122753907 otpornost materijala ii skripta ismet hajduk
TRANSCRIPT
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
1/175
OTPORNOST MATERIJALA IISKRIPTA
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
2/175
Skripta
Otpornost materijala II
2
1. TORZIJA
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
3/175
Skripta
Otpornost materijala II
3
Obostrano uklješteni štap prikazan na slici opterećen je momentima torzije M1=50 kNm i M2=30 kNm.Potrebno je odrediti:
a) Naprezanja u tački E. b) Ugao zaokreta presjeka C.
RJEŠENJE
Uslov ravnoteže:
x A 1 2 B
A B 1 2
M 0 M M M M 0
M M M M 50 30 20 kNm
OSNOVNI SISTEM
= − + + =
+ = − = − =
ZADATAK br. 1
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
4/175
Skripta
Otpornost materijala II
4
B
Uslov kompaktibilnosti deformacija:
0ϕ =
1 2 2 B B
p1 p1 p2 p1 p2
1 2 2 B B
p1 p1 p2 p1 p2
4 46 41
p1
4 4 4 461 2
p2
M a M a M a M a M 2a G 0
G I G I G I G I G I a
M M M M 2M 0I I I I I
d (120 mm) I 20,358 10 mm
32 32
d d 120 100 I 10,54 10
32 32 32 32
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − − − = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− − − − =
π ⋅ π ⋅= = = ⋅
π ⋅ π ⋅ π ⋅ π ⋅= − = − = ⋅ 4
6 4 p2
p2 p16 4 p1
1 2 2 B B p1
p1 p1 p1 p1
B B
A B A
mm
I 10, 54 10 mm 0,518 I 0,518 I
I 20,358 10 mm
M M M M 2M I
I 0,518 I I 0,518 I
30 50 30 4,861 M M 7,8 kNm
0,518
M M 20 kNm M 27,8 kNm
⋅= = = ⋅
⋅
−− = + ⋅
⋅ ⋅
− − = ⋅ = −
+ = =
6t 2
E 6 4 p2
6A
C5 6 4 p1
2
Naprezanje u tački E:
M d 22,2 10 Nmm 100 mm 105,31 MPa
I 2 210,54 10 mm
Ugao zaokreta presjeka C:
M a 27,8 10 Nmm 600 mm 0,0102 rad
NG I 0,8 10 20,35810 mmmm
⋅τ = ⋅ = ⋅ =
⋅
⋅ ⋅ ⋅ϕ = = =
⋅ ⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
5/175
Skripta
Otpornost materijala II
5
Čelični cilindrični štap prečnika 2,5 cm ima zadebljanja A i B. Na ova zadebljanja navučena je čeličnacijev debljine zidova 1,25 mm. Pri navlačenju cijevi štap je bio uvijen momentima od 75 Nm. Poslijezavarivanja cijevi za zadebljanja štapa uklonjeni su momenti sa njegovih krajeva. Odrediti vrijednostnajvećeg tangencijalnog napona u cijevi poslije rasterećenja krajeva štapa. Smatrati da su ispusti A i Bne deformišu.
0
0
RJEŠENJE
Poslije uklanjanja momenta M s krajeva štapa njegov dio između zadebljanja A i B, koji je uvijen
za ugao , teži da se odvije (rastereti), ali ga pri tome sprječava cijev. Prema tome, štap seϕ
cijev
cijev štap
ne odvija
potpuno već samo za ugao za koji se uvija cijev. Pri tome se od strane štapa preko zadebljanja
A i B prenosi na cijev momenat uvijanja M . Takav momenat M , jednakog intenzitet
ϕ
cije
a, očigledno
se prenosi i na štap od strane cijevi. Na taj način za rješavanje ovog zadatka mogu se postaviti dvije
jednačine:
jednačina za ravnotežu:
M v štap t
0 cijev štap
cijev štap0
p,štap p,cijev p,štap
M M
jednačina podudaranja deformacije:
ili:
M l M lM l
I G I G I G
Poslije
= =
ϕ = −ϕ = ϕ
⋅ ⋅⋅− =
⋅ ⋅ ⋅
cijev štap t
p,štap0 t t t
p,štap p,cijev p,štap p,štap p,cijev
0t
skraćenja sa l i G i zamijene M i M izrazom za M dobijamo
IM M M M 1 ,
I I I I I
odakle je:
M M
1
= + = ⋅ +
= p,štap
p,cijev
2t2 2sred
7568,5 Nm
I 1 0, 0975
I
Sada se može odrediti tangencijalni napon u cijevi:
M 6850 643 N / cm
2 r t 2 3,14 3,69 0,125
= =+
+
τ = = =π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ZADATAK br. 2
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
6/175
Skripta
Otpornost materijala II
6
Opruga za vrata od čelične šipke kvadratnog poprečnog presjeka učvršćena je jednim krajem zavrata(u tački A kao) a drugim za štok(u tački B).Naći intenzitet sile P kojom treba vući ručicu vrata da
bi se ona otvorila za 90o i ugao za koji treba prethodno uviti šipku, da bi pri otvaranju vratanajveći napon dotigao τdop=500 N/mm2.Dužina šipke je 2 m, dimenzije poprečnog presjeka 6x6mm.Širina vrata je 1 m.
tmax 2
2t
3t
3
3
t3 5 3
RJEŠENJE
M
hb
h za 1 0,208 , =0,141
b
M 0,208 6 6 500 22 464 Nmm M P 1000 P 10 Nmm
P 10 22 464
P=22,464 N
1022 464 2M h l 3,092 =G hb 0,141 0,800 10 6 6
τ =α
= α = β
= ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅ = ⋅
⋅ =
⋅ ⋅⋅ϕ = =
β ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
818rad=1,54909 rad
2
=88,74ϕ
ZADATAK br.3
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
7/175
Skripta
Otpornost materijala II
7
2. TRAŽENJE UGIBA, MAKSVEL-MOROVA ANALOGIJA,PRAVILO VEREŠČAGINA
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
8/175
Skripta
Otpornost materijala II
8
Za nosač i opterećenje na slici:a) Izvršiti dimenzioniranje nosača ako mu je poprečni presjek sastavljen iz dva NP profila ako
je σd=160 N/mm2.
b) Naći ugib na kraju prepusta Maksvel – Morovom analogijom i provjeriti da li je veći oddozvoljenog vd
C=0,5 mm.c) Eventualno izvršiti dimenzioniranje na ugib.
RJEŠENJE
a)
[
max
63 3
z,pot
4 2z
Dimenzioniranje
M 66,15 kNm
66,15 10 W 413,4 10 mm
160Dimenzioniranje vršimo probanjem:
I proba usvajamo NP 20 I 148 cm , F 32, 2 cm
=
⋅= = ⋅
− = =
2 4z
3 3z,stv z,pot
I 2 (148 32,2 5,49 ) 2237 cm
2237 W 298 cm W 413,4 cm
7,5
= ⋅ + ⋅ =
= = < =
[ 4 2zII proba usvajamo NP 24 I 248 cm , F 42, 3 cm− = =
2 4z
3 3z,stv z,pot
I 2 (248 42,3 6,27 ) 3821 cm
3821 W 449 cm W 413,4 cm8,5
= ⋅ + ⋅ =
= = > =
ZADATAK br. 1
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
9/175
Skripta
Otpornost materijala II
9
[Usvojeno : 2 NP 24
b)
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
10/175
Skripta
Otpornost materijala II
10
3C
12C
C d5 4
C dC C
12C
z,pot dC
EIV 312,5 260 51,5 kNm
M 51,5 10 v 0,67 mm V 0,5 mm
EI 2,0 10 3821 10
Iz ovoga slijedi da je mjerodavno dimenzioniranje na ugib:
Mc) v V
EI
M 51,5 10 I
E V 2,0 1
= − + = −
− ⋅= − = − = > =
⋅ ⋅ ⋅
= ≤
⋅= =
⋅ ⋅
[
4 45
4 2z
5150 10 mm0 0,5
probamo NP 28 I 399 cm ,F 53,3 cm
= ⋅⋅
= =
2 4 4z z,pot I 2 (399 53,3 6,97 ) 5976 cm I 5150 cm= ⋅ + ⋅ = > =
[Usvojeno : 2 NP 28
Za nosač i opterećenje na slici:a) Izvršiti dimenzioniranje nosača kao INP ako je σd=160 N/mm
2. b) Naći ugib u tački C Maksvel – Morovom analogijom i provjeriti da li je veći od dozvoljenog
vdC=1,5 mm.
c) Eventualno izvršiti dimenzioniranje na ugib.
RJEŠENJE
a)
ZADATAK br. 2
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
11/175
Skripta
Otpornost materijala II
11
max
63 3 3
z,pot
3z
4z
Dimenzioniranje
M 25,6 kNm
25,6 10 W 160 10 mm 160 cm
160
iz tablica usvajamo INP 18 sa: W 161 cm
I 1450 cm
=
⋅= = ⋅ =
=
=2 A 27,9 cm
b) Sada tražimo ugib u tački C na fiktivnom nosaču:
=
3C A 1 2
CC
12C
C d5 4
CC d
C
z
M R 2,0 Q 1,0 Q 0,66 55,9 kNm EIV M
M 55,9 10 v 19,67 mm V 15 mm
EI 2,0 10 1450 10
Iz ovoga slijedi da je mjerodavno dimenzioniranje na ugib:
Mc) v V
EI
M
I E V
= ⋅ − ⋅ − ⋅ =
= −
⋅= − = − = − > =
⋅ ⋅ ⋅
= ≤
= ⋅
124 4 4
5d
3z
4z
55,9 10
1863 10 mm 1863 cm2,0 10 15
iz tablica usvajamo INP 20 sa: W 214 cm
I 2140 cm
⋅
= = ⋅ =⋅ ⋅
=
=2 A 33,5 cm=
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
12/175
Skripta
Otpornost materijala II
12
Za nosač i opterećenje na slici odrediti ugao zaokreta i ugib na kraju prepusta Maksvel – Morovomanalogijom.
RJEŠENJE
ZADATAK br. 3
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
13/175
Skripta
Otpornost materijala II
13
C C 3C 4 4
C C 3 oC 4 4
M M 260 114 374 v 4,34 10 m 4,34 mm
EI 8,6 10 8,6 10T T 150 57 207
2,407 10 rad 8,275EI 8,6 10 8,6 10
−
−
+ − −= − = − = = ⋅ =
⋅ ⋅ + − − −
ϕ = = = = − ⋅ = −⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
14/175
Skripta
Otpornost materijala II
14
Odrediti ugao zaokreta i ugib presjeka na kraju prepusta kao i ugib presjeka na sredini rasponaMaksvel – Morovom grafo – analitičkom metodom.
B
A 2 1
A
B
B 1 2
B
(C) (C)(z )C Cz
x x x
RJEŠENJE
M 0
R 6 P 4 P 2 q 2 1 0
R 20 kN
M 0
R 6 P 4 P 2 q 2 7 0
R 50 kN
M M T q v
EI EI EI
=
⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ =
=
=
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ =
=
= = − ϕ = −
ZADATAK br. 4
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
15/175
Skripta
Otpornost materijala II
15
21
22
23
24
25
Ax(z)
B 2 3 4 5
2B
x(
1 2 20 13,3 kNm
21
0, 67 20 6, 7 kNm21
1, 33 40 26, 6 kNm2
2 40 80 kNm
1 40 2 40 kNm
2
M 0
1 1 2 R 6 (6 0,67) (4 1,33) 3 2 0
3 3 3
R 62,2 kNm
M
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
=
⋅ + Φ ⋅ − ⋅ − Φ ⋅ + ⋅ − Φ ⋅ − Φ ⋅ ⋅ =
=
B
z)
2A
2C B 1
CC
x
6 9 2 2x
oC
2C B 1
CC
x
0
R 77,8 kNm
R R 62,2 13,3 48,90 kNm
R
EI
EI 2,0 10 2140 4,28 10 daNcm 4280 kNm
48,90 0,0114 rad 0,64280
3 M R 2 2 101,4 kNm
4
M 101,4 v
EI 42
=
=
= − Φ = − =
ϕ = −
= ⋅ ⋅ = ⋅ =
ϕ = = =
= − ⋅ + Φ ⋅ ⋅ = −
−= − = −
24K A 5
K K
x
0,024 m 2,4 cm80
1 M R 3 (1 2) 0,5 146,6 kNm
3 2
M 146,6 v 0,034 m 3,4 cmEI 4280
= =
Φ= ⋅ − Φ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
= − = − = − = −
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
16/175
Skripta
Otpornost materijala II
16
Za nosač prikazan na slici Maksvel – Morovom analogijom odrediti ugib i nagib u tački D.
RJEŠENJE
Ugib i nagib u posmatranom presjeku stvarnog nosača je jednak fiktivnom momentu odnosno fiktivnoj
transverzalnoj sili na fiktivnom nosaču koji je opterećen fiktivnim opterećenjem.
q x
x
M tj. v M T
EI Na sljedećoj slici prikazan je fiktivni nosač opterećen odgovarajućim fiktivnim opterećenjem q, pri
čemu granični uslovi po silama na fiktivnom nosaču odgovaraju graničnim uslo
= = ϕ =
vima po pomjeranjima
na stvarnom nosaču.
20 1
20 2
20 3
Veličine fiktivnih sila su:
1 EI 45 4,5 101,25 kNm
21
EI 30 3,0 45,00 kNm22
EI 22,5 3,0 45,00 kNm3
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
ZADATAK br. 5
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
17/175
Skripta
Otpornost materijala II
17
20 4
C
20
2D0
D0
1 EI 30 1,5 22,5 kNm
2
Iz uslova M 0 dobijamo vrijednost fiktivne reakcije B :
EI B 195 tm
Fiktivne presječne sile u tački D su:
EI T 101,25 195 45,0 45,0 22,5 71,25 kNm
EI M 101,25
Φ = ⋅ ⋅ =
=
=
= − − + + = −
= 3
3DD 4
0
DD
0
7,5 195 4,5 45,0 3 45,0 2,5 22,5 1,0 118,13 kNm
Konačne vrijednosti ugiba i nagiba u tački D su:
118,13 118,13 v M 2,363 10 m 0,002363 m 2,363 mm
EI 5 10
71,25 7 T
EI
−
⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = −
−= − = − = = ⋅ = =
⋅
−ϕ = − = − =
34
1,251, 425 10 rad
5 10
−= ⋅
⋅
Za zadani nosač i opterećenje prema slici potrebno je grafoanalitičkom metodom odrediti
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
18/175
Skripta
Otpornost materijala II
18
B
2
C
C D
D C
M 0
a q R a
2 R 10 kN R
M R b 10 3 30 kNm
=
⋅ = ⋅
= =
= ⋅ = ⋅ =
1
2
3
1 20 40 23 EI 3EI1 20 20
22 EI EI1 10 15
32 EI EI
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
Φ = ⋅ ⋅ =
C
B2 3
B
B
M 02 2
2 3 R 23 3
20 4 15 2 R 2
EI 3 EI85
R 3EI
=
Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ + ⋅ = ⋅
=
B BB 3 4
B
A
A B 1
A
A
AA 3 4
85 85T R
3EI 3 30500 10 4,5 10
0,00206 rad
M 0
3M R 2 2
485 40 3
M 2 23EI 3EI 4230
M3EI
230 230w M 0,00559 m3EI 3 30500 10 4,5 10
−
−
ϕ = = − = − = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ϕ = −
=
= ⋅ + Φ ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
=
= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
19/175
Skripta
Otpornost materijala II
19
Za nosač promjenjivog poprečnog presjeka potrebno je grafoanalitičkim postupkom odrediti:a) Vertikalni pomak tačke C.
b) Ugao zaokreta presjeka A.Moment površine drugog reda nosača na dijelu DE triput je veći nego na dijelu nosača AD.
a=3,0 m b=2,0 m c=6,0 m F=30 kN q=20 kN/m
RJEŠENJE
( )
D
2 3 1
2
M 0
1 2 1 6 6 6 3 B 9 0
3 3 3
1 B 270 2 90 4 45 7
9
B 15 kNm
=
− Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
=
ZADATAK br. 7
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
20/175
Skripta
Otpornost materijala II
20
Zadatak se može riješiti i koristeći princip superpozicije.
a) samo F 30 kN=
( )
D
F2 1
F
2F
3C,F F 1
3
C,FC,F
M 0
2 1 6 6 3 B 9
3 3
1 120 4 90 7 B
9
B 150 kNm
1 M B 3 3 150 3 90 360 kNm
3
M 360 kNm wEI EI
=
Φ ⋅ ⋅ + Φ ⋅ + ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ =
=
= ⋅ − Φ ⋅ ⋅ = ⋅ − =
= =
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
21/175
Skripta
Otpornost materijala II
21
2F F
2A F
A,F
A B 150 kNm
T A 150 kNm
EI EI EI
= =
ϕ = = =
b) samo q 20 kN / m=
( )
D
q3
2q
3C,q q5
3C,q
C,q
2q q
2A q
A,q
C C,F C,q
M 0
1 6 3 B 9
3
B 135 kNm
1 M 3 B 3 45 135 3 360 kNm
3
M 360 kNm
w EI EI
A B 135 kNm
T A 135 kNm
EI EI EI
konačan rezultat: w w w 0
=
Φ ⋅ ⋅ + = ⋅
=
= Φ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ = −
−
= =
= =
− −ϕ = = =
= + =
2
A A,F A,q
15 kNm
EIϕ = ϕ + ϕ =
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
22/175
Skripta
Otpornost materijala II
22
Nosač zadatog poprečnog presjeka opterećen je kontinualnim opterećenjem.a) Odrediti maksimalnu dopuštenu vrijednost opterećenja q ako je σd,pr =120 N/mm
2, a σd,z=120 N/mm2.
b) Za tako određeno opterećenje izračunati ugib presjeka M (udaljenog 3 m od oslonca B) ako jeE=2,1⋅105 N/mm2.
RJEŠENJE
a)
ZADATAK br. 8
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
23/175
Skripta
Otpornost materijala II
23
2 2 4z
3g
d 3x
I 148 32,2 13,53 2 (1860 45,7 4,76 ) 11833 cm
11833 W 761 cm
15,54
11833 W 989 cm
11,96dimenzioniranje
oslonac A tač
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
= =
= =
ka C
ZATEZANJE: q 41,986 N / mm ZATEZANJE: q 77,76 N / mm
PRITISAK: q 40,92 N / mm PRITISAK: q 41,41 N / mm
UKUPNO DOZVOLJENO OPTEREĆEN
= =
= =
JE:
q 40,92 N / mm=
b)
M1 M2M
12
M 5 4
M
M M v
EI
( 130,94 317,3) 10 v 7,499 mm
2,1 10 11833 10
v 7,499 mm
+=
− − + ⋅= = −
⋅ ⋅ ⋅
= −
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
24/175
Skripta
Otpornost materijala II
24
Primjenom metode jediničnog opterećenja (Vereščagin) potrebno je odrediti horizontalni i vertikalni pomak tačke C.E=2⋅105 MpaI=400 cm4 l=5,0 m a=2,0 m
RJEŠENJE
Kako bi dobili vertikalni pomak tačke C postavljamo jediničnu vertikalnu silu V u tačku C u smjeru
traženog pomaka.
Kako bi dobili horizontalni pomak tačke C postavljamo jediničnu horizontalnu silu H u tačku
C u smjeru traženog pomaka.
2 2H VRezultantni pomak tačke C: 0,2109 mδ = δ + δ =
ZADATAK br. 9
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
25/175
Skripta
Otpornost materijala II
25
Po kakvoj krivoj treba prethodno saviti gredu AB koja slobodno leži na dva oslonca da bi pri pomjeranju po njoj sile F, njena napadna tačka ostala za sve vrijeme na nivou oslonaca AB.
RJEŠENJE
Ovaj zadatak riješit ćemo tako što ćemo gredu AB postaviti u horizontalan položaj, opteretiti je silom F
na rastojanju x od oslonca A i nacrtati dijagram momenata. Zatim gredu opteretiti generalisanom silom
F=1 na rastojanju x od oslonca A i riješiti Maksvel-Morov integral (odrediti ugib na mjestu djelovanja
sile F u funkciji x). Na taj način ćemo dobiti krivu po kojoj bi prethodno trebalo saviti gredu da bi onanakon opterećenjasilom F na bilo kom mjestu uijek bila u horizontalnom položaju.
1
22 2
1
1 F (l x) x 2 (l x) F (l x) l x 2 (l x)v x x x x
EI l 2 3 l l 2 3 l
F xv (x 2 l x l )
3EI l
⋅ − − ⋅ − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ +
⋅
ZADATAK br.10
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
26/175
Skripta
Otpornost materijala II
26
Za nosač i opterećenje na slici primjenom pravila Vereščagina odrediti igib i ugao nagiba u tački C.
RJEŠENJE
ZADATAK br.11
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
27/175
Skripta
Otpornost materijala II
27
C 4
4
C4
1 2 37,5 3 1 37,5 3 2 80 2 2 80 6 2 v 67,5 6 1 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2 38,6 10
808,10 0, 009 m 9 mm
8,6 10
1 2 37,5 3 80 6 2 80 2 67,5 6 0,5 2 0,5 1 1
3 2 2 3 28,6 10431,
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
= = =⋅
⋅ ⋅ ⋅ ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅
=4
250,005 rad
8,6 10 =
⋅
Odrediti ugib presjeka na sredini grede opterećene prema slici.
RJEŠENJE
2
B
2 2 24 4
B
1 2 q l l 5 l l l l 2 l l l 1 v 2 M M
EI 3 8 2 8 4 4 2 2 3 4 2 2 3
1 5 M l M l 1 5 3 M l v q l = q lEI 384 24 48 EI 384 48
⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ −
ZADATAK br.11
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
28/175
Skripta
Otpornost materijala II
28
( )
6 24
B 5 4
B
1 5 3 40 10 4000 v 20 4000
384 482,1 10 4250 10
v 7,4696 4,4818 2,9878 m 3 mm 0,3 cm
⋅ ⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ ⋅ ⋅
= − − = − ≈ − ≈ −
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
29/175
Skripta
Otpornost materijala II
29
3. KOSO SAVIJANJE
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
30/175
Skripta
Otpornost materijala II
30
Dimenzionisati drvenu rožnjaču raspona l=3,2m sistema proste grede za položaj i opterećenje dato na
slici.Odnos širine prema visini presjeka usvojiti 1/2,a dopušteni napon je 2dop 10 N/mmσ = .
RJEŠENJE
x dopz y
1 1
34
z
34
y
6x dop
4 4
3 3
sin cos M y z
I I
b 1 b za = y b , z , h=2bh 2 2
b 8b 2 I b
12 3
2b b 1 I b
12 6
0,866 0,5 b 8 10 b 10,0
2 1 2 b b3 6
10392000 12000000 10,0 b b
ϕ ϕσ = ⋅ + ⋅ ≤ σ
= =
⋅= =
⋅= =
σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ≤ σ =
+ =
322392000
b 13,08 10 mm10
b=14 cmUSVOJENO:
h=2b=28 cm
= = ⋅
ZADATAK br.1
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
31/175
Skripta
Otpornost materijala II
31
Dimenzionisati dati nosač ako je h/b=2 i 2dop 15 N/mmσ = .Za tako dimenzionisan nosač odrediti
položaj neutralne ose i u opasnom presjeku ekstremne vrijednosti normalnih napona.
RJEŠENJE
max
0z max
0y max
3 3 .y 4z
x dop zz y
0
x maxz
M 48 kNm
M M cos30 0,866 M 41,57 kNm
M M sin30 0,5 M 24,00 kNm
MM bh b 8b y z h=2b, I 0,666b
I I 12 12
cos30 M I
=
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
⋅σ = ⋅ + ⋅ ≤ σ = = =
σ = ⋅
0 3 .4
dop yy
6 6
x . .4 4
3 3. .
sin30 hby z I 0,166bI 12
41,57 10 24,00 10 b b 15,0
20,666b 0,166b
41570000 24000000 b 8957 10 b=20,76 10 mm
150 0, 66 6 150 0,166 2
+ ⋅ ≤ σ = =
⋅ ⋅σ = ⋅ + ⋅ ≤
= + = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
4 4z y
b=22 cmUSVOJENO: I 156 170 cm ; I =39 042 cm
h=2b=44 cm
=
ZADATAK br.2
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
32/175
Skripta
Otpornost materijala II
32
0 0
z y
0z
y
6 6C Dx x 4 4
C D 2x x
Položaj neutralne ose:
cos30 sin 30 y z 0
I I
I y tg30 z
I
y 2,30 z
41,57 10 24,00 10 220 110
156170 10 39042 10
5,9 6,8 12,7 N/mm
⋅ + ⋅ =
= − ⋅ ⋅
= ⋅
⋅ ⋅− σ = σ = − ⋅ − ⋅
⋅ ⋅
− σ = σ = − − = −
Za konzolu i opterećenje na slici:a)Izvršiti dimenzioniranje kao INP ako je 2dop 160 N/mmσ = ,a orjentacioni odnos Wz/Wy=8,
b)Za usvojeni presjek u uklještenju odrediti položaj neutralne ose i nacrtati dijagram normalnognapona.
RJEŠENJE
2
z,max
y,max
ql M (Fcos 3 ) 27,70 kNm
2 M Fsin 3 3,00 kNm
= − α ⋅ + = −
= − α ⋅ = −
ZADATAK br.3
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
33/175
Skripta
Otpornost materijala II
33
( )
y,maxz,maxAx x,max dop
z y
6 6
x,maxz y
A 6 6x x,max
z
3z,pot
z
MM
W W
27,70 10 3,0 10 160
W W1
27,70 10 8 3,0 10 160W
W 323,125 cm
Iz tablica: ODGOVARA INP 24 : I 4250 c
σ = σ = + ≤ σ
⋅ ⋅σ = + ≤
σ = σ = ⋅ + ⋅ ⋅ ≤
=
= 4 4y4 4
z y
6 6
x,max 3 3
2 2x,max dop
m ; I 221cm
W 354 cm ; W 41,7 cm
27,70 10 3,0 10
354 10 41,7 10
79,0 72,0 151,0 N/mm 160 N/mm
P
=
= =
⋅ ⋅σ = +
⋅ ⋅
σ = + = < σ =
x
yz
y z
oložaj neutralne ose dobije se kada se izraz za izjednači sa nulom,tj.
MI y z
I M
y tg z tg 2,08 64 ,35
y=2,08 z
σ
= − ⋅ ⋅
= ϕ ⋅ ϕ = ϕ =
⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
34/175
Skripta
Otpornost materijala II
34
Za gredu i opterećenje na slici,odrediti:a)Apsolutnu(max)vrijednost normalnog napona,
b)Položaj neutralne ose u opasnom presjeku grede.
RJEŠENJE
44
z y
yz
x z y
Max.vrijednost normalnog napona na gredi javit će se u tački C ili u tački D. U daljim razmatranjima
uzet ćemo tačku D kao mjerodavnu.
d d 20 cm ; r= 10 cm
2
r I I 7854 cm
4MM
y zI I
= =
π= = =
σ = ⋅ + ⋅ x ... iz 0 dobivamo položaj neutralne ose
σ =
ZADATAK br.4
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
35/175
Skripta
Otpornost materijala II
35
z y
6 6
4 4
y=r sin ; z=r cos
M 6,24 kNm ; M 1,8 kNm
6,24 10 1,8 10
100 sin 100 cos 07854 10 7854 10 7,94 sin 2,29 cos
tg 0,2884 =16 ,09 =90 73 ,91
y=r
⋅ ϕ ⋅ ϕ
= =
⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ ϕ + ⋅ ⋅ ϕ =⋅ ⋅⋅ ϕ = ⋅ ϕ
ϕ = ϕ α − ϕ =
⋅
yzmax
z y
6 6
max 4 4
2max
sin ; z=r cos
MM y z
I I
6,24 10 1,8 10 100 0,961 100 0,277
7854 10 7854 10
8,26 N/mm
α ⋅ α
σ = ⋅ + ⋅
⋅ ⋅σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⋅ ⋅
σ =
Odrediti tačke presjeka u kojima se javljaju ekstremna naprezanja i njihove vrijednosti.
F=10 kN
l=5 ma=20 cm=0,2 m
2 2
2 2
T 2
2 2
T 2
RJEŠENJE
A 2a a a 3a
aa 2a a 52 y a
63aa 3
a 2a a 72 2 z a63a
= ⋅ + =
+ ⋅= =
+
= =
ZADATAK br.5
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
36/175
Skripta
Otpornost materijala II
36
( )
2 23 32 2 4 4
y
32 232 2 4 4
z
2yz
a a a 7 2a a 3 7 11 I a a 2a a a a 146 666 cm
12 2 6 12 2 6 12
2a aa a a 5 5 11 I a a 2a a a a 146 666 cm
12 2 6 12 6 12
a 7 I 0 a a2 6
⋅ ⋅ = + ⋅ − + + ⋅ − = =
⋅⋅ = + ⋅ − + + ⋅ − = =
= + −
( )
2 4
4 4
yz
4 4y z
1,2 y z
a 5 3 7 5 1a 0 2a a a a a a2 6 2 6 6 3
Glavne osi momenata površine drugog reda:
1 12 a 2 a2I 3 3 tg2 = 2 90 45
11 11I I 0a a12 12
1 1 I I I
2
− + + − − =
⋅ ⋅α − = − = − = ∞ α = α =
− −
= + ±
( ) ( )2 2 4 4 4
y z yz
4 41
4 42
yz
1 11 1 1 11 1I I 4 I 2 a 2 a a
2 2 12 2 3 12 3
5 I a 200 000 cm4
7 I a 93 333 cm
12 I 0
− + = ⋅ ⋅ ± ⋅ ⋅ = ±
= =
= =
=
4
1
42
B B B 34 41 2
Položaj neutralne ose:
5aI 154 tg tg tg45 2,14286 65
7I 7a12
Ekstremna naprezanja su u tačkama B i D:
2acos 45 sin 45 2 2a Fl 46 M z y Fl
5 7I I 2 5aa a4 12
ϕ = − α = − = − = − ϕ = −
− σ = + = + = − +
3
3 3
B
3
D D D 3 3 34 41 2
D
2 18 Fl 18 10 10 5
7 35 35a 0,2
3,21 MPa
2acos 45 sin 45 2 2a Fl 4 2 38 Fl 38 10 10 56 M z y Fl
5 7I I 2 5 7 35 35a a 0,2a a4 12
6,78 MPa
⋅ ⋅ = − = −
σ = −
⋅ ⋅ σ = + = + = + = =
σ =
B
B
D
B
7 5 7 2 5 2 z a cos 45 a sin 45 a a 2a
6 6 6 2 6 2
5 7 5 2 7 2 2 y a cos 45 a sin 45 a a a
6 6 6 2 6 2 6
5 7 5 2 7 2 z a cos 45 a sin 45 a a 2a
6 6 6 2 6 2
7 5 7 2 5 2 2 y a cos 45 a sin 45 a a a
6 6 6 2 6 2 6
− − − −= + = + = −
− − −= − = + =
= + = + =
= − = − =
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
37/175
Skripta
Otpornost materijala II
37
Za nosač i opterećenje prema slici potrebno je odrediti maksimalna normalna naprezanja i položajneutralne osi, te skicirati dijagram normalnih naprezanja. Dimenzije poprečnog presjeka zadane su umilimetrima.
RJEŠENJE
o
y
y
(F cos ) l 60 cos50 4M
4 4M 38,57 kNm
⋅ α ⋅ ⋅ ⋅= =
=
o
z
z
(F sin ) l 60 sin50 4M
4 4M 45,96 kNm
⋅ α ⋅ ⋅ ⋅= =
=
ZADATAK br. 6
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
38/175
Skripta
Otpornost materijala II
38
3 36 4
y
3 36 4
z
6 4y o o
6 4z
160 100 80 60 I 11,8933 10 mm
12 12
100 160 60 80 I 31,5733 10 mm
12 12
Položaj neutralne osi:I 11,8933 10 mm
tg tg tg50 24,18I 31,5733 10 mm
⋅ ⋅= − = ⋅
⋅ ⋅= − = ⋅
⋅ϕ = − ⋅ α = − ⋅ ϕ = −
⋅
6 6y z
max max max 6 4 6 4min y z
maxmin
2x,max
2x,min
M M 38,57 10 Nmm 45,96 10 Nmm z y 50 mm 80 mm
I I 11,8933 10 mm 31,5733 10 mm
(162,15 116,45)
278,6 N/mm
278,6 N/mm
⋅ ⋅σ = ± ⋅ + ⋅ = ± ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
σ = ± +
σ =
σ = −
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
39/175
Skripta
Otpornost materijala II
39
Izvršiti dimenzioniranje nosača prikazanog na slici ako je σd=160 N/mm2. U tački C
nacrtati dijagram normalnog napona u odnosu na neutralnu osu.
RJEŠENJE
ZADATAK br. 7
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
40/175
Skripta
Otpornost materijala II
40
3 32 2 2 2 4
z
3 32 2 2 2 4
y
2 2 4zy
1,2
t 27t t 4t I 4t (0,857t) 3t (1,143t) 9,44 t
12 12
t 64t t 3t I 4t (0,643t) 3t (0,857t) 9,44 t
12 12
I 4t 0,857t 0,643t 3t 0,85t 1,143t 5,143 t
9,44 9,44 9,44 9,44 I
2
⋅ ⋅= + + ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅= + + ⋅ + ⋅ =
= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −
+ −= ±
( )
22 4
41,2
41
42
zy
z y
max
1,max
2,
( 5,143) t2
I 9,44 5,143 t
I 14,583 t
I 4,297 t
2 I tg2
I I
2 90 45
Dimenzioniranje
M 40 kNm
M 40 cos 45 28,28 kNm
M
+ − ⋅
= ± ⋅
=
=
⋅ϕ = = −∞
−
ϕ = − ϕ = −
=
= ⋅ =
max
1 2x,max
1 2
1 2
2 1
6 6
x,max 4 4
40 sin 45 28, 28 kNm
M M(2) (1) 0 položaj neutralne ose
I I
M I (1) (2) 0,295 (2)
M I 16 43
28,28 10 28,28 10 (2) (1) 160
14,583 t 4,297 t
'1' 2,643t sin 0
= ⋅ =
σ = ⋅ + ⋅ = −
= − ⋅ ⋅ = − ⋅
α = −
⋅ ⋅σ = ⋅ + ⋅ ≤
= ⋅ ϕ −
6 6
x,max 4 4
63
1 2x,max
1
,357t cos 1,617t
'2 ' 2,643t cos 0,357t sin 2,121t
28,28 10 28,28 10
2,121t 1,617t 16014,583 t 4,297 t
14,755 10 t t 45,18 mm
160
USVOJENO: t 46 mm
M M (2)
I
⋅ ϕ =
= ⋅ ϕ + ⋅ ϕ =
⋅ ⋅
σ = ⋅ + ⋅ ≤
⋅= =
=
σ = ± ⋅ ± d2
6A 2x 4
6 6B 2x 4 4
(1)I
28,28 10 1, 919 46 129, 75 N/mm
4,297 36
28,28 10 28,28 10 2,121 46 1,617 46 151,58 N/mm
14,583 46 4,297 36
⋅ ≤ σ
⋅σ = − ⋅ ⋅ = −
⋅
⋅ ⋅σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
41/175
Skripta
Otpornost materijala II
41
Greda trouglastog poprečnog presjeka na slici izložena je savijanju momentom M=1,2 kNm u ravnikoja je paralelna strani A-B grede.Odrediti položaj neutralne ose i napon u tjemenima trougla.Odrediti
takođe najveći intenzitet momenta M pri savijanju grede u vertikalnoj ravni,ako je 2dop 10 N/mmσ = .
ZADATAK br.8
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
42/175
Skripta
Otpornost materijala II
42
yzx x
z y
y yz z
z y z y
3 34
z
3 3
y
RJEŠENJE
MM y z iz 0 dobivamo položaj neutralne ose
I I
M MM I
y z =0 y= z - jednačina neutralne oseI I M I
bh 12 15 I 1125 cm
36 36
b h 12 15 I 540
48 48
σ = ⋅ + ⋅ σ =
⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
⋅= = =
⋅= = = 4
z
y
cm
6 tg 0,4 = 21 ,80141
15
M Mcos 1,114 kNm M Msin 0,4457 kNm
0,4457 1125 y= z y=0,8336 z tg =0,8336 =39 ,81
1,114 540
α = = α −
= α == α = −
−− ⋅ ⋅ ⋅ ϕ ϕ
6A 2zx 4
z
6 6yB 2z
x 4 4y z
yC zx
z y
2x
M 1,114 10 y 100 9,9 N/mm
I 1125 10
M M 0,4457 10 1,114 10 z y 60 50 9,9 N/mm
I I 540 10 1125 10
MM y z 0
I I
Dijagram normalnog napona N/mm prikazan je na slje
⋅σ = = ⋅ =
⋅
⋅ ⋅σ = − − = − ⋅ − ⋅ = −
⋅ ⋅
σ = − + =
σ dećoj slici:
2dop z
4dop zA 6z
x A dop zz A
z
10 N/mm , M ?
IM 10 1125 10 y M 1,125 10 Nmm=1,125 kNm
I y 100
M M 1,125 kNm
σ = =
σ ⋅ ⋅ ⋅σ = ≤ σ = = = ⋅
= =
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
43/175
Skripta
Otpornost materijala II
43
4. DIFERENCIJALNA JEDNAČINA ELASTIČNE LINIJE
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
44/175
Skripta
Otpornost materijala II
44
Napisati jednačinu elastične linije za dati nosač:
2x
2x
B
2 2
x1
x2
RJEŠENJE
M (z)d v dif.jedn.elastične linije
EIdz
POLJE A-1 0 z l/2
l 3 M 0 A l-q l 0
2 43
A= ql8
qz 3 qz M (z) A z qlz
2 8 2POLJE 1-B l/2 z l
M (z) A z
= − →
≤ ≤
Σ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ − = −
≤ ≤
= ⋅ −2
2 21
x x12
2 31
x 1
3 4
x 1 1 2
ql l 3 ql l(z ) qlz (z )
2 4 8 2 4
0 z l/2
d v 3 qz
EI M (z) qlz8 2dz
dv 3 z qz EI ql C
dz 8 2 6
3 z qz EI v ql C z C
8 6 24
l/
− = − − −
≤ ≤
= − = − −
= − − +
= − − + +
22
x x22
2 2 22x 3
23 3 2
x 2 3 4
1 2 3 4
2 z l
d v 3 ql l EI M (z) qlz (z )
8 2 4dz
dv 3 z ql z ql EI ql z Cdz 8 2 2 2 8
3 ql ql EI v qlz z z C z C
48 12 16
Integracione konstante C ,C ,C ,C odredit ćemo iz početnih u
≤ ≤
= − = − − −
= − − + +
= − − + + +
1 2
1 2
slova,a oni su:
l 1) za x= v v
2l
2) za x= v ' v '2
=
=
ZADATAK br.1
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
45/175
Skripta
Otpornost materijala II
45
1
2
3 4 3 2 2
1 2 3 4
2 3 3 2 2
1 3
2
3) za x=0 v 0
4) za x=l v 0
3 l ql l 1 l ql l l 1) ql C C ql C C
8 48 24 16 2 48 8 16 4 2
3 l ql 3 l ql l ql l 2) ql C ql C
8 8 48 8 8 2 8 8 2
3)C 0
4)
=
=
− ⋅ − + ⋅ + = − − ⋅ + ⋅ + ⋅ +
⋅
− ⋅ − + = − ⋅ − ⋅ + ⋅ +
=
23 2
3 4
3 31 3
4
2 4
1 qlql l l C l C
48 16
Kada jedn. 1 do 4 rješimo dobijemo:
9 17 C ql C ql
384 384
ql C 0 C384
Kada ovo uvrstimo u jednačine elastične linije dobijemo:
− − ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= =
= = −
43 3
1x x
2 43 2 3
2x x
1 ql qz 1 9 v z ql z
EI 16 24 EI 384
1 1 ql 1 17 ql v qlz z ql z
EI 48 16 EI 384 384
= − ⋅ − + ⋅
= − − ⋅ + + −
Za nosač i opterećenje na slici:a) Napisati i odrediti jednačinu elastične linije,
b) U tački A odrediti ugao nagiba,c) Odrediti ugib u tački B.
RJEŠENJE
a)
ZADATAK br.2
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
46/175
Skripta
Otpornost materijala II
46
( )
22
z A
22
2
2 31
.3 4
I 1 2
z A
z
I POLJE 0 x 2,5
qxa) M R x 38,40x 5x
2
d v EI =- 38,40x-5x
dx
dv 5 EI =19,20x x +Cdx 3
EIv =6,4x -0,416x +C x+C
II POLJE 2,5 x 5,5
M =R x-q 2,5(x-1,25)-P(x-2,5)
M =38,40x-25x
≤ ≤
= ⋅ − = −
−
≤ ≤
⋅ ⋅
( )2
2
2
3
3 23 2
II 3 4 3 4
I
+31,25-35x+87,5=-21,6x+118,75
d v EI =- -21,6x+118,75 =-21,6x+118,75
dx
dv -21,6x
EI = +118,75x+Cdx 2
-21,6x 118,75x EIv = + +C x+C =-3,6x +59,375x +C x+C
6 2KONTURNI USLOVI:
1) za x=0 v
I II
I II
II
0
2) za x=2,5 v v
3) za x=2,5 v ' v '
4) za x=5,5 v 0
=
=
=
=
2
3 4 3 21 3 4
2 3 21 3
3 23 4
2
1 3
1)C 0 2) 6,4 2,5 0,416 2,5 C 2,5 3,6 2,5 59,375 2,5 C 2,5 C
3) 19,20 2,5 1,66 2,5 C 10,8 2,5 118,75 2,5 C
4)3,6 5,5 59,375 5,5 C 5,5 C 0
1) C 0
2)2,5C 2,5C
=− ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ +
− ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ +
⋅ − ⋅ + ⋅ + =
=
− − 4
1 3
3 4
1 3
4 3
3 3 3
3 3
C 231,10
3)C C 135,00
4)5,5C C 1197,15
3)C C 135 sada ovo uvrstimo u jedn.br.2)
4)C 5,5C 1197,15
2,5(C 135) 2,5C 5,5C 1197,15 231,10
5,5C 1303,55 C 237
iz
= −
− = −
+ =
= −
= − +
− − + − = −
= = −
1 43.) C = 102 iz4.) C 106,35− =
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
47/175
Skripta
Otpornost materijala II
47
.3 4
I
3 2II
I POLJE
EIv 6,4x -0,416x 102x
II POLJE
EIv =-3,6x +59,375x 237x+106,35
= −
−
3A 4
.3 4
I
I
3B 4
b) Ugao nagiba u tačci A:
dv EI 102
dx102
2,08 10 rad5 10
c) Ugib u tačci B:
EIv 6,4 2,5 -0,416 2,5 102 2,5
EIv 100 16,276 255 171,276
171,276 v 3,425 10 m 0,34
5 10
−
−
=
ϕ = = ⋅⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅
= − − = −
= − = − ⋅ = −⋅
2 cm 3,42 mm= −
Za gredu konstantne krutosti opterećenu prema slici,integracijom diferencijalne jednačine elastičnelinije,odrediti vrijednost max ugiba i nagiba.
RJEŠENJE
0
22
x 0
Intenzitet opterećenja na proizvoljnom rastojanju z od oslonca A je:
z q(z)= q (1)
la vrijednost momenta savijanja je:
1 z z m (z) q l 1 (2)
6 l l
Uvrštavanjem ovog izr
⋅
= ⋅ −
aza u jednačinu elastične linije,dobijamo:
ZADATAK br.3
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
48/175
Skripta
Otpornost materijala II
48
2'' x
2x
2'' 2
x 0
2 2
' 3x x 0 1
3 24
x 0 1 2
m (z)d v v
EIdz
1 z z EI v q l 1
6 l l
1 z 1 z EI v EI q l 1 C12 l 2 l
1 z 3 z EI v q l 1 C z C
36 l 10 l
Integracione konstante C
= = −
= − ⋅ −
= ϕ = − − +
= − − + +
1 2
32 1 0
2 430
x
x
i C odredit ćemo iz graničnih uslova:
v(0)=0 7 C 0 ; C q l
v(l)=0 360
Unošenjem ovih vrijednosti u izraze za i v,dobijamo:
q l z z EI (z) 7 30 15
360 l l
EI v
= =
ϕ
ϕ = − +
2 44
0
2 4
x
2
1
q l z z z(z) 7 10 3
360 l l l
Max. ugib javit će se tamo gdje je nagib jednak nuli tj:
z z EI (z) 0 ili 7-30 15 0
l l
rješenjem se dobije:
z 1,730
l
= − +
ϕ = + =
=
2
2
42 40
maxx
z3 ; 0,2697
l
zPošto je,0 < < 1,moguće je samo drugo rješenje tj:
l
z 0,2697 0,5193
l
Vrijednost max. ugiba iznosi:
q l v v(0,5193 l)= 0,5193(7 10 0,5193 3 0,5193 )
360EI
=
= =
= ⋅ − ⋅ + ⋅
40
maxx
30
maxx
30
maxx
q l v 0,00652
EI
Max. nagib javit će se kod desnog oslonca tj:
q l (l) (7 30 15)
360EI
q l
45EI
=
ϕ = ϕ = − +
ϕ = −
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
49/175
Skripta
Otpornost materijala II
49
Čelična greda poprečnog presjeka INP profila,raspona l=6m,opterećena je kontinuiranim teretom q(x)koji je raspodijeljen po zakonu trougla(kao na slici).Najveći intenzitet q0=60 kn/m'.Izabrati poprečni
presjek grede ako jesdop=160 N/mm2 i naći max. ugib kao i mjesto na kom se on nalazi.
RJEŠENJE
max
2dop
max max maxx dop z,pot
z dop
63 3
z,pot
2
Dimenzioniranje
M 138,56 kNm
160 N/mm
M M = W
W
138,56 10 W 866 10 mm
160
ODGOVARA: INP 34 sa A=86,8 cm
=
σ =
σ ≤ σ =σ
⋅= = ⋅
3z
4z
2z(x)
2
z
W 923 cm
I 15 700 cm
Traženje ugiba :
Md v
EIdx
=
=
= −
ZADATAK br.4
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
50/175
Skripta
Otpornost materijala II
50
32
2z
23
2
z2 4
1z
3 5
1 2z
1 2
2
560x xd v 3
EIdx
d v 1 5 60x x
EI 3dx
dv 1 60x 5x C
dx EI 2 12
1 60x 5x v C x C
EI 6 60
Konstante C i C određujemo iz graničnih uslova:
za x=0 v=0 C 0
−= −
= − −
= − − +
= − − + +
=5
3
1
4 42 2
1
5 43 2
z
42 4 2
z
l za x=l v=0 10 l C l 0
12l l
C 10 l 10 l12 12
1 x l v 10x 10 l x
EI 12 12
1 5 l v ' 30x x 10 l
EI 12 12
za v'=0 dobi
⋅ − + ⋅ =
= − + = −
= − − + −
= − − + −
( ) ( )
max
42 4 2
4.4 2 2
.4 2
2 2
1,2 1,2 1. .
ja se mjesto za v
5 l 30x x 10 l 0
12 12
l 0,416x 30x 10 l 0
12
0,416x 30x 252 0
30 900 420 30 21,9 x x x 7,89(ne zadovoljava)
0,833 0,833
− + − =
− − + =
− + =
± − ±= = =
2
5 12 53 3
max 5 4z
max
x 3,12m (zadovoljava)
1 x 1 10 3,12 v 10x 252x 10 3,12 252 3,12
EI 12 122 10 15700 10
507 v
=
⋅= − − − = − ⋅ − − ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅= −
12
5 4
1016,1 mm
2 10 15700 10 = −
⋅ ⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
51/175
Skripta
Otpornost materijala II
51
Odrediti ugib slobodnog kraja A grede AB, uklještene krajem B i opterećene teretom koji se mijenja po zakonu trougla. Odrediti i ugao obrtanja poprečnog presjeka u tački A.
RJEŠENJE
30 0
Primijenimo metod Maksvel Mora. Intenzitet tereta u proizvoljnom presjeku je
x x q(x) q ;M(x) q .l 6l
Zamislimo da u tački A djeluje jedinična sila P 1 ; M x.
−
= ⋅ = − ⋅
= = −
l 430
A
0
Traženi ugib:
q l1 q x f ( x)dx .
EI 6l 30EI
Radi određivanja ugla zaokreta poprečnog presjeka A
zamislimo da tamo djeluje M 1 ; tu će vrijednost imati M i u pr
⋅⋅= − ⋅ − =
=
l 320
A
0
oizvoljnom presjeku.
Traženi ugao zaokreta:
q l1 q x ( 1)dx .
EI 6l 24EI
⋅⋅θ = − ⋅ − =
ZADATAK br.5
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
52/175
Skripta
Otpornost materijala II
52
Odrediti ugib i ugao obrtanja slobodnog kraja konzole (tačka A), opterećene teretom koji se mijenja pozakonu trougla.
RJEŠENJE
lx x
A
0
x 0
3
xx 0
l 3 40 0
A
0
Ugib i ugao nagiba dobit ćemo primjenom Maksvel-Morovog integrala:
M M v ds
EI
x q q l
x M q M x
6l
q x q l1 v xdx
EI 6l 30 EI
Ugao zaokreta dobit ćemo kad u tački A
⋅= ⋅
= ⋅
= − ⋅ = −
⋅ ⋅= − ⋅ =
⋅
0
0
postavimo momenat M 1.
Momenat u presjeku x bit će M 1.
=
=
ZADATAK br.6
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
53/175
Skripta
Otpornost materijala II
53
lxx
A
0
l 330
A
0
4 12
A 5 4
9o
A 5 4
M M1 ds
EI 1
q l1 q x ( 1)dx
EI 6l 24 EI
10 3 10
v 5,994 mm30 2,1 10 2140 10
10 27 10 0,0250 rad 1,434
24 2,1 10 2140 10
⋅θ = ⋅
⋅⋅θ = − ⋅ − =
⋅
− ⋅ ⋅
= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅θ = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
54/175
Skripta
Otpornost materijala II
54
5. STATIČKI NEODREĐENI NOSAČI
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
55/175
Skripta
Otpornost materijala II
55
Dimenzionirati stub datoga okvira kao INP profil,ako je 2dop 160 N/mmσ = .
RJEŠENJE
Prvo odabiremo statički određeni sistem i umjesto st.nepoznatih apliciramo(stavimo) odgovarajuće
nepoznate.
HB
1p1 11 1p 1
11
0
X 0 X
∆ =
∆⋅ δ + ∆ = = −
δ
ZADATAK br.1
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
56/175
Skripta
Otpornost materijala II
56
( )1p
1p
11
11
1
1 160 4 2 40 1 2 5 5 3200 200
EI 2 2 EI
3000
EI1 5 5 2 1 125
2 5 5 10 5 2 250
EI 2 3 EI 3333
EI
3000X 9 kN
333
⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ − ⋅ = −
∆ =
⋅ δ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ +
δ =
= − = −
max
xmax dop
x
Štap je napregnut sljedećim silama: F=120 kN
M 45 kNm
maxMF - Osnovna formula za dimenzioniranje pošto pretpostavljamo da n
A W
=
σ = + ≤ σ
xmax dop
x4
3x
dop
ema
izvijanja
maxM - uproštena formula za dimenzioniranje za ovakav slučaj naprezanja
Wmax M 45 10
W 281,25 cm1600
USVOJEN
σ ≈ ≤ σ
⋅= = =
σ
3x
2
3 62 2
max dop2 3
O: INP 24 sa W 354 cm
A=46,1 cm
Kontrola napona:
120 10 45 10 26,0 127,1 153,1 N/mm 160 N/mm
46,1 10 354 10
=
⋅ ⋅σ = + = + = < σ =
⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
57/175
Skripta
Otpornost materijala II
57
Grede A-B i C-D vezane su na sredini raspona i jedna od njih(greda A-B) raspona l1,momenta inercijeI1 opterećena je kontinualnim opterećenjem q.Raspon druge grede C-D je l2,a moment inercijeI2.Izračunati vrijednost sile na dodiru greda A-B i C-D(tačka E).
RJEŠENJE
E ECD AB
4 3E E1 2AB(q) CD(X)
1 2
3E 1AB(X)
1
3 4 3 42 1 1 1
3 32 1 1 1 2
11 2
v v
5ql Xl v v
384EI 48EI
Xl v 48EI
Xl 5ql Xl 5ql X=
48EI 384EI 48EI l l8I
I I
=
= =
= −
= −
+
ZADATAK br.2
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
58/175
Skripta
Otpornost materijala II
58
Za dati kontinualni nosač ABC uraditi sljedeće:a) Nacrtati dijagrame M i T,
b) Odrediti dimenzije poprečnog presjeka ako je on dat i ako je 2dop 180 N/mmσ = .
RJEŠENJE
1Dijagrami momenata savijanja na osnovnom sistemu od vanjskog opterećenja i od statički nepoznate X
imaju sljedeći oblik:
1C 1
2
C 11
C 1p
I I I 1,25
I
1,7143 3,0 2 1,7143 4,0 2 EI 1,7143 1,7143 1,25 7,8372 3 2 364,29 1,5 2 4,29 1,5 68,58 4,0 2
EI 0,8571 64,29 1,5 1,2857 1,4286 1,7143 1,252 3 2 2 3
2 19,99 4,0
3
= =
⋅ ⋅δ = ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅δ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
+ ⋅
C 1p
1p11 1 1p 1
11
0,8571 1,25
EI 27,55 123,99 4,60 195,94 57,11 409,19
409,19X 0 X 52,21 kN
7,837
⋅ ⋅
δ = + + + + =
δδ + δ = = − = − =
δ
ZADATAK br.3
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
59/175
Skripta
Otpornost materijala II
59
Dijagram momenata savijanja na statički neodređenom nosaču je:
max
2dop
Mjerodavni momenat savijanja za dimenzioniranje i prvog dijela(A-B) i drugog dijela(B-C):
M 20,92 kNm - momenat savijanja nad osloncem B
180 N/mm
=
σ =
[
6 pot 3 3z
3z
4z 1
2 4z 2
stvz
20,92 10 W 116,2 10 cm - za dio A-B i B-C
180
dio A-B odgo var a INP 16
sa W 117 cm
I 935 cm I
dio B-C
I proba 2 NP 16
I 2 85,3 24,0 4,34 1074 cm I
W
⋅= = ⋅
=
= =
= + ⋅ = =
[
3 potz
41 2
4z
119 cm W
USVOJENO: 2 NP 16
I 1,25I 1342 cm
odgovara : INP 18 sa I 1450 cm
USVOJENO: INP 18
= ≈
= =
=
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
60/175
Skripta
Otpornost materijala II
60
Za nosač prikazan na slici nacrtati dijagrame presječnih sila zanemarujući uticaj normalnih itransverzalnih sila na deformaciju.
RJEŠENJE
Nosač je jedanput statički neodređen.Za statički nepoznatu veličinu usvajamo oslonački moment u tački A.Usvojeni osnovni sistem je prikazan na sljedećoj slici.
1
1 11 10 11 10
21 01
11 100S
Statički nepoznatu veličinu X odredićemo iz deformacijskog uslova:
X 0 , gdje su i Maxwell-ovi uticajni koeficijenti,koji su dati izrazima:
M MM ds , ds
EI EI
δ + δ = δ δ
δ = δ =S
0 1
1 0 1gdje su M i M momenti savijanja u osnovnom sistemu(koji je stati
čki odre
đen) od zadatog vanjskogopterećenja,odnosno od statički nepoznate sile X =1,0.Dijagrami M i M su nacrtani na sljedećoj sli
ci:
ZADATAK br.4
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
61/175
Skripta
Otpornost materijala II
61
11
10
101
11
Koristeći Vereščaginovo pravilo("množeći dijagrame momenata"),imamo:
4 0,5 2 5 0,5 2 EI 4 0,5 0,5 0,5 0,5 1,75
2 3 2 3
100 4,0 0,5 100 5,0 2 EI 0,5 0,5 216,67
2 3 2 3
216,67X 12
1,75
⋅ ⋅δ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ ⋅ δ = − + − ⋅ = −
δ −= − = − =
δ
0 1 1
3,81 kNm
Moment savijanja u proizvoljnom presjeku zadatog sistema dobijemo pomoću izraza:
M=M X M
Dijagrami presječnih sila prikazani su na sljedećoj slici:
+
Za zadati nosač na slici odrediti vertikalno pomjeranje tačke 3.Svi štapovi su kružnog poprečnog presjeka poluprečnika R.Za pop.presjek u uklještenju izračunati max.ekvivalentni napon prema IIIhipotezi.
ZADATAK br.5
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
62/175
Skripta
Otpornost materijala II
62
RJEŠENJE
Nosač je jedanput statički neodređen i za statički nepoznatu veličinu usvajamo silu veze u čvoru 2.
1 11 10
C i zi zj z yi yj y ti tj t
S S S
4 4
C yik zik tik
Statički nepoznatu odredit ćemo iz uslova: X 0
EI M M ds M M ds M M ds (i=1,2,...; j=0,1,...)
R R I I I ; I4 2
Redukovane dužine štapova rač
⋅ δ + δ =
δ = + +
π π= = = =
C C Czik ik yik ik tik ik
zik yik tik
zik yik ik tik ik ik
unaju se pomoću sljedećih izraza:
I I EI S S S S S S
I I GI
1 1 S S S S S 1,25 S
0,4 2
Redukovanedužine sada su:
= = =
= = = ⋅ = ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
63/175
Skripta
Otpornost materijala II
63
.
C 11
C 10
1 .
1 2 4,0 4,0 2 EI 3,0 3,0 3,0 4,0 3,0 5,0 3,0 75,33
2 3 2 31 3 1 2
EI 45 3,0 3,0 200 4,0 4,0 45 5,0 3,0 1842,923 4 2 3
1842,92X 24,5 kN
75,33
⋅δ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
δ = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = −
−= − =
y y t tz zi z y
z y tS S S
M M M MM M dS dS dSEI EI GI
δ = + +
C i z z0 z y y0 y
S S
3C i C 3
12
3 3 5 9
e
(u našem slučaju je 0)
EI M M dS M M dS
102 4,0 2 EI EI v 4,0 544 kNm
2 3
544 10 v 2,176 mm
2,5 10 10
Max.napon javit će se u tački 4 u poprečnom presjeku I-I:
δ = +
⋅δ = = ⋅ =
⋅δ = = =
⋅ ⋅
σ =
2 2
62
9
62
t 9
2 2e
2e
4
102 10 377, 7961 19,26 N/mm
210
28,5 10 377,7961 2,69 N/mm
22 10
19,26 4 2,69
19,99 N/mm
σ + τ
⋅σ = ⋅ =
⋅τ = ⋅ =
⋅
σ = + ⋅
σ =
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
64/175
Skripta
Otpornost materijala II
64
Za zadati nosač odrediti vertikalno pomjeranje napadne tačke sile F.Svi štapovi su kružnog poprečnog presjeka poluprečnika R.
1
RJEŠENJE
Nosač je jedanput statički neodređen i za statički nepoznatu veličinu usvajamo silu veze u čvoru 4.
Osnovni sistem i svi potrebni dijagrami za određivanje statički nepoznate veličine X prikazani su
na sljedećim slikama:
ZADATAK br.6
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
65/175
Skripta
Otpornost materijala II
65
1
1 11 10
C ij zi zj z yi yj y ti tj t
S S S
Statički nepoznatu X odredit ćemo iz uslova:
X 0 ... 1
gdje je:
EI M M ds M M ds M M ds (i=1,2,..., j=0,1,...) ... 2
Redukovane dužine štapova su date
⋅ δ + δ =
δ = + +
C C Czik ik yik ik tik ik
zik yik tik
4 4
zik yik tik
4
C
zik yik ik
izrazima:I I EI
S S S S S SI I GI
Kako je u našem slučaju:
R R I I I
4 2
R a ako usvojimo: I
4dobijamo :S S S
= ⋅ = ⋅ = ⋅
π π= = =
π=
= =
tik ik 1 1S = S
0,4 2
Vrijednosti redukovanih dužina su date na sljedećoj slici:
⋅ ⋅
C 11
C 10
Shodno izrazu 2 dobijamo:
3,0 3,0 2 6,0 6,0 2
EI 3,0 6,0 3,0 7,5 3,0 148,52 3 2 31 3 360 6,0 2
EI 45 3,0 3,0 90 6,0 3,0 6,0 45 7,5 3,0 7053,753 4 2 3
Kada ovo uvrstimo u jednačinu 1 dobijamo:
⋅ ⋅
δ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅δ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = −
1
7053,75 X 47,5 kN
148,5
Sada osnovni sistem izgleda kao na sljedećoj slici,kao i dijagrami momenata savijanja i torzije:
−= − =
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
66/175
Skripta
Otpornost materijala II
66
y tz y tzi
z y tS S S
z y t
Sada traženo pomjeranje možemo dobiti pomoću izraza:
M M M MM M dS dS dS ... 3
EI EI GI
gdje su: M ,M i M statički uticaji u zadatom sistemu uslijed jedinične generalisane sile ko
δ = + +
z y t
ja neodgovara traženom generalisanom pomjeranju(u našem slučaju jedinična vertikalna sila u tački 3).
Može se pokazati da bi se dobio potpuno isti rezultat ako bi se umjesto veličina M ,M i M u
izr z0 y0 t0azu 3 uzele veličine M ,M i M tj.uticaji uslijed jedinične generalisane sile u osnovnom
sistemu.Poslije izvedenih transformacija jednačina 3 prelazi u oblik:
z0 y0 t0C i z z y y t t
S S S
EI M M ds M M ds M M ds
Na sljedećoj slici su nacrtani dijagrami momenata savijanja i torzije u osnovnom sistemu uslijed jedi-
-nične vertikalne sile u tački 3.
δ = + +
3C i C 3
5 2C z y
12
i 3 5 9
3,0 90 2 75 6,0 2 EI EI v 3,0 90 6,0 6,0 3,0 6,0 5085 kNm
2 3 2 3
EI EI EI 3 10 kNm
5085 10 v 16,95 mm
3 10 10
⋅ ⋅ δ = = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + =
= = = ⋅
⋅δ = = =
⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
67/175
Skripta
Otpornost materijala II
67
Kraj konzole A-B vezan je pomoću elastične zatege E-B sa sredinom proste grede C-D.Greda i kozolasu istog poprečnog presjeka.Površina poprečnog presjeka zatege je A=30 cm2, dok su greda i kozolaizrađene od INP 20.Izračunati:
a) Silu u zatezi E-B, b) Max. normalni i max. tangencijalni napon na gredi C-D i nacrtati im dijagrame.
RJEŠENJE
a)
C-D A-BE B
3C-DE
4 3A-B 1 1B
4 331 1
9
Nosač je jedanput statički neodređen i rješit ćemo ga iz sljedećeg uslova:
v h v
X l X h v ; h
48EI EAq l X l v
8EI 3EI
q l X lX l X h
48EI EA 8EI 3EI
X 64 10
48
+ ∆ =
⋅ ⋅= ∆ =
⋅ ⋅= −
⋅ ⋅⋅ ⋅+ = −
⋅ ⋅
E
3
4
X 2 10
2140 10 E
⋅ ⋅+
⋅ ⋅
12
2 4
20 16 10
30 10 8 2140 10 E
⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
9
4
X 8 10
3 2140 10 E
⋅ ⋅−
⋅ ⋅.
5 62,304 X+0,666X 18,688 10 124,6104X X=10 kN⋅ = ⋅ −
ZADATAK br.7
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
68/175
Skripta
Otpornost materijala II
68
b)
Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka:
4 3z z
z13
z2
3z3 z2
3z4
I 2140 cm W 214 cm
S 0 S (1,13 9) 9,435 95,95 cm
S S 95,95 cm
S (1,13 9 9, 435) 0,75 8,87 4, 435 125, 45 cm
Maximalni normalni napon i tangencijalni naponi po t
= =
== ⋅ ⋅ =
= =
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
61 2max
max x max 4z
1
3 32 2max z2
4z 2
3 33 max z3
4z 3
ačkama 1,2,3 i 4:
M 10 10 y 10 10 46,7 N/mm
I 2140 10
0
T S 5 10 95,95 10 0,25 N/mm
I t 2140 10 9 10
T S 5 10 95,95 10 2,99 N/
I t 2140 10 0,75 10
⋅σ = σ = = ⋅ ⋅ =
⋅
τ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅τ = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅τ = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
3 34 2max z4
max 4z 4
mm
T S 5 10 125, 45 10 3,91 N/mm
I t 2140 10 0,75 10
Dijagrami normalnog i tangencijalnog napona su:
⋅ ⋅ ⋅ ⋅τ = τ = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
69/175
Skripta
Otpornost materijala II
69
Za dati nosač i opterećenje nacrtati dijagrame momenata.
RJEŠENJE4 9 2
z1 z1
4 9 2z2 z1
I 24 - I 4250 cm EI 8925 10 Nmm
I 20 - I 2140 cm EI 4494 10 Nmm
= = ⋅
= = ⋅
Progib tačke D uslijed sile F:
Dz1
12
9
1 1 2
v 10 2 2 2EI 2 3
33,33 10 = 3,73 mm
8925 10
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅=
⋅
Progib tačke E uslijed opterećenja na gredi AB: Progib tačke E od momenta je 0.
ZADATAK br.8
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
70/175
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
71/175
Skripta
Otpornost materijala II
71
Konzola CD uklještena je u tački D, a u tački C zavarena je za gredu AB. Odrediti ugibtačke C ako je poprečni presjek konzole INP 20, a poprečni presjek grede INP 30, aopterećenje je kao na slici.
C CC-D A-B
RJEŠENJE
Zadatak je jedanput statički neodređen i riješit ćemo ga iz sljedećeg uslova:
v v=
4 3 12 3
5 4 5 4 5 4 5 4
4 5
4
4
20 2000 X 2000 11 20 10 X 4000
8 2 10 2140 10 3 2 10 2140 10 6 2 10 9800 10 48 2 10 9800 10
9,346 6,230 x 10 1,871 6,803 10 X
7,475 6,9103 10 X
X 10,817 10 N 10,817 kN
− −
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ =
4 3
C20 20
4C
C
q l X lv
8EI 3EI
v 9,346 6,230 10 10,817
v 2,607 mm
−
⋅ ⋅= −
= − ⋅ ⋅
=
ZADATAK br. 9
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
72/175
Skripta
Otpornost materijala II
72
Za dati nosač i opterećenje na slici nacrtati dijagrame M, T i N. U presjeku udaljenom od oslonca A2m nacrtati dijagram normalnog napona.
B BABC BD
4 31 1 2
z z 2
12 9 3
5 4 5 4 5 2
BV
RJEŠENJE
v l
q l x l x l5
384 EI 48EI EA
5 40960 10 x 512 10 x 3 10
384 2 10 2140 10 48 2 10 2140 10 2 10 33,5 10
x( R ) 49,923 kN
= ∆
⋅ ⋅ ⋅⋅ − =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
ZADATAK br. 10
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
73/175
Skripta
Otpornost materijala II
73
2
4 4z z
62
x,max 3min
Dijagram normalnog napona
10 2M(x 2) 15,038 2 10,076 kN
2
INP 20 I 2140cm W 214cm
10,076 10
47,08 N/ mm214 10
⋅= = ⋅ − =
= =
⋅
σ = ± =⋅
Nosač AC na slici, čiji je poprečni presjek INP 36 vezan je u tački B za oprugu BD, čija je krutost20kN/cm. Odrediti intenzitet opterećenja q ako je σdop=145 N/mm
2, a E=2,1⋅105 N/mm2.
RJEŠENJE
ZADATAK br. 11
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
74/175
Skripta
Otpornost materijala II
74
t
t
xB B q tAC opr AC B B opr
xq tB B
q1 q2B B B
2q1B
z z
2q2B
z
x v v v vk
xv v
k
v v v
1 1 2 q 6 1 92,1669q v 7,69q 6 1,71 6 1,285 7,69q 4,5 1,71
EI 2 3 8 2 EI
1 1 2 q 4,5 v 5,82q 6 1,71 4,5 1,2
EI 2 3 8
= ∆ = − ∆ =
− =
= +
⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
t
z
Bz
x tB t t
z z
912t t
5 4 5 4
t
1 62,0q85 5,82q 4,5 1,71
2 EI154,1669q
vEI
23,0721x1 1 1 v 2,57x 6 1,71 2,57x 4,5 1,71
EI 2 2 EI
23,0721 10 x x154,1669 10
20002,1 10 19610 10 2,1 10 19610 10
x
+ ⋅ ⋅ ⋅ =
=
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅⋅− =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
[ ]3,5308q kN=
6
3
6,9818 10 q 145
1090 10
q 22,63 kN / m
⋅ ⋅≤
⋅
=
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
75/175
Skripta
Otpornost materijala II
75
Prosta greda A-B vezana je u tački C za vješaljku.Odrediti za koliko možemo da povećamotemperaturu da bi naponi ostali u dozvoljenim granicama.
Podaci za profile: [
4 3min z
min z
NP 20 INP 40
I 148 cm W 1460 cm
i 2,14 cm I 29 210 cm
= =
= = 4
2A=32,3 cm
RJEŠENJE
C CAB CD
33max
max dop3z z z
4dop2
i
min
v l - uslov zadatka
A-B
X lM X l X 10 104 1,712 10 XW W 4W 4 1460 10
C-D
X X 3, 0959 10 X
A 32,3 10
l 500 233 100 ... važi Ojlerov iz
i 2,14
−
−
= ∆
⋅⋅ ⋅ ⋅
σ = = = = = ⋅ ≤ σ⋅ ⋅
σ = = = ⋅ ≤ σ⋅
λ = = = >
3 2 3dop
2 2 5 43min
krit 2 2i
krit
raz za kritičnu silu
A-B
1,712 10 X 140 N/mm X=81,775 10 N=81,775 kN
C-D
EI 2,1 10 148 10 x 122,698 10 122,698kN
l 5000
x 122,698 X= 47,19 kN
n 2,6
USVOJENO : X=4
−⋅ ≤ σ = ⋅
π π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ =
= =
7,19 kN
ZADATAK br.12
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
76/175
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
77/175
Skripta
Otpornost materijala II
77
RJEŠAVANJE KONTINUALNIH NOSAČA METODOM TROMOMENTNIH JEDNAČINA
Za zadati kontinualni nosač nacrtati dijagrame presječnih sila.
RJEŠENJE
1 1 AA B
L D1 1 2 2 B B
A B C
2
C
A
LB
3 3D 2B
Klapejronove jednačine za zadati nosač,glase:
l l R 2M M 6
2I 2I 2I
l l l l R R M 2M M 6 gdje su:
2I 2I I I 2I I
4 M 20 160 kNm
2
R 0
R 0
ql 20 10 R
24 2
+ = −
+ + + = − +
= − ⋅ = −
=
=
⋅= = 2
A B
A B
A
B
833,33 kNm4
Kada ovo uvrstimo u Klapejronove jednačine,dobijemo:
2M M 0 M 6M 680
Rješavanjem ovih jednačina,dobijemo:
M 61,82 kNm
M 123,63 kNm
Dijagrami presječnih sila prikazani su
=
+ =+ = −
=
= −
na sljedećoj slici:
ZADATAK br.1
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
78/175
Skripta
Otpornost materijala II
78
Za zadati kontinualni nosač nacrtati dijagrame presječnih sila.
RJEŠENJE
B C
3
B C
C B
Pošto su i nosač i opterećenje simetrični,onda je M M .Zbog ovoga je dovoljno napisati jednu
jednačinu triju momenata:
12 5 2M (5 6) M 6 624
M M 13,4 kNm
Mjesto max.momenta:
A-q x=0
x
=
⋅+ + ⋅ = −
= = −
⋅
2
A 27,2= 2,27 m
q 12
q 2,27maxM=A 2,27- 30,8 kNm
2
Dijagrami presječnih sila su:
= =
⋅⋅ =
ZADATAK br.2
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
79/175
Skripta
Otpornost materijala II
79
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
80/175
Skripta
Otpornost materijala II
80
6. SLOŽENA NAPREZANJA
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
81/175
Skripta
Otpornost materijala II
81
Za zadati nosač i opterećenje prema slici potrebno je odrediti potrebnu širinu presjeka b ako jeσdop=160 Mpa.F=70 kN q=25kN/m a=100 cm =30o
RJEŠENJE
x
A A y
Cx x
2
B Cy Cy
2
C B B
x 0 G 70 cos30 60,62 kN
M 0 R G 17,5 kN
x 0 R G 60,62 kN
3 M 0 25 17,5 2 R 3 R 25,83 kN
2
3 M 0 25 17,5 5 R 3 R 66,6
2
= = ⋅ =
= = =
= = =
= ⋅ − ⋅ = ⋅ =
= ⋅ + ⋅ = ⋅ =
7 kN
Mjerodavan presjek za dimenzioniranje bit će presjek B:
M 35 kNm; N 60, 62 kN; T 49,17 kN= = =
ZADATAK br. 1
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
82/175
Skripta
Otpornost materijala II
82
( )
33
3 3 5y
Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka:
b A 140 b b 140 20 44b
5
b b 120
b 140 1 45 I 140 120 b 1,134667 10 b
12 12 12 5
Potrebnu širinu presjeka dobivamo iz uslova maks
= ⋅ − − ⋅ − =
− ⋅ ⋅ = − = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅
N M dopy
dop5
5 5dop
5
5dop
imalnih normalnih naprezanja:
N M h
A I 2
N M 70
44b 1,134667 10 b
N 1,134667 10 44M 70 44 1,134667 10 b
N 1,134667 10 44M 70 b
44 1,134667 10
b 143,56 mm
σ = σ + σ = + ⋅ ≤ σ
+ ⋅ ≤ σ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ≤ σ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅
≥ σ ⋅ ⋅ ⋅
≥
Za štapni konzolni nosač kružnog poprečnog presjeka prečnika D=5 cm potrebno je:a) Nacrtati dijagrame presječnih sila. b) Odrediti kritičan presjek na nosaču mjerodavan za dimenzioniranje, te kritičnu tačku na
poprečnom presjeku.
c) Odrediti dopuštenu sili F prema IV hipotezi o slomu ( )2 2ekv 3σ = σ + τ
RJEŠENJE
a) Dijagrami presječnih sila
ZADATAK br. 2
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
83/175
Skripta
Otpornost materijala II
83
b) Kritičan presjek nalazi se na ležaju.
N 2 2
M 3 3 3
N M 2 3
T4 3 3
p
N 2 F 2 F 8 F 0,1019F
A A D D
4M 2 F l 64 F l 64 25
F 4, 0744FW D D 5
328 64 F l
F 4,1763FD D
M D 2 F l D 32 l 32 25 F F 2,0372FI 2 2D D 5
32
c) Dopuštena s
⋅ ⋅σ = = = = ⋅ =
π π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅σ = = = = ⋅ =
π ⋅ π ⋅ π ⋅
⋅ ⋅σ = σ + σ = ⋅ + =
π π ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅τ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
π ⋅ π ⋅ π ⋅
2 2 2 2EKV dop dop dop
3dop2 2
dop
ila F prema II i V teoriji čvrstoće:
Druga teorija čvrstoće:
1 1 1 0,3 1 0,3 4 4,1763F 4,1763 4 2,0372 F
2 2 2 21 N
5,25418 F 18 10
cm cm F 3426 N
Peta teorija čv
− ν + ν − +σ = ⋅ σ + ⋅ σ + τ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ σ
⋅ ⋅ ≤ ⋅
≤
2 2 2 2EKV dop dop
3dop2 2
dop
rstoće:
3 4,1763 3 2,0372 F
1 N 5,4674 F 18 10
cm cm F 3292 N
σ = σ + τ = + ⋅ ≤ σ
⋅ ⋅ ≤ ⋅
≤
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
84/175
Skripta
Otpornost materijala II
84
Izvršiti dimenzioniranje nosača gradilišne ograde ako joj je poprečni prejsek prstenastog oblikadebljine stijenke t=4 mm, a σdop=160 Mpa. U tački C konstruisati (nacrtati) dijagram normalnognapona.
RJEŠENJE
max
max
zmax d
z
1
4 44 3
z z
3 6maxx 2 3
Dimenzioniranje: tačka C
M 3,71 kNm
N 1,5 kN
M N A W
D 93 mm D 93 8 85 mm
93 85 I 110,96cm W 23,862cm
64 64
1,5 10 3,71 10
11,184 10 23,822 10
=
= −
σ = − − ≤ σ
= = − =
π π= − = =
⋅ ⋅σ = − − = −
⋅ ⋅
2
3 6min 2x 2 3
157,1 N / mm
1,5 10 3,71 10 154,2 N / mm
11,184 10 23,822 10
⋅ ⋅σ = − + =
⋅ ⋅
ZADATAK br. 3
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
85/175
Skripta
Otpornost materijala II
85
Konzola AB opterećena je kontinuiranim opterećenjem q=15 kN/m i aksijalnom silomF=200 kN. Izračunati najveći normalni napon ako je poprečni presjek INP 16.
2
3z
2 2
z max
3 62z
max 2 3z
3 6z
max 2z
RJEŠENJE
za I NP 16 A 22,8 cm
W 117 cm
q l 15 l
m m 7,5 kNm2 2mF 200 10 7,5 10
151,8 N/mmA W 22,8 10 117 10
mF 200 10 7,5 10
A W 22,8 10 117
=
=
⋅ ⋅
= = = =
⋅ ⋅σ = + = + =
⋅ ⋅
⋅ ⋅σ = − = −
⋅ ⋅
23
23,6 N/mm10
=
ZADATAK br. 4
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
86/175
Skripta
Otpornost materijala II
86
Dimenzionirati konzolu AB opterećenu prema slici kao INP profil ako je σdop=160 N/mm2.
RJEŠENJE
zmax
z
x
z
3 62
x,max dz
3z
MF y
A I
F F cos15 15 0,966 14,5 kN
m F sin15 5,8 15 0,259 5,8 22,5 kNm
14,5 10 22,5 10 145 N / mm
A W
Iz tablica : odgovara I NP 18 sa: W 161 cm
σ = − ± ⋅
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅σ = − ± ≤ σ =
=
2 A 27,9 cm=
ZADATAK br. 5
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
87/175
Skripta
Otpornost materijala II
87
3 62
x,max 2 3
kontrola napona :
14,5 10 22,5 10 5,2 139,7 144,9 145,0 N / mm
27,9 10 161 10
Kod dimenzioniraja sa valjanim profilima uvijek se zanemaruje uticaj aksijalne sile, a usvoji se poznati
odnos
⋅ ⋅σ = − ± = − − = − ≤
⋅ ⋅
zz
y
z
Wza i onda se dobije potrebni otporni momenat W , ali se iz tablica uzima nešto veći otporniW
momenat W od potrebnog zbog toga što prilikom dimenzioniranja nismo uzimali u obzir uticaj
aksijalne sile.
Čelični štap ABC kvadratnog poprečnog presjeka 3x3 cm,čija je osa polukružna linija,krajem C je
uklješten u zid,a na slobodnom kraju opterećen silom P=1 kN(kao na slici).Odrediti max. ekvivalentnenapone u poprečnim presjecima B i C štapa po hipotezi najvećeg smičućeg napona.Taokođer,odreditivertikalno pomjeranje tačke A.
RJEŠENJE
f
Sila P izaziva savijanje i torziju štapa ABC.U proizvoljnom poprečnom presjeku "mn"
nagnutom prema poprečnom presjeku A pod uglom (vidi sliku),je momenat savijanja:
M P HA PR sin ,
a momenat torzije:
ϕ
= ⋅ = ϕ
t M P HK PR(1 cos ).= ⋅ = − ϕ
ZADATAK br.6
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
88/175
Skripta
Otpornost materijala II
88
f t
. .2 2f
max 3 3f
U poprečnom presjeku B, za = , M M PR.Najveći normalni napon uslijed savijanja u tom2
presjeku iznosi:
M 6PR 6 1 20 4,44 kN/cm 44,44 N/mm
W a 3
Najveći tangencijalni napon uslijed torzi
πϕ = =
⋅ ⋅σ = = = = =
2 2tmax 3 3
t
je u istom presjeku je:
M PR 1 20 3,56 kN/cm 35,6 N/mm (za kvadratni pop.presjek =0,208)
W a 0,208 3
Maximalni ekvivalentni napon prema III hipotezi o čvrstoći materijala za presjek B
⋅τ = = = = = β
β ⋅ ⋅
III 2 2 2 2 2ekv max max
f t max max
2
iznosi:
max 4 44,44 4 35,6 83,93 N/mm
U poprečnom presjeku C, za = , M 0, M 2PR.Pr ema tome je 0,a 2 2 35,6
71,2 N/mm .Proračunski napon za taj presjek je:
ma
σ = σ + τ = + ⋅ =
ϕ π = = σ = τ = ⋅ τ = ⋅ =
=
III 2 2ekv max maxx 4 2 2 71,2 142,4 N/mm
Poprečni presjek C se nalazi u težim uslovima nego presjek B.
σ = τ = ⋅ τ = ⋅ =
Pomjeranje kraja A štapa ABC u pravcu djelovanja sile P određujemo pomoću Kastiljanove
teoreme.Pri tome uzimamo u obzir potencijalnu energiju savijanja i torzije štapa.Za element štapa d
22tf
f tf t
22tf
f tf t
u-
-žine ds=Rd potencijalna energija savijanja i torzije iznosi:
M RdM Rd dU dU 2EI 2GI
Potencija lna energija zapremine cijelog štapa iznosi:
M R M R U= U U
2EI 2GI
ϕ
ϕϕ+ = +
+ = +
0
tf tf
tAf t0
44 2 4t t
f t
d
Po Kastiljanovoj teoremi:
MM M R M R
PU P f = dP 2EI GI
M M aPošto je R sin , R(1 cos ), G=8 10 N/mm 0,4E, I , I a ,
P P 12gdje je za kvadratni poprečni pr
π
π
⋅ ϕ
∂ ∂
∂∂ ∂ = + ⋅ ϕ∂
∂ ∂= ϕ = − ϕ ⋅ = = = α ⋅
∂ ∂
3 22
A 40
3 3 4
4 4 4 3
esjek =0,14 (iz tablica),pa je:
PR (1 cos ) f = 12sin d
0,4Ea
3 PR E 3 3,14 1,0 20 2 10 2 2 0,514 cm
2Ga E 3 2 10 2 8 10 0,14
π
α
− ϕϕ + ⋅ ϕ =
α
π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + = + =
α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
89/175
Skripta
Otpornost materijala II
89
Za dati nosač prikazan na slici nacrtati dijagrame presječnih sila i odrediti ekstremnevrijednosti normalnih napona na dijelu nosača CD.
RJEŠENJE
Dijagrami presječnih sila
ZADATAK br. 7
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
90/175
Skripta
Otpornost materijala II
90
Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka su:
( )
21
22
21 2
T
T
3 3 3 2 2 4z
A 2 1,5 7,0 1,0 20,0 41,0 cm
A 1,5 8 12,0 cm
A A A 53,0 cm
12 ( 11, 5) z 2,604 cm
53,0
12 ( 9, 25) y 2,094 cm53,0
1 I 8 20 7 17 8 1,5 41,0 2,094 12 7,156 3264 cm
12
= ⋅ ⋅ + ⋅ =
= ⋅ =
= + =
⋅ −= = −
⋅ −= = −
= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
( )3 3 2 2 3 2 4y4
xy
22
1,2
1
1 1I 20 1,0 2 1,5 7 2 7 1,5 4,0 41,0 2,604 1,5 8 12 8,896 1715 cm
12 12
I 2 7 1,5 4,0 9,25 41,0 2,604 2,094 12 ( 8,896) ( 7,156) 1764 cm
3264 1715 3264 1715 I (1764)
2 2
I
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − =
+ − = ± +
=4
42
2 2 21 1
4416 cm I 563 cm
2 1764 tg2 2,2776
3264 1715
2 66 30 33 15
sin 0,5468 cos 0,8373
Poluprečnici elipse inercije:
4416 i i 9,128 cm i i 83,32 cm
53ξ ξ
=
⋅ϕ = =
−
ϕ = ϕ =
ϕ = ϕ =
= = = = =
-
8/20/2019 122753907 Otpornost Materijala II Skripta Ismet Hajduk
91/175
Skripta
Otpornost materijala II
91
2 2 22 2
x
563 i i 3,259 cm i i 10,62 cm
53
Proizvoljni poprečni presjek na dijelu CD nosača, izložen je momentu savijanja M 16,0 kNm i
normalnoj sili N 6,928 kN. Ovo naprezanje je ekvivalentno ek
η η= = = = =
=
= −
zy
sentričnom naprezanju silom
pritiska istog intenziteta sa napadnom tačkom A koja leži na y osi, a na rastojanju:M 16,0
e 0,2309 m 23,09 cm N 69,28
Koordinate napadne tačke sile A u sistemu glavn
= − = −