11. predavanje - unizg.hr · 2012-05-29 · sadržaj 1 valnaoptika ukratkoopovijestivalneoptike 2...

11. predavanje

Vladimir Dananić

29. svibnja 2012.

Vladimir Dananić () 11. predavanje 29. svibnja 2012. 1 / 23

Sadržaj

1 Valna optikaUkratko o povijesti valne optike

2 Youngov pokus. Interferencija

3 Ogib (Difrakcija)


Valna optika Ukratko o povijesti valne optike

O povijesti svjetlosti

(Povijesni uvod preuzet iz knjige “Principles of optics” od M. Borna i E.Wolfa)I reče Bog:“Neka bude svjetlost!” .Svjetlost je toliko očito sveprisutna pojava, nužna za život, da bi bilonerazumno očekivati da se ljudi nisu bavili pitanjima o njezinoj naravi odpočetka ljudske povijesti. Antički su filozofi nagađali o naravi svjetlosti.Znali su da leće mogu zapaliti vatru. Znali su za zakon pravocrtnog širenjasvjetlosti, za njezin lom i odraz. Prvo sustavno izlaganje optike nalazimo ufilozofa i matematičara Empedokla (490.-430. prije Krista) i Euklida ( 300.prije Krista). Od novovjekih filozofa, koji su nagađali o naravi svjetlosti naosnovi svojih metafizičkih zamisli, valja spomenuti René Descartesa(1596.-1650.). Njegova je zamisao bila da je svjetlost tlak što se prenosisavršeno elastičnim sredstvom (eterom), koje ispunjava sav prostor, a bojeje pripisao kružnim gibanjima čestica u tome sredstvu. Različitimkružnicama pripadaju različite brzine kruženja, pa odatle i različitost boja.




No, to je bilo nakon što je Galileo Galilei (1564.-1642.) svojomeksperimentalnom metodom postavio optiku na čvrste temelje. Antičkim jefilozofima bio poznat zakon refleksije, ali im nije bio poznat zakonloma–bilo im je poznato samo da se svjetlost lomi, ali ne i kako se lomi.Zakon loma eksperimentalno je otkrio Willebrord Snell (Snellius,1580.-1626.). Nakon toga, povezano s time, 1657. godine Pierre de Fermat(1601.-1665.) objavio je svoje slavno načelo–načelo najkraćeg vremena. Toje načelo bilo izrečeno u obliku:“Priroda uvijek djeluje najbržim putem.”Zaista, iz toga se načela mogu jednostavno izvesti i zakon refleksije i zakonloma svjetlosti. Unatoč svojoj neporecivoj djelatnoj učinkovitosti i preciznojmatematičkoj formulaciji, to je načelo izazvalo brojna sporenja i osporavanjazbog svoje prividne teleološke (ne teološke, nego teleološke, svrhoslovne)značajke. Prvi primjer interferencije, tzv. Newtonove kolobare, otkrili sunezavisno dva Roberta: Boyle (1627.-1691.) i Hooke (1635.-1703.).




Hooke je također primijetio postojanje svjetlosti u geometrijskoj sjenipredmeta, tzv. ogib ili difrakciju svjetlosti. No, tu je pojavu još prije biouočio Francesco Maria Grimaldi (1618.-1663.). Međutim, Hooke je bio prvikoji je zastupao mišljenje da se svjetlost sastoji od brzih vibracija što setrenutno, ili s jako velikom brzinom, šire prostorom, te da u homogenomsredstvu svaka vibracija stvara sferu koja stalno raste. Time je Hooke želioobjasniti pojavu loma i različitost boja. No, osnovna značajka bojaotkrivena je tek nakon što je Isaac Newton (1642.-1727.) 1666. godineotkrio da se bijela svjetlost razlaže na svoje sastavne boje, kada jupropustimo kroz prizmu. Također je ustanovio da svaka čista boja imavlastitu lomnost. Teškoće koju je imala valna teorija u svezi s pravocrtnimgibanjem svjetlosti i polarizacijom (otkrivenom od Huygensa) navela jeNewtona da se posveti razvoju korpuskularne (čestične) teorije svjetlosti,po kojoj se teoriji svjetlost širi od izvora u obliku sićušnih čestica.




U doba kad je Newton objavio svoju teoriju boja, nije bilo poznato širi li sesvjetlost trenutno. Do otkrića konačne brzine svjetlosti došao je 1675.godine Olaf Römer (1644.-1710.) promatrajući pomrčine Jupiterovihsatelita. Christian Huygens (1629.-1695.) znatno je poboljšao i proširioHookeovu valnu teoriju svjetlosti. Ustanovio je načelo, koje je nazvano ponjemu, po kojemu svaka točka “etera” na koju padne svjetlosna pobudamože biti promatrana kao središte nove pobude koja se širi u oblikusferičnog vala. Ti se drugotni valovi spajaju tako da njhova ovojnicaodređuje valnu frontu u svakom kasnijem trenutku. S pomoću toga načela,Huygens je izveo i zakon refleksije i zakon loma. Također je bio u stanjuprotumačiti dvolom svjetlosti (tu je pojavu 1669. godine otkrio ErasmusBartholinus (1625.-1698.)) pretpostavljajući da u kristalu usporedno sprvotnim sferičkim valom postoji i drugotni, elipsoidni, val. Baveći se time,Huygens je otkrio polarizaciju svjetlosti: svaka od dviju zraka može seutrnuti propuštajući ju kroz drugi, ali istovjetni, kristal ako taj drugi kristalzakrenemo oko pravca zrake.




Polarizaciju svjetlosti što ju je bio otkrio Huygens, Newton je protumačiopretpostavkom da svjetlost ima “stranice”. Ta je “straničnost”, odnosnotransverzalnost svjetlosti za Newtona bila glavnim razlogom njegovomneprihvaćanju valne teorije svjetlosti. Naime, u to su doba znanstvenici biliupoznati samo s longitudinalnim valovima. I tako je na temelju Newtonovaautoriteta valna teorija bila odbačena skoro jedno stoljeće. Ali, imala jepovrjemene pristaše poput velikog matematičara Leonharda Eulera(1707.-1783.). Tek su početkom 19. stoljeća učinjena odlučujuća otkrićakoja su dovela do općeprihvaćenosti valne teorije. Prvi je korak u tomsmjeru 1801. godine učinio Thomas Young (1773.-1829.) s interferencijomsvjetlosti i objašnjenjem boja tankih filmova. No, Youngova su objašnjenjabila uglavnom kvalitativna, pa zato nisu bila dovoljno primijećena. Otprilikeu to doba Étienne Louis Malus (1775.-1812.) otkrio je polarizacijusvjetlosti putem refleksije. No, Malus nije ni pokušao protumačiti tupojavu, smatrajući da tadašnje teorije nisu u stanju protumačiti tu pojavu.




U međuvremenu su Pierre Simon de Laplace (1749.-1827.) i Jean-BaptisteBiot (1774.-1862.) dalje razvijali korpuskularnu teoriju svjetlosti. Njihovi supristaše bili predložili ogib kao nagradno pitanje postavljeno od stranePariške akademije, očekujući da će korpuskularna teorija time trijumfirati.Do trijumfa je i došlo, samo ne korpuskularne nego valne teorije, unatočjakim protivljenjima (nije teško pogoditi tko se je tome protivio). Nagraduje osvojio Augustin Jean Fresnel (1788.-1827.). Njegovo se je objašnjenjeogiba zanivalo na valnoj teoriji, i bilo je prvo u nizu istraživanja koja sutijekom godina potpuno obezvrijedila korpuskularnu teoriju. Bit Fresnelovaobjašnjenja sastojala se je od Huygensove konstrukcije envelope (ovojnice) iYoungovog načela interferencije. Te su dvije stvari bile dovoljne zaobjašnjenje i pravocrtnog gibanja svjetlosti i malih odstupanja od takvagibanja, tj. ogiba. Fresnel je izračunao ogib na oštrim rubovima, malimotvorima i zaslonima. Posebno je bila dojmljiva eksperimentalna potvrdaAragoova predviđanja, na temelju Poissonove i Fresnelove teorije, da će usredištu sjene malog kružnog diska postojati svijetla točka.




Iste je godine, 1818., Fresnel istraživao utjecaj Zemljina gibanja na širenjesvjetlosti, odnosno ima li razlike između svjetlosti zvijezda i svjetlosti štodolazi od zemaljskih izvora. Dominique Francis Arago (1786.-1853.)eksperimentom je utvrdio da, osim aberacije nema razlike. Na temelju togrezultata Fresnel je razvio teoriju djelomičnog povlačenja svjetlonosnogetera od strane materijalnih objekata. Tu je teoriju izravnim pokusompotvrdio Armand Hypolite Louis Fizeau (1819.-1896.). Zajedno s Aragoom,Fresnel je istraživao interferenciju polariziranih zraka svjetlosti i zaključio dadvije zrake, međusobno polarizirane pod pravim kutem, nikada neinterferiraju. Ta se činjenica ne može objasniti s pomoću longitudinalnihvalova. Young, koji je o tome doznao od Aragoa, 1817. godine jepretpostavio da su vibracije svjetlosti transverzalne. Fresnel je odmahshvatio značaj te pretpostavke, pa ju je nastojao postaviti na čvrstedinamičke osnove. Budući da su u fluidima moguća samo longitudinalnatitranja, zaključio je da je eter čvrsto tijelo.




No, u to doba još nije bila postojala teorija elastičnih valova u čvrstimtijelima. Umjesto da razvije tu teoriju, Fresnel je nastojao izvesti svojstvaetera iz promatranja. Kao polazna točka poslužili su mu neobični zakoniširenja svjetlosti u kristalima. Rasvjetljavanje tih zakona i njihovo svođenjena nekoliko jednostavnih pretpostavki predstavlja jedno od najvećihdostignuća prirodne znanosti. Godine 1832., William Rowen Hamilton(1805.-1865.), koji je i sam dao značajan doprinos razvoju optike, privukaoje pozornost na važnu posljedicu Fresnelovih konstrukcija, predviđajući tzv.konusnu refrakciju, koju je nedugo potom eksperimentalno potvrdioHumphrey LLoyd (1800.-1881.). Fresnel je bio prvi koji je 1821. godinenaznačio uzroke disperzije, uzevši u obzir molekulsku gradbu tvari. Tu jenaznaku poslije razradio Cauchy. Fresnelov je rad postavio valnu teoriju načvrste osnove. Gotovo se činio suvišnim pokus što su ga 1850. godineproveli Foucault, Fizeau i Breguet, na Aragoov prijedlog. Naime,korpuskularna teorija tumači lom svjetlosti s pomoću jačeg privlačenjasvjetlosnih čestica od strane optički gušćeg sredstva, pa bi u tom sredstvu




svjetlost trebala imati veću brzinu u odnosu na njezinu brzinu u rjeđemsredstvu. Za razliku od toga, na temelju Huygensove konstrukcije, valnateorija predviđa manju brzinu svjetlosti u gušćem sredstvu. Izravno mjerenjebrzine svjetlosti u zraku i u vodi nedvojbeno je bilo u korist valne teorije. Udesetljećima što su slijedila radilo se je na razvoju teorije elastičnog etera.Prvi je korak u tom smjeru bila teorija elastičnosti čvrstih tijela. Nju jerazvio Claude Louis Marie Henri Navier (1785.-1836.) razumijevajući da setvar sastoji od bezbrojnog mnoštva čestica (točkastih masa, atoma) kojejedna na drugu djeluju silama uzduž pravca koji ih spaja. Novi izvodjednadžbi elasticiteta na pojmu kontinuuma dao je Augustine Louis Cauchy(1789.- 1857.). Od ostalih znanstvenika koji su sudjelovali u razvojuoptičke teorije spomenimo Siméona Denisa Poissona (1781.- 1840.),Georga Greena (1793.-1841.), Jamesa MacCullagha (1809.-1847.) i FranzaNeumanna (1798.-1895.). No, pojavile su se i poteškoće. Naime, u čvrstimtijelima uz transverzalne valove postoje i longitudinalni valovi. Njih nijemoguće ukloniti bez određenih kršenja mehaničkih zakona.




Osim toga, očiti je prigovor teoriji etera kao čvrstog tijela taj što bi takvosredstvo pružalo otpor gibanju nebeskih tijela. Prvi odmak od pojmaelastičnog etera napravio je MacCullagh, koji je postulirao postojanjesredstva sa svojstvima što ga obična tijela nemaju. Naime, obična tijela“uskladištuju” energiju pri promjeni oblika, ali ne i pri vrtnji. UMacCullaghovom eteru prevladavaju upravo obrnuti uvjeti. Zakoni širenjavalova u takvim sredstvima jako su slični Maxwellovim jednadžbamaelektromagnetizma, koje su osnovom moderne optike. Unatoč mnogimpoteškoćama, teorija elastičnog etera potrajala je za dugo vrijeme i mnogiveliki fizičari 19. stoljeća dali su doprinos toj teoriji. Uz već spomenutenavedimo i Williama Thomsona (Lord Kelvin, 1824.-1908.), CarlaNeumanna (1832.-1925.), Johna Williama Strutta (Lord Rayleigh,1842.-1919.) i Gustava Kirchhoffa (1832.-1887). Kroz to vrijeme mnogi suproblemi optike bili riješeni, ali njezine osnove ostale su unezadovoljavajućem stanju.




U međuvremenu su se istraživanja elektriciteta i magnetizma odvijalagotovo posve nezavisno od optike, i kulminirala su otkrićima MichaelaFaradaya (1791.-1867.). James Clerk Maxwell (1831.-1879.) uspio je svaprethodna iskustva na tom polju skupiti u sustav jednadžbi, kojih jenaznačajnija posljedica bila mogućnost postojanja elektromagnetskihvalova. Brzina se tih valova može izračunati iz rezultata čisto električnihmjerenja. Kada su Rudolph Kohlrausch (1809.-1858.) i Wilhelm Webber(1804.-1891.) proveli ta mjerenja, brzina koju su izračunali ispala jejednaka brzini svjetlosti. To je Maxwella navelo na nagađanje oistovjetnosti elektromagnetskih valova i svjetlosnih valova. To je nagađanjebilo potvrđeno izravnim pokusom što ga je 1888. godine proveo HeinrichHertz (1857.-1894.). Unatoč tomu, Maxwellova je elektromagnetska teorijavodila dugotrajnu borbu za svoje prihvaćanje. Postupno je potraga za“objašnjenjem” Maxwellovih jednadžbi s pomoću mehaničkih modelaodumrla. Danas više ne postoje konceptualne poteškoće u gledanjuMaxwellovih jednadžbi kao nečega što se ne može svesti na nešto




drugo i jednostavnije. Ali je i elektromagnetska teorija svjetlosti doseglasvoje granice. Ona može objasniti sve pojave što se odnose na širenjesvjetlosti. Međutim, ona ne može rasvijetliti procese emisije i apsorpcije, ukojima finije značajke međudjelovanja tvari i optičkog polja dolaze doizražaja. No, ovdje ćemo se zaustaviti s povijesnim pregledom optike ielektromagnetizma i razmotrit ćemo kako Maxwellova teorijaelektromagnetizma tumači tri osnovne značajke valnog gibanja svjetlosti:interferenciju, ogib i polarizaciju.


Youngov pokus. Interferencija

Interferencija

Da bismo u potpunosti razumjeli interferenciju moramo se prisjetiti kako seračuna intenzitet elektromagnetskog vala. Vidjeli smo da je gustoćaenergije elektromagnetskog polja jednaka zbroju gustoća električne imagnetske energije. Obje te gustoće energije ovise o pripadajućem poljutako da je intenzitet razmjeran kvadratu pripadajućeg polja. No, zamonokromatski ravni elektromagnetski val te su dvije gustoće jednake. Toje posljedica Maxwellovih jednadžbi. Zato je dovoljno gledati samo jednopolje, električno ili magnetsko. Sljedeće što moramo uzeti u obzir jelinearnost Maxwellovih jednadžbi u vakuumu ili u sredstvima u kojima supolarizacija i magnetizacija razmjerne električnom polju odnosno jakostimagnetskog polja. Posljedica te linearnosti je načelo linearnesuperpozicije–ukupno je elektromagnetsko polje jednako zbroju svijupojedinačnih elektromagnetskih polja u promatranoj točci u prostoru. Akose u jednoj točci zbroje dva međusobno okomita električna polja, kvadratzbroja vektora bit će jednak zbroju kvadrata pojedinačnih vektora. To značida će ukupni intenzitet biti jednak zbroju pojedinačnih intenziteta.



Interferencija

Dakle, dva međusobno okomita električna polja ne interferiraju. Ako s I1 iI2 označimo intenzitete od pojedinačnih međusobno okomitih električnihpolja ~E1 i ~E2, a s I označimo intenzitet od ukupnog polja ~E , onda imamojednakosti

~E1· ~E2 = 0

~E 2 =(~E1 + ~E2

)2= ~E 2

1 + ~E 22

I = I1 + I2 (1)

Jednadžba (1) opisuje slučaj kada nema interferencije.Interferirati mogu samo zrake kojima električna polja imaju zajedničkismjer, tj. kojima skalarni umnožak električnih polja nije jednak 0. Uzmimodva paralelna električna polja, koja titraju s jednakom frekvencijom, ali kojasu pomaknuta u fazi.



Interferencija

Budući da dva električna polja imaju zajednički smjer, možemo ih prikazatis pomoću običnih brojeva–na istom su pravcu. Uzmimo, dakle

E1 = E1,0 sin(ωt) , E2 = E2,0 sin(ωt + φ) (2)

Ukupno je polje jednako:

E = E1,0 sin(ωt) + E2,0 sin(ωt + φ) =

=√

(E1,0 + E2,0 cos(φ))2 + E 22,0 sin

2(φ) sin(ωt + θ) =

=√

E 21,0 + E 2

2,0 + 2E1,0E2,0 cos(φ) sin(ωt + θ) (3)

tan(θ) =sin(φ)

cos(φ) +E1,0E2,0



Interferencija

Iz jednadžbe (3) vidimo da će ukupni intenzitet biti jednak:

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos(φ) (4)

Iz jednadžbe (3) vidimo da ukupni intenzitet nije više jednak zbrojupojedinačnih intenziteta, nego postoji još jedan dio koji ovisi o fazi φ i opojedinačnim intenzitetima. Upravo taj dio opisuje interferenciju. Ako suintenziteti polja jednaki, I1 = I2 = I0, onda dobivamo

I = 2I0 (1 + cos(φ)) = 4I0 cos2(φ

2

)(5)

Vidimo da će ukupni intenzitet biti najveći ako jeφ = 2nπ , n = 0,±1,±2, ..., odnosno da će potpuno iščezavati ako jeφ = (2n + 1)π , n = 0,±1,±2, ....



Interferencija

Sada nam preostaje odgovoriti na pitanje koje je podrijetlo fazne razlikeizmeđu dvaju polja koja interferiraju. Kao prvo možemo imati dva potpunonezavisna ali približno jednaka izvora svjetlosti. Tada je fazna razlika φizmeđu dva polja u istoj točci u prostoru zapravo promljenljiva veličina,koja se vrlo brzo mijenja zato što su izvori nezavisni, tj. nisu usklađeni.Naravno da će ta dva vala interferirati u određenom trenutku, ali će seinterferencijska slika, tj. razdioba ukupnog intenziteta, tako brzo mijenjatida to nećemo moći opažati. Tada govorimo o nekoherentnim izvorima.Interferencijska slika nekoherentnih izvora nije uočljiva, premda u svakomtrenutku postoji. Razdioba je intenziteta tako “razmazana” da nam izgledakao da interferencije nema, i da je ukupni intenzitet jednostavno zbrojpojedinačnih intenziteta. Da bismo imali mirnu, “nerazmazanu”,interferencijsku sliku, moramo imati dva usklađena, koherentna izvorasvjetlosti, za koje je razlika u fazi stalno jedna te ista i ovisi samo o točci ukojoj promatramo interferenciju.



Interferencija

Podrijetlo razlike u fazi nalazi se (najčešće) u različitim geometrijskimputevima kojima su dvije zrake došle u istu točku. Naime, električno poljeprve zrake neka ima oblik E1 = E1,0 sin(kr1 − ωt), a druga neka ima oblikE2 = E2,0 sin(kr2 − ωt). Vidimo da izraz za E2 možemo napisati kaoE2 = E2,0 sin(kr1 − ωt + k(r2 − r1)) = E2,0 sin(kr1 − ωt + φ), gdje jeφ = k(r2 − r1) = 2π r2−r1

λ . Dva koherentna izvora možemo napraviti takošto svjetlost iz jednog izvora pustimo da padne na zaslon s dva proreza(dvije rupice), koji su međusobno udaljeni za neku stalnu vrijednost d .Tada su ta dva proreza koherentni izvori svjetlosti jednostavno zato što ih“pobuđuje” jedan te isti izvor. I to je bit Youngovog pokusa. Na drugomzaslonu, koji se na udaljenosti D nalazi od zaslona s prorezima, dobivamointerferencijsku sliku, s minimumima i maksimumima intenziteta. Uvjet zamaksimum je r2 − r1 = nλ, a za minimum r2 − r1 =

(n + 1

2

)λ.


Ogib (Difrakcija)

Ogib

U svojoj biti ogib nije različit od interferencije. Naime, ogib možemotumačiti kao interferenciju od jako velikog broja koherentnih izvora, a nesamo dvaju. Po Huygensovu načelu, svaka točka na koju padne val postajeizvorom novog vala. Zamislimo da ispred izvora svjetlosti stavimo nekakvuneprozirnu zaprjeku, koja ima nekakav svoj geometrijski oblik. Po zakonimageometrijske optike, na zaslonu iza zaprjeke dobili bismo oštru slikupredmeta. No, po Huygensovu načelu rubovi su zaprjeke izvori novihvalova, koji se također šire na isti način kao i val iz izvora. Sve točkerubova zaprjeke zapravo su izvori sekundarnih valova, i ti sekundarni valoviinterferiraju. To znači da sjena zaprjeke više ne će imati oštre rubove, negoće pokazivati interferencijsku sliku. Jasno je da su sve točke rubova, kaoizvori međusobno koherentni i da će interferencijska slika biti stabilna. No,sada imamo kontinuum izvora, od kojih svaki ima neki svoj fazni pomak uodnosu na prvotni val. Budući da su ti izvori infinitezimalni, bit ćeinfinitezimalno i amplituda električnog polja, tj. dE0, što ga odašiljepojedinačna točka ruba zaprjeke.


Ogib (Difrakcija)

Ogib

Kako idemo od točke do točke na rubu zaprjeke, tako se mijenja ipripadajući fazni pomak φ. Moramo pretpostaviti da i električno polje ovisio točci, odnosno o faznom pomaku. Budući da je to polje infinitezimalno,imamo jednakost dE =

(dE0dφ

)dφ sin(ωt + φ). Ukupno će električno polje

u određenoj točci u prostoru biti jednako zbroju sviju infinitezimalnih polja,odnosno

E =

∫dE =

∫ φmax

0

(dE0

dφ

)sin(ωt + φ)dφ (6)

U mnogim situacijama amplituda električnoga polja ovisi linerano o faznompomaku, tako da je koeficijent dE0

dφ zapravo konstanta, koju u jednadžbi (6)možemo izvući ispred integrala, pa dobivamo:

E =dE0

dφ

∫ φmax

0sin(ωt + φ)dφ =

dE0

dφ(cos(ωt + φmax) − cos(ωt)) (7)


Ogib (Difrakcija)

Ogib

Za ukupno električno polje dobivamo konačni izraz:

E = −2dE0

dφsin(ωt +

φmax

2

)sin(φmax

2

)(8)

Koeficijent dE0dφ zapravo je jednak E0

φmax. Vremenski ovisan dio električnog

polja zapravo dolazi od izvora, i u izračunu intenziteta, usrednjenog povremenu, daje intenzitet izvora I0. Tako da za intenzitet svjetla upromatranoj točci dobivamo:

I = I0sin2

(φmax

2

)(φmax

2

)2 (9)

Ovdje je φmax najveći fazni pomak. On se očito može izraziti s pomoćunajveće razlike puteva između zraka:

φmax = 2π∆rmax

λ(10)


11. predavanje - unizg.hr · 2012-05-29 · sadržaj 1 valnaoptika ukratkoopovijestivalneoptike 2...

Documents