1.4 Método do histograma simples

A idéia de utilizar histogramas para extrair informação de simulação Monte Carlo não é nova, contudo só recentemente foi aplicado com sucesso para o estude de fenômenos críticos \cite{Ferrenberg1988, Ferrenberg1991}. Nesta secção será apresentado este método e algumas de suas características.

Considerando um sistema canônico tem-se que a probabilidade de observar o sistema com energia total $E$ e magnetização $M$ é dado por:

\begin{equation}P_K(E,M)=\frac{W(E,M)}{Z(K)} e^{-kE}\end{equation}

Onde $K=J/K_BT$, $W(E,M)$ é o número de configurações (densidade de

estados) para um valor de energia $M$ e magnetizacao $M$, $Z(K)$ é a função de partição para um determinado valor $K$. Agora considerando uma simulação Monte Carlo executada a uma temperatura $T = T_0$, ou seja, $K=K_0$ para a qual se gera configurações do sistema com uma freqüência proporcional ao fator de Boltzmann, $exp [-K_0 E]$, pois a simulação gera configurações de acordo com a distribuição de probabilidade de equilíbrio. Assim um histograma H(E, M) dos valores da energia e da magnetização provê uma estimativa para a distribuição de probabilidade de equilíbrio, esta estimativa seria exata para uma rede de comprimento infinito. Para uma simulação real, o histograma sofrerá erros estatísticos, mas $H(E, M)/N$, onde $N$ é o número de medidas feitas, ainda provê uma estimativa para $P_{T_0} (E, M)$ , logo :

\begin{equation}H(E,M)=\frac{N}{Z(K_0)}\tilde{W}(E,M)e^{-k_0E}\end{equation}

onde $ W(E, M)$ é uma estimativa para a verdadeira densidade de estados W(E, M). O conhecimento exato de uma distribuição de probabilidade para uma valor K é suficiente para determinar qualquer K. Invertendo a Eq\ref{} determina-se W(E, M):

\begin{equation}\tilde{W}(E,M)=\frac{Z(K_0)}{N}H(E,M)e^{k_0E}\end{equation}

Substituindo $\tilde{W}(E,M)$ em Eq.\ref{} com a expressão para $W(E, M)$ da Eq.\ref{}, e normalizando a distribuição encontra-se a relação entre o histograma medido a $T=T_0$ e distribuição de probabilidade (estimada) para uma temperatura arbitraria.

\begin{equation}P_K(E,M)=\frac{H(E,M)e^{\Delta KE}}{\Sigma H(E,M)e^{\Delta KE}}\end{equation}

Onde $\Delta K = (K_0 - K)$. Assim calcula-se o valor médio de qualquer função de E eu M, expressa por $f(E, M)$ como uma função contínua de $K$:

\begin{equation}

\langle f(E,M)\rangle_K= \Sigma f(E,M)P_K(E,M)\end{equation}

A capacidade para variar $K$ continuamente faz o método de histograma ideal para picos localizando que acontecem em deferentes pontos em diferente derivadas termodinâmicas, e possibilita estudam comportamento crítico com resolução sem precedente.