Solucionario

1111.I.

Derivadas y representacin grficaACTIVIDADES INICIALES

Escribe las siguientes expresiones como exponenciales de la base indicada. a) x3, base 2 a) x3, base 2; x3 b) x, base 10; x 2log2

b)x3

x, base 10 23 loglog10 x2

c) sen x, base e c) sen x, base e; sen x

d) 2x, base e elog2x e

x

sen x

eln (sen x) ex ln 2

10

10

1 log10 x 2

d) 2x, base e; 2x

elog

e

ex log

e

2

11.II.

Toma logaritmos en las siguientes expresiones y aplica las propiedades de los mismos. a) f (x) a) f (x) b) f (x) x4 x4; ln f (x) e ; ln f (x)x

b) f (x) 4 ln x x ln e x

ex

c) f(x) c) f(x) d) f(x)

xx xx; ln f(x)

d) f(x) x ln x (x

(sen x)x

3

(sen x)x 3; ln f(x)

3) ln (sen x)

EJERCICIOS PROPUESTOS11.1. Comprueba, utilizando la derivada de la funcin inversa, que la derivada de la funcin f (x) ya conoces. x es la que

( x )2

x. Entonces, (2 x)( x )

1, por lo que

( x)

1 2 x

.

11.2.

Calcula la derivada en x

11 de la inversa de la funcin f(x)

x3

x

1.

Si g es la inversa de f, hay que calcular g (11). g(f (x)) 1 3x2 Como x3 1 x, as que g(x3 . x 1 11 solo si x 2, tenemos que g (11) 1 3 22 x 1 1 . 13 3. x 1) x, por lo que g (x3 x 1) (3x2 1) 1, es decir, g (x3 x 1)

11.3*. Halla la derivada de la inversa de la funcin f (x) Si g es la inversa de f, hay que calcular g ( 3). g(f (x)) g (x x, as que g(x x 5) 1 6x 9, de donde x 1 1 2 11.4. 1 4 5 1 1 1 2 x 1 y x 5 x 5)

x

5 en el punto x

x, por lo que g (x

x

5) 1 x

1 2 x 5

1, es decir, 3, o sea, x 5 x2

. Hay que encontrar x para que x

5

4. Al comprobar las soluciones vemos que 1 1 2 2 . 3

1 no lo es y

4 s, con lo

que g ( 3)

5

Calcula la ecuacin de la tangente a la curva y derivada de dicha funcin. Como x

x en el punto de abscisa 32, previa deduccin de la

( x)

5

5

x, tenemos que 5( x) 15

5

4

( x)

5

1, es decir,

( x)

5

154

5

. Si x 2

32, la derivada de y 1 (x 80 32) y x 80

x en 8 . 5

32 es

5 32

4

5 x 1 , por lo que la ecuacin de la recta pedida ser y 80

96

Solucionario

11.5. Obtn las derivadas de las funciones siguientes.3 4

a) f(x) a) f (x)

x 1 3 x 3 1 4 x 41 1

2 x1

b) f (x) 1 2 x 2 2 3 x 32 1 1

x 1 x 14

3 x2

3

5

4

x

1 c) f (x) 3 5

c) f (x) 15

3 x 3 4 14

x3 2x

x2 2

2x

2

1 3 x23

x4

x

b) f (x)

1

3

1

1

13

3

1

4 x

x5

11.6. Existe algn punto en la grfica de y

x en el que la tangente sea paralela a la recta 3x5

y

0?

Como la pendiente de la recta dada es 3, y la derivada de y de x para el que x 14

1 5 x45

, nos piden ver si hay algn valor 5 5 x4 1 3, ecuacin que obviamente tiene solucin, dada por la ecuacin 4 155, es decir, x 14

x es y

1

, por lo que los puntos pedidos son los de abscisas5

y ordenada5

15

4

=5

14

15

15

15

15

11.7. Halla las derivadas de las siguientes funciones. a) f(x) x x24 4

b) f (x)7 4

x 5 x3 74

a) f (x)

x2

x

x

f (x)

7 x 4 2 5 x35

11 44

7 4 x11

4x

2

x3

b) f (x)

x5

2

x53

f (x)

x

11.8. Dada la funcin f (x) a) Calcula f (1).

3

5x

3:

b) Obtn f 1(x) y su derivada (f 1) (x). c) Calcula (f 1) (f (1)) y compralo con f (1). Obtienes el resultado esperado? 1 (5x 3 5x3

a) f (x)

3)

2 3

5 y3

5 3 (5x 33

, por lo que f (1) 3)2

5 . 12 3x2 . 5 1 f (1) 1 , como deba ser. f (f 1(2))

b) y 3 c) f (1)

3x 8

5

, as que f 1(x)

x3 5

3

(f 1) (x)

2, de donde (f 1) (f (1))

(f 1) (2)

12 , es decir, (f 1) (2) 5

11.9. Obtn la derivada de estas funciones. a) f (x) b) f(x) a) f (x) b) f (x) c) f (x) d) f (x) e3x3

5x

1

c) f (x) 7x 3) 5) 3) 3x2) x2 x ex ex(2x (ex3

ex x3 x x ex

3

ex (x2 e3xx2

d) f(x)

5x 2

1

(6x 7x

e (x

7) x3) 1

ex(x2 ex (3x33

5x 1) x2

10) 2x3 2x)

x(3x2ex 1 2 x

3

ex

ex

x

ex(1 2 x

2 x

Solucionario

97

Solucionario11.10. Halla los mximos y mnimos, si los hubiera, de la funcin f (x) ex2

6x

.

Al ser derivable en todo su dominio la funcin en cuestin, los posibles mximos o mnimos relativos se encontrarn en puntos con tangente horizontal. Analicemos, entonces, f (x) f (x) (2x 6)ex2

6x

. As pues, f (x) 3, f (x)

0 solo si x

3.

Si x 3, f (x) 0, por lo que f es creciente, y si x P (3, f (3)) (3, e 9) es un mnimo relativo. 11.11. Deriva: a) f (x) a) f (x) 72x 2 ln 7 ln 2 2 x 11.12. Halla las siguientes derivadas. a) f (x) b) f(x) a) f (x) ln (x3 e ln x 3x2 2 x 2x 13 x

0, es decir, f decreciente, con lo que el punto

b) f (x) 72xx

2

x

c) f(x) c) f (x)

3x

3

x

d) f (x) 1)3x 52x2 3

52x

2

e) f (x) ln 9 2 x 9

9

x 1

f) f (x)

8x

4

ln 3(3x2

x

e) f (x)

x 1

b) f (x)

2

d) f (x)

4 ln 5x

f) f (x)

4 ln 8x3

8x

4

2x

1)

c) f (x) d) f(x)

log2 (3x2 ln

1) e)x

e) f(x) f) f (x) 1 x2 1 2 ln x ex 1 x 5x

ln x 5x 1 2 x2 1 2x ln x 1 x 1 ln 2 5 ln x ln 2 5 ln 2 ex log2 x (2x ex) 2x 2(x2 ex ex)

( x

2

d) f (x) 1 x ex ln x 1 x

b) f (x)

ex ln x 1 ln 2

ex

e) f (x)

c) f (x)

6x 1 3x2

f) f (x)

5 log2 x 1)

5 (ln x ln 2 11.13. Determina los mximos y mnimos de la funcin f(x) f (x) 2x x2 4 ln (x2

4). 0, es decir, x 0.

, por lo que el nico posible mximo o mnimo es el punto donde f (x)

Para determinar de qu tipo de punto se trata, observamos que si x 0, f (x) 0, es decir, f es decreciente, y si x 0, f (x) 0, f es creciente, por lo que el punto P(0, ln 4) es un mnimo relativo. 11.14. Calcula mediante derivacin logartmica las derivadas de: a) f (x) b) f(x) a) ln f (x) b) ln f (x) xx xln x ln (xx) ln (xln x)ex

c) f (x) d) f (x) x ln x f (x) f (x) ln x

( x)xx2

e

x

e) f (x) f) f (x) (ln x 1) f(x)

x2x xx

1

1; as que f (x) f (x) f (x)

(ln x

1)x x 2 ln x xln x1

(ln x)2. Entonces,ex

2 ln x , de donde f (x) x ex ln x 2 1) x 2x 1 x1

2 ln x ln x x x ex f (x) 2x xx2

c) f (x) d) ln f (x) e) ln f (x) f) ln f (x)

( x)

e

x

x 2 , ln f(x) f (x) f (x)

ln x 2 2x ln x f (x) f (x) 1 2 x

ex f (x) ln x 2 f (x) x f (x) 2 ln x ln x 2x x x x2

( x)1) 1 x

e

x

ex ln x 2

1 x

x2 ln x (2x

x x x(2 ln x 1 f (x) xx

1

(2 ln x 2x

1) ln x f (x) f (x)

2 ln x ln x 2 1

x ln x

f (x)

98

Solucionario

11.15. Calcula la ecuacin de la recta tangente a la curva f(x) f (x) cos x, f (0) 1, as que la recta pedida es y 0

sen x en el origen. 1 (x 0), es decir, y x.

11.16. Obtn la derivada de las siguientes funciones. a) f(x) b) f(x) a) f (x) b) f (x) sen (x2 cos x cos (x2 sen x 2 cos x e2x)(2x 2e2x) e2x) c) f(x) d) f (x) c) f (x) d) f (x) tg2 x x sen (3x 2 tg x sen (3x 2) 2 sen x cos3 x 3x cos (3x 2)

1 cos2 x 2)

11.17. En qu puntos la recta tangente a la funcin f (x) mer cuadrante? Nos piden encontrar los puntos en los que f (x)

tg 2x est menos inclinada que la bisectriz del pri-

2 , y cos2 2x cos2 2x cual fuese x, por lo que no hay ningn punto con la condicin requerida. 1. Como f (x)

1 siempre, f (x)

2 sea

11.18. Encuentra los puntos con abscisa en [0, 2 ] para los que la tangente a la curva f (x) horizontal. Al ser f (x) cos x

sen x

cos x es

sen x, debemos hallar los valores de x en [0, 2 ] para los que f (x) 0, es decir, 5 ,x , dando lugar entonces a los puntos A , 2 cos x sen x, o sea, tg x 1, siendo esos valores x 4 4 4 5 yB , 2 . 4

11.19. Calcula la derivada de las siguientes funciones. a) f(x) b) f(x) a) f (x) 1 b) f (x) arcsen (ex) arctg (1 ex e2x 2x (1 x2)2 x2) c) f(x) d) f (x) c) f (x) arccos x ln (sen x 1 2 arccos x d) f (x) 1 arcsen x) 1 x2 1 1 x2 2 (1 1 x2) arccos x

1

sen x

1 cos x arcsen x

11.20. Halla los puntos en que la recta tangente a la funcin arco tangente es horizontal. 1 , no existe ningn valor de x que anule f (x), as que no hay ningn punto en la funcin arco 1 x2 tangente en el que la tangente sea horizontal. Como f (x)

Solucionario

99

Solucionario11.21. Deriva y simplifica todo lo que puedas la funcin: f (x) 1 1 x2

arctg (x) 1 x2

1 arctg x

f (x)

1 1 1 x2

1 x2

1 1 x2

x2 x2

1

0

El resultado era el esperado, pues arctg x y arctg f (x) 0.

1 son arcos complementarios, es decir, f(x) x

2

, por lo que

11.22. Calcula la derivada del arco cotangente. Recuerda que ctg x 1 , tenemos que arccotg x x

1 . tg x 2 , por lo que la derivada de y arccotg x es

Como arccotg x 1 . y 1 x2

arctg

arctg x

11.23. Determina los mximos y mnimos relativos de la funcin f(x) f (x) 12x3 12x, as que f (x) 0 solo si 12x(x2 1)

3x4

6x2. 0, x 1, x 1. 0 y

0, es decir, x2

12, por lo que f (0) 0, f (1) Aplicando el test de la derivada segunda, tenemos que f (x) 36x f ( 1) 0, as que f presenta en (0, 0) un mximo relativo, y en (1, 3) y ( 1, 3), mnimos relativos.

11.24. Estudia la curvatura y determina la abscisa de los puntos de inflexin de f (x) sabiendo que: f (x) (x 1)(x 3)2(x 7) 0, as que en este caso

Los nicos posibles puntos de inflexin vienen dados por los de abscisa x con f (x) x 1, x 3, x 7. Si x 1 f (x) 0, 1 x 3, f (x) 0, as que el punto de abscisa l ha cambiado la posicin de la curva respecto de la tangente.

Estudiando el signo de f (x) en los intervalos determinados por estos valores, tenemos que: 1 es de inflexin, pues al pasar por

Si 3 x 7 f (x) 0, de donde el punto de abscisa 3 no es punto de inflexin, pues tanto a la izquierda como a la derecha de l es f (x) 0, es decir, f est por debajo de la tangente. Finalmente, si x 7, f (x) 0, con lo que en x P (7, f (7)) es punto de inflexin. 7 la curva cambia de posicin respecto de la tangente y , 1) (7, ) y cncava hacia abajo en ( 1, 7).

En cuanto a la curvatura, f es cncava hacia arriba en (

11.25. Halla la ecuacin de la recta tangente a y x x2 1 x2 (x2 x2) 1 2x2 1)2 2x3 (1 1 (1 6x x2)3

x en su punto de inflexin de abscisa positiva. x2 1 x2 y f (x) x2)2 2x(1 x2)2 (1 x2)2x 2(1 (1 x2)4 x2)

Si f(x) 2x(1

, f (x)

4x(1 x2) (1 x2)3

As que el punto de inflexin de abscisa positiva tiene por abscisa la solucin positiva de la ecuacin 2x3 es decir, x y 3 4 3 3, y de ordenada, , siendo f 4 1 (x 8 3) y x 8

6x

0,

( 3)

2 42

1 , por lo que la ecuacin de la recta pedida es 8

3 3 . 8

100

Solucionario

11.26. Tiene algn punto de inflexin la grfica de f(x) Al ser f (x) 2x de inflexin. sen x, es f (x) 2

x2

cos x

1?

cos x, con lo que f (x) nunca se hace cero, y f (x) no tiene ningn punto

11.27. Haz el estudio completo de las siguientes funciones polinmicas y dibuja sus grficas. a) f(x) b) f(x) a) f(x) x2 x2

5x x 5x

6 3

c) f(x) d) f(x) x2

x2 1

9

x2

6. Cortes con los ejes: eje Y: (0, 6); eje X: (3, 0) y (2, 0) 2x 5 0, xY

Puntos con tangente horizontal: f (x)

5 2

1 O 1

X

b) f (x)

x2

x

3 x 3 0 carece de races reales. 1 2

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 3); eje X: no existe, pues la ecuacin x2 Puntos con tangente horizontal: f (x) 2x 1 0, xY

1 O 1

X

c) f (x)

x2

9 2x 0, x 0Y

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 9); eje X: (3, 0) y ( 3, 0) Puntos con tangente horizontal: f (x)

2 O 2

X

d) f (x)

x2

1 1); eje X: ( 1, 0) y (1, 0) 2x 0, x 0Y

Cortes con los ejes: eje Y: (0,

Puntos con tangente horizontal: f (x)

1 O 1

X

Solucionario

101

Solucionario11.28. Realiza un estudio completo de las siguientes funciones y dibuja sus grficas. a) f (x) b) f(x) a) f(x) x3 3x5

3x 5x3

c) f (x) d) f (x) 3)

(x x3

1)(x 3x2

2)(x 9x

4)

x (x

3 )(x

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 0); eje X: (0, 0), lim f (x)x

( 3, 0) y (

3, 0)

Y 1 O 1

, lim f (x)x

X

Puntos con tangente horizontal: f (x) Curvatura y puntos de inflexin.

3x

2

3

0 si x

1, x

1

f (x) 6x. As que el nico posible punto de inflexin tiene por abscisa x 0. Por otra parte, f (1) 0 y f ( 1) 0, con lo que P(1, 2) es un mnimo relativo y Q( 1, 2) es un mximo relativo. Como entre un mximo y un mnimo relativo hay algn punto de inflexin, el posible punto de inflexin (x 0) es efectivamente punto de inflexin. b) f (x) 3x5 5x3 5) 0, x 0, x 5 ,x 3 5 3Y 1 O 1

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 0); eje X: x3(3x2 lim f (x)x

X

, lim f (x)x

Puntos con tangente horizontal: f (x) Curvatura y puntos de inflexin: f (x)

15x4 60x3

15x2 si x 30x

0, x

1, x

1 0, x 2 ,x 2 2 . 2

30x(2x2

1). Se anula si x

Como f (0) 0, f (1) 0 y f ( 1) 0, el test de la 2.a derivada nos dice que de los puntos con tangente horizontal, los de abscisa 1 y 1 son mnimo y mximo relativo, respectivamente, pero no nos da ninguna informacin sobre el punto de abscisa 0. Analizando, entonces f (x) 15x2(x2 1), vemos que si 1 x 0, f (x) 0 y si 0 x 1, f (x) 0, de donde deducimos que el punto de abscisa 0 no es ni mximo ni mnimo relativo, ya que en el intervalo ( 1, 1) la funcin es decreciente. Por tanto, se trata de un punto de inflexin de tangente horizontal. c) f (x) (x 1)(x 2)(x 4) x3 3x2 6x 8Y 4 O 2

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 8); eje X: (1, 0), ( 2, 0) y (4, 0) lim f (x)x

, lim f (x)x

X

Puntos con tangente horizontal: f (x) 3x2 6x 6 3(x2 2x 2) 6x 0 si x 6 1 0 si x 3, x 1 1 3

Curvatura y puntos de inflexin: f (x) d) f (x) x3 3x2 9x

Cortes con los ejes: eje Y: (0, 0); eje X: x(x2 lim f (x)x

3x

9)

0, x

0, x

3

3 5 ,x 2

3

3 5 2Y 5 O 2

, lim f (x)x

Puntos con tangente horizontal: f (x) x 3, x 1.

3x

2

6x

9

3(x

3)(x

1) se anula si

X

Curvatura y puntos de inflexin: f (x)

6x

6, si x

1

102

Solucionario

13.29. Esboza la grfica de las siguientes funciones. a) f (x) b) f (x) c) f(x) x3 9x4

6x2 17x3

36x 46x 6x22

5 35x 12x 4 5

3x4

10x3

a) Cortes con los ejes: eje Y: (0, 0); eje X: No es fcil obtener las soluciones de la ecuacin f(x) 0, sin embargo se observa que f (0) 5 0 mientras que f ( 1) 38 0. Como se trata de una funcin continua, la conclusin es que al menos hay un punto de corte con el eje X situado en el intervalo ( 1, 0). lim f (x)x

Y 20 O 1

X

, lim f (x)x

Puntos con tangente horizontal: f (x) 3x2 senta ningn punto con tangente horizontal. Curvatura y puntos de inflexin. f (x) 6x 12 6(x 2) se anula si x 2.

12x

36. No tiene races reales, as que esta curva no pre-

Si x 2, f (x) 0, por lo que f (x) es cncava hacia abajo, y si x hay, por tanto, un punto de inflexin.

2, f es cncava hacia arriba. En x

2

b) No merece la pena ver si la ecuacin f(x) 0 tiene races enteras, pues al observar con facilidad que f ( 1) 0, f (0) 0 y f (1) 0, y tratarse de una funcin continua, hay cortes con el eje horizontal al menos en los intervalos ( 1, 0) y (0, 1). Por otra parte, lim f (x) yx

Y 20 O 2 X

lim f (x)x

, por lo que hay otros dos cortes con el eje horizontal, uno a la izquierda de

1 y otro a la derecha de 1, con lo que la grfica de f sera algo as: c) No es cmodo obtener los ceros de la funcin, es decir, los cortes con el eje horizontal, ni siquiera los ceros de la derivada, f (x) 12x3 30x2 12x 12. As que vamos a obtener f (x), que, al ser un polinomio de 2.o grado, es ms fcil de manejar. 5 13 f (x) 36x2 60x 12 12(3x2 5x 1), y como 3x2 5x 1 0 si x 6 1,4 y 0,25, f (x) 36(x 1,4)(x 0,25), por lo que la grfica de f (x) es aproximadamente como se muestra en la figura de la derecha. Conocida la grfica de f (x) y con el dato de f (0) 12, podemos esbozar la forma de f , que sera algo como lo mostrado en la figura derecha. Obsrvese que en x ordenada positiva. f ( 1) 0 y f ( 1) 1 y 0. 0,25, punto en el que anula f (x), f (x) presenta un mnimo, pero con2 O 1 X Y 2 O

1

X

Y

0, por lo que el punto de corte de f con el eje horizontal est entreY

Finalmente, con la grfica de f y el dato de que f (0) 5, podemos esbozar la grfica de f, haciendo notar que presenta un mnimo entre 1 y 0 (punto donde se anula f ), pero como f ( 1) 12 y f (0) 5, la ordenada de ese punto es positiva, por lo que la forma de la grfica de f ser algo as:

4 O 1

X

Solucionario

103

Solucionario11.30*. Escribe una funcin polinmica de tercer grado, f (x) mximos ni mnimos relativos. ax3 bx2 cx d, con b 0, que no tenga ni

bx2 cx d no tenga ni mximos ni mnimos relativos, es suficiente que la derivada Para que f (x) ax3 nunca se haga cero, es decir, que f (x) 3ax2 2bx c 0 para todo x. Para ello basta con que el discrimio 2 nante de la ecuacin de 2. grado 3ax 2bx c 0 verifique 4b2 12ac 0, situacin que se presenta, por ejemplo, con b 1, c 1, a 1. As pues, f (x) x3 x2 x d no tiene ni mximos ni mnimos relativos.

11.31.

Escribe una funcin polinmica de tercer grado que tenga un mximo y un mnimo. Una funcin como la de la figura, es decir, f (x) mximo y un mnimo relativo. x(x 1)(x 1), presenta unY

1 X

O

1

11.32.

Es posible encontrar una funcin polinmica de tercer grado que no tenga ningn punto de inflexin? La condicin necesaria y suficiente para que y f (x) presente un punto de inflexin con abscisa p es que f (p) 0 a la izquierda de p y f (p) 0 a la derecha de p o viceversa. Si f (x) ax3 bx2 cx d, entonces f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 6ax 2b con a 0, por lo que la ecuacin de 1.er grado 6ax 2b 0 siempre tiene solucin y el signo del binomio 6ax 2b cambia cuando pasa por la solucin de dicha ecuacin. As pues, todas las curvas de 3.er grado presentan un nico punto de inflexin, de abscisa p 2b 6a b . 3a

11.33.

Realiza un estudio completo de las siguientes funciones y dibuja sus grficas. a) f (x) b) f(x) x4 2x2 2 x 1 x3 2 4x 1 x4 x2 2x2 1 c)* f (x) d) f (x) 9x2 2 x x 2 x 1 x2 1

a) f (x) f(x)

f ( x), por lo que f es simtrica respecto del eje vertical. R {1,x1

Dom f lim f (x)x1

1} as que x 1 es una asntota vertical. Adems, lim f (x)x1

, lim f (x)

.

No estudiamos el comportamiento de f para valores negativos de x por la observacin hecha al comienzo. No tiene asntotas horizontales ni oblicuas. Si x f (x) 2x(x4

Y

0, f(x) (x22

0 y f(x) 1)(4x3 (x2

0 si x2(x2 4x) 1)2

2) 2x2)

0, x 2x5

0,2

2,

21 O 1 X

2x(x4

4x3 4x (x 1)2

(x2

2x 2) 1)2

0 solo si x

0

Si x 0, f (x) 0, y si x 0, f (x) 0, por lo que f presenta un mnimo relativo en x 0. As pues, la grfica de y f(x) para x 0 es as:

104

Solucionario

b) f (x)

x3 4x2 1

Al no anularse nunca el denominador, se trata de una funcin continua en R y que corta a los ejes solamente x3 1 1 x x , es la recta en el origen. Por otra parte, tiene una asntota oblicua que, al ser 2 4x 1 4 4 4x2 1 1 x. Puesto que f ( x) f(x), se trata de una funcin impar y solo corta a la asntota oblicua en x 0. y 4 Y Para obtener los posibles mximos y mnimos relativos, derivamos la funcin. 1) 3x2 x3 8x 4 x 4 3 x2 x2(4x 2 3) 0 siempre, 2 2 2 (4x 1) (4x 1) ( 4 x2 1 )2 por lo que la grfica de f no presenta ningn mximo ni mnimo relativo y tiene un nico punto con tangente horizontal en x 0. f (x) x 1 x Como, por otra parte, f (x) 4(4x2 4 1 x, as que la grfica ser as: f (x) 4 1) , para valores altos de x, (4x2

1 O X

1

c) f (x) x2

x x

2

9x2 x 2

2 0 si x (xx 2

1yx 9x2 1)(x 2)

2 , y al ser lm f (x)x1 x

As que f (x) lim f (x)x 2

, lm f (x)x1

,

Y

, lim f (x) 1, x

y lim f (x)

9, la grfica de f presenta asnto9.2 O 2 X

tas verticales en x

2, y asntota horizontal en y 0. 9x(x x

Solo corta a los ejes en x Su derivada es f (x) (x2

4) , que cambia de signo en x 2)2

0 y en

x 4, puntos en los que la funcin presenta, respectivamente, un mximo y un mnimo relativos. Con esta informacin se puede representar la funcin tal y como aparece a la derecha. d) f (x) x x2 1 1 1 0 siempre que presentaY

Se trata de una funcin continua en R, pues x2 una asntota horizontal en y 0. Si x f (x) 0, f(x) x2 1 (x2 1, y f (x) 2x(x 1)2 1) 0 solo si x 1 (x2 2x 1)2 1.

1

x2

0 si x

1

2, x

1

2

O

1

X

Para estos valores la derivada cambia de signo y representa, por tanto, las posiciones de un mximo y de un mnimos relativos, respectivamente. Como solo corta a la asntota horizontal (eje de las abscisas) en x fica es: 1, su gr-

Solucionario

105

Solucionario11.34*. Representa una funcin racional que cumpla las siguientes condiciones. Las rectas y 2, x 4, x 2 son sus nicas asntotas. Su derivada no se anula nunca y es negativa en todos los puntos en que est definida. a) Cuntas veces se anula una funcin con estas propiedades? b) Puede la derivada segunda no anularse nunca? Se trata de un cociente de polinomios de igual grado en el numerador y en el denominador, anulndose este en x 2, x 4. Por otra parte, al ser la funcin siempre decreciente, debe ocurrir que lim f (x) y lim f (x) ,x 2 x4

Y

1 O 1

X

por lo que entre 2 y 4 debe anularse alguna vez y haber algn punto de inflexin, con lo que es seguro que su derivada segunda se anular alguna vez. La funcin se anula dos veces, pues f nunca se hace cero. Una posible grfica sera la de la derecha. 11.35. Realiza el estudio completo de las siguientes funciones y dibuja sus grficas. a) f (x) a) f (x) D ex ex1

b) f (x)

ln (x

1)

c) f (x)

sen x

cos x

d) f(x)

e

x

2

1

R, es siempre continua, no corta al eje X, corta al eje Y en el punto 1 0, . e1

Y

lim exx

0, luego y

0 es asntota horizontal por la izquierda. Cuando

x , el lmite es tambin infinito y no tiene asntota ni horizontal ni oblicua. Como f (x) ex 1 0 y f (x) ex 1 0 x D, la funcin no tiene mximos ni mnimos relativos ni puntos de inflexin. Es montona creciente y cncava hacia arriba. A la derecha se ha representado f. En realidad se trata de la grfica de la funcin exponencial y ex, desplazada una unidad hacia la derecha. b) f (x) ln (x 1) ln x desY 1 O 1 X

Igual que en el apartado anterior, la podemos dibujar a partir de y plazndola, en este caso, una unidad a la izquierda. Dominio D en (0, 0).x 1

( 1, 1))

), continua en todo el dominio y cortes con los ejes , tiene asntota vertical en x 1, por la dere-

1 O 1

X

Como lim (ln (x

cha, la funcin es montona creciente y cncava para abajo.

c) f (x)

sen x

cos x

Esta funcin es continua en R, f (x) f(x 2 ), por lo que bastar dibujarla en [0, 2 ), si x 0, f (x) 1 y f (x) 0 si sen x cos x, o sea, 3 7 yx cortar al eje X. tg x 1, por lo que en x 4 4 Con f (x) 1, los nicos puntos con tan5 ,x . gente horizontal en [0, 2 ] son los de abscisas x 4 4 sen x cos x, es f cos x sen x 0 solo si tg xY

5 0yf 0, con 4 4 lo que tenemos en esos puntos un mximo y un mnimo relativo, respecti3 vamente, habiendo puntos de inflexin cuando f (x) 0, es decir, x , 4 7 x . Con toda esta infomacin, la grfica de f queda como se ve a la 4 derecha. Finalmente, al ser f (x)

1 O X

106

Solucionario

d) f (x)

e x . Esta funcin es continua y positiva en R. Es par: f(x)x

2

f( x). 0.

Y

Como lim f (x)2

0. As pues, presenta una asntota horizontal que es y

1

0, siendo f (x) 0 si x 0 y f (x) 0 f (x) 2xe x solo se anula si x si x 0, con lo que en P(0, 1) presenta un mximo relativo que es tambin absoluto, pues f (0) f (x) sea cual fuere el nmero x. Finalmente, f (x) x 2ex2

O

1

X

4x2e

x

2

e x( 2

2

4x2) se anula en

2 , posiciones en las que la funcin presenta puntos de inflexin. 2

La grfica se muestra a la derecha. 11.36. Haz el estudio de las siguientes funciones y dibjalas. a) f(x) ln (x2 1) b) f (x) x sen x c) f (x) x2 ex d) f(x) tg (2 x)Y

a) f(x) ln (x2 1). Como f es par, bastar dibujar en (0, ) y, en este conjunto, f est definida solo si x 1. Si x 1 , f (x) , siendo entonces x 1 una asntota vertical. , f(x) .

No hay asntota horizontal, pues si x Cuando x f (x)2

1 O 1

X

1

1, es decir, x

2, habr un corte con el eje horizontal.

2x no se anula en ningn punto del dominio de f y 1 x2 2(x2 1) 4x2 2 2x2 f (x) es siempre negativa, as que la curva 2 2 (x 1) (x2 1)2 es siempre cncava hacia abajo, y su grfica es la de la derecha: b) f (x) x sen x. Su dominio es R, es continua y corta a los ejes solo en el origen, pues x sen x 0 nicamente cuando x 0. f (x) 1 cos x se anula en x k con k impar, pero f (x) 0 siempre. As que f es creciente en R y con tangente horizontal en los puntos de abscisa k con k impar. Por otra parte, f (x) sen x se anula en los puntos de abscisa k para cualquier entero k, cambiando el signo de f en esos puntos, que sern, entonces, puntos de inflexin:Y

1 O X

c) f(x)

x2 . f es continua en R y corta a los ejes solo en el origen. ex , f (x) 0. 0 solo si x . As pues, hay una asntota

Y

Si x , f (x) 0, y si x horizontal (por la derecha) en y f (x) 2x ex x2ex 2x x2 2x e ex relativos, respectivamente) 2 4x ex x2

0, x

2 (mnimo y mximo1 O 1 X

f (x) d) f (x)

, que se anula para x

2

2 (puntos de inflexin).Y 1

tg (2 x). Es la grfica de la tangente de x comprimida un factor 2 . 1 y tiene asntotas verticales 2

Es peridica de perodo T x 1 4 1 k 2 k Z.

O

X _ 2

Solucionario

107

SolucionarioEJERCICIOSFuncin recproca11.37. Deriva las siguientes funciones. a)* f (x) x 2 b) f (x)5

3x

1

c) f(x)

1 x

3

x

x 6 1 x4

d) f(x)

4

x2 x2 1

a) f (x) g[f (x)]5

x

2, la funcin inversa es g(x) 1 f (x)

x2

2 y g (x)

2x. Entonces: 2 f(x) 2 x 2 f (x) 1 2 x 2

x g [f (x)] f (x)

1 ; g [f(x)] g [f (x)] x5 3 1 y g (x)

b) f (x) g[f (x)]

3x

1, la funcin inversa es g(x) 1 f (x)n

5 4 x . Por tanto: 3 5 (f(x))4 3 5 (3x 35

x g [f (x)] f (x)

1 ; g [f(x)] g [f (x)] x, su inversa es g(x) 1 ; g [f(x)] g [f (x)]

1)4

f (x)

3 5 (3x 15

1)4

En general, se obtiene que para f(x) g[f (x)] x g [f(x)] f (x) 1 f (x)

xn y g (x) n(f(x))n1 n

nx n 1, con lo que n xn1

f (x)

n xn

n

1

y con este resultado y la regla de la cadena, se puede derivar cualquier raz.6

x4

13

x x4

4 x3 6 (x4 1 x4 3 1) x4 x6 6

c) f (x) 1 x2

1 x

3

x

x6

; f (x) 1 6(x4

x46 4

1 x2 4x6 4

1 3 x2 1) (x22 3

1)5

1 3 x x24 3 2

1) 1)5

6 (x

(x

4

1 x2

1 3 x3 2

3(x4

1

d) f (x)

x

2

1 x

; f (x)

1 x2 2 4 x 1

3 4

1)2x x2 2x 2 2 (x 1) 24

x x2

2

3

1

(x2

1)2

2(x2

1) x6 (x2

4

1) x2

11.38. Halla la derivada de la inversa de la funcin f (x) Llamemos g a la inversa de f, entonces: g(x2 As pues, g (2) 2 1 2 1, de donde g (2) x) 2 . 5

x en el punto x x y g (x2 x ) 2x

2. 1 2 x 1. Si x2 x 2, x 1.

11.39. Calcula la ecuacin de la tangente a la curva y mente la derivada de dicha funcin.

3

x3

2 en el punto de abscisa 10, deduciendo previa3 3

( x3

3

2) 1

3

x 2)2

2. As que, derivando, obtenemos 3( x

2)

2

( x

2)

1, por lo que

( x

2)

, con lo que el punto de esa curva de abscisa 10 tiene por ordenada 2 y la pendiente de la tan1 3 83 2

3( x

gente en dicho punto es y x 12 7 . 6

1 , por lo que la recta pedida tiene por ecuacin y 12

2

1 (x 12

10)

108

Solucionario

11.40. Dada la funcin f (x)

4

x2

8

a) Calcula, si es posible, f (3) y f (2). b) Dnde est definida f (x)? Y f (x)? c) Halla los extremos relativos de f. f (x) 1 2 (x 4 3 2 1 b) D(f) {x4

8)

3 4

2x

x 2 (x24

en los puntos en que estn definidas tanto f como f . 8)3 8)3 0. D(f )

a) f (3)

3 , f (2) no est definida, pues (22 2 8 0}

R / x2

(

,

2 2]

[2 2, )

c) El nico posible extremo relativo de f tendr por abscisa x 0, pero como 0 no est en el dominio de f, no existen extremos relativos para f. Hay que hacer notar que en x 2 2 la funcin alcanza su valor mnimo absoluto, que es 0, aunque no sean puntos de tangente horizontal.

11.41. De dos funciones f (x) y g(x) sabemos que: g(x) f (x) a) Si g(0) 0 para todo x, y (f 1 x x 0. g)(x) x.

1, calcula g (0).

b) Calcula g (x) en funcin de g(x). Nos dicen que (f a) Como g(0) g)(x) 1 y f (x) x, de lo que sigue que f (g(x))g (x) 1 , f (1) x 1, g (x) g (0) 11 g (0) 1, o sea, f (g(0)) g (0) 1, as que g (0) 1. g(x). 1.

b) Al ser f (g(x)) g (x)

1 , y como f (g(x)) f (g(x))

1 , tenemos que g (x) g(x)

Potencias11.42. Deriva las siguientes funciones. a) f (x) b) f(x) c) f(x) x x2 132 3

2x

1 (x2

1 x 1)1 3 2 5

3

x3

1

3

(x

1)2

a) f (x)

2 x 3 x2 1

x2 (x2

1

2x2 1)2 3(x2

2(1 1)23

x2) x x2

2(1 3(x 12 3

x2) 1)2

1) x(x2

b) f (x)

1 (2x 3 1 x 32 3

1)

2 3

2

3x27 5

2 3 (2x3

3x2 1)2 1)1 3

c) f (x)

2 2 (x 5

1)

2x

2 (x 3

1 3 x3 2 5

4x 5 (x2

2 1)7

3 x

3

1

Solucionario

109

Solucionario11.43. Determina la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f (x) 6 en el punto x 3 2 4 x 2.

El punto en cuestin es (2, 3), y la pendiente de la tangente viene dada por el valor de la derivada de f (x) en x f (x) 2(x2 4)4 3

2.

2x

4x3

;m 4)4

f (2)

(x

2

1 2 x 2 4.

La tangente ser, entonces, y

3

1 (x 2

2) y

11.44. Si f(x)

1 , calcula la derivada de: 1 x b) (f (x))2 3

a) La inversa de f a) Obtengamos f 1(x). y 1 1 x2

c) f(f (x))

1 d) (f (x))2

;1

x

1 ;x y1 3

1 y

1

1 y 1

y

, as que f 1(x)

1 x3

x

1 x

1, (f 1) (x)

1 x2

b) y

(f (x)) 3 ; y

2 (f (x)) 3

f (x)

2 33

1 1 x

1 (1 x)2

2 1 x 3(1 x)2

c) y

f (f (x)); y (1 (x (x

f (f (x)) f (x) 1 , f (f (x)) x)2 1)2 2)2 ( 1) (1 x)2

Como f (x)

(1

1 f(x))2 1 . 2

1 x x 2 12

(x (x

1)2 , por lo que la derivada pedida es 2)2

[f (f (x))]

(x

2)2

d) y

1 ;y (f (x))2

1 2f (x)f (x) (f (x))4

2f (x) (f (x))3

(1 1 (1

x)2 x)3

2(1

x)

Funciones exponenciales y logartmicas11.45. Deriva las siguientes funciones. a) f (x) b) f(x) c) f (x) d) f(x) a) f (x) ex ex 22

e) f (x)5x 2x3

e5x ln (x2 ln (2x

1

i) f (x) 4x 3x) x2) f) f (x) 2x x2 4x 4 1 1) j) f (x)

ln x e x ln2 (6x 4)

2 x2

f) f (x)4

g) f (x)x

(2x2 ex ex2

4x)5

h) f (x)

log5 (x4

b) f (x) c) f (x)

5x

2

(2x

5) 2x)22x3

g) f (x)x2

ln 2 2x 3 2x 3x 1 ln 5 4x3 x4 2x x2

ln 2 ( 6x2

4

h) f (x)

110

Solucionario

d) ln f (x)

(5

x) ln (2x2 (2x25x 1 2

4x) 4x)(5x)

f (x) f (x) ln (2x2

ln (2x2 4x) 5 2 (5

4x)

(5

x)

4x 2x2

4 4x

Por tanto, f (x)

x)(4x 4) 2x2 4x

5x

1 2

e) f (x) i) f (x) j) f (x)

e5x

1

e ex x

; f (x)

e

5 2

e5x

1

ex ln x 2 ln (6x

4)

6 6x 4

6 ln (6x 4) 3x 2

11.46. (PAU) Considera la funcin f : R R definida por f (x) a) Calcula las asntotas de la grfica de f.

ex

2x 2 1

.

b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Determina los extremos relativos de f. a) f es continua en R por ser composicin de las funciones continuas y totas verticales. lm f (x)x

e0

1, as que y

2x , as que no tiene asnx2 1 1 es asntota horizontal, y como lm f (x) 1 tambin, lo es por ex, yx

ambos lados.2x

b) f (x) Si x

ex

2

1

2(x2 1) 4x2 (x2 1)2

2x

ex

2

1

2(1 (x2

x2) , as que f (x) 1)2

0 si x

1, x

1

1, f (x)

0, con lo que f es decreciente. 0, por lo que f es creciente, y si x 1) (1, ) y creciente en ( 1, 1). 1, f (x) 0, f es decreciente, resultando que f es (1, e) es un mximo relativo.

Si 1 x 1, f (x) decreciente en ( , c) El punto P( 1, f ( 1))

( 1, e 1) es un mnimo relativo, y el punto Q(1, f(1))

11.47. (TIC) Sean las funciones f(x)

3x y g(x) 2.

1 x . Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a dichas 3

grficas en el punto de abscisa x

Cmo son entre s esas dos rectas tangentes? Representa las grficas y las rectas tangentes y, con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores y comprueba que dichas rectas cumplen lo que has averiguado. f (x) 3x, f (x) ln 3 las rectas pedidas. g(x) 1 3x

3x, f (2) f (x) f (x)2

9 ln 3, as que y ln (3) 32x 3x

9 ln 3 3x

9 ln 3 (x

2) es una de

Y

1 , g (x) f (x)

ln 3 1 ln 3 , y la otra recta pedida es y (x 2). Como 3 es 9 9 9 un poco mayor que e, la recta tangente a f en el punto en cuestin tiene pendiente 1 algo mayor que 9, y la tangente a g tiene pendiente algo menor que , por lo que 9 formarn un ngulo prximo a 90 . m m ( ln 3) ln 3 1,2, que es prximo a 1. Luego g (2)

1 O 1 X

Solucionario

111

Solucionario11.48. (TIC) Las siguientes funciones tienen en comn que sus lmites en son . Con ayuda de la calculadora haz una tabla de valores y representa sobre los mismos ejes estas funciones y a continuacin ordnalas segn su crecimiento, de mayor a menor. f(x)Y f 1 O 1

ln x

g(x)

exY

h(x)

2xY

j(x)

x2Y

k(x)Y

x

l(x)

xY l

X

g 1 O 1 X 1 h O 1 X 1 O 1 j X 1 O 1

k X

1 O 1

X

El crecimiento viene determinado por los valores de la derivada, pero en cada punto y en cada intervalo pueden presentar crecimiento diferente unas funciones y otras, es decir, puede ser que en un intervalo una funcin tenga crecimiento ms fuerte que otra, pero en otro intervalo ocurra lo contrario. Se sobreentiende que la cuestin se formula para valores grandes de x. Para ello analizamos las derivadas de las seis funciones. (ex) ex 1 ex (2x) 2x ln 2 2x 1 2 x (x2) 2x x 1

( x)2x 1;

1 2 x

(ln x) 1 2

1 x

2x 1 2 x

ln 2; ; x

x 1 4

0

ln 2 1 ; x

2x; x

x 4

4

x

Luego se puede asegurar que a partir de x e , 2 , x , x,x x 2

4 el orden de mayor a menor crecimiento de las funciones dadas es:

x, ln x

11.49. Deriva las siguientes funciones donde sea posible: a) f(x) a) ln f (x) f (x) (x2 3x)x2

b) f (x) 3x). f (x) f (x)

(sen x)cos x 3x)

c) f(x) x2(2x 3) x2 3x x ( , 0) cos2 x sen x

(x

ln x)

x

d) f(x)

xtg x

x2 ln (x2 (x22

2x ln (x2 3x) f (x) f (x)

3x)x 2x ln (x2

x2(2x 3) x2 3x

(3,

)

b) ln f (x) f (x)

cos x

ln sen x

sen x ln sen x cos2 x sen x x

(sen x)cos x

sen x ln sen x

(2k , (2k1

1) ) k 1 x ln x

Z

c) ln f (x)

x ln (x

f (x) ln x). f (x) f (x) f (x)

1 2 x

ln (x tg x x

ln x)

x

x

x tg x x

ln x. Es decir,

x

0,567

d) ln f (x)

tg x

ln x

1 ln x cos2 x

f (x)

x tg x

ln x cos2 x

x

0, x

2

k

112

Solucionario

11.50. (PAU) Halla los extremos relativos de la funcin f (x) ex 1, 1 1, x 1, 2(x 1) (x e2x f (x) f (x) f (x) 1)2ex 1 ex

(x 1)2 . x e 1, x 1

f (x) Si x Si Si x

x2

0 solo si x

0 f decreciente 0 f creciente 0 f decreciente 4 es un mximo relativo. e

As pues, P( 1, 0) es un mnimo relativo y Q 1,

11.51. Cul es el valor mnimo que puede tomar la funcin f (x) El valor mnimo que toma el exponente x2 que es V(1,

2x

2

2x

? x2 2x,

2x lo alcanza en la ordenada del vrtice de la parbola y 1 1), as que el valor mnimo de f es 2 1 . 2

11.52. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento y las asntotas de la funcin f (x) x (0, ). f (x) lm f (x)x

ex

ln (x),

ex

1 , por lo que en (0, x

) f es creciente.

, as que no hay asntotas horizontales. f(x) x , con lo que la recta x limx

La pendiente de la posible asntota oblicua vendra dada por m poco hay asntota oblicua. Finalmente, lim f (x) x0 funcin.

1 ex , por lo que tamx2 x 0 es la nica asntota vertical de esta limx

11.53. Sea f la funcin definida en todo R mediante la frmula f(x) nes son verdaderas o falsas. a) Para todo x se verifica que f (x) b) La funcin f es creciente en c) lim f(x)x

x e2x

1. Seala si las siguientes afirmacio-

(x 1 , 2 .

1)e2x.

d) lim f(x)x

e) La ecuacin f (x) a) f (x) b) Si x e2x xe2x

0 admite una nica solucin. 2 (1 2x)e2x, por lo que la afirmacin a es falsa.

1 , f (x) 2

0, con lo que f es creciente, y la afirmacin b es verdadera. , tanto g(x) x como h(x) e2x se hacen grandes, por lo que

c) La afirmacin c es verdadera, pues si x f (x) tambin.

d) Si x , g(x) x e2x tiende a 0 ( y e2x decrece a 0, mucho ms rpido que x ), por lo que f (x) 1 y d es falsa. 1 con e) La curva y f (x) tiene esta forma con un mnimo en x 2 1 1 f 0 y, al ser estrictamente creciente en , , cortar una sola vez 2 2 al eje horizontal, por lo que e es verdadera.

Y

1 O 1

X

Solucionario

113

Solucionario11.54. Sea f la funcin definida por f (x) a) Para todo x b) Para todo x c) Para todo x d) lim f(x)x

x e x. Indica si las siguientes afirmaciones son o no correctas. 0. e x.

R, se verifica que f (x) f ( x) R, se verifica que f (x) R, se verifica que f (x) f (x) 1.

0 0 0 si x ex

e) lim f (x)x

a) Al ser g(x) e x siempre positiva, f (x) siempre y a es correcta. b) f (x) ex

0, f(x)

0 si x

0 y f (0)

0, por lo que f(x)

f( x)

0

xe x, con lo que f (x) e x (1

f (x)

y b es correcta.1 O

Y 1 X

c) Como f (x)

1 1 y que correse ponde a un mximo relativo de la funcin. Como la funcin es derivable en todo R y no tiene ms extremos relativos, necesariamente el mximo relativo es tambin abso1 luto con lo que f(x) 1 para todo x de R, por lo que e es correcta. e x), se anula en x 1, cuya imagen es

d) Como hemos dicho antes, d es correcta. e) Si x , la funcin g(x) ex

se aproxima a 0 mucho ms rpido que 1

x

, as que e es correcta. 0.x

Observacin: Ntese que al tener f (x) una asntota horizontal cuando x

, entonces lim f (x)

Funciones trigonomtricas y sus inversas11.55. Halla la derivada de estas funciones. a) f (x) b) f (x) c) f(x) d) f (x) a) f (x) b) f (x) c) f (x) sen (3x2 sen (ln x cos x) 3x) 4x3 5x) x)) (6x 3x)) x 4x3 5x)) 1 x 1) 3 1)) 1 x 1 2 x 5 4)) 2x 1)5) 5(x5 1)4 5x4 j) f (x) k) f (x) l) f (x) 12x2 1) e) f(x) f) f(x) g) f (x) h) f (x) sen3 (x2 cos5 (x5 4) 1)5 i) f (x) j) f (x) k) f(x) l) f (x) g) f (x) h) f (x) i) f (x) tg (2x2 tg (sen x) x2 tg (x2) cotg (ln x) 3x2 sen x2 ex

x)

( x

x3 sen (x2) ex

cos (ln x

sen (x3)

(cos (3x2 (cos (ln x

x3 (cos x2)2x e x (cos x3) 3x2

sen x3

(sen (

1 4x x) cos2 (2x2 cos x cos2 (sen x) 2x tg x2 1 x sen2 ln x 2x3 cos2 x2

d) f (x) e) f (x) f) f (x)

(sen (ln x3 sen2 (x2 5 cos4 (x5

4)(cos (x2 1)5( sen (x5

11.56. Calcula las derivadas de las siguientes funciones. a) f (x) b) f (x) c) f(x) arcsen (x e x) d) f (x) e) f (x) x) f) f (x) arccos (1 arctg (3x arctg ln x) 1)

x arcsen x 1 arccos (2x

1 x 1 x

114

Solucionario

a) f (x) 1 b) f (x) 1

1 (x 1 x2 (x 1)2 e )x 2

(1 x

e x) 1 (x 1)2 x (x 1 1) 1 2x

c) f (x) 1 d) f (x) 1 1 (1

1

(2xln x)

x)

2

2 1 x

1 2 x

2

(Ntese que al simplificar hemos supuesto (x 1)2 x este caso coincide, pues si x 1, f no est definida.) e) f (x) 3 (3x 1 1 1 1)2 1 x x 2 1 1 x x 1 x (1 1 x)2 x

1 cuando realmente

(x

1)2

x

1 , pero en

1

f) f (x) 1

1 2 1 x2

11.57. Escribe la expresin ms simplificada de la derivada de la funcin f (x) Como cos 2x cos2 x sen2 x, entonces f(x) ln (cos 2x) f (x)

ln (cos2 x

sen2 x).

2 sen 2x cos 2x

2 tg 2x

11.58. Existe algn punto de la grfica de f(x) 1 1 sen x s en x 1 [ln (1 2 1 cos x

ln

1 sen x con tangente horizontal? 1 sen x sen x)] f (x) 1 cos x 2 1 sen x cos x sen x

f(x)

ln

sen x)

ln (1

1

1 f (x)

2 cos x sen2 x

0 para todo x; por tanto, no existe ningn punto en la grfica de dicha funcin con tangente horizontal.

11.59. Calcula el valor mximo que puede tener la suma S radianes) cumple que 0 Para qu valor del ngulo S ( ) Si S ( ) 4 cos 0, 2 3 sen ,S ( ) 0 si 1 3 sen 4 cos 4 cos 4 3

4 sen

3 cos

sabiendo que el ngulo

(en

. 2 se alcanza dicho valor mximo?

= 0, es decir, si 2 arctg ,S ( )

4 3

tg . Si 0

arctg

4 , entonces 3

0, por lo que S( ) es creciente, y si arctg

0, con lo que f es decreciente y el valor tg2 1 cos2 3 , tenemos que 3 5 5.

mximo en dicho intervalo se alcanza, pues, en 1 16 9 1 cos2 , cos 3 y sen 5

4 , y como 1 3

4 4 , por lo que el mximo valor de S( ) es 4 5 5

Curvatura e inflexin11.60. Calcula las abscisas de los puntos de inflexin de f (x) si f (x) (x 2)(x 4)2(x 5).

Los posibles puntos de inflexin son los de abscisas x 2, x 4, x 5, y como f (x) cambia el signo solo al pasar por x 2 y por x 5, los nicos puntos de inflexin de f(x) son los de abscisas x 2yx 5. 11.61. Estudia la curvatura de la funcin f(x) f (x) 2e2x 12ex 8x ; f (x)x

e2x

12ex 12ex 8

4x2

x

e.

4e2x

As pues, f (x)

0 siempre, ya que e lo es, por lo que, en todo R, la grfica de f es cncava hacia arriba.

Solucionario

115

Solucionario11.62. Determina la posicin de los puntos de inflexin de las siguientes funciones indicando, en su caso, si son o no de tangente horizontal. a) f (x) a) f (x) valores, 2 b) f (x) 1 6 5x4 x4 4x3 x2 2x, f (x) 1 y 6 b) f (x) 12x2 2 x5 12 x 3x3 1 6 1 x c) f (x) sen3 x

1 . Como f cambia el signo al pasar por esos dos 6 1 1 2 1 , dichos nmeros son abscisas de puntos de inflexin, y al ser f 6 6 3 6

0 en dicho punto la tangente no es horizontal, al igual que en el otro, por tratarse de una funcin par. 9x2, f (x) 20x3 18x 2x(10x2 9) 0 solo si x 0, donde cambia el signo de f (x). 0.3

As pues, se trata de un punto de inflexin con tangente horizontal, pues f (0)5

Ntese que al ser la grfica de f igual que la de funcin impar g(x) x 3x , solo que desplazada una unidad hacia abajo, el punto de abscisa 0 tena obligatoriamente que ser punto de inflexin por serlo en la grfica de g, y en esta lo era por ser dicha grfica simtrica respecto del origen y cambiar, por tanto, la curvatura en dicho punto. c) f (x) f (x) x 3 sen2 x cos x. f (x) 0 si sen x 3 . 3 6 sen x cos2 x 3 sen3 x 3 sen x(2 cos2 x k sen2 x) 3 sen x (3 cos2 x arccos 3 o 3 1)

0 o si cos x

3 , es decir, si x 3

con k entero o si x

arccos

1 se factoriza en factores liComo en todos esos valores cambia el signo de f (x), pues el factor 3 cos2 x neales en cos x, todos esos puntos son puntos de inflexin, y los nicos en los que la tangente es horizontal son x k . 11.63. Se considera la funcin f(x) x3 3x2 1.

a) Calcula la ecuacin de la recta tangente en su punto de inflexin. b) Hay algn punto de esta curva en el que la recta tangente sea perpendicular a x a) f (x) 3x2 de f (x). Como f (1) 6x; f (x) 6x 6 0 si x 4y 5 0?

1, que es un punto de inflexin ya que cambia en l el signo 1 3(x 1) y 3x 2.

3, la ecuacin de la tangente en dicho punto es y

b) La pendiente de la recta es m la derivada f (x) nunca es es no.

1 . Cualquier perpendicular a ella debe tener por pendiente el nmero 4 y 4 4, pues su mnimo lo alcanza en x 1, y es f (1) 3, as que la respuesta a b

11.64. La siguiente grfica corresponde a la derivada primera de una funcin continua y derivable. a) Esboza la grfica de la derivada segunda de la misma funcin. b) Esboza la grfica de la funcin.f'(x)

Y

1 O a)Y 1 O 1 X 1 O 1 X

1

X

b)

Y

La funcin f (x) tiene pendiente constante m

3 , luego f (x) 4

3 . 4 , 4) y decreciente

Como f (x) 0 x ( , 4) y f (x) 0 x (4, ), la funcin f(x) ser creciente en ( en (4, ), teniendo, por tanto, un mximo relativo para x 4.

116

Solucionario

11.65. Analiza si las siguientes afirmaciones son o no verdaderas, sabiendo que las funciones f y g tienen segunda derivada continua en todo R. a) Si f (a) b) Si f (a) c) Si f (a) d) Si f (a) e) Si f (a) g (a), entonces f y g tienen tangentes paralelas en a. 0, entonces f tiene tangente horizontal en a. g (a) 0, entonces es posible que f o g tengan un punto de inflexin en a. 0, entonces entre a y b hay un punto de inflexin. 0 y f (b)

0, entonces f tiene un punto de inflexin en a. a con tan-

a) Falsa, pues f (a) no tiene por qu ser g (a). Basta que f y g presenten puntos de inflexin en x gentes de diferente inclinacin en ese punto. b) Falsa, pues f (a) no tiene por qu ser cero. c) Falsa. Es imposible que f o g presenten punto de inflexin en a, pues f (a) 0 y g (a) 0.

d) Verdadera. Al ser f (x) continua en R, es seguro que habr algn nmero en (a, b) donde f (c) 0 y que cambie de signo en un intervalo centrado en c, por lo que el punto de abscisa c ser punto de inflexin. e) Falsa. Por ejemplo, f (x) x 4, en a 0 no cambia el signo de la segunda derivada y f (0) 0.

Representacin de funciones polinmicas11.66. Realiza un estudio completo de las siguientes funciones polinmicas y dibuja su grfica. a) f (x) b) f (x) x2 x3

2x 4x2

3 3

c) f(x) d) f (x)

x4 x3

4x3 4x

4x

8

e) f (x) f) f (x) 2 0, a

x3 x3

3x2 x2

x

a) Se trata de una parbola con vrtice en V (a, f(a)) tal que 2a es decir, V( 1, 4) y corte con el eje Y en (0, 3).

1,

Y

1 O 1

X

b) Cortes con los ejes: eje Y: (0, 3) Eje X: como x3 zontal en (1, 0),2

Y

4x2 3 2

3 21

(x

1)(x2 3

3x 2

3), esta curva corta al eje hori21 ,0 .1 O 1 X

, 0 y en

8x, los puntos con tangente horizontal son los de absciAl ser f (x) 3x 8 sas 0 y , presenta un mximo relativo en M(0, 3) y un mnimo relativo en 3 8 175 . m , 3 27 f (x) 4 I , 3 6x 8 se anula para x 47 . 27 y lim f (x)x x

4 , que corresponde al punto de inflexin 3

Adems, lim f (x)

.

Solucionario

117

Solucionarioc) Corte con el eje Y: (0, f (x) 4x3 12x2 4 12x2 8). 4 (x3 3x2 1), polinomio sin races enteras y, por tanto, no muy cmodo de manejar.

En cambio, f (x)

24x s es manejable y su grfica es como se ha representado al final. 2 y un mnimo en x 0, siendo

Observando la grfica de f (x), vemos que f (x) tiene un mximo en x f ( 2) 0 y f (0) 0. Por otra parte, lim f (x)x

, lim f (x)x

. As que la grfica de y 2, pues f ( 3) 0 y f ( 2)

f (x) es algo as. 0, entre 1 y 0 y entre 0 y 1 por la

Observamos que f se anula entre misma razn.

3y

Hallando unos cuantos puntos con una tabla de valores se obtiene la grfica aproximada de la funcin f(x).Y Y Y 2 O

1 O

1

X

2

X

1 O

1

X

f (x) d) f (x) x3

12x2 4x

24x x(x 2)(x

f (x) 2). Races x 0, x

4(x3 2, x

3x2 2

1)

f (x)

x4

4x3Y

4x

8

Es una funcin impar, simtrica respecto del origen de coordenadas. 2 f (x) 3x2 4, que se anula para x 1,15. 3 Mximo M f (x) 2 3 16 3 2 3 , , mnimo m , 3 9 3 16 3 91 O 1 X

6x, que nos indica que el punto (0, 0) es de inflexin.

e) f (x) f (x)

x3 3x2

3x2 6x 3 3

x

x(x2

3x

1). Races x 3 3 6x 6 v , 0,08 ,

0, x

3 2

5

Y

1. Mximo M 6 ,

mnimo m

v 2,08 ; f (x)

6. Inflexin I (1,

1)

1 O 1

X

f) f (x) f (x) f (x)

x3 3x2 6x

x2 2x

x2(x x(3x

1). Races x

0 (doble), x

1 2 , 3 4 27

Y

2). Mximo M(0, 0), mnimo m 1 , 3 2 27

2. Inflexin en I

1 O

1

X

118

Solucionario

Representacin de funciones racionales11.67. Haz un estudio completo de la funcin f (x) sabras dibujar ahora la grfica de g(x) x2 2 x 4x (2 x2 , f (x) x)2 8 (2 x)3 x2 y dibuja su grfica. Basndote en la grfica obtenida, 2 x x2 ? x 2Y

f(x)

, f (x)

La funcin se anula para x

0. Cortes con los ejes (0, 0).2 O 2 X

La derivada se anula para x 0, x 4 y estudiando su signo, se comprueba que hay un mximo relativo en M(0, 0) y un mnimo relativo en m(4, 8). La segunda derivada no se anula. No hay puntos de inflexin. Asntotas: limx2

x2 2 x2 2 x x

, as que x

2 es asntota vertical.

Adems, limx2

No hay asntotas horizontales, y como que la recta y La funcin g(x) x x2

x2

2 x 2 es asntota oblicua.

x

2

4 2 x

Y

, tenemos

verifica que g(x) x 2 simtrica de f (x) respecto del eje X.

f(x), as que su grfica ser

2 O 2

X

11.68. Representa las grficas de las derivadas de las funciones que se corresponden con las siguientes grficas. a) Y 1 f XY 1 O 1 X

O 1

b)

Y

Y

g 1 O 1 c) Y X

1 O 1 X

Y

1 O 1

h X

1 O 1 X

Solucionario

119

Solucionario11.69. Representa la grfica de la funcin f(x) 1 x x2 x 1 x 1 , realizando previamente el estudio completo de la misma. xY

f (x)

x

.

Cortes con los ejes: no existen. Asntotas: lim f (x)x0

, as que x .

0 es asntota vertical.

Adems, lim f (x)x0

1 O 1

X

No hay asntotas horizontales, y la recta y 1 lim (f (x) x) lim 0. x x x No hay cortes con la asntota oblicua.

x es asntota oblicua, pues

Las coordenadas de los extremos relativos de esta funcin son cmodas de obtener, pues f (x) solo si x 1, x 1. As que P(1, 2) es un mnimo relativo, y Q( 1, 2), un mximo relativo.

1

1 se anula x2

11.70. (TIC) Realiza el estudio completo de la funcin f(x) Cortes con los ejes: (0, 0). Asntotas lim f (x)x1

x y dibuja su grfica. x2 1

, as que x

1 es una asntota vertical. 1 tambin lo es.Y

Anlogamente, lim f (x)x 1

, por lo que x y lim f (x)x 1

Por otra parte, lim f (x)x1

.

lim f (x)x

0, as que y

0 es una asntota horizontal (por ambos lados, al1 O 1 X

tratarse de una funcin racional). No hay asntota oblicua. Esta funcin es decreciente en su dominio. x2 1 2x2 1 x2 En efecto: f (x) 1)2 1)2 (x2 (x2 ro x el dominio de f.

0 sea cual fuere el nme-

Representacin de otros tipos de funciones11.71. Representa las siguientes funciones. a) f (x) a) f (x) 32x 32x1

b) f(x) 31 2

sen 4x

c) f(x)

ln (x

2)

d) f(x)

tg x

2

1

32x 32x y posteriormente la grficaY

Dibujamos en primer lugar la exponencial y2 x

de f (x) 3 sin ms que aplicar la traslacin de media unidad a la izquierda correspondiente.

1 1 X

O

120

Solucionario

b) f(x) ln (x 2). A partir de la funcin y ln x, bastara desplazarla 2 unidades a la izquierda.Y

c) f(x)

sen 4x. A partir de y sen x, se comprime el periodo 4 veces.

d) f(x)

2 la grfica de y izquierda.Y

tg x

. Desplazamos tg x, 2 a la

Y

1

1 1 X

O

1

X

O

O

X

11.72. (TIC) A partir de la grfica de y a) f(x) b) f(x) sen x sen x 2 2 c) f(x) d) f (x)

sen x, dibuja la grfica de estas funciones. sen (x sen (x 2) 2) e) f(x) f) f(x) sen x sen ( x) g) f (x) h) f (x) sen x sen x i) f (x) j) f (x) 2 sen x sen (2x)

Comprueba los resultados con ayuda de la calculadora grfica o el ordenador. a)Y 1 O X

c)

Y 1 O X

e)

Y 1 O X

g)

Y 1 O X

i)

Y 1 O X

b)

Y 1 O X

d)

Y 1 O X

f)

Y 1 O X

h)

Y 1 O X

j)

Y 1 O X

11.73. (PAU) Sea f (x)

x2 2 ln , se pide: 2x 1

a) Dominio, cortes con los ejes y asntotas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) A partir de los datos obtenidos, representa grficamente la funcin. a) D x R/ x2 2x 2 1 0 2, 1 2 ln

( 2,x 2x2

)2 x 1 2x2

Y

Corte con Y: (0, ln 2). Cortes con X: 0 x 1 2 D

2 1

11

Asntotas verticales x

1 porque lim ln 2 1 x2

x2 2x

2 1

O

1

X

. Adems, en

x 2 por la derecha y en x tiende a en ambos puntos. b) f (x) 2x2 2x (x2 2)(2x 4 1)

2 por la izquierda, ya que la funcin

0 para todo x

D(f) f es siempre creciente.

Solucionario

121

Solucionario11.74. Representa grficamente una funcin que satisfaga todas estas condiciones: a) f (0) 0, f (0) 0 3 es una asntota vertical. , 3) ( 3, 0)1 O 1 X Y

b) La recta x c) Creciente en ( d) lim f(x)x1

e) lim f(x)x

0; lim f (x)x

0 (1, )

f) Decreciente en (0, 1)

Podra ser una funcin como la representada, cuya ecuacin es f(x)

(x

x2 3)(x

1)3

.

11.75. Representa grficamente, en cada caso, una funcin que cumpla: a) Dom f c) lim f(x)x

R

{ 2, 2}. Corta los ejes en ( 3, 0), (0, 0) y (3, 0). lim f (x)x

Y 1 O 1 X

b) Tiene dos asntotas verticales. 0 4, x 0yx 4.

d) Su derivada se anula en x

e) La derivada segunda tiene como representacin grfica la siguiente: Una funcin que cumpla las cuatro primeras condiciones puede ser como la dibujada a la izquierda: Una funcin que cumpla la condicin e podra ser y x3.Y

1 O 1

X

Sntesis11.76. Calcula la derivada de todas estas funciones identificando previamente de qu tipo de funcin se trata. a) f (x) b) f(x) c) f(x) d) f(x) x ln (x) x 2x) ecos2

e) f (x) f) f (x) g) f (x) h) f (x)

ln (cos x) ex e x 2 (sen x)e (ex)sen x f (x) f (x) f (x)x

i) f(x) j) f (x) k) f (x) l) f (x) ln x (2xsen x2

arcsen ex ln (tg x) tg (ln x) 2 sen x cos x 12

m) f (x) n) f(x)

cos x e sen ln (cos x)

sen (x2 esen2

x

x

x 1 ln x 1

a) Producto de logaritmos y polinomios b) Trigonomtrica c) Exponencial

1

ln x 2x) ecos x 2 sen x cos x2 2

2) cos (x2

e 2 sen x cos x sen 2x (esen x ecos x)

122

Solucionario

d) Logartmica e) Logartmica f) Exponencial g) Potencial-exponencial

f (x) f (x) f (x) ln f (x) f (x)

x x

1 x 1

1 (x

x 1 1)2 tg x

(x

2 1)(x

2 1) 1 x2

1 ( sen x) cos x ex 2 ex ln sen x,x

e

x

ex f (x) cos x ex ln sen x sen x f (x) e x cotg x) (sen x) e (ln sen x x cos x)

h) Exponencial. i) j) Inversa de una trigonomtrica Logartmica

f (x) f (x)

ex sen x (sen x ex 1 e2x 1 cos2 x cos x sen x

f (x) f (x) f (x) f (x) f (x)

1 sen x cos x 1 x

k) Raz cuadrada l) Trigonomtrica

1 1 2 2 tg (ln x) cos (ln x) 2 cos 2x ex cos x ex sen x e2x cos ln cos x 1

m) Cociente de trigonomtrica y exponencial n) Trigonomtrica

sen x ex

cos x

2 ln cos x

1 ( sen x) cos x

11.77. Halla un punto de la curva y

3 x2 en el que la recta tangente forme un ngulo de 45 con la horizontal. 2 3 3 x en el que f (x) 22

3

Nos piden hallar un punto de la funcin f (x) 3 . y el punto pedido es P 1, 2

1. f (x)

3 2

2 x 3

1 3

13

x

1 x

1

11.78. Encuentra todas las rectas tangentes a la curva y lelas a la recta indicada en la figura. La recta en cuestin tiene pendiente 2k o x 3 respectivamente. x 1 , as que y 2

sen x que sean para-

Y 1 O 1 y = senx x 2y + 2 = 0 X

cos x

1 hace que 2 3 , 2

3

3 o 2k , y el seno de los ngulos es 2

As pues, todas las rectas buscadas son las de ecuacin y 3 2 1 x 2 2k oy 3 2 1 x 2 2k con k Z.

3

3

Solucionario

123

Solucionario11.79. (PAU) Dadas las funciones f(x) vada. (g (g f )(x) f ) (x) g(f (x)) ln3

x2

x

1 y g(x)

ln (x

8), escribe la funcin g

f y calcula su deri-

( x23

3

x

1 1

8) 1 2 (x 3 x 1) 2x2 3

g (f (x))f (x) 2x 1 8)

(2x 1

1)

x

2

x

1

8

3( x2

3

x

1

3

(x2

x

1)2

3(x

2

x

1

2 8 (x

3

x

1)2)

11.80. (PAU) Considera las funciones definidas para x

0: f(x)

x arcsen y f (x) 1 + x2

x arccos . 1 + x2

a) Calcula f (x) y g (x), y exprsalas del modo ms simplificado posible. b) Compara los resultados y deduce justificadamente la diferencia entre f(x) y g(x). 1 a) f (x) 1 g (x) 1 1 x2 1 x 12

x2 1

2x2 2 1 x2 x2 1 x2 (1 1 x2 x) 12

x2 x2

1 1 x2

x2 f (x) arccos x , las derivadas de estas funciones son, efectivamente, opuestas. arcsen x

b) Puesto que arcsen x

2

Es interesante hacer notar que f (x)

y g(x) arctg x tienen la misma derivada. La razn? 1 x2 x Son la misma funcin, pues el arco cuya tangente es x coincide con el arco cuyo seno es , ya que si 1 x2 x2 1 1 x es tal arco, sen , por lo que cos2 1 , y al ser 1 tg2 , es 2 1 x2 1 x2 cos2 1 x 1 x2 1 x2, por lo que tg x (recordar x 0).

tg2

11.81. Explica con claridad por qu la funcin f (x) La derivada de esta funcin, f (x) 2 sen 2x

cos 2x

4x no tiene extremos relativos. 2.

4, nunca se anula, pues sen 2x nunca puede ser

11.82. (PAU) Halla los mximos y mnimos de f(x) Como x2

ex . 0 y vale 1.

2

0, el mnimo de esta funcin se alcanza en x .x

No hay mximos absolutos, pues lm f (x) Tampoco hay mximos relativos, pues f (x) de un mnimo absoluto.

2xex solo se anula en x

2

0, puesto que ya hemos visto que se trata

124

Solucionario

11.83. Explica con claridad por qu f(x) el intervalo [0, ]. f (x) tg x es continua en 0, 4 .

tg x tiene un mximo en el intervalo 0, y, en cambio, no lo tiene en 4

4

, por lo que alcanzar el mximo y, al tratarse de una funcin creciente, dicho

mximo lo alcanza en x

En cambio, al presentar una asntota vertical en x

2

, dicha funcin no tiene mximo en [0,

].

11.84. PAU Se considera la funcin f(x)

1 . 2 sen x cos x , ]. 1, que en [ , ] se alcanza en

Calcula sus extremos relativos y/o globales en el intervalo [ f (x) x cos x sen x ; f (x) sen x cos x)2 3 ,x . 4 4 (2 0 si cos x

sen x, es decir, tg x

Para obtener, entonces, los extremos globales se calcula: f( f( ) 1 , f( ) 3 1 ,f 3 4 1 4 2 2 ,f 3 4

), f( ), f

4

,f

3 : 4

absoluto en x extremo local.

y el mnimo absoluto en x

1 , con lo que en el intervalo [ , ], f alcanza el mximo 2 2 3 , y no existe ningn otro punto donde f pueda presentar un 4

11.85. Sea la funcin f (x)

sen (ex). Calcula la derivada de la funcin (fx x

f)(x).x

(f f ) (x) f (f (x)) f (x). Como f (x) ex cos ex, tenemos que f (f(x)) ef (x) cos ef (x), es decir: esen e sen e sen e x x por lo que la derivada pedida (f f ) (x) ser e cos e e cos e . Es posible que el estudiante tenga menos dificultad si obtiene previamente la funcin (f f )(x). Procediendo as, dira: (f f)(x) f (f(x)) f(sen ex) sen esen e , por lo que (f f) (x) expresin que, obviamente, coincide con la obtenida anteriormente.x

cos esen e ,

x

cos (esen e )esen e

x

x

cos ex ex,

11.86. Calcula f (0) sabiendo que f (x)

[g(x)]cos x y que g(0)

g (0)

e. cos x ln g(x).

Para obtener f (x), apliquemos la derivacin logartmica: ln f(x) f (x) f (x) sen x ln g(x) cos x g (x) g(x) sen x ln g(x)

As pues, f (x)

(g(x))cos x

cos x g (x) , por lo que f (0) g(x)

e1

e e

e.

Solucionario

125

Solucionario11.87. Realiza un estudio completo de la funcin f (x) Cortes con los ejes: (0, 0). Al tratarse de una funcin continua no tiene asntotas verticales y lim x2x

x2

ex y a continuacin dibuja su grfica.

ex

horizontales por la derecha. Tampoco hay oblicuas por la derecha, pues m lim x2x

, por lo que no hay asntotas f (x) . lim x xY

ex

0 (como el estudiante no maneja el teorema de L Hpital, debe

confirmar este resultado utilizando la calculadora). As pues, la recta yx

0 es una asntota horizontal por la izquierda.

2) se anula en x 2 y en x 0. Como f (x) 0 y f (x) x e (x f (0) 0, el punto de abscisa x 0 es un mnimo absoluto, y como y 0 es una asntota horizontal por la izquierda, el punto de abscisa x 2 es un mximo relativo.

1 O 1 X

11.88. Sea la funcin f (x)x

x2

e 1000 . Calcula sus mximos y mnimos en el intervalo cerrado [ 3000, 3000].x x

x

f (x)

2x e 1000

x2 e 1000 1000

x e 1000 2

x 1000

As pues, en el intervalo [ 3000, 3000], la derivada se anula en x 0, x 2000, por lo que en dicho intervalo, tanto el mximo como el mnimo se encontrarn en alguno de estos puntos: x 3000, x 9 9 4 3000, x 106 106 106 e e3 e2 3

0, x

2000. Calculemos el valor de f en cada uno de ellos y decidamos.

f ( 3000) f (3000) f (0) 0 f ( 2000)

Tenemos entonces que el valor mnimo se alcanza en x En x x 2000 hay un mximo relativo, pues f ( 2000) 0, f (x) 0.

0, y el mximo, en x 0, y si 3000 x

3000. 2000, f (x) 0, y si 2000

11.89. (PAU) Realiza un estudio completo de la funcin f(x) 2x ; f (x) 1)2 6x2 (x2 2 1)3

x2 y dibuja su grfica. 2 x 1

f (x)

(x

2

Dominio R

{ 1, 1} es una funcin par.

Y

Corte con los ejes (0, 0) Asntotas: verticales x Monotona: creciente en ( Mximo relativo en (0, 0). Curvatura: ( , 1) (1, ) cncava para arriba [f (x) 0] 0] 1, x , 0) 1. Horizontal y 11

{ 1} y decreciente en (0,

)

{1}.O 1 X

( 1, 1) cncava para abajo [f (x) No tiene puntos de inflexin.

126

Solucionario

11.90. Asocia cada funcin de la izquierda con su correspondiente grfica de la derecha.Y

f (x)

x2 x2

1

1 O 1 X

I

f (x)

x x2 4

Y

f (x)

e

x

2

2 O 2 Y X

II

f(x)

ex sen x

f (x)

x x2 4

1 O 1 X

III

f(x)

x3 5

x

Y

f (x)

ln (x2

1)1 O 1 Y X

IV f(x)

x2 x2

1

f (x)

ex sen x

1 O 1 Y X

V

f(x)

e

x

2

f (x)

x3 5

2

x

O 2

X

VI f(x)

ln(x2

1)

PROBLEMAS11.91. Se llama recta normal a una curva en un punto de la misma a la perpendicular a la tangente a la curva en 1 . dicho punto. Calcula la recta normal a la grfica y ln x en el punto de abscisa x 2 Punto de tangencia: A 1 , 2 ln 2 . Pendiente de la tangente mt f 1 2 1 1 2 2.

Pendiente de la normal mn

1 mt

1 . Ecuacin de la normal y 2

ln 2

1 x 2

1 y 2

x 2

1 4

ln 2.

11.92. Un meteorito se mueve, en un cierto sistema de referencia, segn una trayectoria dada por la curva x y . Desde el punto A(5, 1) se lanza en lnea recta una sonda que se quiere que intercepte al meteox 3 rito cuando ambos tengan velocidades paralelas. Calcula la ecuacin de la trayectoria de la sonda. (Fjate que el problema equivale a calcular la recta tangente a la curva que sigue el meteorito desde el punto de partida de la sonda). La recta buscada pasar por A(5, 1) y B b, b ser b b b 3 5 1 y tambin f (b), o sea, (b 3) b (b b b 3 3)2 3 , siendo tangente en B. As pues, la pendiente de esta recta 3 3)(b 3 5) (b 1

. Tenemos entonces que

(b

3, podemos escribir

5, es decir, b

1, y la ecuacin de dicha recta es y

, y como 3)2 3 (x 5). 16

Solucionario

127

Solucionario11.93. La posicin de una partcula en funcin del tiempo en un movimiento rectilneo viene dada por la expresin x(t) 2t3 12t2 5t 1. Calcula: a) La velocidad y la aceleracin de la partcula en funcin del tiempo. b) Los valores mximo y mnimo de la velocidad. c) Los intervalos de tiempo en los cuales la partcula tiene aceleracin positiva y negativa. a) v(t) d(x(t)) dt

(x (t))

6t 2

24t

5

a(t)

d (v(t)) dt

(v(t))

12t

24

b) Entenderemos como valor mximo o mnimo de la velocidad el valor absoluto de dicha velocidad. 12t 24 0 t 2 s. Como v (t) 0 t ( , 2) y v (t) 0 t (2, ). La velocidad mxima se v(2) 23 ms 1. La velocidad mnima ser v 0 y se alcanza para alcanza para x 2 m y ser vmx t 24 12 456 3,8 s. ) y positiva en ( , 2).

c) Aceleracin negativa en el intervalo (2,

11.94. Un mvil se mueve con una velocidad que vara con el tiempo t (en segundos) segn la ecuacin v(t)3

t23

10t. Cul es la velocidad del mvil a los 2 segundos de comenzar a moverse? Y a los 9 segun-

dos? Cundo es mxima? Cul es la velocidad inicial? v(2) v (t) t 16 2,52 m/s v(9)3

9

2,08 ms

1

2t 10 se anula para t 5 s, y como v(t) es decreciente en ( , 5) y creciente en (5, 3 10t)2 3 (t2 3 5 tiene un mnimo relativo. La funcin no alcanza un valor mximo, pues lim ( t2 10t ) .x

), en

La velocidad inicial es v(0)

0 ms 1

11.95. (PAU) Halla a y b para que la funcin f (x) a ln x bx2 x tenga extremos relativos en los puntos de abscisa x 1yx 2. Qu tipo de extremos son (mximos o mnimos)? f (1) 2bx 1 f (2) 2 3x2 1 y f (1) 3 0 a 0 a 2 2b 4b 1 1 0 a 2 3 1 6 2 hay un mximo relativo.

f (x)

a x

0 b

Como f (x)

0, f (2)

0 en x

1 hay un mnimo relativo y en x

11.96. La ecuacin del espacio recorrido por un mvil segn cierto movimiento en un tiempo t viene dada por la B e kt, donde A, B y k son constantes. Demuestra que la aceleracin es proporciofuncin s(t) A ekt nal al espacio y calcula la constante de proporcionalidad. a(t) s (t) s (t) s (t) kAekt k2Aekt kBekt

k2Be

kt

k2 s(t); as pues, a(t) es proporcional a s(t), siendo k2 la constante de proporcionalidad.

128

Solucionario

11.97. Calcula el valor del parmetro a para que la funcin f (x) vada primera se anule. Qu tipo de extremo es? f (x)

ex tenga un solo punto en el que su deri2 x 2a 2a 1 2 0 con solucin doble, y esto sola-

ex(x2 2x 2a) como ex 0 x, deber verificarse que x2 2x (x2 2a)2 mente ocurre cuando su discriminante es cero. 4 8a 0 a Como f (x) lativos. ex(x2 (x2 2x 1) 2a)2 ex (x (x2 1)2 1)2 0 x

1, la funcin es siempre creciente y no tiene extremos re-

11.98. Sea la funcin f (x) sen x, calcula sus primeras derivadas f , f , f , y deduce una frmula para encontrar su derivada ensima. f (x) cos x, f (x) cos sen cos cos x si n x si n x si n x si n sen x, f (x) 4k 4k 4k 4k 1 2 k 3 cos x, f IV(x) sen x. En general:

f (x)

n

1, 2

11.99. En una plantacin se pone en marcha un plan para eliminar una plaga de roedores que est afectando al cultivo. Se espera que de esta forma la poblacin de roedores se comporte de acuerdo a la siguiente ley: N(t) (2 t) et 10

donde t es el tiempo en semanas, correspondiendo el valor t las medidas del plan, y N es el nmero de roedores en miles.

0 al momento en que se empiezan a aplicar

a) Determina hasta qu momento no comenzar a observarse una reduccin en el nmero de roedores. b) A partir de una tabla de valores, calcula cunto tiempo deber transcurrir hasta que la poblacin de roedores est por debajo del 10 % de su valor inicial. a) N(t) (2 t) et 10

N (t)

e

t 10

(2

t) e

t 10

1 10

e

t 10

8 10

t

. Se anula para t

8 semanas.

Como N (t) 0 si t 8 y N (t) 0 si t 8, quiere decir que hasta dentro de 8 semanas no comenzar a observarse una reduccin del nmero de roedores. A las 8 semanas se dar, por tanto, el mximo en la poblacin de roedores. b) El 10 % de la poblacin actual est N(t) 8 4,49

1 N(0) 1020 2,977

1 1040 0,769

2

e050 0,35

0,2 miles de roedores.55 0,23 56 0,21 57 0,197

Debern transcurrir entre 56 y 57 semanas.

Solucionario

129

Solucionario11.100. Las prdidas o ganancias (y) en millones de euros de una empresa fundada hace medio ao vienen dadas t , donde t es el tiempo expresado en aos y el valor de t 0 corresponde al por la expresin y t 3 momento actual. a) Representa grficamente la funcin. b) Calcula la ganancia mxima previsible en el futuro, si existe, y el momento en que se producir. c) Halla para qu tiempo las ganancias igualan a las prdidas que hubo en el momento de fundarse la empresa. d) Razona si tendra sentido aplicar esta misma funcin al caso de una empresa fundada hace tres aos. a) La grfica es la de la derecha. No tiene sentido representarla para valores menores que 0,5 que corresponde al momento en que se fund la empresa. b) y 3 0 t 3. Las ganancias aumentarn constantemente, (t 3)2 tendiendo a un milln de euros, pero sin llegar a alcanzarlo nunca. A 0,5 f ( 0,5) 0,5 2,5 0,2 millonesY 1

O

1

X

c) Cuando se fund la empresa, t de euros de prdidas.

t Las ganancias sern de 0,2 millones de euros cuando 0,2 t 3 0,6 0,75 aos. Dentro de 9 meses. 0,2t 0,6 t t 0,8 d) No tendra sentido porque hace 3 aos esta funcin no esta definida.

11.101*. Supn que f y g son funciones derivables para las que se verifican las dos condiciones siguientes: 1) f(0) 2) f (x) 0 y g(0) 1 f(x) g2(x), calcula h (x) y utiliza el resultado que obtengas para demostrar que h(x) 1

g(x) y g (x)

a) Sea h(x) f 2(x) para todo x.

b) Supn que F y G son otro par de funciones derivables que satisfacen las condiciones 1 y 2, y sea k(x) [F(x) f (x)]2 [G(x) g(x)]2. Calcula k (x) y utiliza el resultado que obtengas para deducir qu relacin existe entre f y F y entre g y G. c) Muestra un par de funciones f y g que satisfagan las condiciones 1 y 2. Puede haber otras? a) h (x) h(0) b) k (x) 2f (x)f (x) 2g(x)g (x) 2f (x)f (x) 02 12 1, h(x) 1 para todo x. 2[F(x) f (x)][F (x) f (x)] f(x) f (x)] F(x) 2[G(x) f(x)] 2f (x)f(x) 0 para todo x. As pues, h(x) es constante, y como

g(x)][G (x) 0

g (x)]

2[F(x) 2[F (x)

f (x)][F (x) f (x)][F(x)

2[F (x)

f (x)][ F(x)

f(x)]

As pues, k(x) es constante, y como k(0) [0 0]2 [1 1]2 0, k(x) es la funcin idnticamente nula que, al ser suma de dos cuadrados, cada uno de ellos es 0, por lo que F(x) f (x) y G(x) g(x). c) f (x) f(0) sen x, g(x) cos x verifican 1 y 2, y, por el apartado b, son las nicas funciones f y g tales que 0, g(0) 1, f (x) g(x) y g (x) f(x).

130

Solucionario

PROFUNDIZACIN11.102. Calcula una funcin f(x) tal que su derivada sea f (x) 4x3 2x2 x3

x2.

Existe una funcin f(x) cuya derivada es f (x) y que verifica que f(0) f (x) f (x) x4 x4 2 3 x 3 2 3 x 3 x2 2 x2 2 3 5 3 53

5?

x5 x5

C, as que la funcin 5 verifica que f (x) es la funcin dada y f (0) 5.

3

11.103*. Calcula limt0

2 sen ( t) sen .

t

(Aplica la definicin de derivada en un punto de una determinada funcin.) La derivada de la funcin f (x) limt0

sen x2 en el punto dado por x que es el lmite pedido.

es: f

(

)

limt0

f(

sen

(t

t)

2

sen

t) t

f(

)

As pues, como la derivada de dicha funcin es f (x)

2x cos x2, el lmite pedido ser 2

cos

2

.

11.104.

Prueba que la exponencial y La exponencial buscada, y f (x) a , f (x)0

ax que es tangente a la recta y ax, verifica que existe x0 0 con f(x0)

x es aquella cuya base es a x0 y f (x0)1 x00

e

e.

1.

x

ln a

a.0

x

As pues, ax

x0 y ln a ax

1, es decir, ln a

x0

1, ln a

1 ,a x0x

10

1

ex , ex

x0, x0

eya

ee

e

e.

11.105.

(TIC) Sea x 0. Dibuja con la calculadora la grfica de f (x) mximo absoluto? Cunto vale este? ln f (x) f (x) f (x) 1 ln x x1

x. En qu punto crees que alcanza el

1 ln x x2

1 x2

1 (1 x2

ln x), f (x)

xx (1 x2

ln x) se anula slo cuando 1

ln x

0, x

e.

Si x e, f (x) 0, es decir, f es creciente, y si x absoluto de dicha funcin.Y

e, f (x)

0, por lo que el punto (e,

e

e) es el mximo

1 O 1 X

Solucionario

131

Solucionario11.106*. Calcula el rea del tringulo equiltero formado por el eje horizontal y las tangentes a la curva y en puntos de abscisa del intervalo [0, ]. Para la curva y pendiente o f (a) curva y 3y sen 2x

sen x es fcil ver que no existe tal tringulo. En efecto, dos lados del tringulo deben tener de 3, respectivamente. As pues, como f (x) cos x, no hay ningn punto a donde f (a) 3

3, por lo que no hay ningn tringulo equiltero formado por el eje horizontal y tangentes a la sen x en puntos de [0, ]. sen 2x, la derivada es y 3, entonces 2 cos 2x 12 5 12 2 cos 2x. 3 1 P A O Q B 1 X Y

Para la curva del enunciado, y Como la pendiente tiene que ser 3 2 2x 2x 1 12 2 , 1 2

cos 2x

x 6 5 x 6 Q 3 x 5 1 , 12 2 12

Puntos de tangencia P Rectas tangentes: y

ey

1 2

3 x

5 12 1 2 3 1 ,0 1 3 3) 362

Puntos de corte con el eje horizontal: 0 0 1 2 3 x 5 x 12 1 2 3 5 12 1 2

1 2 5 12 1 2 3 3 32

3 x

12 12

x

12 5 12 3 3

0,027 1 2 3 1,62 u. ,0

1,598. A 1 12 3 2

B

2 3

El lado del tringulo mide: AB 1 2

2 3

3 3

El rea S

AB2

sen 60

(

1,14 u 2

11.107.

De todos los trapecios que tienen tres lados iguales, encuentra aquel que tiene rea mxima. (Ayuda: toma como variable el ngulo que forma la base mayor con uno de los lados oblicuos.) Obtengamos el rea en funcin del ngulo . Llamando b a la longitud de cada uno de los tres lados iguales, la altura de dicho trapecio es b sen , y la base mayor es b 2b cos . As pues, el rea es b b 2b cos b sen b2(1 cos ) sen , funcin que 2 depende solamente de , pues la longitud b la suponemos fija. 0,b b

, siendo 0 el valor para el que el trapecio degenerara en un segmento, y 2 el que degenerara en un rectngulo. Maximicemos f (x) si cos b2(1 cos ) sen 2 b2 sen , o sea, sen 2 2 3 en 0, 2 . f (x) b2 (cos 2

2

, el valor para

cos 2 ) yf 3

0

cos 2 , es decir, si 0, f

. Calculemos los valores f(0), f

, y elija-

3 1 3 3 2 b2, f b2 1 b , que es el mayor valor de los tres. As 2 4 2 3 2 pues, el trapecio que con 3 lados iguales tiene mxima rea es el que tiene la forma de la mitad de un hexgono regular. mos el mayor: f (0)

132

Solucionario

11.108*. Un rectngulo de dimensiones a y b se inscribe en otro como indica la figura. Halla las dimensiones de este ltimo para que su rea sea mxima. Calculemos las dimensiones del rectngulo exterior en funcin de los nmeros fijos a y b y del ngulo variable , formado por el lado a y el lado inferior del rectnngulo exterior. p q rea a cos b cos p q cos b sen a sen (a cos b2 sen b sen ) (b cos cos a ab sen2 a sen ) a2 ab ab cos2 b2 sen 2a

b

a2 sen f( )

2

El valor mximo de esta funcin corresponde a sen 2 de rea mxima ser un cuadrado de lado p 2 (a 2

1, es decir, b).

4

, por lo que el rectngulo exterior

11.109*. Observa que si f es derivable y corta en dos puntos el eje horizontal, es seguro que entre ellos va a haber algn valor que anule la derivada. Partiendo de este hecho, demuestra que la funcin f (x) x2 x sen x cos x solo corta dos veces el eje horizontal. f (x) 2x (sen x x cos ) sen x x(2 cos ), que solo se anula una vez, en x grfica de f cortar dos veces como mximo al eje horizontal. 0, por lo que la

El hecho de que corta dos veces a dicho eje es evidente, pues se trata de una funcin continua y, por ejem2 2 plo, en [ , ] verifica: f ( ) 1, f(0) 1, f( ) 1. As pues, cortar una vez en ( , 0) y otra en (0, ).

11.110.

Dibuja la grfica de la curva y

x2

x4.

Como f(x) f( x) y a cada valor de x del intervalo [ 1, 1] (en el que x2 x4) le corresponden dos valores opuestos de y, la curva es simtrica respecto de ambos ejes y solo est definida en [ 1, 1], por lo que se dibuja la grfica de f (x) f (x) 2x 2 x2

x2 4x3 x4

x4 en [0, 1] y se extiende por simetra. 0 solo si x 2 , siendo f 2 2 2 1 1 1 2 2x2 x2 1 4 si x 1 . Aunque f (0) y f (1) no estn defini2 0 y x 1, por lo que lim f (x)x0

das segn la frmula anterior, podemos escribir f (x) lim f (x)x0

1 y

. 1, x

En los puntos x Como f (0) f (1)

1, la tangente es vertical, pues lim f (x)x1

.

0, la grfica de y

x2

x4, quedar as:Y

0,2 O 0,2 X

Solucionario

133

Solucionariox2 11.111. Si dibujas la grfica de f(x) ex y g(x) x 1, parece que cuando x 2 x2 x x 1. Justifica con rigor esta afirmacin. e 2 f (0) g(0) 1 y f (x) ex, g (x) x 1 0, por lo que 0, siempre va a ocurrir que

Como f (x) f (x)

g (x) para todo x 0, es decir, ex

g(x) si x

0, la funcin (f g)(x) es estrictamente creciente en x x2 x 1 si x 0. 2

11.112. Dibuja la grfica de f(x)

1 1 x 1

1 . 1 x 4

Se trata de una funcin continua, pues es suma de cocientes de funciones continuas y los denominadores nunca se hacen cero. 5 5 1 1 Por otra parte, es simtrica respecto de la recta x , pues f t y 2 2 3 3 1 t 1 t 2 2 f 5 2 t 1 1 3 2 1 t , 1 3 2 t igual.Y

, y al ser a

a , ambos nmeros son iguales.

Definmosla, pues, en 1 f(x) 2 1 x (2 5 x(5 Como lim f (x)x

5 5 y dibujemos en , 2 2 si x si 1 1 x 1 x 5. 2 5 2

1 x 1 5 7 x 2x x)(5 x) x)x

5

x

2

si x si 1

O

2

X

0 y lim f (x)

0, la grfica de f es la de la derecha. 1, x 4 como era de esperar por la existencia de x 1 y x 4.

Funcin obviamente no derivable en x

11.113. Un problema que aparece en muchos libros de anlisis es deducir qu es mayor: e o ln x y decide. puedes hacerlo: estudia la grfica de la funcin f (x) x La grfica de f no corta al eje de ordenadas. f (x) x 1. Por otra parte, solo est definida en (0, x Como f (x) 1 x x2

e

. Con lo que ya sabes,

0 si ln x

0, o sea, 0.

Y 1

) y lim f(x)x0

y lim f(x)x

ln x

1 x

ln x2

O

1

X

0 solo si x

e

As pues, nuestra funcin es decreciente en (e, ), o sea, f(e) f( ), es ln e ln decir, ln e e ln ln e ln e, y como la funcin e e . logaritmo es creciente, concluimos que e a b. El mismo arguNota. Una extensin curiosa de este resultado es decidir qu es mayor, ab o ba, si 0 mento que hemos utilizado nos lleva a afirmar: si e a b, entonces ab ba; y si si 0 a b e, entonces ab ba .

134

Solucionario

11.114. Halla los dos puntos en los que la curva y

x4

2x3

x tiene la misma tangente.

Es el mismo que el 99 del tema anterior. He aqu otro procedimiento. Se trata de los puntos P(a, a4 2a2 a) y Q(b, b44

2b22

b).

2x x tanto en P como en Q. As pues, su pendiente, La recta que une P y Q es tangente a f (x) x b4 2b2 b (a4 2a2 a) m , coincide con f (a) y con f (b). b a m b4 (b como m f (a) f (b) 4a3 4b3 2b2 a)(b2 (b2 4a 4b b b a4 a a2)(b a2)(b 1 1 a) 2a2 a) a b4 a4 a) 2(b2 b (b a2) a a) (b a)

2(b a)(b b a 2(b a) 1

, y como a

b, esta fraccin se puede escribir

De la igualdad de estos tres nmeros podemos concluir: 4a3 4a 1 4b3 4b 1 a3 b3 a b a2 ab b2 1, pues a b.

Cualquier sistema de dos ecuaciones con incgnitas a y b que formemos a partir de las igualdades m f (a) f (b) es difcil de resolver, pero si nos fijamos un poco, cuando a b 0, m 1, y tomando como a y b los nmeros 1 y 1 tambin se verifican las igualdades f (a) 1f (b) 1, as que los puntos buscados son P(1, 2) y Q( 1, 0), que, efectivamente, son la solucin del problema, pues la tangente en P es la recta de ecuacin y 2 1(x 1) y la tangente en Q es la recta y 1(x 1), que, como se observa, son la misma recta.

11.115. Un tnel en forma de codo est formado por dos pasillos perpendiculares de anchuras 2 y 4 metros. Cul es la longitud mxima que puede tener un listn de madera para pasarlo horizontalmente a travs del tnel?B 2 cm 74m

2m

A

C

4 cm

Sea

el ngulo que forma el listn ms corto de los que no pueden pasar horizontalmente con AC. AT TB 4 cos 0 si tg3 2 sen 1 , 2 f(x). Busquemos el mnimo de f en 0, 1 . 2 2 .

La longitud AB 4 sen cos2

f ( )

2 cos sen2 y lim f (x)x 2

arctg

3

Como lim f(x)x0

, el valor de 2

obtenido representa el de menos longitud del listn, siendo

esta l

4 cos arctg3

8,32 cm.3

1 2

sen arctg

1 2

Solucionario

135

Solucionario11.116. Definimos la funcin f como: f(x) 1 x2 sen si x x 0 si x 0? 1 es una funcin acotada y lim h h0 h cos 0. 0 0

Calcula f (0). Es continua la funcin f (x) en x f (0) Si x lim cosx0

limh0

f (0

h) h

f (0) 1 x

lim h senh0

1 h 1 x2

0, pues sen 2x sen

0, f (x)

2x sen

x2 cos

1 x

1 x

1 1 . Como existe lim 2x sen y no existe x0 x x 0.

1 , no existe lim f (x), por lo que la funcin f (x) no es continua en x x0 x

11.117*. Demuestra que el rectngulo que descansando sobre el eje horizontal tiene dos vrtices en la curva y e x encierra rea mxima cuando estos dos vrtices son los puntos de inflexin de dicha curva.2

Y

1 A

O

1

X

Determinemos el punto A para que el rectngulo de la figura tenga rea mxima y observemos, posteriormente, que coincide con el punto de inflexin de la curva de abscisa positiva. La simetra de la curva respecto del eje vertical har que el otro vrtice del rectngulo sea el otro punto de inflexin. A(x, e x ). rea del rectngulo f (x) 2x ex2 2

2x e

x

2

f(x). Busquemos el mximo de f en (0, 0, 1 . Como f(0) 0, lim f (x)x

): 1

0, el mximo se 2 2 1 alcanza en x . Si observamos que la funcin que hemos maximizado, f (x) 2x e x , es precisamente 2 g (x), siendo g(x) e x la funcin dada, es inmediato constatar que el mximo de f y el punto que anula la derivada de g , o sea, el punto de inflexin, deben coincidir.2 2

4x2 e

x

2

0 solo si x

0yf

136

Solucionario

11.118. De todos los rectngulos inscritos en una elipse, coinciden el de mayor rea y el de mayor permetro?Y P(x,y)

X

Consideremos la elipse

x2 a2

y2 b2

1, y

b a

a2

x2. El rea del rectngulo de la figura es 4xy, siendo x e y x2 4b a a2x2 x4 f (x).

las coordenadas de P. As pues, rea Busquemos el mximo de f en [0, a]. f (x) 4b 2a2x 4x3 ; a2x a 2 a2x2 x4 0, f(a) 0yf 2x3 a 2

4b x a2 a

0 si x

0ox

a 2

Como f (0)

0, el mximo se alcanza en x

a 2

,y

b a b a

a2

a2 2 x2

b a

a 2

b 2

.

El permetro del rectngulo de la figura es 4(x Busquemos el mximo de g en [0, a]. g (x) 4 1 b 2x a 2 a2 1, b2x2 a42

y), es decir, Permetro

4 x

a2

g(x).

0 si

x

b a

x a2

x2 a4, x

1, es decir: a2 a2 b2

b2x2 a (a2 x2)2

a2x2, x2(a2 a2 a2 b2

b2)

Calculemos g(0), g(a) y g pues a g a2 a2 b2 a22

. En cualquier caso, ya veremos que la respuesta a nuestro problema es no, a. g(0) 4b g(a) a2 a2 4a b2 b2 b2 a2 b2

b2

solo es a2 a2

a 2

si b b a

4

b2

a2b2 a b22

4 ,y

4 a2

b2, que es mayor que g (0) y g (a),

con lo que el mximo se alcanza en x a rectngulo de mxima rea.

a22

b2

, cuyas dimensiones no coinciden con las del

Solucionario

137