Lección 10:

Fundamentos de Fundamentos de

geoestadística

Introducción (1)

“Geo”: espacio geográfico

“Estadística”: modelos probabilísticos y estadísticos

La geoestadística es una rama de la estadística que se define como la

aplicación de modelos probabilísticos al análisis de datos ubicados en el

espacio. Entrega herramientas para cuantificar y aprovechar la correlación

espacial entre datos (redundancia de información en sitios cercanos unos de

otros).

Introducción (2)

Una aplicación importante es la evaluación de recursos naturales:

• recursos geológicos y reservas mineras en yacimientos

• recursos petrolíferos y gasíferos• recursos petrolíferos y gasíferos

• recursos forestales

• recursos halieúticos

Otras aplicaciones tienen relación con la geología, geofísica, hidrogeología,

agricultura, ciencias del suelo y medio-ambientales, ecología, oceanografía,

crono-estadística.

Introducción (3)

Introducción (4)

Perspectiva histórica

• Teoría de procesos estocásticos:

Kolmogorov, Wiener

• 1950-1960: precursores (Krige, • 1950-1960: precursores (Krige,

Sichel, Gandin, Matérn)

• 1962: Matheron (Traité de

Géostatistique Appliquée)

• 1968: Centro de Geoestadística

(Escuela de Minas de París)

• 1970: Centro de Geoestadística

(Universidad de Chile)

• 1975-1980: Canadá, EEUU

Variable regionalizada (1)

Una variable regionalizada es una función que representa los valores en el

espacio (espacio geográfico o tiempo) de un atributo asociado a un fenómeno

natural (fenómeno regionalizado)

EjemplosEjemplos

• leyes de cobre, arsénico, molibdeno, oro, plata

• densidad de la roca

• código de litología

• potencia y acumulación de una veta

• concentración de un contaminante

Variable regionalizada (2)

En general, una variable regionalizada presenta cierta continuidad espacial

(zonas de altos valores / zonas de bajos valores), pero varía irregularmente y

escapa a toda representación simple.

Variable regionalizada (3)

Una variable regionalizada se caracteriza por:

• su naturaleza (continua / discreta / nominal o categórica)

• su dominio de extensión (campo)• su dominio de extensión (campo)

• el área o volumen sobre el cual se mide (soporte), por ejemplo:

detritos de pozo de tronadura

testigo de sondaje HQ de 1m de largo

unidad selectiva de explotación de 5m × 5m × 5m

Efecto de soporte (1)

Existe una relación entre el soporte y la distribución estadística de los valores:

los soportes voluminosos presentan una menor cantidad de valores extremos y

una mayor cantidad de valores intermedios que los soportes puntuales.

→ el cambio de soporte (desde un soporte pequeño a uno más grande)

En minería, este efecto de soporte tiene consecuencia en la selectividad:

los tonelajes, leyes medias y cantidades de metal recuperables sobre una

ley de corte dependen del soporte de la unidad de selección.

→ el cambio de soporte (desde un soporte pequeño a uno más grande)

es una operación regularizadora.

Efecto de soporte (2)

Ejemplo 1: recursos recuperables sobre una ley de corte de 0.5% Cu

Efecto de soporte (3)Ejemplo 2: concentraciones de PM10 en la atmósfera

El soporte tiene impacto en la cantidad de días de alerta ambiental (> 195 µg/m3),

pre-emergencia (> 240 µg/m3) y emergencia (> 330 µg/m3)

Aditividad (1)

Se dice que una variable regionalizada es aditiva cuando el valor de un

soporte grande (“bloque”) es el promedio aritmético o la suma de los

valores “puntuales” dentro del bloque. Esta propiedad permite que se

realice un cambio de soporte.

Ejemplos

• potencia, acumulación de una veta• potencia, acumulación de una veta

• ley de un elemento de interés?

Contra-ejemplos

• razón de solubilidad, recuperación metalúrgica

• pH

• permeabilidad de la roca

• código de tipo de roca

Aditividad (2)

¿Cuál es la ley promedio en la veta?

Sin ponderar por la potencia, se obtendría:

t

Augrm 30.3

9134752151067514081119

3523562965052121995812533351 =

++++++++

++++++++=

t

Augrm 93.3

91

352

34

356

75

296

215

505

106

212

75

199

140

581

81

253

119

335

9

12 =

++++++++⋅=

Datos y modelos

En general, una variable regionalizada se conoce de manera parcial, a

través de un conjunto limitado de datos:

• muestras de suelo

• observaciones en terreno

• mediciones realizadas en estaciones de monitoreo

Para aprovechar la información disponible, será necesario construir

modelos. Debe tenerse presente que un modelo nunca describe la

variable regionalizada en su totalidad, sin simplificación, ni distorsión.

También, la validez de un modelo puede depender de la escala de

trabajo.

• sondajes, pozos de tronadura

Principios directores

• Validar la integridad de los datos: posibles errores de muestreo, datos

aberrantes, datos repetidos o errores de ubicación

• El modelo debe ser consistente (no incompatible) con los datos.

• Principio de realismo: encontrar un modelo que entrega una descripción • Principio de realismo: encontrar un modelo que entrega una descripción

adecuada de la variable, ni demasiado simplificada, ni demasiado

deformada.

• Principio de economía: encontrar el modelo menos exigente que permite

resolver el problema planteado.

• Reconstrucción operatoria: plantear el resultado en términos objetivos,

susceptibles de ser refutados si se tuviera un conocimiento exhaustivo de la

variable regionalizada.

Objetivos de la geoestadística

Se plantean varios problemas:

• Describir la distribución espacial de la variable en estudio

Objetivos de la geoestadística

• Estimar sus valores a partir de los datos disponibles

→ estimación global

→ estimación local: se debe considerar la continuidad espacial de la variable

regionalizada, las distancias entre el sector a estimar y los sitios con datos,

así como la configuración espacial de los mismos sitios con datosasí como la configuración espacial de los mismos sitios con datos

Objetivos de la geoestadística

Uso de estimaciones locales: clasificación de las unidades selectivas de

explotación (bloques) en mineral o estéril, según leyes estimadas de cobre

Objetivos de la geoestadística

• Conocer la incertidumbre sobre los valores no muestreados

→ construcción de escenarios posibles (“simulaciones”)

→ análisis de riesgo

→ calcular probabilidades de sobrepasar un valor umbral

→ integrar la incertidumbre en la planificación minera

Plan de la

Mina

Distribución de posibles

respuestas

Histograma

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5

Clase

Fre

cu

en

cia

Objetivos de la geoestadística

• Integrar información de distintas variables

→ análisis multivariable

Variable Number of data Minimum Maximum Mean Standard deviation

Copper grade 5,754 0.01% 29.9% 1.66% 2.40%Copper grade 5,754 0.01% 29.9% 1.66% 2.40%

Silver grade 5,594 0.40 g/t 855 g/t 36.87 g/t 58.16 g/t

Arsenic grade 5,726 5.00 g/t 126,100 g/t 2,000.4 g/t 4,501.3 g/t

Antimony grade 2,160 1.00 g/t 8,240 g/t 220.3 g/t 557.8 g/t

Variable Copper Silver Arsenic Antimony

Copper 1 0.82 0.70 0.66

Silver 0.82 1 0.44 0.33

Arsenic 0.70 0.44 1 0.68

Antimony 0.66 0.33 0.68 1

Objetivos de la geoestadística

• Integrar información de distintas fuentes, distintos soportes y/o distintas

calidades

Objetivos de la geoestadística

• Integrar ecuaciones físicas o

fenomenológicas

� variables composicionales

� variables relacionadas con

ecuaciones diferenciales o ecuaciones diferenciales o

de derivadas parciales

• Diseñar una malla de muestreo para reconocer y evaluar un

fenómeno regionalizado

•Actualizar modelos numéricos al

disponer de datos adicionales

Objetivos de la geoestadística

• Diseñar modelos de cambio de

soporte, desde muestras a bloques.

Calcular recursos (tonelajes, leyes

medias, cantidades de metal) medias, cantidades de metal)

recuperables sobre determinadas

leyes de corte

• Modelar el efecto de información

Objetivos de la geoestadística

• Modelar fenómenos complejos

� variable nominales: tipos de roca, categorías de mineral

� procesos puntuales: ocurrencias de piedras preciosas

� redes de fracturas

� objetos de geometría y/o posición aleatoria� objetos de geometría y/o posición aleatoria

Objetivos de la geoestadística

• Optimizar algoritmos de cálculo, utilizar técnicas de supercómputo y

programación de alto desempeño

Lecturas recomendadas

Chilès J.P. and Delfiner P., 2012. Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty,

2nd edition, Wiley, New York, 699 p

Deutsch C.V. and Journel A.G., 1998. GSLIB: Geostatistical Software Library

and User’s Guide, Oxford University Press, New York, 369 pand User’s Guide, Oxford University Press, New York, 369 p

Goovaerts P., 1997. Geostatistics for Natural Resources Evaluation, Oxford

University Press, New York, 480 p

Isaaks E.H. and Srivastava R.M., 1989. An Introduction to Applied Geostatistics,

Oxford University Press, New York, 561 p

Wackernagel, H., 2003. Multivariate Geostatistics: An Introduction with

Applications. Springer, Berlin.