+ +y y

(iii) p pq q2 2

9 6 16+ + (iv) y

y2

26 9− +

6. (i) x2 25− (ii) 4 1692a − (iii) 16 252 2z y−

(iv) 4 252t − 7. 3.3 वकमी

8. 25 मी ; 130 मी ; ` 94500

9. 29 एकक ; 70 एकक 10. 384 समी2

11. 73 5 22 3 2y z y z−( ) बहपावी परशन 1. 36 2. 1120

3. ` 1600, ` 1000.

41cart.ebalbharati.in/balbooks/pdfs/701020004.pdf1.ख ल ददल ल म प च र ष ख ड...

Documents