11 - laminados

8/18/2019 11 - Laminados

1/59

MACROMECÂNICA - Parte 1

LÂMINAS REFORÇADAS POR

FIBRAS UNIDIRECIONA IS

Unidirectional Fiber-Reinforced Composite Layers

Lâmina ( Ply, Layer, Lamina)

Prof. Severino Marques

8/18/2019 11 - Laminados

2/59

MACROMECÂNICA - Parte 1

LÂMINAS REFORÇADAS POR

FIBRAS UNIDIRECIONA IS

Unidirectional Fiber-Reinforced Composite Layers

Lâmina ( Ply, Layer, Lamina)


8/18/2019 11 - Laminados

3/59

“Never trust an experimental result until

it has been confirmed by theory”

“Nunca acredite em um resultado experimental

até que ele seja confirmado por teoria”

Sir Arthur Eddington

(As tro físic o Ing lês)

8/18/2019 11 - Laminados

4/59

MACROMECÂNICA DE UM LAMINADO

Macrom echanics of a Laminate


8/18/2019 11 - Laminados

5/59

LAMINADO

Lâminas

Laminado

8/18/2019 11 - Laminados

6/59

Laminado: Nomenclatura Usual

6 camadas a 0 o 6[0 ]

2 c. +45 o + 2 c .-45 o , s imétrico 2 2[45 / 45 ] s

3 c. 0 o + 5 c. 90 o , s imétrico 3 5[0 /90 ] s

[ 45/0/90] s

30 grupo s d e [ 45/0/90] , s imétrico

45/ 45/ 0/ 90 , s imétrico

30[( 45/ 0 / 90) ] s

Exemplos

Descr ição da sequênc ia das lâm inas

(Stackin g sequence)

8/18/2019 11 - Laminados

7/59

Cross -Ply Laminates

Laminados const i tuídos p or camadas com fibras a 0 o e 90 o

[0/90/0] symmetr ic cross-p ly lam inate

[0/90/90/0/0/90] ant isymmetr ic cros s-p ly laminate

Regular symmetr ic (ant isymmetr ic) cro ss -ply laminates


Laminado regular Lâm inas com mesma espessura

Exemplos

8/18/2019 11 - Laminados

8/59

Angle-Ply Laminates

Lam inados con sti tuídos por ig ual número de camadas d e

mesma espessura e com f ibras a + q e - q


[ 45 / 45 / 45 / 45 / 45] symmetr ic angle-ply laminate

[ 30 / 30 / 30 / 30]

ant isymmetr ic angle-ply

laminate

Exemplos

[ 45 / 30 / 0 / 0 / 30 / 45]

ant isymmetr ic angle-ply laminate +30/-30/-30/+30

8/18/2019 11 - Laminados

9/59

camada 1

Aderênc ia entre camadas: per feita Material de cada camada: hom ogêneo

Estado de tensão de cada camada: p lano

isótropo ortótropo

transv. isótropo

Defo rm ação do lam inado Vale a hip ótese de K irc hh off

Lam inado: Hipóteses e No tações

super fície

média z x

y

t/2

t/2

camada N

camada

k

k z 1k z

N z 0

z 1 z

1k k k t z z

8/18/2019 11 - Laminados

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Kirchhoff, Gustav Robert (1824 - 1887)

(fís ico alemão)

8/18/2019 11 - Laminados

11/59

Relações Defo rmação-Des lo camen tos

Hipótese de Kirc hho ff ( ou de Kirchhoff-Love):

Retas normais à super fície média do lam in ado an tes da defo rmação

permanecem retas e normais à super fíc ie média depo is da defo rm ação

e, além d is to , não mudam de comprimen to

0 xz yz 0 z

x

z

normal

normal

an tes da d eformação depo is da defo rmação

8/18/2019 11 - Laminados

12/59

Relações Defo rmações-Des lo camento s

Des lo cam entos da superfíc ie média do lam inado (z=0):

( , )ou x y ( , )ov x y ( , )ow x y

Deslocamentos de um ponto qualquer do laminado:

( , , )u x y z ( , , )v x y z ( , , ) ( , )ow x y z w x y

0 z

ovow y

z

P

P

ouow

x

z

P

P

8/18/2019 11 - Laminados

13/59

Relações Defo rmações-Des lo camento s

z

M

N

A

M

N

A

ou

z

z superfíc ie média deformada

super fíc ie média

indeformada Seção M-N

Des lo camentos do po nto A na di reção x

o

u u z

tan w x

o wu u z

x

8/18/2019 11 - Laminados

14/59

Relações Deformações-Des lo camen to s

Similarmente, o wv v z y

xk 2

2

o

x

u u w z x x x

o

x x x zk

(cu rvatura no p lano x-z)

o

y y y zk

2

2

o

y

v v w z

y y y

(cu rvatura no p lano y-z) yk

8/18/2019 11 - Laminados

15/59

Relações Defo rm ações-Des lo camento s

o

xy xy xy

zk

2

2

o o

xy

u v u w v

z y x y x y x

2

2 x

wk

x

2

2 y

wk

y

2

2 xyw

k x y

Curvatur as do plano médio do laminado no ponto (x,y,0)

8/18/2019 11 - Laminados

16/59

Relações Defo rm ações-Des lo camento s

o

x x x

o

y y y

o xy xy xy

k

z k

k

11 12 16

12 22 26

16 26 66

k k o

x x xo

y y y

o xy xy xy

k Q Q QQ Q Q z k

Q Q Q k

Tensões atuantes sob re a lâm ina k com coordenada z

8/18/2019 11 - Laminados

17/59

Forças e Momentos Resu ltantes no Lamin ado

z x

y

x N

y N xy N yx

N

z x

y

xy M

yx M x M y M

Forças de membrana po r

unidade de comprimento

Momentos f letores porunidade de comprimento

8/18/2019 11 - Laminados

18/59

1

2

12

k

k

k

x x xt N z

t y y y z

k

xy xy xy

N

N dz dz

N

Forças e Momentos Resu ltantes no Laminado

1

2

12

k

k

k

x x xt N z

t y y y z

k

xy xy xy

M

M zdz zdz

M

8/18/2019 11 - Laminados

19/59

Relações Con st itu tiv as do Lam inado

1 1

11 12 16

12 22 26

1

16 26 66

k k

k k

o

x x x N z z o

y y y z z

k o

xy xy xy

Q Q Q N k N Q Q Q dz k zdz

Q Q Q N k

1 1

11 12 16

212 22 26

1

16 26 66

k k

k k

o

x x x N z z

o y y y

z z k

o xy xy xy

Q Q Q M k

M Q Q Q zdz k z dz

Q Q Q M k

8/18/2019 11 - Laminados

20/59

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

o

x x xo

y y y

o xy xy xy

N A A A B B B k N A A A B B B k

A A A B B B N k

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

o

x x x

o y y y

o xy xy xy

M B B B D D D k

M B B B D D D k

B B B D D D M k

Relações Cons titu tiv as do Laminado

8/18/2019 11 - Laminados

21/59

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

o

x x

y

xy

x

y

xy

N A A A B B B

N A A A B B B

N A A A B B B

M B B B D D D

M B B B D D D

B B B D D D M

o y

o

xy

x

y

xy

k

k

k

Relações Constitu tiv as do Lam inado

Matriz de Rigidez Extensio nal

Matriz de Rigid ez de Acop lamento Membrana-Flexão

Matri z de R ig idez de Flexão

A

B

D

8/18/2019 11 - Laminados

22/59

1

1

( ) ( )

N

ij ij k k k

k

A Q z z

2 2

1

1

1( ) ( )

2

N

ij ij k k k

k

B Q z z

3 3

1

1

1( ) ( )

3

N

ij ij k k k

k

D Q z z

Rigidez extensional

Rig idez de acop lamen to flexão-extensão

Rig idez à flexão

Relações Con st itu tiv as do Laminado

8/18/2019 11 - Laminados

23/59

Casos Especiais de Laminados

I – Lam inado com uma única lâm ina

I.1 – Lâm ina Isótrop a

11 21

Et A A

22 A A12 A A 16 26 0 A A 66

1

2 A A

3

11 212(1 )

Et D D

22 D D12 D D 16 26 0 D D 66

12

D D

0

0

10 0

2

o

x x

o

y y

o xy xy

N A A

N A A

N A

0ij B

8/18/2019 11 - Laminados

24/59


I.1 – Lâm ina Isótrop a

0

0

10 0

2

x x

y y

xy xy

M k D D

M D D k

M k D

8/18/2019 11 - Laminados

25/59

I.2 –

Lâm ina Especialmente Ortótrop a


1

2

3

11 11 A Q t 22 22 A Q t 12 12 A Q t

16 26 0 A A 66 66 A Q t

3

1111

12

Q t D 16 26 0 D D

3

1212

12

Q t D

3

2222

12

Q t D

3

6666

12

Q t D

0ij B

11 12

12 22

66

0

0

0 0

o

x x

o

y y

o xy xy

N A A

N A A

A N

11 12

12 22

66

00

0 0

x x

y y

xy xy

M k D D M D D k

D M k

8/18/2019 11 - Laminados

26/59

I.3 – Lâm ina Geralmente Ortótro pa


ij ij A Q t 3

12

ij

ij

Q t D 0ij B

11 12 16

12 22 26

16 26 66

o

x x

o

y y

o xy xy

N A A A

N A A A

A A A N

11 12 16

12 22 26

16 26 66

x x

y y

xy xy

M D D D k

M D D D k

D D D M k

1

2

3

I.4 – Lâm ina A nisótropa

As matr izes [A] e [B] têm a mesma forma daquelas do caso de

lâm ina geralmente ortótrop a

8/18/2019 11 - Laminados

27/59

2.1 – Lam inados Simétr icos

Simetria geométri ca e nas p ropr iedades do material

m

m

Lâminas idêntic as Super fíc ie média

Não exis te aco p lamento membrana-flexão 0ij B


Pode exis t ir acop lamento extensão-cisalhamento

e flexão-torção 16 260; 0 A A

podem ocorrer

16 26

0; 0 D D

8/18/2019 11 - Laminados

28/59

11 12 16

12 22 26

16 26 66

11 12 16

12 22 26

16 26 66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0 0

0 0 0

x

y

xy

x

y

xy

N A A A

N A A A

N A A A

M D D D M D D D

D D D M

o x

o

y

o

xy

x

y

xy

k

k

k


2.1 – Lam inados Simétr icos

Remark:

Um lam inado simétri co pode ter acoplamento membrana-flexão.

Exemplo: Lam inado sujeit o a gradiente térm ico e com lâm inas tend o

pro priedades dependentes da temperatura.

8/18/2019 11 - Laminados

29/59


Lam inados simétric os com lâm inas de material isótropo

11 22 2( ) ( )

1

k k k

k

E Q Q

12 2( )

1

k k k

k

E Q

16 26( ) ( ) 0k k Q Q 66( ) 2(1 )k

k

k

E Q

11 12

12 22

66

0

0

0 0

o

x x

o y y

o xy xy

N A A

N A A

A N

11 12

12 22

66

0

0

0 0

x x

y y

xy xy

M k D D

M D D k

D M k

8/18/2019 11 - Laminados

30/59


Lam inados s imétric os com lâm inas espec ialmente ortótropas

111

12 21

( )1

k

k k k

E Q

16 26( ) ( ) 0k k Q Q 66 12( )k

k Q G

11 12

12 22

66

0

0

0 0

o

x x

o

y y

o xy xy

N A A

N A A

A N

11 12

12 22

66

0

0

0 0

x x

y y

xy xy

M k D D

M D D k

D M k

12 112

12 21

( )1

k k

k k k

E Q

2

22

12 21

( )1

k

k k k

E Q

8/18/2019 11 - Laminados

31/59


Laminados simétricos do tipo “angle- ply”

Exemplo: [ / / / / ]q q q q q

16 260; 0 A A 16 260; 0 D D 0ij B

2.2 - Laminado Balanceado

Pares de lâm inas d e mesma espessura e prop riedades elást icas ,

mas com orien tações + q

e –q

. 0q 90q

8/18/2019 11 - Laminados

32/59

Exemp los de lam inados balanceados:


1 1 2 2 2 2 1 1[ / / / / / / / ]q q q q q q q q

1 2[ / ] sq q

(s imétrico)

1 2 2 1[ / / / ]q q q q (Ant i-s imétri co )

1 2 1 2[ / / / ]q q q q (Ass imétric o )

16 0 A 26 0 A

Não ex is te acoplamento ex tensão-c isalhamento :

8/18/2019 11 - Laminados

33/59


2.3 - Laminado Quase-Isótropo Quasi-Isotro pic L aminate

Pro pried ades elástic as no p lano do lam inado independem da dir eção

1

2

x

y

ij ij A A

11 22 A A

12 11 A A

66 11

1

2 A A

16 26 0 A A

8/18/2019 11 - Laminados

34/59


Exemp los de Laminados Quase-Isótropo s:

[ 60 / 0 / 60] [ 45 / 0 / 45 / 90]

Em geral, são lam inados quase-isótro po s

2 1[0 / / / .... / ]nn n n 2 1[0 / / / .... / ] sn

n n n

2[ / / .... / ]

n n

2[ / / .... / ] s

n n

C E i i d L i d

8/18/2019 11 - Laminados

35/59


2.4 – Lam inado s An ti-Simétr icos

m

m

Super fície média

q

q

[ / / / ]q q q q

Exemplos:

[ 45 / 0 / 45 / 45 / 45 / 45 / 0 / 45]

8/18/2019 11 - Laminados

36/59


11 12 1611 12

12 22 12 22 26

66 16 26 66

0

0

0 0

o

x x x

o

y y y

o xy xy xy

N B B B k A A

N A A B B B k

A B B B N k

11 12 16 11 12

12 22 26 12 22

6616 26 66

00

0 0

o

x x x

o

y y y

o xy xy xy

M B B B k D D M B B B D D k

D B B B M k

Lam inado s Ant i-Simétr icos

8/18/2019 11 - Laminados

37/59

2.4 – Lam inados Ant i-Simétric os d o tip o Cros s-Ply


m

m

Super fície média

0

90

[0/90/0/90]

Exemplos:

[0/90/0/90/0/90/0/90]

8/18/2019 11 - Laminados

38/59


11 12 11

12 22 11

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

o

x x x

o

y y y

o xy xy xy

N k A A B

N A A -B k

A N k

11 11 12

11 12 22

66

0 0 00 0 0

0 0 0 0 0

o

x x xo

y y y

o xy xy xy

M k B D D M -B D D k

D M k

Lam inados Ant i-Simétric os do tipo Cros s-Ply

C E i i d L i d

8/18/2019 11 - Laminados

39/59


2.5 – Lam inados Ant i-Simétri co s do tipo Ang le-Ply

1 2 2 1[ / / / ]q q q q

Exemplos:

[ 45 / 30 / 0 / 0 / 30 / 45]

m

m

Super fíc ie

média

iq

iq

par

0 90iq

C E i i d L i d

8/18/2019 11 - Laminados

40/59

1611 12

12 22 26

66 16 26

0 00

0 0 0

0 0 0

o

x x x

o

y y y

o xy xy xy

N B k A A

N A A B k

A B B N k

16 11 12

26 12 22

6616 26

0 0 0

0 0 0

0 00

o

x x x

o

y y y

o xy xy xy

M B k D D

M B D D k

D B B M k


Lam inados Ant i-Simétric os do tipo Ang le-Ply

AN LISE HIGRO TERMO MEC NICA DE UM LAMINADO

8/18/2019 11 - Laminados

41/59

ANÁLISE HIGRO-TERMO-MECÂNICA DE UM LAMINADO

1 11 111 12

2 12 22 2 2 2

666 12

0

0

0 0 0 0

T H

T H

k k k k k

Q Q

Q Q

Q

Relação cons ti tu ti va h ig ro -term o-elástica de uma lâm ina

1

2 1,2 – d ireções prin ci pai s

1 1

2 2

0 0

T

T

k

k k

T

1 1

2 2

0 0

H

H

k

k

k

H

k-ésima lâm ina

Deformação térm ica

Deformação

higroscópica

R l ti t ti h i t l ti d l i

8/18/2019 11 - Laminados

42/59

11 12 16

12 22 26

16 26 66

x x x x

y y y k y k

xy xy xy xyk k k k k

Q Q QQ Q Q T H

Q Q Q

x

y

Relação cons tit u tiv a da lâm ina referi da aos

eixos x e y d o laminado

Relação consti tu ti va h ig ro -term o-elástica de uma lâm ina

8/18/2019 11 - Laminados

43/59

1

1

2

1162

2

x

y

xy

T

1

1

2

12

0

x

y

xy

T

1

1

2

12

0

x

y

xy

T

Trans formação de defo rmações e coef ic ien tes de d ilatação

defo rmação

Coef ic ien tes de d ilatação

8/18/2019 11 - Laminados

44/59

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

o HT

x x x x

o HT

y y y y

o HT xy xy xy xy

N N A A A B B B k

N A A A B B B k N

A A A B B B N k N

Forças no plano do lamin ado

Forças h ig ro térm icas no p lano do lam inado

11 12 16

12 22 26

16 26 66

HT

x x x

HT

y y k y k

HT xy xy xy k k k

N Q Q Q

N Q Q Q T H dz

Q Q Q N

8/18/2019 11 - Laminados

45/59

Forças h ig ro térm icas no p lano do lam inado

11 12 16

12 22 26

1

16 26 66

HT

x x x N

HT

y y k y k k

k HT

xy xy xy k k k

N Q Q Q

N Q Q Q T H t

Q Q Q N

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

o HT

x x x xo HT

y y y y

o HT xy xy xy xy

M M B B B D D D k M B B B D D D k M

B B B D D D M k M

Momentos no laminado

8/18/2019 11 - Laminados

46/59

11 12 16

12 22 26

16 26 66

HT

x x x

HT y y k y k

HT xy xy xy k k k

M Q Q Q

M Q Q Q T H zdz

Q Q Q M

Momentos h ig ro térm icos no lam inado

11 12 16

12 22 26

1

16 26 66

HT

x x x N HT

y y k y k k k

k HT

xy xy xy k k

M Q Q Q

M Q Q Q T H z t

Q Q Q M

1

2

k k k

z z z

1k k k t z z onde

8/18/2019 11 - Laminados

47/59

Exemplo de Ap li cação

[0 / 30 / 45]

1 x y N N kN/m N x

N y

grafite/epóxi

1 181 E GPa 2 10,30 E GPa

12 0,28 12 7,17G GPa

Calcular:

1 - Defo rm ações e cu rv atu ras no plano médio

2 - Tensões globais e locais no topo da lâm ina 2

?

Espessu ra de cada lâm ina = 5 mm

[A] [B] [D]

8/18/2019 11 - Laminados

48/59

1-a) Matrizes de rig idez [A], [B] e [D]

1,739 0,388 0,057

[ ] 0, 388 0, 453 - 0,114

0, 057 - 0,114 0, 453

A GPa m

2

3,129 0,986 1,072

[ ] 0,986 1,158 1, 072

1, 072 1, 072 0,986

B MPa m

3

33, 430 6, 461 5, 240

[ ] 6, 461 9,320 5,596

5, 240 5,596 7,663

D kPa m

8/18/2019 11 - Laminados

49/59

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

0

0

0

0

o

x x

o

y y

A A A B B B N

A A A B B B N A A A B B B

B B B D D D

B B B D D D

B B B D D D

o

xy

x

y

xy

k

k k

1-b ) So lução do s is tema de equações lineares

7

3,123

34,920 10

7,598

o

x

o

y

o

xy

4 -1

0,297

3,285 10

4,101

x

y

xy

k

k m

k

Respos ta do item 1:

8/18/2019 11 - Laminados

50/59

2-a) Tensões no topo da lâm ina 2

o

x x x

o

y y y

o xy xy xy

k

z k

k

7 4

2

3,123 29, 710

34, 920 10 ( 0.0025) 3, 285 107,598 4,101

x

y

xy

2 ) T õ t d l i 2 ti

8/18/2019 11 - Laminados

51/59

6

2

0,238

4, 313 10

1,785

x

y

xy

2-a) Tensões no topo da lâm ina 2 - con tin uação

11 12 16

12 22 26

16 26 66 22 2

x x

y y

xy xy

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

2

69,30

73,91

33,81

x

y

xy

kPa

Resposta do item 2:

Tensões glo bais

2 ) T õ t d l i 2 ti

8/18/2019 11 - Laminados

52/59

1

2 2

6 2 2

x

y

xy

T

2-a) Tensões no topo da lâm ina 2 - con tin uação

30oq

1

2

12 2

99,73

43,48

18,90

kPa

Resposta do item 2:

Tensões lo cais

Empenamento de um laminado

8/18/2019 11 - Laminados

53/59

Empenamento de um laminado

(Warpage of a laminate)

Lam inado s ass imétr ico apresen tam defo rm ação trans versal

(flexão) na presença de vari ação de temperatu ra ou um idade

2

2 x

wk

x

2

2 y

wk

y

2

2 xyw

k x y

Curvaturas do

laminado

Integrando

8/18/2019 11 - Laminados

54/59

Integrando,

2

1 2( ) ( )2

x

xw k f y x f y

2

1( )2 2 xydf yw

k x y dy

1 1( )

2

xy

y f y k C

2

1 2 ( )

2 2

x xy

x xyw k k C x f y

22

2

2 2

( ) y

d f ywk

y dy

2

2 2 3( )2

xy

y f y k C y C

2 2 1 2 31

( )2

x y xyw k x k y k xy C x C y C

Deslo camento de corpo rígid o

Exemplo de Ap licação

8/18/2019 11 - Laminados

55/59

Exemplo de Ap licação

[0/90]

x

y

Cross-p ly ant isymmetr ic laminate

t = espessura da lâm ina

T = Variação d e tem peratu ra un ifo rm e

?( , )w x y

h=2t

Forças e Momento s Térm icos do Lam inado

8/18/2019 11 - Laminados

56/59

11 12 1 22 21 2

21 22 2 12 11 1

66 66

0 0

0 02 2

0 0 0 0 0 00

T

x

T y

N Q Q Q Q

h T h T N Q Q Q Q

Q Q

11 12 1 22 21 22 2

21 22 2 12 11 1

66 66

0 0

0 08 8

0 0 0 0 0 00

T

x

T

y

M Q Q Q Qh T h T

M Q Q Q Q

Q Q

Forças e Momento s Térm icos do Lam inado

Cons iderando a conf iguração do lam inado:

8/18/2019 11 - Laminados

57/59

x

y x yk k

o o

x y 0o

xy

0 xyk

T T

x y N N 0T

xy N

11 22 B B 12 16 66 0 B B B

11 12 11( )T o

x x x N A A B k

11 11 12( )T o

x x x M B D D k

Fo rça e momen to térm icos :

Cons iderando a conf iguração do lam inado:

Reso lvendo o sit ema de equa ões:

8/18/2019 11 - Laminados

58/59

11 12 11

2

11 12 11 12 11

( )

( )( )

T T o o x x

x y

D D N B M

A A D D B

11 12 11

2

11 12 11 12 11

( )

( )( )

T T

x x x y

A A M B N k k

A A D D B

Reso lvendo o sit ema de equações:

2 21

2 x y xyw k x k y k xy

2 211 12 11

2

11 12 11 12 11

( )1( )

2 ( )( )

T T

x x A A M B N w x y A A D D B

Parabolóide-Hiperbólico

8/18/2019 11 - Laminados

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“The end is where we start from”

T. S. Elio t

“ O fim é por onde nós começamos”

11 - laminados

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