Шановні студенти!

Вам необхідно вивчити даний матеріал з предмету шляхом письмових відповідей

на контрольні питання до кожної з тем.

Відповіді повинні бути у ваших зошитах з предмету.

Для контролю по закінченню терміну на вивчення матеріалу, вам необхідно буде

вислати фото ваших виконаних письмових завдань.

Будь ласка, ваші листи підписуйте у такому порядку - Прізвище.

Група.

Тема.

12.Електромагнітні коливання та хвилі

12.1. Коливальний контур

1. Коливальним RLC-контуром (див.Мал.133) називається замкнений

електричний контур, у якому є конденсатор із ємністю С, омічний опір R та

соленоїд з індуктивністю L. В цей контур може бути ввімкнено джерело струму із

примусовою електрорушійною силою Е= Е0cost. У загальному випадку

протікання струму І в контурі на елементах контуру виникає

напруга на опорі RU = IR,

напруга на конденсаторі C

qUC ,

ЕРС індукції у соленоїді dt

dILL .

2. Застосовуючи друге правило Кірхгофа до такого контуру, одержимо

UU LCR . (1)

Підставляючи відповідні вирази для напруги та

електрорушійних сил, одержимо

dt/LdItcosC/qIR 0 . (2)

Для одержання канонічного диференціального рівняння

коливань заряду на обкладках конденсатора, підставимо

у (2) замість І його значення dt

dqI і розділимо рівняння

на індуктивність L

tcoseqdt

dq2

dt

qd0

202

2

, (3)

де позначено

L2

R ,

LC

120 ,

Le o

0

. (4)

3. Диференціальне рівняння (3) по своїй структурі тотожне з рівнянням

механічних коливань, наприклад, коливаннями пружинного маятника. З цієї

причини ми скористаємося розв'язками диференціального рівняння для

механічних коливань, підставляючи відповідні значення параметрів 00 e,, з (4).

12.2. Незгасаючі електромагнітні коливання

1. Незгасаючі вільні електромагнітні коливання, або близькі до них,

виникають, коли в контурі без зовнішнього джерела енергії (Е = 0) можна

знехтувати омічним опором (R 0). В цьому випадку рівняння незгасаючих

електромагнітних коливань буде мати вигляд

0qdt

qd 202

2

, (1)

а його розв'язком є

)tcos(qq 00 . (2)

Сталі розв'язку qo та знаходяться з початкових умов, наприклад, якщо задано

величини заряду на конденсаторі та струму у контурі в деякий момент часу t.

2. Характеристики коливань

0q амплітуда коливань,

t0 фаза коливань,

0 початкова фаза,

частота коливань

LC2

1

2

oo

, (3)

період коливань

LC2/1T oo , (4)

струм у колі

00000000 qI ),2/tcos(I)tsin(qdt

dqI . (5)

Коливання струму випереджають коливання заряду за фазою на /2.

Напруга на обкладках конденсатора

,qC

1U ),tcos(UC/qU 00

0

0C00CC

C

1X ,IXU

0

C0C0C

. (6)

Напруга на соленоїді

)tcos(U)tcos(qLdt

dILU 0L000

20L , (7)

0L0LL0000020L0 LX ,IXU ,qLqLU . (8)

Величини CX та LX , що фігурують в (6) та (8) називаються реактивними

опорами конденсатора та індуктивності відповідно.

Електрична та магнітна енергії контуру задаються виразами

)]2t2cos(1[C4

q)t(cos

C2

q

C

q

2

1W 0

20

02

20

2

e . (9)

)]2t2cos(1[LI4

1)t(sinLI

2

1LI

2

1W 0

200

220

2m . (10)

Зважаючи на те, що

C/1L 20 ,

магнітну енергію можна записати у вигляді

)]2t2cos(1[C4

qW 0

20

m . (11)

Середні значення енергій <Wm> та <Wm> за період задаються виразами

])2t2cos(1[C4

qW 0

20

e , (12)

])2t2cos(1[C4

qW 0

20

m , (13)

де середнє значення косинуса є

)2t2cos( 0 0)tT

2(2sin

2

T

T

1dt)t

T

2(2cos

T

100

T

00

0

0

T

0 00

.

Таким чином одержимо

me WW q

Co2

4,

а повна енергія буде такою

20

20

20

me qL2

1

C2

qWWW . (14)

Під час коливань електрична енергія конденсатора (потенціальна енергія)

переходить у магнітну енергію соленоїда (кінетична енергія) і навпаки так, що

зберігається повна енергія контуру W.

Хвильовий опір контуру змінному струмові визначається так

C

LL

I0

0

L0

. (15)

12.3. Вільні згасаючі електромагнітні коливання

1. Вільні згасаючі електромагнітні коливання виникають у RLC-контурі у

тому випадкові, коли в ньому відсутнє зовнішнє джерело енергії ( 0 ). Рівняння

цих коливань запишеться у вигляді

0qdt

dq2

dt

qd 202

2

, (1)

а його розв'язком є t

0 eA)t(A ),tcos()t(Aq , (2)

де

= o2 2 =

1

4

2

2LC

R

L , =

1

R

2

L2

R2

(3)

циклічна частота.

2. Характеристики згасаючих коливань

Амплітуда коливань є спадною функцією часу

А(t)=Aoe-t

, (4)

Період коливань

2T =

2

2

L4

R

LC

1

2

=

1R

2

1

R

L4

2

, (5)

час релаксації

1 =

R

L2, (6)

число повних коливань за час релаксації

1)R

2(

2

11

T

1

TN 2

e

, (7)

логарифмічний декремент згасання

1R

2

2T

L2

R

)t(A

)t(Aln

2

, (8)

добротність контура

T222

2

e1

2

T)(tA(t)A

(t)A2Q

, (9)

У випадку малого опору R ( 2R0 , а 1T ), коли можна покласти

T21e T2

eNT

Q

(10)

1CR

L4

2

1Q

2 = 1

R

2

2

12

. (11)

Величина A2(t)-A

2(t+T) пропорційна джоулевій теплоті, яка виділяється на опорі R

контуру.

У випадку малого опору, коли 2R добротність буде

C

L

R

1

RQ

. (12)

Повний опір контуру (імпеданс) визначається так

2

2

C

1LRZ

. (13)

12.4. Вимушені коливання

Рівняння вимушених коливань у контурі, що виникають внаслідок дії

періодичного джерела струму tcos0 має вид

tcoseqdt

dq2

dt

qd0

202

2

(1)

з частинним розв'язком

)tcos(qq 0 , (2)

де L/e 00 .

Амплітуда коливань 0q знаходиться стандартним розв'язком рівняння (1) і

дорівнює

2222o

2

o0

4)(

eq

. (3)

Після підстановки характеристик елементів контуру одержимо

22

2

o0

L

R

LC

1L

q

=22

CL

o

R)XX(

. (4)

В (4) позначено LXL реактивний опір на індуктивності та

C

1XC

реактивний опір на конденсаторі, які ми визначимо нижче. Початкова фаза

визначається так

LC22

oXX

Rarctg

2arctg

. (5)

Загальний розв’язок рівняння вимушених коливань є сумою загального

розв'язку однорідного рівняння (рівняння вільних згасаючих коливань) та

знайденого частинного розв'язку. З часом загальний розв’язок однорідного

рівняння згасне (е-t0) й установляться коливання, що задаються частинним

розв'язком.

Струм у контурі має величину

)2/tcos(q)tsin(qdt

dqI 00

)2/tcos(II 0 , (6)

де

Іо=Z

o , Z= 2CL

2 )XX(R . (7)

Величина Z називається імпедансом і є повним опором струмові у RLC-

контурі. Для зручності подальших викладок фазових співвідношень приймемо

початкову фазу струму у вигляді ,tg/1ctg)2/tg( tg,2/

або

R

XXarctg CL . (8)

Тепер струм у колі запишеться у вигляді

)tcos(II 0 , (9)

а заряд

)2/tcos(qq 0 . (10)

Напруга на опорі R становить

RIU ),tcos(UIRU 0R0R0R (11)

Напруга на індуктивності L. Запишемо вираз LCR UU (п.2) у

вигляді

LCR UUU (12)

де

)2/tcos(LIdt

dILU 0LL

)2/tcos(UU L0L

є напруга на індуктивності з амплітудою

0LL0 IXU . (13)

Величина

LXL (14)

має розмірність опору і називається реактивним опором індуктивності. Напруга

на індуктивності випереджає напругу на опорі R за фазою на /2.

Напруга на конденсаторі C

)2/tcos(C

q

C

qU o

C .

)2/tcos(

)C

1L(RC

U22

oC

,

)2/tcos(U)2/tcos(C

IU C0

oC

= UoC cos(t - -/2),

(15)

де

0CC0 IXU (16)

є амплітуда напруги на конденсаторі. Величина

C

1XC

(17)

має розмірність опору і називається реактивним опором конденсатора. Напруга

на конденсаторі UC запізнюється відносно напруги

на омічному опорі UR за фазою на /2.

Фазові співвідношення між

LCR U,U,U можна представити на фазовій

(комплексній) площині за допомогою відповідних

векторів, як це показано на Мал.134 із

відповідними зсувами за фазою.

Резонанс напруги. Напруга та заряд на

конденсаторі є функцією зовнішньої частоти .

Положення екстремуму задається резонансною

частотою

02

222

oрез qL2

R

LC

12 (18)

і визначає їх максимальне значення. Для малих R коли, 0 , резонансну

частоту можна покласти рівною o, і

QC

L

RCR

LC

RCU 0

00

o

omaxC

. (19)

В одержаному виразі Q - є добротність контуру і вона показує у скільки

разів напруга на конденсаторі при резонансі може перевищити прикладену

напругу 0 .

Резонанс струму. Максимальне значення струму в контурі задається

мінімальним значенням імпедансу Z, яке визначається умовою LC XX , тобто

R)XX(Rmin 2CL

2 . (20)

При цьому резонансна частота становить

LC

10резІ . (21)

При резонансі струму його амплітуда буде максимальною

RI o

рез0

. (22)

Приклад 1. В контурі діє змушуюче джерело змінного струму з частотою

Гц50 і напругою B 220U0 . Резонанс струму спостерігається при ємності

конденсатора 22C , причому A3I0 . Обчислити індуктивність контуру та

омічний опір.

Дано: 22C , =50 Гц, B 220U0 , A3I0 , L-?, R-?

Розв’язок

Ом 73.3I

UR Гн, 0.46

2.17

1

C

1L рад/c, 314

0

0

20

12.5. Змінний струм

Коли у контурі встановляться вимушені коливання, то їх можна розглядати

як протікання змінного струму у колі, що містить у собі активний омічний опір R,

індуктивність L та ємність C, викликаного прикладеною змінною напругою

джерела струму

tcos0 . (1)

Струм у колі задається виразом

I=Iocos(t-), (2)

що відстає за фазою від на . Амплітуда струму визначається виразом

ZI 0

0

, 22 )

C

1L(RZ

, (3)

де величина Z називається повним електричним опором або імпедансом.

Якщо коло містить лише активний опір, то напруга на опорі

tcosIRU 0R (4)

співпадає за фазою із струмом.

Якщо в колі міститься лише ємність С, то

C

00

XI

. (5)

При цьому 2/ і струм випереджає за фазою напругу . Заміна

конденсатора замкненою дільницею кола, як це видно з виразу для Z, означає

перехід не до С=0, а до C . Справді, замикання обкладок конденсатора

означає, що відстань між ними d0, а

d

SC o .

Якщо в колі міститься лише індуктивність, то

L

00

XI

. (6)

При цьому 2/ і струм відстає за фазою від напруги . Якщо в колі

містяться ємність С та індуктивність L, то

CL0

CL

00 XXX ,

|X||XX|I

. (7)

Величина Х називається реактивним опором або реактансом. Відповідно можна

записати фазу та імпеданс Z через Х

22 XR Z,R

Xarctg . (8)

У загальному випадку потужність, що виділяється в колі змінного струму

можна записати у вигляді

)tcos(Itcos)t(I)t()t(P 00

)t2cos(I2

1cosI

2

1)t(P 0000 . (9)

Таким чином, миттєва потужність із подвоєною частотою коливається

коло свого середнього значення cosI2

100 , бо середнє значення

0)t2cos( .

Практичний інтерес представляє середнє значення потужності за період.

Тепер середня потужність становить

0000 IP ,cosP2

1P . (12)

З фазової діаграми (див.Мал.1325) видно, що

Z

R

XR

R

)C

1L(R

Rcos

2222

.

Підставивши останній вираз для косинуса у вираз

для середньої потужності і, врахувавши, що Z

EI o

0 ,

одержимо

20RI

2

1P . (10)

Таку ж потужність розвиває сталий струм, сила якого дорівнює

2

1Iеф Io. (11)

Величина ефI називається діючим або ефективним значенням сили змінного

струму Іо, а величина

0еф2

1U . (12)

називається діючим або ефективним значенням напруги. В термінах ефективних

величин середню потужність можна записати у вигляді

cosUIP ефеф . (13)

Множник cos називають коефіцієнтом потужності і чим він більше тим

більша потужність виділяється в колі змінного струму. Максимальна потужність у

колі виникне тоді, коли фаза =0.

12.6. Рівняння Максвелла

Повна система інтегральних або диференціальних рівнянь, що описують

рух електромагнітного поля у просторі та часі називається рівняннями Максвелла.

Для одержання повної системи рівнянь в інтегральному та диференціальному

виді, потрібно попередньо розглянути теореми Остроградського-Гауса та Стокса

й гіпотезу Максвелла щодо струму зміщення.

12.6.1.Теорема Остроградського-Гауса

Потік вектора a

, що визначає деяке силове поле, через довільну замкнену

поверхню VS у цьому полі, дорівнює інтегралові від дивергенції вектора a

,

взятому по об’єму SV , обмеженого поверхнею VS

V SS V

dVadivSda

, (1)

де

z

a

y

a

x

aadiv zyx

, (2)

dSnSd

, n

вектор нормалі до елементу dS, zyx a,a,a проекції вектора a

на

осі x, y, z.

12.6.2.Теорема Стокса.

Циркуляція вектора a

, що визначає деяке силове поле, через довільний

замкнутий контур SL у цьому полі, дорівнює потокові вектора rota

(ротор a

)

через поверхню LS , натягнуту на контур SL

LS SL

Sdarotlda

. (3)

Значення компонент вектора rota

у декартових координатах дає визначник,

розкритий через перший рядок (направляючі орти осей х, y, z)

,

a a a

z

y

x

k j i

rota

zyx

(4)

і в явному вигляді їх можна записати так

y

a

x

ak

x

a

z

aj

z

a

y

aiarot xyzxyz

. (5)

12.6.3.Струм зміщення Струм зміщення характеризує "магнітну дію" змінного електричного поля.

Розглянемо електричне поле, утворене в діелектрику в просторі конденсатора

зарядженого до заряду q. При замиканні пластин конденсатора почнеться його

розряд. Він супроводжується зменшенням заряду q на обкладках конденсатора.

При цьому в діелектрику виникне змінне електричне поле, а в колі почне

протікати струм

dt

dqI . (6)

За теоремою Остроградського - Гауса заряд q можна виразити через потік вектора

індукції D

електричного поля через замкнену поверхню S конденсатора

qSdDФS

D

. (7)

І тепер

SSS

Sddt

DdSdD

dt

d

dt

dq ,SdjI

. (8)

Максвелл висунув гіпотезу, згідно якої через діелектрик протікає струм змI

рівний струму І, який було названо струмом зміщення. З (8) густину струму

зміщення можна записати у виді

dt

Ddjзм

. (9)

Протікання струму зміщення в діелектрику на відміну від струму

провідності в електричному колі не супроводжується виділенням джоулевого

тепла, хоча процес переполяризації діелектрика відбувається з поглинанням

тепла, але він не описується законом Джоуля - Ленца.

12.6.4.Перше рівняння Максвелла.

Перше рівняння Максвелла випливає із закону Фарадея і зв'язує

напруженість поля електромагнітної індукції з індукцією змінного магнітного

поля B

. Дійсно, якщо E

напруженість індукованого електричного поля, що діє в

контурі LS, то електрорушійна сила індукції в контурі дорівнює

ldEi

а магнітний потік і швидкість його зміни можна записати у вигляді

LL SS

Sddt

Bd

dt

dФ, SdB dФ

Тепер, зважаючи на закон Фарадея

dt

dФi ,

можна записати рівність

LS SL

Sddt

BddlE

, (10)

яка представляє собою перше рівняння Максвелла в інтегральній формі.

Застосовуючи теорему Стокса (3), ліву частину (10) можна записати у

вигляді

LS SL

SdErotldE

. (11)

Підставляючи цей вираз в інтегральне рівняння, одержимо з нього перше

диференціальне рівняння Максвелла

t

BErot

. (12)

У цьому рівнянні ми вжили позначення частинної похідної по часу від

індукції магнітного поля B

, яка є функцією багатьох змінних – часу й координат.

12.6.5.Друге рівняння Максвелла.

Друге рівняння Максвелла представляється законом повного струму з

врахуванням струму зміщення

зм

L

IIldH

S

, (13)

де I - струм, створюваний вільними носіями струму, змI струм зміщення.

Інтегрування проводиться по замкненому контуру SL , що охоплює поверхню LS .

Зважаючи на те, що

LL S

зм

S

Sdt

D і ISdjI

, (14)

рівняння в інтегральній формі матиме вигляд

LLS SSL

Sdt

DSdjldH

. (15)

За теоремою Стокса циркуляцію H

запишемо у вигляді

LS SL

SdHrotldH

. (16)

Підставивши цей вираз в (15), одержимо друге рівняння Максвелла в

диференціальній формі

t

DjHrot

. (17)

12.6.6.Третє рівняння Максвелла.

Третє рівняння Максвелла випливає з теореми Остроградського - Гауса для

індукції електричного поля

qSdD

VS

, (18)

а саме: потік зміщення D

електричного поля через довільну замкнену поверхню

VS дорівнює алгебраїчній сумі вільних зарядів, які знаходяться в об'ємі SV з

поверхнею VS . Заряд із густиною запишемо у вигляді

SV

dVq (19)

і після підстановки (19) в (18) одержимо третє інтегральне рівняння Максвелла

V SS V

dVSdD

(20)

Застосувавши теорему Гауса для зміщення

V SS V

dVDdivSdD

, (21)

одержимо третє рівняння Максвелла в диференціальній формі

Ddiv

. (22)

12.6.7.Четверте рівняння Максвелла.

Четверте інтегральне рівняння Максвелла представляється теоремою

Остроградського - Гауса для індукції магнітного поля

0SdB

VS

, (23)

а саме: потік індукції B магнітного поля через довільну замкнену поверхню SV

дорівнює нулю. Застосувавши теорему Гауса для зміщення

V SS V

dVBdivSdB

, (24)

одержимо четверте рівняння Максвелла в диференціальній формі

0Bdiv

. (25)

12.6.8.Матеріальні рівняння Максвелла.

До матеріальних рівнянь належать рівняння, що зв'язують індукцію та

напруженість електричного поля

ED 0

(26)

через діелектричну проникливість

середовища та магнітного поля

HB 0

(27)

через магнітну проникливість .

Граничні умови визначають

напруженість та індукцію електричного та

магнітного поля при переході з одного середовища з проникливістями 1 та 1 в

інше середовище з проникливістями 2 та 2 . Граничні умови для індукції B

та

напруженості H

магнітного поля установлюються подібно граничним умовам для

індукції D

та напруженості електричного поля E

, а тому граничні умови

приведемо без доведення. Нехай на границі поверхнева густина зарядів, n

одиничний вектор нормалі до поверхні розділу середовищ,

одиничний

вектор, дотичний до поверхні розділу середовищ, повj

вектор лінійної густини

поверхневого струму провідності. В цьому випадку рівняння на границі будуть

такими: залишаються неперервними тангенціальна складова напруженості

електричного поля 12 EE та нормальна складова індукції магнітного поля

n1n2 BB . Нормальна складова індукції електричного поля має стрибок рівний

n1n2 DD ,

а тангенціальна складова напруженості магнітного поля має стрибок рівний повj

H2 - H1 = пов12 jHH .

Вектор повj

має напрямок по дотичній до поверхні і чисельно дорівнює

dl

dIj

повпов ,

де повdI сила струму провідності, що проходить мерез малу дільницю

довжиною dl перерізу поверхні, проведеного напрямку поверхневого струму.

12.7. Диференціальні рівняння Максвелла у діелектрику

Розглянемо рівняння Максвелла в середовищі, де відсутні вільні електричні

заряди і макроскопічні струми. Для такого середовища диференціальні рівняння

мають вигляд

t

BErot

, t

DHrot

, 0Bdiv ,0Ddiv

. (1)

Узявши від першого рівняння Максвелла операцію rot, матимемо

Hrott

Brott

Erotrot 0

. (2)

Підставивши з другого рівняння Максвелла значення Hrot

матимемо

2

2

00t

EErotrot

. (3)

Операція подвійного rot може бути записана так

EgraddivEErotrot

, (4)

а зважаючи на те, що 0Ediv

, маємо

2

2

00t

EE

. (5)

Нагадаємо, що оператор Лапласа визначається так

2

2

2

2

2

2

z

E

y

E

x

EE

. (6)

Одержане рівняння є рівнянням для напруженості електромагнітної хвилі E

2

2

2 t

E

V

1E

(7)

з фазовою швидкістю n

cV , показником заломлення середовища n , а

величина 00/1 має розмірність швидкості і є швидкість розповсюдження

світла с. Аналогічно можна одержати хвильове рівняння і для напруженості

магнітного поля H

2

2

2 t

H

V

1H

.

12.8. Плоска електромагнітна хвиля

Для плоскої електромагнітної хвилі, що розповсюджується в напрямкові

ОХ, складові поля в загальному випадку можна представити у вигляді

)V

xt(H ),

V

xt(fE

. (1)

Підстановка цих виразів у перші два рівняння Максвелла показує, що всі

частинні похідні від проекцій xy E,E цих векторів на осі координат OY, OZ

дорівнюють нулю. Крім указаного, частинні похідні від х-компонент цих векторів

по часу t і змінній х також дорівнюють нулю, що означає їх незалежність від

координат і часу. Тоді для змінного поля з Ех=0, Нх=0 вектори

H,E

перпендикулярні напрямкові швидкості розповсюдження хвилі V

. Таким

чином три вектори V,H,E

утворюють праву трійку векторів. Приймемо напрям

OX вздовж вектора H

, напрям вектора OZ вздовж вектора E

і тоді напрям

швидкості V

буде вздовж осі OY. Покладемо

,0}H{0,H },E,0,0{E yz

та

)kytcos(HH|H| ),kytcos(EE|E| 00

і після прямої підстановки в рівняння

t

HErot 0

, t

EHrot 0

(2)

одержимо

oH = oE . (3)

На Мал.137 представлено взаємне розташування напруженостей

електромагнітного поля в просторі та їх залежність від змінної y, для плоскої

хвилі.

12.9.Поляризація хвилі

Лінійна поляризація. Площина, утворена векторами V,E

хвилі,

називається площиною поляризації хвилі. Якщо площина поляризації зберігає

своє положення в просторі, то така хвиля є лінійно поляризованою (плоско

поляризованою).

Еліптична поляризація. Якщо в площині V

, вершина вектора E

описує

еліпс, то така хвиля еліптично поляризована. Це означає, що вектор E

має дві

складові, зсунуті по фазі

)kytcos(AE ),kytcos(AE 2z1x . (1)

В цьому випадку можна розглянути задачу додавання двох взаємно

перпендикулярних коливань із зсувом по фазі, результатом якого маємо рівняння

для траєкторії, яку описує вершина вектора E

з часом

21

2x

A

E+

22

2z

A

E- 2

21

zx

AA

EEcos = sin

2. (2)

Для випадку = (2m +1)

2 траєкторіями є еліпси. Коли ж ще й А1 = А2, то

еліпси перетворюються в кола і така хвиля називається циркулярно

поляризованою (поляризованою по колу).

Природна поляризація. Якщо в площині перпендикулярній вектору V

вектор E

кожної миті займає рівно ймовірні напрямки, то така хвиля називається

природно поляризованою.

12.10. Енергія, інтенсивність та тиск електромагнітної хвилі

Об'ємна густина енергії електромагнітного поля w дорівнює сумі об'ємних

густин енергії електричного wе та магнітного wm полів

20

20me H

2

1E

2

1www . (1)

Зважаючи на рівність Н o = Е o , одержимо

EHV

1EHw 00 , (2)

де oo

1V

- швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі в

середовищі, n -показник заломлення середовища, oo

1c

- швидкість

розповсюдження електромагнітної хвилі в вакуумі.

Для плоскої монохроматичної хвилі )kytcos(AE , маємо

)kyt(cosAw 220 . (3)

Середнє за період Т значення густини енергії

T

0

220 dt)kyt(cosA

T

1w

T

0

20 dt)]kyt(2cos

2

11[A

T

1w

20A

2

1w ,

(4)

тому, що

0dt)kyt(2cosT

0

.

Вектор VwS

називається вектором Пойнтінга. Цей вектор є вектором

потоку енергії, який можна записати у вигляді ]HE[S

. Промінь

електромагнітної хвилі є уявна крива, дотична до якої вказує напрямок

розповсюдження енергії, тобто напрямок вектора S

. Для ізотропного середовища

цей напрямок співпадає з напрямком швидкості хвилі V

.

Модуль вектора S

називається інтенсивністю І електромагнітної хвилі і він

чисельно дорівнює енергії, що розповсюджується за 1с через поперечний переріз

в 1м2. Для плоскої монохроматичної хвилі з амплітудою 0E

20

o

o E2

1VwI

, (5)

або

20

o

o H2

1VwI

,

де 0H амплітуда магнітної складової.

За розрахунками Максвелла електромагнітна хвиля, що падає на поверхню

під кутом , утворює тиск на поверхню падіння

2cos)R1(wP ,

де R - коефіцієнт відбиття енергії. Покажемо це в такий спосіб. Нехай на

поверхню S за одиницю часу падає поверхні S випромінювання, яке має

густину енергії <w>. Імпульс випромінювання

c

wP

. (6)

При відбиванні від поверхні з коефіцієнтом відбивання R, випромінювання

передає їй імпульс рівний

c

wR2

, (7)

а решта поглинутої енергії (1 - R) випромінювання передає імпульс

c

w)R1(

. (9)

Разом поверхні буде передано імпульс

)R1(wc

w)R1(

c

wR2

. (10)

За другим законом Ньютона імпульс, переданий одиничній поверхні за одиницю

часу, чисельно рівний тиску, тому тиск що його створює електромагнітна хвиля

запишеться так

Р = w

c(1 + R). (11)

При падінні випромінювання під кутом , потрібно ввести множник

2cos , тому що тиск створює нормальна складова випромінювання.

12.11. Випромінювання електричного диполя

Вирішальним дослідом, що ствердив максвелівську теорію та виявив

існування електромагнітних хвиль, як сукупність змінних

електричного та магнітного поля, став дослід Герца (1888

р.). Джерелом електромагнітних хвиль може бути будь-який

закритий коливальний контур, але потрібно їх збудити у

відкритому просторі. Ця задача була розв’язана шляхом

зменшення в контурі величини індуктивності L та

розсування пластин конденсатора аж до перетворення

конденсатора у два провідники. В цих провідниках

виникають стоячі електромагнітні хвилі, а навколо них у

простір випромінюються й розповсюджуються

електромагнітні коливання. Такий контур дістав назву вібратора або диполя

Герца, який ще має назву осцилятора.

Якщо розміри випромінювальної системи (диполя) малі порівняно з

довжиною хвилі , то в просторі на відстанях r (хвильова зона) поле

випромінювання близьке до поля випромінювання осцилятора, що має такий само

дипольний момент, як і вся система випромінювання. Структура поля

випромінювання диполя показана на Мал.138.

Можна показати, що миттєва потужність випромінювання диполя з

дипольним моментом р=ql дорівнює 2

2

2o

dt

pd

c6N

. (1)

Якщо величина диполя змінюється з часом гармонічно з частотою та

амплітудою 0p

tsinpp 0 , (2)

то потужність випромінювання буде дорівнювати

tcospc6

N 22o

4o

. (3)

Середня потужність за період Т визначається

середнім значенням <cos2t>=1/2 і становитиме

c12

pN

2o

4o

. (4)

Індикатриса випромінювання осцилятора

(див.Мал.139) у хвильовій зоні визначає

залежність інтенсивності випромінювання від

кута між віссю диполя й напрямком

випромінювання r

. Як показують розрахунки вона задається співвідношенням

2

2sin

r

1~I . (5)

У наведеній нижче Таблиці, у розрізі довжин хвиль та частот, представлена

структура випромінювання різних джерел від радіохвиль до -випромінювання.

Таблиця 1. Діапазони електромагнітного випромінювання Вид випромінювання Довжина хвилі

, м

Частота хвилі

, Гц

Джерело

випромінювання Радіохвилі 34 1010

125 10103

10

Коливальний контур

Вібратор Герца

Генератори

Оптичне

інфрачервоне

видиме

ультрафіолетове

74 108105 74 104108

87 10104

61110 3.75

1410

3.751410 .5

1410

7.51410 3

1610

Лампи

Лазери

Рентгенівське 129 106102 1.51710 5

1910 Трубки Рентгена

випромінювання

12106

> 51910

Радіоактивний розпад

Ядерні реакції

Космічне

випромінювання

12.12.Контрольні питання

1. Магнiтний момент плоского контура з струмом.

2. Визначення iндукцiї магнiтного поля.

3. Закон Бiо-Савара-Лапласа.

4.Індукцiї магнiтного поля короткого прямолiнiйного провiдника із

струмом.

5. Індукцiї магнiтного поля на вісі кругового струму.

6. Індукцiї магнiтного поля соленоїда.

7. Індукцiї магнiтного поля заряду, що рухається.

8. Закон Ампера, сила Лоренця.

9. Сила взаємодiї cтрумiв.

10. Момент сили та потенцiальна енергiя контура у магнiтному полi.

11. Потiк індукції та робота магнiтного поля.

12. Визначення питомого заряду електрона.

13. Циклiчнi прискорювачi заряджених частинок.

14. Мас-спектрометри.

15. Закон Фарадея та його зв'язок з законом збереження енергiї.

16. Електронна теорiя закону електромагнітної iндукцiї.

17. Явище електромагнiтної самоiндукцiї.

18. Явище електромагнiтної взаємоiндукцiї.

19. Енергiя магнiтного поля соленоїда.

20. Густина енергії магнітного поля.

21. Циркуляція індукції магнітного поля.

22. Гiромагнiтне вiдношення для електрона.

23. Вектор намагнiченності середовища, коефіцієнт магнітної

сприйнятливості.

24. Дiамагнетизм, парамагнетики, феромагнетики.

25. Iндукцiя магнiтного поля в магнетику.

26. Магнітна проникливісь, напруженiсть магнiтного поля в магнетику.

27. Закон повного струму.

28. Електромагнітний коливальний контур RLC.

29. Диференціальне рівняння коливань у електромагнітному контурі.

30. Розв’язок рівняння згасаючих коливань в електричному

коливальному контурі.

31. Реактивні опори та імпеданс.

32. Резонанс напруги та струму в коливальному контурі

33. Змінний струм: напруга, сила струму, потужність, фазові

співвідношення.

34. Струм змiщення.

35. Теореми Стокса та Остроградського-Гауса.

36. Рiвняння збереження заряду.

37. Циркуляція вихрового електричного поля.

38. Рівняння Максвела у iнтегральнiй формi..

39. Рівняння Максвела у диференцiальнiй формi.

40. Диференцiальне рiвняння електромагнiтної хвилi.

41. Плоска електромагнiтна хвиля.

42. Поляризацiя хвилi.

43. Енергiя, інтенсивність та тиск електромагнітної хвилi.

44. Неоднорiдне рiвняння руху у електричному коливальному контурі.

45. Електричний диполь: потужність випромінювання, індикатриса

випромінювання.

МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ

4.Коливання

У цьому розділі фізики розглядаються коливання та процеси їх поширення

(хвилі) у різних середовищах: рідині, атмосфері, корі земної поверхні, поверхні

океанів, електромагнітні коливання у вакуумі та багато інших. Головна мета

розділу - познайомити студента з основними ідеями, загальними для усіх

коливань, що дозволяють побудувати їх фізичні і математичні моделі - канонічні

диференціальні рівняння коливань та хвилі. Указані моделі, як універсальні,

можна застосувати до окремих явищ, таких як сейсмічні коливання, виникнення

та поширення цунамі, радіохвиль та ін.

У межах програми вищої математики наведені приклади розв'язку

канонічних рівнянь вільних та вимушених коливань, виведення рівняння хвилі.

4.1. Коливальний рух

Коливальним рухом називається рух, що повторюється в часі. Якщо

повторюваність відбувається за один і той же проміжок часу Т, то рух називається

періодичним, а час Т періодом. За період здійснюється одне повне коливання.

Частота коливань T

1= число повних коливань за одиницю часу. Рівняння

коливання описує залежність зміщення тіла х з положення рівноваги 0х від часу t.

Гармонічним називається коливання, рівняння якого описується функцією

синуса або косинуса від часу кінематичне визначення, наприклад,

х = А·cos(t + ). (1)

В цьому виразі х зміщення від положення рівноваги, А амплітуда

коливань (максимальне зміщення), - циклічна частота, Ф(t)=t+ фаза

коливань, Ф(t=0) = початкова фаза. Знайдемо період гармонічних коливань

T, знаючи, що період косинуса є 2. Запишемо функцію косинуса в (1), ввівши

період Т

]Ttcos[])Tt(cos[)tcos( . (2)

З (2) вилучимо доданок Т і прирівняємо його до періоду косинуса

2T

1 ,

2T ,2T . (3)

Таким чином ми одержали звязок періода T й частоти через циклічну частоту

.

Якщо рух тіла спричиняється пружною силою, або

квазипружною силою (величина сили пропорційна

зміщенню тіла зі стану рівноваги) то такі коливання

будуть також гармонічними. Це є динамічне визначення

гармонічних коливань.

Гармонічне коливання можна представити

графічно за допомогою вектора A

, який обертається в

площині ХОУ з частотою (див. Мал. 30). Модуль

вектора дорівнює амплітуді коливання, а кут , який він складає з віссю ОХ,

дорівнює фазі коливання, тобто =Ф=t+. Величина проекції х вектора А на вісь

ОХ здійснює коливання по гармонічному закону х=А·cos(t+). Графічне

зображення гармонічного коливання називається методом векторних діаграм.

В комплексній формі гармонічне коливання можна представити у вигляді: ti

0eZZ ,

де Z0 = A·ei

комплексна амплітуда, модуль якої дорівнює Z0=A, а =argZ0

аргумент. Фізичний зміст має дійсна частина комплексної величини Z, а саме

)tcos(AZRex , або уявна частина )tsin(AZImy , які

представляють гармонічні коливання величин х та y відповідно.

4.2. Пружинний маятник

Пружинний маятник являє собою тіло, підвішене на пружині, масою якої,

порівнюючи з масою тіла m, можна знехтувати (див.Мал.31). Створимо

зовнішньою силою F

зміщення маятника зі стану рівноваги x

.

Напрямок сили F

буде співпадати з напрямком прискорення

маятника 2

2

dt

d x

. У протилежному напрямку будуть діяти пружна

сила пF

та сила опору опF

. Величина пружної сили Fп = kx, де х

величина зміщення тіла зі стану рівноваги, k жорсткість

пружини, а сила опору дорівнює dt

xdFоп

, де коефіцієнт

опору. Лінійна залежність пружної сили від зміщення

виконується лише для малих амплітуд коливань, коли

виконується закон Гука.

Рівняння другого закону Ньютона для тіла тепер має вигляд

опп2

2

FFFdt

dm

x. (1)

Усі сили опп F ,F ,F

, що діють на тіло й вектор прискорення 2

2

dt

xda

, лежать

на одній прямій, а тому, взявши напрямок прискорення за додатній, запишемо

рівняння (1) в алгебраїчній формі

опп2

2

FFFdt

dm

x. (2)

Підставимо в (2) значення сил і запишемо його у канонічній формі

fxdt

dx2

dt

d 202

2

x

, (3)

де m

F=f ,

m

k=2

0 , 0 власна частота, яку називають частотою вільних

незгасаючих коливань, m2

=

коефіцієнт згасання коливань. Період вільних

незгасаючих коливань

Tm

k0

0

22

.

4.3. Математичний маятник

Математичний маятник точкове тіло маси m, підвішене на нерозтяжному

підвісі L (див.Мал.32), розмірами якого, порівнюючи з довжиною підвісу, можна

знехтувати. Маса підвісу значно менша маси тіла m і нею також можна

знехтувати. Коливання описуються кутом відхилення тіла від положення

рівноваги , кутовою швидкістю dt

d

та кутовим прискоренням 2

2

dt

d

.

Вектор L

задає точку прикладання сил. Коливання здійснюються в загальному

випадку під дією моменту ]Fr[M

зовнішніх сил F

, моменту сили тяжіння

]gmL[Mg

та моменту сил опору

dt

dMоп

, де

коефіцієнт опору. Вектори моментів сил опg M ,M ,M

та кутового прискорення

лежать на осі обертання, яка

площині коливання та проходить через центр

обертання О.

Величину моменту сили тяжіння можна записати

у вигляді sinmgLMg . Для малих кутів маємо sin

і mgLMg . Такі коливання називаються малими.

За другим законом Ньютона для обертового руху

маятника рівняння коливань можна записати так

опg2

2

MMMdt

dJ

, (1)

де J=mL2 момент інерції точкового тіла. Вектори

2

2

dt

d

, M

, gM

, опM

лежать

на одній прямій, а тому, взявши напрямок кутового прискорення за додатній,

векторне рівняння (1) можна записати в алгебраїчній формі

MmgLdt

d

dt

dJ

2

2

. (2)

В канонічному вигляді це рівняння має вигляд:

J/Mdt

d2

dt

d 202

2

, (3)

де J2

=

коефіцієнт згасання коливань, L

g

J

mgL=2

0 , 0 частота вільних

незгасаючих коливань, або частота власних коливань маятника.

4.4. Фізичний маятник

Фізичний маятник макроскопічне тіло, що здійснює малі коливання.

Вісь обертання маятника О зміщена відносно центра мас тіла Oc на вектор L

(див.Мал.33). Коливання визначаються кутом відхилення тіла від положення

рівноваги. Ці коливання здійснюються в загальному випадку під дією моменту

]Fr[M

зовнішніх сил F

, моменту сили тяжіння ]gmL[Mg

та моменту сил

опору dt

dMоп

, де коефіцієнт опору. Величину моменту сили тяжіння

можна записати у вигляді: Мg = mgLsin. Для малих коливань маятника маємо

sin і Мg = mgL.

Використовуючи другий закон Ньютона для

обертового руху, рівняння коливань можна записати

так:

опg2

2

MMMdt

dJ

, (1)

де J момент інерції тіла. Вектори

опg2

2

M ,M ,M ,dt

d лежать на одній прямій, а тому,

взявши за додатній напрямок кутового прискорення,

векторне рівняння можна записати в алгебраїчній

формі:

MsinmgLdt

d

dt

dJ

2

2

. (2)

В канонічному вигляді рівняння (2) можна записати так

J/Mdt

d2

dt

d 202

2

, (3)

де J2

=

коефіцієнт згасання коливань, J

mgL=2

0 , 0 частота вільних

незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника T0 = 2/0 і T0

= 2l

g

пр, де

Lm

Jlпр приведена довжина фізичного маятника, яка є

довжиною підвісу математичного маятника з періодом рівним періоду коливань

фізичного маятника.

4.5. Крутильний маятник

Крутильний маятник макроскопічне тіло, наприклад диск з моментом

інерції J, закріплене нерухомо на пружному стержні (див.Мал.34). Коливання

визначаються кутом відхилення тіла від положення рівноваги, вектором

кутової швидкості dt

d

та вектором кутового прискорення 2

2

dt

d

. Тіло здійснює

малі періодичні коливання під дією моменту ]Fr[M

зовнішньої сили F

,

моменту опM

сили опору опF

та моменту kM

пружної сили деформації кручення

kF

. За величиною момент сили опору dt

dMоп

, а сили кручення - fMk .

Кефіцієнт f називається модулем кручення. Лінійна залежність моменту сил

кручення від кута повороту виконується лише для малих

коливань.

За другим законом Ньютона для обертового руху,

рівняння коливань маятника можна записати так:

опk2

2

MMMdt

dJ

. (1)

Вектори опk2

2

M ,M ,M ,dt

d лежать на одній прямій, а тому,

взявши напрямок кутового прискорення

за додатній,

векторне рівняння (1) можна записати в алгебраїчній формі

опk2

2

MMMdt

dJ

,

і привести до канонічного виду

J/Mdt

d2

dt

d 202

2

, (2)

де J2

коефіцієнт згасання коливань,

J

f20 , 0 частота вільних

незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника

f

J2

2T

0

0

.

4.6. Розвязок диференціального рівняння коливань маятника

Канонічні диференціальні рівняння для усіх вище розглянутих маятників із

точністю до позначення мають однаковий вигляд і є неоднорідними рівняннями,

що описують вимушені коливання. При нехтуванні силами опору та відсутності

зовнішніх сил, коливання будуть власними незгасаючими, а при відсутності

зовнішніх сил рівняння будуть описувати вільні згасаючі коливання. Розв'язок

рівняння, одержаний для одного з маятників, наприклад, фізичного, буде

розв'язком рівнянь для інших маятників. Нижче розглянемо коливання фізичного

маятника.

4.6.1. Вільні незгасаючі коливання

Якщо знехтувати силами опору (=0) при відсутності зовнішніх сил, то

рівняння вільних згасаючих коливань перетвориться в рівняння вільних

незгасаючих коливань:

d

dt

2

2

+ 0

2 = 0. (1)

Прямою підстановкою у (1), можна упевнитися, що розв'язок (1) матиме

вигляд

(t) = аcos(0t+). (2)

Вираз (2) представляє гармонічні коливання. В (2) a амплітуда коливань -

максимальне відхилення тіла з положення рівноваги. Амплітуда є додатною

величиною. Амплітуда та початкова фаза в (2) визначаються з початкових умов.

Наприклад, якщо у момент часу t=0 кут відхилення маятника з положення

рівноваги становить 0 , а

0tdt

d. Тоді 0arccos і

0arccosa

.

4.6.2. Вільні згасаючі механічні коливання

Коливання, що відбуваються у відсутність зовнішніх сил F, називаються

вільними. Якщо при цьому існують сили опору, коливання будуть вільними

згасаючими.

Для прикладу розглянемо вільні згасаючі коливання фізичного маятника.

Рівняння згасаючих коливань є однорідним диференціальним рівнянням, яке

враховує сили опору

0dt

d2

dt

dJ 2

02

2

. (1)

Розв'язок (1) шукаємо підстановкою Ейлера =et

. Знайдемо перші дві

похідні від по часу

dt

det

, d

dt

2

2

=

2et

. (2)

Підставляючи похідні (2) у (1), одержимо:

et

( 2 + 2 + 0

2 ) = 0. (3)

Квадратне рівняння 2

+ 2 + 02

= 0 у (3) називається характеристичним. Його

розв'язок 20

21 , 2

02

2 (4)

дає два фундаментальні розв'язки диференціального рівняння

1 = exp(1t), 2 = exp(2t), (5)

з яких утворюється загальний розв'язок. Загальним розв'язком однорідного

рівняння (1) буде лінійна комбінація фундаментальних розв'язків (5)

= Аexp(1t) + Bexp(2t) (6)

з дійсними коефіцієнтами А, В.

Можливі два випадки руху маятника

1) При > 0 аперіодичний рух. При цьому 1,2

< 0 дійсні числа. Функція є спадною функцією часу

(1,2<0) і описує асимптотичне, експоненціальної

залежності від часу, повернення маятника в стан

рівноваги. При цьому коливальний рух не здійснюється.

Якщо за початкових умов (у момент часу t = 0),

початкове зміщення (0) = 0, а початкова швидкість d

dt

t=0 = V0, то два рівняння

0 = А + В; V0 = A1 + B2 (7)

мають розв'язок

А = (2 0 - V0)/(2 - 1), B = ( 1 0 - V0)/(1 - 2). (8)

Залежно від початкових умов, можливі два випадки аперіодичного

повернення маятника до стану рівноваги (див. Мал.35). При 0 > 0 i V0 < 0 із V0

< 10 коефіцієнт B буде менше нуля, а з ним

= Аexp(1t) + Bexp(2t) < 0

(9)

повернення (див. Мал.35) має тип а),

тобто можливе проміжне відхилення

маятника зі стану рівноваги в

протилежному напрямкові, а в усіх

інших випадках тип б)

безпосереднє повернення до стану

рівноваги.

2) Якщо < 0, маятник буде

здійснювати коливальний рух. При

цьому

1 = - +і, 2 = - -і, (10)

де і = 1 уявна одиниця, =

02 2 частота вільних згасаючих

коливань. Фундаментальними

розвязками для (10) є tit

2tit

1 e ,e

Загальний розв'язок є лінійною комбінацією фундаментальних розвязків

дійсною

= e-t

(Aeit

+ Be-it

), (11)

з комплексними коефіцієнтами А, В. Для знаходження величин А та В

зауважимо, що функція є дійсною функцією часу, і за цим вона має дорівнювати

своїй комплексно спряженій функції = *

e-t

(Aeit

+Be-it

) = e-t

(A*e-it

+B*eit

). (12)

Прирівнюючи в (12) коефіцієнти при однакових експонентах, одержимо

В=А*. Для зручності комплексну сталу А візьмемо в експоненціальному вигляді

А = а0ei

/2, де а0 дійсна величина. Тепер

= а0/2·e-t (e

i(t+) +e

-i(t+)) (13)

і, користуючись формулою Ейлера eix

= cosx isinx, вираз в дужках запишемо у

вигляді:

=2

1 а0e

-t [cos(t+)+isin(t+)+cos(t+)-isin(t+)]

= 0(t)cos(t+). (14)

В (14) 0(t) = a0e-t амплітуда коливань спадна функція часу, Ф = t+

фаза коливань, Ф0 = початкова фаза.

На Мал.36 представлена залежність кута відхилення фізичного маятника

при вільних згасаючих коливаннях з сталою згасання 20 і 2 .

4.6.2.1 Характеристики вільних згасаючих коливань

Вільні згасаючі коливання мають своїми характеристиками

час релаксації,

кількість повних коливань за час релаксації.

декремент згасання,

логарифмічний декремент згасання,

добротність коливальної системи,

Час релаксації це час, за який амплітуда коливання зменшується в е раз

o(t) = Aexp(-t)

e = o(t) / o(t+)= exp()

= 1/. (1)

За час релаксації система здійснить Ne=/T=1/(T) повних коливань.

Декремент згасання за визначенням є відношення амплітуд через період

T

)Tt(0

t0 e

ea

ea

)Tt(

)t(d

,

а логарифмічний декремент згасання за визначенням є

Telndln T

і в іншому виді eN/1dln .

Енергію коливальної системи можна знайти на прикладі пружинного

маятника масою m із сталою пружності k. Нехай його згасаючі коливання

описуються функцією

)tcos()t(xx 00 ,

де m/k ,ea)t(x 20

t00 . Повна енергія маятника в кожний момент часу

визначається амплітудою

)t(kx2

1E 2

0 ,

зокрема, для t = 0 20ka

2

1E . В довільний час t потенціальна енергія

)t(kx2

1E 2

п ,

а кінетична енергія

2

2

dt

dxm

2

1E)t(mV

2

1E

.

У випадку фізичного маятника потрібно в одержаних результатах замінити

х0(t) на o(t), а масу маятника m на момент інерції J.

Добротність коливальної системи за визначенням є

тA

)t(E2Q

,

де E(t) енергія системи в час t, )Tt(E)t(EAT робота системи проти

сил опору за період Т. Прийнявши до уваги, що енергія пропорційна квадрату

амплітуди, можемо записати вираз для добротності у вигляді:

)Tt()t(

)t(2Q

22

2

T2)Tt(2t2

t2

e1

2

ee

e2Q

.

Для малих сил опору <<1 і з достатньою точністю можна записати:

T21e T2 .

Тепер добротність коливальної системи з незначними силами опору можна

записати у такий спосіб:

Q= eNT

.

4.6.3. Вимушені коливання

Вимушені коливання маятника це коливання, які відбуваються під дією

зовнішньої періодичної сили. Для фізичного маятника це може бути сила, що

створює момент сили tcosMM 0

, де 0M

амплітуда і частота.

Рівняння вимушених коливань для періодичної змушучої сили має вигляд:

tcosJ

M

dt

d2

dt

d 0202

2

. (1)

Розв'язок рівняння (1) можна знайти з розв'язку іншого рівняння, а саме

ti0202

2

eJ

Mx

dt

dx2

dt

xd , (2)

де є дійсною частиною комплексної функції часу х(t)=(t)+іy(t): = Re(x).

Розв'язок рівняння (2) шукаємо у вигляді комплексної функції tiAex

(див.Додаток). Знайдемо похідні від х по t

eAdt

xd ,eiA

dt

dx ti2

2

2ti . (3)

Зробимо підстановку (3) в (2)

eJ

Me]i2[A ti0ti2

02

J

M]i2[A 02

02 . (4)

Множник при А у лівій частині (4) позначимо через Z і представимо в

експоненціальному вигляді (див.Додаток) i2

02 ei2Z , (5)

де 2222o 4)( - модуль Z,

220

2arctg

аргумент Z. Таким

чином сталу А з (4) можна записати через Z у вигляді:

i

2222o

o

i

00 e4)(J

M

eJ

M

JZ

MA , (6)

а шукана функція х(t) буде такою

)t(i

2222o

o e4)(J

Mx

. (7)

З (7) знаходимо розв'язок рівняння коливань фізичного маятника у вигляді )xRe(

α)cos(Ω(Ω0 t) ,

де амплітуда коливань

222220

0

4)(J

M)(

0

(8)

є функцією частоти примусової сили. Ця функція має максимум в точці max ,

яка відповідає точці мінімуму квадрата модуля числа Z: 22222

02 4)( . (9)

Похідна від 2 дорівнює

2220

2

8)2)((2d

d. (10)

Положення максимуму функції (max) знайдемо, прирівнявши похідну від

2 в точці max нулю

08)2)((2 max2

max2max

20

02)( 22max

20

220max 2 . (11)

Механічний резонанс явище різкого зростання амплітуди вимушених

коливань (див. Мал.37), коли частота змушуючої

сили наближається до резонансної частоти рез.

Механічний резонанс для швидкості явище

різкого зростання амплітуди швидкості вимушених

коливань. Можна показати що це явище наступає

тоді, коли частота зовнішньої сили наближається

до резонансної 220рез .

Загальним розв'язком неоднорідного диференціального рівняння коливань є

сума загального розв'язку однорідного рівняння та частинного розв'язку

неоднорідного рівняння

)tcos(4)(J

M)tcos(ea

222220

01

t0

. (12)

Через час t, більший часу релаксації , за рахунок експоненціального

згасання, першим доданком в (12) можна знехтувати й вважати, що встановилися

вимушені коливання.

)tcos(4)(J

M

222220

0

. (13)

4.6.4. Енергія коливання

1.Енергія гармонічного коливання

Повна енергія Е механічного гармонічного коливання тіла, як сума його

кінетичної і потенціальної енергій— величина стала. Це зумовлює перетворення

під час руху одного виду енергії в другий. Наприклад, для пружинного маятника

маси m зміщення із стану спокою в час t дорівнює х=А cos(t+) зі швидкістю

)tsin(AVx . Тепер механічна енергія дорівнюватиме

2

kx

2

mVEEE

22x

kп . (1)

Під час коливального руху кінетична енергія тіла змінюється від

найбільшого значення, яке вона має в момент проходження положення рівноваги,

до нуля в крайніх точках, коли зміщення х досягає максимального значення А.

Потенціальна енергія, навпаки, має максимальне значення в крайніх точках при

х=А і дорівнює нулю в положенні рівноваги. Оскільки повна механічна енергія

залишається сталою в будь-який момент часу, то під час коливань потенціальна

енергія періодично перетворюється в кінетичну і навпаки. Величина Е дорівнює

максимальному значенню потенціальної енергії

2

kAE

2

, (2)

або максимальному значенню кінетичної енергії

2

)A(mE

20 . (3)

2.Енергія затухаючих коливань. У реальних коливальних системах за

рахунок зміни енергії коливального руху виконується робота проти сил тертя й

опору. Тому з часом амплітуда вільних коливань tAe зменшується. Коли ж

запас енергії вичерпується, коливання припиняються.

Практично всі вільні коливання — затухаючі і тому вони не гармонічні.

Проте, якщо сили тертя набагато менші за сили пружності, або 0 , то

затухаючі коливання можна наближено вважати гармонічними з власною

частотою 0 . При цьому у виразі для швидкості

)]tcos()tsin([AeV tx

можна обмежитись значенням

)tsin(AeV 00t

x .

За час релаксації потенціальна енергія маятника зменшиться до

)t(cose2

kAE 0

222

п ,

а кінетична до

)t(sine2

)A(m

2

mVE 0

222

02x

k

.

Якщо зважити на 20mk , то повна механічна енергія становитиме

2

202

2

kп e2

)A(me

2

kAEEE

Для швидкого припинення коливань застосовують спеціальні пристрої, які

значно збільшують сили опору в коливальній системі. Наприклад, у транспортних

засобах використовують спеціальні амортизатори, які гасять коливання кузова,

зумовлені нерівностями дороги.

3. Вимушені коливання. .Якщо змушуюча сила змінюється за законом

гармонічних коливань tcosFF 0 , то зумовлені нею усталені вимушені

коливання )tcos()(Ax — гармонічні так, як з часом вільні затухаючі

коливання припиняються, а вимушені набувають гармонічного характеру

(див.п.4.6.3).

Швидкість коливання дорівнює

)tsin(Vdt

dxmax,x

де

2220

2

0max,x

)2()(

m/F)(A ),(AV

Запишемо повну механічну енергію через максимальну кінетичну енергію

2220

2

20

222max,x

)2()(

)m/F(

2

m

2

)A(m

2

mVE

.

4.Явище резонансу. Із зміною частоти Ω зовнішньої сили змінюється

амплітуда вимушених коливань. Якщо частота Ω наближається до частоти

вільних коливань системи ω0, то амплітуда вимушених коливань збільшується,

досягаючи максимуму, коли Ω=ω0. При цьому механічна енергія становитиме

2

20

2

20

2

20

)m

k(

F

m2

1

)m2

k2(

F

m2

1

)2(

F

m2

1E

,

2

20

k

mF

2

1E .

При подальшому збільшенням частоти Ω амплітуда вимушених коливань

зменшується. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при

наближенні частоти дії зовнішньої періодичної сили до частоти вільних коливань

системи називають резонансом. Під час резонансу в системі з малим тертям

амплітуда коливань може досягнути великого значення навіть тоді, коли зовнішня

сила мала, але діє досить довго. При цьому збільшується енергія вимушених

коливань, що може призвести до руйнації коливальної системи. Наприклад, у

випадку моста через річку, як коливальної системи, може настати його

руйнування.

4.7. Параметричні та автоколивання

4.7.1.Параметричні коливання

Параметричні коливання - це коливання тіла або системи тіл, що

супроводжуються періодичною зміною одного або декількох параметрів системи.

Наприклад, збільшуючи у такт з коливаннями математичного маятника його

довжину у крайних положеннях і зменшуючи у положенні рівновари. Енергія

маятника збільшується за рахунок виконання роботи силою, що змінює довжину

підвісу під час його скорочення.

4.7.2.Автоколивання

Для підтримання незатухаючих коливань, застосовуються пристрої, які

поповнюють енергію коливальної системи у такт з її коливаннями. Можна

створити такі пристрої джерела енергії, що її передачею керує в автоматичному

режимі сама коливальна система. Така система називається автоколивально, а її

коливання називаються автоколиваннями.

Найвідомішим прикладом є годинниковий механізм, де джерелом енергії

може бути пружина, приєднана до поворотної шестерні або, наприклад, підвішена

ланцюжком на шестерні гиря. На маятнику годинника закріплений анкерний

механізм у вигляді коромисла з стопорами, які через зубці шестерні фіксують її

поворот. При цьому є таке положення маятника, коли анкерні стопори виходять за

зубці і шестерня здійснює вимушений поштовх маятник, передаючи йому енергію

у від пружини чи підвісу. В наступну мить маятник повертає анкер у вихідне

положення і стопори знову фіксують положення шестерні. Така передача енергії

поновлює втрачену на подолання опору сил тертя у годинниковому механізмі.

Для підтримки роботи годинника потрібно його заводити: закручувати пружину

або піднімати гирі.

4.8. Додавання двох коливань одного напрямку

Для додавання двох коливань одного напрямку, наприклад, вздовж осі ОХ

)tcos(ax 111 , (1)

)tcos(ax 222 , (2)

застосуємо метод векторної діаграми. Математично це виражається в знаходженні

величини суми двох векторів, довжини яких чисельно рівні амплітудам коливань,

із подальшим знаходженням проекції х результуючого вектора (див.Мал.28). Цю

процедуру проведемо в такому вигляді

21 xxx , (3)

причому

)tcos(ax , (4)

де

cosaa2aaa 2122

21

2 , (5)

21 . (6)

Початкову фазу можна визначити з виразу

tga a

a a

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sin

cos cos. (7)

Одержаний результат випливає з наступних міркувань. Рівняння для х1 та х2

можна записати у експоненціальному комплексному вигляді: )t(i

111eax

,

)t(i22

2eax

,

і тоді

eaeax)t(i

2)t(i

121

tii2

i1 e]eaea[x 21

. (8)

З (8) видно, що знаходження х зводиться до

знаходження модуля а та аргумента комплексного числа

)iexp(a)iexp(a 2211 . (9)

Це легко зробити, пригадавши, що сума двох

комплексних чисел знаходиться в комплексній площині, як

сума двох векторів, що визначають ці числа (див.Мал.38).

Звідси амплітуда

)aa(a 221

2 aa2aaa 21

22

21

2

cosaa2aaa 2122

21

2 ,

де 21 кут між векторами 1a

та 2a

. Проекція a

на вісь ОХ:

2211x2x1x cosacosaaaa ,

а на вісь ОУ:

2211y2y1y sinasinaaaa

і

2211

2211

x

y

cosacosa

sinasina

a

atg

.

Два коливання з частотами 1=2= називаються когерентними, якщо

різниця їх фаз є сталою величиною, тобто

const)( 1212 ,

або такою що за період T вона змінюється на величину меншу . При цьому буде

відмінним від 0 інтерференційний доданок cosaa2 21 в (5).

При додаванні двох когерентних гармонічних коливань результуюче

коливання буде гармонічним із тією ж частотою .

В залежності від значення різниці початкових фаз , амплітуда

результуючого коливання може змінюватися в межах від

|aa|a 21 ,

коли 0,1,2,...n ,1)2n( 1cos , до величини

21 aaa ,

коли 1cos , 0,1,2,...n ,2n .

У першому випадку коливання відбуваються у проти фазі і їх сума має

мінімальну амплітуду, а у другому випадку коливання відбуваються у фазі, і їх

сума має максимальну амплітуду.

При додаванні N гармонічних коливань одного напрямку з кратними

частотами n=n, n=1,2,3,... одержимо періодичні, гармонічні коливання з

періодом Т=2/. І, навпаки, кожне періодичне коливання з періодом Т можна

представити як суму нескінченного числа простих гармонічних коливань із

частотами, кратними основній частоті T/2 .

Коливання з частотами, більшими , називаються гармоніками. Сукупність

таких гармонік утворює спектр коливань, який має дискретний характер. В той

же час, неперіодичне коливання також можна представити у вигляді розкладу по

гармонічним коливанням, в яких спектр частот буде неперервним (суцільним) із

частотами в деякому інтервалі (1,2).

4.9. Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань

Додавання двох взаємно перпендикулярних за напрямком коливань

матеріальної точки математично зводиться до знаходження траєкторії руху точки

на площині F(x,y)=0, методом виключення часу t, як параметру. Наприклад,

розглянемо коливання матеріальної точки, яке задається на площині рівняннями

tcosax , )tcos(by .

Проведемо очевидну послідовність операцій виключення параметра t:

a

xtcos ,

2

2

a

x1tsin , sintsincostcos

b

y

2

2

a

x1sincos

a

x

b

y , )

a

x1(sin)cos

a

x

b

y(

2

222

2

2

222

2

2

2

2

sina

xsincos

b

y

a

x2cos

b

x

b

y

i, остаточно, маємо рівняння траєкторії, яку описує точка, у вигляді:

2

2

2

2

2

sincosb

y

a

x2

b

x

b

y

Одержане рівняння в загальному випадку є рівнянням кривої другого

порядку. Розглянемо декілька прикладів:

а) Якщо різниця фаз коливань = , то sin=0, cos=-1 i загальне рівняння є

рівнянням прямої:

0b

y

a

x2

b

x

b

y2

2

2

2

0

b

y

a

x2

xa

by .

б) Якщо різниця фаз коливань = 0, то sin0=0, cos0=1 i загальне рівняння є

рівнянням прямої:

0b

y

a

x2

b

x

b

y2

2

2

2

0

b

y

a

x2

xa

by

в). Якщо різниця фаз коливань = 2

, то sin

2

=1, cos

2

=0 i загальне

рівняння є рівнянням еліпса:

x

a

y

b

2

2

2

21

з напівосями а та b.

4.10. Биття

При взаємодії двох коливань із близькими значеннями частот

спостерігається періодична зміна амплітуди результуючого коливання

(див.Мал.39). Це явище називається биттям. Нехай взаємодіють дві хвилі з

частотами ,, 21 , рівняння яких має вид

)tcos(Ay1 , (1)

]t)cos[(Ay2 , (2)

Результуюче коливання знайдемо у такий спосіб

]t)cos[(A)tcos(Ayyy 21

]t)2

cos[(2

tcosA2y

. (3)

В (3) знехтуємо доданком 2

у виразі

2

і одержимо

)tcos()t(ay , (4)

де амплітуда результуючого коливання а(t)

має вигляд

2

tcosA2)t(a

Величина а(t) повільно змінюється з

часом - її період

4Tб >

2T .

Частота 2/ називається циклічною

частотою биття.

На Мал.40 представлена суперпозиція

двох близьких за частотами коливань з

=410-2

рад/с і =2105 рад/с.

4.11. Контрольні питання

1. Дайте визначення коливального руху

2. Який рух називається періодичним

3. Дайте визначення гармонічного коливання

4. Дайте визначення пружної й квазипружної сили

5. Запишіть рівняння гармонічних коливань у комплексній формі

6. Дайте визначення пружинного маятника

7. Запишіть рівняння другого закону Ньютона для пружинного маятника

8. Запишіть диференціальне рівняння коливань для пружинного маятника у

канонічній формі

9. Дайте визначення математичного маятника

10. Запишіть рівняння другого закону Ньютона для математичного маятника

11. Який фізичний зміст малих коливань математичного маятника

12. Запишіть диференціальне рівняння вимушених коливань математичного

маятника в канонічному вигляді

13. Дайте визначення фізичного маятника

14. Запишіть рівняння другого закону Ньютона для фізичного маятника

15. Запишіть диференціальне рівняння вимушених коливань фізичного

маятника в канонічному вигляді

16. Дайте визначення крутильного маятника

17. Запишіть диференціальне рівняння вимушених коливань крутильного

маятника в канонічному вигляді

18. Дайте визначення вільних незгасаючих коливань

19. Розвжіть диферекціальне рівняння вільних незгасаючих коливань

20. Дайте визначення амплітуди, фази та початкової фази коливання

21. Дайте визначення власної частоти та визначіть період гармонічного

коливання

22. Знайдіть швидкість та прискорення гармонічного коливання

23. Знайдіть кінетичну, потенціальну та повну механічну енергію гармонічного

коливання

24. Дайте визначення вільних згасаючих коливань

25. Розвжіть диферекціальне рівняння вільних згасаючих коливань

26. Визначте аперіодичний рух

27. Визначте коливальний рух

28. Визначте частоту вільних згасаючих коливань

29. Визначте час релаксації

30. Визначте декремент та логарифмічний декремент згасання

31. Визначте добротність коливальної системи

32. Визначте вимушені коливання маятника

33. Визначте механічний резонанс та резонансну частоту

34. У чому полягає метод векторної діаграми

35. Визначте когерентні коливання

36. Визначте результат додавання двох когерентних гармонічних коливань

37. Знайдіть траєкторію руху точки, що здійснює взаємно перпендикулярні

гармонічного коливання

38. Визначте биття та виведіть рівняння і період биття

5.Хвилі

5.1. Хвильові процеси

У середовищі частинки зв’язані між собою силами взаємодії. Періодичне

невелике зміщення деякої частинки середовища з положення рівноваги викликає

зміщення сусідніх частино, тобто коливання одної з таких частинок викликає

вимушені коливання інших. Процес розповсюдження коливань в середовищі із

деякою швидкістю V називається хвилею. Якщо зміщення частинок від

положення рівноваги перпендикулярне швидкості V, то така хвиля називається

поперечною, а якщо паралельне V хвиля повздовжня. Швидкість хвилі

залежить від сили взаємодії між частинками середовища - чим більша сила

взаємодії, тим більша швидкість хвилі. Для твердого тіла

V=E

,

де Е модуль Юнга, густина речовини. Для повітря (газу)

V=

RT=

P,

де стала адіабати, R універсальна газова стала, Т температура, маса

моля речовини, густина повітря (газу), Р тиск газу.

Наведемо деякі визначення характеристик хвильового процесу.

1. Хвильовий фронт геометричне місце точок середовища, до яких

дійшли коливання.

2. Плоскою називається хвиля, у якої хвильовий фронт є нескінченною

площиною.

3. Сферичною називається хвиля, у якої хвильовий фронт є сферою.

4. Циліндричною називається хвиля, у якої хвильовий фронт обмежений

скінченою площиною.

5. Промінь уявна крива, дотична до якої визначає напрямок

розповсюдження коливань.

5.2. Рівняння хвилі, фаза та фазова швидкість

Рівняння хвилі, що розповсюджується в додатному напрямкові Ох, описує

величину відхилення y матеріальної точки від положення рівноваги, з

координатою х в момент часу t і має вигляд

)kxtcos(Ay . (1)

Дійсно, нехай джерело коливань

)tcos(Ay розміщено в початку

координат, і коливання розповсюджуються в

додатному напрямкові осі ОХ із швидкістю V

(див.Ма.41). В точку з координатою х коливання прийдуть із запізненням на час

розповсюдження V

x't , і тому рівняння коливання в цій точці в час t запишеться

так

])'tt(cos[Ay (2)

або

)xV

tcos(Ay

. (3)

Остаточно рівняння хвилі запишеться у вигляді

)kxtcos(Ay , (4)

де

2

Vk хвильове число.

В (4) косинус є періодичною функцією з періодом 2 , а тому можна

визначити її період по координаті х ]kxtcos[]kkxtcos[])x(ktcos[

k

2 ,2k

. (5)

За визначенням довжина хвилі відстань, на яку поширюється хвиля за

період коливань Т: =VT. З (4) видно, що довжина хвилі є періодом

просторового розподілу коливань частинок середовища.

Якщо коливання розповсюджуються в зворотному напрямі, то х замінюємо

на -х і рівняння зворотної хвилі має вигляд

)kxtcos(Ay . (6)

Величина kxt)t( в (4) називається фазою хвилі, а

kx)0t( - початкова фаза. Зафіксуємо величину фази на рівні сталої С

Ckxt . (7)

Візьмемо диференціал від лівої та правої частини (7)

0dxkdt . (8)

З (8) можна визначити величину

Vk

dt

xdV

, (9)

яка називається швидкістю розповсюдження фази коливань або фазовою

швидкістю і вона за величиною дорівнює швидкості хвилі.

5.3. Плоска хвиля

Рівняння плоскої хвилі має вигляд:

)rktcos(A

, (1)

де nkk

хвильовий вектор, V/k хвильове число, n

одиничний

вектор нормалі до хвильового фронту.

Дійсно, нехай джерелом коливань є нескінченно велика площина 1 (див.

Мал. 42) із нормаллю n

, що є хвильовим фронтом плоскої хвилі. Площина

проходить через початок координат. Нехай рівняння коливання точок в площині 1

має вигляд

=Acos(t+). (2)

Через час t' площина 1 переміститься на відстань d і займе положення 2.

Відстань між площинами визначається скалярним добутком rnd

, де r

радіус-вектор деякої точки А на площині. Коливання в цій площині запізнюються

на час V

d't і будуть мати вигляд

= Acos(t - t' + ) = Acos(t - V

d + ) = Acos(t - kd + ). (3)

Тепер, позначивши nkk

, можна записати:

)rktcos(A

, (4)

що й треба було довести.

Сферична хвиля. Рівняння сферичної

хвилі має вигляд

y=r

Acos(t-kr). (5)

Амплітуда сферичної хвилі зменшується

обернено пропорційно відстані r від джерела

хвиль, а енергія обернено пропорційна квадратові

відстані.

Циліндрична хвиля. Циліндрична хвиля

описується рівнянням плоскої хвилі з обмеженим

деякою плоскою поверхнею хвильовим фронтом.

Спектр частот хвиль. Під частотним спектром хвилі розуміють сукупність

частот, якими можна представити дану хвилю.

Хвиля з неперервним спектром частот хвиля, що містить значення

частоти коливань в деякому неперервному інтервалі частот від 1 до 2 (див.

Мал.43).

Хвиля з лінійчатим спектром частот хвиля, що містить коливання

дискретних значень частоти (див. Мал.44).

5.4. Енергія та інтенсивність хвилі

Якщо хвиля =Acos(t-kx+) розповсюджується в пружному середовищі, то

його частинки мають кінетичну Wк та потенціальну Wп енергії. Одиниця об'єму

має кінетичну енергію

2/VW 2чk (1)

i потенціальну

2/EW 2п , (2)

де

Vч =t

= - Аsin(t - kx + ) (3)

швидкість частинок, а

=

x = - Aksin(t - kx + ) (4)

відносне зміщення частинок, Е модуль Юнга. Квадрат хвильового числа,

визначений через величину швидкості тіла у твердому тілі, можна записати у

вигляді

EVk 2

2

2

. (5)

Урахувавши (3-5) в (1-2), одержимо повну енергію одиниці об'єму

пружного середовища (густину енергії) у вигляді

пk WWW

)kxt(sinAW 222 . (6)

Середнє за період Т значення повної енергії <W> визначається середнім

значенням sin

2(t - kx + ), яке дорівнює 1/2 i тепер:

2/AW 22 .

Інтенсивністю хвилі називається кількість енергії, яка проходить через

одиничний поперечний переріз за одиницю часу:

tS

WI

n

,

де W енергія, яка проходить через поперечний переріз Sn за час t. За час t

через Sn пройде енергія W, яка міститься в об'ємі V = Snl = Sn V·t і

дорівнює

W = < W > Sn V·t,

при цьому

І = 2

1А

2

2V.

5.5. Інтерференція хвиль

Когерентними називаються дві хвилі, частоти яких співпадають 1=2, а

різниця фаз (t)=Ф1-Ф2 за період змінюється менше ніж на . Надалі

розглядатимуться когерентні хвилі з =const.

На кожну частинку середовища, до якої приходять дві або декілька хвиль,

діють пружні сили, викликані коливаннями, що приносять ці хвилі.

Взаємодія когерентних хвиль призводить до перерозподілу їх енергії в

просторі. Це явище називається інтерференцією хвиль. Нехай в деякій точці

середовища взаємодіють дві когерентні хвилі. Результат взаємодії можна

визначити через додавання в цій точці двох коливань одного напрямку.

Математично це виражається у вигляді:

21 , (1)

де

)kxtcos(a 1111 , (2)

)kxtcos(a 2222 , (3)

причому

)tcos(A , (4)

де

cosaa2aaA 2122

21

2 , (5)

В (5)

2112 )xx(k . (6)

є різниця фаз хвиль, х1, х2 шлях, який пройшли коливання в середовищі.

Вирази (5-6) одержані з фазової діаграми для коливань (2-3).

Для інтенсивності коливання I ~ A2 і можна записати

cosII2III 2121 . (7)

У виразі (7) третій доданок називають інтерференційним членом.

Як видно з виразу амплітуди результуючого коливання, при додаванні

когерентних хвиль, в залежності від , може виникнути підсилення й послаблення

інтенсивності. Можливі два випадки, характерні для інтерференції. Нехай

12 , тоді 12 xxx різниця ходу хвиль, причому /x2 .

1.Якщо

n2 , то 1cos n2/x2

nx , (8)

а результуюча амплітуда дорівнює

21 aaA ,

і спостерігається максимум інтенсивності. Таким чином при інтерференції

максимум виникає якщо різниця ходу когерентних хвиль дорівнює цілому числу

довжин хвиль

nxmax .

2.Якщо

n2 , то 1cos )1n2(/x2

2/)1n2(x ,

а результуюча амплітуда дорівнює

|aa|A 21

і спостерігається мінімум інтенсивності. Мінімум інтерференції виникає, якщо

різниця ходу когерентних хвиль дорівнює напівцілому числу довжин хвиль

2/)1n2(xmix .

5.6. Акустичні хвилі

Акустичні хвилі хвилі з частотами в діапазоні від 16 Гц до 20 000 Гц, які

викликають у людини слухові (звукові) відчуття. Хвилі з < 16 Гц

інфразвукові, а хвилі з > 20000 Гц ультразвукові.

Звукові шуми акустичні хвилі з неперервним спектром.

Музикальні (тональні) звуки акустичні хвилі з лінійчатим спектром.

Кожна синусоїдальна хвиля називається звуковим тоном, а тон із найменшою

частотою 0 основним, тони з > 0 обертонами, якщо кратні 0

обертони називаються гармонічними (перша, друга і т.д. гармоніки).

Тембр звуку визначається набором обертонів їх частотами та

амплітудами.

Мірою сили слухового відчуття є гучність звуку, яка залежить від його

інтенсивності та частоти.

Порогом чутності називається та мінімальна інтенсивність звуку І0, при якій

звук сприймається органами слуху. Стандартний поріг чутності 212*0 Вт/м 10I

при =1000 Гц.

Порогом болевого відчуття називається та мінімальна інтенсивність звука

Іпор, при якій сприймання звуку органами слуху не викликає болевого відчуття.

Інтенсивність плоскої звукової хвилі - кількість енергії, що проходить за

одиницю часу через одиничну плоску поверхню перпендикулярно напрямкові

поширення хвилі і може бути представлена у вигляді (див.п.5.4)

VA2

1I 2 ,

де густина середовища, частота хвилі, А амплітуда хвилі, V

швидкість хвилі. Суб'єктивною, фізіологічною оцінкою інтенсивності звуку є

гучність звуку. З ростом інтенсивності звуку його гучність зростає за

логарифмічним законом. За об'єктивну оцінку гучності звуку беруть рівень

інтенсивності звуку *0I/IlgL .

Одиницею інтенсивності звуку є "Белл". У практиці користуються

одиницею у 10 разів меншою - децибелл (дБ).

Фізіологічною характеристикою є рівень гучності, що вимірюється в фонах. Так,

при інтенсивності в 1 дБ, звук чистого стандартного тону (1000 Гц) має рівності

гучності 1 фон.

Ультразвук. Ультразвук є акустичною хвилею з частотою > 20 кГц і

характеризується особливою властивістю поширюватися у вигляді строго

спрямованих променів. Це викликано високими частотами (малими довжинами

хвиль) ультразвуку. Для генерації ультразвуку використовуються змінні

електричні або магнітні поля, що діють, наприклад, на кварцеву пластину у

першому випадку зворотний п'єзоелектричний ефект, або феромагнтик у

другому випадку магнітострикція. В обох випадках у кристалах виникають

вимушені пружні деформації, що породжують у випадку резонансу (власні

частоти кристалів співпадають з частотами змушуючого поля) випромінювання

потужних ультразвукових хвиль.

Ультразвуки широко використовуються в техніці і промисловості, у

вивченні фізичних властивостей речовин, у медицині і біології і т.п.

5.7. Ефект Доплера

При взаємному рухові приймача та джерела хвиль, змінюється, порівняно з

частотою джерела хвиль, частота звукових коливань, яку реєструє приймач. Це

явище має назву ефекта Доплера.

1). Нехай джерело хвиль рухається відносно середовища зі швидкістю Vдж

(див.Мал.45.а). При цьому одне повне коливання розповсюдиться на відстань ,

що дорівнює

0

джVV

. (1)

2). Нехай тепер приймач рухається зі швидкістю Vпр (див.Мал.45.б). У кінці

першої секунди він буде сприймати мінімум, який на початку цієї секунди

відстояв від його теперішнього положення на відстані, чисельно рівній V. Таким

чином приймач сприйме за 1 с коливань з довжиною хвилі , що вміщуються

на відстані, чисельно рівній прVV . Частота коливання при цьому буде

дорівнювати

рпVV. (2)

Підставивши (1) у (2), одержимо

дж

рп

0VV

VV

. (3)

У виразах (1-3) швидкості прдж V i V є проєкціями векторів прдж V i V

на

пряму, що сполучає джерело та приймач.

Ефект Доплера розглянуто стосовно звукових хвиль, що поширюються у

об’ємі простору, заповненому матеріальним середовищем, без якого ці хвилі не

існують. Для електоромагнітних хвиль, які можуть існувати і без наявності

якогось середовища, розрахунок ефекта Доплера проводиться з урахуванням

релятивістського закону додавання швидкостей.

5.8. Стоячі хвилі

Якщо всі частинки середовища коливаються в фазі а амплітуда коливань

залежить від координати точки, то кажуть, що в середовищі виникла стояча

хвиля.

Для простоти розглянемо результат взаємодії двох зустрічних хвиль з

однаковими частотами й амплітудами. Нехай :

21 , (1)

де

)kxtcos(a1 , (2)

)kxtcos(a2 , (3)

причому

)2/tcos()x(A , (4)

В (4) А(х) є амплітудою стоячої хвилі, причому

)2/kxcos(a2)x(A . (5)

З (4) видно, що фаза стоячої хвилі Ф не

залежить від координати точки середовища, і

всі його точки коливаються з однаковою

фазою Ф=t+/2, але різними амплітудами.

Точки середовища, в яких А(х)

мінімальна, називаються вузлами, а точки, в

яких А(х) максимальна за величиною

пучностями стоячої хвилі. Нехай 0 , тоді

координати пучностей та вузлів визначаться

так: пучність А=2а при

/2nx n/x2 ,nkx maxmaxmax ;

вузли Аст=0 при

/41)n2(x 2/n/x2 ,2/nkx minminmin .

Відстань між двома сусідніми вузлами або пучностями називається

довжиною стоячої хвилі і вона дорівнює 2

ст

. На Мал.46 показано розподіл

амплітуди коливань частинок середовища в стоячій хвилі з вузлами та

пучностями в залежності від координати х.

5.9. Спектр власних частот одновимірних середовищ

Граничні умови для стоячих хвиль у випадку закритого стовпа повітря в

скляній трубці або натягнутої струни довжиною L полягають в тому, що при

жорстких закріпленнях, на кінцях трубки розміщуються вузли стоячої хвилі, що

можливо за умови, коли 2

nL n , n = 1, 2, 3, ... (див.Мал.47а). Така сама умова

буде, коли кінці трубки будуть відкриті, і на них будуть утворюватися пучності

(див.Мал.47б).

Якщо трубка з одного боку відкрита, а з іншого закрита, то на відкритому

кінці утворяться пучності, а на закритому вузли. Це можливо при

42nL nn

, n = 0, 1, 2, ... (див.Мал.48).

Частоти n , що відповідають

наведеним умовам називаються

власними і їх величина для закритої або

відкритої з двох кінців трубки

становить

L2

Vnn ,

а для напівзакритої трубки

L2

V)

2

1n(n ,

де V фазова швидкість

хвилі. 4

5 4

3 4

321

15.10. Групова швидкість

Експериментально доведено, що будь-яка не синусоїдальна хвиля у

лінійному середовищі може бути представлена сумою деяких синусоїдальних

хвиль (принцип суперпозиції хвиль). Сукупність частот цих хвиль є лінійним

спектром складного хвильового сигнала. Для графічного зображення спектра по

осі ОХ відкладаються частоти спектра, а по осі OY їх амплітуди.

В нелінійному середовищі інформаційний сигнал завжди представляється у

вигляді складної хвилі і може бути представлений як суперпозиція групи

монохроматичних хвиль, що поширюються у середовищі з різними швидкостями.

При цьому пакет "розпливається" - форма сигналу змінюється з часом. Для

розуміння сутності процесу передачі інформації у часі, покладемо, що такий

сигнал, як деяке значення величини амплітуди, передається за допомогою

суперпозиції лише двох хвиль з близькими частотами та +d (d<<) і

хвильовими числами k та k+dk (dk<<k) у вигляді

,21 (1)

]x)dkk(t)dcos[(a ),kxtcos(a 11 . (2)

Результат додавання таких хвиль дає

xdk)-td(2

12acosA(x) ),kxtcos()x(A . (3)

Швидкість передачі сигналу у вигляді деякої сталої амплітуди, називається

груповою швидкістю і вона визначається рівнянням

constxdk-td . (4)

Варіація по змінним t та x від (4) дає таке рівняння

0dkx-dt . (5)

З (5) знайдемо групову швидкість u - швидкість поширення сталої

амплітуди

dk

d

t

xu

. (6)

Групова швидкість u реальному середовищі може бути визначена через

фазову швидкість V та довжину хвилі так

,dk

d

d

dVkV

dk

)kV(d

dk

du

kk

2)

k

2(

dk

d

dk

d2

d

dV-Vu . (7)

Коли фазова швидкість є зростаючою функцією , то 0d

dV

(нормальна

дисперсія) і групова шкидкість менше фазової u<V, а для спадної функції

u>V. У разі відсутності дисперсії )0d

dV(

групова та фазова швидкості будуть

однаковими u=V.

5.11. Диференціальне рівняння хвилі

Рівняння хвилі

)rktcos(0

є рішенням диференціального рівняння

2

2

22

2

2

2

2

2

tV

1

zyx

,

або

2

2

2 tV

1

, (1)

де V-швидкість поширення хвилі, -оператор суми частинних похідних другого

порядку по просторовим змінним x,y,z від (x,y,z), який ще називають оператором

Лапласа. Щоб упевнитися в цьому, знайдемо вказані другі частинні похідні від

(x,y,z):

)tsin(kx

x0

kr ,

2x

2x02

2

k)tcos(kx

kr ,

)tsin(ky

y0

kr ,

2y

2y02

2

k)tcos(ky

kr ,

)tsin(kz

z0

kr ,

2z

2z02

2

k)tcos(kz

kr ,

)tsin(t

0

kr , )tcos(

y

202

2

kr =-

2.

Знаходячи просторові похідні, ми зважили на те, що скалярний добуток rk

дорівнює zkykxkrk zyx

. Сума лівих частин других частинних похідних по

x,y,z дає

2

2

2

2

2

2

zyx,

а сума правих частин дає

22z

2y

2x -k )kkk(

Таким чином, порівнюючи значення з одержаних рівнянь, маємо

2

2

22 t

1

k

1

,

або

2

2

2

2

t

k

. (2)

У (2) відношення 2

2k

дорівнює

2V

1, а тому з (2) остаточно маємо

диференціальне рівняння хвилі у вигляді (1).

2

2

2 tV

1

5.12. Контрольні питання

1. Дайте визначення

1.1. хвилі.

1.2. поперечної хвилі.

1.3. поздовжньої хвилі.

1.4. хвильовому фронту.

1.5. плоскої хвилі.

1.6. сферичної хвилі.

1.7. циліндричної хвилі.

2. Наведіть формули для визначення хвилі швидкості хвилі в:

2.1. твердому тілі.

2.2. газах.

2.3. рідині.

3. Виведіть рівняння хвилі.

4. Визначте фазову швидкість та знайдіть вираз для неї.

5. Визначіть:

5.1. хвильове число.

5.2. довжину хвилі.

6. Запишіть рівняння зворотної хвилі.

7. Виведіть рівняння плоскої хвилі.

8. Запишіть рівняння сферичної хвилі.

9. Дайте визначення неперервного спектру частот хвилі.

10. Дайте визначення лінійчатого спектру частот.

11. Виведіть формулу для енергії хвилі у твердому тілі.

12. Визначіть інтенсивність хвилі.

13. Які хвилі називаються когерентними?

14. Визначіть явище інтерференції хвиль.

15. Запишіть інтерференційний член для інтенсивності хвилі.

16. Знайдіть положення максимумів інтерференції.

17. Знайдіть положення мінімумів інтерференції .

18. Що являють акустичні хвилі?

19. Визначіть звукові шуми.

20. Визначіть звуковий тон.

21. Визначіть основни тон та обертони.

22. Які обертони називаються гармонічними?

23. Визначіть:

23.1. тембр звуку,

23.2. гучність звуку,

23.3. поріг чутності

23.4. поріг болевого відчуття

24. Дайте визначення інтенсивності плоскої звукової хвилі.

25. Що являє собою льтразвук?

26. Як можна здійснити генерацію ультразвуку.

27. Що являє собою зворотний п'єзоелектричний ефект?

28. Дайте визначення ефекта Доплера та запимшіть формули для частот.

29. Що являє собою стояча хвиля?

30. Виведіть рівняння стоячої хвилі.

31. Знайдіть положення вузлів та пучностей стоячої хвилі.

32. Визначіть довжину стоячої хвилі.

33. Як можна знайти спектр власних частот тіла.

34. Вивести рівняння для спектра власних частот стовпа повітря в закритій та

35. Напівзакритій трубці.

36. Складіть диференціальне рівняння хвилі.