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ALGEBRA LINEAL ACTIVIDAD 1

Carlos Antonio Daniel Cabrera Rangel

División de Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales. Ingeniería en Biotecnología. Primer Semestre.

ALGEBRA LINEAL. CONCEPTOS, y ANTECEDENTES HISTORICOS.

Álgebra lineal es una de las tantas ramas de las matemáticas, la cual se basa en el estudio de los siguientes conceptos: vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales, así como de los espacios vectoriales y transformaciones (1). El álgebra lineal es una de las áreas que integran la formación básica en matemáticas de ingenieros y científicos (2). Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas, como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc. (3). En álgebra lineal, los conceptos son tan importantes como los cálculos, por lo que se convierte en un curso adecuado para introducir el pensamiento abstracto, debido a que una gran parte de su campo tiene una interpretación geométrica, que puede ayudar precisamente a visualizar esos conceptos (4). Desde tiempos remotos, y como parte esencial de su propio desarrollo evolutivo, el hombre ha procurado entender los diferentes aspectos que forman parte de su vida cotidiana (5). Como resultado de este proceso, el ser humano ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solución al problema específico que lo afecta. Todo esto con el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su medio local (1). Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Algebra lineal, se han encontrado en el documento matemático más antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido también como el Libro de Cálculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmés hacia el año 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855 (5). En él se encuentran los primeros conocimientos acerca del álgebra lineal. Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido originalmente como un manual práctico para los no iniciados (1). Por su parte, los babilonios sabían cómo resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, completando cuadrados o sustitución, así como también ecuaciones cúbicas, bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Algunos ejemplos que se encontraron sobre dichos problemas datan del último período sumerio, aproximadamente del año 2100 a.C. (1). En tanto, los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C., continuaron la tradición de los babilonios y proporcionaron los primeros métodos del pensamiento lineal (1). A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal (5). En 1843, el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton descubre los Cuaterniones como el primer y único anillo de división no conmutativo sobre los números reales (5). En esa época aparecen con Hamilton, Arthur Cayley, y Hermann Günther Grassmann, las nociones de vector y de espacio vectorial, como una axiomatización de la idea de “vector” manejada por los estudiosos de la Mecánica desde fines del siglo XVII, un hecho que representó la génesis del Cálculo vectorial y de la Matemática moderna (1) (5). Grassmann, introdujo el producto geométrico y lineal, siendo el primero de éstos, equivalente al producto vectorial. El primero que utilizó el término “matriz” fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en 1850, quien definió una matriz como un arreglo cuadrilongo de términos. Tiempo después estableció contacto con Cayley, quien rápidamente entendió la importancia del concepto de matriz (1). Uno de los principales méritos de Cayley fue la introducción de las operaciones básicas de suma y multiplicación de matrices, aunque indicios de éstas ya aparecían en trabajos anteriores de Euler, Lagrange y Gauss. Además, Cayley probó que la multiplicación de matrices es asociativa, e introdujo las potencias de una matriz, así como las matrices simétricas y antisimétricas (1). Desde entonces, el álgebra ha evolucionado y seguido varias líneas de desarrollo; por ejemplo, el álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica, al poner más atención en las estructuras matemáticas (1). Los conceptos y métodos del álgebra lineal han contribuido decisivamente al desarrollo de muchas áreas del conocimiento tanto dentro como fuera de la Matemática (5). La formulación de un problema concreto en términos del algebra lineal ha sido uno de los métodos más efectivos para hallar su solución (5).

EL VECTOR.

El concepto de vector está motivado por la idea del desplazamiento en el espacio. Si una partícula se mueve de P a Q, ella determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q (P → Q) (6).

El vector es un segmento de recta dirigido. Cualquier segmento de recta, se conoce como una representación del vector (7). Un vector tiene muchas representaciones, dependiendo del lugar donde se ubique su punto inicial (7). Las partes que componen un vector son: Punto inicial: es el punto del plano en donde inicia o parte el vector. Punto final: es el punto del plano en donde finaliza el vector. Magnitud: es la longitud o tamaño del vector. Dirección: está formada por la línea que se sigue para ir desde el punto inicial hasta el punto final. Sentido: es el lugar hacia donde apunta el vector, puede ser arriba, abajo, izquierda, derecha, etcétera. (7). Existen distintos tipos o clases de vectores: Vectores Equipolentes: Cuando dos vectores tienen la misma magnitud, dirección y sentido, se dice que son equipolentes. Vectores Libres: El conjunto de los vectores equipolentes recibe el nombre de vectores libres. Es decir, un vector libre es el grupo de vectores que cuentan con la misma magnitud, dirección y sentido. Vectores Fijos: Un vector fijo es el representante de un vector libre. Estos vectores serán iguales sólo si tienen igual magnitud, dirección y sentido; y si cuentan con el mismo punto inicial. Vectores Ligados: Son aquellos vectores equipolentes que se encuentran en la misma recta. Esta clase de vectores tendrán la igual dirección, magnitud, sentido y además formarán parte de la misma recta. Vectores Opuestos: Cuando dos vectores tienen la misma dirección, la misma magnitud pero distinto sentido, reciben el nombre de vectores opuestos. Vectores Unitarios: Son vectores de magnitud uno. Si se quiere obtener un vector unitario con la misma dirección y sentido, a partir del vector dado, se debe dividir a este último por su magnitud. Vectores Concurrentes: Si dos vectores tienen el mismo origen se los denomina vectores concurrentes. (8).

a) b) c) d) e)

f) g)

Figura II. Tipos de Vectores: a) Vectores Equipolentes, b) Vectores Libres, c) Vectores Fijos, d) Vectores Ligados, e) Vectores Opuestos, f) Vectores Unitarios, g) Vectores Concurrentes.

Figura I. Izquierda: representación

gráfica del vector. Derecha: componentes

del vector.

OPERACIONES CON VECTORES.

Los vectores poseen ciertas propiedades que permiten sumarlos, restarlos y multiplicarlos; sin estas propiedades prácticamente serian inservibles, ya que se utilizarían únicamente como la representación de un problema sin mayor uso que eso (9).

Suma de Vectores. Sean u = (a1, a2) y v = (b1, b2) dos vectores en el plano, se define la suma de dos vectores como un nuevo vector, cuyas componentes están formadas por la suma de las componentes de u y de v; el vector resultante de la suma se denota por u + v, y la suma se representa como: u + v = (a1 + b1, a2 + b2) (10).

Resta de Vectores. Para poder obtener la resta de dos vectores, se restan las coordenadas que se encuentran en la misma posición de cada uno de los vectores. Sean u = (a1, a2) y v = (b1, b2) dos vectores en el plano, encontrar la diferencia de los vectores v – u = (b1 – a1, b2 – a2) (11).

Multiplicación de un Escalar por un Vector. Se utilizarán los vectores y se multiplicarán por un escalar, o bien, por un número. Sea el vector v = (a, b) y sea α un número; se tiene que: αv = (αa, αb).

Con lo que |αv| =

=

=|α| =|α|*|v| Esto significa que cuando un vector es multiplicado por un escalar distinto de cero, hace que la longitud de dicho vector se multiplique por el valor absoluto del escalar (12).

Figura III. Suma de vectores.

Figura IV. Resta de vectores.

Figura V. Multiplicación de un escalar por un vector.

Propiedades del producto de un Vector por un Escalar. Cuando un vector es multiplicado por un escalar, o bien por un número, ello puede causarle un cambio de sentido o de magnitud. Sea v y w vectores y sean α y β escalares; entonces, se cumplen las siguientes propiedades del producto: αu también es un vector.

α (u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu

α(βu) = (αβ)u (13).

PRODUCTOS VECTORIALES. El producto vectorial (ó producto cruz) es una multiplicación entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal (perpendicular) a ambos. Dado que el resultado es otro vector, se define su magnitud, dirección y sentido (14). La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos (15):

La dirección es sobre la recta ortogonal (perpendicular) a ambos vectores, es decir que forma 90 grados con los mismos (14). El sentido se calcula con la regla del tirabuzón, imaginando que gira por la recta ortogonal del origen entre uno y otro

vector de tal forma que avance (14). La regla del tirabuzón es girar la mano desde el primer vector hacia el segundo

vector y suponer que se tiene en la mano un tirabuzón y ver hacia donde se movería. Si se está rotando hacia la derecha, el tirabuzón avanza, y si se está rotando hacia la izquierda, el tirabuzón retrocede. Esos son los sentidos del vector resultante (16).

TRIPLES PRODUCTOS. Por medio del producto escalar y vectorial de tres vectores, A, B y C, se pueden formar productos de la forma (17): Triple Producto Escalar. Se llama triple producto escalar, al escalar que se obtiene de un producto cruz entre dos vectores, seguido de un producto escalar, es decir (18): Sean u, v y w tres vectores en el espacio; el producto es definido como sigue (18):

Figura VI. Multiplicación de un vector por un escalar.

Figura VII. Productos vectoriales.

Sobre los triples productos escalares, se tiene la siguiente propiedad: Sean u, v y w tres vectores en el espacio, entonces (18): Triple Producto Vectorial. Se le llama triple producto vectorial, al producto que se realiza entre tres vectores, del cual se obtiene un cuarto vector, que estará en el mismo plano que los dos primeros vectores que se multiplicaron (19). Sean u, v y w, tres vectores en el espacio; el producto cruz de estos tres vectores está representado por (19):

REFERENCIAS. Texto: (1) - Sin autor (2015). Historia del álgebra lineal. Asignaturas comunes del área de CSBA 1° Semestre. Programa de la

asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 04 – 05). México. UnADM. (2) - Sin autor (2011). Guía Docente. Algebra lineal. Grado en Ingenieria en tecnologías de telecomunicación, ingeniería

en sistemas de telecomunicación, ingeniería en electrónica de comunicaciones. Universidad de Alcalá. Curso académico 2011/2012. Curso 1º - Cuatrimestre 1º. Consultado el 31 de Enero de 2015, de: http://www.uah.es/estudios/asignaturas/descarga_fichero.asp?CodAsig=350000&CodPlan=G37&Anno=2011-12

(3) - http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal (4) - http://www.ecured.cu/index.php/%C3%81lgebra_lineal (5) - Deivi Luzardo, A. (2006). Historia del Algebra Lineal hasta los Albores del Siglo XX. Divulgaciones Matemáticas Vol.

14 No. 2. consultado el 31 de enero de 2015, de: http://www.emis.de/journals/DM/v14-2/art6.pdf (6) - http://es.slideshare.net/veronicaseib/vectores-en-el-plano-algebra-lineal (7) - Sin autor (2015). Vectores, 1.2.1. Conceptos básicos. Asignaturas comunes del área de CSBA 1° Semestre. Programa

de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 07-08). México. UnADM. (8) - http://www.tiposde.org/ciencias-exactas/91-tipos-de-vectores/ (9) - Sin autor (2015). Operaciones con vectores. Asignaturas comunes del área de CSBA 1° Semestre. Programa de la

asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 16). México. UnADM. (10) - Sin autor (2015). Operaciones con vectores, 1.3.3 Suma de vectores. Asignaturas comunes del área de CSBA 1°

Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 18). México. UnADM. (11) - Sin autor (2015). Operaciones con vectores, 1.3.4. Resta de vectores. Asignaturas comunes del área de CSBA 1°

Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 19). México. UnADM. (12) - Sin autor (2015). Operaciones con vectores, 1.3.1. Multiplicación de un escalar por un vector. Asignaturas comunes

del área de CSBA 1° Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 17). México. UnADM.

(13) - Sin autor (2015). Operaciones con vectores, 1.3.2. Propiedades del producto de un vector por un escalar. Asignaturas comunes del área de CSBA 1° Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 17). México. UnADM.

(14) - http://www.fisicapractica.com/producto-vectorial.php (15) - http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vvec.html

Figura VIII. Triple Producto escalar y

vectorial .

(16) - https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20081004122514AATSAnG (17) - Sin autor (2015). Triples productos. Asignaturas comunes del área de CSBA 1° Semestre. Programa de la asignatura:

Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 30). México. UnADM. (18) - Sin autor (2015). Triples productos, 1.5.1. Triple producto escalar. Asignaturas comunes del área de CSBA 1°

Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 30). México. UnADM. (19) - Sin autor (2015). Triples productos, 1.5.2. Triple producto vectorial. Asignaturas comunes del área de CSBA 1°

Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 31). México. UnADM.

Figuras: Figura I: Sin autor (2015). Vectores, 1.2.1. Conceptos básicos. Asignaturas comunes del área de CSBA 1°

Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 07). México. UnADM.

Figura II: http://www.tiposde.org/ciencias-exactas/91-tipos-de-vectores/

Figura III: Sin autor (2015). Operaciones con vectores, 1.3.3 Suma de vectores. Asignaturas comunes del área de CSBA 1° Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 18 - 19). México. UnADM.

Figura IV: Sin autor (2015). Operaciones con vectores, 1.3.4. Resta de vectores. Asignaturas comunes del área de CSBA 1° Semestre. Programa de la asignatura: Algebra lineal. Unidad 1. Algebra lineal (pp. 20). México. UnADM.

Figura V: http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Vectores%20en%20R2%20y%20R3.htm

Figura VI: http://www.wikimatematica.org/images/b/b3/Vect_mult.jpg

Figura VII: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vvec.html

Figura VIII: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Interpretaci%C3%B3n_de_triple_producto_escalar.svg