12555 duzina luka krive.pdf

Duina luka krive

Dr piro Gopevi

Sadraj

Uvod

Duina luka krive

Funkcija duine luka krive

Neautorizovani tekst. 2


Uvod

Duinu luka krive moemo dobiti merenjem metrom

Dobijena duina luka krive je priblina

to je kriva komplikovanijeg oblika merenje duine luka krive postaje sve tee


Uvod

Uvod

Ako je kriva poligonalna linija, njenu duinu je lakonai

Sabiramo duine linijskih odseaka od kojih je poligon sainjen

Za raunanje duine odseka moemo upotrebiti formulu za nalaenje rastojanja izmeu

dve susedne take poligona

ako su poznate koordinate

taaka poligona


Problem: Potrebno je odrediti tanu duinu luka

Reenje: Definiciju duine luka krive moemo dobiti na slian nain kao to smo definisali povrinu ili zapreminu


Duina luka krive

Definiciju duine luka krive izvesti emo na sledei nain:

Krivu liniju emo aproksimirati poligonalnom linijom

Duina krive linije e biti jednaka graninoj vrednost sume duina strana poligona, kada se broj delova poligona uveava


Duina luka krive

Ovaj postupak je slian sa postupkom odreivanja obima kruga kao granine vrednosti sume duina strana upisanog poligona


Duina luka krive

Pretpostavimo da je kriva C:

definisana jednainom y = f(x)

f(x) je neprekidna na [a, b]


Duina luka krive

y = f(x)

a b

x

yC

Krivu C aproksimiramo poligonalnom linijom

Interval [a, b] delimo na n podintervala ije su krajnje take: x0, x1, . . . , xn

Take su na istom meusobnom rastojanju, te su podintervali iste duine x


Duina luka krive

C

Ako je yi = f(xi) tada

Taka Pi (xi, yi) lei na C

Poligon sa vorovima Po, P1, , Pn, je aproksimacija krive C


Duina luka krive

C

Duina L krive C je priblino jednaka duini poligona i aproksimacija je sve bolja kako raste broj strana npoligona


Duina luka krive

C

Duinu luka L krive C date jednainom y = f(x),a x b, definiemo kao graninu vrednost duine upisanog poligona (ako granina vrednost postoji):

11

limn

i in i

L P P

=

=


Duina luka krive

C

Predhodna definicija za duinu luka nije ba pogodna za korienje

Izveemo integralnu formulu za duinu luka Lu sluaju kada funkcija f:

Ima neprekidne izvode

Je glatka funkcija jer male promene po x daju male promene po f(x).


Duina luka krive

Neka je yi = yi yi1, tada je2 2

1 1 1

2 2

( ) ( )( ) ( )

i i i i i i

i

P P x x y y

x y

= +

= +


Glatka funkcija

C

Primenom Lagranove teoreme na f na intervalu [xi1, xi], nalazimo da postoji xi* izmeu xi1 i xi takvo da je

*

1 1( ) ( ) '( )( )i i i i if x f x f x x x = *

'( )i iy f x x =


Glatka funkcija

*1

1

( ) ( )'( )( )

i ii

i i

f x f x f xx x

=

Sada imamo

2 21

22 *

2* 2

2*

( ) ( )

( ) '( )

1 '( ) ( )

1 '( ) ( 0)

i i i

i

i

i

P P x y

x f x x

f x x

f x x x

= +

= +

= +

= + >


Glatka funkcija

Primenom predhodne definicije za duinu luka krive imamo

Integral postoji jer je funkcija neprekidna

[ ]

11

2*

1

2

lim

lim 1 '( )

1 '( )

n

i in i

n

in i

b

a

L P P

f x x

f x dx

=

=

= =

= + =

= +


Glatka funkcija

[ ]2( ) 1 '( )g x f x= +

Diferencijal je jednak

Geometrijska interpretacija

je na slici desno


Duina luka krive

2 2

2

2

( ) ( )1 ( )

1 ( )

dydx

dxdy

ds dx dy

dx

dy

= +

= +

= +

'( )dx dy g y='( )dy dx f x=

Ako je f neprekidna na [a, b], tada je duina luka krive y = f(x), a x b

[ ]21 '( )ba

L f x dx= +


Duina luka krive

2

1b b

a a

dyL dx dsdx

= + =

Primer: Nai duinu luka krive y = x3/2 izmeu taaka (1, 1) i (4, 8)

Reenje:


Duina luka krive

3 2y x=

1 232

dyx

dx=

24 4

941 1

1 1dyL dx x dxdx

= + = +


Duina luka krive

( )

4 10941 13/4

1 9 / 49 / 4 41

1, 13 / 4 94, 10

1 80 10 13 1327

u x

du dxL x dx udu

x u

x u

= +

=

= + = = == =

= =

=

2 2

22 4 4

dy x xdx x x

= =

2 22 2

220 02 1 2 1

44x xL dx dx

xx

= + = +

2

20

144

dxx

=

2

1

0

4 sin 22x

pi

= =

Duina luka krive Primer: Nai duinu luka krive na

intervalu [-2,2]24y x=

Ako kriva ima jednainu x = g(y), c y d, ig(y) je neprekidna, tada je duina luka krive jednaka

[ ]22

1 '( )

1

d

c

d

c

d

c

L g y dy

dx dydy

ds

= + =

= +

=


Duina luka krive

Primer: Nai duinu luka parabole y2 = x od (0, 0) do(1, 1).

Reenje: Poto je x = y2, tada je dx/dy = 2y


Duina luka krive

21 1 2

0 01 1 4dxL dy y dy

dy

= + = +


21 1 2

0 0

2 21 2

0

2

20

220

1 1 4

1 1tan1 2 2 cos2

12 0 0 arctan 22

1 1 12 tan2 2 2 cos

1 11 tan2 cos

dxL dy y dydy

y dy dy dy

y y

d

d

= + = +

= =

= + =

= = = = =

= +

= +

Duina luka krive


Duina luka krive

220

2 2

2 20

30

0

1 11 tan2 cos1 cos sin 12 cos cos1 12 cos1 1 tan 1ln tan2 2 cos cos

1 tan 1ln tan4 cos cos

L d

d

d

= +

+=

=

= + +

= + +

Iz

imamo tan = 2 i

( )ln 5 252 4

L+

= +


Duina luka krive

22

1 1 tan 5cos

= + =

arctan 2 = =

1 5cos

=

Problem: Odrediti funkciju koja daje duinu luka krive, ako je:

zadata poetna taka

krajnja taka je nije zadata



Reenje:

Pretpostavimo da imamo glatku krivu C datu jednainom y = f(x), a x

s(x) je rastojanje du

krive C od poetne

take P0(a, f(a))

do take Q(x, f (x))



s(x) je funkcija, koja se zove funkcija duine luka krive

Zamenili smo promenjivu integracije sa t



[ ]2( ) 1 '( )xa

s x f t dt= +

Jednaina pokazuje da deo promene s u odnosu na x je uvek najmanje jednako 1 ili jednako 1 kada je f(x), nagib krive, jednak 0

[ ]2

21 '( ) 1ds dyf xdx dx

= + = +



Primer: Nai funkciju duine luka krive y = x2 ln x uzimajui P0(1, 1) kao startnu taku

Reenje:



1'( ) 2

8f x x

x=

[ ]2

2 22

22

2

1 1 11 '( ) 1 2 1 48 2 64

1 142 6412

8

f x x xx x

xx

xx

+ = + = + +

= + +

= + [ ]2 11 '( ) 2

8f x x

x+ = +

Funkcija duine luka krive je:

[ ]

]

2

1

1

21

2

( ) 1 '( )128

1 ln81 ln 18

x

x

x

s x f t dt

t dtt

t t

x x

= +

= +

= +

= +



Duina luka krive od take (1, 1) do (3, f(3))

2 18(3) 3 ln 3 1

ln 388

8.1373

s = +

= +



Proraun duine luka krive esto nas dovodi u situaciju da moramo da reavamo teke integrala

Tada se koriste razliiti metodi numerike integracije


Duina luka krive

Review: Length of a Line Segment

y

x

s(a,b)

(c,d)

2 2( ) ( )s c a d b= +

2 2( ) ( )s x y= +

12555 duzina luka krive.pdf

Documents