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Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores

Computação Gráfica

Discretização

© 2011 Corpo docente de Computação Gráfica / CG&M / DEI / IST / UTL

Edward Angel, Cap. 7Apontamentos CG

LEIC CG

Pipeline de Visualização 3D


LEIC CG

Vértices


Transfs. de Modelação e Visualização

Transformação de Projecção

Divisão Perspectiva

Mapeamento Janela-Viewport

Coordenadas do Mundo

Coordenadas de Recorte

Coordenadas do Dispositivo Normalizadas

Coordenadas da Câmara

Coordenadas do

Dispositivo

Vértices

LEIC CG

Mapeamento Janela-Viewport

Divisão Perspectiva

Transformação de Projecção

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� �� ∙

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Transfs. de Modelação e Visualização

Coordenadas do Mundo

Coordenadas da Câmara

Coordenadas de Recorte

Coordenadas do Dispositivo Normalizadas

Coordenadas do Dispositivo

LEIC CG

Pipeline de Visualização 3D


LEICCG

Discretização


LEIC CGPipeline 3D

� No final do 2º andar do pipeline temos:� Primitivas

• Pontos, Linhas, Polígonos

� Já em coordenadas do viewport

� Agora…� Como desenhar essas primitivas no dispositivo?

• Rasterização


LEIC CG

Discretização de Pontos• Não é relevante “per se”

Discretização de segmentos de recta• Representar vectores como fragmentos

Discretização de polígonos• Preencher polígonos num espaço discreto


Rasterização

LEIC CGDiscretização

Milhões de execuções por cena

Necessidade de compromisso

Usar algoritmos optimizados


LEIC CG

Representação de Segmentocomo fragmentos


LEIC CG

Representação de Segmentocomo fragmentos

� Como fariam se vos pedissem para codificar?void DesenhaLinha(int x1, int y1, int x2, int y2, int color);


LEICCG

Discretização de Segmentos de Recta


LEIC CG

Discretização de

Segmentos de recta� Hipóteses:

� Linhas sólidas com 1 pixel de espessura

� Ignorar variação luminosidade com densidade das quadrículas

� Recta com declive contido no primeiro octante

x, y

-x, -y

y, x

-y, x

-x, y

-y, -x

y, -x

x, -y X

Y


LEIC CG


Algoritmo Imediato

� Partir da equação da recta

y = m.x + b

� Calcular declive e coeficientes a partir dos extremos do segmento

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

b = y1 - m. x1

� Para x1 ≤ x ≤ x2 calcular ordenada usando equação da recta

y = Round (m . x + b) = Floor (0.5 + (m . x + b))

� Arredondar o resultado para coordenadas do pixel a desenhar


LEIC CG


Algoritmo Imediato

Problema:

� Cada iteração requer� Multiplicação e adição virgula flutuante

� Arredondamento de real para inteiro

Alternativa:

� Usar algoritmo incremental© 2011 Corpo docente de Computação Gráfica / CG&M / DEI / IST / UTL

LEIC CG


Algoritmo de Bresenham

� Baseado na função implícita do segmento de recta

� Calcula variável de decisão para determinar incrementos� Posição de um ponto relativamente a uma recta

• substituir coordenadas do ponto na equação e examinar o sinal

cybxayxF +⋅+⋅=),(

F(x, y) = 0

F(x, y) > 0

F(x, y) < 0


LEIC CG


Critério do Ponto Médio� Para escolher o próximo pixel a ”pintar”

� Calcular F(M)

� testar o sinal• (d > 0)→ NE

• (d < 0)→ E

• (d = 0)→ qualquer � Convencionou-se escolher E

� Variável de decisão d• Calculada incrementalmente

d = F (M) = F (xp + 1, yp + 1/2)

d = a (xp + 1) + b (yp + 1/2) + c

NE

E

M

PixelAnterior

Escolhas parapixel corrente

Escolhas parapixel seguinte

Q

(xp, yp)


LEIC CG


Cálculo Incremental de d (E)

di+1= a (xp + 2) + b (yp + 1/2) + c

= a (xp + 1) + a + b (yp + 1/2) + c

= di + a

incrE = a;

xp xp+1

M

xp+2

yp+1

yp


LEIC CG


Cálculo Incremental de d (NE)

di+1= a (xp + 2) + b (yp + 3/2) + c

= a (xp + 1) + a + b (yp + 1/2) + b + c

= di + a + b

incrNE = a + b;

xp

yp+1

M

xp+1 xp+2

yp

yp+2


LEIC CG


Valores Iniciais

� Extremos do segmento de recta em posições da grelha inteira

� Segundo pixel estudar F(M) , � com M = (x1 + 1, y1 + ½)

� Ficamos com:

F (x1, y1) = F (x2, y2) = 0

d0 = a + b/2

incr.E = a

incr.NE = a + b

F(x, y) = 0

F(x, y) > 0

F(x, y) < 0

F(x1, y1) = 0

F(x2, y2) = 0


LEIC CG


Código

void Bresenham(int x1, int y1, int x2, int y2, int color)

{

/* ..... algoritmo .....*/

}

� Como implementavam a inicialização?

d0 = 2. ∆∆∆∆ y - ∆∆∆∆ x

incr.E = 2. ∆∆∆∆ y

incr.NE = 2. (∆∆∆∆ y - ∆∆∆∆ x)


LEIC CG


Código (inicialização)

void Bresenham(int x1, int y1, int x2, int y2, int color )

{

int dx = x2 – x1; int dy = y2 – y1;

int d = 2*dy – dx2;

int incrE = 2*dy; int incrNE = 2*(dy - dx);

int x = x1; int y = y1;

WritePixel (x, y, color);

/* ..... ciclo ..... */

}


LEIC CG


Código (ciclo)

void Bresenham(int x1, int y1, int x2, int y2, intcolor)

{/* ..... inicializacao .....*/

while (x < x2) {

if (d <= 0) {d += incrE; x++;}

else {d += incrNE; x++; y++;

}WritePixel (x, y, color);

}


LEIC CG

3 4 5 6 7 8 9 106

7

8

9

10

11

12

P1 = (5, 8) P2 = (9, 11)

x = 5 y = 8

dx = 4 dy = 3d0 = 2 incrE = 6 incrNE = - 2

d0 = 2 => NE => Write (6, 9)

d1 = 0 => E => Write (7, 9)

d2 = 6 => NE => Write (8, 10)

d3 = 4 => NE => Write (9, 11)

Write (5, 8)


Exemplo


LEIC CG

3 4 5 6 7 8 9 106

7

8

9

10

11

12

P1 = (5, 8) P2 = (10, 9)

x = ? y = ?

dx = ? dy = ?d0 = ? incrE = ? incrNE = ?

d0 = ? => ? => Write (?, ?)

d1 = .....

Write (?, ?)


Exemplo


LEIC CG


Vantagem (1º Octante)


LEICCG

Preenchimento de Polígonos


LEIC CG

Preenchimento de polígonos

Princípios Básicos� Traçar sucessivas linhas de varrimento horizontais

� Scan line

� Calcular intersecção entre scan line e arestas� Arredondar valores para interior

� Ordenar por abcissa� x1 < x2 < x3 < x4

� Preencher cadeias de quadrículas

scan-line

Y

x1 x2 x3 x4


LEIC CG

Algoritmo da scan line

Contabilizar Intersecções (1/2)

� Scan-line ao passar por um vértice intermédio

� contabiliza intersecção na aresta intersectada em ymin

� não na aresta intersectada em ymax

B

C1 intersecção em [AB],

0 intersecções em [BC]0 intersecções em [AB],0 intersecções em [BC]

ACA

B

C(1)

(0)

(2)

1 intersecção em [AB],1 intersecção em [BC]


LEIC CG


Contabilizar Intersecções (2/2)

� Solução anterior pode não ser suficiente

� Retirar arestas horizontais

� Não contabilizar intersecções em ymax

A B

G

D

E

C

FH

I

J

[A,B] é preenchido

[C,D] é preenchido

[H,I] não é preenchido

[F,G] não é preenchido


LEIC CG

Preenchimento de polígonos

Princípios Básicos� Traçar sucessivas linhas de varrimento horizontais

� Scan line

� Calcular intersecção entre scan line e arestas� Arredondar valores para interior

� Ordenar por abcissa� x1 < x2 < x3 < x4

� Preencher cadeias de quadrículas

scan-line

Y

x1 x2 x3 x4


LEIC CG

� À esquerda� Arredondamento por excesso� Exemplos:

• 6,4 -> 7• 6,0 -> 6• 6,6 -> 7

� À direita� Arredondamento por defeito� Exemplos:

• 9,6 -> 9• 4,4 ->4• 6,0 -> 6

ii+1

i+3i+2

6 8 10


Spans e Arredondamentos


LEIC CG


Coerência de Aresta� Arestas intersectadas por uma linha

� podem ser as intersectadas pela linha anterior

� Usando coerência de aresta:� pontos de intersecção com nova linha calculados de modo incremental

• a partir dos pontos calculados para a scan-line anterior

� Cálculo incremental apenas requer uma soma algébrica

ii+1

i+3i+2

Para cada aresta:

( ) ( )

y

x

m

bm

xm

x

yyy

yxyxx

∆∆=

−=

−=∆−=∆

1

11minmax

minmax ( ) ( )

( )m

yx

bmm

ym

bm

ym

yx

1

111

11

11

+=

−+=

−+=+


LEIC CG


Tabela de Lados (Edge Table: ET)


LEIC CG


Tabela de Lados Activos (AET)

� O algoritmo mantém uma Tabela de Lados Activos(Active Edge Table: AET)

� AET regista informação relativa aos lados intersectados pela linha actual

� arestas horizontais, colineares com a “scan-line”


LEIC CG


Algoritmo (1/2)

� Preencher a ET� arestas horizontais são descartadas

� Criar AET e inicializá-la vazia

� Ciclo à linha de varrimento� y entre ymin e ymax do polígono:

• Mover de ET para AET lados com � ymin = y

• Ordenar esses lados por x


LEIC CG

� Preencher spans da linha corrente

• utilizando pares de coordenadas x

� relativas aos lados registados em AET

� Actualizar a AET• Remover de AET todas as arestas com ymax-1 = y

(terminam na próxima linha)

• Para as que permanecem

� incrementar x de 1/m e

• Ordenar AET por x (se for poligono auto-intersectante)

� Incrementar o valor de y de uma unidade

(ordenada da próxima scan-line)


Algoritmo (1/2)


LEIC CG

7 -5/2 3 AB

4,5 -5/2 3 AB

7 6/4 - 5 BC

8,5 6/4 - 5 BC

10 6/4 - 5 BC

11,5 6/4 - 5 BC

2 0 9 FA

2 0 9 FA

2 0 9 FA

2 0 9 FA

2 0 9 FA

2 0 9 FA

13 0 - 11 CD

13 0 - 11 CD

13 0 - 11 CD

13 0 - 11 CD

7 -5/2 9 EF

4,5 -5/2 9 EF

7 6/4 11 DE

8,5 6/4 11 DE

13 0 - 11 CD

13 0 - 11 CD

11,5 6/4 11 DE

10 6/4 11 DE

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Tabela de Arestas Activas Tabela de Arestas Y

FA, CD, EF, DE

vazia

FA, CD, EF, DE

CD, EF, DE

CD, EF, DE

EF, DE

EF, DE

vazia

vazia

vazia

vazia

vazia


Exemplo

LEIC CG

10 2 4 6 8 0

2

4

6

8

10

14

0

12 Y span

tri. esquerdospan tri. direito14 -

13 -12 6-611 5-510 5-5 -9 4-5 6-88 3-4 6-77 3-4 6-76 2-4 6-65 1-4 6-64 5-53 -2 -1 4-4

Fragmentação


10 - discretizacao - fenix.tecnico.ulisboa.pt · leic cg algoritmo da scan line coerência de...

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