representaciÓn grÁfica de funciones
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E L A B O R Ó : P T B . S A L V A D O R S A L G A D O G E O R G E
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
PROPÓSITO DEL MÓDULO:
Representar gráficamente fenómenos naturales y/o
sociales mediante el cálculo de superficies,
distancias, pendientes y ángulos relacionados con su
vida diaria a fin de construir lugares geométricos que
permitan la ubicación de objetos en sistemas
coordenados.
MAPA DEL MÓDULO
UNIDAD I: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LUGARES GEOMÉTRICOS
• PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará gráficamente
ecuaciones de las rectas y de espacios geométricos
poligonales, considerando principios, leyes y procedimientos
de trazo, aplicables al análisis, descripción y solución de
situaciones de la vida cotidiana.
• RESULTADO DE APRENDIZAJE: 1.1 Representa gráficamente
espacios geométricos poligonales, considera los principios,
leyes y procedimientos gráficos, aplicables a la solución de
situaciones de la vida cotidiana.
CONTENIDO
A. EMPLEO DE RELACIONES Y FUNCIONES.
VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES.
RELACIONES
FUNCIONES
B. IDENTIFICACIÓN DE LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA.
SEGMENTO DIRIGIDO
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
PERÍMETRO DE POLÍGONOS
ÁREA DE POLÍGONOS
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
PUNTO MEDIO
VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE
• VARIABLE DEPENDIENTE: Una variable dependiente es
aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra
variable.
La variable dependiente en una función se suele representar
por y. La variable dependiente se representa en el eje
ordenadas.
La variable y está en función de la variable x, que es la variable
independiente.
VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE
• VARIABLE INDEPENDIENTE: Una variable independiente es
aquella cuyo valor no depende del de otra variable.
La variable independiente en una función se suele representar por
x. La variable independiente se representa en el eje de abscisas.
La variable y, llamada variable dependiente, está en función de la
variable x, que es la variable independiente.
EJEMPLO I
El precio que pagamos por las patatas depende del número de
kilogramos que compremos.
EJEMPLO II
El precio de un viaje en taxi viene dado por:
y= 3 + 0.5x
Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.
x 10 20 30 40
𝐲 = 𝟑 + 𝟎. 𝟓𝐱 8 13 18 23
RELACIONES Y FUNCIONES
Relación: Es la correspondencia de un primer conjunto,
llamado dominio, con un segundo conjunto, llamado rango,
de manera que a cada elemento del dominio le corresponde
uno o más elementos del recorrido o rango.
Función: Es una relación a la que se le añade la restricción de
que a cada valor del dominio le corresponde uno y sólo un
valor del recorrido.
EJEMPLO
FUNCIONES
FUNCIONES
ALGEBRAICAS
CONSTANTES
DE PRIMER GRADO
CUADRÁTICAS
• POLINÓMICAS
• RACIONALES
• RADICALES
• A TROZOS
TRASCENDENTES
• EXPONENCIALES
• LOGARÍTMICAS
• TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES POLINÓMICAS
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒙𝒏
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
FUNCIÓN CONSTANTE
El criterio viene dado por un número real.
𝒇 𝒙 = 𝑲
La gráfica es una recta horizontal paralela al eje de las abscisas.
Consideremos la función más sencilla, por ejemplo 𝑦 = 2 . La
imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una tabla
de valores tendríamos:
X -2 -1 0 1 2
Y 2 2 2 2 2
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
• Son de la forma:
𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒏
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos
puntos de la función.
o Función afín: es del tipo 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏, en donde m es la pendiente
de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con
respecto al eje de las abscisas.
Dos rectas paralelas tienes la misma pendiente.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la
recta con el eje de las ordenadas.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
Ejemplos de funciones afines:
𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 -5 -3 -1 1 3
x -2 -1 0 1 2
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
𝒚 = −𝟑
𝟒𝒙 − 𝟏
𝟏
𝟐 −
𝟏
𝟒 -1 −
𝟕
𝟒 −
𝟓
𝟐 −
𝟏𝟑
𝟒 -4
x -2 -1 0 1 2 3 4
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
o Función lineal: es de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙, su gráfica es una línea
recta que pasa por el origen de coordenadas.
En este caso si m > 0 la función es creciente y el ángulo que
forma la recta con la parte positiva del eje de las abscisas es
agudo. Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que
forma la recta con la parte positiva del eje de las abscisas es
obtuso.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
Ejemplo de función lineal:
𝒚 = 𝟐𝒙 0 2 4 6 8 10
X 0 1 2 3 4 5
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO
o Función identidad: es de la forma 𝒇 𝒙 = 𝒙, su gráfica es la
bisectriz del primer y tercer cuadrante, ejemplo:
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica
una parábola.
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Ejemplo: Supongamos que tenemos la ecuación cuadrática
𝑦 = 𝑥2, a la variable x daremos los siguientes valores: -3,-2,0,2 y 3.
Representando los valores de x antes mencionados, de forma
gráfica, obtenemos lo siguiente:
FUNCIÓN CUADRÁTICA
𝒚 = 𝒙𝟐 9 4 0 4 9
x -3 -2 0 2 3
FUNCIONES RACIONALES
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios.
𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒙𝒏
𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒙 + 𝒃𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒎𝒙𝒏
El dominio lo forman todos los números reales excepto los
valores de x que anulan el denominador.
Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad
inversa de ecuación:
FUNCIONES RACIONALES
𝒇 𝒙 = 𝒌
𝒙
FUNCIONES RACIONALES
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas
de las funciones.
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
FUNCIONES RADICALES
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
o Función radical de índice impar.
El dominio es .
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝟑
FUNCIONES RADICALES
o Función radical de índice par.
El dominio está formado por todos los valores que hacen que
el radicando sea mayor o igual que cero.
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ∴ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≥ 0
FUNCIONES A TROZOS
Son funciones definidas por distintos criterios, según los
intervalos que se consideren.
El dominio lo forman todos los números reales menos el 2.
FUNCIONES A TROZOS
o Función parte entera de x.
Es una función que a cada número real hace corresponder el
número entero inmediatamente inferior.
FUNCIONES A TROZOS
o Función mantisa.
Función que hace corresponder a cada número el mismo
número menos su parte entera.
FUNCIONES A TROZOS
o Función signo.
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥)
FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial es del tipo:
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙
Sea a un número real positivo. La función que a cada número
real x le hace corresponder la potencia 𝒂𝒙 se llama función
exponencial de base a y exponente x.
Ejemplo:
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
FUNCIÓN EXPONENCIAL
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica en base a es la función inversa de la
exponencial en base a.
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥
𝑎 > 0 ∴ 𝑎 ≠ 1
Ejemplo:
𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
X 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙
1
8 -3
1
4 -2
1
2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
o Función seno.
𝒇 𝒙 = sin 𝒙
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
o Función coseno.
𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
o Función tangente.
𝒇 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
o Función Cotangente.
𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
o Función secante.
𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
o Función cosecante.
𝒇 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜 𝒙
PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas
numéricas, una horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta horizontal es llamada
eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje
de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se
cortan recibe el nombre de origen.
PLANO CARTESIANO
SEGMENTO DIRIGIDO
Es un segmento de recta que tiene dirección. Es decir, tiene un
extremo que es el inicial y otro que es el final.
Los segmentos dirigidos, se denotan de manera usual a los
segmentos, pero respetando la dirección. Por ejemplo, en la
notación AB, A es el punto inicial y B el punto final. De esta
manera, BA es otro segmento dirigido con la dirección opuesta
a AB.
Las regla básica para operar segmentos dirigidos es la siguiente:
𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪
donde A, B y C son puntos alineados.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos cualesquiera 𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏), 𝑩 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 , definimos la
distancia entre ellos, 𝒅(𝑨, 𝑩), como la longitud del segmento que
los separa.
Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el
rectángulo coloreado :
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abscisa, la
distancia entre ellos se calcula sin necesidad de aplicar la
fórmula anterior.
Ejemplo: calcula la distancia entre los puntos 𝑨 𝟕, 𝟓 𝒚 𝑩(𝟒, 𝟏)
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟒 − 𝟕)𝟐 + (𝟏 − 𝟓)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (−𝟑)𝟐 + (−𝟒)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟗 + 𝟏𝟔
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Ejercicios:
1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:
a) A(-7, 4), B(6, 4)
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟔 − −𝟕 )𝟐 + (𝟒 − 𝟒)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟔 + 𝟕)𝟐 + (𝟎)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟏𝟑)𝟐 + (𝟎)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟔𝟗 + 𝟎
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟔𝟗
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
b) A(3, 4), B(3, 9)
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟑 − 𝟑)𝟐 + (𝟗 − 𝟒)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎)𝟐 + (𝟓)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟎 + 𝟐𝟓
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
c) A(-5, 11), B(0, -1)
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎 − −𝟓 )𝟐 + (−𝟏 − 𝟏𝟏)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎 + 𝟓)𝟐 + (−𝟏𝟐)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟓)𝟐 + (−𝟏𝟐)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟔𝟗
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
2. Calcula el valor de k para que la distancia de A(-1, 4) a B(k, 1)
sea igual a 5.
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐
𝟓 = (𝒌 − −𝟏 )𝟐 + (𝟏 − 𝟒)𝟐
(𝟓)𝟐 = (𝒌 + 𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝟐𝟓 = 𝒌𝟐 + 𝟐𝒌 + 𝟏 + 𝟗
𝟐𝟓 = 𝒌𝟐 + 𝟐𝒌 + 𝟏𝟎
𝒌𝟐 + 𝟐𝒌 + 𝟏𝟎 − 𝟐𝟓 = 𝟎
𝒌𝟐 + 𝟐𝒌 − 𝟏𝟓 = 𝟎
Aplicamos la fórmula general cuadrática:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝑲 =−(𝟐) ± (𝟐)𝟐−𝟒(𝟏)(−𝟏𝟓)
𝟐(𝟏)
𝒌 =−𝟐 ± 𝟒 + 𝟔𝟎
𝟐
𝒌 =−𝟐 ± 𝟔𝟒
𝟐
𝒌 =−𝟐 ± 𝟖
𝟐
𝒌𝟏 =−𝟐 + 𝟖
𝟐=
𝟔
𝟐= 𝟑
𝒌𝟐 =−𝟐 − 𝟖
𝟐=
−𝟏𝟎
𝟐= −𝟓
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Comprobación #1:
𝒅 𝟓 = (𝟑 − −𝟏 )𝟐 + (𝟏 − 𝟒)𝟐
𝒅 𝟓 = (𝟑 + 𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝒅 𝟓 = (𝟒)𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝒅 𝟓 = 𝟏𝟔 + 𝟗
𝒅 𝟓 = 𝟐𝟓
𝒅 𝟓 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Comprobación #2:
𝒅 𝟓 = (−𝟓 − −𝟏 )𝟐 + (𝟏 − 𝟒)𝟐
𝒅 𝟓 = (−𝟓 + 𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝒅 𝟓 = (−𝟒)𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝒅 𝟓 = 𝟏𝟔 + 𝟗
𝒅 𝟓 = 𝟐𝟓
𝒅 𝟓 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
3. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos
según la longitud de sus lados:
a) A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6)
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟏 − −𝟐 )𝟐 + (𝟔 − 𝟐)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟏 + 𝟐)𝟐 + (𝟔 − 𝟐)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟑)𝟐 + (𝟒)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟗 + 𝟏𝟔
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟔 − 𝟏)𝟐 + (−𝟔 − 𝟔)𝟐
𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟓)𝟐 + (−𝟏𝟐)𝟐
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟏𝟔𝟗
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟏𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟔 − −𝟐 )𝟐 + (−𝟔 − 𝟐)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟔 + 𝟐)𝟐 + (−𝟖)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟖)𝟐 + (−𝟖)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟔𝟒 + 𝟔𝟒
𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟐𝟖
𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟏. 𝟑𝟏 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Clasificación según la longitud de sus lados: Triángulo rectángulo.
Perímetro = a + b + c = 5u + 13u + 11.31 = 29.31 unidades
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
b) A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎 − (−𝟓))𝟐 + (𝟔 − (−𝟐))𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎 + 𝟓)𝟐 + (𝟔 + 𝟐)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟓)𝟐 + (𝟖)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓 + 𝟔𝟒
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟖𝟗
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟗. 𝟒𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟓 − 𝟎)𝟐 + (−𝟐 − 𝟔)𝟐
𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟓)𝟐 + (−𝟖)𝟐
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟐𝟓 + 𝟔𝟒
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟖𝟗
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟗. 𝟒𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟓 − −𝟓 )𝟐 + (−𝟐 − (−𝟐))𝟐
𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟓 + 𝟓)𝟐 + (−𝟐 + 𝟐)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟏𝟎)𝟐 + (𝟎)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎
𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎
𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Clasificación del triángulo: triángulo isósceles.
Perímetro del triángulo = a + b + c = 9.43u + 9.43u + 10u = 28.86u
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
4. Trazar en el plano cartesiano los siguientes puntos: P (2,1);
Q (-1,2); R (-2,-1) y S (1,-2) y une los puntos indicados, ¿qué
figura representa?, después de graficar calcular lo siguiente:
Longitud de su lados.
Área de la figura.
Perímetro de la figura.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Representación gráfica:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Cálculos:
𝒅 𝑷, 𝑸 = (−𝟏 − 𝟐)𝟐 + (𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒅 𝑷, 𝑸 = (−𝟑)𝟐 + (𝟏)𝟐
𝒅 𝑷, 𝑸 = 𝟗 + 𝟏
𝒅 𝑷, 𝑸 = 𝟏𝟎
𝒅 𝑷, 𝑸 = 𝟑. 𝟏𝟔𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑸, 𝑹 = (−𝟐 − −𝟏 )𝟐 + (−𝟏 − 𝟐)𝟐
𝒅 𝑸, 𝑹 = (−𝟐 + 𝟏)𝟐 + (−𝟏 − 𝟐)𝟐
𝒅 𝑸, 𝑹 = (−𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝒅 𝑸, 𝑹 = 𝟏 + 𝟗
𝒅 𝑸, 𝑹 = 𝟏𝟎
𝐝 𝐐, 𝐑 = 𝟑. 𝟏𝟔𝐮
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝐝 𝐑, 𝐒 = (𝟏 − −𝟐 )𝟐 + (−𝟐 − (−𝟏))𝟐
𝒅 𝑹, 𝑺 = (𝟏 + 𝟐)𝟐 + (−𝟐 + 𝟏)𝟐
𝒅 𝑹, 𝑺 = (𝟑)𝟐 + (−𝟏)𝟐
𝒅 𝑹, 𝑺 = 𝟗 + 𝟏
𝒅 𝑹, 𝑺 = 𝟏𝟎
𝒅 𝑹, 𝑺 = 𝟑. 𝟏𝟔𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑺, 𝑷 = (𝟏 − 𝟐)𝟐 + (−𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒅 𝑺, 𝑷 = (−𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐
𝒅 𝑺, 𝑷 = 𝟏 + 𝟗
𝒅 𝑺, 𝑷 = 𝟏𝟎
𝒅 𝑺, 𝑷 = 𝟑. 𝟏𝟔𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
¿Qué figura representa? R= Un cuadrado
Área de la figura = 𝑨 = 𝑳𝟐 = (𝟑. 𝟏𝟔𝒖)𝟐 = 𝟗. 𝟗𝟖𝒖𝟐
Perímetro de la figura = 𝐏 = 𝟒𝐋 = 𝟒 𝟑. 𝟏𝟔𝒖 = 𝟏𝟐. 𝟔𝟒𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
5. Tres vértices de un rectángulo son los puntos A (2,-1); B (7,-1) y
C(7,3). Hallar el cuarto vértice D, el perímetro y el área de la
figura.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Coordenadas: A(2,-1); B(7,-1); C(7,3) y D(2,3).
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟕 − 𝟐)𝟐 + (−𝟏 − (−𝟏))𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟓)𝟐 + (−𝟏 + 𝟏)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟓𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟕 − 𝟕)𝟐 + (𝟑 − (−𝟏))𝟐
𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟎)𝟐 + (𝟑 + 𝟏)𝟐
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟏𝟔
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟒𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑪, 𝑫 = (𝟐 − 𝟕)𝟐 + (𝟑 − 𝟑)𝟐
𝒅 𝑪, 𝑫 = (−𝟓)𝟐 + (𝟎)𝟐
𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟐𝟓
𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟓𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟐 − 𝟐)𝟐 + (𝟑 − (−𝟏))𝟐
𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟎)𝟐 + (𝟑 + 𝟏)𝟐
𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟏𝟔
𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟒𝒖
Área del rectángulo = 𝑏 ∙ ℎ = 5𝑢 4𝑢 = 20𝑢2
Perímetro del rectángulo = 2ℎ + 2𝑏 = 2 4𝑢 + 2 5𝑢 = 8𝑢 + 10𝑢 = 18𝑢
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
6. Los vértices de un cuadrilátero son: A (-2, 1), B (2, 5), C (9, 6)
y D (7, 2). Determinar, el perímetro y el área.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟐 − −𝟐 )𝟐 + (𝟓 − 𝟏)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟐 + 𝟐)𝟐 + (𝟒)𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟒)𝟐 + 𝟏𝟔
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟑𝟐
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟓. 𝟔𝟓𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟗 − 𝟐)𝟐 + (𝟔 − 𝟓)𝟐
𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟕)𝟐 + (𝟏)𝟐
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟒𝟗 + 𝟏
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟓𝟎
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟕. 𝟎𝟕𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑪, 𝑫 = (𝟕 − 𝟗)𝟐 + (𝟐 − 𝟔)𝟐
𝒅 𝑪, 𝑫 = (−𝟐)𝟐 + (−𝟒)𝟐
𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟒 + 𝟏𝟔
𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟐𝟎
𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟒. 𝟒𝟕𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟕 − −𝟐 )𝟐 + (𝟐 − 𝟏)𝟐
𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟕 + 𝟐)𝟐 + (𝟏)𝟐
𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟗)𝟐 + 𝟏
𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟖𝟏 + 𝟏
𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟖𝟐
𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟗. 𝟎𝟓𝒖
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Área del cuadrilátero:
𝑨 =𝟏
𝟐𝒖
−𝟐𝟏
𝟐𝟓
𝟗𝟔
𝟕𝟐
𝟐𝟏
𝒖
𝑨 =𝟏
𝟐𝒖 𝟐 + 𝟒𝟓 + 𝟒𝟐 − 𝟒 − −𝟏𝟎 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟖 + 𝟕 𝒖
𝑨 = 𝟏
𝟐𝒖 𝟖𝟓 − 𝟐𝟕 𝒖
𝑨 = 𝟏
𝟐𝒖 𝟓𝟖𝒖
𝑨 =𝟓𝟖
𝟐𝒖𝟐 = 𝟐𝟗𝒖𝟐
Perímetro del cuadrilátero: 𝑷 = 𝟓. 𝟔𝟓𝒖 + 𝟕. 𝟎𝟕𝒖 + 𝟒. 𝟒𝟕 + 𝟗. 𝟎𝟓𝒖 = 𝟐𝟔. 𝟐𝟒𝒖
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
Si 𝑷𝟏 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 y 𝑷𝟐(𝒙𝟐, 𝒚𝟐) son los extremos de un segmento 𝑷𝟏𝑷𝟐 , las
coordenadas (𝒙, 𝒚), de un punto P que divide a este segmento en
una razón dada 𝒓 = 𝑷𝟏𝑷: 𝑷𝑷𝟐 son: 𝒓 = 𝒙−𝒙𝟏
𝒙𝟐−𝒙=
𝑷𝟏𝑷
𝑷𝑷𝟐; 𝒓 =
𝒚−𝒚𝟏
𝒚𝟐−𝒚=
𝑷𝟏𝑷
𝑷𝑷𝟐.
Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos
puntos extremos sean 𝑷𝟏 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 𝒚 𝑷𝟐 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 son:
𝒙 = 𝒙𝟏−𝒙𝟐
𝟐 ; 𝒚 =
𝒚𝟏−𝒚𝟐
𝟐.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
EJEMPLOS:
1) Si el punto 𝑨 −𝟒, 𝟐 ; 𝑩(𝟒, 𝟔) son los puntos extremos de un segmento dirigido
𝑨𝑩, hallar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la
razón: 𝑷𝟏𝑷: 𝑷𝑷𝟐 = −𝟑.
DESARROLLO:
𝒓𝒙 =𝒙 − 𝒙𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙 ∴ −𝟑 =
𝒙 − (−𝟒)
𝟒 − 𝒙
−𝟑 =𝒙 + 𝟒
𝟒 − 𝒙 ; −𝟑 𝟒 − 𝒙 = 𝒙 + 𝟒
−𝟏𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙 + 𝟒; 𝟑𝒙 − 𝒙 = 𝟒 + 𝟏𝟐
𝟐𝒙 = 𝟏𝟔 ; 𝒙 = 𝟏𝟔
𝟐= 𝟖
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
𝒓𝒚 =𝒚 − 𝒚𝟏
𝒚𝟐 − 𝒚 ∴ −𝟑 =
𝒚 − 𝟐
𝟔 − 𝒚
−𝟑 𝟔 − 𝒚 = 𝒚 − 𝟐 ; −𝟏𝟖 + 𝟑𝒚 = 𝒚 − 𝟐
𝟑𝒚 − 𝒚 = −𝟐 + 𝟏𝟖
𝟐𝒚 = 𝟏𝟔 ; 𝒚 = 𝟏𝟔
𝟐= 𝟖
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Coordenadas: A(-4,2), B(4,6) y P(8,8)
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
2) Los extremos de un segmento son los puntos P(7, 4) y Q(-1, -4).
Hallar la razón 𝑷𝟏𝑷: 𝑷𝑷𝟐 en el punto F(1,-2) que divide al
segmento.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
DESARROLLO:
𝒓𝒙 =𝒙 − 𝒙𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙 ∴ 𝒓𝒙 =
𝟏 − 𝟕
−𝟏 − 𝟏
𝒓𝒙 =−𝟔
−𝟐= 𝟑
𝒓𝒙 =𝒚 − 𝒚𝟏
𝒚𝟐 − 𝒚∴ 𝒓𝒚 =
−𝟐 − 𝟒
−𝟒 − (−𝟐)
𝒓𝒚 =−𝟔
−𝟐= 𝟑
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
3) Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento
determinado por 𝑨(𝟖, 𝟐) y 𝑩(−𝟓, 𝟕) en la razón 𝑷𝟏𝑷: 𝑷𝑷𝟐 = 𝟑
𝟒.
DESARROLLO:
𝑟𝑥 =𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥 ∴
3
4=
𝑥 − 8
−5 − 𝑥
−5 − 𝑥3
4= 𝑥 − 8 ; 3 −5 − 𝑥 = 4(𝑥 − 8)
−15 − 3𝑥 = 4𝑥 − 32 ; −3𝑥 − 4𝑥 = −32 + 15
−7𝑥 = −17
𝒙 =𝟏𝟕
𝟕
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
𝑟𝑦 =𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦 ∴
3
4=
𝑦 − 2
7 − 𝑦
7 − 𝑦3
4= 𝑦 − 2 ; 3 7 − 𝑦 = 4(𝑦 − 2)
21 − 3𝑦 = 4𝑦 − 8
−3𝑦 − 4𝑦 = −8 − 21
−7𝑦 = −29
𝒚 = 𝟐𝟗
𝟕
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Coordenadas: 𝐴 8,2 ; 𝐵 −5,7 𝑦 𝑷(𝟏𝟕
𝟕,
𝟐𝟗
𝟕)
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
4) Tres moléculas con pesos de 18, 25 y 34 moles (m) se ubican en los puntos (1, 1), (-2, 3) y
(5, -2), respectivamente. Determinar su centro de gravedad “C”.
DESARROLLO:
𝑚 =𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
3 ∴ 𝑚 =
18 + 25 + 34
3
𝑚 = 77
3
𝑃1𝑃: 𝑃𝑃2 = 𝑟 ∴ 𝑚2𝑝: 𝑃𝑚3 = 77
3
77
3=
𝑥 − (−2)
5 − 𝑥 ; 5 − 𝑥
77
3= 𝑥 + 2
77 5 − 𝑥 = 3 𝑥 + 2 ; 385 − 77𝑥 = 3𝑥 + 6
−77𝑥 − 3𝑥 = 6 − 385 ; −80𝑥 = −379
𝒙 =𝟑𝟕𝟗
𝟖𝟎= 𝟒. 𝟕𝟑
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
77
3=
𝑦 − 3
−2 − 𝑦 ∴ −2 − 𝑦
77
3= 𝑦 − 3
77 −2 − 𝑦 = 3 𝑦 − 3 ; −154 − 77𝑦 = 3𝑦 − 9
−77𝑦 − 3𝑦 = −9 + 154
−80𝑦 = 145
𝑦 = −145
80= −
29
16= −1.81𝑢
𝒚 = −𝟏. 𝟖𝟏
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Coordenadas: 𝑚1 1,1 ; 𝑚2 −2,3 ; 𝑚3 5, −2 𝑦 𝑪(𝟒. 𝟕𝟑, −𝟏. 𝟖𝟏)
PUNTO MEDIO
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
𝑨 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 𝒚 𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐)
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con
la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos.
𝒙𝑴 =𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐 ; 𝒚𝑴 =
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
PUNTO MEDIO
EJEMPLOS:
1) Hallar las coordenadas del punto medio (M) del segmento AB.
𝐴 3,9 𝑦 𝐵(−1,5)
DESARROLLO:
𝑥𝑀 =3 + (−1)
2 ; 𝑦𝑀 =
9 + 5
2
𝑥𝑀 = 3 − 1
2=
2
2= 1 ; 𝑦𝑀 =
14
2= 7
M(𝟏, 𝟕)
PUNTO MEDIO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Coordenadas: 𝐴 3,9 , B −1,5 y 𝐌(𝟏, 𝟕)
PUNTO MEDIO
2) Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos
A(2, -1) y B(-6, -4).
DESARROLLO:
𝑥𝑚 =2 + (−6)
2 ; 𝑦𝑚 =
−1 + (−4)
2
𝑥𝑚 = 2 − 6
2=
−4
2 ; 𝑦𝑚 =
−1 − 4
2= −
5
2
𝑥𝑚 = −2 ; 𝑦𝑚 = −5
2
𝒎(−𝟐, −𝟓
𝟐)
PUNTO MEDIO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Coordenadas: 𝐴 2, −1 , 𝐵 −6, −4 𝑦 𝑴(−𝟐, −𝟓
𝟐)
PUNTO MEDIO
3) Los puntos A(2, 1); B(3, 4) y C(7, 4) son tres vértices del paralelogramo ABCD. Calcula las
coordenadas del cuarto vértice y los puntos medios de los lados del paralelogramo.
DESARROLLO:
𝑀𝐴𝐵 =2 + 3
2 ;
1 + 4
2
𝑴𝑨𝑩 = 𝟓
𝟐 ,
𝟓
𝟐
𝑀𝐵𝐶 =3 + 7
2 ;
4 + 4
2
𝑀𝐵𝐶 = 10
2 ;
8
2
𝑴𝑩𝑪 = 𝟓, 𝟒
PUNTO MEDIO
Coordenada del cuarto vértice son: D(6,1)
𝑀𝐶𝐷 =7 + 6
2 ;
4 + 1
2
𝑴𝑪𝑫 = 𝟏𝟑
𝟐 ;
𝟓
𝟐
𝑀𝐷𝐴 = 6 + 2
2 ;
1 + 1
2
𝑀𝐷𝐴 = 8
2;
2
2
𝑴𝑫𝑨 = 𝟒, 𝟏
PUNTO MEDIO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
PUNTO MEDIO
4) Los vértices de un triángulo son; A(-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Si D es el punto medio del lado 𝑨𝑩 y E del
lado 𝑩𝑪, demostrar que la longitud del segmento 𝑫𝑬 es la mitad de longitud del lado 𝑨𝑪.
DESARROLLO:
𝑀𝐴𝐵 =−1 + 3
2 ;
3 + 5
2
𝑀𝐴𝐵 = 2
2 ;
8
2
𝑴𝑨𝑩 = 𝟏, 𝟒
𝑀𝐵𝐶 = 3 + 7
2 ;
5 + (−1)
2
𝑀𝐵𝐶 = 10
2 ;
4
2
𝑴𝑩𝑪 = (𝟓, 𝟐)
PUNTO MEDIO
𝑑 𝐷, 𝐸 = (5 − 1)2 + (2 − 4)2
𝑑 𝐷, 𝐸 = (4)2 + (−2)2
𝑑 𝐷, 𝐸 = 16 + 4
𝑑 𝐷, 𝐸 = 20
𝒅 𝑫, 𝑬 = 𝟒. 𝟒𝟕𝒖
𝑑 𝐴, 𝐶 = (7 − −1 )2 + (−1 − 3)2
𝑑 𝐴, 𝐶 = (7 + 1)2 + (−4)2
𝑑 𝐴, 𝐶 = (8)2 + (−4)2
𝑑 𝐴, 𝐶 = 64 + 16
𝑑 𝐴, 𝐶 = 80
𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟖. 𝟗𝟒𝒖 = 𝟖. 𝟗𝟒
𝟐𝒖 = 𝟒. 𝟒𝟕𝒖
La mitad del segmento 𝑨𝑪 es igual al resultado del segmento 𝑫𝑬.
PUNTO MEDIO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Coordenadas: 𝐴 −1,3 , 𝐵 3,5 , 𝐶 7, −1 , 𝐷 1,4 𝑦 𝐸(5,2)
UNIDAD I: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LUGARES GEOMÉTRICOS
• PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará gráficamente
ecuaciones de las rectas y de espacios geométricos poligonales,
considerando principios, leyes y procedimientos de trazo,
aplicables al análisis, descripción y solución de situaciones de la
vida cotidiana.
• RESULTADO DE APRENDIZAJE: 1.2 Construir la ecuación de la recta
y su representación gráfica a partir de los elementos que la
integran.
CONTENIDO
A. Análisis de la pendiente de una recta.
Definición.
Ángulo entre rectas.
Paralelismo y perpendicularidad.
B. Representación matemática y graficación de la recta.
Ecuación punto-pendiente.
Ecuación pendiente ordenada en el origen.
Ecuación simétrica.
Ecuación general de la recta.
PENDIENTE DE UNA RECTA
DEFINICIÓN:
La pendiente de una recta en un sistema de representación
triangular, suele ser representado por la letra m, y es definido
cambio o diferencia en el eje y dividido por el respectivo cambio
en el eje de las abscisas (x), entre dos puntos de la recta.
En la siguiente ecuación se describe:
𝒎 =∆𝒚
∆𝒙
“El símbolo delta ∆ , es comúnmente usado para representar un
cambio o diferencia”.
PENDIENTE DE UNA RECTA
Dados los dos puntos 𝑥1, 𝑦1 ; (𝑥2, 𝑦2) al momento de sustituir las cantidades nos
queda de la siguiente manera:
𝒎 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
EJEMPLO:
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑷 𝟏, 𝟐 𝑦 𝑸(𝟑, 𝟒).
𝑚 = ∆𝑦
∆𝑥 ∴ 𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 = 4 − 2
3 − 1=
2
2= 1
𝒎 = 𝟏
PENDIENTE DE UNA RECTA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Coordenadas: 𝑷(𝟏,𝟐) 𝑦 𝑸(𝟑,𝟒); Pendiente de la recta m = 1.
PENDIENTE DE UNA RECTA
2) Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos A(1, 6) y B(5, -2).
𝒎 =∆𝒚
∆𝒙=
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏=
−𝟐 − 𝟔
𝟓 − 𝟏= −
𝟖
𝟒= −𝟐
Teniendo la pendiente de la recta procedemos a hallar el ángulo de inclinación de
la recta por medio de la siguiente ecuación:
tan 𝜃 = 𝑚
tan 𝜃 = −2
𝜃 = arctan (−2)
𝜽 = −𝟔𝟑°𝟐𝟔′𝟔"
Transformamos el valor obtenido del ángulo a su forma positiva nos queda:
𝜃 = −𝟔𝟑°𝟐𝟔′𝟔" + 𝟏𝟖𝟎°
𝜽 = 𝟏𝟏𝟔°𝟑𝟑′𝟓𝟒"
PENDIENTE DE UNA RECTA
REPRESENTACIÓN GRAFÍCA:
Coordenadas: A(1,2) y B(5,-2); Pendiente de la recta: m= -2;
Ángulo de inclinación de la recta: 𝜽 = −𝟔𝟑°𝟐𝟔′𝟔“.
PENDIENTE DE UNA RECTA
3) Los vértices de un triángulo son los puntos A (2, -2); B (-1, 4) y; C (4, 5). Calcular
los ángulos de inclinación de los lados del triángulo ABC, el perímetro y el área.
DESARROLLO:
𝑚𝐴𝐵 = ∆𝑦
∆𝑥=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
4 − (−2)
−1 − 2=
4 + 2
−3= −
6
3= −𝟐
𝑚𝐵𝐶 = ∆𝑦
∆𝑥=
5 − 4
4 − (−1)=
1
4 + 1=
1
5= 𝟎. 𝟐𝟎
𝑚𝐶𝐴 = ∆𝑦
∆𝑥=
−2 − 5
4 − 2= −
7
2= −𝟑. 𝟓
tan 𝜃𝐴𝐵 = 𝑚 ∴ tan 𝜃𝐴𝐵 = −2 ; 𝜃𝐴𝐵 = arctan −2 = 𝟏𝟏𝟔°𝟑𝟑′𝟓𝟒"
tan 𝜃𝐵𝐶 = 𝑚 ∴ tan 𝜃𝐵𝐶 = 0.20 ; 𝜃𝐵𝐶 = arctan 0.20 = 𝟏𝟏°𝟏𝟖′𝟑𝟔"
tan 𝜃𝐶𝐴 = 𝑚 ∴ tan 𝜃𝐶𝐴 = 3.5 ; 𝜃𝐶𝐴 = arctan 3.5 = 𝟕𝟒°𝟑′𝟏𝟕"
PENDIENTE DE UNA RECTA
Cálculo del perímetro y área del triángulo:
𝑑 𝐴, 𝐵 = (−1 − 2)2 + (4 − (−2))2
𝑑 𝐴, 𝐵 = (−3)2 + (4 + 2)2
𝑑 𝐴, 𝐵 = 9 + 36
𝑑 𝐴, 𝐵 = 45
𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟔. 𝟕𝟎𝒖
𝑑 𝐵, 𝐶 = (4 − −1 )2 + (5 − 4)2
𝑑 𝐵, 𝐶 = (4 + 1)2 + 1 2
𝑑 𝐵, 𝐶 = 26
𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟓. 𝟎𝟗𝟗𝒖
𝑑 𝐶, 𝐴 = 4 − 2 2 + 5 − (−2) 2
𝑑 𝐶, 𝐴 = 2 2 + (7)2
𝑑 𝐶, 𝐴 = 53
𝒅 𝑪, 𝑨 = 𝟕. 𝟐𝟖𝒖
PENDIENTE DE UNA RECTA
𝑃 = 6.70𝑢 + 5.099𝑢 + 7.28𝑢
𝑷 = 𝟏𝟗. 𝟎𝟕𝟗𝒖
𝐴 =1
2𝑢
2 −1 4−2 4 5
𝑢
𝐴 =1
2𝑢 8 − 5 − 8 − 2 + 16 + 10 𝑢
𝐴 = 1
2𝑢 −5 − 28 𝑢
𝐴 =1
2𝑢 −5 − 28 𝑢
𝐴 = 1
2𝑢 −33 𝑢
𝑨 = −𝟑𝟑
𝟐𝒖𝟐 = −𝟏𝟔. 𝟓𝒖𝟐
PENDIENTE DE UNA RECTA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
ÁNGULO ENTRE RECTAS
Si la recta 𝑳𝟏 , con ecuación 𝒚 = 𝒎𝟏𝒙 + 𝒃𝟏 , se intersecta con la
recta 𝑳𝟐, con ecuación 𝒚 = 𝒎𝟐𝒙 + 𝒃𝟐, se forman dos ángulos, el
ángulo 𝜽 y su suplementario 𝟏𝟖𝟎 − 𝜽.
Para obtener el valor del ángulo 𝜽 procedemos en la forma
siguiente:
Como "en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de
los dos ángulos interiores no adyacentes a el":
ÁNGULO ENTRE RECTAS
𝛼1 + 𝛽 = 𝛼2
Despejamos:
𝛽 = 𝛼2 − 𝛼1
Como 𝜷 = 𝜽 para ser opuestas por el vértice queda de la siguiente
forma:
𝜃 = 𝛼2 − 𝛼1
ÁNGULO ENTRE RECTAS
El problema lo resolveremos usando la función tangente; en
consecuencia, podemos indicar que:
tan 𝜃 = tan(𝛼2 − 𝛼1)
En trigonometría se demostró que la tangente de la diferencia de
dos ángulos es:
tan 𝛼2 − 𝛼1 = tan 𝛼2 − tan 𝛼1
1 + tan 𝛼1 tan 𝛼2
Como 𝐭𝐚𝐧 𝜶𝟐 = 𝒎𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝜶𝟏 = 𝒎𝟏, sustituyendo queda:
𝐭𝐚𝐧 𝜽 = 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏
𝟏 + (𝒎𝟏)(𝒎𝟐)
ÁNGULO ENTRE RECTAS
Para aplicar esta relación se debe tener sumo cuidado al
determinar cual es la pendiente 𝒎𝟏 𝑦 𝒎𝟐. Para ello se deben seguir
las siguientes indicaciones:
a) Si las dos pendientes son positivas, 𝒎𝟐 es la mayor y 𝒎𝟏 la
menor.
b) Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, 𝒎𝟐 es la
pendiente negativa y 𝒎𝟏 es la pendiente positiva.
c) Cuando las dos pendientes son negativas, 𝒎𝟐 tiene mayor
valor absoluto.
ÁNGULO ENTRE RECTAS
EJEMPLO:
1) Determina el valor del ángulo que forman las rectas
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟔 = 𝟎 con 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎.
DESARROLLO:
Pendiente de la recta (m): 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0
Despejamos:
𝑦 = −3𝑥 + 6 ; 𝐦 = −𝟑
Pendiente de la recta (m): 2𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0
Despejamos:
−3𝑦 = −2𝑥 + 4 ; 𝑦 = −2
−3𝑥 + 4
𝑦 = 2
3𝑥 + 4 ; 𝒎 =
𝟐
𝟑
ÁNGULO ENTRE RECTAS
Determinamos cual es 𝒎𝟐 (mayor ángulo) y cual es 𝒎𝟏 (menor ángulo).
Nos percatamos de que tenemos un valor positivo y otro negativo, en donde 𝑚2 es la pendiente
negativa 𝒎𝟐 = −𝟑 y 𝑚1 es la pendiente positiva 𝒎𝟏 = 𝟐
𝟑.
Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula que anteriormente se nos había planteado:
tan 𝜃 =𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚1 𝑚2 ∴ tan 𝜃 =
−3 −23
1 +23
−3
tan 𝜃 =
−9 − 23
1 + −63
=−
113
3 + (−6)3
=−
113
−33
=
11333
=33
9= 3.6666
tan 𝜃 = 3.6666 ; 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(3.6666)
𝜽 = 𝟕𝟒°𝟒𝟓′
ÁNGULO ENTRE RECTAS
2) Si A(1, 6), C(4, -2), B(7,4), calcula el valor del ángulo C.
DESARROLLO:
Primero procedemos a encontrar el valor de las pendientes
𝒎𝟏 𝑦 𝒎𝟐 aplicando la ecuación de pendiente de una recta dado
los puntos.
Pendiente de la recta (m): 𝐴 1,6 ; 𝐶(4, −2)
𝑚 = ∆𝑦
∆𝑥=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
−2 − 6
4 − 1
𝒎 = −𝟖
𝟑
ÁNGULO ENTRE RECTAS
Pendiente de la recta (m): 𝐶 4, −2 ; 𝐵(7,4)
𝑚 = ∆𝑦
∆𝑥=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
4 − (−2)
7 − 4=
4 + 2
7 − 4
𝑚 = 6
3= 2 ∴ 𝒎 = 𝟐
Notamos que 𝒎𝟏 = 𝟐 (ángulo menor) y 𝒎𝟐 = −𝟖
𝟑 (ángulo mayor), teniendo los valores de las
pendientes procedemos a calcular el ángulo entre las dos rectas:
tan 𝐶 = 𝑚2 − 𝑚1
1 + (𝑚1)(𝑚2)=
−83
− 2
1 + (2) −83
=
−8 − 63
1 + −163
=−
143
1 −163
= −
143
3 − 163
= −
143
−133
tan 𝐶 =
143
133
= 42
39= 1.0769 ; tan 𝐶 = 1.0769
𝑪 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝟏. 𝟎𝟕𝟔𝟗 = 𝟒𝟕°𝟕′
PARALELISMO
Dos recta 𝑳𝟏 𝑦 𝑳𝟐son paralelas si sus pendientes son iguales. Es decir
si cumplen que: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 . Además, dos rectas 𝐿1 𝑦 𝐿2 son
coincidentes (se sobreponen) cuando aparte de tener la misma
pendiente, pasan por un mismo punto.
PARALELISMO
Para saber si dos rectas son paralelas, es decir, que sus
pendientes son de igual valor, es necesario calcular la pendiente
de cada una de las rectas de acuerdo la siguiente fórmula:
𝐿1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 ; 𝐿2 = 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶´𝑧 + 𝐷′ = 0
𝑚1 = −𝐴
𝐵
𝑚2 = −𝐴′
𝐵′
𝑚1 = 𝑚2 → −𝐴
𝐵= −
𝐴′
𝐵′ ↔ −
𝐴
𝐵=
𝐴′
𝐵′
PARALELISMO
Ejemplos:
1) Calcular el valor de K para que las rectas 𝑳𝟏 = 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 y
𝑳𝟐 = 𝒙 − 𝑲𝒚 + 𝟒 = 𝟎 sean paralelas.
Recordemos que las rectas se consideran paralelas siempre y cuando cumplan con
la siguiente regla:
𝒎𝟏 = 𝒎𝟐
−𝐴
𝐵= −
1
2
−𝐴′
𝐵′= −
1
−𝑘=
1
𝑘
−1
2=
1
𝑘= −
𝑘
2
𝒌 = −𝟐 ∴ 𝒎𝟏 ≠ 𝒎𝟐
PARALELISMO
2) ¿serán paralelas las rectas 𝑳𝟏 = 𝟖𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎 y
𝑳𝟐 = 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 − 𝟏𝟎 = 𝟎?
DESARROLLO:
𝑚1 = 𝑚2
−𝐴
𝐵= −
8
−16=
8
16=
4
8=
2
4=
1
2
−𝐴′
𝐵′= −
4
−8=
4
8=
2
4=
1
2
𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 ∴ 𝟏
𝟐=
𝟏
𝟐
PERPENDICULARIDAD
Dos rectas 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 son perpendiculares u ortogonales si forman un
ángulo de 90° entre sí, un ejemplo de ello es la siguiente figura:
Como las rectas son perpendiculares 𝛼2 = 𝛼1 + 90° , tomando la
tangente de los ángulos en ambos miembros:
𝑚2 = tan 𝛼2 = tan 𝛼1 + 90° = − cot 𝛼1
PERPENDICULARIDAD
Pero como la tangente y la cotangente son funciones recíprocas
se tiene:
− cot 𝛼1 = −1
tan 𝛼1= −
1
𝑚1
Por lo tanto, la condición de perpendicularidad entre dos rectas 𝐿1
y 𝐿2 se cumple siempre que el producto de sus pendientes sea -1:
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏
PERPENDICULARIDAD
EJEMPLOS:
1) ¿Serán perpendiculares las rectas 𝑳𝟏 = 𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎 y
𝑳𝟐 = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎?
DESARROLLO:
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
𝑚1 = − 𝐴
𝐵= −
3
−6=
3
6=
1
2
𝑚2 = −𝐴′
𝐵′= −
10
5= −
2
1= −2
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏 ∴ 𝟏
𝟐−𝟐 = −
𝟐
𝟐= −𝟏
Si es perpendicular
PERPENDICULARIDAD
2) ¿Serán perpendiculares las rectas 𝑳𝟏 = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 y
𝑳𝟐 = 𝒚 = −𝟑
𝟐𝒙 − 𝟏𝟓?
DESARROLLO:
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
𝑚1 = −𝐴
𝐵= −
12
18= −
4
6= −
2
3
𝑚2 = −𝐴′
𝐵′ = − 3
2
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏 ∴ −𝟐
𝟑−
𝟑
𝟐=
𝟔
𝟔= 𝟏
No es perpendicular
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
Partiendo de la ecuación continua de la recta:
𝑥 − 𝑥1
𝑣1=
𝑦 − 𝑦1
𝑣2
Despejamos denominadores:
𝑥 − 𝑥1 𝑣1 = 𝑦 − 𝑦1 𝑣2
Volvemos a despejar:
𝑦 − 𝑦1 =𝑣2
𝑣1𝑥 − 𝑥1
Recordemos que:
𝑚 =𝑣2
𝑣1=
∆𝑦
∆𝑥=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Se obtiene:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟏
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
EJEMPLOS:
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(4, -1) y
tiene un ángulo de inclinación de 135°.
DESARROLLO:
𝑚 = tan 𝜃 ∴ 𝑚 = tan 135°
𝒎 = −𝟏
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − −1 = −1(𝑥 − 4)
𝑦 + 1 = −𝑥 + 4 ; 𝑦 = −𝑥 + 4 − 1
𝒚 = −𝒙 + 𝟑
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
2) Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-7) y
tiene pendiente de 8.
DESARROLLO:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − −7 = 8 𝑥 − 3
𝑦 + 7 = 8𝑥 − 24
𝑦 = 8𝑥 − 24 − 7
𝒚 = 𝟖𝒙 − 𝟑𝟏
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
3) Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos 𝑨 −𝟐, −𝟑 ; 𝑩(𝟒, 𝟐).
DESARROLLO:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − 𝑦1 = ∆𝑦
∆𝑥𝑥 − 𝑥1
𝑦 − −3 = 2 − −3
4 − −2𝑥 − −2
𝑦 + 3 =2 + 3
4 + 2𝑥 + 2
𝑦 + 3 =5
6𝑥 + 2
𝑦 + 3 =5
6𝑥 +
10
6
𝑦 =5
6𝑥 +
10
6− 3 ; 𝑦 =
5
6𝑥 +
10 − 18
6
𝒚 = 𝟓
𝟔𝒙 −
𝟖
𝟔 ó 𝒚 =
𝟓𝒙 − 𝟖
𝟔
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,3) y tiene pendiente de −1
4.
DESARROLLO:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − 3 = −1
4𝑥 − 1
𝑦 − 3 = −1
4𝑥 +
1
4
𝑦 = −1
4𝑥 +
1
4+ 3
𝑦 = −1
4𝑥 +
1 + 12
4
𝑦 = −1
4𝑥 +
13
4
𝒚 =−𝒙 + 𝟏𝟑
𝟒
ECUACIÓN PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN
Es la recta cuya pendiente es “m” y cuya ordenada en el origen
es “b” y se tiene por ecuación:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
EJEMPLOS:
1) Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es m = 2 y
corta al eje de las ordenadas en el punto (0,3).
DESARROLLO:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 ∴ 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑
ECUACIÓN PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN
2) Encuentra la ecuación de la recta, cuya intersección con el eje
“y” es 4 y su pendiente es -3.
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 ∴ 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟒
3) Halla la ecuación de la recta cuya ordenada en el origen es -5 y
que es paralela a la recta 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟗. Expresar la ecuación en
forma pendiente ordenada al origen.
DESARROLLO:
En este caso el problema nos indica que las rectas son paralelas, por
lo tanto tienen la misma pendiente (ver concepto de paralelismo) y
nuestra ecuación nos queda de la siguiente forma:
𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟓
ECUACIÓN SIMÉTRICA
La recta cuyas intersecciones con los ejes “x” y “y” son; 𝒂 ≠ 𝟎 y
𝒃 ≠ 𝟎, respectivamente; tiene por ecuación simétrica:
𝒙
𝒂+
𝒚
𝒃= 𝟏
Donde 1 es el factor que nunca cambiara y a ; b son los puntos
donde la recta toca las líneas del plano cartesiano 𝒂 = 𝒙 y
𝒚 = 𝒃 .
ECUACIÓN SIMÉTRICA
1) Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades,
respectivamente. Hallar su ecuación simétrica.
DESARROLLO:
𝒙
𝒂+
𝒚
𝒃= 𝟏 ∴
𝒙
𝟓+
𝒚
𝟑= 𝟏
2) Sean 𝒂 = 𝟑 y 𝒃 = 𝟖, la abscisa y la ordenada respectivamente de una recta. Determina la
ecuación de la recta que las contiene en su forma simétrica.
DESARROLLO:
𝒙
𝒂+
𝒚
𝒃= 𝟏 ∴
𝒙
𝟑+
𝒚
𝟖= 𝟏
3) Obtener la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos 𝑨 𝟎, 𝟓 y 𝑩 −𝟐, 𝟎 .
DESARROLLO:
𝒙
𝒂+
𝒚
𝒃= 𝟏 ∴
𝒙
−𝟐+
𝒚
𝟓= 𝟏
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita
de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta
cuando se pide la ecuación de una recta.
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
En donde A, B y C son constante arbitrarias; 𝒎 = −𝑨
𝑩 y su ordenada
en el origen 𝒃 = −𝑪
𝑩.
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
EJEMPLOS:
1) Determinar la abscisa y la ordenada al origen, de la recta que pasa por los puntos P(-3, -1) y Q(5, 3). Obtener la forma
general y la simétrica de la recta.
DESARROLLO:
𝑚 = ∆𝑦
∆𝑥=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
3 − (−1)
5 − (−3)=
3 + 1
5 + 3=
4
8=
2
4=
1
2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − −1 =1
2𝑥 − −3
𝑦 + 1 =1
2𝑥 + 3
𝑦 + 1 =1
2𝑥 +
3
2 ; 𝑦 =
1
2𝑥 +
3
2− 1
𝑦 =1
2𝑥 +
3 − 2
2
𝑦 =1
2𝑥 +
1
2 ; 2𝑦 = 𝑥 + 1
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎 → 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1 ; 𝑥 − 2𝑦 = −1 ;
𝑥 − 2𝑦
−1= 1
−𝒙
𝟏+
𝒚
𝟏𝟐
= 𝟏 → 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑺𝑰𝑴É𝑻𝑹𝑰𝑪𝑨
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA:
Coordenadas: 𝑷 −𝟑, −𝟏 𝒚 𝑸 𝟓, 𝟑
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
2) Una recta tiene de abscisa y ordenada en el origen 5 y -3,
respectivamente. Hallar su ecuación en la forma general.
DESARROLLO:
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1 ;
𝑥
5+
𝑦
−3= 1
𝑥
5+
𝑦
−3= 1
5𝑥 − 3𝑦
−15= 1
5𝑥 − 3𝑦 = 1(−15)
5𝑥 − 3𝑦 = −15
𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟏𝟓 = 𝟎
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
3) Trazar la siguiente recta empleando puntos convenientes (sin necesidad de tabular) 5x-3y+6=0.
DESARROLLO:
5𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 ; −3𝑦 = −5𝑥 − 6
𝑦 = −5𝑥 − 6
−3
𝑦 =−5
−3𝑥 +
−6
−3
𝑦 =5
3𝑥 +
6
3
𝑦 = 5
3𝑥 +
6
3
𝑦 = 5
3𝑥 +
2
1
𝑦 =5
3𝑥 + 2
𝒎 = 𝟓
𝟑 ; 𝒃 = 𝟐
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
4) Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como
pendiente m = -2.
DESARROLLO:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − 5 = −2 𝑥 − 1
𝑦 − 5 = −2𝑥 + 2
𝑦 = −2𝑥 + 2 + 5
𝑦 = −2𝑥 + 7
𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟕 = 𝟎
UNIDAD II: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y USO DE LAS CURVAS CANÓNICAS
PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará grafica y
algebraicamente curvas canónicas, partiendo de la definición
de su lugar geométrico y aplicando técnicas y procedimientos,
para la descripción, análisis y solución de situaciones cotidianas
de su entorno.
RESULTADO DE APRENDIZAJE: 2.1 Representa gráficamente la
circunferencia, mediante su ecuación o elementos que la
integran.
CONTENIDO
A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ELEMENTOS DE LA
CIRCUNFERENCIA.
LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA.
B. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA.
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN.
LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
CIRCUNFERENCIA:
La circunferencia es el perímetro curvo del corte efectuado por un plano paralelo
a la base de un cono.
La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma
distancia de un punto fijo llamado centro. Se distingue del círculo en que éste es el
lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es
decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
CENTRO: El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la
circunferencia.
RADIO: El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con
un punto cualquiera de la misma.
DIÁMETRO: El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia. El diámetro mide el doble del radio.
CUERDA: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la
circunferencia.
ARCO: Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la
circunferencia.
SECANTE: La recta corta a la circunferencia en dos puntos.
TANGENTE: La recta corta a la circunferencia en un punto.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos
variables. Ahora bien, no toda la ecuación de este tipo representa siempre una
circunferencia; sólo en determinadas ocasiones es cierto.
Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y
radio.
La ecuación de la circunferencia de centro (𝒉, 𝒌) y radio 𝒓 es:
𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐
Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐.
Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Si escribimos esta ecuación en la forma:
𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝑦2 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
sumamos y restamos los términos que se indican para completar cuadrados, se
tiene:
𝑥2 + 𝐷𝑥 +𝐷2
4+ 𝑦2 + 𝐸𝑦 +
𝐸2
4=
𝐷2
4+
𝐸2
4− 𝐹
O bien:
𝑥 +𝐷
2
2
+ 𝑦 +𝐸
2
2
=𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
4
El centro es el punto −𝑫
𝟐 ; −
𝑬
𝟐 y el radio 𝒓 =
𝟏
𝟐𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭.
Si 𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 > 𝟎, la circunferencia es real.
Si 𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 < 𝟎, la circunferencia es imaginaria.
Si 𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 = 𝟎, el radio de la circunferencia es igual a cero y la ecuación
representa al punto −𝑫
𝟐 ; −
𝑬
𝟐.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Dados las coordenadas del centro de la circunferencia 𝑪(𝒉, 𝒌) y el radio "r" de la misma,
podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de y correspondiente a un
valor de x:
(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐
EJEMPLOS:
1. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro es C(2,6) y con radio r = 4.
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 6 2 = 42
𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝒚 − 𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
2. Determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro esta en
C(3,-4) y que pasa por el punto A(6,12).
DESARROLLO:
(𝑥 − ℎ)2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 ; 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − −42
= 𝑟2
𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 4 2 = 𝑟2
Para encontrar el valor de 𝒓𝟐 aplicamos la fórmula de la distancia entre dos
puntos:
𝑟2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 + 𝑦1
2
𝑟2 = 6 − 3 2 + 12 + 4 2
𝑟2 = 3 2 + 16 2
𝑟2 = 9 + 256
𝒓𝟐 = 𝟐𝟔𝟓
𝒙 − 𝟑 𝟐 + 𝒚 + 𝟒 𝟐 = 𝟐𝟔𝟓
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
3. Encuentre la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y
r= 6.
DESARROLLO:
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
𝑥 − −32
+ 𝑦 − 2 2 = 6 2
𝒙 + 𝟑 𝟐 + 𝒚 − 𝟐 𝟐 = 𝟑𝟔
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su
ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de
la ecuación de la circunferencia, así:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Prueba:
(𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 𝑟2
𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2 + 𝑘2 = 𝑟2
𝑟2 + 𝑦2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫 −2ℎ 𝑥 + 𝑬 −2𝑘 𝑦 + 𝑭 ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Así es como surge la ecuación general de la circunferencia.
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
EJEMPLOS:
1. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2,6) y radio r = 4 y calcular
la naturaleza de la misma.
DESARROLLO:
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 6 2 = 4 2
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 12𝑦 + 36 = 16
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 12𝑦 + 36 − 16 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 12𝑦 + 4 + 36 − 16 = 0
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟐𝟒 = 𝟎
𝑫 = −𝟒 ; 𝑬 = −𝟏𝟐 ; 𝑭 = 𝟐𝟒
A continuación verificaremos la naturaleza de nuestra circunferencia:
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 ∴ −4 2 + −12 2 − 4 24
𝟏𝟔 + 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔 = 𝟔𝟒 ∴ 𝟔𝟒 > 𝟎
La naturaleza de nuestra circunferencia es real, ya que cumple con la regla:
𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 > 𝟎
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
2. Una circunferencia tiene su centro en (6, -2) y pasa por el punto Q(4, 0). Hallar la ecuación general de la
circunferencia y calcular la naturaleza de la circunferencia.
DESARROLLO:
𝑥 − 6 2 + 𝑦 − −22
= 𝑟2
𝑟2 = 4 − 6 2 + 0 − 2 2
𝑟2 = −2 2 + −2 2
𝑟2 = 4 + 4
𝑟2 = 8
𝑥 − 6 2 + 𝑦 + 2 2 = 8
𝑥2 − 12𝑥 + 36 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 8
𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 4𝑦 + 36 + 4 − 8 = 0
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟑𝟐 = 𝟎
𝑫 = −𝟏𝟐 ; 𝑬 = 𝟒 ; 𝑭 = 𝟑𝟐
Procedemos a encontrar la naturaleza de nuestra circunferencia:
𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 ; −𝟏𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟑𝟐 ; 𝟏𝟒𝟒 + 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐𝟖 = 𝟑𝟐 ∴ 𝟑𝟐 > 𝟎
La naturaleza de la circunferencia es real.
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
3. Determinar la ecuación general de la circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son los puntos Q(6, 2)
y R(-2, -4).
DESARROLLO:
𝑥𝑚 =𝑥1 + 𝑥2
2=
6 + (−2)
2=
4
2= 2
𝑦𝑚 =𝑦1 + 𝑦2
2=
2 + (−4)
2= −
2
2= −1
𝒄(𝟐, −𝟏)
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − −12
= 𝑟2
𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 𝑟2
𝑟 =1
2−2 − 6 2 + −4 − 2 2
𝑟 =1
2−8 2 + −6 2
𝒓 =𝟏
𝟐𝟏𝟎𝟎 ∴ 𝒓 = 𝟓
𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 25 ; 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 25 = 0 ; 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 + 1 − 25 = 0
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
4. Dada la ecuación de la circunferencia 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝟔𝒚𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 − 𝟏𝟎𝟖𝒚 + 𝟗𝟕 = 𝟎, hallar el centro, el radio y la ecuación ordinaria de
dicha circunferencia .
DESARROLLO:
36𝑥2 + 36𝑦2 + 48𝑥 − 108𝑦 + 97 = 0
36 𝑥2 +48
36𝑥 + 36 𝑦2 −
108
36𝑦 + 97 = 0
36 𝑥2 +8
6𝑥 + 36 𝑦2 −
18
6𝑦 + 97 = 0
36 𝑥2 +4
3𝑥 +
16
36−
16
36+ 36 𝑦2 − 3𝑦 +
9
4−
9
4+ 97 = 0
36 𝑥 +4
6
2
− 16 + 36 𝑦 −3
2
2
− 81 + 97 = 0
36 𝑥 +2
3
2
+ 36 𝑦 −3
2
2
= 0
𝒙 +𝟐
𝟑
𝟐
+ 𝒚 −𝟑
𝟐
𝟐
= 𝟎
𝒉 = 𝟐
𝟑 ; 𝒌 = −
𝟑
𝟐 ; 𝒓 = 𝟎
ECUACIÓN DE LA CIRCINFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
Cuando el centro está en el origen 𝐶(0,0), la ecuación de una
circunferencia se simplifica a:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐
A está ecuación se le conoce como ecuación canónica y se da
cuando el centro de la circunferencia es el punto C(0,0), por lo
que la expresión ordinaria queda reducida a:
ECUACIÓN DE LA CIRCINFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
EJERCICIOS:
1. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝑸(𝟔, 𝟑) y
cuyo centro se encuentra en 𝑪(𝟎, 𝟎).
DESARROLLO:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑟2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1
2
𝑟2 = 0 − 6 2 + 0 − 3 2
𝑟2 = −6 2 + −3 2
𝑟 = 36 + 9
𝑟 = 45
𝑟 = 6.708203933
𝑥2 + 𝑦2 = 6.708203933 2
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟓
ECUACIÓN DE LA CIRCINFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
2. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
y pasa por el punto 𝑷(𝟕, 𝟎).
DESARROLLO:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
72 + 02 = 𝑟2
49 = 𝑟
𝑟 = 7
𝑥2 + 𝑦2 = 72
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟗
ECUACIÓN DE LA CIRCINFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
3. Obtener la ecuación de la circunferencia dada su gráfica.
DESARROLLO:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑟 =1
23 − (−3) 2 + 2 − (−2) 2
𝑟 =1
23 + 3 2 + 2 + 2 2
𝑟 =1
26 2 + 4 2
𝑟 =1
236 + 16
𝑟 =1
252
𝑟 =1
27.211102551
𝑟 =7211102551
2= 3.605551275
𝑥2 + 𝑦2 = 3.605551275 2
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟑
ECUACIÓN DE LA CIRCINFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
4. Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen cuya
área es igual a 10𝑢2.
DESARROLLO:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝐴 = 𝜋𝑟2 ∴ 10𝑢2 = 𝜋𝑟2
𝑟2 =10𝑢2
𝜋= 3.183098862𝑢2
𝑟 = 3.183098862𝑢2
𝑟 = 1.784124116𝑢
𝑥2 + 𝑦2 = 1.784124116 2
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟑. 𝟏𝟖𝟑𝟎𝟗𝟖𝟖𝟔𝟐 ó 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 =𝟏𝟎
𝝅
UNIDAD II: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y USO DE LAS CURVAS CANÓNICAS
PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará gráfica y
algebraicamente curvas canónicas, partiendo de la definición
de su lugar geométrico y aplicando técnicas y procedimientos,
para la descripción, análisis y solución de situaciones cotidianas
de su entorno.
RESULTADO DE APRENDIZAJE: 2.2 Representa gráficamente la
parábola, mediante su ecuación o elementos que la integran.
CONTENIDO
A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.
LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.
B. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA PARÁBOLA.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA HORIZONTAL.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA VERTICAL.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA.
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.
LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
La parábola es el perímetro curvo del corte efectuado por un plano
paralelo a una directriz del cono.
Por lo tanto, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un
plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el
plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que
no pertenece a la recta. El punto fijo se llama “foco” y la recta fija
“directriz” de la parábola.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal.
Eje focal (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos
ramas y pasa por el vértice.
Foco (F):Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje
focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una
distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola.
Distancia focal (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como
entre vértice y directriz.
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera,
pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (HORIZONTAL)
La ecuación de la parábola con vértice (0,0) y foco en el eje 𝒙 es:
𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙
Las coordenadas del foco son 𝒑, 𝟎 y la ecuación de la directriz es
𝒙 = −𝒑.
Si 𝒑 > 𝟎, la parábola abre hacia la derecha.
Si 𝒑 < 𝟎, la parábola abre hacia la izquierda.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (HORIZONTAL)
EJEMPLOS:
1. Una parábola tiene como ecuación 𝒚𝟐 = −𝟖𝒙. Hallar las coordenadas del
foco, la ecuación de la directriz y gráfica de la parábola.
DESARROLLO:
𝑦2 = 4𝑝𝑥 ; 𝑦2 = −8𝑥
4𝑝 = −8 ; 𝑝 = −8
4
𝑝 = −2
𝑭 𝒑, 𝟎 ∴ 𝑭(−𝟐, 𝟎)
Después de haber calculado las coordenadas procedemos a calcular la directriz
de nuestra parábola.
𝑥 = −𝑝 ∴ 𝑥 = −(−2)
𝒙 = 𝟐
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (HORIZONTAL)
2. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz
para la parábola con ecuación 𝒚𝟐 = −𝟏𝟔𝒙.
DESARROLLO:
𝑦2 = 4𝑝𝑥 ; 𝑦2 = −16𝑥
4𝑝 = −16
𝑝 = −16
4
𝑝 = −4
𝑭(−𝟒, 𝟎)
𝑥 = −𝑝 ∴ 𝑥 = −(−4)
𝒙 = 𝟒
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (HORIZONTAL)
3. Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el
punto 𝑨(−𝟐, 𝟒). Determinar su ecuación
DESARROLLO:
𝑦2 = 4𝑝𝑥 ∴ 4 2 = 4𝑝(−2)
16 = 4𝑝(−2)
−16
2= 4𝑝
4𝑝 = −8
𝒚𝟐 = −𝟖𝒙
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (HORIZONTAL)
4. Hallar el foco, la ecuación de la directriz y el lado recto (LR) de la parábola con ecuación 3𝑦2 = 8𝑥.
DESARROLLO:
𝑦2 = 4𝑝𝑥 ; 3𝑦2 = 8𝑥
𝑦2 =8
3𝑥
4𝑝 =8
3 ; 𝑝 =
8
341
𝑝 =8
12=
4
6=
2
3
𝑝 =2
3
𝑭𝟐
𝟑, 𝟎
𝒙 = −𝒑 ∴ 𝒙 = −𝟐
𝟑 ; 𝒙 = −
𝟐
𝟑
𝐿𝑅 = 4𝑝 ∴ 𝐿𝑅 = 42
3
𝑳𝑹 = 𝟖
𝟑
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (VERTICAL)
La ecuación de la parábola con vértice (0,0) y foco en el eje “y”
es:
𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚
Las coordenadas del foco son (𝟎, 𝒑) y la ecuación de la directriz es
𝒚 = −𝒑.
Si 𝒑 > 𝟎, la parábola abre hacia arriba.
Si 𝒑 < 𝟎, la parábola abre hacia abajo.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (VERTICAL)
EJERCICIOS:
1. Una parábola con vértice (𝟎, 𝟎) y cuyo foco es (𝟎, 𝟑). Calcular
la ecuación de la parábola.
DESARROLLO:
𝑥2 = 4𝑝𝑦
𝑥2 = 4 3 𝑦
𝒙𝟐 = 𝟏𝟐𝒚
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (VERTICAL)
2. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “y”, pasa por el
punto (4, -2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de la
directriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráfica correspondiente.
DESARROLLO:
𝑥2 = 4𝑝𝑦 ∴ 4 2 = 4𝑝(−2)
16 = 4𝑝 −2 ; 4𝑝 =16
−2
4𝑝 = −8 ; 𝑝 = −8
4= −2
𝑭(𝟎, −𝟐)
𝑥2 = 4 −2 𝑦
𝒙𝟐 = −𝟖𝒚
𝑦 = −𝑝 ∴ 𝑦 = −(−2)
𝒚 = 𝟐
𝐿𝑅 = 4𝑝 ∴ 𝐿𝑅 = 4(−2)
𝑳𝑹 = 𝟖
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (VERTICAL)
3. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la
parábola 𝒙𝟐 = 𝟔𝒚.
DESARROLLO:
𝑥2 = 4𝑝𝑦 ; 𝑥2 = 6𝑦
4𝑝 = 6 ; 𝑝 =6
4=
3
2
𝑭 𝟎,𝟑
𝟐
𝑦 = −𝑝 ; 𝑦 = −3
2
𝒚 = −𝟑
𝟐
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (VERTICAL)
4. Escribir la ecuación de la parábola con foco en F(0,5) y cuya
directriz tiene por ecuación 𝑦 = −5.
DESARROLLO:
𝑥2 = 4𝑝𝑦
𝑥2 = 4 5 𝑦
𝒙𝟐 = 𝟐𝟎𝒚
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA (VERTICAL)
Si p es positiva, la parábola abre hacia arriba, pero si p es
negativa, la parábola abre hacia abajo.
La ecuación ordinaria para la parábola paralela al eje “y” es:
𝒙 − 𝒉 𝟐 = 𝟒𝒑 𝒚 − 𝒌
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA (HORIZONTAL)
Si p es positiva, la parábola abre hacia la derecha, pero si p es
negativa la parábola abre hacia la izquierda.
La ecuación ordinaria para la parábola paralela al eje de “x” es:
𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Si 𝑨 = 𝟎 ; 𝑪 ≠ 𝟎 𝒚 𝑫 ≠ 𝟎, la ecuación representa una parábola
cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “x”, es decir:
𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Si 𝑨 ≠ 𝟎 ; 𝑪 = 𝟎 𝒚 𝑬 ≠ 𝟎, la ecuación representa una parábola
cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “y”, es decir:
𝑨𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
EJERCICIOS DE ECUACIÓN ORDINARIA Y ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto
(3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz, la longitud de su lado recto y la gráfica
correspondiente.
DESARROLLO:
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘
𝑝 = −2
𝒙 − 𝟑 𝟐 = 𝟒 −𝟐 𝒚 − 𝟒 → 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑶𝑹𝑫𝑰𝑵𝑨𝑹𝑰𝑨
𝑥2 − 6𝑥 + 9 = −8 𝑦 − 4
𝑥2 − 6𝑥 + 9 = −8𝑦 + 32
𝑥2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 9 − 32 = 0
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟐𝟑 = 𝟎 → 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳
𝑦 = −𝑝 + 𝑘 ∴ 𝑦 = −(−2) + (4)
𝒚 = 𝟔 → 𝑫𝑰𝑹𝑬𝑪𝑻𝑹𝑰𝒁
𝐿𝑅 = 4𝑝 ∴ 𝐿𝑅 = 4(−2)
𝑳𝑹 = 𝟖
EJERCICIOS DE ECUACIÓN ORDINARIA Y ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
2. Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (-3,1) y cuya
directriz es la recta x=3. Hallar también su lado recto y trazar la gráfica
correspondiente.
DESARROLLO:
𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)
𝒚 − 𝟏 𝟐 = 𝟒(−𝟑) 𝒙 − 𝟎 → 𝑶𝑹𝑫𝑰𝑵𝑨𝑹𝑰𝑨
𝑦2 − 2𝑦 + 1 = −12 𝑥 − 0
𝑦2 − 2𝑦 + 1 = −12𝑥 + 0
𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎 → 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳
𝐿𝑅 = 4𝑝 ∴ 𝐿𝑅 = 4(−3)
𝑳𝑹 = 𝟏𝟐
EJERCICIOS DE ECUACIÓN ORDINARIA Y ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
3. Demostrar que la ecuación 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟒𝒚 + 𝟗𝟕 = 𝟎 representa una parábola y hallar las
coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado
recto. Trazando la gráfica correspondiente.
Argumento: la ecuación que se expone en el problema sí representa a una parábola cuyo eje
es paralelo o coincide en el eje “y”.
DESARROLLO:
4𝑥2 − 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0 → 𝐺𝐸𝑁𝐸𝑅𝐴𝐿
𝑥2 −20𝑥 − 24𝑦 + 97
4= 0
𝑥2 − 5𝑥 − 6𝑦 +97
4= 0
𝑥2 − 5𝑥 + −5
2 1
2
− −5
2 1
2
− 6𝑦 +97
4= 0
𝑥2 − 5𝑥 +25
4−
25
4− 6𝑦 +
97
4= 0
EJERCICIOS DE ECUACIÓN ORDINARIA Y ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
𝑥2 − 5𝑥 +25
4= 6𝑦 +
25
4−
97
4
𝑥 −5
2
2
= 6𝑦 −72
4
𝑥 −5
2
2
= 6𝑦 − 18
𝑥 −5
2
2
= 6 𝑦 −18
6
𝑥 −5
2
2
= 6 𝑦 − 3 → 𝑂𝑅𝐷𝐼𝑁𝐴𝑅𝐼𝐴
4𝑝 = 6 ; 𝑝 =6
4=
3
2
𝑝 =3
2
𝐹 ℎ, 𝑝 + 𝑘 ; 𝐹5
2,3
2+ 3 ; 𝐹
5
2,3 + 6
2
𝑭𝟓
𝟐,𝟗
𝟐 ; 𝑽
𝟓
𝟐, 𝟑 ; 𝑦 = −𝑝 + 𝑘 ; 𝑦 = −
3
2+ 3
𝒚 =𝟑
𝟐
𝑳𝑹 = 𝟒𝟑
𝟐 ; 𝑳𝑹 = 𝟔
EJERCICIOS DE ECUACIÓN ORDINARIA Y ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
4. Verificar que la ecuación 4𝑦2 − 48𝑥 − 20𝑦 = 71 representa una parábola y hallar las coordenadas
del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazando la gráfica
correspondiente.
Argumento: La ecuación que se expone en el problema sí representa a una parábola ya que cuyo eje
es paralelo o coincide con el eje “x”.
DESARROLLO:
4𝑦2 − 48𝑥 − 20𝑦 = 71 → 𝐺𝐸𝑁𝐸𝑅𝐴𝐿
4𝑦2 − 48𝑥 − 20𝑦 − 71 = 0
𝑦2 −48𝑥 − 20𝑦 − 71
4= 0
𝑦2 − 12𝑥 − 5𝑦 −71
4= 0
𝑦2 − 12𝑥 + −5
2 1
2
− −5
2 1
2
− 5𝑦 −71
4= 0
𝑦2 − 12𝑥 +25
4−
25
4− 5𝑦 −
71
4= 0
EJERCICIOS DE ECUACIÓN ORDINARIA Y ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
𝑦2 − 12𝑥 +25
4−
25
4− 5𝑦 −
71
4= 0
𝑦2 − 5𝑦 +25
4= 12𝑥 +
25
4+
71
4
𝑦 −5
2
2
= 12𝑥 +96
4
𝑦 −5
2
2
= 12𝑥 + 24
𝑦 −5
2
2
= 12 𝑥 +24
12
𝑦 −5
2
2
= 12 𝑥 + 2 → 𝐶𝐴𝑁Ó𝑁𝐼𝐶𝐴
𝟒𝒑 = 𝟏𝟐 ; 𝒑 =𝟏𝟐
𝟒= 𝟑
𝐹 ℎ + 𝑝, 𝑘 ; 𝐹 −2 + 3,5
2 ; 𝐹 1,
5
2
𝑭 𝟏,𝟓
𝟐 ; 𝑽 −𝟐,
𝟓
𝟐 ; 𝑥 = −𝑝 + ℎ ; 𝑥 = −3 − 2
𝒙 = −𝟓 ; 𝐿𝑅 = 4𝑝 ; 𝐿𝑅 = 4(3)
𝑳𝑹 = 𝟏𝟐
UNIDAD II: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y USO DE CURVAS CANÓNICAS
PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará gráfica y
algebraicamente curvas canónicas, partiendo de la definición
de su lugar geométrico y aplicando técnicas y procedimientos,
para la descripción, análisis y solución de situaciones cotidianas
de su entorno.
RESULTADO DE APRENDIZAJE: 2.3 Representa gráficamente la
elipse, mediante su ecuación o elementos que la integran.
CONTENIDO
A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA ELIPSE.
LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE.
B. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA ELIPSE.
ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJES
COORDENADOS LOS EJES DE LA ELIPSE.
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJES
PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE.
LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
La elipse es el perímetro curvo del corte efectuado por un plano
oblicuo a la base y a las generatrices del cono.
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano
es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre dichos
puntos; llamados “focos de la elipse”.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
En donde; V y V’ son los vértices, F y F’ los focos, VV’ eje mayor=2a, p un punto cualquiera de la elipse, BB’ eje menor=2b, JJ’
cuerda, LL’ lado recto ┴ al eje focal, NN’ cuerda focal, DD’ diámetro,
FP y F’P radio vector y C centro.
ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJES COORDENADOS LOS EJES
DE LA ELIPSE
Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje “x”, su ecuación
es:
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje “y”, su ecuación
es:
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1
En donde:
2𝑎 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ; 2𝑏 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ; 𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎 ; 𝑒 =
𝑐
𝑎 → 𝐸𝑋𝐶𝐸𝑁𝑇𝑅𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJES PARALELOS A LOS EJES
COORDENADOS
Si una elipse tiene su centro en (h, k) y su eje focal es paralelo al eje “x”, su
ecuación ordinaria será:
𝑥 − ℎ 2
𝑎2+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2= 1
Pero, si la elipse tiene su centro en (h, k) y su eje focal es paralelo al eje “y”,
su ecuación es:
𝑥 − ℎ 2
𝑏2+
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2= 1
En donde:
2𝑎 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ; 2𝑏 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ; 𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎 ; 𝑒 =
𝑐
𝑎 → 𝐸𝑋𝐶𝐸𝑁𝑇𝑅𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Sí A y C son del mismo signo, la ecuación 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0;
representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien
un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.
EJERCICIOS PROPUESTOS DE ELIPSE
1. En la siguiente ecuación 16𝑥2 + 25𝑦2 = 400. Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los
ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Graficar.
DESARROLLO:
16𝑥2 + 25𝑦2 = 400
16𝑥2
400+
25𝑦2
400=
400
400
𝑥2
25+
𝑦2
16= 1
𝑎2 = 25 ; 𝑏2 = 16 ∴ 𝑎 = 5 ; 𝑏 = 4
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ; 25 = 16 + 𝑐2 ; 25 − 16 = 𝑐2
𝑐 = 9 ; 𝑐 = 3
𝑭 𝟑, 𝟎 ; 𝑭′(−𝟑, 𝟎)
𝑽 𝟓, 𝟎 ; 𝑽′(−𝟓, 𝟎)
𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = 𝟐 𝟓 = 𝟏𝟎
𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 = 𝟐 𝟒 = 𝟖
𝑳𝑹 =𝟐𝒃𝟐
𝒂=
𝟐(𝟒)𝟐
𝟓=
𝟐(𝟏𝟔)
𝟓=
𝟑𝟐
𝟓
𝒆 =𝒄
𝒂=
𝟑
𝟓