1

IV DIOIV DIO

PROBLEMI OPTIMIZACIJEPROBLEMI OPTIMIZACIJE

2

• ravnoteža: ciljna vs neciljna ravnoteža

• izučava se ravnoteža u kojoj se ravnotežno stanje definiše kao

optimalno stanje za datu ekonomsku jedinicu (npr. domaćinstvo) i u

kojoj će se ta ekonomska jedinica svjesno boriti da postige tu

ravnotežu

• određivanje optimalnih stanja pomoću klasičnih tehnika (one koje

koriste diferencijalni račun)

3

9.1. Optimalne vrijednosti i ekstremne vrijednosti

• suština problema optimizacije je izabrati najbolju rspoloživu opciju

• uobičajeni kriterijumi izbora u ekonomiji su: maksimizacija (npr. profita

preduzeća, korisnosti potrošača itd.) ili minimizacija (npr. troškova

proizvodnje)

• matematički, max i min prikazuju ekstremne vrijednosti

• u formulisanju problema optimizacije, prvi posao je opisivanje funkcije

cilja

• nezavisne varijble – varijable izbora

• suština procesa optimizacije je nalaženje skupa vrijednosti varijabli izbora

koje će dati željeni eksrem funkcije cilja

4

9.2. Relativni maksimum i minimum: test pomoću prve derivacije

Posmatrajmo funkciju cilja jedne varijable y=f(x) i pokušajmo razviti postupka

nalaženja nivoa x koji će maksimizirati ili minimizirati vrijednost od y.

a) visina svake tačke na grafiku fukcije može se smatrati max ili min ili ni jednim

ni drugim

b) monotono rastuća funkcija gdje je tačka D apsolutni (globalni) minimum

c) tačka E (relativni maksimum), a tačka F (relativni minimum)

5

Za funkciju y=f(x), prvi izod (derivacija) igra glavnu ulogu u nalaženju

ekstremnih vrijednosti

a) Obije tačke A i B ilustruju relativne ekstreme od y, ali derivacija nije

definisana bilo u kojoj od oštrih tačaka

Dalje, posmatraćemo neprekidne funkcije sa neprekidnom derivacijom, bez oštrih

tačaka

b) Za glatke funkcije, relativni ekstrem može nastupiti samo tamo gdje prvi

izvod ima vrijednost nula (tačke C i D)

6

Dakle, u kontekstu glatkih funkcija možemo uzeti f ‘(x)=0 kao potreban uslov

za relativni ekstrem (lokalni maximum ili minimum) ali ne i dovoljan.

Test pomoću prve derivacije za relativni ekstrem:

Ako je prva derivacija funkcije f(x) u x=x0 f’(x)=0, tada će vrijednost funkcije

u x0, f(x0), biti:

a) Relativni maksimum ako derivacija f’(x) mijenja predznak iz pozitivnog u

negativni krećući se s lijeva ka desno u odnosu na x0.

b) Relativni minimum ako derivacija f’(x) mijenja predznak iz negativnog u

pozitivni krećući se s lijeva na desno u odnosu na x0.

c) Ni relativni maksimum ni relativni minimum ako f’(x) ima isti predznak s

obje strane neposredno lijevo i desno od x0.

• x0 je kritična vrijednost od x ako je f’(x0)=0

• f(x0) je stacionarna vrijednost od y

• tačka s koordinatama x0 i f(x0) zvaće se stacionarnom tačkom.

7

(a) funkcija f postiže nulti

nagib u tački J. f’(x)=0,

ali derivacija ne mijenja

znak. Tačka J nije

ekstremna vrijednost ali

jeste tačka infleksije.

(a’) prikazana funkcija f’(x),

a tačka J’ je minimum

derivacije funkcije f’(x).

(b) nagib funkcije g(x) raste dok se ne dostigne tačka K, a potom

opada. Tačka K je tačka infleksije.

(b’) K’ je maksimalna vrijednost derivacije funkcije g’(x).

Zaključak: Relativni ekstrem mora biti stacionarna vrijednost, ali stacionarna

vrijednost može biti ili relativni ekstrem ili tačka infleksije.

8

Primjer:

Naći relativne ekstreme funkcije y=f(x)=x3-12x2+36x+8.

f’(x)=3x2-24x+36

3x2-24x+36=0

X1=2 (u kojoj je f’(2)=0 i f(2)=40)

X2=6 (u kojoj je f’(6)=0 i f(6)=8)

f’(x)>0 za x<2

f’(x) <0 za x>2f(2)=40 je relativni

maksimum

f’(x)>0 za x>6

f’(x) <0 za x<6f(6)=8 je relativni

minimum

9

9.3. Druga i više derivacije

f’’(x) – prva derivacija f’(x) ili druga derivacija f(x) ili

=

dx

dy

dx

d

dx

yd2

2

Ako f’’(x) postoji za svako x iz domena kažemo da je funkcija f(x) dva puta

diferencijabilna. Ako je uz to f’’(x) i neprekidna, kažemo da je f(x) dva puta

neprekidno diferencijabilna.

Derivacije višeg reda označavaju se

n

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

yd

xfxfxf

,...,,

)(),...,(),(

4

4

3

3

)()4()3(

10

• Derivacija funkcije f’(x) mjeri stopu promjene funkcije f.

• Druga derivacija funkcije f’’(x) mjeri stopu promjene prve derivacije f’.

• Druga derivacija mjeri stopu promjene stope promjene početne funkcije f.

0)(

0)(

p

f

xf

xf

′

′znači da polazna funkcija

raste

opada

0)(

0)(

p

f

xf

xf

′′

′′znači da prvi izvod

raste

opada

11

tačkom Ff’’(x6)>0f’(x6)>0x=x6

tačkom Ef’’(x5)>0f’(x5)=0x=x5

tačkom Df’’(x4)>0f’(x4)<0x=x4

tačkom Cf’’(x3)<0f’(x3)<0x=x3

tačkom Bf’’(x2)<0f’(x2)=0x=x2

tačkom Af’’(x1)<0f’(x1)>0x=x1

ilustrujemopredznaci derivacijaAko je

• primitivna funkcija f(x)

mora biti strogo konkavna

ako je f’’(x)<0

• primitivna funkcija f(x)

mora biti strogo konveksna

ako je f’’(x)>0

12

Test pomoću druge derivacije za relativni ekstrem:

Ako je prva derivacija f’(x)=0 u x=x0, tada će vrijednost funkcije u x0, f(x0), biti:

a) Relativnim maksimum ako je vrijednost druge derivacije u x0 f’’(x0)<0.

b) Relativni minimum ako je vrijednost druge derivacije u x0 f’’(x0)>0.

Nađite reltivni ekstrem funkcije y=f(x)=4x2-x.

f’(x)=8x-1 i f’’(x)=8

8x-1=0 x=1/8 f(1/8)=-1/16

Kako je druga derivacija pozitivna za svako x, imamo minimum i on je

relativni i apsolutni minimum.

maksimum

minimum

Dovoljan uslov drugog reda:

Da bi stacionarna vrijednost f(x0) bila relativni , dovoljno je da

0)(

≥′′

pxf

13

Uslov maksimizacije profita

Da bi maksimiziralo profit preduzeće mora da izjednači granični trošak i

granični prihod. Kako?

R=R(Q) – funkcija ukupnog prihoda

C=C(Q) – funkcija ukupnih troškova

Funkcija profita (funkcija cilja) je .)()()( QCQRQ −== ππ

Da bi dobili nivo proizvodnje koji maksimizira profit, moramo zadovoljiti

uslov dπ/dQ=0.

0)()()( =′−′=′≡ QCQRQdQ

dπ

πako i samo ako R’(Q)=C’(Q).

Međutim, da bi imali maksimum moramo provjeriti uslov drugog reda:

0)()()(2

2

pQCQRQdQ

d′′−′′=′′≡ π

π ako i samo ako R’’(Q)<C’’(Q).

Ekonomski, to znači, ako je stopa promjene MR manja od stope promjene MC

pri proizvodnji za koju je MC=MR, tada će proizvodnja maksimizirati profit.

14

a) U intervalima (0,Q2) i (Q4,Q5), π<0, a na

intervalu (Q2,Q4), R>C, pa je π>0.

b) Q3 maksimizira profit

Q1 minimizira profit

c) Q3 zadovoljava uslov da je nagib krive MR

manji od nagiba krive MC, dok za Q1 ovqj

uslov nije zadovoljen.

15

Koeficijenti kubne funkcije ukupnih troškova

• kubna funkcija uvijek sadrži dva ili jedan prevoj prevoja

• kubna funkcija može na svom grafiku imati dio nagnut

prema dolje, dok bi funkcija ukupnih troškova, da bi imala

ekonomskog smisla, morala biti svuda nagnuta prema gore

(rastuća!) (veća proizvodnja, veći ukupni trošak).

C=C(Q)=aQ3+bQ2+cQ+d

Kako ograničiti parametre tako da spriječimo da kriva C opada?

MC=C’(Q)=3aQ2+2bQ+c

Da bi MC bila svuda pozitivna, nužno je da je parabola U-oblikovana tj a>0 ,

ali to nije dovoljno jer minimalna vrijednost U-oblikovane krive MC, MCmin

može pasti ispod vodoravne ose. Pa, mora biti:

MC’=6aQ+2b=0, a nivo proizvodnje koji zadovoljava ovaj uslov je

a budući da se negativan obim proizvodnje isključuje, to je b<0.

a

b

a

bQ

36

2* −=

−=

03

3

32

33

22

min fa

bacc

a

bb

a

baMC

−=+

−+

−= b2<3ac, pa c>0. Takođe, d>0.

16

9.5. Digresija na Maclaurinov i Taylorov red

• razvoj funkcije u Maclaurinov red (razvoj oko tačke x=0)

• razvoj funkcije u Taylorov red (razvoj oko proizvoljne tačke x=x0)

Razviti funkciju y=f(x) oko tačke x0 znači, prevesti funkciju u polinomijalni

oblik u kojem se koeficijenti različitih članova izražavaju pomoću vrijednosti

derivacija f’(x0), f’’(x0), itd. – sve izračunate u tački razvoja x0.

Rezultat razvoja može se zvati red potencija jer se, budući da je polinom,

sastoji od sume potencija.

Maclaurinov red polinoma

Posmatrajmo razvoj polinoma n-tog stupnja f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x

3+...+anxn

n

n

n

n

n

n

n

n

annnf

xannnaxf

xannxaaxf

xnaxaxaaxf

)1)(2)(3)...(2)(1(

)2)(1(...)2(3)(

)1(...)2(32)(

...32)(

)(

3

3

2

32

12

321

−−=

−−++=′′′

−+++=′′

++++=′

−

−

−

M

17

n

nannnf

af

af

af

)1)(2)(3)...(2)(1()0(

)2(3)0(

2)0(

)0(

)(

3

2

1

−−=

=′′′

=′′

=′

M

!

)0(

!3

)0(

!2

)0(

!1

)0(

)(

3

2

1

n

fa

fa

fa

fa

n

n =

′′′=

′′=

′=

M

nn

xn

fx

Ofx

ffxf

!

)0(...

!2

)(

!1

)0(

!0

)0()(

)(2 ++

′′+

′+=

Ovaj novi polinom, Maclaurinov red polinoma

f(x) prikazuje razvoj funkcije f(x) oko nule (x=0)

18

Uopštena formula za Taylorov red je:

nn

xxn

xfxx

xfxx

xfxfxf )(

!

)(...)(

!2

)()(

!1

)(

!0

)()( 0

0

)(2

00

000 −++−

′′+−

′+=

Ona se razlikuje od Maclaurinovog reda samo za zamjenu nule sa x0.

19

KARAKTERISTIKE FUNKCIJE. GRAFIK

Ispitati funkciju znači odrediti:

1.Oblast definisanosti Df

2.Parnost, neparnost, periodičnost

3.Nule funkcije

4.Neprekidnost, ponašanje u prekidnim tačkama,

vertikalne asimptote

5.Horizontalne i kose asimptote

6.Znak funkcije

7.Tok, ekstremne vrijednosti

8.Konveksnost, konkavnost, prevojne tačke

9.Grafik

20

yx

x=

−

+

( )

( )

1

1

3

2

Rešenje.

1.Domen: x ≠ -1.

2.Zbog nesimetričnosti domena nema smisla ispitivati

parnost i neparnost.

3.y = 0 za x = 1 - trostruka nula.

Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik

limx

y→− ±

=+

= +∞1 0

8

0

lim , limx x

y y→−∞ →∞

= ∞ = −∞

pa x = -1 je dvostrana vertikalna asimptota.

grafik nema horizontalnu asimptotu.

4.

5.

21

5)1(

521lim

)1(

2331lim

)1(

)1(limn

1)1(

)1(lim

)1(

)1(

lim

2

2

2

2332

2

3

2

32

3

=+

+−

=+

+++−+−=

+

+

−=

−=+

−=

+

−

=

−∞→

−∞→−∞→

−∞→−∞→

x

xx

x

xxxxxxx

x

x

xx

x

x

x

x

k

x

xx

xx

Isto se dobija i za +∞, pa je y = -x + 5 kosa asimptota

6. Znak: za x < 1 y > 0, a za x > 1 y < 0.

22

0)1(

)5()1( .7

3

2

=+

+−−=′

x

xxy

10)1(

124 8.

4=⇔=

+

−=′′ x

x

xy

⇒za x = 1 ∨ x = -5.

↓0↓↑27/2↓y

-0-+0-y'

(1, +∞)1(-1, 1)-1(-5, -1)-5(-∞, -5)x

ymin(-5) = 27/2. x = -1 nije apscisa ekstrema.

∩0∪∪y

-0++y"

(1, +∞)1(-1, 1)-1(-∞, -1)x

P(1,0) je prevojna tačka (nije ekstremum).

23

9. Grafik:

Napomena. Primjetimo da je x = -1/3 presjek

kose asimptote i grafika date funkcije