18. studenog 2014. - prirodoslovno matematički fakultet...
TRANSCRIPT
18. studenog 2014.
18. studenog 2014. 1 / 17
Problem tangente
Kako mozemo odrediti tangentu na funkciju y = f (x) u zadanoj tocki (x0, f (x0))?
18. studenog 2014. 2 / 17
Promotrimo sekantu kroz dvije tocke na grafu funkcije y = f (x).
18. studenog 2014. 3 / 17
Definicija
Derivacija funkcije f u tocki x0 je
f ′(x0) = limh→0
f (x + h)− f (x0)
h, (1)
ako limes postoji. Ako limes postoji tada kazemo da je f diferencijabilna (ili derivabilna) u tocki
x0.
Za derivaciju koristimo oznake
f ′(x0),df
dx(x0), ili
df
dx
∣∣∣x0
. (2)
Derivaciju takoder mozemo zapisati u obliku
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0.
18. studenog 2014. 4 / 17
Definicija
Derivacija funkcije f u tocki x0 je
f ′(x0) = limh→0
f (x + h)− f (x0)
h, (1)
ako limes postoji. Ako limes postoji tada kazemo da je f diferencijabilna (ili derivabilna) u tocki
x0.
Za derivaciju koristimo oznake
f ′(x0),df
dx(x0), ili
df
dx
∣∣∣x0
. (2)
Derivaciju takoder mozemo zapisati u obliku
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0.
18. studenog 2014. 4 / 17
Primjeri
Odredite derivacije funkcija
f (x) = c, c ∈ R,
f (x) = ax + b,
g(x) = x2,
h(x) =√x .
18. studenog 2014. 5 / 17
Teorem (∗)
Ako je funkcija f derivabilna u x0, tada je f neprekidna u x0.
Neprekidnost funkcije je nuzan, ali nije dovoljan uvjet za egistenciju derivacije. Funkcija y = |x | je
neprekidna svugdje, ali nema derivaciju u x = 0.
18. studenog 2014. 6 / 17
Teorem (∗)
Ako je funkcija f derivabilna u x0, tada je f neprekidna u x0.
Neprekidnost funkcije je nuzan, ali nije dovoljan uvjet za egistenciju derivacije. Funkcija y = |x | je
neprekidna svugdje, ali nema derivaciju u x = 0.
18. studenog 2014. 6 / 17
Ako je poznata jednadzba tangente, tada mozemo odrediti i normalu na krivulju y = f (x) u
zadanoj tocki.
18. studenog 2014. 7 / 17
Pravila deriviranja
Teorem (∗)
Neka su funkcije f i g derivabilne u tocki x . Tada vrijedi
(f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g ′(x),
(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x), (Leibnizovo pravilo)
(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
(g(x))2ako je g(x) 6= 0. (3)
18. studenog 2014. 8 / 17
Derivacije elementarnih funkcija
Derivacija cjelobrojne potencije
d
dxxn = n xn−1, n ∈ Z. (4)
Koristeci pravila deriviranja i pravilo za derivaciju potencije mozemo odrediti derivaciju bilo kojeg
polinoma ili racionalne funkcije.
Derivacije trigonometrijskih funkcija
d
dxsin(x) = cos(x)
d
dxcos(x) = − sin(x) (5)
d
dxtg(x) =
1
cos2(x)
d
dxctg(x) = −
1
sin2(x)(6)
18. studenog 2014. 9 / 17
Derivacije elementarnih funkcija
Derivacija cjelobrojne potencije
d
dxxn = n xn−1, n ∈ Z. (4)
Koristeci pravila deriviranja i pravilo za derivaciju potencije mozemo odrediti derivaciju bilo kojeg
polinoma ili racionalne funkcije.
Derivacije trigonometrijskih funkcija
d
dxsin(x) = cos(x)
d
dxcos(x) = − sin(x) (5)
d
dxtg(x) =
1
cos2(x)
d
dxctg(x) = −
1
sin2(x)(6)
18. studenog 2014. 9 / 17
Derivacije elementarnih funkcija
Derivacija cjelobrojne potencije
d
dxxn = n xn−1, n ∈ Z. (4)
Koristeci pravila deriviranja i pravilo za derivaciju potencije mozemo odrediti derivaciju bilo kojeg
polinoma ili racionalne funkcije.
Derivacije trigonometrijskih funkcija
d
dxsin(x) = cos(x)
d
dxcos(x) = − sin(x) (5)
d
dxtg(x) =
1
cos2(x)
d
dxctg(x) = −
1
sin2(x)(6)
18. studenog 2014. 9 / 17
Teorem (derivacija kompozicije funkcija) (∗)
Neka je f derivabilna u tocki x0 i neka je g derivabilna u tocki f (x0). Tada je kompozicija
funkcija (g ◦ f )(x) = g(f (x)) derivabilna u tocki x0, i vrijedi
(g ◦ f )′(x0) = g ′(f (x0)) f ′(x0). (7)
U posebnom slucajud
dx
[f (x)
]n= n
[f (x)
]n−1f ′(x), n ∈ Z. (8)
Teorem (derivacija inverzne funkcije) (∗)
Pretpostavimo da je f : (a, b)→ (c, d) bijekcija i diferencijabilna na (a, b). Ako je f ′(x0) 6= 0 u
tocki x0 ∈ (a, b), tada je f −1 diferencijabilna u y0 = f (x0) i vrijedi
(f −1
)′(y0) =
1
f ′(x0). (9)
18. studenog 2014. 10 / 17
Teorem (derivacija kompozicije funkcija) (∗)
Neka je f derivabilna u tocki x0 i neka je g derivabilna u tocki f (x0). Tada je kompozicija
funkcija (g ◦ f )(x) = g(f (x)) derivabilna u tocki x0, i vrijedi
(g ◦ f )′(x0) = g ′(f (x0)) f ′(x0). (7)
U posebnom slucajud
dx
[f (x)
]n= n
[f (x)
]n−1f ′(x), n ∈ Z. (8)
Teorem (derivacija inverzne funkcije) (∗)
Pretpostavimo da je f : (a, b)→ (c, d) bijekcija i diferencijabilna na (a, b). Ako je f ′(x0) 6= 0 u
tocki x0 ∈ (a, b), tada je f −1 diferencijabilna u y0 = f (x0) i vrijedi
(f −1
)′(y0) =
1
f ′(x0). (9)
18. studenog 2014. 10 / 17
Teorem (derivacija kompozicije funkcija) (∗)
Neka je f derivabilna u tocki x0 i neka je g derivabilna u tocki f (x0). Tada je kompozicija
funkcija (g ◦ f )(x) = g(f (x)) derivabilna u tocki x0, i vrijedi
(g ◦ f )′(x0) = g ′(f (x0)) f ′(x0). (7)
U posebnom slucajud
dx
[f (x)
]n= n
[f (x)
]n−1f ′(x), n ∈ Z. (8)
Teorem (derivacija inverzne funkcije) (∗)
Pretpostavimo da je f : (a, b)→ (c, d) bijekcija i diferencijabilna na (a, b). Ako je f ′(x0) 6= 0 u
tocki x0 ∈ (a, b), tada je f −1 diferencijabilna u y0 = f (x0) i vrijedi
(f −1
)′(y0) =
1
f ′(x0). (9)
18. studenog 2014. 10 / 17
Derivacija eksponencijalne funkcije
d
dxex = ex , x ∈ R, e ≈ 2.71828 Eulerov broj (10)
18. studenog 2014. 11 / 17
Derivacija logaritamske funkcije
d
dxln(x) =
1
x, x > 0 (11)
5 10 15 20 25
1
2
3
18. studenog 2014. 12 / 17
Derivacija arkus sinus funkcije
d
dxarcsin(x) =
1√
1− x2, −1 < x < 1 (12)
18. studenog 2014. 13 / 17
Derivacija arkus kosinus funkcije
d
dxarccos(x) = −
1√
1− x2, −1 < x < 1 (13)
18. studenog 2014. 14 / 17
Arkus tanges i arkus kotanges funkcije
y = tg(x), y = ctg(x)
y = tgHxL y = ctgHxL
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
Tanges i kotanges su periodicne funkcije perioda π:
tg(x + π) = tg(x), ctg(x + π) = ctg(x) (14)
18. studenog 2014. 15 / 17
Derivacija arkus tanges funkcije
d
dxarctg(x) =
1
1 + x2, x ∈ R (15)
18. studenog 2014. 16 / 17
Derivacija arkus kotanges funkcije
d
dxarcctg(x) = −
1
1 + x2, x ∈ R (16)
18. studenog 2014. 17 / 17