10_digraf eksentrik

• Digraf Eksentrik pada suatu graf adalah graf

berarah (bisa bolak-balik) yang dapat

menggambarkan titik terjauh dari suatu

titik ke titik yang lain.

G

titik ke titik yang lain.

• Digraf Eksentrik pertama kali diperkenalkan

oleh Fred Buckley pada tahun 90-an.

• Setiap graf sederhana dan terhubung

dapat digambarkan digraf eksentriknya

� Jarak dari titik u ke titik v

Misal G adalah graf terhubung dengan himp. Titik V(G) dan

himp. Sisi E(G). Jarak dari titik u ke titik v di G, dinotasikan

dengan d(u,v) adalah panjang lintasan terpendek dari titik uke titik v .

Beberapa Pengertian:.

Contoh:

Jika diasumsikan panjang setiap lintasan pada graf berikut adalah 1,

Maka

d(v1,v

2) = d(v

1,v

3) = d(v

2,v

3) = d(v

2,v

4)

=d(v3,v

5) = d(v

4,v

5) = d(v

4,v

6) =d(v

5,v

6)

= 11v

3v

2v4v

6v

5v

d(v1,v

4) = d(v

1,v

5) =d(v

2,v

5) = d(v

2,v

6)

= d(v3,v

4) = d(v

3,v

6)= 2

d(v1,v

6) = 3

Jika diasumsikan panjang setiap lintasan pada graf berikut adalah 1,

Diberikan graf G = (V, E) teerhubung dan u,v,w di V(G)

1. d(u,u) = 0

2. d(u,v) > 0 jika u ≠ v

o Sifat-Sifat :

2. d(u,v) > 0 jika u ≠ v

3. d(u,v) = d(v,u) (Sifat Simetri)

4. d((u,v) ≤ d(u,w) + d(w, v) (Sifat Ketaksamaan Segitiga)

� Eksentrisitas

Eksentrisitas titik v dinotasikan dengan ec(v) adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik v ke setiap titik di graf G.

Jadi ec(v) = maks{d(v,u) | u∈V(G)} .

ec(v1) = maks{d(v

1,v

2), d(v

1,v

3),

v

Contoh:

Jika diberikan graf berikut, maka eksentrisitas titik v1 adalah

Temukan !

ec(v2) = ... ec(v

5) = ....

ec(v3) = .... ec(v

6)= ....

ec(v4) = ....

ec(v1) = maks{d(v

1,v

2), d(v

1,v

3),

d(v1,

v4),d(v

1,v

5),

d(v1,

v6)}

= maks{1, 1, 2, 2, 3}

=31v

3v

2v4v

6v

5v

Titik v disebut titik eksentrik dari u, jika jarak dari v ke u sama

dengan eksentrisitas dari u atau d(u,v) = ec(u).

� Titik Eksentrik

v v

Contoh:

Temukan titik eksentrik dari setiap titik pada graf ini

ec(v1)= 3 dengan titik eksentrik v

6

ec(v2)= 2 dengan titik eksentrik v

5,v

6

Titik eksentrik dari v3?

Titik eksentrik dari v4

?


?


?

1v

3v

2v4v

6v

5v

� Eksentrik Digraf

Eksentrik digraf pada graf G, dinotasikan dengan ED(G),

didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik

yang sama dengan G atau V(ED(G))=V(G) dan himpunan

sisi berarah A(ED(G)) yang elemen-elemennya merupakan

sisi-sisi berarah uv yang menghubungkan titik u ke v jika

v adalah titik eksentrik dari u, dapat ditulis

A(ED(G))={uv|vec(u)=v}.

V(G)={v1,v2,v3,v4,v5,v6}V(G)={v ,v ,v ,v ,v ,v }

V(ED(G)=V(G)

A(ED(G))={v1v6,v2v5,v2v6,

v3v4, v3v6, v4v1,

v4v3,v5v1, v5v2, v6v1,}

Graf Prisma Yn,m adalah graf hasil perkalian kartesius

(Graph cartesian product) antara graf sikel berorder n

dengan graf lintasan berorder m (Yn,m = Cn x Pm).

Digraf Eksentrik dari graf Prisma Ym,n

Y4,3

Graf Prisma Y4,3 dan eksentrik digrafnya

� Radius dari graf G

Radius dari graf G, dinotasikan dengan r(G) merupakan

eksentrisitas minimum pada setiap titik di G.

dapat ditulis: r(G) = min{ec(v)|v∈V(G)}.

v

2v 4vContoh : Jika diberikan graf G sebagai berikut:

1v

3v

6v

5v

Radius dari graf adalah

r(G) =min{ec(v1), ec(v2), ec(v

3) ,ec(v

4), ec(v

5), ec(v

6)}

=min{3,2,2,2,2,3}

=2

Diameter dari graf G, dinotasikan dengan

diam(G) adalah eksentrisitas maksimum pada

setiap titik di G, dapat dituliskan sebagai

diam(G) = maks{ec(v)|v∈V(G)}.

� Diameter dari graf G

Contoh: v

1v

3v

2v4v

6v

5v

diam(G) = maks{ec(v1), ec(v2), ec(v

3), ec(v

4), ec(v

5), ec(v

6)}

= maks{3,2,2,2,3}

= 3

� Titik central/Titik pusat dari graf GTitik v di Graf G disebut titik pusat dari G jika

eksentrisitas titik v sama dengan radius G. Dkl : ec(v) = r(G).

� Subgraf dari graf G yang dibentuk oleh semua� Subgraf dari graf G yang dibentuk oleh semua

titik central G disebut central graf Gdinotasikan dengan cen(G).

� Graf yang hanya memuat satu titik sentral

disebut graf unicentral

Contoh 1 : Perhatikan graf G berikut.

Rad(G)=3

Diam(G)=5

Cen(G) : v6 v7

1v

3v

2v 4v

6v

5v

Contoh 2: Diberikan Graf sebagai berikut:

Karena ec(v2) = ec(v

3) = ec(v

4) = ec(v

5) = r(G)=2

Sehingga titik pusat dari G adalah titik v1, v

2,v

3

dan v4

dan cen(G) adalah :

3v

2v4v

5v

o Untuk setiap Graf non trivial terhubung G, berlaku :

rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2rad(G)

Beberapa Teorema

o Untuk setiap dua titik yang bertetangga u dan v dalam graf

terhubung adalah maka ec(u) - ec(v) ≤ 1

o Setiap graf adalah pusat dari beberapa graf

terhubung adalah maka ec(u) - ec(v) ≤ 1

o Untuk setiap dua titik yang bertetangga u dan v dalam graf

terhubung adalah maka d(u,x) - d(v,x) ≤ 1, untuk setiap

titik x di G

Menentukan Pusat Kota dari suatu wilayah:

Misal diberikan Tabel jarak (dalam km) antar kota sebagai beriut:

Eksentrisitas Setiap

titik (kota)

Radius (G)=60,7 ; Diameter (G) =100

Pusat kota = Banyumas

1.1.1.1. Perhatikan graf G dan H sebagai berikut. Temukan eksentrisitas dari Perhatikan graf G dan H sebagai berikut. Temukan eksentrisitas dari Perhatikan graf G dan H sebagai berikut. Temukan eksentrisitas dari Perhatikan graf G dan H sebagai berikut. Temukan eksentrisitas dari setiap titik di graf H, rad(H), diam (H) , dan Cen(H) setiap titik di graf H, rad(H), diam (H) , dan Cen(H) setiap titik di graf H, rad(H), diam (H) , dan Cen(H) setiap titik di graf H, rad(H), diam (H) , dan Cen(H)

Graf G Graf H

4.4.4.4. JelaskanJelaskanJelaskanJelaskan bahwabahwabahwabahwa untukuntukuntukuntuk setiapsetiapsetiapsetiap duaduaduadua titiktitiktitiktitik u u u u dandandandan v v v v dalamdalamdalamdalam grafgrafgrafgraf

2. Untuk setiap bilangan bulat n 2. Untuk setiap bilangan bulat n 2. Untuk setiap bilangan bulat n 2. Untuk setiap bilangan bulat n ≥ 3, konstruksikan sebuah graf G 3, konstruksikan sebuah graf G 3, konstruksikan sebuah graf G 3, konstruksikan sebuah graf G

dengan jumlah titik n sedemikian sehingga diam (G) = 2 rad (G)dengan jumlah titik n sedemikian sehingga diam (G) = 2 rad (G)dengan jumlah titik n sedemikian sehingga diam (G) = 2 rad (G)dengan jumlah titik n sedemikian sehingga diam (G) = 2 rad (G)

3. Untuk setiap bilangan bulat n >1, konstruksikan sebuah graf G 3. Untuk setiap bilangan bulat n >1, konstruksikan sebuah graf G 3. Untuk setiap bilangan bulat n >1, konstruksikan sebuah graf G 3. Untuk setiap bilangan bulat n >1, konstruksikan sebuah graf G

berorder n , sehingga untuk 0 < k < n ada dua titik x,y di G berorder n , sehingga untuk 0 < k < n ada dua titik x,y di G berorder n , sehingga untuk 0 < k < n ada dua titik x,y di G berorder n , sehingga untuk 0 < k < n ada dua titik x,y di G

dengan d(x, y) = kdengan d(x, y) = kdengan d(x, y) = kdengan d(x, y) = k

terhubungterhubungterhubungterhubung makamakamakamaka ecececec(u) (u) (u) (u) ---- ecececec(v) (v) (v) (v) ≤ d(d(d(d(u,vu,vu,vu,v))))

5.5.5.5. MisalMisalMisalMisal u, v u, v u, v u, v titiktitiktitiktitik yang yang yang yang bertetanggabertetanggabertetanggabertetangga dalamdalamdalamdalam grafgrafgrafgraf terhubungterhubungterhubungterhubung G. G. G. G.

tunjukkantunjukkantunjukkantunjukkandddd((((u,xu,xu,xu,x))))----d(d(d(d(v,xv,xv,xv,x) ) ) ) ≤ 1 1 1 1 untukuntukuntukuntuk setiapsetiapsetiapsetiap titiktitiktitiktitik x x x x didididi GGGG

6. 6. 6. 6. MisalMisalMisalMisal G G G G grafgrafgrafgraf terhubungterhubungterhubungterhubung dandandandan u, v u, v u, v u, v didididi V(G) . V(G) . V(G) . V(G) .

TunjukkanTunjukkanTunjukkanTunjukkan bahwabahwabahwabahwa untukuntukuntukuntuk setiapsetiapsetiapsetiap bilanganbilanganbilanganbilangan bulatbulatbulatbulat k k k k dengandengandengandengan 0 < 0 < 0 < 0 <

k < d(k < d(k < d(k < d(u,vu,vu,vu,v) ) ) ) adaadaadaada w w w w didididi V(G) V(G) V(G) V(G) sedemikiansedemikiansedemikiansedemikian sehinggasehinggasehinggasehingga d(d(d(d(u,wu,wu,wu,w) = k) = k) = k) = k

10_digraf eksentrik

Documents