13numeros complejos algebra
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__ se_- el _elos_'o_1lp I_7iu_', poI' cjeIJ_pIu, pel-o J__e.TUoJJ{a, _, ... ),_ dotndn _e?II11 c_I__JJJe7Jto (_J(idn_, e,__ sen_
eJ7.Tio_I_9_', Si Iosc_/c91Jc1Jfos_e l''sy11 iIF_ic_nJos_rJ/_(_X,ecf ol_ir_l.'
eJ1Jn, i1J_icndn "+ 'J, c_ol(11IJrtntiz'n, n._nc'inti__r_,__renl _J{ecndn z'ec'ro/"_Xt_1Jen _n/_n __._rn Ie_.)_ I_9Jop_resro
_teJ1Jn c_1l o__9l_rlc1oJ___s__JJI_ rlsrJc_inli_'r_ .)' _ist/i I_lrli__n r'oJIili_JJi91fos' __ lí,'
UJ. _U_n, ..,., _U,, tn Jes_JreJr17 z'_7c'to1"c'Jrnl_Jri_/_nrl__ r's-eeestus _'_Jctu/__Js.)' rJecoc,_ic'i_7/Ite_s/eJ, __,, ..., _,
,
rl-n _er_JJillo, cspJ-Rciso de_iJ_iJ- eJJeI JJJisJJJrJ( JJJr_ln, Irl o_r_J-nc-ióJJ''xn '' _IJces nsor'ir_liz_n, JisrJibJJti__rI _'/J/Ic'uIJIn Ie.?' c,__Ie?J_Jn, esdec-iJ-, _ rnl r In.Te_Jrc rc_JJ_nJJJos,__JJ
rJu _lIerIefiJJeeIpJDdJrcfo deI r_1Jillo coJJsirJr?J_n_o.e/ _'JrrI/ e_J__'oIJJp Iejo o, JJJcioJ' (IJJríJ__bJ_n. ,_Jrse Je_JJcJJ/os' s__us.__rrl 1J_o Iosele-JJJe_Jtos debnse_oJ1J_nJJJJJJ __J_rpo prI/_n/Jn._oJ1JJn_/o eI _7_____rn deI_J__po-
7rIJJr I':.. IJt__JJ'li_J._.
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x_00___0_0__0_0_________00__00___________0___0_0______________00__t___00_0__00________________________/______________________________________________________________________________t___________________0___t_____________________________o0o______________0__________o_______________________c________________________________________o____________0o_______________________________________________o__________D_________mp0p___________o_____o0________________________0_____________p_0______________________________________________,________e__________________J_0_____0__0_o,_______0____0__o_______0_______0_____0__0_____0______o____0___s_0____0p_______p_s________p____0____0__________________0___0____o_________o________0_________0_____00_____________________________________________________________________p_________0___________
'_'_,'_'_'_'_''_'_'''''____,''_,__'''' \ _'____'_'__''___'___'____;.,:_,;,__.,.__,:_,:.,_,._'_,.::.__, '_:'_,.___''__,.'__,'_,_,__,__,_'_,:',.::''_'_:':''_'''':_::'_:__'''''''' :__,:';_'_:''::'',,,___,:_,__,___,____,___,_,____,_.__:_,_,__,,__.:_:__,_, .:;..;..;,.'_,_:,',:'_,_'_,_''__,_;'__'___:,,,''',;__'''''''' ,.;__',,,,,,__'__:_:,'_;:____:''_,''__,'_,_,__,,,,_;,_;___',_:'_,:'_,,'__, ''_''_'__,,_,_'__,,,'_,,__
-- =-- _= = = -- - - _-- ; =_ _ =,--- ___--__ - - - -- __-_ - = =_ ' :. _ ___,_ ' ':_ :'.._,.. ____.: '_,:':: ' ' ' ' '_' ' _ ' _ _ Y' / ' _ _'_._:. _ _ __' _': ;_. _:__.;.,;,..:. _ _. _: ;. ; ;;,: __..;;.._.._: _,_;.__,;,:. _,., _. _..._ ;, _..,.. _. :_.. _. ._;,._.:,__.: _.., ;._ :.:...: :, '...:. __. '... _ ' :..' ' ' ' ' ' _' ' _
'''''' -- . , ' _'.m_,,mu_encollama'' d'o~Elca-_:__lejo_q_d__ _a_. papel ,?_?'_,_=,ne's' '':''',p0 o_omal_s. . ' ___'_amas, '_'' ,e,, I8, ___- - - íá y __lacienc_'._ _ '''':: ' ..' ?'
oselect_,c,, _'s, ,_ geo_t_a_racta_, etc. \ , ,_ / . ...._.."_ "_ .i_
el muyimportanteen el desarrollo del Algebraen especial lasecuacionespolinomialesobe deceal Teoremaón escomplicadapor medios algebraicos; en cam_io por et
eLioville; lademostraci6n esbastantesencillay rigurosa(ver
mico necesiEamoshacer uso delase cuacionesesolverdichasecuaciones seutilizan alosnúmeros complejosn problemadeonda sseutiliza el méEodo devariableser.
slasra masdela Ingeniería. Por ejemplo en lacos.
asseha desarrollado laGeometr{a Fractal ; dondeentreoscomplejoslos cualesson un componenteimportante
aplicac ionespropiasde laGeometría Fractal (Física,Química,ía, Arte, etc.). LaGeometríaFractal nacepor lamismaquela geometríatradicional o Euclideatiene limitaciones
como montañas, Iranjascosteras. sistemahidrográf_cos.objetosque no son Fácilmentedescritospor lageometría
descripción y unaFoimademodelo matemático paranaturale2a; todo esto esposiblepor queladimensión
uclidea.
actal esel deautosimilitud, esto quieredecir_ quecadaecon unalupaposeela mismaFo__ay caracteíslicas queel
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____ ____ ________ _____________________________________________________________________________________________ypxw________________4___0________0_________________o___________________________________0______0____________0___0__0__0__0_0_00_______0__0_______0__D____00___0D_00_D0______D0___0______0___00po____0__o____0__0__0__0_po__p__0_____p___0_______0______________0w_0__0p_0__D__0_0___0_D0_0___00___0____0_D00_0__0___o_D0____0__________0_0___0__p___0___p____________po___________________________________________0___0_o_________0_0_____0______________________\_____\_______n\__m__t__ __5__0___
sal8ebr_icash_ l'leuad0 at h0mbr_ de_deI_ n_mel_osnatura/_s0 los___,_
DS IrraCl On eS y 4 SIStemaConp etOeDsnUmeroS __a' es.l __mefc_rl_CodeJoslVnd_mentos' deJ_na__J-_r_smodgmodgsc__,b(._esra_,,,
mprensr_n del si_em_ d_ númeraspor el hombre. _abem0spor eiemplo, que'___i__x"'' con laproped_d deue___car.. _+ l _O; eI problem0 es_n4/ogo; _u0ndo ei '?__,L__re_sne.ia. rjuos;' s_lo contempl4b0 Iaec_aci_nxt___9,_eF n_mero -5 0u'n no _'___,_,
númeIoscomplej_ s' î_' uje' n'' do est4sm sm.. _sIjneas, l_sde_inicionesy __las____,,?___' '' ' '' _'_ '' ''' '_''L?sistem_ de' númerasesu_ n_ ext_nsF_n de/sjxe.made.J_ números r_oles.__''_,me_sco_pleiosy l_ pnmerap_b_ s0l_- _aclm del teorem0 .___71 -J8S5_ensud(irt_ri6n_to_tenl __ Mterm'nonúmero
n_'c_'_n denu'me_s'' co_reJ_Dsiomopa_so_d_n__e_nu_me_s_e4Jesruei____temdtjco ,ifIand_S _llIW' m R_n Hamilto_ lJd05 - l 865Jy Iue_o _,_di_ est_ den___, d_ los_tim_ comp_iosal_ n _d._sordenadas__XJ,' eStOS nÚm_iO_ hipercOm_l_iOS __J1er_l_an 0 l_n__ COm._leJOS y a_
aI jmport'anci0 en Á_eb_. En l4 teo__ d_ t_ funcjmes_n_/íticasde_rDscomp IeJosiueg_n _n p0pel j___teen lasecuaci0ne__erencjaIes; en _., iones, uib__c(ones, fenbneno_. md_loronos, n --7os_cr_les9ueesuno ___omo Iosd1rerencio Ies. ;__\-,
enumerosreales(x ; y) ; esdecir x ; y _ 7R ; donde''x''componente.
amosel conjunto delosnúmeros
Comple_os
_r4.
, __ (2+4 _, 3+5) __ (6 ., g)
(-7 i 22)
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_____ ___ __ ________ _____________ _______________._ ________________ _________________________________ _________________ __ ______________________________________________________ _________ _ ______________________________ __________________|____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________ _ __ ____ ____ ___ _____ _ __
complejos; estamismaoperación deadición en V_aciÓn demultiplicación sedistingueen _ yV2; en losnumefos
mero complejo; en cam_io lamultiplicación dedos vectoresue un vector tienedirección; en cambio un número
_.;'',, '''' ':_ ' ' '':'''"' ' ' _'- ''_''' /
UC16n_
.2..,__'''''''_i__ ___Y2 ___,.___,__,, __=_2 ̂ 4=X-3 _ Y+I_5-Y
X+ _'--9
d__ Ga. _s_ ,, ,,., ' _' _' ,,,
cual PROPlEDADES: _ _,; _, ; z3 e _el e)e"X'' A_: __+_2 f _ (Ley de ClaUSUfaOCeffadUraal deParalaadición)naAJ_; __+?J_ -- ?7_+Z_ (Ley Conmutativaparala
ma
ditiv_).
__(o.o) _, _,_!o)
CerradUfa_ara
v_ _arala__ _- ____- - - ______'__,,___,_,_,_____ multiplicación).
fm__--(I; O) tal_ue5. _'= _ __?__.C(e__istenciatiVO)_
?.- _. ' Nd ' _ V' Y?_ F '
erlnidasmu_t__p___cat__r D( + _) +
(le), d;stribut;_,a) -
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mero real 8_ obtenemosevidenternenteunascorrespondenciabiunívocaentreel conjunto
nsiderado depuntosy el conjunto detodoslosemásnúmerosreales. Como aplicación delasor. operacionesdeFlnidasen _ tenemos:
)S ean _
ealOS pUntOS (a;0) SemUltißliCan en_ Sí (X3 ;y3) l_Ual qUelOS nÚmefOS fealeS CO_eSßOndienteS_
ChOS nÚmerOS nOSediferenCian eny_+y3Jnada_Or SUS prO_iedadesal_ebraiCasdeloseS fepfeSentadOS OCdinaflamente
Of pUnt05 deUnafeCta; _Of lOtantOCOnClUimOS:
y2) C_
,+y,x,) Al Paf l2 i O) leCOrreSPOndeel nÚmerOreal l2OJ= l2; an_logamentecitamosos:
) ' 4 i O=
plejosi,n _ T E o g E M A__s'' ' -on , _F'_i Z = (XiY)ede_,_____, (x _ y} '_ _ _ secum_ler5 = (rXi fY)
O) el
n
dos e/stosel ma_s__m portantees_. ,a_ cua_eal d . .d d . . .
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__________________________ ______ ____, _______________________ _______ ________________________ _ ____________________________________ ___ ______________________________ ____________________________ ___ ______ ____ __ . _ ____
,maginaria; tienelaparticular notación i = (0 ; l)
Ao i"; 4_
P0f lOtantOi _ l
,,, ,m,,,,,;:,, ,o,,,,,,,,,,, ;';,,,,_';' ':'' ,,,,,,,,,, :,.__..,..,.b' :,:;,.,..o. .,_.....,,,., .,,,a..,.,.,a ,,..,...... _____i0''"'' Luegodeduc_mos que
Luego sededucedeece_N- ,j - k _ l_ _
do a_t __ .._. ( _ _ )_ ,_ k . _J_ ___-_
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_ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __
Ii FICar
V_- i 2! + i J! + i J'' _ ..... + i l20''
o de_"'_'_'a___0_____00___9__,___'P80O____'__,a__'___'_____''0__0__i'____'_,''0 '___'__,''_ CUatFO_ n > 4__',__,_"_,_'''__''__ (Por _ropiedadesarilmé_cas) ____.,_d__,o,,,. _ _q
UNC0MPLUO'
m__cao cartes__ar_.' ' _'__ ; _'_) escadauno delossiguientesnúme_osco_np_e,ic__dospoF suscomponentes.
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_________________________________________________________________________________ ________________ __________________________________________________ ____________ _ _ ____________ ____________________ ________________________________________________|_
Ejemplo 2o+ 12i
enEación Geométricade?= (x,_y), de su
_l'
;';!"! ;'__ _'' ' ''' '_'' 't ;' '''''4'tt'. '''''''''>
s_= _; __ ; ?__ _?_
e70fea1
mp_e__ imagin_ri
al 4, + -_
eF_ne_z_ _
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_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _
Ao cnRTES_m' ''..._._._..._ ,x __ . . ' , ',.,,xo.,,.,,,.,,,.,,,,,v,,,,,,, _'___^^'_
___^_o0 '''_______o_ '_ _____ _____?o' _ '__' __''' "'_ ''_'''' ''''_''' ''_'''''''_''''_' _'''_ ''''_'''' _'__''_ ''''_ _' __'0'__''d''0''' __'_'0'0_''_''dd'__' _''.'__'___'___0_dd_'_'_d.''___'__ 'd'D_DD__ ddDdD_,____._''_.._''__'''_'''_,0''._,^''_,'''__,._''_',._'',._^:,. _ '''_'___damosladennición rigurosade la__D__,,,0'_,,
pticación dedos complejoscomo par _D'''D__',''_,_ado, tenemos: _,,_0:'_D,__'_'-~_''"_i'''__'_^^"_'_'_'_''_''_'''''_'^_^i_'"^^"^^'_'_'_____ii_'_______'___,.?.,.y Io expresamosen formabinómica__D__o'_.
c_bd) + (ad+bc)i __''_,_"__'__d_'___ ' _' ___ __''D_______'__''____'v_ __' Llegamosal mismo resultado, esdecir ladeF_nici n __0_.__._.
____-______ '__-'-'_-_''____'a- _'0____'_'__'_'_ _'__''__'_'__'_'_'_'_'_'______0_0__00'_0___o__'-_ __-' ____'___0__'_d_0''__-__'__'_'_''_'_-'_'___'0_0__o______'_'___-____0'-__i__' _'_____-__'_00o00_0_0_'_'_0''_'_''__0___'_ _-_'_'__ _'''
acionesindicadasy halla_:
amultiplicación denúmeroscomp_ejossaet orden
OreS._ _ -' _ : ' ' = _ ' ' _ i ' __ 0 ' ' _ 0.; ' _ ' 0' ' P ' ' ' ' ' ' ' __ ' ' ' ' ' ' _ _ ' ' _' ' ' _ _ i __ __ __ i _ O,._. ' ' _ ' _ ' ' ' ' ' ' _ ' ' ' _ ' _ ' _' ' ' ' _ ' '- i ' i ' ' ' ' '''__ _ i ''_.. Lue,o_,e t.,a''''_"_'' _''''''"''"^'''^'"^'^''""_'P _ = ( l + i)( I +3i)(3- i))(6+g__
+8j+ 6j+8j2 = -2+l4j
S sean los númeroscomplejos___ , __2 pafaerectuar___n _ habrá4UemUltipIiCar a__ y___
l SeObtiene
.,.,,,,,,.,,...,,..,....,.......,.,.,p.,..p ,..,......,,,.,a,,,.,0_,...,,......0.,..,,.,...,, .._.., ?_ = a+bi ,_2= c+di_,..D?_ a+bi (a+bi)(C_dj)'_'"'^^"^'^''"'"i'''i''''''i '''i_i'i""'^00^"''' '''''' ' _2 C+ di (Ct di) (C - di)
_?."i'___"_''''''' ''m_'''D^^_^^_^^^̂_^^^^_''^_'__'_''''''_'''_''___"_^_^̂_'"'^_'_"^'^'0^^_^'^' -'____D__0''
__
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_ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
esolución:ndo EFectuando por separado2 2 __
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_ _ __ __ _ _ __ _ _ _ __ __ _ ] _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ __ _ _ _
_' _' ;_ ' _ __n.aEn FonnaanáIogaseobtieneemos
Nos_N
2+ y_ _ x+ x2_ v2aa ' t ; b _ t '
nCeS_ SetendralOS__U_ente
osignosdiferentes
or lo tanto
ro: cyx x22 sn , x xa 2 i
iene_ , , , j_
_i) = +-_(2"i)
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__0_______op_0__po_40p_p_n0___0_0____0_0_0__0___0__0__0_0__0_00_o_0___00_____0_____0_0__0___p____00__0__0p0o__0_0_po0_y_____D___0_06___0_p0_00_00_0pap_0p_00__0_00____0000__o0_00_p_0_p0_0_____0____0_0_p____0___o_____p_p___fttt0___0_o__0__________o____0_____0_o__________________________________t__0________p_0____0_0____pp_o__0_0J___00_00____0__D_0_D0pp0____D_0__0____0________________0_______0_____________o_______________o_____o_____________p_00_o_0oo0___o0_o0__p_p_________0_o_oo____000op___p___________________________________________________________________pa__________2______t___________1________2__n__ff_____E____v___et_____l____c___e_f__x_s________f_____(______E_______z_____f)___)________E____f_(___ ______ )t_t 1_______0________________o0_______0_______
NMER_ CaMP.L_.O' '' 'Oi IEDADE5ado DeladeF_nicjo/n demódulo sedesprendetaseS; Se an _?; Z_ ; __ _ _
_'__-__' '__'_'_____0___d_____ __'0_'__'__'_ '__'____ '_'______'_________d___________ __._____._______. 0___0 0_'___0______."__0__0_B____0.____0'____0_o_______0__8_a_______' ____0_8__8__'_____ i____________.____ 0_____0_8_0__0______________00__0____0__8_______0_____________8_______8____0_______o_______T___0_0__0_-___0__ ,,0,..,ot 2.0; _.. t._f__Q.__ __(o;oJ. _,.:__.''''_.':''''':''::__''':........ ...''''''''''.. __ î___. _.,_ .. _ _.,,,___,_ __ __ _._,__....':..... ''' :;'. ; .. ': :...g. ;. ,. __ec2. )f __f2l:_'_, f' :: '_ ':_m(5. _) 5_, _ __,,'...l__2, tt.2l ._. l.__.1.1 l.Z_i.. .., ..... ... _o.
__. ('0;_J___::' '' ____oo,0,_ __ m.e'''_'__:'_,_......... ............. ..... _,'_,:
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pleJos_. l 'l'2 f ' _- ('l'2) ('l '2
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_'̂ __ '̂___'______^ v_'____^̂ '_________'_'______________________',____,,' _0___,.._,_,.,,__i,g____o, z a% 1 z1 = 1 al ___''?_o_'' _ _ _ _ _::,'':_ z__b; _ lz1___b1 ___,_,,D_,,, Z_Z2+ZJ?2=2Re'1_2 __Re'_?2_?_?2
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_ ______________________._| _______________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________ _____ ___________________________________________________ ____ ___ _____________________ _____ _____________|____________________________________________________________________________________________
2 + 2 I_, l l _, l + _?2 l2_ ( l?, l+l_?, l )2
_mE_ocom_. L_. o
_,_''ii_'P''' ''''''' g''''i'___i,N... ,,..d.d,.,..,...,,...,,,.,,,,,_...,.d._'__
prjncjpal de_os
d?_,,__0,,_,B8,_.__8,_,_.,_,,8,.,_D,,,_.,,,,_,,_,__,_,.,_.,_,_.,.,_.,_.,_,_.,_.,_.,,,,.__,_,_,_,.___,____d__d'"''d'
_ ' _ ' "_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ t t > ''__^_^'_,'_,_D^'_,,_,____,__'____'____' __'i0'_a^____i._'_,_' ̂ ''"i____'_'_____._,_.___o_,_o__o______0__',,.____,_g_.i__,,__.?__,,_._..._a.__,_,.?._.._.__'0____",o'___=____=_,__,___'_.__.a_,__a_____,___,._i,?_.
_ a, gum e, t o d e, AF g( ,) t em b., e/, se_ e__,___o,,,
elángulogenerado_relradio ''00el _.,.........,...................,,....,,........d.,,,.....,,..,,.,,,,,,,,,,,.,,,.,..,.,.........._... ejereal posilivo haciaun pun(ocualquieradel
,iiii,0,,0,,0,,,0_,.,,0_.,,,,0,,,,,,,,,0_,,0,.,..,...,,,..,,...........,.....,...,.,........,.......,,...,.,....,...,........,.....,,.,...,..,,.,.,..,0o.0..0.,.,....0,0.0,...,.._d,,.,,,,,.0.,..0,..,,..,,,,,,,.,,.,0,,0,,,,,...,,,,..,,,,.,,,,.0,o,,,,,,,,,0,,.,....,......,,..,.o....,.,......,,...,,..,,,,,.o.,,.,,,,,.,o.......,,,,,,,,,,,,.,.,,.,,....,.,.,....,.......,,..,,.,,..._..,,.
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__ _ -_-___ _________________________-_----------_ _---_-_--_________--_-_____-____ __ _ ___ _ > x
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mento _ _1 __ t _ o
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__________________________________ ____________ _______________ _ ___ _________________________________________________ ________________________________t_________________,______________________0__0_____________________________________________________________________________________,______________________________________o0_________________________________0_____0_____p_0____p0__000_p00____0_0t_00__0______0_00____0_0_0_0000_Q_0__Q0__0__Q0___n0_______0__00_0_______0o0__)___q___sp_________________________o_____0___p_______,000p_00_30__2p_)_3p_0__s00___D___0__0x_____
reSenlaF en (O_aPOlaF ?t = 4- 3i
_,_,_,___,,__,_,_,,__,,__,_,____________,,__0__,____,,^'____,,0,,_,,_,,_,_,,_o_,'_, argumento prjncipal en et inte1valo'_.<-_;_I,esdecir_ __<0__;_rettono ___'.consideramosen _,.
l
1z l 1wl (Cos(0+a)+Sen(0+a))
,^^_,,,,_0_'̂_^'^^,,^^_^a0__^_'_a^'̂_^^_^'^_^__,^'__,^^'_,,'___'__,__,_^_,,'_^^__,,^^'__,''_,,^^'__,^',,,^^',,^,_,^^__,_,_,'__'_,,̂___,_,__^'_,,^__,^^'_,,̂̂ '__,_^_,_,^__,__,^'_'_,,_____,,__,^'0,,,,^^_,,̂̂ '_,,,_^''_,,,0^'_,,,,^^'__,,^^'_,,,.cued,en_e seencuentre eleF_)ode __r,_,,DemOStraCiÓn_^:.____^_'____':_,^____^̂_' y luego catculamosapactir de_D,_^_^' l. _w = l_t ._wt (cosg+isen8) (cosa+isena)
na)__ _____, ___0_____D_,_0!,,,____,0,,_00n, 0n_ ,,0_,__,_ 0_,_,_,__. _0_0,___n_0,0,_0,_0,0,_0,_,0,_0,0,0,_0,0,_0,0,_0,,,,,_,0__0,0,_0_,,,___,_,_, _0_,_ ,,,,,,_,0n__,0n0_8,,___0_,__,_,_ ,___0_0,,_0 _0,__8,,_,_n0_0,_,0,,_,_,_,,,0,__,__ 0,0,_,0,_0_0,_0,_0,_,,_,_,,0,_0_0_8,,__0o_0_,__ _,___,____ __ __ +i ( Co s 0 Se n a+S en 0 Co s a) I
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sólo _'0' e'= _ e'N' 8_'
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dap,,, represent,, en Fple_oensurormapolar. Así
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