1. PARA ESTUDIANTES DEINGENIERA Y CIENCIAS

2. PARA ESTUDIANTES DEINGENIERA Y CIENCIASJuan Carlos Del Valle SoteloInstituto Tecnolgico y de Estudios Superior esde Monterrey, Campus Estado de Mxico 3. Director General Mxico:Editor sponsor:Coordinadora editorial:Supervisor de produccin:Miguel ngel Toledo CastellanosPablo Eduardo Roig VzquezMarcela I. Rocha MartnezZeferino Garca GarcaLGEBRA LINEAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA Y CIENCIASProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736ISBN: 978-970-10-6885-41234567890 1098765432101Impreso en Mxico Printed in Mexico 4. A la memoria de Esther, mi amada madre;a mi hermano Manuel;a mis hijas Miriam y SamanthaEn un universo quiza infinitoinconcebiblemente antiguoes una dicha saber que tengo mi origenen una amorosa madre y en un hermanoque me cuido como a un hijoy por eso es mi padrey percibir una infinitesima parte de men la mirada de dos pequenos seresque en momentos difcileshan sido tan grandes. 5. ContenidoAgradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIIIPrlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVPARTE IMATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTESCAPTULO 1 Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 1.1.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.1 1.1.3 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.1 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.1 1.1.5 Matrices con numeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 1.2 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 1.1 1.2.1 Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1.1 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 1.1 1.2.3 Operaciones de renglon para matrices, equivalencia por filas y soluciones1 1.1 1.2.3 de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 1.1 1.2.4 Metodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 1.1 1.2.5 Metodo de Gauss-Jordan y sistemas con solucion unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 1.1 1.2.6 Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311 1.1 1.2.7 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 1.1 1.2.8 Sistemas lineales con numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 1.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 1.1 1.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 1.1 1.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55CAPTULO 2 Matrices invertibles y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 2.1 Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1.1 2.1.1 Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1.1 2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 1.1 2.1.3 Metodo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 1.1 2.1.4 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 1.1 2.1.5 Inversas de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 1.1 2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 1.1 2.2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 1.1 2.2.3 Metodo de la adjunta para hallar la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831 1.1 2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 1.1 2.2.5 Determinantes de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851 2.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861 1.1 2.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861 1.1 2.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102VII 6. VIII CONTENIDOPARTE IIESPACIOS VECTORIALES, PRODUCTO INTERIOR, NORMAS,VALORES Y VECTORES PROPIOSCAPTULO 3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1131 3.1 Geometra de los espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 1.1 3.1.1 El plano cartesiano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 1.1 3.1.2 Interpretacion geometrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171 1.1 3.1.3 El espacio vectorial Rn, geometra y propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191 1.1 3.1.4 La desigualdad de Schwarz, angulos entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . 1231 3.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311 1.1 3.2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311 1.1 3.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381 1.1 3.2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391 1.1 3.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431 3.3 Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511 1.1 3.3.1 Criterios de independencia lineal en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1561 3.4 Bases y dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581 1.1 3.4.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581 1.1 3.4.2 Dimension, extraccion de bases y complecion de un conjunto L.I. a una base . . . . 1601 1.1 3.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691 3.5 Espacios vectoriales sobre los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731 3.6 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751 1.1 3.6.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751 1.1 3.6.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207CAPTULO 4 Espacios con producto interior y espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2351 4.1 Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2351 1.1 4.1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2361 1.1 4.1.2 Ortogonalidad y norma inducida por el producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2471 1.1 4.1.3 Desigualdad de Schwarz y angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2521 1.1 4.1.4 Proyecciones, proceso de ortogonalizacion, factorizacion QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2631 1.1 4.1.5 Aproximacion optima de un vector por elementos de un subespacio . . . . . . . . . . . . 2831 4.2 Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3031 1.1 4.2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031 1.1 4.2.2 Distancia en espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3091 1.1 4.2.3 Normas que provienen de productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3171 1.1 4.2.4 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3241 1.1 4.2.5 Construccion de normas en espacios de dimension finita a partir de normas en Rn 3341 1.1 4.2.6 Aproximaciones optimas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3371 1.1 4.2.7 Que norma utilizar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3411 4.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3471 1.1 4.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3471 1.1 4.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383CAPTULO 5 Transformaciones lineales, valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4151 5.1 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4151 1.1 5.1.1 Definicion, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4161 1.1 5.1.2 Nucleo e imagen de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4221 5.2 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4331 1.1 5.2.1 Vectores de coordenadas, cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4331 1.1 5.2.2 Representaciones matriciales de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411 1.1 5.2.3 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4471 1.1 5.2.4 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 7. CONTENIDO IX1 5.3 Valores y vectores propios, diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4571 1.1 5.3.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4571 1.1 5.3.2 Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711 1.1 5.3.3 Valores propios complejos y diagonalizacion sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4821 1.1 5.3.4 Operadores autoadjuntos y matrices simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911 5.4 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4971 1.1 5.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4971 1.1 5.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539PARTE IIIAPLICACIONES, USO DE TECNOLOGA, MTODOS NUMRICOSCAPTULO 6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811 6.1 Matrices de incidencia y teora de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5811 6.2 Redes de conduccion y principios de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5891 1.1 6.2.1 Flujo vehicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5901 1.1 6.2.2 Circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911 1.1 6.2.3 Balance qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5951 6.3 Analisis insumo-producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5961 1.1 6.3.1 Modelo para economa abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5961 1.1 6.3.2 Modelo para economa cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6021 1.1 6.3.3 Singularidad de la matriz de Leontief para el modelo de economa cerrada . . . . . . 6041 1.1 6.3.4 Inversa de la matriz de Leontief para el modelo de economa abierta y metodo de1 1.1 6.3.4 aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6051 6.4 Programacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6131 1.1 6.4.1 Enfoque geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6131 1.1 6.4.2 Metodo simplex para el problema estandar de programacion lineal . . . . . . . . . . . . . 6201 1.1 6.4.3 Restricciones generales y metodo simplex de dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311 1.1 6.4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411 6.5 Teora de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6441 1.1 6.5.1 Juegos estrictamente determinados y puntos silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6451 1.1 6.5.2 Estrategias y pagos esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6461 1.1 6.5.3 Estrategias optimas y valor esperado para juegos matriciales con matriz de pagos1 1.1 6.3.4 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6481 1.1 6.5.4 Estrategias optimas y valor esperado con programacion lineal para juegos1 1.1 6.3.4 matriciales con matriz de pagos mn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521 1.1 6.5.5 Filas y columnas recesivas o dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6571 6.6 Cadenas deMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6581 6.7 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6661 6.8 Optimizacion de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711 1.1 6.8.1 Problemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6721 1.1 6.8.2 Calculo diferencial en espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6791 1.1 6.8.3 Calculo diferencial para funcionales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6981 1.1 6.8.4 Extremos locales de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7061 1.1 6.8.5 Extremos locales y valores propios de la matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7091 1.1 6.8.6 Condiciones necesarias para que cierto tipo de funcionales en espacios de1 1.1 6.3.4 dimension infinita alcancen valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7161 1.1 6.8.7 Dinamica de un monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7251 1.1 6.8.8 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7271 6.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 8. X CONTENIDOCAPTULO 7 Uso de tecnologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611 7.1 La calculadora HP 50g y algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611 1.1 17.1.1 Teclado y sus funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611 1.1 17.1.2 La pantalla y comandos de decision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7631 1.1 17.1.3 Modos de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7641 1.1 17.1.4 Calculo simbolico vs numerico y almacenamiento de objetos algebraicos . . . . . . 7651 1.1 17.1.5 Escritura de vectores y matrices en la Hp 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7661 1.1 17.1.6 Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7681 1.1 17.1.7 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711 1.1 17.1.8 Factorizacion QR y ortogonalizacion, factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7721 1.1 17.1.9 Forma escalonada y forma escalonada reducida con la HP 50g, sistemas lineales 7731 1.1 7.1.10 Metodos de Gauss y Gauss-Jordan paso a paso en forma automatica con la1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7741 1.1 7.1.11 Inversa de una matriz paso a paso de manera automatica con la calculadora1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7751 1.1 7.1.12 Metodos de Gauss y Gauss-Jordan con operaciones de renglon ejecutadas por el1 1.1 7.1.10 usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7751 1.1 7.1.13 Inversa de una matriz por el metodo de Gauss-Jordan con operaciones de renglon1 1.1 7.1.10 ejecutadas por el usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7771 1.1 7.1.14 Transformaciones lineales, nucleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7791 1.1 7.1.15 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7801 1.1 7.1.16 Numeros complejos con la HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7801 7.2 MATLAB y algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811 1.1 17.2.1 Interaccion con MATLAB y almacenamiento de informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811 1.1 17.2.2 Escritura de matrices y operaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7831 1.1 17.2.3 Formatos y modo simbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7851 1.1 17.2.4 Matrices especiales, informacion basica y edicion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 7861 1.1 17.2.5 Operaciones de renglon con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7891 1.1 17.2.6 Funciones programadas por el usuario, programacion en MATLAB y operaciones1 1.1 7.1.10 de renglon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7901 1.1 17.2.7 Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7971 1.1 17.2.8 Forma escalonada reducida, solucion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7981 1.1 17.2.9 Valores y vectores propios, polinomio caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8001 1.1 7.2.10 Factorizacion QR y factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8021 7.3 Excel, la herramienta Solver y programacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8031 1.1 17.3.1 Activacion de Solver en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8031 1.1 17.3.2 La funcion SUMAPRODUCTO de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8051 1.1 17.3.3 Resolucion de problemas de programacion lineal con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . 8061 7.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813CAPTULO 8 lgebra lineal numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8191 8.1 Aritmetica de la computadora y errores de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8191 8.2 Metodos directos para resolver sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8221 1.1 18.2.1 Metodo de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustitucion regresiva . . . 8221 1.1 18.2.2 Metodo de Gauss para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8271 1.1 18.2.3 Factorizacion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8291 1.1 18.2.4 Estrategias para pivotar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8381 8.3 Metodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8481 1.1 18.3.1 La teora de punto fijo y normas matriciales naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8481 1.1 18.3.2 Metodo iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8621 1.1 18.3.3 Planteamiento general para un metodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 877 9. CONTENIDO XI1 1.1 8.3.4 Metodo iterativo de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8801 1.1 8.3.5 Metodo iterativo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8871 1.1 8.3.6 Series de Neumann y metodo iterativo para aproximar la inversa de una matriz . . 8961 8.4 Transformaciones de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011 1.1 8.4.1 Definiciones y transformaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9021 1.1 8.4.2 Factorizacion QR de Householder y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9081 1.1 8.4.3 Reduccion de Householder-Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9131 1.1 8.4.4 Rotaciones y reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9171 8.5 Aproximacion de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9231 1.1 8.5.1 Metodo de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9231 1.1 8.5.2 Deflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311 1.1 8.5.3 Iteracion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9371 1.1 8.5.4 Metodo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9391 1.1 8.5.5 Metodo QR con reduccion de Hessenberg y desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9461 1.1 8.5.6 Metodo de Jacobi para aproximar valores y vectores propios de matrices simetricas 9501 8.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956A Conjuntos, demostraciones e induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985A A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9851 1.1 A.1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9851 1.1 A.1.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9881 1.1 A.1.3 Reuniones e intersecciones de familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992A A.2 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9931 1.1 A.2.1 El metodo deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9931 1.1 A.2.2 Metodos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9951 1.1 A.2.3 Bicondicional y definiciones, lemas y corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999A A.3 Induccion matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002B Nmeros complejos, campos y espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011B B.1 Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1011B B.2 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017B B.3 Polinomios sobre campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10211 1.1 B.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10211 1.1 B.3.2 Races y teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025B B.4 Espacios vectoriales sobre otros campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026B B.5 Aplicacion a la teora de deteccion y correccion de errores en codigos . . . . . . . . . . . . . . . 1030C Demostraciones que fueron diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037D Formas cannicas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055E Respuestas a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073Lista de smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108Lista de aplicaciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109Lista de programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111ndice analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113 10. AgradecimientosDeseo primeramente agradecer a Miguel A ngel Toledo y a Ramon Orduna, quienes me invitaron a rea-lizareste proyecto con McGraw-Hill, por el gran apoyo y paciencia que tuvieron desde el inicio hasta laculminacion de la obra, sin ellos hubiera sido imposible terminarla. Este libro lo escrib en el procesadorde texto matematico y cientfico LATEXy el trabajo editorial para su formacion fue considerable; deseodar las gracias a Marcela Rocha y a Pablo Roig por todo el esfuerzo que hicieron para que el proyectopudiera editarse en ese formato y por toda la ayuda que me brindaron en el transcurso de su elaboracion.La mayora de la las figuras las constru utilizando los programas LaTeXPiX, TeXCad, GNUPLOT,TeXCad32 o LaTeX-CAD; deseo dar credito y reconocimiento a los autores de estos paquetes dedistribucion gratuita por la magnfica tarea que han realizado en esas herramientas de dibujo en elambiente LATEX, las cuales facilitaron enormemente el trabajo grafico en este libro. Tambien quieroreconocer la excelente labor de maquetacion por parte de Merc`e Aicart Martnez.Las imagenes 3D la maquina de la pagina 416 y los depositos interconectados de la figura6-20, fueron disenadas por Ernesto Byas Lizardo y Ramon Nunez Serrania. Todos los dibujos delos circuitos electricos y los digrafos del captulo 6 los realizaron Miriam Del Valle y Samantha DelValle. Los planos en tres dimensiones de la figura 1-2 los construyo Elien Rodrguez Del Valle. Ernestoy Miriam hicieron la revision, en computadora, de las respuestas numericas de muchos de los ejerciciospropuestos y Miriam leyo el texto en su totalidad para localizar erratas. Mi mas sincero agradecimientoa todos ellos por la desinteresada ayuda que me brindaron.Doy gracias a las autoridades del campus Estado de Mexico, del Instituto Tecnologico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, por las facilidades que me dieron para la realizacion de esta obra; y a EnriqueOrtiz, de HP Calculators Latin America, por el soporte otorgado para la realizacion de la seccion 7.1.El doctor Francisco Delgado Cepeda, profesor del campus Estado de Mexico, leyo por completo elprimer captulo; le agradezco mucho su colaboracion y valiosos comentarios.El doctor Fermn Acosta Magallanes, profesor del campus Estado de Mexico y de la UPIITA delIPN, sacrifico mucho de su tiempo al leer casi en su totalidad el libro. Sus comentarios, observaciones ycorrecciones fueron de un enorme valor. Obviamente cualquier error tecnico en el texto es absolutamentemi responsabilidad. El interes constante que mantuvo Fermn en la realizacion de esta obra fue un granestmulo para su culminacion y estare siempre agradecido con el.Cuando estaba escribiendo este trabajo, se presentaron algunos problemas serios en mi salud, ygracias a los cuidados y apoyo de mis hermanas Rosa Mara y Gabriela, mi hermano Manuel, mi cunadoJose Manuel Lara, mi doctora de cabecera Daniela Lara Del Valle, mis sobrinos Emmanuel Lara, EtzelRodrguez, Rosa Mara Lara, Noem Del Valle, Alejandro Urban, y mis hijas Samantha y Miriam, ahoraestoy escribiendo estas ultimas lneas. Espero que ellos sepan que pueden contar siempre conmigo comoyo conte con ellos.XIII 11. XIV AGRADECIMIENTOSEscribir un libro, especialmente uno como este, es una labor en la que hay gran sacrificio no solodel autor, sino tambien de los que son mas cercanos a el: su familia; en este caso mis hijas Samanthay Miriam. Su paciencia, amor y comprension fueron el principal incentivo para llegar al final de esteproyecto.Finalmente quiero agradecer a Ruben Dario Santiago Acosta, director del Departamento de Ma-tematicas y Fsica del campus Estado de Mexico, por su valiosa cooperacion para la realizacion de estelibro. En la vida de todo ser humano existen periodos en que los avatares son mas intensos y frecuentes;el lapso para realizar esta obra fue una de esas etapas para m. Ruben fue en todo momento un apoyo y,aunque la suerte no siempre esta de mi lado, soy muy afortunado por tener a un gran amigo como el. 12. PrlogoEste libro tiene su germen en las notas del curso semestral de algebra lineal que he impartido a lo largode varios anos en el Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado deMexico, las cuales son el esqueleto de lo que ahora pretendo mostrar como un cuerpo ya con piel ycompleto, que se desarrollo gracias a la experiencia adquirida a traves de todos esos anos.El objetivo principal es presentar a detalle y profundidad los principales temas del algebra lineal,mostrando la utilidad de esta materia por medio de una gran variedad de aplicaciones a otros campos y alas propias matematicas. Integrando la teora, la practica, el uso de tecnologa y losmetodos numericosde esta disciplina.El libro esta disenado de tal manera que se puede usar para un curso de uno o dos semestres, depen-diendode los programas de estudio de cada institucion y de la profundidad con la que se desee tratarcada tema. En el primer caso conviene cubrir las partes I y II, exceptuando los apartados 4.2, 5.3.3 y5.3.4. Para el segundo caso, se recomiendan todos los temas de las partes I y II, las formas canonicasde Jordan del apendice D y el material adicional que se incluye en el sitio web del libro. En ambasmodalidades se pueden incluir las secciones que se consideren adecuadas de la parte III, especialmentelas aplicaciones del captulo 6.Como su nombre lo indica, Algebra lineal para estudiantes de ingeniera y ciencias esta orientadopara ser utilizado tanto en escuelas de ingeniera como en escuelas de ciencias, ya sea a nivel licenciaturao posgrado. Los requisitos academicos para la comprension del material son las matematicas elementa-lesque se cubren a nivel medio superior (algebra, geometra analtica y calculo diferencial e integral).La mayora de los estudiantes que toman un curso de algebra lineal, salvo los que cursan la ca-rrerade matematicas, se enfrentan por primera vez a una materia en la que se tienen que hacer de-mostracionesde teoremas y proposiciones matematicas utilizando el metodo logico-deductivo; es laprincipal dificultad que entrana un curso de esta naturaleza para el lector profano en el campo delrigor matematico. Sin embargo, en algebra lineal la mayora de las demostraciones son constructi-vas;es decir, la prueba de un teorema es en s un algoritmo para resolver una serie de importan-tesproblemas; lo cual representa una ventaja didactica para poder iniciarse en el rigor logico de lasmatematicas. Aun tomando en consideracion esa ventaja, aprender en que consiste probar rigurosa-menteproposiciones matematicas no es facil. Para apoyar al estudiante en esta tarea, el apendice A.2contiene una breve introduccion al metodo deductivo y a los metodos de demostracion en matemati-casdisenada para que el lector pueda estudiarla por cuenta propia o con un poco de ayuda desu profesor, a traves de casos concretos y con un mnimo de conocimientos previos que segura-mentetodo estudiante, a este nivel, posee. En estos tiempos, donde la credulidad y las pseudocien-ciasson estimuladas mediaticamente como instrumentos de mercadotecnia para vender productos quecuran todos los males incluyendo los polticos y sociales, el escepticismo, como una cultu-rade lo que se afirma se demuestra, debera ser cultivado por el Homo sapiens moderno y el alge-bralineal es una excelente oportunidad para iniciarse, almenos en la partematematica, en esa cultura.XV 13. XVI PRO LOGOHe dividido el libro en tres partes que, desde mi punto de vista, conforman lo que es el algebra lineal.Las primeras dos contienen el nucleo teorico de la materia. La parte I matrices, sistemas lineales, de-terminantese inversas de matrices es la mas elemental y es la columna vertebral en la que se apoya elresto del libro; mientras que la II espacios vectoriales, producto interior, normas, valores y vectorespropios es el corpus de ese nucleo que incluye los temas mas relevantes del algebra lineal. Estos dossegmentos constituyen los primeros cinco captulos de la obra, y en ellos he intentado exponer el signifi-cadomatematico del algebra lineal. En la parte III que contiene los ultimos tres captulos del texto,a traves de diversas aplicaciones en el captulo 6, he tratado de hacer patente la utilidad practica quetiene esta importante materia. Los calculos numericos en algebra lineal pueden llegar a ser muy com-plejosaritmeticamente y tomar demasiado tiempo realizarlos; afortunadamente en esta epoca contamoscon tecnologa para apoyarnos en esta tarea. En el captulo 7, inclu el uso de la tecnologa en el algebralineal, especficamente con MATLAB y la calculadora HP 50g; y EXCEL, para programacion lineal. Sinembargo, una exposicion del algebra lineal que no muestra las dificultades inherentes que se presentanal hacer calculos numericos en esta materia y como resolverlas matematicamente, es incompleta. Poresta razon, el captulo final contiene una introduccion relativamente profunda de los principales metodosnumericos que se utilizan en algebra lineal; con mas de 32 programas en MATLAB de esos algoritmospara ser utilizados o modificados, en este u otro lenguaje, por el estudiante a su conveniencia.Al escribir esta obra intente tener siempre presentes los obstaculos a los que se enfrentan la mayorade los estudiantes de algebra lineal, el principal es el alto nivel de abstraccion de la materia. Para soslayaresta dificultad, el libro contiene mas de 200 figuras con el proposito de crear imagenes que puedanayudar al lector a visualizar fsica y geometricamente entes abstractos y convertirlos en conceptos masconcretos. Ademas, a lo largo de sus 8 captulos y 5 apendices, inclu mas de 450 ejemplos para apoyarloa comprender la materia. Sin embargo, pense que esto no era suficiente, pues el estudiante necesitaver como se resuelven ejercicios en algebra lineal, sobre todo aquellos que tienen contenidos altos deabstraccion; por esta razon incorpore, en la ultima seccion de cada uno de los primeros cinco captulosque conforman el nucleo principal del libro un grupo de ejercicios resueltos con detalle; en totalforman un conjunto de mas de 230 ejercicios de calculos directos, demostraciones, etc., que junto conlos ejemplos del texto suman un total de mas de 680 problemas completamente resueltos que el lectorpuede consultar segun lo necesite. Naturalmente, no basta con ver, se necesita hacer y, para ello,el libro contiene al final de cada captulo una seccion de ejercicios propuestos al estudiante conrespuestas a los ejercicios seleccionados en el apendice E para que practique a discrecion o de acuerdocon las instrucciones de su profesor; en total el libro cuenta con mas de 2300 ejercicios propuestos.Con el proposito de no interrumpir la exposicion de la teora en el texto y para facilitar su consulta,coloque aparte, en el captulo 6, las aplicaciones. Al principio de cada una de ellas se hacen explcitoslos requisitos del material del texto y de otras disciplinas que se necesitan para su estudio. El nivelde las aplicaciones aumenta gradualmente desde el muy elemental hasta un nivel que demanda muchomas esfuerzo para su comprension; sin embargo, confo que la utilidad final que el estudiante encuentreen ellas bien valdra la pena el tiempo invertido para su estudio. De hecho, este captulo se puede abordarinmediatamente despues de que se cumplan los requisitos que senala la aplicacion correspondiente; porejemplo, las aplicaciones de las secciones 6.1, 6.2, 6.4, 6.5 y 6.6, se pueden tratar en seguida que seha cubierto el material de matrices y sistemas lineales (o en forma simultanea). Sin embargo, en eltexto hay algunas aplicaciones que en realidad estan concatenadas a la teora por ejemplo, el tema deaproximacion optima en espacios normados, o la interesante teora de deteccion y correccion de erroresen codigos binarios que esta al final del apendice B, esas no las inclu en el captulo 6 y se encuentrandispersas a lo largo del libro; en la pagina 1109 hay una lista de ellas con referencias al lugar donde se 14. LOGO XVIIPROlocalizan en el texto. Una funcion semejante cumple el listado de la pagina 1110, que es una descripcionde los principales programas en MATLAB que contiene el libro y senala su ubicacion.Ademas, esta obra cuenta con una pagina donde el estudiante tendra acceso a diversos recursos:www.mhhe.com/uni/delvalleag1e.Espero que Algebra lineal para estudiantes de ingeniera y ciencias cumpla con los propositos paralos que fue creado, sirva de apoyo a la labor docente de los profesores que trabajan educando en estamateria y que vosotros, estudiantes, encuentren en el no solo donde aprender algebra lineal, sino quetambien disfruten de ese proceso como yo lo hice al escribir cada una de las lneas de este libro (tambiensufr, ojala ustedes no).Mexico D.F., primavera de 2011JUAN CARLOS DEL VALLE SOTELO 15. IMatrices, sistemas ydeterminantes 16. 1 Matrices ysistemas linealesEn este captulo se introducen los conceptos basicos que se requieren para estudiar algebra lineal. Co-menzamosen la primera seccion con el tema fundamental de matrices. Las matrices se crearon paraoperar ciertos arreglos numericos que aparecen tanto en aplicaciones como en las propias matemati-cas.Continuamos en la segunda seccion con el estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Lossistemas de ecuaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ciencias e ingeniera y se-guramenteel lector ya tuvo algun contacto con ellos en forma elemental en secundaria y bachillerato;aqu nos abocamos a un estudio general y profundo de este importante tema. La tercera seccion con-tieneun compendio de ejercicios resueltos de las dos secciones precedentes para que el lector consulteel mayor numero de ejemplos resueltos y un conjunto de ejercicios propuestos para que los resuelva elestudiante.1.1 Matrices1.1.1 Definiciones y ejemplosDefinicion 1.1 Una matriz A es un arreglo de m-renglones o filas y n-columnas de mn numerosreales:A =a11 a12 a1na21 a22 a2n....... . ....am1 am2 amn.Se dice entonces que A es una matriz de tamano mn y simbolicamente se escribeA = [ai j] ,i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ...,n. Esto es, ai j representa el numero que se encuentra en la fila i y en lacolumna j. A los elementos ai j se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A.P Nota 1.11. Los parentesis rectangulares se pueden suplir por parentesis circulares en notaciones matriciales.En este libro emplearemos parentesis rectangulares.3 17. 4 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales2. En el caso particular de que una matriz tenga tamano 11 escribiremos simplemente a en lugarde [a]; es decir, identificaremos toda matriz [a] con el numero real a. Ejemplo 1.1 SiA =2 3 54 2 1,A es una matriz 23 y, para este caso, a11 = 2, a12 = 3, a13 = 5, a21 = 4, a22 = 2, a23 = 1.P Nota 1.2 Al conjunto de matrices de tamano mn lo denotaremos, en este libro, porMmn.Definicion 1.2 Dos matrices A = [ai j], B = [bi j] son iguales (A = B) si y solo si: A y B tienen el mismo tamano y ai j = bi j i , j. Ejemplo 1.2 De acuerdo con la definicion precedente1 3 95 7 2=1 3 95 6 2.Ejemplo 1.3 Determinar el valor de a para que las matrices A =a 11 2ay B =2 11 4sean iguales.Solucion Dado que ambas matrices tienen el mismo tamano ellas seran iguales si y solo si coincidencomponente a componente; para lo cual es suficiente que a = 2 y 2a = 4; esto es, para a = 2.Ejemplo 1.4 Resolver el ejemplo anterior si A =a 03 3ay B =1 03 4.Solucion Para que las matrices sean iguales se requiere, en este caso, que a = 1 y 3a = 4, luego sedebe tener simultaneamente a = 1 y a = 4/3; lo cual es imposible. Por tanto A= B para cualquier valorde a. 1.1.2 Operaciones con matrices1. Multiplicacion de un escalar1 con una matriz. Si R y A = [ai j] Mmn se define A =[ai j]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene comocomponentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar.2. Suma de matrices. Si A,B Mmn, A = [ai j], B = [bi j]; se define la suma de A con B comoA+B = [ci j], con ci j = ai j +bi j i , j. As, la suma de dos matrices solo se puede realizar cuandoestas tienen el mismo tamano y el resultado es tambien una matriz mn.11Diremos que todo numero real es un escalar. 18. N 1.1 Matrices 5SECCIO3. Multiplicacion de una matriz fila por matriz columna.2 a11 a12 a1nb11b21bn1= a11b11+a12b21+ a1nbn1.De acuerdo con esta definicion, el producto de una matriz fila con una matriz columna solo se pue-dellevar a cabo cuando la primera tiene tamano 1n y la segunda n1 (las dos tienen el mismonumero de componentes) y el resultado de la operacion sera una matriz 11 (un numero real).4. Producto de una matriz mn con una matriz n p. Si A = [ai j] Mmn y B = [bi j] Mnp,el producto de A con B se define como AB = [ci j] dondeci j =nk=1aikbk j ,para i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , p. Es decir, la componente ci j del producto AB es el resultadode multiplicar la i-esima fila de A con la j-esima columna de B. Ademas, para poder efectuar elproducto, la primera matriz debe tener el mismo numero de columnas que de filas la segunda y lamatriz AB tiene entonces tamano m p. En forma equivalente, si Fi, i = 1, . . . ,m, son las filas de Ay Cj , j = 1, . . . , p, son las columnas de B, entoncesAB =F1C1 F1C2 F1CpF2C1 F2C2 F1Cp....... . ....FmC1 F2C2 FmCp(1.1) Ejemplo 1.5 Hola21 0 1 22 4 1 32 4 0 5 =2 0 2 222 4222 322 42 0 5 2 Si A =2 4 15 2 0y B =4 5 21 0 1, entonces A+B =6 9 14 2 1. 1 0 2 4 521004==(1)(2)+(0)(1)+(2)(0)+ (4)(0)+(5)(4)22.Note que en este caso la matriz fila tiene tamano 15 y la columna 51 (las dos tienen el mismonumero de componentes).12Una matriz fila es una matriz que tiene solamente un renglon y una matriz columna es una matriz que tiene una sola columna(cfr. inciso 3 de la pag. 8). 19. 6 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.6 SiA =1 2 40 2 1y B =1 2 4 50 1 0 21 0 0 1,A M23, B M34; el producto AB esta definido (el numero de columnas de A es igual al numero defilas de B, en este caso 3) y el producto AB sera una matriz 24, dos filas y cuatro columnas (tantas filascomo A y tantas columnas como B). Para obtener las componentes ci j de las filas de la matriz productoAB procedemos de la manera siguiente.La primera fila de AB: Los elementos de la primera fila de AB se obtienen multiplicando, sucesi-vamente,la primera fila de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B:c11 = 1 2 4101 = 5,c12 = 1 2 4210 = 4,c13 = 1 2 4400 = 4,c14 = 1 2 4521 = 5.La segunda fila de AB: Los elementos de la segunda fila de AB se obtienen multiplicando, sucesi-vamente,la segunda fila de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B:c21 = 0 2 1101 = 1,c22 = 0 2 1210 = 2,c23 = 0 2 1400 = 0,c24 = 0 2 1521 = 5.Luego,AB =5 4 4 51 2 0 5. 20. N 1.1 Matrices 7SECCIOEn realidad, la notacion matricial esta disenada para ejecutar mecanica y mentalmente los calculoscuando el tamano de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida delo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir deaqu, el lector ya no encontrara un producto de matrices realizado con el detalle con el que se hizo en elejemplo precedente; pues utilizaremos sistematicamente (1.1) para producto de matrices y haremos loscalculos sin hacer explcitas las operaciones. Ejemplo 1.71 0 12 1 13 2 00 1 11 1 10 1 2 =F1C1 F1C2 F1C3F2C1 F2C2 F2C3F3C1 F3C2 F3C3=0 2 11 0 32 5 5.1.1.3 Matrices especiales1. Matriz cero. La matriz cero de tamano mn se define como aquella que tiene las mn compo-nentesnulas; esto es,O = [ai j]donde ai j = 0 i , j. As, por ejemplo,O =0 0 00 0 0es la matriz cero 23.2. Matriz identidad nn:In =1 0 00 1 0....... . ....0 0 1;es decir, In = [ai j], dondeai j = 21. 1, si i = j;0, si i= j.As, por ejemplo,I3 =1 0 00 1 00 0 1es la matriz identidad 33. 22. 8 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales3. Como mencionamos en el inciso 3 de la subseccion 1.1.2, a las matrices que tienen solo una fila osolo una columna les llamaremos, respectivamente, matrices fila y matrices columna. Ademas,en este libro utilizaremos una notacion especial en el caso de las matrices columna (cuando tenganmas de un elemento) analoga a la notacion vectorialb =a11a21...an1.La razon de esta notacion se vera mas adelante cuando se estudie el espacio vectorial Rn en elcaptulo 3.A las matrices de tamano nn les llamaremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto for-madopor estas lo denotaremos por Mn. Si A = [ai j] es una matriz cuadrada de orden n se dice que loselementos a11, a22, a33,..., ann forman o estan en la diagonal de la matriz A. Y si A = [ai j] Mmn,diremos que los elementos ai j con i = j forman la diagonal principal de la matriz A. Ejemplo 1.8 SiM =1 5 0 27 3 1 13 0 4 21 5 9 7 entoncesm11 = 1,m22 = 3,m33 = 4,m44 = 7 son los elementos de la diagonalde la matriz cuadrada M.Definicion 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes queestan por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentesque estan por arriba de la diagonal son todas iguales a cero. Ejemplo 1.9 SiA =1 5 0 20 3 1 10 0 4 20 0 0 7y B =1 0 0 05 3 0 02 0 4 06 0 4 0,entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior.Definicion 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todaslas componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii = i, i = 1, 2, . . . , n, son las componentes de ladiagonal de esta matriz se escribeA = diag(1,2, . . . ,n)para representar a la matriz diagonal A. 23. N 1.1 Matrices 9SECCIO Ejemplo 1.10 La matriz cuadrada4 0 00 3 00 0 8 es diagonal. Esto es,A = diag(4, 3,8).Definicion 1.5 Si A = [ai j] Mmn se define la matriz transpuesta de A como At = [bi j], dondebi j = aji para i = 1, 2, ...,n y j = 1, 2, ...,m.De la definicion 1.5 se desprende que At tiene tamano nm y que en la matriz transpuesta la primeracolumna es la primera fila de A, la segunda columna es la segunda fila de A, etcetera.Definicion 1.6 Una matriz A es simetrica cuando At = A.La definicion 1.6 entrana que una matriz simetrica es necesariamente cuadrada; pues si A Mmn yA es simetrica, entonces A = At Mnm, de donde m = n; ya que dos matrices que son iguales debentener el mismo tamano. Ejemplo 1.11 SiA =1 2 3 45 6 7 8,At =1 52 63 74 8. Ejemplo 1.12 La matrizA =1 22 3es simetrica pues claramente A = At .1.1.4 Propiedades de las operacionesA continuacion enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son,en general, faciles de probar y su comprobacion se deja como ejercicio al lector.1. Si A,B,C Mmn y , R:(a) A+B Mmn.(b) A+(B+C) = (A+B)+C. 24. 10 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales(c) A+B = B+A.(d) A+O = A, donde O es la matriz cero mn.(e) Existe una matriz A Mmn tal que A+(A) = O. De hecho, si A = [ai j], A = [ai j].(f) A Mmn.(g) (A) = ()A.(h) (+)A = A+A.(i) (A+B) = A+B.(j)3 1A = A.2. (a) Si A, B, C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C estan definidos, entoncesA(BC) = (AB)C.(b) Si AB esta definido se tiene: (AB) = (A)B = A(B).(c) Si A Mmn, AIn = ImA = A.(d) En general AB= BA.(e) Si A Mmn y B,C Mnp , entoncesA(B+C) = AB+AC.3. (a) Si A y B son matrices del mismo tamano (A+B)t = At +Bt .(b) Si A, B son matrices tales que el producto AB esta definido, entonces (AB)t = BtAt .(c) (At )t = A A Mmn.Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2(d); es decir, la no conmutatividaddel producto de matrices. Pues es claro que en principio el hecho de que el producto AB este definido,no garantiza que ni siquiera el producto BA este definido; por ejemplo, si A es una matriz 23 y B esuna matriz 34, el producto AB esta definido y el producto BA no. Mas aun, aunque los productos ABy BA esten definidos estos, en general, seran distintos como ilustramos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.131 13 21 02 4=3 47 8,1 02 41 13 2=1 114 10;esto es,1 13 21 02 4=1 02 41 13 2Finalizamos este apartado con las demostraciones, en los siguientes dos ejemplos, de un par depropiedades simples del producto de matrices que seran utilizadas mas adelante.13Mas adelante, en el tema de espacios vectoriales, se vera la importancia de esta aparentemente inocua propiedad. 25. N 1.1 Matrices 11SECCIO Ejemplo 1.14 Sean A = [ai j] Mmn y C = [bi j] Mnp. Si ck =b1kb2k...bnkes la columna k de C ydk es la columna k de AC, k = 1, 2, . . . , p, demostrar quedk = Ack k.Esto es,AC = Ac1 Ac2 Acp (1.2)DEMOSTRACIO N Q Sean i j las componentes del producto AC, entonces, para cada k = 1,2, . . . , p,dk =1k2k...mk;pero ik = ai1 ai2 ainb1kb2k...bnk=nj=1ai jbjk;por tanto,dk =n j=1a1 jbjknj=1a2 jbjk...nj=1amjbjk. (1.3)Por otra parte,Ack =a11 a12 a1na21 a22 a2n....... . ....am1 am2 amnb1kb2k...bnk=nj=1a1 jbjknj=1a2 jbjk...nj=1amjbjk. (1.4)De (1.3) y (1.4) se tiene Ack = dk k. Q 26. 12 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.15 Supongamos ahora que A = [ai j] Mmn yc =x1x2...xn, entonces,x1a11a21...am1+x2a12a22...am2+ +xna1na2n...amn=a11 a12 a1na21 a22 a2n....... . ....am1 am2 amnx1x2...xn. (1.5)En efecto:x1a11a21...am1+x2a12a22...am2+ +xna1na2n...amn=x1a11x1a21...x1am1+x2a12x2a22...x2am2+ +xna1nxna2n... xnamn=a11x1+a12x2+ +a1nxna21x1+a22x2+ +a2nxn...am1x1+am2x2+ +amnxn= Ac.1.1.5 Matrices con n umeros complejosEn este apartado se introduce, por primera vez en este libro, el uso de numeros complejos en algebralineal; especficamente en el tema de matrices con componentes complejas. El apendice B contieneun breve estudio de este importante campo numerico y de sus principales propiedades, y el lector queno este habituado a trabajar con numeros complejos, o necesite repasar este tema, debera consultar laseccion B.1 de este apendice cuanto antes. A lo largo de este texto se incluyen apartados que contienen eluso de numeros complejos en temas que ya se han tratado con numeros reales. En general, la transicionen cada caso sera muy sencilla, pues una vez que se dominan los temas de algebra lineal con numerosreales los cambios para tratar estos con numeros complejos son mnimos y, en realidad, las dificultadestienen que ver mas con la familiaridad que tenga el lector con el uso de numeros complejos que conaspectos aridos de generalizacion. De hecho, el uso de este campo numerico en algebra lineal se vahaciendo cada vez mas necesario en la medida que se avanza en la materia, tanto en la teora como enlas aplicaciones. Se han incluido este tipo de subsecciones para ir acostumbrando al lector al uso de losnumeros complejos en algebra lineal. Obviamente, el lector que no desee en este momento abordar estostemas puede omitirlos y regresar a ellos cuando lo juzgue pertinente.Recordemos (cfr. apendice B) que los numeros complejos tienen la formaa+bi 27. N 1.1 Matrices 13SECCIOdonde a,b son numeros reales e i es la unidad imaginaria. Al conjunto de estos numeros se les representapor C y este campo incluye de manera natural a los numeros reales mediante la identificacion del numeroreal a con el numero complejo a+0i. Estos numeros se operan algebraicamente de manera analoga alos numeros reales, utilizando todas las propiedades de estos y conviniendo en que la unidad imaginariaen este sistema satisface4i2 = 1.De esta manera, operar algebraicamente matrices con componentes complejas es un proceso com-pletamenteanalogo al que se utiliza cuando estas tienen entradas que son numeros reales. Es decir, sesuman, restan, multiplican, etc., en la misma forma que las matrices reales, pero operando sus com-ponentescon las reglas algebraicas de los numeros complejos. Al conjunto de matrices de tamanomn con componentes complejas lo denotaremos porMmn(C). Todas las propiedades acerca de ma-tricescon componentes reales que vimos en esta seccion siguen siendo validas para las matrices conentradas complejas. Ejemplo 1.16 Sean A,B M23(C) las matrices definidas porA =12i 4i 235i 4+6i 9iy B =37i 54i 29i5i 76i 1+i.Entonces1. A+B =12i 4i 235i 4+6i 9i+37i 54i 29i5i 76i 1+i=49i 58i 49i3 11 18i.2. 5A = 512i 4i 235i 4+6i 9i=510i 20i 101525i 20+30i 45i.3. (3+2i)B = (3+2i)12i 4i 235i 4+6i 9i=74i 812i 6+4i199i 26i 1827i.Aqu hemos realizado las operaciones(3+2i)(12i) = 36i+2i4i2= 34i4(1)= 34i+4= 74i,14En la seccion B.1 del apendice B se hace un estudio mas detallado y formal de los numeros complejos. 28. 14 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealespara obtener la componente c11 de (3+2i)B;(3+2i)(4i) = 12i8i2= 12i8(1)= 812i,para obtener la componente c12 de (3+2i)B; etcetera. Ejemplo 1.17 SeanA =1+i 2i 23iy B = i 3 2+5i2i 1i 0,entoncesAB =1+i 2i 23i i 3 2+5i2i 1i 0=(1+i)(i)+2(2i) (1+i)(3)+2(1i) (1+i)(2+5i)+2(0)(i)(i)+(23i)(2i) (i)(3)+(23i)(1i) (i)(2+5i)+(23i)(0)=1+3i 5+i 3+7i5+4i 18i 52i.1.2 Sistemas linealesSeguramente el lector esta familiarizado, por cursosmas elementales, con sistemas simultaneos de dos otres ecuaciones lineales con dos o tres incognitas. Seles llama sistemas lineales porque, para el caso de dosincognitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la for-maax+by=c, cuyos lugares geometricos correspon-dena lneas rectas en el plano. Cuando se resuelveun sistema lineal de dos ecuaciones con dos incogni-tas,se busca el punto de interseccion de dos lneasrectas (si es que estas no son paralelas). Aqu estu-diaremossistemas lineales generales de m ecuacio-nescon n incognitas siendo m y n cualquier par denumeros enteros no negativos. Los sistemas linealestienen una gran variedad de aplicaciones en ingenieray ciencias; veremos algunas de estas aplicaciones enel captulo seis.yxy = 1xx+y = 3 29. N 1.2 Sistemas lineales 15SECCIO1.2.1 Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas linealesDefinicion 1.7 Un sistema de m-ecuaciones con n-incognitas que tiene la formaa11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm(1.6)donde los ai j ,bi R, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n, estan dados, es lineal. Una solucion de estesistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (1,2, . . . ,n) de numeros reales, tales que al hacerlas sustitucionesx1 = 1x2 = 2...xn = nen cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades. Ejemplo 1.18 El sistema de dos ecuaciones con tres incognitas2x13x2x3= 4 (1.7)x1 + x2+x3= 3 (1.8)es lineal y (1, 2,4) es una solucion del mismo. En efecto, al sustituir x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 4 enla primera ecuacion (1.7) se tiene2(1)3(2)(4) = 4y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuacion (1.8),(1)+(2)+(4) = 3. Ejemplo 1.19 El sistema de dos ecuaciones con dos incognitasx21 3x2 = 1x1/21 + x2 = no es lineal (por que?).Si se tiene el sistema lineal (1.6) aA =a11 a12 a1na21 a22 a2n....... . ....am1 am2 amn 30. 16 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesse le llama la matriz de coeficientes del sistema. En tal caso, si ponemosx =x1x2xnyb =b1b2bm,entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial comoAx =b,pues al hacer el producto se obtienea11x1 + a12x2 + + a1nxna21x1 + a22x2 + + a2nxn am1x1 + am2x2 + + amnxn=b1b2bm que equivale, por definicion de igualdad de matrices, al sistema (1.6). Ejemplo 1.20 Para el sistema 33x1 + x2 + 2x3 = 92x1 + 4x2 3x3 = 13x1 + 6x2 5x3 = 0la matriz de coeficientes esA =1 1 22 4 33 6 5y la ecuacion matricial correspondiente es1 1 22 4 33 6 5x1x2x3 =910.Definicion 1.8 El sistema mn Ax =b es: Consistente: si tiene al menos una solucion. Inconsistente: si no tiene soluciones.En la figura 1-1 se ilustran los lugares geometricos de cuatro sistemas lineales en el plano: con solucionunica (a), inconsistentes (b) y (c) y con una infinidad de soluciones (d). 31. N 1.2 Sistemas lineales 17SECCIO(a) (b)(c) (d)Figura 1-1 (a) dos lneas que se intersecan en un solo punto, (b) dos lneas paralelas que no se intersecan,(c) tres lneas que no se intersecan simultaneamente y (d) dos lneas que coinciden.De manera analoga, una ecuacion lineal con tres incognitas, ax+by+cz = d, corresponde al lu-gargeometrico de puntos que estan en un plano en el espacio tridimensional. Tambien en este caso,cuando se resuelven sistemas lineales con tres incognitas, se buscan intersecciones de los correspon-dientesplanos. Nuevamente los planos pueden no intersecarse, intersecarse en una infinidad de puntoso intersecarse en un unico punto. La figura 1-2 ilustra estas posibilidades.Figura 1-2 Planos que se intersecan, respectivamente, en una lnea recta, en un unico punto y que no tieneninterseccion simultanea.Definicion 1.9 Dos sistemas lineales del mismo tamano, Ax =b, Hx =c, son equivalentes si tienenel mismo conjunto de soluciones.En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera analoga a como el lector, segu-ramente,ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un metodo que intro-ducira el importante algoritmo de Gauss; el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo pivotes paraeliminar variables (incognitas) y obtener un sistema equivalente en forma escalonada y finalmenteresolverlo por sustitucion regresiva. 32. 18 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.21 Resolvamos el sistema linealx1+ x2+2x3 = 9 (1.9)2x1+4x23x3 = 1 (1.10)3x1+6x25x3 = 0 (1.11)Para ello, con la ecuacion (1.9), eliminemos la variable x1 de las ecuaciones (1.10) y (1.11) multi-plicando5(1.9) por 2 y sumando con (1.10); luego multiplicando (1.9) por 3 y sumando con (1.11);obteniendo el sistema equivalente:x1+x2+2x3 = 192x27x3 = 17 (1.12)3x211x3 = 27 (1.13)De manera analoga, multiplicando (1.12) por 3, (1.13) por 2 y sumando los resultados, habremoshecho un pivote con la variable x2 de la ecuacion (1.12) para eliminar la variable x2 de la ecuacion(1.13), produciendo el sistema equivalente escalonadox1 + x2 + x3 = 92x2 7x3 = 17 x3 = 27Finalmente, haciendo sustitucion regresiva, es decir, despejando y sustituyendo variables de esteultimo sistema de abajo hacia arriba, tenemosx3 = 3;x2 =17+7(x3)2=17+7(3)2= 2;x1 = 9x22x3= 9(2)2(3)= 1.As, el sistema es consistente con solucion unicax =123 .Podemos sintetizar el metodo del ejemplo precedente de la siguiente manera. Denotemos por Rila i-esima ecuacion de un sistema lineal; la notacion Ri Ri +Rj significa que la ecuacion Ri sesustituye por la ecuacion que se obtiene de sumar veces la ecuacion Ri con veces la ecuacion Rj .Las operaciones algebraicas que hicimos en el ejemplo anterior se resumen en el siguiente esquema.15Cuando se multiplica una ecuacion por un numero, significa que ambos lados de la igualdad en dicha ecuacion se multiplicanpor ese numero; y cuando se suman dos ecuaciones, quiere decir que se suman miembro a miembro los correspondientes lados dela igualdad. 33. N 1.2 Sistemas lineales 19SECCIOx1+x2+2x3 = 92x1+4x23x3 = 13x1+6x25x3 = 0R2 2R1 +R2R3 3R1 +R3x1+x2+2x3 = 92x27x3 = 173x211x3 = 27R3 3R2 +2R3x1+x2+2x3 = 92x27x3 = 17x3 = 3En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente; es decir, con las mismas solu-cionespero mas sencillo, hasta que el ultimo sistema equivalente esta escalonado y se puede resolverhaciendo sustitucion regresiva.Es claro que en el ejemplo 1.21 y en la discusion anterior solo se trabajo con los coeficientes, y quede las variables x1, x2 y x3 unicamente se utiliza la posicion que tienen en el arreglo. Se ve entoncesque para resolver un sistema lineal Ax =b, basta trabajar con la matriz de coeficientes A y el terminoindependienteb.6 Para ello, a continuacion damos el siguiente concepto.Definicion 1.10 Para el sistema lineala11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn = bmo, en forma matricial, Ax =b conx =x1x2xny b =b1b2bm,se define la matriz aumentada (tambien se le llama matriz ampliada) del mismo como[A|b] =a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn b1b2bmEl lado izquierdo en la particion [A|b] contiene la matriz de coeficientes [ai j] y el lado derecho con-tienelos terminos independientes bi del sistema lineal. La definicion anterior provee una notacion muysimple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables y unicamente trabajar con los coeficientes.La primera fila de la matriz ampliada equivale a la ecuacion a11x1+a12x2+ +a1nxn = b1, la segunda16Llamaremos termino independiente en un sistema lineal Ax =b, a la matriz columnab y terminos independientes del mismosistema a las respectivas componentes de este vector. 34. 20 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesfila equivale a la ecuacion a21x1 +a22x2 + +a2nxn = b2, etc., y la ultima fila equivale a la ecuacionam1x1 +am2x2 + +amnxn = bm. La lnea vertical en la particion [A|b] unicamente sirve para hacernotoria la columna que contiene los terminos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puedeomitir, si as se desea, cuando se conviene en que la ultima columna de la matriz aumentada contenga eltermino independienteb del sistema.Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 1.21 utilizando la matriz aumentada. Ejemplo 1.22 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusion posterior al ejem-plo1.21, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene:1 1 22 4 33 6 5910 R2 2R1 +R2R3 3R1 +R31 1 20 2 70 3 1191727R3 3R2 +2R31 1 20 2 70 0 19173y, al hacer sustitucion regresiva como se hizo en ese ejemplo (cfr. pag. 18),x1x2x3 =.123Hasta aqu, aunque se ha utilizado en forma intuitiva el significado de sistema escalonado, no se haprecisado con exactitud. En la siguiente subseccion nos abocamos a ello.1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonadosDefinicion 1.11 La matriz A Mmn esta en forma escalonada si se cumplen las siguientes doscondiciones. Las filas nulas (si existen)7 estan por debajo de las filas no nulas. El primer elemento distinto de cero de cada fila no nula esta a la derecha del primer elementodiferente de cero de las filas precedentes.8 Ejemplo 1.23 SiA = 0 1 2 3 5 30 0 1 0 2 40 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0y B =1 2 4 0 30 1 2 3 40 0 1 0 20 0 2 3 00 0 0 0 0,A esta en forma escalonada pero B no.17Una fila es nula si todas sus entradas son ceros; una fila es no nula si por lo menos una de sus componentes es distinta de cero.18En el caso que el primer elemento distinto de cero este en la primera fila, se sobreentiende que la condicion se cumple porvacuidad. 35. N 1.2 Sistemas lineales 21SECCIODefinicion 1.12 Al primer elemento distinto de cero de cada fila no nula, de una matriz en formaescalonada, se le llama pivote.Definicion 1.13 Un sistema Hx =c esta escalonado si la matriz ampliada [H |c] es una matrizescalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado se les llamaranvariables ligadas (o principales o basicas) y a las restantes variables libres (o no basicas). Ejemplo 1.24 En el sistema escalonado 461 0 3 2 1 50 0 5 0 1 10 0 0 0 7 60 0 0 0 0 52370,hay pivotes en las columnas 1, 3, 5 y 6; que corresponden, respectivamente, a las variables x1, x3, x5 yx6. As que estas variables son ligadas y x2, x4 son variables libres.Entonces, para resolver un sistema escalonado al hacer sustitucion regresiva, se despejan las varia-blesligadas dejandolas en funcion de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, enel caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variablesligadas actuando tambien de abajo hacia arriba. Ejemplo 1.25 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados.1.5 1 30 3 50 0 23842.1 3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 10 0 0 0 047103.1 3 50 1 20 0 0321Solucion 1. En este caso, x1, x2 y x3 son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres yx3 = 4/2 = 2; x2 = 85x23 = 6; x1 = 3+x23x35 = 3. Es decir,x1x2x3 =362es la unica solucion. 36. 22 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales2. Para este sistema escalonado x1, x3 y x5 son las variables ligadas; mientras que x2 y x4 son las va-riableslibres. Entonces x5 = 1, x3 = 72x4, x1 = 4+3x2 5x4; lo cual indica que al dar valoresconcretos arbitrarios a las variables libres x2 y x4 se obtiene una solucion. As, el conjunto de solu-cionesde este sistema es infinito y esta dado por:{(x1, x2, x3, x4, x5) | x5 = 1, x3 = 72x4, x1 = 4+3x25x4; x2, x4 R}.Una manera mas compacta de expresar las soluciones es:x1x2x3x4x5=4+3s5rs72rr1; r, s R.Al dar valores concretos a r y s se obtendra una solucion particular; por ejemplo, si r = 0 y s = 0, esfacil darse cuenta quex1x2x3x4x5=40701resuelve el sistema de ecuaciones.3. Para este sistema no pueden existir numeros reales x1, x2, x3 tales que 0x1+0x2+0x3 = 1; es decir,el sistema no tiene solucion, es inconsistente. 1.2.3 Operaciones de rengl on para matrices, equivalencia por filas y soluciones1.2.3 de sistemas escalonadosMotivados en los metodos de la subseccion precedente para resolver sistemas lineales, definimos lassiguientes operaciones de renglon (fila) para matrices.Operaciones elementales de renglon para matrices1. Intercambio de filas: Ri Rj .2. Cambio de escala: Ri Ri (= 0).3. Suma de filas: Ri Ri+Rj (= 0).Las cuales significan, respectivamente: La fila i se intercambia con la fila j. La fila i se cambia por la misma fila multiplicada por . La fila i se cambia por la suma de -veces la fila i con -veces la fila j. 37. N 1.2 Sistemas lineales 23SECCIOMatrices equivalentesDefinicion 1.14 Sean A, B Mmn. B es equivalente por filas a la matriz A (o simplemente equi-valentea A), si B se puede obtener de la matriz A al aplicarle una sucesion finita de operacioneselementales de renglon. Si B es equivalente a A escribiremos B A o BA. Ejemplo 1.26 SiA =1 2 3 4 52 3 1 0 1yB =1 2 3 4 50 7 7 8 9,B A; pues B se obtiene de A mediante la operacion de renglonR2 2R1+R2No es difcil probar el siguiente teorema.Teorema 1.1 Si A, B Mmn, entonces1. A A. (Reflexividad)2. A BB A. (Simetra)3. A B y B C A C. (Transitividad)Del teorema precedente inciso 2, se ve que ya no es necesario decir que B es equivalente a A, puesen tal caso simplemente podremos enunciar que A y B son equivalentes.Al aplicar operaciones de renglon a un sistema se obtiene un sistema equivalente. Es decir:Teorema 1.2 Si [A|b][H |c], entonces los sistemas Ax=b y Hx=c tienen las mismas soluciones.Es claro que siempre se pueden aplicar operaciones de fila a una matriz A, de manera adecuada, paraobtener una matriz escalonada equivalente a ella. Lo cual hacemos patente en la siguiente proposicion.Teorema 1.3 Toda matriz es equivalente por filas al menos a una matriz en forma escalonada.Soluciones de sistemas escalonadosDel ejemplo 1.25 (cfr. pag. 21) se conjetura el siguiente teorema, cuya demostracion es sencilla y sedeja como ejercicio al lector. 38. 24 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesTeorema 1.4 Sea un sistema Ax =b y supongamos que [H |c] es un sistema (cualquier sistema)escalonado equivalente; es decir, [A|b] [H|c ], entonces1. Ax =b es inconsistente si y solo si [H|c ] tiene una fila de ceros en el lado izquierdo y unelemento no nulo en el lado derecho de la particion (ejemplo 1.25 inciso 3).2. Ax =b tiene solucion unica si y solo si es consistente y [H|c ] tiene pivote en todas lascolumnas en el lado izquierdo de la particion (ejemplo 1.25 inciso 1).3. Ax =b tiene infinidad de soluciones si y solo si es consistente y [H |c] no tiene pivote enalguna columna en el lado izquierdo de la particion (ejemplo 1.25 inciso 2).P Nota 1.3 Es claro, del teorema anterior, que un sistema consistente tiene solucion unica cuando una forma escalonada equivalente no tienevariables libres. un sistema consistente tiene una infinidad de soluciones cuando una forma escalonada equivalentetiene variables libres.1.2.4 M etodo de GaussEl metodo de Gauss sirve para llevar una matriz a una forma escalonada equivalente aplicando opera-cionesde renglon. Bosquejamos el metodo por medio del siguiente algoritmo:Supongamos que A es una matriz mn no nula (si A es la matriz cero, A esta en forma escalonada).G1: Se busca una fila en A que tenga su primer elemento distinto de cero y se intercambia (si esnecesario) con la primera fila de la matriz A; si no existe una fila de A que tenga su primer elementono nulo, entonces se busca una fila de la matriz A que tenga el segundo elemento distinto de ceroy se intercambia (si es necesario) con la primera fila de la matriz A; de no suceder as, se buscauna fila de A que tenga el tercer elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con laprimera fila de A, etc.; obteniendo finalmente una matriz B1 A con un primer elemento no nuloen la primera fila que llamaremos pivote (en este caso de la primera fila).Por ejemplo, siA =0 4 1 33 4 0 71 1 3 5,entonces una operacion de renglon para llevar a cabo este paso puede ser R1 R3, resultando laequivalencia de matricesA 0 4 1 33 4 0 71 1 3 5B1 1 1 3 53 4 0 70 4 1 3 .El pivote de la primera fila de la matriz B1 es b111 = 1. 39. N 1.2 Sistemas lineales 25SECCIOG2: Con el pivote de la primera fila de B1 se transforman en ceros los elementos que estan por debajode el mediante la operacion suma de filas, obteniendo una matriz B2 B1 A, que tendra todaslas componentes nulas debajo del pivote de la primera fila.Por ejemplo, con el caso particular ilustrado en el paso anterior podemos hacer ceros los ele-mentosdebajo del pivote 1 de la primera fila de la matriz B1 mediante la operacion R23R1+R2para obtener la matriz B2; es decir,B1 1 1 3 53 4 0 70 4 1 3B2 1 1 3 50 1 9 80 4 1 3G3: Ahora se repiten los pasos G1 y G2 con la segunda fila de la matriz B2, produciendo una matrizB3 B2 B1 A cuyas componentes seran nulas debajo del pivote de su segunda fila.Para el caso particular ilustrado, el pivote de la segunda fila de la matriz9 B2 es b222 = 1. Sepueden hacer ceros los elementos debajo del mismo mediante la operacion R3 4R2+R3, esto esB2 1 1 3 50 1 9 80 4 1 3B3 1 1 3 50 1 9 80 0 37 29G4: Se repiten los pasos G1, G2 y G3 con las filas subsecuentes de las matrices equivalentes queresulten, hasta obtener una matriz H en forma escalonada de acuerdo a la definicion 1.11.Para el caso ilustrado previamente, la matriz B3 ya esta en forma escalonada; con lo queA 0 4 1 33 4 0 71 1 3 5B3=H 1 1 3 50 1 9 80 0 37 29terminara el proceso para este ejemplo particular.P Nota 1.41. El lector debe tener en mente que el proposito fundamental del metodo de Gauss es obtener unamatriz en forma escalonada equivalente a una matriz dada, mediante el uso de las operacioneselementales de renglon en cualquier combinacion. As que el algoritmo anterior solo es una guapara este proposito. Cualquier modificacion es valida siempre y cuando se empleen unicamentelas operaciones de renglon para matrices y se alcance el objetivo de obtener una matriz en formaescalonada equivalente por filas a la matriz inicial.2. A lo largo de este texto haremos uso de oraciones informales como llevar la matriz A a for-maescalonada. Este tipo de oraciones en realidad deben interpretarse como obtener una forma19El numero 2 en b222 de esta notacion juega el papel de un suprandice, haciendo referencia a la matriz B2 y no de un exponente. 40. 26 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesescalonada equivalente a la matriz A, que sera la manera apropiada de expresar este tipo de ins-trucciones;pero, ya que esa forma escalonada equivalente se obtiene a partir de la matriz A, nospermitiremos ese tipo de frases sacrificando rigor en aras de brevedad en el lenguaje. Sin embar-go,es conveniente que el lector tenga siempre presente el significado preciso de esas oracionescoloquiales. Ejemplo 1.27 Obtener una matriz equivalente por filas a la matrizA =2 4 2 22 4 3 44 8 3 20 0 1 2que este en forma escalonada.10Solucion A =2 4 222 4 344 8 320 01 2R1 (1/2)R11 2 112 4 344 8 320 01 2R2 2R1 +R2R3 4R1 +R31 2 1 10 0 1 20 01 20 01 2R3 R2 +R3R4 R2 +R4 1 2 1 10 0120 00 00 00 0= HLa matriz resultante, H, esta en forma escalonada y es equivalente a la matriz A. Me todo de Gauss para resolver sistemas lineales Ejemplo 1.28 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el metodo de Gauss.x1 2x2 + x3 x4 = 42x1 3x2 + 2x3 3x4 = 13x1 5x2 + 3x3 4x4 = 3x1 + x2 x3 + 2x4 = 5Solucion Para resolver el problema llevaremos la matriz aumentada a una forma escalonada y haremossustitucion regresiva.11110Hemos marcado en color rojo los pivotes en cada paso para que el lector recuerde que el proposito es ir haciendo ceros, mediantelas operaciones de renglon indicadas, los elementos debajo de ellos.111De aqu en adelante, salvo algunas excepciones, ya no indicaremos las operaciones de renglon que se requieren para obteneruna forma escalonada equivalente a una matriz, pues el objetivo es utilizar la notacion matricial para auxiliarse y hacer todos loscalculos mecanica y mentalmente. 41. N 1.2 Sistemas lineales 27SECCIO1 2 1 12 3 2 33 5 3 41 1 1 241351 2 1 10 1 0 10 1 0 10 1 0 149991 2 1 10 1 0 10 0 0 00 0 0 04900.As, las variables ligadas son x1, x2 y las libres x3, x4. Y x2 = 9+x4; x1 = 4+2x2 x3 +x4 = 14+3x4x3. La solucion esta dada entonces por:x1x2x3x4=14+3rs9+rsr; r, s R. Sistemas con la misma matriz de coeficientesEs frecuente en la practica tener que resolver sistemas con la misma matriz de coeficientes pero condistintos terminos independientes; por ejemplo, los sistemasx2y+3z = 2x+4y+5z = 7(1.14)yr2s+3t = 1r+4s+5t = 4(1.15)tienen la misma matriz de coeficientes,1 2 31 4 5, y terminos independientes27y14,respectivamente. En lugar de resolverlos cada uno por separado, podemos solucionarlos simultaneamen-tecolocando en el lado derecho de la particion de la matriz ampliada las dos columnas que contienenlos dos terminos independientes, llevar a forma escalonada y resolver por sustitucion regresiva para laprimera columna y despues para la segunda:1 2 31 4 52 17 41 2 30 2 82 15 3. (1.16)Resolviendo para la primera columna tenemos y = 524z, x = 2+2y3z = 311z; as quexyz =311524, R, es la solucion para el sistema (1.14). Resolviendo ahora para la segunda columna de (1.16)obtenemos s = 324t, r = 1+2s3t = 211t; es decir,rst =211324, R, es la solucion del sistema (1.15). 42. 28 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales1.2.5 Me todo de Gauss-Jordan y sistemas con solucio n unicaDefinicion 1.15 Una matriz esta en forma escalonada reducida si:1. Esta en forma escalonada.2. Arriba de cada pivote las componentes (si hay) son nulas.3. Todos los pivotes son unos. Ejemplo 1.29 La matriz1 0 2 00 1 8 00 0 0 10 0 0 0esta en forma escalonada reducida.Me todo de Gauss-JordanPara llevar una matriz a forma escalonada reducida se procede de la manera siguiente:1. Se lleva la matriz a forma escalonada mediante el metodo de Gauss.2. Se hacen ceros todos los elementos arriba de cada pivote utilizando el metodo de Gauss de abajohacia arriba.3. Se convierten en unos todos los pivotes mediante la operacion de renglon cambio de escala.Empleando el metodo de Gauss-Jordan se puede probar el teorema que enunciamos a continuacion.Teorema 1.5 Toda matriz es equivalente por filas a una y solo una matriz en forma escalonadareducida.12 Ejemplo 1.30 Obtener la forma escalonada reducida equivalente a la matriz A por el metodo deGauss-Jordan siA =2 1 0 3 43 1 2 0 35 4 0 1 2.Solucion 2 1 0 3 43 1 2 0 35 4 0 1 2 (1)2 1 0 3 40 5 4 9 60 13 0 13 16(2)2 1 0 340 5 4 960 052 52 2112Compare con el teorema 1.3, pagina 23. 43. N 1.2 Sistemas lineales 29SECCIO(3)2 1 0 340 5 4 960 026 26 1(4)2 1 0 3 40 65 0 65 800 026 26 1(5)2 1 0 3 40 13 0 13160 026 26 1(6)26 0 0 26 360 13 0 13 160 026 26 1(7)1 0 0 1 18/130 1 0 1 16/130 0 1 1 1/26.Donde, para facilitar su comprension, esta vez hemos indicado las operaciones de renglon en cadapaso del (1) al (7), senalando los pivotes en azul mas claro cuando se hacen ceros los elementos pordebajo de los mismos y en rojo cuando se hacen ceros los elementos por encima de los pivotes. (1): R23R1 +2R2, R3 5R1 +2R3; (2): R3 13R2 +5R3; (3): R3 (1/2)R3; (4): R2 2R3 +13R2; (5):R2 (1/5)R2; (6): R1 13R1 R2; (7): R1 (1/26)R1, R2 (1/13)R2, R3 (1/26)R3. P Nota 1.5 A diferencia de la forma escalonada reducida de una matriz, que es unica, es claro que alhacer operaciones de renglon a una matriz A para obtener una matriz en forma escalonada equivalente,se pueden obtener diferentes matrices. Sin embargo, para cualquier par de matrices en forma escalonadaequivalentes a la matriz A se cumple:1. Las dos matrices tienen el mismo numero de pivotes.2. Los pivotes se encuentran en las mismas posiciones en ambas matrices; es decir, si una matriztiene un pivote en la componente i j la otra tambien tiene un pivote en esta componente.Ilustramos la nota 1.5 en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.31 Sea A =2 3 1 1 54 1 0 1 21 2 3 1 1, entonces2 3 1 1 54 1 0 1 21 2 3 1 1 2 3 1 1 50 5 2 1 80 1 5 1 32 3 1 1 50 5 2 1 80 0 23 4 23 = H1 44. 30 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesy2 3 1 1 54 1 0 1 21 2 3 1 1 1 2 3 1 14 1 0 1 22 3 1 1 5 1 2 3 1 10 7 12 3 20 1 5 1 31 2 3 1 10 1 5 1 30 7 12 3 21 2 3 1 10 1 5 1 30 0 23 4 23 = H2.As A H1, A H2; H1 y H2 estan en forma escalonada, H1= H2; ambas matrices tienen el mismonumero de pivotes y se encuentran en las mismas posiciones en las dos matrices.Sistemas lineales y me todo de Gauss-JordanLos sistemas lineales tambien se pueden resolver utilizando el metodo de Gauss-Jordan para llevar lamatriz ampliada a forma escalonada reducida y realizar sustitucion regresiva, como hacemos patente enel siguiente ejemplo. Ejemplo 1.32 Resolver el siguiente sistema mediante el metodo de Gauss-Jordanx1 2x2 + x3 + 3x4 = 1x1 + x2 + 2x4 = 22x1 x2 + x3 + 5x4 = 1 Solucion Llevemos la matriz ampliada a la forma escalonada reducida:1 2 1 31 1 0 22 1 1 5121 1 2 1 30 1 1 50 3 1 11131 2 1 30 1 1 50 0 2 141161 2 1 30 1 1 50 0 1 71131 2 0 40 1 0 20 0 1 74231 0 0 00 1 0 20 0 1 7023. 45. N 1.2 Sistemas lineales 31SECCIOAl hacer sustitucion regresiva tenemos x3 = 37x4, x2 = 22x4 y x1 = 0; luego la solucion vienedada porx1x2x3x4=022r37rr; r R. Sistemas con solucion unicaEn este breve apartado damos criterios para determinar cuando hay solucion unica en un sistema utili-zandola forma escalonada reducida, los cuales son faciles de probar utilizando el teorema 1.4.Sea A Mmn:1. Caso mn. Sea Ax =b un sistema lineal consistente, entonces las dos condiciones siguientes sonequivalentes ((a) (b)):(a) El sistema Ax =b tiene solucion unica.(b) La forma escalonada reducida equivalente a A consiste de la identidad n n seguida de(b) mn filas nulas.2. Caso mn. Supongamos que el sistema Ax =b es consistente y tiene menos ecuaciones queincognitas. Entonces tiene una infinidad de soluciones.3. Caso m = n. Ax =b tiene solucion unica para todob si y solo si A es equivalente a la identidad; esdecir, la forma escalonada reducida equivalente a A es In.P Nota 1.6 Para determinar que una matriz cuadrada sea equivalente a la identidad, basta revisar queal llevarla a una forma escalonada toda columna en esta tenga pivote (por su definicion, este debeser distinto de cero); ya que entonces, por el metodo de Gauss-Jordan, su forma escalonada reducidaequivalente sera la identidad.1.2.6 Sistemas homog eneosDefinicion 1.16 Un sistema lineal con la forma Ax =0, donde0 =00...0, se llama homogeneo.Todo sistema homogeneo es consistente pues x =0 es solucion del mismo; la llamada soluciontrivial.De los casos 1 y 2, de criterios de solucion unica de la subseccion precedente, deducimos el siguienteteorema. 46. 32 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesTeorema 1.6 Sea A Mmn. Entonces1. Si m = n, el sistema homogeneo cuadrado Ax =0 tiene solucion no trivial si y solo si A no esequivalente a la identidad.2. Todo sistema homogeneo Ax=0 con menos ecuaciones que incognitas (mn) tiene solucionesno triviales.Observemos que para resolver un sistema homogeneo Ax =0, no es necesario poner ceros en laultima columna de la ampliacion; pues todos los terminos independientes son nulos y al hacer las ope-racionesde renglon no se veran afectados. As que bastara llevar a forma escalonada la matriz A y hacersustitucion regresiva recordando que los terminos independientes son nulos. Ejemplo 1.33 Para el sistema homogeneox1+x2x3 = 0x1x23x3 = 0,1 1 11 1 31 1 10 2 21 1 10 1 1;de aqu,x1x2x3 =2rrr; r R.1.2.7 Estructura de las solucionesEl teorema a continuacion describe la estructura de las soluciones de los sistemas no homogeneos enrelacion con los homogeneos y, de paso, nos muestra que es posible resolver al mismo tiempo el sistemano homogeneo Ax =b y el sistema homogeneo asociado Ax =0.Teorema 1.7 Sea A Mmn.1. Sih1,h2 son soluciones particulares del sistema homogeneo Ax =0 y R, entonces(a) h1+h2 es tambien solucion.(b) h1 es solucion del sistema.2. Sea p una solucion particular del sistema no homogeneo Ax =b.(a) Si h es cualquier solucion del sistema homogeneo asociado Ax =0, entonces p+h essolucion del sistema no homogeneo Ax =b.(b) Si p es una solucion particular del no homogeneo Ax =b, entonces toda solucion u deeste sistema tiene la forma p+h, para alguna solucion h del sistema lineal homogeneoasociado Ax =0. 47. N 1.2 Sistemas lineales 33SECCIODEMOSTRACIO N Q 1. (a) Comoh1,h2 son soluciones, Ah1 =0 y Ah2 =0. Luego,A(h1+h2) = Ah1+Ah2 =0.(a) Por tanto,h1+h2 es tambien solucion.(b) A(h1) = (Ah1) = 0 =0; lo cual nos dice que h es solucion.2. (a) A(p+h) = Ap+Ah =b+0 =b; pues p es solucion de Ax =b yh es solucion del homogeneo.(b) Sea u una solucion de Ax =b. Entonces, sih =up, Ah = A(up) = AuAp =bb =0;y u =p+h. Q Ejemplo 1.34 Resolver el sistemax1 2x2 + x3 x4 = 42x1 3x2 + 2x3 3x4 = 13x1 5x2 + 3x3 4x4 = 3x1 + x2 x3 + 2x4 = 5y encontrar la solucion del sistema homogeneo asociado.Solucion 1 2 1 12 3 2 33 5 3 41 1 1 241351 2 1 10 1 0 10 1 0 10 1 0 14999 1 2 1 10 1 0 10 0 0 00 0 0 04900.As, la solucion del sistema esx1x2x3x4=3rs14r9sr=14900+3rsrsr; r, s R.De donde observamos que para este caso14900y3rsrsr; r, s Rson, respectivamente, una solucion particular del no homogeneo y la solucion del homogeneo aso-ciado. 48. 34 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales1.2.8 Sistemas lineales con numeros complejosNuevamente, como en la seccion 1.1.5 (cfr. pag. 12), haremos uso de numeros complejos en algebralineal; esta vez en sistemas lineales. Para resolver sistemas lineales con coeficientes complejos sim-plementeaplicaremos las mismas tecnicas que hemos desarrollado en esta seccion, pero realizando lasoperaciones con numeros complejos. Todas las propiedades y teoremas relativos a sistemas linealessobre el campo de los numeros reales de esta seccion siguen siendo validos cuando los coeficientes yterminos independientes son numeros complejos.13 Ejemplo 1.35 Resolvamos el sistemax1 + (1+i)x2 ix3 = 2iix1 2ix2 + x3 = 12ix1 + (1i)x2 + 2ix3 = 1+i.Para ello aplicamos el metodo de Gauss empleando el algebra de numeros complejos en las opera-ciones.141 1+i ii 2i 11