1.8.logica borrosa aplicada a las finanzas. valuacion de...

JORNADAS ARGENTINAS DE TECNOLOGÍA, INNOVACIÓN Y CREATIVIDAD 2015– TRABAJO DE ESTUDIANTE

Lógica Borrosa aplicada a las finanzas. Valuación de proyectos.

Lic. Hernán Javier Morello Universidad CAECE, Argentina.

[email protected]

I+D+i Resumen

En el estudio de viabilidad financiera de proyectos de inversión es importante ampliar la información disponible para la toma de decisiones del analista. Se utilizó la lógica difusa y la técnica de valuación de proyectos de inversión, conocida como valor presente neto VAN, para arribar a un modelo que considera variables inciertas. Se consideraron como variables inciertas los flujos de fondo y la tasa de descuento, definiéndolas como números borroso triangulares. Se consideró que el proyecto no tendrá mayor riesgo a los existentes en la empresa donde se desarrollará, por este motivo se consideró como tasa de descuento al costo promedio ponderado de capital de la empresa.

Palabras clave: Gestión de proyectos de Inversión. Lógica Difusa. Variables Inciertas. Números Borrosos Triangulares (NBT). Valor Actual Neto (VAN).Valor Actual NetoBorroso

( ).

Abstract

In the study of financial viability of investment projects it is important to maximize the information available for the analyst in the process of decision making. In the present document we have used the fuzzy logic framework and the investment project technique known as net present value to make a model that considers the uncertain variables. We have considered uncertain variables the future fund flows and the discount rates and we have modeled them as triangular fuzzy numbers. We have also considered that the project will not have other risk than the existing company risk. Therefore, it will consider the discount rate as the weighted average cost of capital. Keywords: Investment project management. Fuzzy logic.Uncertainty variables.Fuzzy numbers. Fuzzy sets. Net presentvalue (NPV). Fuzzy net presentvalue

( .


Introducción

El lógico polaco JAN LUKASIEWICZ

desarrollo en la década del ’20, en este siglo, los principios de la lógica multivalente, cuyos enunciados pueden tener valores de verdad comprendidos entre el cero y el uno de la lógica binaria. En 1937, el filósofo MAX

BLACK aplicó la lógica multivalente a colecciones de objetos y dibujó las primeras curvas de pertenencia a conjuntos, a los que denominó “vagos”.

En 1965, LOFTI A.

ZADEH,entoncesdirector del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de California en Berkeley, publicó el artículo “Fuzzy Sets (Information and Control)”, que marcó un hito histórico y proporcionó el nombre a la disciplina. Pero recién a mediados de los ’70, los conjuntos borrosos (fuzzy sets) tuvieron aplicación práctica cuando EBRAHIM H. MANDANI, del Queen Mary College de Londres, diseñó un controlador borroso para un motor de vapor. Desde entonces se ha asociado a los términos “lógica borrosa” cualquier sistema matemático que se base en conjuntos borrosos.

“El mundo actual es incierto e impreciso,

los actos de los hombres y las relaciones entre ellos están afectadas por la vaguedad, es por esto que la realidad no puede estudiarse en términos absolutos con técnicas aplicables a situaciones ciertas ni aun aleatorias. Casi toda la lógica del razonamiento humano no es la lógica clásica de dos valores, o incluso de varios, sino una lógica de verdades borrosas, de conjunciones borrosas, de reglas de deducción borrosas”(Zadeh, 1977). El hombre, en la búsqueda de la precisión, ha intentado ajustar el mundo real a modelos matemáticos rígidos y estáticos. Lo que se busca a través de la matemática borrosa es describir y formalizar la realidad

empleando modelos flexibles que interpreten las leyes que rigen el comportamiento humano y las relaciones entre ellos.

LOTFI ZADEH amplió la teoría clásica de conjuntos al generalizar el concepto de pertenencia a un conjunto A, para el que sólo existían, dos posibilidades: X pertenece a A o X no pertenece a A, expresadas mediante la función característica o de elección de Boole µA(x) = 1 o µA(x) = 0 respectivamente. Definió el concepto de conjunto borroso Ã, caracterizado por una función de pertenencia µÃ, cuyos valores son todos los números entre 0 y 1; la pertenencia dejó de ser abrupta para ser graduada. Pasando a ser el conjunto clásico A un caso particular del conjunto borroso Ã cuando su función de pertenencia µÃ toma únicamente los valores 0 y 1; quedando el cálculo lógico clásico englobado en el cálculo lógico borroso, que resulta más general.

Los problemas que se pueden modelizar

por medio del cálculo de probabilidades son problemas que se refieren a experimentos de resultado preciso pero incierto; en cambio, hay otros problemas que involucran el fenómeno de la imprecisión. La probabilidad se refiere a preguntas que en algún momento tendrán una respuesta nítida: “si” o “no”, mientras que la imprecisión se refiere a afirmaciones significativas e informativas de las que no se puede decir que sean verdaderas o falsas, sino que tienen un grado de verdad. Se trata de afirmaciones del lenguaje cotidiano, indispensables para “dialogar”, ya que su flexibilidad, sus matices, permiten una interrelación entre los discursos de las personas.

Finalmente ZADEH arribó a la conclusión de que en el estudio de los sistemas complejos llega un momento en el cual la precisión choca con la significatividad: a más precisión menos significatividad. Ha escrito que “la teoría de los subconjuntos borrosos es un paso hacia un acercamiento entre la precisión de la matemática clásica y la sutil imprecisión del mundo real, un acercamiento nacido de la incesante búsqueda humana por


lograr una mejor comprensión de los procesos mentales y del conocimiento”.

Parte de esta introducción ha sido extraída del libro “Teoría de la Decisión Fuzzy” de Lazzari, Machado y Pérez.[5].

En las ciencias inexactas como las

finanzas y la gestión de empresas será necesario lidiar con aproximaciones, por ello es sumamente valiosa la incorporación de la lógica borrosa a los modelos económicos y financieros para lograr mayor adaptabilidad de éstos a realidad incierta e imprecisa, ya que los modelos tradicionales, basados en lógica bivalente, no logran ajustarseadecuadamente a la realidad al basarse en el principio del tercio exclusivo, según el cual las cosas son o no son, sin permitir granularidad o admitir situaciones con grados de certeza.

En el ámbito de la economía y la gestión de empresas se estudian problemas cuyas magnitudes se proyectan hacia el futuro, por lo cual no se requiere, frecuentemente, una extrema precisión sino la mayor adaptación posible a la realidad [2].

Los objetos probabilísticos de la gran mayoría de modelos económicos y financieros, no incorporan información cualitativa. La lógica borrosa permite abandonar la noción preconcebida respecto a la manera en que los datos deben comportarse. La lógica borrosa permite superar el simplista enfoque aristotélico para la noción de equilibrio (estás o no estás en equilibrio), para concebirlo como una paradoja que presenta grados de pertenencia hacia las esquinas del equilibrio y desequilibrio absolutos, los extremos ideales que no siempre se alcanzan. Esto permite entender que la realidad económica y financiera transcurre entre estos dos opuestos la mayor parte del tiempo [2].

Existen diferentes trabajos realizados sobre la aplicación de la lógica difusa en el ámbito de las finanzas, y diversas

modelizaciones con diferentes supuestos, y problemáticas [1], [2], [6] y [8].La principal diferencia que existe en la solución aquí propuesta se centra en considerar borrosos no solamente los flujos de fondo futuros del proyecto, sino también considerar incierta la tasa de actualización o descuento a la que deben ser actualizados los flujos de fondo futuro, y por tanto se plantea un modelo borroso que la incluye como número borroso.

Si consideramos que tanto los flujos de fondo de los proyectos como la tasa de descuentodeben ser estimados por el analista en un entorno de incertidumbre, encontramos un excelente ámbito para aplicar las herramientas que nos brinda la lógica borrosa para elaborar un modelo que pretende representar con mayor precisión la realidad, al incorporar la granularidad y la matización del analista durante el proceso de inversión. Partiremos por considerar los flujos de fondo y la tasa de descuento como números borrosos triangulares y arribaremos al modelo de valor presente borroso. Para simplificar el análisis consideraremos sólo proyectos de inversión con flujos de fondos convencionales, es decir, proyectos que generen un desembolso inicial y posteriormente flujos de fondo positivos.

A. Conjunto Borroso

Los conjuntos borrosos (o fuzzy set en inglés) permiten construir una estructura matemática con la cual es posible manipular datos inciertos o vagos, para los cuales la pertenencia al conjunto tiene grados o niveles de pertenencia en el intervalo [0,1]. Para más detalle ver el punto A del anexo.

B. Función de Pertenencia.

La función de pertenencia (o membershipfunction en inglés) determina el grado de pertenencia del elemento al conjunto. La pertenencia de elementos a un conjunto difuso, no es cuestión de todo o nada, sino que son diferentes grados de pertenencia dentro del intervalo [0,1]. Las


funciones comúnmente utilizadas para describir el grado de pertenencia de un elemento al conjunto borroso son: Gamma(Γ) o S, Lambda o triangular y L o Z. Para más información ver el punto B de anexo.

C. Número Borroso.

Un número borroso (o fuzzynumber en inglés) es un subconjunto borroso que satisface tres propiedades: 1- La variable objeto de estudio toma

valores en el campo de los números reales.

2- La función de pertenencia es normal. Es decir que por lo menos un valor de la variable estudiada tiene asociada el máximo nivel de presunción.

3- La función de pertenencia es convexa. Esto significa que desde el extremo inferior al valor de mayor posibilidad los niveles de presunción crecen o se mantienen, pero en ningún momento disminuyen. De igual modo desde el valor de máxima posibilidad hasta el extremo superior, los niveles de presunción disminuyen o se mantienen, pero nunca aumentan.

Un número borroso asocia dos conceptos:

el de intervalo de confianza, ligado a la noción de incertidumbre y el de nivel de presunción ligado a la percepción del individuo, es decir a la noción de valuación.

Es posible definir un número borroso sobre cualquier conjunto totalmente ordenado. Por ejemplo: los números reales o los números enteros.

D. Número Borroso Triangular.

Formalmente se denomina número borroso triangular al número borroso real, continuo, cuya función de pertenencia es lineal a derecha y a izquierda, y determina con el eje horizontal un triángulo.

Los números borrosos triangulares (NBT) se utilizan fundamentalmente cuando sobre una determinada magnitud se conocen

únicamente tres valores: el mínimo , el

máximo y el valor de mayor nivel de

presunción . Mediante estos valores representamos el número borroso triangular

como Ã = , tal que

. Ver más información en el punto c del anexo.

E. Intervalo de Confianza.

Dado dos números reales y , tal que

, se llama intervalo cerrado

de extremos y al conjunto de números reales que

satisface Los intervalos de confianza son un

proceso lógico práctico para tratar la incertidumbre. Siconsideramos una situación donde “x” es un dato incierto, y lo único conocido con cierto grado de confianza α es

que “x” es mayor o igual a un número y

menor o igual a otro número . En otros

términos sabemos que x ∊ con un

nivel de confianza α, ∀ α ∊ .

F. Intervalo Alfa Corte (α-corte).

Se denomina α-corte o conjunto de nivel α

de un subconjunto borroso Ãcon dominio E,


al conjunto nítido Aα = {x ∊E / µÃ(x) ≥ α}para

todoα ∊[0,1].

Como mencionamos en el punto C “todo número borroso es un subconjunto borroso” entonces podemos representarlo mediante

sus α-cortes Aα = [a1(α), a2(α)] de manera única en intervalos cerrados de números

reales para α ∊[0,1].Este concepto fue

introducido por Zadeh como el teorema de descomposición[5], [6].

G. Valor Actual Neto.

El valor actual neto (VAN) expresa el incremento de riqueza que genera el proyecto en unidades monetarias. El VAN es uno de los métodos más tradicionales utilizados para la evaluación de proyectos de inversión, ya que el método permite hallar el valor presente de todos los flujos de fondos futuros netos, descontados a una tasa de actualizaciónapropiada para la empresa, menos la inversión inicial de efectivo. La principal ventaja de este método es reducir a una unidad de medida común cantidades de dinero generadas o aportadas en distintos momento de tiempo, al actualizar todos los flujos de fondo futuro a un mismo momento de tiempo, hoy.Como regla general se rechazan aquellos proyectos en los que la inversión inicial supere a la suma de los flujos de fondo futuros actualizados, es decir, cuando el VAN sea negativo. En cualquier otro caso el analista deberá determinar la conveniencia de llevar a cabo el proyecto.

El punto débil,y que genera debate en este método, es la tasa utilizada para actualizar el dinero (el VAN depende

directamente de la tasa de actualización) ya que existen diferentes tasas aplicables dependiendo del analista y del análisis a realizar. Por ejemplo: costo de oportunidad, costo promedio ponderado de capital, costo de la deuda (si el proyecto se financia en su totalidad mediante préstamo), etc.

H. Tasa Interna de Retorno.

Se denomina tasa interna de retorno (TIR) a la tasa de descuento que hace que el valor actual neto (VAN) de una inversión sea igual a cero (VAN = 0).Este método considera que una inversión es aconsejable si la TIR resultante es igual o superior a la tasa exigida por el inversor, y entre varias alternativas, la más conveniente será aquella que ofrezca una TIR mayor.Las críticas a este método parten en primer lugar, de suponer que la tasa de descuento obtenida TIR presupone la reinversión de los flujos de fondos liberados por el proyecto a la misma tasa interna de retorno.

Desarrollo de un modelo de VAN Borroso.

Como ya mencionamos, el VAN se obtiene como resultado de la suma de los flujos futurosactualizados al valor presente (mediante la utilización de una tasa de descuento apropiada) menos la inversión inicial. Pero qué pasa cuando los flujos de fondo futuros y el costo de capitalno son suficientemente conocidos o confiables? Se provoca mayor incertidumbre en el inversor o en el responsable de la toma de decisión. Y esa incertidumbre se fundamenta en quelasproyecciones a futuro se encuentran afectadas por variables inciertaspropias del proyecto o de la macroeconomía del país, para las que no es posible obtener una función de probabilidad con la cual estimar los flujos de fondo o el costo de capital adecuado para actualizar los flujos futuros.

Sin embargo la aplicación de un modelo borroso que permita actualizar las proyecciones de modo más sensible y próximo a la realidad, considerando la


percepción del analista y una perspectiva diferente de análisis, es posible gracias a las herramientas que brinda la lógica difusa.

En el presente trabajo utilizaré los números borrosos triangulares (NBT) para incorporar al modelo borroso la incertidumbre (representada por intervalos de confianza) y la percepción del analista (ligada a los niveles de presunción).

Comenzaremos por arribar a la fórmula de VAN tradicional para un proyecto de inversión hipotético que cuenta con las siguientes características:

a) Una inversión inicial ( ) en el año 0 (hoy),que es un valor con certeza pues se encuentra próximo al momento de valuación, y por este motivo no se pondera por el factor de actualización.

Y para cada periodo de tiempo:

b) Un flujo de fondopositivo . c) Y el costo de capital kn, como tasa de

descuento.(El costo de capital de la empresa, aquí denominado k, no es la tasa de descuento correcta para proyectos que tengan un riesgo diferente al negocio existente de la empresa, dado que el verdadero costo del capital depende del riesgo del proyecto).

b y c son valores futuros e inciertos. Así, el VAN de la inversión estará dado

por la ecuación 1.

+

+…+

Ecuación 1. VAN Tradicional Ahora iniciemos el camino para elaborar

un VAN borroso ( ) que será nuestro modelo difuso.

En tanto que los flujos de fondo futuro y el costo de capital kn son datos que debe proyectar y estimar el analista a futuro, son datos cargados de incertidumbre, por tal motivo los modelaremos mediante números borrosos triangulares (NBT), donde cada uno representará la variación lineal entre tres

valores importantes de la variable: el valor pesimista, el probable y el optimista.

Consideremos:

1- La inversión inicial como un número real por ser un dato cierto.

2- El flujo de fondo de cada periodo como un número borroso triangular compuesto por:

=( :pesimista, :probable,

:optimista) tal que ≤ ≤ .

3- Y el costo de capital como un número borroso triangular definido por:

=( :pesimista, :probable, :optimista)

tal que ≤ ≤ .

Bajo estas consideraciones, el valor actual neto en términos borrosos

quedaráexpresado según la ecuación 2.

= - 0 + +

+…+

Ecuación 2. VAN Borroso.

Ya hemos mencionado que todo subconjunto borroso triangular puede expresarse como intervalos α-corte, entonces si reemplazamos los números borrosos de la ecuación 2 por sus intervalos α-corte


podemos obtener el valor actual neto borroso para cada nivel de presunción α. El intervalo

α-corte que define al número borroso es

por definición: (ver punto D del anexo para más información) y al reemplazarlo en la

fracción q

ue multiplica al enésimo flujo de fondo se obtiene la expresión de la ecuación 3.

=

Ecuación 3. Fracción del enésimo término expresada como intervalos α-cortes

Los pasos utilizados para la obtención de

la ecuación 3 se encuentran en el punto E de anexo.

Hasta aquí hemos obtenido la expresión matemática que necesitamos para modelizar las fracciones que conforman los términos de la función VAN borroso mediante intervalos α-cortes. Ahora vamos a buscar la expresión para los flujos de

fondo , .Utilizando la definición

de α-cortes podemos expresar a como se muestra en la ecuación 4.

Ecuación 4. Flujo de caja n expresado como intervalos α-cortes

Al reemplazar en la ecuación 2 los

resultados de las ecuaciones 3 y 4 logramos expresar el VAN Borroso como intervalos α-corte según vemos en la ecuación 5.

= - 0 +

+… +

Ecuación 4.VAN Borroso expresado mediante

intervalos α-cortes

A partir del primer término, y hasta el enésimo de la ecuación 4, queda expresada una suma del productode intervalos α-corte entre dos números borrosos. El resultado del producto de cada término retorna el valor actual del flujo de fondo, expresado como intervalos α-corte. El término enésimopuede expresarsesegún la ecuación 5, y los pasos para obtenerla se encuentran en el punto G del anexo.

Ecuación 5. Enésimo flujo de fondo actualizado a valor presente, con tasa de descuento borrosa y

expresada comointervalo α-corte.

Recordemos que cada flujo de fondo borroso expresado como intervalo α-corte contiene los

componentes , y que la tasa de actualización correspondiente a cada período tiene los componentes

. Hemos obtenido una expresión general

que representa, mediante intervalos α-cortes, cada término de flujo de fondo de la ecuación 4. Luego de reemplazar cada uno de estos términos por la expresión general de la ecuación 5, nos centraremos en reemplazar

la inversión inicial para obtener el modelo general. Si consideramos la inversión inicial

como un intervalo de números reales

, y la reemplazamos en la ecuación 4 entonces la ecuación general del

borroso definida por intervalosα-cortes quedará expresada según la ecuación 6.


Ecuación 6. VAN Borroso expresado mediante

intervalos α-cortes.

Si llamamos al mínimo

de cada término y al máximo, entonces podemos sintetizar la ecuación 6 y arribar al modelo general de

borroso expresado mediante α-cortes, ecuación 7.

Ecuación 7. Modelo de Borroso expresado mediante intervalos α-cortes

Utilizando la ecuación 6 o 7, es posible

obtener el VAN Borroso de un proyecto; expresado mediante un intervalo α-corte en función de un valor α, asociado al nivel de presunción del analista.

Según Gutiérrez Betancur (2006, 68) “en condiciones de incertidumbre es mejor un intervalo de confianza a un dato concreto” [2]. Caso de aplicación del modelo VAN

Borroso.

Consideremos un proyecto de inversión cualquiera, y realicemos un análisis comparativo entre el método VAN tradicional y el modelo de VAN Borroso derivado

anteriormente ( .

VAN TRADICIONAL

Consideremos un proyecto de inversión que requiere una inversión inicial de capital por 42.000 unidades monetarias y que promete una serie de flujos de fondo futuros

positivos, en tres escenarios diferentes: optimista,probable y pesimista.Y llamaremos k a la tasa de actualización de los flujos de

fondo futuros. Supondremos que el proyecto se encuentra inmerso en un contexto de riesgo similar al que se encuentra expuesta la empresa y por lo tanto quek podremos reemplazarlo por el costo de capital de la empresa. Supondremos también que la periodicidad entre los flujos de fondo futuros equivale a un período de tiempo expresado en años y representado por la letra n.

Nuestro proyecto en análisis retornará flujos durante 4 años, siguiendo los valores de la tabla 1, a un costo de capital expresado por k.

Tabla 1.Flujos de fondo futuros

Calcularemos el VAN y la TIR (tasa de descuento que iguala el VAN a cero)siguiendo el método tradicional; donde por regla generalse rechazan aquellos proyectos cuya inversión inicial supere la suma de los flujos de fondo futuros actualizados a valor presente, es decir, aquellos cuyo VAN < 0, y cuando la inversión inicial sea menor a la suma de los flujos de fondo futuros actualizados a valor presente se acepta el proyecto; aquellos cuyo VAN > 0. En los casos donde el VAN = 0, el analista de proyecto deberá considerar otros factores relevantes del proyecto para determinar su aceptación o rechazo.

El método de la TIR considera que una inversión es aconsejable si la TIR resultante es igual o superior a la tasa exigida por el inversor, nosotros consideraremos a ésta como el costo de capital k, entonces lo aceptamos si la TIR > k. Ver tabla 2.


Tabla 2.VAN y TIR

Analizando la tabla anterior y siguiendo el método tradicional de VAN, ante el escenario pesimista debemos rechazar el proyecto, dado que los flujos de fondo futuros actualizados a valor presente no cubren la inversión, logrando un VAN < 0. Y debemos aceptar el proyecto en los escenarios probable y optimista ya que producen un VAN > 0. Y por tanto cubrimos la inversión y el costo de capital incluido en la actualización de los flujos de fondo. Siguiendo ahora, el método de la TIR, podemos observar que la TIRen el escenario pesimista no logra superar el costo de capital del proyecto en ninguno de los periodos. En tanto en el escenario probable vemos que se ubica en un valor apenas superior al promedio del costo del capital, pero logra un VAN positivo, mientras que en el escenario optimista se encuentra por encima de la tasa de descuento más alta, y por tanto logra un rendimiento superior del VAN.

MODELO DE VAN BORROSO

Analicemosel mismo proyecto utilizando el modelo de VAN Borroso que nos permitirá obtener el VAN del proyecto definido por un intervalo de confianza en función de los α-cortes.

Para poder utilizar el modelo necesitamos que los flujos de fondo futuros, detallados en la tabla 1, y el costo de capital kse encuentren expresados como intervalos α-corte de números borrosos triangulares (NBT).Y luego podemos aplicar el modelo borroso expresado por la ecuación 6 o 7, equivalentes, y así obtendremos los intervalos α-corte del VAN borroso.

Paso 1. Elaboración de flujos

borrosos:Si tenemos presente que un NBT requiere de tres números reales para

definirse, por ejemplo, es un

NBT tal que Y consideramos que los escenarios optimista, probable y pesimista del proyecto producirán flujos de fondo cuyo valor será un número real tal que para cualquier periodo de tiempo n, el flujo del escenario pesimista será menor al flujo del escenario probable y a su vez éste menor al flujo optimista; entonces podremos definir

un flujo de fondo borroso tal

que: es el flujo de fondo n( del

escenario pesimista; es el del escenario

probable; y es el del escenario optimista.

Los flujos de fondo presentados en la tabla 1 quedarán expresados como flujos de fondo borroso en la tabla 3.

Tabla 3. Flujos de fondo expresados como NBT

Paso 2. Intervalos α-corte:Dado que todo NBT puede expresarse mediante sus intervalos α-corte, y dado que los flujos de

fondo borrosos son NBT, los expresamos mediante sus intervalos α-corte:

.

En la tabla 4calculamos los α-cortes del

utilizando la escala endecadaria [4]; una de las escalas más utilizadas en aplicaciones de la teoría de subconjuntos borrosos.


Tabla 4.Intervalos α-corte del flujo de fondo 1.

Al representar gráficamente los intervalos

α-corte del flujo de fondo vemos la forma característica de un NBT, un triángulo. Fig.1.

Fig. 1.

En la figura 1tenemos para el

intervalo que es el valor del flujo de fondo, para el escenario pesimista en el extremo izquierdo ypara el escenario optimista en el extremo derecho; y

el intervalo que es el valor del escenario probable.

En la tabla 5, se presentan todos los flujos de fondo dela tabla 3 mediante intervalos α-cortes.

Tabla 5. Intervalos α-cortes para los flujos de fondo del proyecto.

Luego de expresar todos los flujos de

fondo como intervalos α-corte debemos realizar el mismo procedimiento, pasos 1 y 2, con el costo de capital k. Es decir, debemos definir k como NBT y luego obtener los intervalos α-corte.

En la tabla 6 se observan los costos de capital k para cada periodo y escenario.

Tabla 6.Costo de capital del proyecto.

Si consideramos el costo de capital de

cada período equivalente a la tasa de descuento, y la representamos como NBT

teniendo en cuenta que

y que el costo de capital es menor en el escenario optimista respecto del escenario probable, y de éste respecto del escenario pesimista (como consecuencia de que el obtendremos capital a menor costo ante un escenario optimista y viceversa ante un escenario pesimista).

Definimos: como la tasa de descuento

del correspondiente al escenario

optimista; al escenario probable; y al escenario pesimista. Mediante esta definición, los costos de capital mencionados en la tabla 6 quedan expresados como NBT según la tabla 7, y como tasas de descuento

borrosas mediante intervalos α-corte en la tabla 8.


Tabla 7.Costo de capital expresado como NBT

Tabla 8.Intervalos α-corte de los costos de capital

del proyecto.

Hemos trasformado los flujos de fondo y el costo de capital correspondientes a cada período y escenario mediante NBT, y los hemos expresado mediante intervalos α-corte.

Paso 3. Valor actual, mínimo y

máximo:A continuación actualizaremos los flujos de fondo borrosos a valor actual para cada nivel de presunción α (utilizando la tasa de descuento borrosade la tabla 8) y luego calculamos el valor mínimo y máximo (según nos indica la ecuación 6). En las tablas I.1, I.2, I.3 y I.4 del anexo I, se muestra los cálculos realizados para traer a valor presente los flujos de fondo borroso de los periodos año 1, año 2, año 3 y año 4 respectivamente.En las dos últimas columnas de las tablas hemos calculado el valor mínimo y máximo utilizando los nombres

y respectivamente. Recordemos que éstos son los componentesdel intervalo α-corte

,

del flujo de fondo borroso en valor actual.

Paso 4. VAN Borroso. Para obtener el VAN borroso expresado mediante intervalos

α- corte debemos:

a) Sumar los intervalos de los flujos de fondo actualizados en el paso

3 , y

b) Restar el intervalo correspondiente a la

inversión inicial .

En la tabla J.1 y J.2presentadas en el anexo J, hemos obtenido las componentes

y del intervalo α-corte del .

Luego de haber realizado los cuatro pasos previos arribamos al VAN borroso propuesto como modelo complementario para el análisis de valuación de proyectos. La tabla 9

presenta el como resultado de haber aplicado la ecuación 7 a los flujos de fondo y costo de capital presentados en la tabla 1.

Tabla 9.

Los valores de la tabla 9 muestran el valor del VAN para cada nivel de presunción de α. Vale decir que el proyecto producirá un VAN que se encontrará acotado por el intervalo

.


Paso 5. Análisis de Resultados.Los valores destacados son:

a) Para (α=1), el nivel de mayor presunción, el proyecto promete generar un VAN en el intervalo

es decir

unidades monetarias (u.m.).

b) Para (α=0), el nivel de menor presunción, el proyecto promete generar un VAN en el intervalo

.En la medida que nos alejamos del valor de mayor presunción de α y con él del nivel de ocurrencia, el intervalo del VAN comienza a tener mayor amplitud, provocando un desvío cuyo escenario más pesimista provocará un VAN

de y en el escenario más optimista un VAN de

Ambos son casos extremos, y de bajo nivel de presunción según el analista.

c) En (α=0,8434) se produce un escenario

de importancia para el análisis del proyecto, el valor del VAN se hace cero en el componente de menor valor del

intervalo . Observemos que el componente

izquierdodel intervalo . En ese punto,el proyecto recupera la totalidad de la inversión y de los costos del capital utilizado. Vale decir que para

cualquier valor el

proyecto generará un que podrá variar dentro del intervalo

. En otras palabras para este valor de α, en el escenario pesimista el proyecto no generará valor, su VAN=0, mientras que en el escenario más optimista el proyecto

generará VAN=

Teniendo en cuenta que cada intervalo nos presenta dos valores o escenarios: uno de mínima y otro de máxima, y analizando los datos de la tabla 14, podemos observar que de24 escenarios (12 de mínima y 12 de máxima) hay15 que producen un VAN positivo. El 62,5 % de los escenarios generan un VAN positivo.

Fig.2. del proyecto como intervalos α-corte.

En la figura 2 se representanlos valores de la tabla 9correspondientes al intervalo

para diferentes valores de presunción α. Adicionalmente he


agregado el valor del VAN correspondiente al escenario pesimista, probable y optimista calculados mediante el método tradicional y expuestos en la tabla 2. Es posible observar que el modelo de VAN borroso obtiene en sus extremos los valores del VAN tradicional.

Haber modelado el VAN mediante NBT nos permite visualizar cómo se comporta el VAN en la medida en que nos alejamos del escenario de máxima presunción (α=1).

Para el valor particular (α=0,8434) la gráfica corta el eje de abscisas cuando el valor de VAN = 0.En lafigura 3 llamamos

( ) al área total de la gráfica, ( ) al área donde los valores del VAN son negativos y

( ) al área donde los valores del VAN son positivos. A simple vista nos damos cuenta

que el área lo que nos indica que el proyecto, aún en un contexto de incertidumbre y acotado por los escenarios pesimista, probable y optimista, tiene mayor cantidad de escenarios con capacidad de generar un VAN positivo.

Fig.3. Áreas del del proyecto

Si en vez de considerar sólo los valores discretos de los escenarios de la tabla 9, pensamos en todos los valores sobre la curva como valores continuosy centramos la

atención en el área ( )podemos calcular un

índice de consentimiento que nos indique

qué valor representa del total , haciendo el siguiente cálculo:

Fig.4. Área del proyecto

Obtendremos las áreas y luego

el valore del índice . Las áreas se calculan en el punto K del anexo.Los valores

son y para

las áreas y para el índice. Este último valor indica que aún en un contexto de incertidumbre, la posibilidad de que el proyecto genere un VAN positivo es del 0.68.

Calcularemosla tasa interna de retorno (TIR) como un criterio adicional para la toma de decisión del gestor de inversión, y la expresaremos mediante intervalos α-corte

. Para ellodebemos

obtener los componentes y

del intervalo .El cálculo del intervalo se desarrolla en el punto L del anexo. En la tabla 10 se visualizan los valores obtenidos.


Tabla 10.

Es importante que tengamos presente que en el cálculo de la TIR incurrimos en el error de considerar que todos los flujos de fondo serán reinvertidos a la misma tasa. Punto que a priori, sabemos que no sucede de esta manera. Es por ello que se propone a futuro complementar el modelo mediante el cálculo de una tasa interna de retorno modificada (TIRM) que contemple la actualización de los flujos a diferente tasa.

Hemos de concluir que el nivel de presunción necesario para que el proyecto comience a generar un VAN positivo (tabla 9) se corresponde con el valor (α=0,8434) donde el VAN vale cero en el extremo inferior del intervalo. Adicionalmente el índice de consentimiento indica que la cantidad de escenarios que potencialmente generarán un VAN positivo es de 0.68.

Por otro lado, a igual nivel de presunción (α=0,8434) donde el VAN se hace cero,se corresponde un intervalo de TIR[11,55;13,50](tabla 10) e indica que el proyecto deberá tener un rendimiento superior al 11,55% para que sea rentable. En la medida en que el costo de capital anualizado no supere dicho valor, el proyecto será rentable.

Proceso de implementación de la innovación

La solución aquí propuesta se encuentra enfocada a brindar mayor información al analista de proyectos o de inversiones, en el marco de la toma de decisión de inversión. El mayor potencial del modelo surge al ser utilizado de manera comparativa entre varias alternativas o proyectos de inversión, donde será posible comparar directamente los resultados entre proyectos; y así poder decidir, en función de la información obtenida y de los criterios del gestor, cómo distribuir su capital o qué proyecto será potencialmente

más rentable para sus necesidades. El modelo de VAN borroso aquí planteado

toma como supuesto su uso en el segmento

de proyectosque producen flujos de fondo positivo. En este contexto planteo la necesidad de seguir evaluando el modelo en una variedad de escenarios con diversas características para determinar su real puesta en valor.

Resultados

En el presente trabajo se mostró el valor agregado, en términos de información para el analista, que surge al utilizar un modelo de valor actual neto borroso en comparación con el modelo tradicional. El modelo borroso, brinda diferentes intervalos para el

y para la

en función de un nivel de presunción α, y un índice de

consentimiento para el proyecto que puede ser utilizado como un criterio más en la selección de diferentes proyectos de inversión.

En futuras líneas de desarrollo del trabajo se pretende ampliar sobre los siguientes puntos:

a) Realizar un análisis comparativo entre varios proyectos, resaltando las ventajas del modelo borroso para la ponderación o selección de los mismos.

b) Desarrollar un modelo borroso para la tasa interna de retorno modificada (TIRM) que contemple las diferentes tasas de actualización para cada flujo, mejorando la estimación de la tasa interna de retorno.

c) Explorar la utilidad del particular intervalo determinado por el α-corte que tiene como valor máximo el centro de gravedad del

área , y que tiene la particularidad de tomar el 0.5 de los casos con VAN positivo.

Si consideramos el centro de gravedad

del área para el eje x (VAN) como el punto “promedio/al que tenderá” el conjunto de escenarios favorables se calculará:


Ecuación 8. Centro de gravedad delÁrea

Obtendremos el valor del eje x que divide

el área en dos partes iguales

como se muestra en la Fig.5.

Fig.5.Centro de Gravedad del Área

Luego obtenemos el valor de α que corta

la curva de para el extremo superior

donde y es . Y con este valor de alfa obtendremos los

intervalos borrososdel y de la , llegando a los valoresde la tabla 11.

y de

.

Tabla 11. para α=0.7405

Estos valores se corresponden con un nivel de presunción que tiene un desvío del (1-α)=0.2595 del máximo nivel de presunción y que contempla el 0.5 de los casos con VAN positivo. Pareciendo ser un intervalo de especial interés, y que proponemos profundizar en un futuro trabajo.

Conclusiones o discusión abierta

Gracias a la modelización mediante números borrosos de aquellas variables que se consideran inmersas en un ámbito de

incertidumbre –alrealizar la proyección o actualización de flujos-, y a la utilización de la lógica difusa, se ha logrado obtener un modelo de VAN borroso que brinda información, ya no sólo en un nivel de presunción, sino en un intervalo de niveles de presunción entre 0 y 1.

Gracias al modelo de VAN borroso aquí desarrollado, la gestión de la incertidumbre cuenta con otravisión de análisis. Un análisis complementario al enfoque probabilístico o al modelo tradicional, al momento de realizar la toma de decisión de inversión, un modelo que permite incorporar la imprecisión presente en los sistemas.

Referencias

[1] Briozzo A.; Pesce Gabriela; Villareal F. (2011). “Evaluación de proyectos con herramientas borrosas. Análisis de Casos”.Cuadernos del CIMBAGE Nro. 13 (2011) 25 – 53. Universidad Nacional de Sur. CONICET. Bahía Blanca, Buenos Aires, Argentina. Págs. 28-34,48-50.

[2] Gutiérrez Betancur J.C. (2006). “Aplicaciones de los conjuntos borrosos a las decisiones de inversión”. Universidad EAFIT. Medellín, Colombia.

[3] Kaufmann, A. y J. Gil Aluja. (1986). Introducción de la teoría de los subconjuntos a la gestión de empresas. Santiago de Compostela: Milladoiro.

[4] Kaufmann, A. y J. Gil Aluja. (1993). Nuevas técnicas para la Dirección Estratégica, Segunda Edición. Barcelona. Publicaciones Universidad de Barcelona.Pàgs. 89-95.

[5] Lazzari L.; Machado E.; Pérez R. (1998). “Teoría de la Decisión Fuzzy”. Buenos Aires, Argentina: Editorial Macchi. págs. 108-112.

[6] Lazzari L.; Machado E.; Pérez R.Paper: “Los conjuntos borrosos: Una introducción”. Buenos Aires, Argentina. Págs. 2-3,9-10,16-18.


[7] Lazzari L.; Espiño R. “Metodología Fuzzy para la programación de inversiones”. Buenos Aires, Argentina: Editorial Malke, 2005. 201 págs.

[8] Peniche Curiel J. E. (2014). “Matemáticas difusas aplicadas a finanzas, modelo y sistema para la evaluación de portafolios”. Memorias del XVI consurso lasallista de investigación, desarrollo e innovación de Clidi 2014. México. Págs. 52.

[9] Terceño, A.; Barberá, M.G.; Laumann, Y. (2003). “La formalización del análisis económico-empresarial en un ambiente incierto”. IX Jornadas de Epistemología de las Ciencias Económicas. Buenos Aires, Argentina.

[10]ZadehLofti Asker. “Fuzzy set and applications:

Selected papers by L.A. Zadeh”. Nueva York, Estados Unidos: Editorial John Wiley&Sons, 1987. 684 págs.

Biografía

Hernán Javier Morello nació en Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina, el 29

de Septiembre de 1979. Realizó sus estudios de grado en la Universidad CAECE obteniendo el título de Licenciado en Sistemas. Ha realizado un curso de posgrado en finanzas en la Universidad Argentina de la Empresa. Y actualmente se encuentra cursando la carrera de Ingeniería en Sistemas en la Universidad CAECE donde ha realizado el presente trabajo de investigación en el marco de la asignatura Sistemas Inteligentes. “Dedico el presente trabajo a toda mi familia que alegra mi vida con su afecto, especialmente a mi esposa María Noel Tanghe que ha sabido acompañarme durante todo el proceso de elaboración del trabajo. Agradezco las sugerencias de la Lic. Fátima Mastroianni y recuerdo la memoria del Dr. Ing. RaiumundoD’aquila”.


Anexo

A. Conjunto Borroso (Fuzzy Set)

Sea E un conjunto continuo o discreto, se llama subconjunto borroso de E a todo conjunto de pares

ordenados Ã = {(x / µÃ(x)), ∀ x ∊ E}

µÃ: E → [0,1] es la función de pertenencia o membresía. Esta función asigna a cada elemento del conjunto E un valor µÃ(x) perteneciente al intervalo [0,1] llamado nivel de pertenencia de x a Ã. µÃ(x) es el grado o nivel de pertenencia del elemento x en Ã.

Si µÃ( ) = 1, se dice que pertenece a Ã, si µÃ( ) = 0 se dice que no pertenece Ã, y si

µÃ( ) = 0,4 se dice que el valor de pertenencia de en Ã es 0,4.

B. Función de pertenenciaµÃ( )

La función de pertenencia µÃ( )determina el grado de pertenencia del elemento al

conjunto Las funciones que suelen utilizarse con mayor frecuencia son: Gamma, L y Lambda o Triangular se muestran en las gráficas b.1,b.2 y b.3 respectivamente.

Gráfica B.1. Función de pertenencia Gamma.

Gráfica B.2. Función de pertenencia L o Z.


Gráfica B.3. Función de pertenencia Lambda o Triangular.

La función lambda o triangular define su α-corte como: C. Número borroso triangular (NBT).

Se denomina número borroso triangular al número borroso real, continuo y cuya función de pertenencia y su representación se muestran en la gráfica c.1. Sea α el nivel de presunción, cada

intervalo de nivel α se nota donde es el número que conforma el extremo

inferior del intervalo de nivel y es el número que conforma el extremo superior del

intervalo . Tal que y ∊ ∀ α ∊ .

Gráfica C.1. Número Borroso Triangular (NBT)

Para obtener los α-cortes para cada nivel de presunción α, se toma α en lugar de µ, considerando

la función inversa en la parte izquierda de la función de pertenencia para obtener y en la

derecha para hallar conformando así = Por ejemplo, para hallar

debemos obtener el x tal que:

α = ; α (a2 - a1) = (x – a1) ; α (a2 - a1) + a1= x y por tanto a1(α) = α (a2 - a1) + a1


Se debe realizar un procedimiento análogo para hallar Así, los α-cortes de todo número

borroso triangular , quedan definidos por el intervalo:

D. Número borroso como intervalo α-corte.

Dado que todo subconjunto borroso triangular puede expresarse como intervalo α-corte según la siguiente expresión:

. Diremos que el intervalo α-corte mediante el que puede expresarse al número borroso costo de

capital definido por =( : valor de k para el escenario pesimista, : valor de k para el

escenario probable, : valor de k para el escenario optimista) tal que ≤ ≤ será por

definición .

E. Expresión de la fracción del enésimotérminodel VAN Borrosocomo intervalo α-corte.

Iniciaremos por expresar mediante α-cortes a la fracción que multiplica al primer flujo de

fondo. Construiremos la fracción partiendo de . Por definición, los α-cortes de son

. Para , denominador de la fracción, y mediante el uso de la propiedad de adición en números borrosos, se llega a la

expresión: que brinda los α-cortes de

Pero como la fracción que iniciamos analizando es el recíproco de podemos aplicar la propiedad de pseudo-inverso multiplicativo para números borrosos, y obtenemos la ecuación E.1. Notar el cambio de orden en el denominador ya que no es trivial.

= =

Ecuación E.1.Fracción del primer término expresada como intervalos α-cortes

De manera análoga, si expresamos la fracción que multiplica al segundo flujo

de fondo mediante intervalos α-cortes, obtendremos:

= =

Ecuación E.2.Fracción del segundo término expresada como intervalos α-cortes


En términos generales, la fracción que multiplica al enésimo

flujo de fondo quedará expresada:

=

=

Ecuación E.3. Fracción del enésimo término expresada como intervalos α-cortes F. La expresión completa del VAN expresada como producto de intervalos.

= - 0 +

+

Ecuación F.1.VAN Borroso expresado mediante intervalos α-cortes

G. Producto entre dos números borrosos.

En el enésimo término se expresa el producto entre el α-corte [ que representa el flujo de fondo borroso enésimo del proyecto, y el α-corte que representa la tasa de descuento borrosa del flujo de fondo enésimo

La resolución del producto entre intervalos α-corte de dos números borrosos consiste en resolver dos problemas: uno de minimización, para el componente izquierdo del intervalo, y otro de maximización, para el componente derecho del intervalo. (Ver propiedad pseudo-inverso multiplicativo para números borrosos en anexo punto j.3.)

Así, la resolución para el primer término de la

ecuación 4 de consiste en resolver un producto entre intervalos, por consiguiente un problema de minimización y uno de maximización.


Al tratarse de un producto entre números reales -recordemos que los α-cortes tienen su dominio en los números reales-, podemos expresarlo como fracción. El resultado de calcular el mínimo y el máximo de cadaconjunto de números, brindará un intervalo en α-cortes del primer flujo de fondo actualizado a la tasa de descuento borrosa correspondiente.

Siguiendo el mismo razonamiento para el término enésimo de la ecuación 4, obtendremos:

Ecuación G.1. Intervalo en α-cortes del enésimo flujo de fondo actualizado a la tasa de descuento borrosa.

Reescribimos la ecuación G.1.de manera más compacta:

Ecuación G.2. Intervalo en α-cortes del enésimo flujo de fondo actualizado a la tasa de descuento borrosa

H. Simplificación de escritura del intervalo de flujo de fondo n actualizado.

Si llamamos al resultado de y llamamos

al resultado de podemos expresar el intervalo de

manera sintética de la siguiente manera:


I. Flujos de fondo borroso en valor presente utilizando las tasas de descuento

borroso.

Tabla I.1.α-cortes del flujo de fondo borroso del 1er año actualizado a valor presente con tasa borrosa k1

Tabla I.2.α-cortes del flujo de fondo borroso del 2do año actualizado a valor presente con tasa borrosa k2

Tabla I.3.α-cortes del flujo de fondo borroso del 3er año actualizado a valor presente con tasa borrosa k3

Tabla I.4.α-cortes del flujo de fondo borroso del 4to año actualizado a valor presente con tasa borrosa k4


J. Cálculo de los componentes y del intervalo α-corte

Tabla J.1.Componente del intervalo α-cortes del

Tabla J.2.Componente del intervalo α-cortes del K. Calculo de áreas y

Es posible analizar el área mediante integrales definidas o bien mediante la fórmula de área del triángulo. K.1.) Resolviendo las integrales:

Y el área positiva, será:

K.2.) Área del triángulo.

El área del triángulo es: = (14.125,15)*(1)*(1/2) = 7.062,57.

La diferencia entre ambos valores puede surgir como consecuencia de haber obtenido las funciones como aproximaciones a los puntos discretos graficados para el VAN, detallados en la

tabla 9. Consideraremos un valor medio entre los valoresK.1. yK.2.Y


L. Calculo de las componentes de la TIR como intervalos α-corte

Para calcular el intervalo , debemos obtener los componentes y

. Para calcular debemos tomar el componente de todos los intervalos de flujo

de fondo del proyecto y la inversión inicial; y aplicar la función TIR().Para calcular debemos

tomar el componente de todos los intervalos de flujo de fondo del proyecto y la inversión inicial; y aplicar la función TIR. Los componentes delos intervalos de los flujos de fondo del

proyecto tienen la forma , y se encuentran expresadas en la tabla 4. Y en las

tablas L.1. yL.2. se encuentra el cálculo de los componentes del intervalo

Tabla L.1.Componente del intervalo α-cortes del .

Tabla L.2.Componente del intervalo α-cortes del .

M. Algunas operaciones aritméticas con números borrosos.

Sean y dos números borrosos continuos de R y Aα = [a1(α), a2(α)] y Bα = [b1(α), b2(α)] sus

intervalos de confianza para α (0,1]. M.1.Adición

Los α-cortes de (+) son: A α (+) B α = [a1(α), a2(α)] (+) [b1(α), b2(α)] = [a1(α) + b1(α) , a2(α) + b2(α)]

M.2.Multiplicación

Los α-cortes de (.) son: A α (.) B α = [a1(α), a2(α)] (.) [b1(α), b2(α)]


= [ min{a1(α) .b1(α) , a1(α) .b2(α) , a2(α) .b1(α) , a2(α) .b2(α)} , max{a1(α) .b1(α) , a1(α) .b2(α) , a2(α) .b1(α) , a2(α) .b2(α)} ]

En particular si y dos números borrosos continuos de R+: A α (.) B α = [a1(α) . b1(α) , a2(α) . b2(α)] M.3.Pseudo-inverso multiplicativo

Se define pseudo-inverso multiplicativo de , siempre que sea un número borroso positivo o

negativo, representado por tal que:

∀α (0,1] =

Si es un número borroso positivo

= Para mayor información sobre operaciones aritméticas con números borrosos ver referencia bibliográfica [5] y [7] donde se encontrará una gran variedad de ejemplos.

1.8.logica borrosa aplicada a las finanzas. valuacion de...

Documents