07_elasticidade de laminados multidirecionais
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Materiais Compósitos, Composite materialTRANSCRIPT
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Elasticidade de Laminados Multidirecionais
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O comportamento geral de um laminado multidirecional determinado pelas propriedades e sequncia de empilhamento das camadas individuais. A teoria clssica de laminao prediz o comportamento do laminado no quadro de as seguintes hipteses e restries: 1. Cada lamina do laminado quase - homognea e ortotropica. 2. O laminado fino, com seus dimenses laterais muito maiores que a espessura, e
carregado no seu plano s, i. e., o laminado e suas camadas (exceto para suas bordas) estou em estado de tenso plana (z = xz = yz = 0).
3. Todos os deslocamentos so pequenos comparados com a espessura do laminado (|u|, |v|, |w|
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Relaes Deformao-Deslocamento
Fig. 7.1 mostra uma seo do laminado que perpendicular ao eixo y antes e depois de deformao. O plano x-y equidistante das superfcies superior e inferior do laminado e chamado de plano de meio ou plano de referencia. Os deslocamentos do plano de referencia u0 e v0 em direes x e y e o deslocamento fora de plano w so funes de x e y s.
As rotaes dos eixos x e y so
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As componentes do deslocamento em plano do ponto B com coordenada zb so
e de modo geral
Para deslocamentos pequenos
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As componentes no plano de referencia so
As curvaturas so
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Podemos relacionar as deformaes em qualquer ponto do laminado s deformaes do plano de referencia e s curvaturas como segue
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Relaes Deformao-Deslocamento de uma Lamina dentro de um Laminado
Consideramos uma lamina k dentro de um laminado multidirecional com plano de meio a uma distancia do plano de referencia do laminado. As relaes tenso-deformao para esta camada com referencia aos eixos do material so
kz
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Depois de transformao para coordenadas do laminado
Usando eq. (7.8)
Enquanto as deformaes variam linearmente atravs da espessura, as tenses no.
Em breve
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Resultantes de Fora e de Momento
Porque a tenso descontinua de uma camada a outra, mais pratico lidar com o efeito completo dessas tenses sobre o laminado.
coordenada de um ponto na seo transversal
espessura da camada
, foras normais por unidade de comprimento
fora de cisalhamento por unidade de comprimento
, momentos de flexo p
k k
x y
k
s
k k
x y
z
t
N N
N
M M
or unidade de comprimento
momento de toro por unidade de comprimentoksM
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Em caso de um laminado com camadas mltiplas
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Onde zk e zk-1 so coordenadas z das superfcies superior e inferior da camada k.
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Relaes Carga-Deformao Generais: Rigidezes de Laminado
Substituindo eq. (7.11) em eq. (7.14) e (7.15), obtemos
As deformaes do plano de referencia e as curvaturas no dependem de z e so as mesmas para todas as camadas.
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onde
Com i,j = x, y, s.
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Em forma completa, as relaes carga-deformao so
Podemos combinar numa expresso geral
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Em breve
As matrizes acima so simtricas
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As relaes acima so expressas em termos de 3 matrizes de rigidez de laminado [A], [B] e [D], quais so funes de geometria, propriedades de material, e sequencia de empilhamento das camadas individuais, como definido em eq. (7.20). Elas so os parmetros mdios do laminado multidirecional com a seguinte significncia: Aij so rigidezes em plano, ou mdulos de laminado em plano, relacionando cargas em plano a deformaes em plano Bij so rigidezes de acoplamento, ou mdulos de acoplamento em plano/flexo do laminado, relacionando cargas em plano com curvaturas e momentos com deformaes em plano. Assim, se Bij 0, foras em plano produzem deformaes de flexo e toro alem de deformaes em plano; momentos produzem deformao de extenso e de cisalhamento da superfcie de meio alem de deformao de flexo e de toro. Dij so rigidezes em flexo e toro relacionando momentos as curvaturas.
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Inverso de Relaes Carga-Deformao: Flexibilidades de Laminado
Visto que laminados multidirecionais tem descontinuidades de tenso de uma camada a outra, prefervel trabalhar com deformaes. Podemos inverter eq. (7.23)
ou em breve
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Aqui, as matrizes [a], [b] e [d] so as flexibilidades de laminado
onde
De eq. (7.24) e (7.26), consequentemente
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Laminados Simtricos
Um laminado simtrico quando para cada camada de um lado ao plano de referencia (superfcie de meio) existe uma camada correspondente a uma distancia igual do plano de referencia no outro lado com espessura, orientao e propriedades idnticas. O laminado simtrico em ambos geometria e propriedade de material.
Consideramos um laminado com n camadas, onde as camadas idnticas k e k so localizadas simetricamente com respeito ao plano de referencia.
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Assim
De acordo com a definio da eq. (7.20), as rigidezes de acoplamento so
Visto que
e
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Para as condies de simetria referidas antes resulta
As relaes carga-deformao tornam-se
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Laminados Balanceados
Um laminado balanceado se ele composto de pares de camadas com espessura e propriedades elsticas idnticas mas tendo seus orientaes dos eixos principais de material de + e com respeito aos eixos principais do laminado. Para cada par de balanceado de camadas k e k
Resulta da eq. (4.67)
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Um laminado balanceado pode ser simtrico, antissimtrico ou assimtrico.
Em geral, as rigidezes de acoplamento em flexo/toro Dis no so zero a menos que o laminado antissimtrico. As relaes gerais carga-deformao para esta classe de laminados so
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Laminados (Balanceados) Antissimtricos
Um laminado antissimtrico um caso especial de um laminado balanceado, com seu pares de + e localizados de maneira simtrica em relao superfcie de meio. Neste caso as rigidezes de acoplamento em flexo/toro so
Visto que
e
Em geral para este tipo de laminado
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Consideraes de Projeto
Um sumario de propriedades caractersticas de vrios tipos laminados dado em Tabela 7.2
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Consideramos, por exemplo, um laminado consistir de dez camadas de 0, quatro de 45 e quatro de -45 arranjadas em seguintes sequencias de empilhamento: Balanceado/assimtrico: [05/454/-454/05]
Esta sequencia no recomendada pela razo de assimetria e de distribuio grosseira de camadas. As rigidezes de acoplamento em cisalhamento Ais e de acoplamento em toro Dis so zero, mas Bij no so. Balanceado/simtrico: [05/452/-452]s
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Neste caso Bij = 0 e Ais = 0, mas Dis 0. Esse um projeto adequado mas no timo. Balanceado/simtrico: [02/452/02/-452/0]s
De novo Bij = 0 e Ais = 0. Dis no zero mas pequeno, por causa de distribuio mais fina das camadas. O projeto recomendado.
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Exemplo Numrico
Calcule todos os termos das matrizes [A] e [B] para um laminado [0/90] com as seguintes propriedades de lamina: E1 = 145 GPa E2 = 10,5 GPa G12 = 7,0 GPa 12 = 0,28 t = 0,25 mm (espessura da lamina)
Soluo
21 = 0,02 1 - 12 21 = 0.9943 Q11 = 145,8 GPa Q22 = 10,56 GPa Q12 = 2,96 GPa Q66 = 7,0 GPa
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Lamina 0 Qxx = 145,8 GPa Qyy = 10,56 GPa Qxy = 2.96 GPa Qxs = 0 Qys = 0 Qss = 7 Lamina 90 Qxx = 10,56 GPa Qyy = 145,8 GPa Qxy = 2.96 GPa Qxs = 0 Qys = 0 Qss = 7
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Lamina 0 Axx = 36,46 MN/m Ayy = 2,64 MN/m Axy = 0,74 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 1,75 MN/m Lamina 90 Axx = 2,64 MN/m Ayy = 36,46 MN/m Axy = 0,74 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 1,75 MN/m
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Laminado [0/90] Axx = 39,1 MN/m Ayy = 39,1 MN/m Axy = 1,48 MN/m Axs = 0 Ays = 0 Ass = 3,5 MN/m
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Lamina 0 Bxx = - 4,56 KN Byy = - 0,33 KN Bxy = - 0,09 KN Bxs = 0 Bys = 0 Bss = - 0,22 KN Lamina 90 Bxx = 0,33 KN Byy = 4,56 KN Bxy = 0,09 KN Bxs = 0 Bys = 0 Bss = 0,22 KN
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Laminado [0/90] Bxx = - 4,23 KN Byy = 4,23 KN Bxy = 0 Bxs = 0 Bys = 0 Bss = 0
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Propriedades de Engenharia de Laminados
Laminados Simtricos Balanceados
Podemos derivar relaes simples para propriedades de engenharia em funo de rigidezes de laminado em caso especial de um laminado simtrico e balanceado. Consideramos um elemento deste laminado sujeito ao carregamento uniaxial Nx como na fig. 7.9
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Por definio, o mdulo Young e o coeficiente de Poisson do laminado so xE xy
Onde so deformaes normais em direes x e y, respectivamente, e h a espessura do laminado. As relaes fora-deformao so
0 0 e x y
Em forma expandida
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Das eq. (7.75) e (7.73) obtemos
De modo semelhante, considerando um carregamento uniaxial Ny em direo y, obtemos
Para carregamento em cisalhamento puro Ns obtemos
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Os coeficientes de acoplamento em cisalhamento para este laminado balanceado so zero
Resulta
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Propriedades de Engenharia de Laminados
Laminados Simtricos
Para laminados simtricos as rigidezes de acoplamento em-plano/flexo Bij e as flexibilidades bij e (com i,j = x,y,s) so zero.
Podemos definir tenses mdias
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Por analogia a eq. (4.77)
onde
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Equiparando os termos correspondentes das matrizes de flexibilidade em eq. (7.80) e (7.83), obtemos
A simetria da matriz de flexibilidade implica as seguintes relaes
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EXEMPLO Mdulo Axial de um Laminado Angle-Ply
necessrio determinar o mdulo Young de um laminado [45]ns em termos de propriedades bsicas de lamina (fig. 7.10).
xE
Para este laminado simtrico e balanceado podemos aplicar eq. (7.76)
onde
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onde tk a espessura da camada, h a espessura do laminado e Qxx, Qyy, Qxy so as rigidezes transformadas da lamina 45. Pelas relaes de transformao de rigidez em eq. (4.67) obtemos
Assim,
Pelas eq. (7.87) e (7.87)
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e pelas eq. (7.87) e (7.88)
Para compsitos com fibras de alta rigidez
e eq. (7.92) reduz-se a
Este resultado mostra que o mdulo Young axial de um laminado [45]ns uma propriedade dominada por matriz visto que depende principalmente de mdulo de cisalhamento em plano da lamina G12.
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EXEMPLO Mdulo em Cisalhamento de um Laminado Angle-Ply
necessrio determinar o mdulo de cisalhamento de um laminado [45]ns em termos de propriedades bsicas de lamina (fig. 7.10). Pela eq. (7.78)
xyG
onde
Pelas relaes de transformao de rigidez em eq. (4.67) obtemos
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e usando eq. (7.78) e (7.95),
Para compsitos com fibras de alta rigidez
Assim, o mdulo de cisalhamento de um laminado [45]ns uma propriedade dominada por fibra visto que depende principalmente de mdulo longitudinal da lamina E1.
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EXEMPLO Coeficiente de Poisson de um Laminado Angle-Ply
necessrio determinar o coeficiente de Poisson de um laminado [45]ns em termos de propriedades bsicas de lamina (fig. 7.10). Pela eq. (7.76)
xy
Substituindo eq. (7.89) e (7.90) em eq. (7.76) resulta
Para compsitos com fibras de alta rigidez
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Procedimento Computacional para Determinao de Propriedades Elsticas de Engenharia
1. Insira as propriedades de engenharia da camada unidirecional, E1, E2, 12, e G12. 2. Calcule as rigidezes da camada Q11, Q22, Q12, e Q66 referenciadas aos eixos
principais do material, usando eq. (4.56). 3. Insira a orientao da fibra, k, de camada k. 4. Calcule as rigidezes transformadas [Q]x,y de camada k referenciadas ao sistema de
coordenadas (x, y), usando eq. (4.67). 5. Insira as coordenadas zk e zk+1 das superfcies de camada k. 6. Calcule as matrizes de rigidez de laminado [A], [B] e [D] usando eq. (7.20). 7. Calcule a matriz de flexibilidade de laminado [a], usando eq. (7.27) ou invertendo
a matriz de rigidez de 6x6 da eq. (7.23). 8. Insira a espessura total de laminado, h. 9. Calcule as propriedades de engenharia referenciadas aos eixos x e y usando eq.
(7.84).
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Comparao de Parmetros Elsticos de Laminados Unidirecional e Angle-Ply
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Placas Sanduche
Construo em sanduche de particular interesse e amplamente utilizado, porque o conceito muito adequado para estruturas leves com rigidez alta em plano e em flexo. Um painel sanduche um tipo especial de laminado composto normalmente de duas faces desses finas (revestimentos ou chapas) e um ncleo leve, mais espesso, e de menor rigidez. Materiais normalmente utilizados para revestimentos so laminados compsitos e metal, enquanto que os ncleos so feitos de materiais metlicos ou no metlicos, colmeia, espumas celulares, madeira de balsa, e trelias. Propriedades tpicas de materiais de ncleo so dadas na Tabela A.9. As faces carregas quase toda carga em plano e em flexo, e no ncleo ajuda a estabilizar os revestimentos contra flambagem e define a rigidez flexo e ao cisalhamento fora do plano e comportamento compressivo.
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EXEMPLO: Viga Sanduiche Simplesmente Apoiada
1. A figura a seguir representa uma viga feita de duralumnio que suportada em dois pontos. Ela submetida a uma carga transversal de F =50 daN.
Calcular a deflexo - denotada como - da viga sob a ao da fora F. .
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2. Separamos a viga de duralumnio em duas partes, com a mesma espessura ep = 2,5 mm cortando de maneira imaginaria a viga no seu plano mdio. Cada
metade colada a um tubo paralelo feito de espuma de poliuretano, fazendo as faces de uma viga sanduche tendo essencialmente a mesma massa que a viga inicial (negligenciando a massa de espuma e da cola). A viga se apoia sobre o mesmo suporte e submetida mesma carga F. Calcular a deflexo causada pela F, denotada por . Comparar com o valor de encontrado na Parte 1. (Assume o mdulo de cisalhamento da espuma Gc = 20 MPa).
SOLUO
3 3
48 12
Fl bhI
EI
Eal = 75000 MPa = 16,7 mm
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Denotando por W a energia elstica, devido flexo, tem
com
Usando o teorema do Castigliano temos W
F
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Clculo aproximativo
EI = 7090 + 7,8 N m2 com Ec = 60 MPa
Comparando as deflexes
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Observaes: A configurao sanduche nos permitiu dividir a deflexo por 14 sem aumento significativo da massa: com espessura de pelcula adesiva de 0,2 milmetros e uma densidade de 40 kg/m3 para a espuma, obtm-se a massa total do sanduche: m = 700 g (duralumnio) + 50 g de (espuma) + 48 g de (adesivo) Isto corresponde a um aumento de 14% no que diz respeito ao caso da viga inteira na questo 1. A deflexo devido ao termo de energia de cisalhamento de cerca de 6 vezes mais importante do que devido ao momento de flexo s. No caso da viga cheia na questo 1, este termo desprezvel. Em realidade k = 1,2 para uma viga homognea de seo retangular:
Com G = 29000 MPa, a contribuio deflexo da fora de cisalhamento