Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства

та природокористування

Кафедра хімії та фізики

05-06-46

Методичні вказівки

до практичних занять

із навчальної дисципліни «Фізика»

розділ «КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ»

для студентів інженерно-технічних напрямів підготовки

денної, заочної та дистанційної форм навчання

Рекомендовано науково-

методичною радою НУВГП

протокол № від 2015 р.

РІВНЕ – 2015

2

Методичні вказівки до практичних занять з навчальної дис-

ципліни «Фізика» розділ «Коливання і хвилі» для студентів ін-

женерно-технічних напрямів підготовки денної, заочної та дис-

танційної форм навчання / В.Р. Гаєвський, В.А. Рибалко,

Б.П. Рудик. Рівне: НУВГП, 2015. – 48 с.

Упорядники:

Гаєвський В.Р., кандидат технічних наук, доцент кафедри хімії та

фізики НУВГП;

Рибалко М.В., кандидат педагогічних наук, доцент кафедри хімії

та фізики НУВГП;

Рудик Б.П., завідувач лабораторій кафедри хімії та фізики

НУВГП.

Відповідальний за випуск:

Гаращенко В.І., канд. техн. наук, доцент кафедри хімії та фізики

© Гаєвський В.Р., Рибалко В.А.,

Рудик Б.П., 2015

© Національний університет водного гос-

подарства та природокористування, 2015

3

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА ............................................................................................ 4

1. КОЛИВАННЯ ....................................................................................... 5

1.1. Гармонічні коливання та їх характеристики .......................... 5

1.2 Механічні коливні системи (математичний маятник,

фізичний маятник) ............................................................................... 6

1.3. Енергія гармонічних коливань .................................................. 7

1.4. Додавання гармонічних коливань ............................................. 8

1.5. Згасаючі коливання .................................................................... 10

1.6. Вимушені коливання .................................................................. 11

1.7. Електромагнітні коливання ...................................................... 12

1.8. Приклади розв’язування задач................................................. 14

2. ХВИЛІ ................................................................................................... 23

2.1. Хвилі та їх характеристики ....................................................... 23

2.2. Рівняння плоскої хвилі. Хвильове рівняння ......................... 24

2.3. Енергія пружної хвилі ................................................................ 26

2.4. Стоячі хвилі .................................................................................. 27

2.5. Звукові хвилі. Ефект Доплера .................................................. 28

2.6. Електромагнітні хвилі. Шкала електромагнітних хвиль ... 30

2.7. Енергія електромагнітних хвиль. Вектор Умова-Пойтінга 33

2.8. Приклади розв’язування задач................................................. 33

3. ЗАДАЧІ ................................................................................................. 40

Література ................................................................................................ 48

4

ПЕРЕДМОВА

Метою «Методичних вказівок» є допомогти студентам інже-

нерно-технічних напрямів підготовки денної, заочної та дистанційної

форм навчання вищих навчальних закладів опанувати навики

розв’язування задач з розділу «Коливання і хвилі».

«Методичні вказівки» розроблено відповідно до програми на-

вчальної дисципліни «Фізика» НУВГП. В них містяться короткі тео-

ретичні відомості з розділу «Коливання і хвилі», приклади

розв’язування задач, задачі для самостійного розв’язування, довідко-

вий матеріал та список літератури.

В теоретичних відомостях є виведення основних формул і

співвідношень вони є достатніми для опанування розв’язування задач

з розділу «Коливання і хвилі», тому перед розв’язуванням задач необ-

хідно ознайомитись з теорією даної теми та прикладами розв’язування

задач. В процесі розв’язування необхідно користуватись даними таб-

личних величин, наведених в кінці «Методичних вказівок». Для пог-

либленого вивчення теоретичного матеріалу необхідно користуватись

літературою, з відповідного списку літератури.

Для розв’язування задач необхідно дотримуватись традиційно-

го алгоритму, який полягає у виконанні таких етапів: запис умови у

скороченій формі; уніфікація даних у Системі Інтернаціональній (СІ);

зображення малюнка або графіка (при необхідності); послідовний ло-

гічний виклад (з поясненнями) з отриманням розрахункової формули;

перевірка розмірностей; підстановка у формулу уніфікованих даних і

розрахунок з використанням правил заокруглення; аналіз отриманих

результатів.

Автори бажають успіху студентам у вивченні фізики.

5

1. КОЛИВАННЯ

1.1. Гармонічні коливання та їх характеристики

Коливаннями називають процеси, які повторюються періодично. В

залежності від механізму виникнення коливань розглядають механіч-

ні, електромагнітні, електромеханічні і т. д. В залежності від характе-

ру сил, що діють на коливну систему коливання класифікують: вільні

(власні), згасаючі, вимушені, випадкові тощо.

Диференціальне рівняння гармонічних коливань наступне

020 =+ xωx

.., (1.1)

де х – зміщення коливної величини від певного заданого положення

(наприклад, від положення рівноваги), ω0 – циклічна частота власних

коливань. Легко показати, що розв’язком рівняння (1.1) є гармонічні

функції

( )αtωAx += 0cos або ( )αtωAx += 0sin . (1.2)

Коливання, в яких зміна фізичної

величини в залежності від часу

відбувається за законом синуса

або косинуса, називаються гармо-

нічними. В (1.2): А – амплітуда

коливань – найбільше значення

коливної величини (наприклад,

максимальне зміщення від поло-

ження рівноваги), 0ω – власна

циклічна частота, ( )αtω +0 – фаза коливань, α – початкова фаза.

Проміжок часу, протягом якого здійснюється одне коливання, на-

зивається періодом коливань Т. Зв’язок циклічної частоти з періодом

та лінійною частотою ν такий

,22

0 πνT

πω == (1.3)

де T

ν1

= – кількість коливань, здійснених за одиницю часу. [ν]=Гц

(Герц)

T

T

A 0

x

t

Рис. 1.1

6

1.2 Механічні коливні системи (математичний маятник, фізичний

маятник)

Математичний маятник – це матеріаль-

на точка, підвішена на довгій нерозтяжній

невагомій нитці, що здійснює коливання під

дією сили тяжіння τFr

(рис. 1.2) – повертаю-

чої сили

ϕsinmgFτ −= ,

напрямленої до положення рівноваги. При

малих кутах відхилення ϕϕ ≈sin і

ϕmgFτ −= , (1.4)

тобто ця сила є квазіупружною. Вона спри-

чиняє прискорення точки, тангенціальна

складова якого

ϕϕ

τ&&l

dt

dl

dt

Sd

dt

da ====

2

2

2

2v. (1.5)

За ІІ законом Ньютона

τFma =τ . (1.6)

Підставляючи (1.4) і (1.5) у (1.6), отримаємо

,0=+ ϕϕl

g..

і, ввівши позначення 2

0ωg

=l

, отримаємо

02

0 =+ ϕωϕ&& . (1.7)

Диференціальні рівняння (1.7) і (1.1)

мають розв’язки у вигляді гармонічних фун-

кцій (1.2). Математичний маятник здійснює

гармонічні коливання з періодом

gπT

l2= . (1.8)

Фізичний маятник – це тіло, яке може

коливатись навколо осі, що не проходить

через його центр мас (рис. 1.3), де O – вісь

коливання, OC = l – відстань від осі до

ϕ l

gmr

lFr

τFr

Рис. 1.2

ϕ

l

τFr

lFr

gmr

O

C

Рис. 1.3

7

центра мас тіла. Повертаючою силою є тангенціальна складова сили

тяжіння ϕτ sinmgF −= , яка для малих кутів відхилення ( )ϕϕ ≈sin є

квазіпружною

ϕτ mgF −= . (1.9)

Момент цієї сили відносно осі О

ϕτ mglFM −== l . (1.10)

Згідно з основним законом динаміки обертового руху ..

IIM ϕε == , (1.11)

де І – момент інерції фізичного маятника, ϕε &&= – кутове прискорен-

ня. Підставляючи (1.10) у (1.11), отримаємо

ϕϕ lmgI..

−=

або

0=+ ϕϕI

mg.. l. (1.12)

Вираз (1.12) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань

фізичного маятника з власною циклічною частотою

I

mgω

l=0 , (1.13)

де Lm

I=

l – зведена довжина фізичного маятника.

Період коливань фізичного маятника

g

LπT 2= . (1.14)

Зведена довжина фізичного маятника L – це довжина такого мате-

матичного маятника, який має такий самий період коливань, як і фізи-

чний.

1.3. Енергія гармонічних коливань

Оскільки квазіпружна сила, що є причиною гармонічних коливань,

є потенціальна, то у випадку механічних коливань повна механічна

енергія зберігається і дорівнює їх сумі:

nk WWW += .

Кінетична енергія матеріальної точки

8

( ) ( )αωtωAmxmmυ

Wk +=== 222

22

sin222

&. (1.15)

Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні

коливання

( )αωtωAm

xmωkx

Wn +=== 222222

cos222

. (1.16)

Склавши (1.15) і (1.16), отримаємо повну енергію

22

2ωA

mW = . (1.17)

Отже, енергія гармонічних коливань пропорційна квадрату амплі-

туди і не залежить від часу.

1.4. Додавання гармонічних коливань

Додавання однаково направлених гармонічних коливань

Нехай матеріальна точка бере участь у двох однаково направлених

гармонічних коливаннях однакової частоти, але з різними амплітуда-

ми і початковими фазами:

( )111 cos αωtAx += ,

( )222 cos αωtAx += .

Очевидно, результуюче коливання є також гармонічним і буде

описуватись виразом

( )αωtAx += cos .

Складемо коливання векторним способом. Для цього у момент ча-

су t = 0 побудуємо векторну діаграму додавання цих коливань (рис.

1.4), відклавши амплітуди як вектори під кутом 1α та 2α до осі x.

Оскільки вектори амплітуд

обертаються з однаковою кутовою

швидкістю, рівною циклічній час-

тоті ω, то кут між векторами 2Ar

і

1Ar

залишається рівним α2 – α1.

Тоді результуючий вектор

21 AAArrr

+= .

З рис. 1.4 за теоремою косину-

сів маємо Рис. 1.4

9

( )1221

2

2

2

1

2 cos2 ααAAAAA −++= (1.18)

З рис. 1.4 видно, що початкову фазу результуючого коливання

можна визначити за співвідношенням

2211

2211

coscos

sinsin

αAαA

αAαA

OB

BCtgα

+

+== . (1.19)

Додавання взаємно перпендикулярних гармонічних коливань

Нехай точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикуля-

рних коливаннях однакової частоти:

( )αωtAx += cos (1.20)

( )βω += tBy cos , (1.21)

де А і В, α і β – відповідно амплітуди і початкові фази першого і дру-

гого коливань.

Встановимо рівняння траєкторії точки, виключивши із (1.20) і

(1.21) час t . Для цього перепишемо (1.20) і (1.21) у вигляді

αωtαωtA

xsinsincoscos ⋅−⋅= , (1.22)

βωtβωtB

ysinsincoscos ⋅−⋅= . (1.23)

Після перетворень отримаємо рівняння траєкторії:

( ) ( )αβαβBA

xy

B

y

A

x−=−

⋅−+ 2

2

2

2

2

sincos2

. (1.24)

Рівняння (1.24) являє собою рівняння еліпса, характеристики якого

визначаються значенням різниці початкових фаз (β – α).

Розглянемо частинні випадки:

1) Нехай ( ) ,παβ k±=− де ...,2,1,0=k ; тоді ( ) ,0sin =−αβ а

( ) 1cos ±=−αβ і рівняння (1.24) буде рівнянням прямої

,xA

By m= (1.25)

Таким чином, результуюче коливання залишається лінійним.

2) Нехай ( ) ( )2

12π

αβ +±=− k ; тоді

( ) ( ) 1sin,0cos ±=−=− αββ a . Траєкторією результуючого ко-

ливання буде еліпс, який описується рівнянням

10

12

2

2

2

=+B

y

A

x. (1.26)

При А = В (1.26) переходить у коло. При проміжних значеннях

(β – α) одержуються еліпси з різною орієнтацією своїх осей відносно

осей координат.

Якщо взаємно перпендикулярні коливання відбуваються з різними

частотами, то результуючі траєкторії мають більш складний вигляд.

Замкнуті траєкторії, які утворюються при додаванні взаємно перпен-

дикулярних гармонічних коливань називаються фігурами Ліссажу.

1.5. Згасаючі коливання

Реальні коливання відбуваються в умовах дії сил тертя (опору). І

тому, реальні коливні системи є дисипативними, в яких механічна

енергія частково втрачається, що призводить до поступового змен-

шення амплітуди, тобто до згасання коливань. Для спрощення обме-

жимось випадком лінійного коливання матеріальної точки у в’язкому

середовищі. Якщо швидкість коливного руху невелика, то сила опору

пропорційна до швидкості і напрямлена проти швидкості, тобто

xrrfоп &−=−= v ,

де r – коефіцієнт опору.

Тоді, за другим законом Ньютона

xrkxxm &&& −−= . (1.27)

Введемо позначення:

βm

r;

m

kω 22

0 == . (1.28)

З врахуванням (1.27) і (1.28) отри-

маємо диференціальне рівняння зга-

саючих коливань

022

0 =++ xβxωx &&& . (1.29)

Розв’язком (1.29) є рівняння зга-

саючих коливань

( )αωteAx βt +⋅= − cos0 . (1.30)

З (1.30) видно, що амплітуда ко-

ливань зменшується з часом за експо-

ненціальним законом (рис. 1.5) βteAA −= 0 . (1.31)

t

x te β−

Рис. 1.5

11

Із (1.31) видно, що β чисельно дорівнює оберненій величині часу

релаксації τ, протягом якого амплітуда зменшується в е раз. Дійсно,

якщо eA

A=0 , то із (1.31) слідує, що

τββτ

1або1 == . (1.32)

Зручно користуватись поняттям логарифмічного декременту зга-

сання λ, як натурального логарифму відношення двох послідовних

амплітуд (через період Т)

( ) TeeA

eAλ βT

Ttβ

βt

β===+−

−

lnln0

0 . (1.33)

1.6. Вимушені коливання

Для того, щоб в реальній коливній системі забезпечити незгасаючі

коливання, необхідно постійно до неї підводити енергію ззовні. І то-

му, розглянемо коливання матеріальної точки, на яку, окрім квазіпру-

жної сили kxf пр −= і сили опору xrfоп &−= , діє додаткова періодич-

на вимушуюча сила

ωtFFвм cos0= ,

де ω – частота вимушуючої сили.

Тоді, за другим законом Ньютона маємо

ωtFkxxrxm cos0+−−= &&& , (1.34)

і диференціальне рівняння вимушених коливань буде мати вигляд

ωtfxωxβx cos2 0

2

0 =++ &&& , (1.35)

де m

Ff,

m

rβ,

m

kω 0

0

2

0 2 === . (1.36)

Для усталеного режиму розв’язок рівняння (1.35) має вигляд

( )αωtAx += cos , (1.37)

де

( ) 22222

0

0

4 ωβωω

fA

+−= , (1.38)

і 22

0

2

ωω

βωtgα

−−= . (1.39)

Із (1.38) видно, що:

12

1) при ω → 0 А → А0 = 2

0

0

ω

f

2) при ω → ∞ А → 0

3) при ω → ω0; β = 0 А → ∞

Досягнення максимального значення амплітуди вимушених коли-

вань, коли вимушуюча частота ω наближається до власної частоти ω0,

називається резонансом (рис. 1.6).

Резонансна частота

22

0 2βωωр −= . (1.40)

Амплітуда при резонансі

22

0

0

2 βωβ

fAр

−= . (1.41)

При інженерних розрахунках

слід враховувати явище резонансу,

оскільки в техніці часто він відіграє

вагому роль.

1.7. Електромагнітні коливання

Електромагнітними коливан-

нями називаються процеси, при

яких періодично змінюються з ча-

сом електричні і магнітні величини

(заряд, струм, напруженість поля

тощо). Система, в якій генерують-

ся електромагнітні коливання на-

зивається коливним контуром. Ро-

зглянемо коливний контур, який

складається з конденсатора ємніс-

тю С, котушки із індуктивністю L

та резистора з опором R (рис. 1.7).

За ІІ законом Кірхгофа для такого контура

dt

dILUIR −=+ . (1.42)

Рис. 1.6

L C +q

R I

–q U εci

Рис. 1.7

13

Оскільки dt

dqI

C

qU == , , і е.р.с. самоіндукції в котушці

dt

dILic −=..ε , а також ввівши позначення:

L

Rβ;

LCω == 2

12

0 , (1.43)

отримаємо диференціальне рівняння коливань заряду на пластинах

конденсатора

02 2

0 =++ qωqβq &&& , (1.44)

де ω0 – власна циклічна частота коливань, β – коефіцієнт згасання.

За аналогією з механічними коливаннями розв’язок цього рівнян-

ня має вигляд

( )αωteqq βt += − cos0 , (1.45)

де циклічна частота згасаючих коливань рівна

22

0 βωω −= . (1.46)

Період електромагнітних коливань

222

0

2

1

222

−

=−

==

L

R

LC

π

βω

π

ω

πT . (1.47)

Якщо опір R = 0 (ідеальний контур), то період коливань

LCT π2= . (1.48)

Вираз (1.48) називають формулою Томпсона для гармонічних еле-

ктромагнітних коливань.

Якщо в коливному контурі з ємністю С, індуктивністю L, опором

R є періодично діюча вимушуюча електрорушійна сила

ωtεε cos0= ,

то в такому контурі існуватимуть вимушені електромагнітні коливан-

ня і згідно ІІ закону Кірхгофа

ωtdt

dILUIR ε cos0+−=+ , (1.49)

з врахуванням (1.43), диференціальне рівняння вимушених електро-

магнітих коливань буде наступним:

ωtL

qωqβqε

cos2 02

0 =++ &&& . (1.50)

14

Розв’язок цього рівняння для усталеного режиму має вигляд

( )αωtqq += cos0 . (1.51)

Амплітуда вимушених коливань (q0) і початкова фаза (α) визнача-

ються за формулами:

2

222

2

00

1

L

ωRω

LCL

qε

+

−

= , (1.52)

ωCωL

R

ωω

βωtgα

1

222

0 −

=−

−= . (1.53)

Згідно (1.50) і (1.51) закон Ома для змінного струму має вигляд

2

2

0

1

cos

−+

=

ωLωC

R

ωtI

ε (1.54)

1.8. Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Матеріальна точка масою m = 5 г здійснює гармонічні

коливання з частотою ν0 = 0,5 Гц. Амплітуда коливань А = 3 см. Ви-

значити: 1) модуль швидкості v точки в момент часу, коли зміщення

x = 1,5 см; 2) максимальне значення модуля діючої сили Fmax; 3) повну

енергію W точки.

Розв’язання

Рівняння гармонічних коливань має вигляд

( )αω += tAx 0sin ,

де ω0 – власна циклічна частота, α – початкова фа-

за коливань. Продиференціювавши це рівняння,

отримаємо вираз для проекції вектора швидкості

( )αωω +== tAxx 00 cosv & .

Щоб пов’язати цю величину зі зміщенням, заданим в умові задачі, пі-

днесемо обидва виписані рівняння до квадрату і додамо одержані ви-

рази:

( )αω += tAx 0222 sin ,

( )αωω += tAx 022

022

cosv ,

Дано:

m = 5 г

ν0 = 0,5 Гц

А = 3 см

х = 1,5 см

v ? Fmax ? W ?

15

1v

20

2

2

2

2

=+ωAA

x x .

Звідси 220v xAx −±= ω .

Врахуємо тепер зв’язок циклічної частоти з лінійною 00 2πνω = і

вираз модуля вектора через його проекції, котрий в одновимірному

випадку зводиться до xvv = . Остаточно маємо

2202v xA −= πν .

Щоб розрахувати величину Fmax, запишемо другий закон Ньютона

у проекціях на напрям вектора прискорення ar

xx maF = .

Проекцію прискорення знайдемо як похідну по часу від проекції шви-

дкості

( )αωω +−== tAa xx 020 sinv& .

Тепер

( ) ( )απνπν +== tmAFF x 02

0 2sin2 .

Очевидно, що maxFF = , якщо ( ) 12sin 0 =+ απν t , тому остаточно

( ) mAF 20max 2πν= .

Повну механічну енергію коливної точки розраховують за форму-

лою 220

2ωmAW = , отже:

( )202 νπAmW = .

Виписуємо тепер значення величин в міжнародній системі одиниць

і виконуємо числовий розрахунок:

кгm 3105 −⋅= ; мА 2103 −⋅= ; ìx 2105,1 −⋅= ;

( ) ( ) ( )см22222 102,8105,11035,014,32v −−− ⋅=⋅−⋅⋅⋅= ;

( ) ( )НF 3322max 105,11051035,014,32 −−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;

( ) ( )ДжW 5223 102,25,010314,31052 −−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= .

Відповідь: ссм2,8v = , мНF 5,1max = , мкДжW 22= .

16

Приклад 2. Записати рівняння коливання, отриманого при скла-

данні двох однаково направлених гармонічних коливань

смtx

+=

25sin21

ππ та смtx

+=

45sin32

ππ .

Розв’язання

Результатом додавання двох гармоніч-

них коливань однакової частоти та однако-

вого напрямку є теж гармонічне коливання

тієї ж частоти і того самого напрямку

( )αω += tAx 0sin ,

де амплітуда А розраховується за форму-

лою

( )122122

21 cos2 αα −++= AAAAA ,

а початкова фаза α знаходиться з рівняння

2211

2211

coscos

sinsintg

αα

ααα

AA

AA

+

+= .

Величини А1, А2, α1, α2 та ω0 маємо з порівняння загального вигля-

ду рівняння гармонічних коливань і рівнянь з умови задачі:

смA 21 = , смA 32 = , 2

1π

α = , 4

2π

α = , 10 5 −= сπω .

Маємо:

( )смA 6,424

cos32232 22 =

−⋅⋅⋅++=

ππ,

παππ

ππ

α 35,0,943,1

4cos3

2cos2

4sin3

2sin2

tg ==

+

+= .

Тепер рівняння результуючого коливання

( )смtx ππ 35,05sin6,4 += .

Відповідь: ( )смtx ππ 35,05sin6,4 += .

Приклад 3. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взає-

мно перпендикулярних гармонічних коливаннях, рівняння яких:

tAx ωcos1= та tAy2

cos2ω

= , де смA 11 = , смA 22 = , 1−= сπω . Знай-

Дано:

смtx

+=

25sin21

ππ

смtx

+=

45sin32

ππ

( )?tx

17

ти рівняння траєкторії точки. Побудувати траєкторію з дотриманням

масштабу.

Розв’язання

Щоб знайти рівняння траєкторії (рівняння, що

пов’язує змінні x та y), виключимо час t з рівнянь, що

задані в умові. Для цього використаємо формулу

2

cos1

2cos

αα +±= . Оскільки tωα = , отримаємо

2

cos1

2cos 22

tAtAy

ωω +±== .

Але з першого рівняння умови задачі 1

cosA

xt =ω ,

тому остаточно рівняння траєкторії буде наступним:

+⋅±=

12 15,0

A

xAy .

Це – рівняння параболи, вісь якої співпа-

дає з віссю Ох. З вихідних рівнянь умови

задачі бачимо, що зміщення точки по осях

координат обмежене, а саме смx 1≤ ,

смy 2≤ .

Для побудови траєкторії знайдемо за

робочою формулою значення у, що відпо-

відають ряду значень х з інтервалу

смx 1≤ , і складемо таблицю

Побудуємо тепер графік.

Відповідь:

+⋅±=

12 15,0

A

xAy .

Приклад 4. Дано фізичний маятник у формі стрижня довжиною

l = 1 м і масою 3m1 з прикріпленим до одного з його кінців обручем

діаметром d = 0,5 l і масою m1. Горизонтальна вісь Oz маятника про-

Дано:

tAx ωcos1=

tAy2

cos2ω

=

смA 11 =

смA 22 =

1−= сπω

( )?xy

х, см -1 -0,75 -0,5 0 +0,5 +1

у, см 0 ±0,707 ±1 ±1,41 ±1,73 ±2

18

ходить через середину стержня перпендикулярно до нього (див. рис.).

Визначити період Т коливань такого маятника.

Розв’язання

Період коливань фізичного маятника визначають за

формулою

g

LT π2= ,

де g – прискорення вільного падін-

ня, L – зведена довжина маятника,

яка рівна

cml

IL = ,

де m – маса маятника, lс – відстань від центра мас

до осі коливань, I – момент інерції маятника відно-

сно цієї осі. Вісь коливань на рисунку проходить

через т. О перпендикулярно до площини рисунка.

Тепер період коливань буде визначатись за форму-

лою

cmgl

IT π2= . (1)

Момент інерції маятника рівний сумі моментів інерції стержня І1 та обруча І2

21 III += . (2)

Момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його

центр мас перпендикулярно до самого стержня, визначається за фор-

мулою 21

12

1lmI стр= , тому

211

4

1lmI = .

Момент інерції обруча знайдемо з використанням теореми Штей-

нера 20 maII += , де: І – момент інерції відносно довільної осі, І0 –

момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас (в даному

випадку обруча) паралельно до заданої осі; а – відстань між цими

осями. Одержуємо для обруча

21

2

1

2

128

5

4

3

4lm

lm

lmI =

+

= .

Дано:

l = 1 м

mстр = 3m1

d = 0,5 l mобр = m1

Т ?

19

Підставляючи вирази І1 та І2 у формулу (2), знайдемо

21

21

21

8

7

8

5

4

1lmlmlmI =+= .

Відстань lс розраховуємо, виходячи з означення центра мас системи

матеріальних точок (м.т.), точніше, з формули для обчислення коор-

динати центра мас

∑

∑=

ii

iii

c m

xm

X , і – номер м.т.

( 0=x зручно вибрати в т. О, а саму вісь Ох направити до центра мас

обруча; при цьому cc lX = ).

( )l

mm

lmlc

16

3

3

430

11

1 =+

+= .

Підставляючи у формулу (1) вирази І, lс та масу маятника (4m1),

знайдемо період його коливань

g

lT

6

72π= .

Числовий розрахунок

( )сT 2,28,96

714,32 =

⋅⋅= .

Відповідь: 2,2 с.

Приклад 5. Амплітуда згасаючих коливань за час t1 = 20 с зменши-

лася у два рази. У скільки разів вона зменшиться за час t2 = 1 хв?

Розв’язання

Залежність амплітуди згасаючих коливань від часу

визначається співвідношенням teAA β−= 0 ,

де AA =0 при 0=t , β – коефіцієнт згасання. Запишемо

згадане співвідношення для моментів часу t1 і t2:

.

,

2

1

02

01

t

t

eAA

eAA

β

β

−

−

=

=

Перепишемо цю систему рівнянь у формі:

Дано:

t1 = 20 с

21

0 =A

A

t2 = 1 хв

?2

0

A

A

20

.

,

2

1

2

0

1

0

t

t

eA

A

eA

A

β

β

−

−

=

=

Очевидно, що ( ) 1

2

12 t

ttt ee ββ = , тому відразу отримаємо робочу фор-

мулу

1

2

1

0

2

0 t

t

A

A

A

A

= .

Виконаємо числовий розрахунок

ct 602 = ;

82 20

60

2

0 ==A

A.

Відповідь: у вісім разів.

Приклад 6. Знайти жорсткість пружини ресори вагона, вага якого з

вантажем Р = 5⋅105 Н, якщо при швидкості, модуль якої v = 12 м/с, ва-

гон сильно розгойдується внаслідок поштовхів на стиках рейок. Дов-

жина рейки l = 12,8 м. Вагон має 4 ресори.

Розв’язання

Значне розгойдування вагона виникає тоді, коли

період власних коливань вагона з вантажем співпа-

дає з періодом сили, котра викликає його вимушені

коливання.

Період дії змушувальної сили знайдемо, розділи-

вши довжину рейки на модуль швидкості вагона,

тобто

v

lT = .

Період власних коливань вагона з вантажем (пружинного маятни-

ка) визначається за формулою

систk

mT π2= ,

де m – маса системи, систk – жорсткість системи з паралельно

з’єднаних однакових пружин. Врахуємо, що потенціальна енергія та-

Дано:

Р = 5⋅105 Н

v = 12 м/с

l = 12,8 м

n = 4

k ?

21

кої системи стиснених пружин рівна n енергій однієї пружини, адже

зміщення х у всіх пружин одне

22

22 kxn

xkсист = .

Тому knkсист ⋅= . Разом з тим, gPm = , g – прискорення вільного

падіння.

Прирівняємо праві частини двох формул для розрахунку періоду

gnk

Pl 22

4v

π=

.

Звідси 2

v4

=

lgn

Pk

π.

Числовий розрахунок:

( )мНk 525

101,48,12

1214,3

48,9

1054⋅=

⋅

⋅

⋅⋅= .

Відповідь: 0,41 МН/м.

Приклад 7. В коливальному контурі, індуктивність якого

L = 0,01 Гн, заряд конденсатора зменшується в десять разів за час, рів-

ний періоду коливань Т = 1⋅10-5

с. Визначити опір контура.

Розв’язання

Рівняння згасаючих електромагнітних коливань

має вигляд

( ) ( )αωβ += − teqtq t cos0 ,

де ( )tq – заряд у довільний момент часу t, ( )00 qq = ,

β – коефіцієнт згасання, ω – циклічна частота згаса-

ючих коливань, α – початкова фаза.

Через період коливань заряд стане рівним

( ) ( ) ( )( )αωβ ++=+ +− TteqTtq Tt cos0 .

Оскільки πω 2=T (зв’язок циклічної частоти з періодом), то

( )( ) ( ) ( )αωπαωαω +=++=++ ttTt cos2coscos , тому маємо

( )( ) ( )

TTt

te

eq

eq

Ttq

tq ββ

β

==+ +−

−

0

0

або

Дано:

L = 0,01 Гн

( )( )

10=+Ttq

tq

Т = 1⋅10-5 с

R ?

22

( )( )Ttq

tqT

+= lnβ .

Коефіцієнт згасання для електромагнітних коливань

L

R

2=β ,

тому попереднє співвідношення приймає вигляд

( )( )Ttq

tq

L

RT

+= ln

2

або

( )( )Ttq

tq

T

LR

+= ln

2.

Числовий розрахунок:

( )ОмR 3

5106,410ln

101

01,02⋅=

⋅

⋅=

−.

Відповідь: 4,6 кОм.

Приклад 8. Коливальний контур складається з конденсатора, єм-

ність якого С = 1/3⋅10-8

Ф, та котушки з індуктивністю 61012 −⋅=L Гн.

Знайти період вільних коливань у контурі, коефіцієнт згасання та ло-

гарифмічний декремент згасання, якщо опір котушки R = 60 Ом.

Розв’язання

Період згасаючих електромагнітних коливань

2

2

1

2

−

=

L

R

LC

Tπ

.

Коефіцієнт згасання

L

R

2=β .

Логарифмічний декремент згасання

Tβλ = .

Підставимо значення фізичних величин у формули:

( )сT 7

2

686

1015

10122

60

103

11012

1

14,32 −

−−−

⋅≈

⋅⋅−

⋅⋅⋅

⋅= ;

Дано:

С = 1/3⋅10-8 Ф

L = 12⋅10-6 Гн

R = 60 Ом

T ? β ? λ ?

23

( )16

6105,2

10122

60 −−

⋅=⋅⋅

= сβ , 75,31015105,2 76 =⋅⋅⋅= −λ

Відповідь:. сT 71015 −⋅= , 16105,2 −⋅= сβ , 75,3=λ

2. ХВИЛІ

2.1. Хвилі та їх характеристики

Хвиля – це процес поширення коливань у середовищі. Якщо коли-

вання створити в деякій обмеженій частині середовища, то внаслідок

наявності зв’язку між молекулами середовища коливання будуть охо-

плювати все середовище, тобто будуть поширюватись у середовищі.

Частинки середовища, в якому поширюється хвиля, не перено-

сяться хвилею, вони лише здійснюють коливання навколо положення

рівноваги. Хвилі, в яких частинки коливаються перпендикулярно до

напрямку поширення хвилі, називаються поперечними. Хвилі, в яких

частинки коливаються вздовж поширення хвилі, називаються поздо-вжніми. Поперечні хвилі поширюються в середовищах, де має місце

деформація зсуву, тобто в твердих тілах. Поздовжні хвилі поширю-

ються в середовищах, де має місце деформація розтягу (розширення,

стиску), тобто в газах, рідинах і твердих тілах.

Геометричне місце точок, до яких доходять коливання в момент

часу t, називається фронтом хвилі. Геометричне місце точок, які коли-

ваються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Фронт

хвилі весь час переміщується,

а хвильові поверхні залиша-

ються нерухомими (хвильових

поверхонь існує безліч). Хви-

льові поверхні можуть бути

довільної форми. Найпростіші

хвильові поверхні мають ви-

гляд сфер або площин. Тоді

такі хвилі називаються сфери-

чними або плоскими. Сферичні хвилі поширюються від точкових

джерел, плоскі – від протяжних джерел.

λ

λ

0

ξ

x

Рис. 2.1

24

2.2. Рівняння плоскої хвилі. Хвильове рівняння

Встановимо рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі x.

Це рівняння повинно виражати залежність змінної фізичної величини

ξ (наприклад, зміщення коливної точки) від координати x і часу t ( )tx,ξξ = .

Знайдемо вигляд ξ у випадку плоскої хвилі. Для спрощення вісь

координат направимо вздовж напрямку поширення хвилі. Нехай точки

джерела, що знаходиться при 0=x , коливаються за законом

( ) ωtA,tξ cos0 = .

До точки з координатою x (рис. 2.1) коливання прийдуть із запіз-

ненням на час

v

x=τ ,

де v – фазова швидкість поширення хвилі, тобто швидкість перемі-

щення фази хвилі. Тоді рівняння коливання в точці х буде мати вигляд

( ) ( )

−=−=

vcoscos,

xtωAτtωAtxξ . (2.1)

Це і є рівнянням плоскої хвилі, яке часто записують у формі

( ) ( ),cos2

cosv

2cos kxωtA

λ

πxωtA

T

πxωtAx,tξ −=

−=

−= (2.2)

де T

πω

2= – циклічна частота;

λ

πk

2= – хвильове число; Tv=λ –

довжина хвилі.

Довжина хвилі λ – це шлях, який проходить хвиля за час, рівний

періоду коливань, або відстань між найближчими точками, що коли-

ваються в однаковій фазі (рис. 2.1). Відмітимо, що поняття плоскої

хвилі передбачає постійність амплітуди, тобто нехтується поглинан-

ням енергії середовищем.

Можна показати, що у випадку довільного напрямку поширення

хвилі (наприклад, сферичної) рівняння хвилі має вигляд

( ) ( )rkωtA,trξrrr

−= cos , (2.3)

де nkkrr

⋅= – хвильовий вектор, nr

– одиничний вектор нормалі до

хвильової поверхні, rr

– радіус-вектор хвильової поверхні

( kzjyixrrrrr

++= , kjirrr

,, – орти).

У комплексній формі рівняння хвилі (2.3) можна записати таким

чином:

25

( ) ( )rkωtiAe,trξrrr −= , (2.4)

де 1−=i ; такий запис полегшує математичні перетворення.

Хвильове рівняння – це диференціальне рівняння в часткових по-

хідних, розв’язком якого є рівняння хвилі і яке має вигляд

2

2

22

2

2

2

2

2

v

1

t

ξ

z

ξ

y

ξ

x

ξ

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂, (2.5)

або 2

2

2v

1∆̂

t

ξξ

∂

∂= , (2.6)

де 2

2

2

2

2

2

∆̂z

ξ

y

ξ

x

ξξ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= (2.7)

оператор Лапласа.

Поширення коливань у пружному середовищі зумовлене поши-

ренням деформації середовища під дією джерела хвилі. І тому, швид-

кість поширення хвилі повинна визначатись пружними характеристи-

ками середовища. Зокрема, швидкість поздовжніх хвиль в твердих

тілах

ρ

E=v , (2.8)

в рідинах і газах

ρ

K=v , (2.9)

де Е – модуль Юнга, K – модуль всебічного стиску.

Швидкість поперечних хвиль в твердих тілах

,vρ

G= (2.10)

де G – модуль зсуву.

Швидкість звуку в газах

,vµ

γ RT= (2.11)

де V

p

C

C=γ – відношення молярних чи питомих теплоємностей при

сталих тиску та об’єму, R – універсальна газова постійна, Т – термо-

динамічна температура, µ – молярна маса газу.

26

2.3. Енергія пружної хвилі

Енергія пружної хвилі складається з кінетичної енергії коливного

руху частинок і потенціальної енергії, зумовленої деформацією. Вибе-

ремо елементарний циліндр пружного середовища ∆V настільки ма-

лим, щоб відносна деформація x

ξ

∂

∂=ε і швидкість

t

ξ

∂

∂=v у всіх точ-

ках об’єму, відповідно, були однаковими. Тоді потенціальна енергія

елементарного деформованого циліндра

Vx

ξEV

EεWn ∆

2∆

2∆

22

⋅

∂

∂== .

Оскільки 2vρE = , то потенціальна енергія

Vx

ξρWn ∆

2

v∆

22

∂

∂= . (2.12)

Кінетична енергія об’єму ∆V

Vt

ξρ

t

ξmmWk ∆

222

v∆

222

∂

∂=

∂

∂== , (2.13)

де m = ρ∆V – маса об’єму ∆V.

Тоді повна густина енергії – енергія одиниці об’єму

∂

∂+

∂

∂==

2

2

2

2

1

∆

∆

x

ξv

t

ξρ

V

Ww . (2.14)

Врахувавши вираз для рівняння плоскої хвилі

( )kxωtAξ −= cos ,

отримаємо:

( )kxωtωρAw −= 222 sin . (2.15)

Оскільки усереднене по часу значення квадрату синуса дорівнює

½, то середнє значення густини енергії в кожній точці

22

2

1ωρAw = . (2.16)

Потік енергії Ф – це фізична величина, чисельно рівна енергії, яка

переноситься хвилею за одиницю часу через деяку поверхню

t

WФ

∆

∆= . (2.17)

Під густиною потоку розуміють енергію, яка переноситься хвилею

за одиницю часу через одиничну нормальну площу, тобто

27

S

Ф

tS

Wj

∆

∆

∆∆

∆== . (2.18)

Енергія, яка переноситься че-

рез нормальну площу ∆S за час ∆t, очевидно, рівна енергії, зосере-

дженій в об’ємі циліндра висотою

t∆v з основою ∆S (рис. 2.2), тоб-

то

tSwW v∆∆∆ ⋅= .

Тоді вектор густини потоку енергії jr

, який називають вектором

Умова, буде рівним

vv rr

rw

tS

tSwj =

∆⋅∆

∆⋅∆= . (2.19)

Середня енергія, що переноситься хвилею за одиницю часу через

одиничну нормальну площу, називається інтенсивністю хвилі І,

22v2

1vv ωρ AwwjI ====

rr, (2.20)

2.4. Стоячі хвилі

Якщо на біжучу хвилю

−=

vcos1

xtωAξ

накладається відбита від перешкоди хвиля

+=

vcos2

xtωAξ ,

то утворюється стояча хвиля. Рівняння стоячої хвилі можна отримати

аналітичним додаванням

)21.2(.cosv

cos2v

sinsin

vcoscos

vsinsin

vcoscos21

ωtx

ωAx

ωωtA

xωωtA

xωωtA

xωωtAξξξ

⋅=⋅−

−⋅+⋅+⋅=+=

З рівняння (2.21) видно, що стояча хвиля не «біжить», а її амплітуда

залежить від координати x:

t∆⋅v

vr

S∆

Рис. 2.2

28

( )v

cos2x

ωAxAAст == . (2.22)

Точки з максимальною амплі-

тудою називаються пучностями, а

точки з нульовою амплітудою –

вузлами (рис. 2.3).

Умовою пучності є

1v

cos =x

ω , (2.23)

що можливо, якщо mπx

ω =v

, де ...,3,2,1,0=m Тоді координати пу-

чностей

2

vmax

λm

ω

πmx == . (2.24)

Умовою вузлів є

0v

cos =x

ω ,

що можливо, якщо

( )2

12v

πω += m

x, де ...,3,2,1,0=m

Тоді координати вузлів

( )( )

412

v2

12

min

λm

ω

πm

x +=⋅+

= . (2.25)

Із (2.24) і (2.25) та з рис. 2.3 видно, що відстань між сусідніми пу-

чностями і між сусідніми вузлами складає 2λ , а між сусіднім вузлом

і пучністю – 4λ . На перешкоді формується пучність або вузол, в за-

лежності від величини хвильових опорів ( )vρ середовища і перешко-

ди. Якщо ( ) ( )21

vv ρρ < , як на рис. 2.3, то на перешкоді виникає вузол.

Це зумовлене зміною фази відбитої хвилі на π. Якщо ж ( ) ( )21

vv ρρ > ,

то зміна фази відсутня і на перешкоді – пучність.

2.5. Звукові хвилі. Ефект Доплера

Звуковими (або акустичними) хвилями називаються пружні хвилі,

що розповсюджуються в середовищі, з частотами 16 – 20000 Гц. Хвилі

x

ξ перешкода

пучності

вузли

0

( ) ( )21

vv ρρ < Рис. 2.3

29

вказаних частот, діючи на органи слуху людини, викликають відчуття

звуку, хвилі з Гц16<ν (інфразвукові) і кГц20>ν (ультразвукові)

органами слуху людини не сприймаються.

Інтенсивністю звуку (силою звуку) називається величина, що ви-

значається середньою по часу енергією, перенесеною звуковою хви-

лею за одиницю часу через одиницю площі поперечного перерізу

tS

WІ

⋅= . (2.26)

Одиниця інтенсивності звуку в СІ 2мВт .

Дія звуку зумовлена звуковим тиском. Звуковий тиск – змінний

тиск у середовищі, зумовлений поширенням у ньому звукових хвиль.

Величина звукового тиску Р оцінюється силою дії звукової хвилі на

одиницю площі й виражається у Н/м², або Па.

Мірою дії звуку є гучність. Одиницею абсолютної шкали гучності є

сон. Гучність в 1 сон – це гучність безперервного чистого синусоїда-

льного тону частотою 1 кГц, що створює звуковий тиск 2 мПа. Рівень інтенсивності звуку L, що виражається в децибелах (дБ), ви-

ражається формулою

0

lg10I

IL = , (2.27)

де 2

12

0 10м

ВтІ −= – інтенсивність звуку на порозі чутності.

Фізіологічною характеристикою звуку є рівень гучності Lф, який

виражається в фонах (фон)

0

lg10I

IL фф = (2.28)

де Іф – інтенсивність звуку частоти Гц1000=ν , рівногучного з дос-

ліджуваним звуком. Гучність для звуку в 1000 Гц (частота стандарт-

ного чистого фону) дорівнює 1 фон, якщо рівень інтенсивності дорів-

нює 1 дБ. Оскільки вухо людини має логарифмічну характеристику

реакції на звук, в акустиці часто застосовують вимірювання звукового

тиску логарифмічною шкалою у децибелах. Ця шкала називається рі-

внем звукового тиску L0. За точку відліку цієї шкали приймається най-

тихіший звук, який може сприйняти вухо людини при частоті 1 кГц,

який відповідає тиску – ПаР 5

0 102 −⋅= . Оскільки Z

PI

2

= (де Z –

30

акустичний опір, (Па·с)/м), співвідношення між двома шкалами ви-

значається так:

0

2

0

2

0 lg20lg10Р

Р

Р

РL == , (2.29)

Рівень звукового тиску виражається в дБ (децибелах).

Ефектом Доплера називається зміна частоти хвиль, реєстрованих

приймачем, яка відбувається внаслідок руху джерела цих хвиль і

приймача. У випадку, коли джерело і приймач звуку рухаються

вздовж з’єднуючої їх прямої зі швидкістю джv і прv , відповідно, то

частота коливання ν , сприйнята приймачем, виражається рівністю

0vv

vvνν ⋅

±

±=

дж

пр (2.30)

причому знак «+» береться, коли при русі джерела чи приймача відбу-

вається їх зближення, знак «-» – у випадку їх взаємного віддалення 0ν

– частота коливань джерела, v – швидкість поширення звуку. Якщо

напрямки швидкостей джv і прv не співпадають з прямою, що прохо-

дить через джерело і приймач, то замість цих швидкостей у формулу

(2.30) необхідно брати їх проекції на напрям цієї прямої.

2.6. Електромагнітні хвилі. Шкала електромагнітних хвиль

Електромагнітні хвилі – це процес поширення електромагнітних

коливань у просторі. Джерелом електромагнітних хвиль може бути

відкритий коливальний контур. Вперше електромагнітні хвилі були

експериментально вивчені Герцом у 1888 році.

Для генерування в просторі електромагнітної

хвилі використовують відкритий коливальний кон-

тур – вібратор Герца (рис. 2.4). Коли різниця поте-

нціалів між кульками досягає значної величини і

між ними проскакує іскра, у просторі навколо віб-

ратора поширюються електромагнітні хвилі.

Відомо, що електромагнітне поле описується системою рівнянь

Максвелла. Розв’язуючи ці рівняння для випадку непровідного сере-

довища ( )0=прj і відсутності вільних зарядів ( )0=ρ , отримаємо:

∼ Рис. 2.4

31

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

2

2

002

2

2

2

2

2

2

2

002

2

2

2

2

2

t

H

z

H

y

H

x

H

t

E

z

E

y

E

x

E

rrrr

rrrr

µεµε

µεµε

. (2.26)

Система (2.26), є системою хвильових рівнянь для електричної і

магнітної складових електромагнітного поля. Таким чином, електро-

магнітне поле поширюється в навколишньому середовищі у вигляді

електромагнітних хвиль. З порівняння (2.26) і (2.5) отримаємо для фа-

зової швидкості поширення електромагнітної хвилі

εµεµµε

c=⋅=

11v

00

, (2.27)

де 810998.2 ⋅=c м/с –швидкість поширення цих хвиль у вакуумі

( )1,1 == µε .

Співпадання значен-

ня с зі швидкістю світла

у вакуумі дозволило

Максвеллу стверджува-

ти, що світло є електро-

магнітною хвилею.

Розв’язуючи систе-

му (2.26) для одномірно-

го випадку (вздовж осі Ох), отримаємо рівняння плоскої електромагні-

тної хвилі (рис. 2.5):

( )( )

−=

−=

.cos

,cos

max

max

kxωtHH

kxωtEE. (2.28)

Видно, що електромагнітна хвиля – поперечна, при цьому напрям-

ки коливань Er

та Hr

– взаємно перпендикулярні.

Електромагнітні хвилі мають широкий діапазон довжин хвиль або

частот, які залежать від способу їх генерації; зокрема, радіохвилі ма-

ють довжини м44 1010 ÷= −λ , для інфрачервоних, світлових, ультра-

фіолетових: м46 1010 −− ÷=λ , для рентгенівського і γ-

випромінювання: м813 1010 −− ÷=λ . Радіохвилі генеруються вібрато-

рами; світлові та рентгенівські хвилі – молекулами і атомами; γ-

промені – ядрами.

Er

Hr x,v

r

Рис. 2.5

32

Шкала електромагнітних хвиль

Довжина хвилі,

м

Частота, Гц Назва Випромінювач

106-10

4 3·10

2-3·10

4 Наддовгі Електротехнічні при-

строї

104-10

3 3·10

4-3·10

5 Довгі

(радіохвилі)

Відкритий

коливальний контур

103-10

2 3·10

5-3·10

6 Середні (радіох-

вилі)

102-10

1 3·10

6-3·10

7 Короткі

(радіохвилі)

101-10

–1 3·10

7-3·10

9 Ультракороткі

10–1

-10–2

3·109-3·10

10 Телебачення

(НВЧ)

10–2

-10–3

3·1010

-3·1011

Радіолокація

10–3

-7,5·10–7

3·1011

-

4,0·1014

Інфрачервоне

випромінювання

Тепловий рух моле-

кул

7,5·10–7

-4,0·10–

7

4,0·1014

-

7,5·1014

Видиме світло Збуджені молекули,

атоми

4,0·10–7

-10–9

7,5·1014

-

3·1017

Ультрафіолетове

випромінювання

Збуджені молекули,

атоми

10–9

-10–12

3·1017

-3·1020

Рентгенівське

випромінювання

(м’яке)

Рентгенівська трубка

10–12

-10–14

3·1020

-3·1022

Рентгенівське,

гамма-

випромінювання

(жорстке); гам-

ма-

випромінювання

Радіоактивні перет-

ворення, збуджені

атоми.

< 10–14

> 3·1020

Космічні промені Радіоактивні перет-

ворення, збуджені

атоми.

33

2.7. Енергія електромагнітних хвиль. Вектор Умова-Пойтінга

Перенос енергії електромагнітною хвилею описується вектором

Умова-Пойтінга, який є аналогом вектора Умова для механічних

хвиль, тобто це вектор густини потоку електромагнітної хвилі

vrr

wj = . (2.29)

Об’ємну густину енергії знайдемо як суму об’ємних густин елект-

ричної і магнітної складових

22

20

20 µHµεEε

www магел +=+= . (2.30)

З розв’язку рівнянь Максвелла випливає наступне співвідношення

HµµEεε 00 = . (2.31)

Об’єднавши (2.30) та (2.31), отримаємо

v00

EHEHw =⋅= εµµε , (2.32)

а з урахуванням (2.29), в загальному вигляді (у векторній формі)

HEjrrr

×= . (2.33)

Інтенсивність електромагнітної хвилі

EHHEjI =×==rrr

, (2.34)

оскільки HErr

⊥ .

Враховуючи (2.28), отримаємо

( ) maxmax2

maxmax2

1cos HEkxtHEI ⋅=+−⋅= αω . (2.35)

2.8. Приклади розв’язування задач Приклад 1. Плоска хвиля поширюється вздовж прямої зі швидкіс-

тю, модуль якої v = 20 м/с. Дві точки, що розміщені на цій прямій на

відстанях х1 = 12 м та х2 = 15 м від джерела хвилі, коливаються з різ-

ницею фаз πϕ 75,0=∆ . Знайти довжину хвилі λ, написати рівняння

хвилі і знайти зміщення вказаних точок в момент часу ct 2,1=′ , якщо

амплітуда коливань А = 0,1 м та початкова фаза хвилі 0=α .

34

Розв’язання

Рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі

ОХ, має вигляд

( )

+

−= αωζ

vcos,

xtAtx , (1)

де: ( )tx,ζ – зміщення в точці, що на відстані х від дже-

рела, в момент часу t; ω – циклічна частота коливань.

Фаза хвилі – аргумент косинуса, тому різниця фаз

( )1221

vvvxx

xt

xt −=−

−−+

−=∆

ωαωαωϕ .

Оскільки Tπω 2= , а довжина хвилі T⋅= vλ (Т – пері-

од коливань), то маємо

λ

πω

v2= (2)

і ( ) λπϕ 122 xx −=∆ . Звідси

( )ϕ

πλ

∆

−= 122 xx

. (3)

Рівняння хвилі (1) тепер запишемо з урахуванням формули (2)

( ) ( )

+−= α

λ

πζ xtAtx v

2cos, (4).

Підставимо у робочі формули (3) і (4) значення фізичних величин.

( ) ( )м875,0

12152=

−=

π

πλ ,

( ) ( ) мxttx

−= 20

4cos1,0,

πζ .

Тепер розрахуємо ( )tx ′,1ζ та ( )tx ′,2ζ :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .71,025,2cos1,0152,1204

cos1,0,

;1,03cos1,0122,1204

cos1,0,

2

1

мммtx

мммtx

≈=

−⋅=′

−==

−⋅=′

ππ

ζ

ππ

ζ

Відповідь: м8=λ ; ( ) ( ) мxttx

−= 20

4cos1,0,

πζ ; ( ) мtx 1,0,1 −=′ζ ;

( ) мtx 71,0,2 ≈′ζ .

Дано:

v = 20 м/с

х1 = 12 м

х2 = 15 м

πϕ 75,0=∆

ct 2,1=′

А = 0,1 м

0=α

λ ?

( )?, txζ

( )?,1 tx ′ζ

( )?,2 tx ′ζ

35

Приклад 2. Один кінець пружного стержня з’єднаний із джерелом

гармонічних коливань, що підлягають закону tA ωζ sin= , а інший

кінець жорстко закріплений. Враховуючи, що відбивання у місці за-

кріплення стержня відбуваються від більш густішого середовища, ви-

значте: 1) рівняння стоячої хвилі; 2) координати вузлів; 3) координати

пучностей.

Розв’язання Рівняння падаючої хвилі

−=

vsin1

xtωAξ ,

рівняння відбитої –

+−=

+

+=

vsin

vsin2

xtωA

xtωAξ π

(врахували зміну фази відбитої хвилі на π, оскільки відбивання відбу-

вається від більш густого середовища). Додавши два попередніх рів-

няння, отримаємо рівняння стоячої хвилі

( )

.cos2

sin2

cosv

sin2v

sinv

sin, 21

ωtx

A

ωtx

ωAx

tωAx

tωAξξtxξ

⋅−=

=⋅−=

+−

−=+=

λ

π

(при виведенні використали відому тригонометричну формулу

2cos

2sin2sinsin

βαβαβα

+−=− ).

В точках середовища, де ...),2,1,0(2

=±= kkx

πλ

π, амплітуда

коливань λ

πxA

2sin2 дорівнює нулю (спостерігаються вузли), в точ-

ках середовища, де ...),2,1,0(2

12=

+±= kk

xπ

λ

π, амплітуда ко-

ливань досягає максимального значення 2А (спостерігаються пучнос-

ті). Отже:

координати вузлів ...),2,1,0(2

=±= kkxвλ

,

Дано: tA ωζ sin=

1) ( )?, txζ

;

2) хв; 3) хп.

36

координати пучностей ...),2,1,0(22

1=

+±= kkxn

λ.

Відповідь: 1) ( ) ωtx

Atxξ cos2

sin2, ⋅−=λ

π;

2) ...),2,1,0(2

=±= kkxвλ

; 3) ...),2,1,0(22

1=

+±= kkxn

λ.

Приклад 3. Нерухомий приймач при наближенні джерела звуку,

що випромінює хвилі з частотою Гц3600 =ν , реєструє звукові коли-

вання з частотою Гц4000 =ν . Вважаючи, що температура повітря

КТ 290= , його молярна маса молькгМ 029,0= , визначте швид-

кість руху джерела звуку.

Розв’язання Виходячи із загальної формули для ефекту

Допплера в акустиці та враховуючи, що

приймач нерухомий, а джерело наближається

до приймача, отримаємо

джυυ

υνν

−= 0 ,

де υ – швидкість поширення звуку. Звідси

−=

ν

νυυ 01дж . (1)

Швидкість поширення звукових хвиль в газах

M

RTγυ = , (2)

де коефіцієнт Пуассона для повітря дорівнює 4,15

72==

+=

і

іγ .

Підставивши (2) в (1), знайдемо шукану швидкість руху джерела

звуку

M

RTдж

γ

ν

νυ

−= 01 .

Підставляючи в останню формулу дані, отримаємо

Дано:

Гц3600 =ν

Гц400=ν

КТ 290=

молькгМ 029,0=

?−джυ

37

( )смдж 1,34029,0

29031,84,1

400

3601 =

⋅⋅

−=υ .

Відповідь: см1,34 .

Приклад 4. Плоска електромагнітна хвиля поширюється в однорі-

дному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю 2=ε та

магнітною проникністю 1=µ . Модуль амплітуди напруженості елек-

тричного поля хвилі мВE 12max = . Визначити: 1) фазову швидкість

хвилі; 2) модуль амплітуди напруженості магнітного поля хвилі.

Розв’язання

Фазова швидкість електромагнітних хвиль

εµυ

c= .

Модулі напруженостей електричного і магніт-

ного полів хвилі Е та Н пов’язані співвідношенням

,00 HE µµεε =

де 0ε і 0µ – електрична та магнітна сталі відповідно.

Оскільки рівняння плоскої хвилі (записане через модулі векторів Er

та

Hr

) має вигляд

( )( )

+−=

+−=

αω

αω

kxtHH

kxtEE

cos

cos

0

0,

де ω – циклічна частота, t – час, k – хвильове число, x – відстань від

джерела хвилі до точки простору, α – початкова фаза, то маємо анало-

гічний зв’язок між модулями амплітуд напруженостей

0000 HE µµεε = .

Звідси

0

0

00 EH

µµ

εε= .

Числовий розрахунок:

смc 8100,3 ⋅= ;

Дано:

2=ε 1=µ

мВE 12max =

v ? Hmax ?

38

( )см88

101,22

100,3⋅=

⋅=υ ;

( )ìÀH 3

7

12

0 1045121014,34

21085,8 −−

−

⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅= .

Відповідь: см8101,2 ⋅=υ ; мАH 2

0 105,4 −⋅= .

Приклад 5. Довжина електромагнітної хвилі у вакуумі, на яку на-

лаштований коливальний контур, дорівнює 12 м. Нехтуючи активним

опором контуру, визначте максимальний заряд qm на обкладках кон-

денсатора, якщо максимальна сила струму в контурі АІт 1= .

Розв’язання

Оскільки активним опором контуру можна

знехтувати, то його період коливань визначається

формулою Томсона

LCT π2= , (1)

де С – ємність конденсатора, L – індуктивність

котушки контуру.

Згідно закону збереження енергії – максимальна енергія електрич-

ного поля конденсатора дорівнює максимальній енергії магнітного

поля котушки (тепловими втратами енергії нехтуємо, оскільки актив-

ний опір контуру є мізерним). Звідки 2

22

22

=⇒=

m

mmm

I

qLC

LI

C

q. (2)

Підставляючи (2) в (1), отримаємо:

m

m

I

qT π2= . (3)

Період коливань контуру дорівнює періоду електромагнітної хвилі,

на яку він налаштований. Виразимо цей період через довжину хвилі λ та швидкість її поширення с

сT

λ= . (4)

Прирівнюючи (3) і (4), отримаємо формулу шуканої величини

c

Iq m

m π

λ

2= .

Дано:

м12=λ

АІт 1=

смс 8103 ⋅=

qm ?

39

Обчислимо значення максимального заряду конденсатора

Клqm9

81037,6

10314,32

121 −⋅=⋅⋅⋅

⋅= .

Відповідь: нКлqm 37,6= .

Приклад 6. У вакуумі поширюється плоска електромагнітна хвиля

інтенсивністю 21,2 мкВт/м2. Визначте амплітуду напруженості елект-

ричного поля хвилі.

Розв’язання

Згідно виразу (2.34) інтенсивність пло-

скої електромагнітної хвилі

EHHEjI =×==rrr

, (1)

де Е та Н – миттєві значення напруженос-

тей електричного і магнітного полів хвилі,

що описуються рівняннями:

( )( )

−=

−=

kxtHH

kxtEE

ω

ω

cos

cos

0

0.

Миттєве значення вектора Умова-Пойтінга

( )kxtHEj −= ω200 cos ,

а його середнє значення

002

1HEj = (2)

(врахували, що ( )2

12 =− kxtños ω ). Оскільки

00

00 EH

µµ

εε= (3)

(див. приклад 4), то підставивши (3) у (2) та враховуючи (1), знайдемо

шукану амплітуду напруженості електричного поля

εεµµ 000 2IE = .

Обчислюючи, отримуємо

мВE 126,01085,81041012,22 1275

0 =⋅⋅⋅⋅= −−− π .

Відповідь: мВмE 126,00 = .

Дано:

1=ε 1=µ

ìÔ120 1085,8 −⋅=ε

ìÃí70 104 −⋅= πµ

251012,2 ìÂò² −⋅=

Е0 ?

40

3. ЗАДАЧІ

Гармонічні коливання

1. Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою

А = 50 мм, періодом Т = 4 с і початковою фазою ϕ = π/4. Знайти змі-

щення х коливної точки від положення рівноваги при t1 = 0 та

t2 = 1,5 с. Побудувати графік цього руху.

2. Початкова фаза гармонічного коливання ϕ = 0. Через яку частину

періоду швидкість точки буде рівна половині від її максимальної шви-

дкості?

3. Протягом якого часу від початку руху точка, що коливається згід-

но рівняння

= tx

2sin7

π, проходить шлях від положення рівноваги

до максимального зміщення?

4. Амплітуда гармонічного коливання А = 5 см, період Т = 4 с. Знай-

ти максимальні значення модуля швидкості maxv і модуля приско-

рення maxa коливної точки.

5. Рівняння руху точки дано у вигляді

+=

42sin2

ππtx см. Знайти

період коливань Т, максимальні значення модуля швидкості maxv і

модуля прискорення maxa точки.

6. Рівняння руху точки задано у вигляді tx6

sinπ

= . Знайти моменти

часу t, в які досягаються максимальна швидкість і максимальне прис-

корення.

7. Точка виконує гармонічне коливання з періодом Т = 2с, ампліту-

дою А = 50 мм, початковою фазою ϕ = 0. Знайти модуль швидкості v

точки в момент часу, коли зміщення точки від положення рівноваги

х = 25 мм.

8. Початкова фаза гармонічного коливання ϕ = 0. При зміщенні точ-

ки від положення рівноваги x1 = 2,4 см модуль швидкості точки

v1 = 3 см/с, а при зміщенні x2 = 2,8 см – v2 = 2 см/с. Знайти амплітуду А

та період Т цього коливання.

9. Рівняння коливання матеріальної точки масою m = 16 г має вигляд

+=

44sin2

ππtx см. Побудувати графік залежності від часу t (в ме-

41

жах одного періоду) кінетичної Wk, потенціальної Wn і повної W енер-

гії точки.

10. Знайти відношення кінетичної енергії Wk точки, що гармонічно

коливається, до її потенціальної енергії Wп для моментів часу:

а)t = Т/12; б) t = Т/8; в) t = Т/6. Початкова фаза коливань ϕ = 0.

11. Знайти відношення кінетичної енергії Wk точки, що гармонічно

коливається, до її потенціальної енергії Wп для моментів часу, коли

зміщення точки від положення рівноваги складає: а) 4Ax = ;

б) 2Ax = ; в) Ax = , де А – амплітуда коливань.

12. Повна енергія тіла, що гармонічно коливається, 30=W мкДж; ма-

ксимальне значення модуля діючої сили 5,1max =F мН. Записати рів-

няння руху цього тіла, якщо період коливань Т = 2 с і початкова фаза ϕ = π/3.

13. Амплітуда гармонічних коливань матеріальної точки А = 2см, по-

вна енергія коливань 3,0=W мкДж. При якому зміщенні х від поло-

ження рівноваги модуль діючої на точку сили 5,22=F мкН?

Складання коливань

14. Написати рівняння руху, що одержується внаслідок складання

двох однаково напрямлених гармонічних коливань з однаковим періо-

дом Т = 8 с і однаковою амплітудою А = 0,02 м. Різниця фаз між цими

коливаннями 412 πϕϕ =− . Початкова фаза одного з цих коливань

рівна нулю.

15. Знайти амплітуду А і початкову фазу ϕ гармонічного коливання,

одержаного від складання однаково напрямлених коливань, заданих

рівняннями ( )tx πsin41 = см та

+=

2sin32

ππtx см. Записати рівнян-

ня результуючого коливання. Дати векторну діаграму складання амп-

літуд.

16. Рівняння двох гармонічних коливань мають вигляд

( )tx π4sin31 = см та ( )tx π10sin62 = см. Побудувати графік обох коли-

вань. Склавши графічно ці коливання, побудувати графік результую-

чого руху.

17. Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях

( )tx ωsin2= м та ( )ty ωcos2= м. Знайти траєкторію результуючого

руху точки.

42

18. Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях

( )tx πsin= та

+=

2sin2

ππty . Знайти траєкторію результуючого ру-

ху і зобразити її графічно з дотриманням масштабу.

Маятники

19. Кульку, підвішену на нитці довжиною 2=l м, відхиляють на кут

°= 4α і спостерігають її коливання. Вважаючи ці коливання незгаса-

ючими гармонічними, знайти швидкість кульки при проходженні нею

положення рівноваги.

20. Як зміниться період коливання Т математичного маятника при пе-

ренесенні його з Землі на Місяць?

21. До пружини підвішене тіло. Максимальна кінетична енергія тіла

при коливаннях 1max =kW Дж. Амплітуда коливань А = 5 см. Знайти

жорсткість k пружини.

22. Мідна кулька, підвішена до пружини, виконує вертикальні коли-

вання. Як зміниться період коливань, якщо до пружини підвісити за-

мість мідної кульки алюмінієву такого ж радіуса?

23. До пружини підвішене тіло масою кгm 10= . Знаючи, що пружина

під дією сили, модуль якої НF 8,9= , розтягується на cмl 5,1= , знайти

період Т вертикальних коливань тіла.

24. До ґумового шнура довжиною cмl 40= і радіусом ммr 1= підві-

шена гиря масою кгm 5,0= . Знаючи, що модуль Юнга ґуми

МПаЕ 3= , знайти період Т вертикальних коливань гирі. Врахувати,

що жорсткість k ґуми пов’язана з модулем Юнга співвідношенням

lSEk = , де S – площа поперечного перерізу шнура, а l – його довжи-

на.

25. Однорідний стержень довжиною мl 5,0= виконує малі коливання

у вертикальній площині. Він підвішений за свій кінець. Знайти період

коливань стержня.

26. Знайти період коливань стержня з попередньої задачі, якщо точка

підвісу розміщена на відстані смd 10= від його верхнього кінця.

27. Обруч діаметром смD 5,56= висить на цвяшку, забитому у стін-

ку, і виконує малі коливання у площині, паралельній до стінки. Знайти

період коливань Т обруча.

28. Однорідна кулька підвішена на нитці, довжина якої l рівна радіусу

кульки R. У скільки разів період малих коливань Т1 цього маятника

43

більший від періоду малих коливань Т2 математичного маятника з та-

кою ж відстанню від центра мас до точки підвісу?

Згасаючі і вимушені коливання

29. Період згасаючих коливань Т = 4 с; логарифмічний декремент зга-

сання λ = 1,6; початкова фаза ϕ = 0. При t = Т/4 зміщення точки

х = 4,5 см. Написати рівняння цього коливання і побудувати його гра-

фік у межах двох періодів.

30. Побудувати графік згасаючого коливання, заданого рівнянням

= − tex t

4sin1,0 π

м.

31. Рівняння згасаючих коливань задано у вигляді

= − tex t

2sin5 25,0 π

м. Знайти модуль швидкості v коливної точки в

моменти часу t, рівні: 0, Т, 2Т, 3Т, 4Т.

32. Логарифмічний декремент згасання математичного маятника

λ = 0,2. У скільки разів зменшиться амплітуда коливань за одне повне

коливання маятника?

33. Знайти логарифмічний декремент згасання λ математичного маят-

ника, якщо за час t = 1 хв амплітуда коливань зменшилася у два рази.

Довжина маятника l = 1 м.

34. До пружини підвішують вантаж, внаслідок чого вона видовжуєть-

ся на смl 8,9=∆ . Відтягуючи цей вантаж і відпускаючи його, викли-

кають коливання. Яким має бути коефіцієнт згасання β, щоб коливан-

ня припинилися за час t = 10 с (вважати умовно, що коливання припи-

нилися, якщо їх амплітуда впала до 1% від початкової)?

35. Яким має бути коефіцієнт згасання β в попередній задачі, щоб ва-

нтаж повернувся в положення рівноваги аперіодично?

36. Яким має бути коефіцієнт згасання β в задачі №34, щоб логариф-

мічний декремент згасання був рівний λ = 6?

37. Гиря масою m = 0,2 кг, що висить на пружині, виконує згасаючі

коливання з коефіцієнтом згасання 175,0 −= сβ . Жорсткість пружини

мкНk 5,0= . Побудувати резонансну криву, якщо відомо, що макси-

мальне значення модуля зовнішньої сили НF 98,00 = . Для побудови

графіка знайти значення амплітуди А вимушених коливань гирі для

частот ω зовнішньої періодичної сили, рівних: 0; 05,0 ω ; 075,0 ω ; 0ω ;

05,1 ω ; 02ω , де 0ω – циклічна частота власних коливань гирі.

44

38. По ґрунтовій дорозі пройшов трактор, залишивши сліди у вигляді

ряду заглиблень (ямок), на відстані l = 30 см одне від другого. По цій

дорозі покотили дитячу коляску з двома однаковими ресорами, кожна

з яких прогинається на смx 20 = під дією вантажу масою кгm 10 = . З

якою швидкістю котили коляску, якщо від поштовхів на заглибленнях

вона завдяки резонансу почала сильно розгойдуватись? Маса коляски

М = 10 кг.

Електромагнітні коливання

39. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 100мкФ

і котушки з індуктивністю 400мГн. Конденсатор зарядили до 200В.

Протягом якого часу після замикання сила струму в контурі досягне

найбільшого значення та якою буде її величина? Опір контура мізерно

малий.

40. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 2мкФ та

котушки з індуктивністю 1Гн. Заряд конденсатора до замикання кон-

тура був Клq 60 101 −⋅= . Знайти максимальну силу струму в контурі.

41. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю

С = 25 нФ і котушки з індуктивністю L = 1,015 Гн. Обкладки конден-

сатора мають заряд мкКлq 5,20 = . Написати рівняння (з числовими

коефіцієнтами) зміни різниці потенціалів U між обкладками конденса-

тора з часом. Знайти різницю потенціалів у моменти часу Т/8, Т/4, Т/2.

Побудувати графік залежності ( )tU в межах одного періоду.

42. Закон залежності напруги на конденсаторі від часу в коливально-

му контурі має вигляд ( )tU π410cos50= , В. Ємність конденсатора до-

рівнює С = 0,1 мкФ. Знайти закон зміни з часом сили струму в конту-

рі.

43. Для коливального контура із задачі №41 написати рівняння (з чис-

ловими коефіцієнтами) зміни з часом t енергії електричного поля Wел,

енергії магнітного поля Wм та повної енергії поля W. Знайти енергію

електричного поля, енергію магнітного поля і повну енергію поля в

моменти часу Т/8, Т/4, Т/2. Побудувати графік цих залежностей в ме-

жах одного періоду.

44. Визначити енергію магнітного поля котушки індуктивності коли-

вального контура через 1/8 періоду від моменту початку коливань,

якщо найбільша напруга на конденсаторі 500В, а ємність конденсато-

ра 1 мкФ. Опір котушки мізерно малий.

45

45. Рівняння зміни з часом сили струму в коливальному контурі має

вигляд ( )tI π400sin02,0−= , А Індуктивність контура L = 1 Гн. Знайти

період Т коливань, ємність С контура, максимальну енергію Wм магні-

тного поля і максимальну енергію Wел електричного поля.

46. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю С=7мкФ

і котушки з індуктивністю L = 0,23 Гн та опором R = 40 Ом. Окремо

взятому конденсатору надано заряд Клq 40 106,5 −⋅= . Записати: а) за-

кон залежності заряду на обкладках конденсатора від часу; б) закон

залежності напруги на конденсаторі від часу.

47. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю

С = 10 мкФ і котушки з індуктивністю L = 0,5 Гн та опором

R = 100 Ом. Обкладки конденсатора мають заряд мКлq 56,00 = . Знай-

ти період Т коливань у контурі і логарифмічний декремент згасання λ

коливань.

48. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю

С = 0,2мкФ і котушки з індуктивністю L = 5,07 мГн. При якому лога-

рифмічному декременті згасання λ амплітуда напруги на конденсаторі

Um за час t = 1мс зменшиться у три рази? Який при цьому опір R кон-

тура?

49. Котушка з індуктивністю L = 30 мГн під’єднана до плоского кон-

денсатора з площею пластин 201,0 мS = і відстанню між ними

ммd 1,0= . Знайти діелектричну проникність ε середовища між плас-

тинами, якщо контур налаштований на довжину хвилі м750=λ .

50. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 100мкФ

і котушки з індуктивністю 400мГн. Конденсатор зарядили до 200В.

Протягом якого часу після замикання сила струму в контурі досягне

найбільшого значення та якою буде її величина? Опір контура мізерно

малий.

51. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 2мкФ та

котушки з індуктивністю 0.1Гн. Заряд конденсатора до замикання ко-

нтура був Клq 60 101 −⋅= . Знайти максимальну силу струму в контурі.

52. Закон залежності напруги на конденсаторі від часу в коливально-

му контурі має вигляд ( )tU π410cos50= , В. Ємність конденсатора до-

рівнює С = 0,1 мкФ. Знайти закон зміни з часом сили струму в конту-

рі.

53. Визначити енергію магнітного поля котушки індуктивності коли-

вального контура через 1/8 періоду від моменту початку коливань,

46

якщо найбільша напруга на конденсаторі 500В, а ємність конденсато-

ра 1 мкФ. Опір котушки мізерно малий.

54. Рівняння зміни з часом сили струму в коливальному контурі має

вигляд ( )tI π400sin02,0−= , А Індуктивність контура L = 1 Гн. Знайти

період Т коливань, ємність С контура, максимальну енергію Wм магні-

тного поля і максимальну енергію Wел електричного поля.

55. Яку індуктивність L треба ввімкнути в коливальний контур, щоб

при ємності С = 2 мкФ одержати частоту ν = 1000 Гц?

56. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю

С = 0,2мкФ і котушки з індуктивністю L = 5,07 мГн. При якому лога-

рифмічному декременті згасання λ амплітуда напруги на конденсаторі

Um за час t = 1мс зменшиться у три рази? Який при цьому опір R кон-

тура?

57. Котушка з індуктивністю L = 30 мГн під’єднана до плоского кон-

денсатора з площею пластин 201,0 мS = і відстанню між ними

ммd 1,0= . Знайти діелектричну проникність ε середовища між плас-

тинами, якщо контур налаштований на довжину хвилі м750=λ .

Хвилі, хвилі у пружному середовищі

58. З допомогою ехолота вимірювали глибину моря. Якою була ця

глибина, якщо проміжок часу між виникненням звуку та його прийо-

мом виявився рівним ct 5,2=∆ ? Стисливість води 110106,4 −−⋅= Паβ ,

густина морської води 331003,1 мкг⋅=ρ .

59. Рівняння незгасаючих коливань у площині х = 0 має вигляд

( )tπζ 5,2sin= см. Знайти зміщення ζ від положення рівноваги і модуль

швидкості v1 точки, що на відстані х = 20 м від джерела коливань, для

моменту часу t = 1 с після початку коливань. Швидкість поширення

коливань v = 100 м/с.

60. Знайти різницю фаз ∆ϕ коливань двох точок, що на відстанях від

джерела коливань х1 = 10 м та х2 = 16 м. Період коливань Т = 0,04с, швидкість їх поширення v = 300 м/с.

61. Знайти різницю фаз ∆ϕ коливань двох точок, що лежать на проме-

ні на відстані l = 2 м одна від другої, якщо довжина хвилі λ = 1м.

62. Знайти зміщення ζ від положення рівноваги точки, що на відстані

12λ=x від джерела коливань, для моменту часу t = Т/6 (λ – довжина

хвилі, Т – період коливань). Амплітуда коливань А = 0,05м, початкова

фаза α = π/6.

47

63. Зміщення від положення рівноваги точки, що на відстані х=4см від

джерела коливань, в момент часу t = Т/6 рівне половині амплітуди.

Знайти довжину λ біжучої хвилі. Початкова фаза α = π/6.

64. У скільки разів швидкість v1 поширення звуку в повітрі влітку

(t1=27°C) більша від швидкості v2 поширення звуку зимою (t2=-33°C)?

65. Яку індуктивність L треба ввімкнути в коливальний контур, щоб

при ємності С = 2 мкФ одержати частоту ν = 1000 Гц?

Електромагнітні хвилі

66. Швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у середовищі

v=250 м/c. Визначити довжину хвилі в такому середовищі, якщо її ча-

стота ν=150 МГц.

67. Для демонстрації заломлення електромагнітних хвиль Герц засто-

сував призму, виготовлену з парафіну. Визначити діелектричну про-

никність парафіну, якщо його абсолютний показник заломлення

n=1.41. Магнітна проникність середовища µ=1.

68. Після того, як між внутрішнім і зовнішнім провідниками кабелю

помістили діелектрик, швидкість розповсюдження електромагнітних

хвиль в кабелі зменшилась на 50%. Визначити діелектричну сприйня-

тливість речовини прошарку.

69. Два паралельних провідники, що під’єднані до генератора, зану-

рені у трансформаторне масло. Частота генератора 500 МГц. Відстань

між сусідніми пучностями стоячих хвиль, які виникають в даних умо-

вах 0.2 м. Визначити діелектричну проникність масла, якщо його маг-

нітна проникність µ=1.

70. При умовах задачі 75 знайти частоту генератора, якщо провідники

занурені у гас з діелектричною проникністю ε=2 і магнітною проник-

ністю µ=1. Відстань між сусідніми вузлами 0.4 м.

71. Радіолокатор виявив у морі підводний човен, відбитий сигнал від

якого дійшов до нього за час t = 36мкс. Враховуючи, що діелектрична

проникність води 81=ε , визначити відстань від локатора до підвод-

ного човна.

72. Електромагнітна хвиля з частотою ν = 5 МГц переходить з немаг-

нітного середовища з діелектричною проникністю 2=ε у вакуум. Ви-

значити зміну її довжини хвилі.

73. У вакуумі вздовж осі Ох розповсюджується плоска електромагніт-

на хвиля. Амплітуда напруженості електричного поля хвилі дорівнює

10 В/м. Визначити амплітуду напруженості магнітного поля хвилі.

48

Префікси для утворення кратних одиниць

Пре-

фікс

Позначен-

ня

Числове

значен-

ня

Пре-

фікс

Позначен-

ня

Числове

значен-

ня

йота Й Y 1024

йокто й y 10-24

зета З Z 1021

зепто з z 10-21

екса Е E 1018

атто а a 10-18

пета П P 1015

фемто ф f 10-15

тера Т T 1012

піко п p 10-12

гіга Г G 109 нано н n 10

-9

мега М M 106 мікро мк µ 10

-6

кіло к k 103 мілі м m 10

-3

Література

1. Вадець Д.І., Гаєвський В.Р.Дубчак В.О, та ін. Загальна фізика. Ін-

терактивний комплекс. Частина 2.-. Рівне,. 2010, 458 с.

2. Савельев И.В. Курс физики.–М., "Наука", 1988, т.2, 496 с.

3. Крауфорд Ф. Волны. Берклеевский курс физики. –М., «Наука»,

2007, 528с.

4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, - М.,

«Наука», 2002, 327 с.

5. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике.- М.,

«Наука», 1988, 288 с.

6. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – М., «Наука», 1988. 416 с.

7. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике

для инженеров и студентов вузов.– М., «ОНИКС», «Мир и образо-

вание», 2006, 1056 с.