Sistemas e Sinais (LEIC) – Análise em FrequênciaSistemas e Sinais (LEIC) – Análise em FrequênciaCarlos CardeiraCarlos Cardeira

Análise em FrequênciaAnálise em Frequência

Até agora a análise que temos feito tem Até agora a análise que temos feito tem o tempo como domínio.o tempo como domínio.

As saídas podiam ser funções no tempo As saídas podiam ser funções no tempo correspondentes a sinais discretos ou correspondentes a sinais discretos ou contínuos ou mesmo sequências de contínuos ou mesmo sequências de eventos.eventos.

Na análise em frequência, vamos ver os Na análise em frequência, vamos ver os sinais não como funções do tempo mas sinais não como funções do tempo mas sim como combinações de sinusoidessim como combinações de sinusoides

A ferramenta de trabalho vai incidir A ferramenta de trabalho vai incidir sobre as séries de Fouriersobre as séries de Fourier

Análise em FrequênciaAnálise em Frequência

As séries de Fourier permitem definir As séries de Fourier permitem definir qualquer função periódica como qualquer função periódica como combinações de sinusoides.combinações de sinusoides.

A representação de sinais periódicos através A representação de sinais periódicos através de sinusoides está também na base de de sinusoides está também na base de muitos trabalhos de compressão de sinais.muitos trabalhos de compressão de sinais.

Em sistemas lineares, se um sinal de entrada Em sistemas lineares, se um sinal de entrada é uma sinusoide de determinada frequência, é uma sinusoide de determinada frequência, a saída é uma sinusoide da mesma a saída é uma sinusoide da mesma frequência (a amplitude e a fase é que frequência (a amplitude e a fase é que poderão variar).poderão variar).

Análise em FrequênciaAnálise em Frequência

Um LTI pode ser caracterizado no Um LTI pode ser caracterizado no tempo através da resposta tempo através da resposta impulsiva e também na frequência impulsiva e também na frequência através da resposta em frequência.através da resposta em frequência.

Veremos que a resposta em Veremos que a resposta em frequência é a transformada de frequência é a transformada de Fourrier da resposta impulsiva.Fourrier da resposta impulsiva.

As respostas no tempo e na As respostas no tempo e na frequência estão relacionadas.frequência estão relacionadas.

Exponenciais complexasExponenciais complexas

A melhor forma de estudar A melhor forma de estudar sinusoides é através das sinusoides é através das exponenciais complexas. exponenciais complexas.

O apendice B apresenta um resumo O apendice B apresenta um resumo dos sinais complexos, que deve ser dos sinais complexos, que deve ser lido para relembrar conceitos.lido para relembrar conceitos.

SinusoidesSinusoides Como vimos nos capítulos introdutórios Como vimos nos capítulos introdutórios

vimos como as sinusoides representam vimos como as sinusoides representam sons.sons.

Sin (2pi x 880t) corresponde a uma nota Sin (2pi x 880t) corresponde a uma nota músical definida.músical definida.

O argumento do sin é um ângulo.O argumento do sin é um ângulo. Um ângulo mede-se em radianos. Um ângulo mede-se em radianos. 2pi tem unidades radianos, t é em segundos 2pi tem unidades radianos, t é em segundos

e a frequência mede-se em ciclos por e a frequência mede-se em ciclos por segundo (Hz). Ciclos é adimensional pelo segundo (Hz). Ciclos é adimensional pelo que o resultado é em radianos.que o resultado é em radianos.

SinusoidesSinusoides sin (wt) é uma representação mais simples. W=2 x sin (wt) é uma representação mais simples. W=2 x

pi x f, e mede-se em radianos por segundo.pi x f, e mede-se em radianos por segundo. Se o tempo for discreto poderemos ter sin (2 x pi x Se o tempo for discreto poderemos ter sin (2 x pi x

f x n). n mede-se em amostras (multiplicado por f x n). n mede-se em amostras (multiplicado por delta daria o tempo). f mede-se em ciclos por delta daria o tempo). f mede-se em ciclos por amostra e w em radianos por amostra.amostra e w em radianos por amostra.

O resultado final tem que dar sempre em radianos O resultado final tem que dar sempre em radianos de modo a poder ser um argumento do som.de modo a poder ser um argumento do som.

Em Matllab é fácil ver as formas sinusoides dos Em Matllab é fácil ver as formas sinusoides dos sons e ouvi-las.sons e ouvi-las.

Para quem sabe de música, é fácil fazer uma Para quem sabe de música, é fácil fazer uma escala musical.escala musical.

SinusoidesSinusoides

A soma de duas sinusoides não se A soma de duas sinusoides não se parece com uma sinusoide.parece com uma sinusoide.

No entanto, a partir da soma das No entanto, a partir da soma das sinusoides é possível recuperar sinusoides é possível recuperar cada uma das suas componentes. cada uma das suas componentes.

Sinusoides e sonsSinusoides e sons

Os ouvidos conseguem distinguir sons de Os ouvidos conseguem distinguir sons de frequências diferentes.frequências diferentes.

Os ouvidos não são sensíveis a Os ouvidos não são sensíveis a diferenças de fase no sinal.diferenças de fase no sinal.

sin (w x t) ou sin (w x t + phi) soam da sin (w x t) ou sin (w x t + phi) soam da mesma forma.mesma forma.

Um atraso num sinal sinusoidal pode ser Um atraso num sinal sinusoidal pode ser representado por um desvio de fase. representado por um desvio de fase. Nem todos os sinais têm esta Nem todos os sinais têm esta característica.característica.

Sinusoides e sonsSinusoides e sons

Se tivermos um som composto por Se tivermos um som composto por várias sinusoides e formos mudando a várias sinusoides e formos mudando a fase de um deles, a forma do sinal pode fase de um deles, a forma do sinal pode variar bastante mas o sinal ouvido é o variar bastante mas o sinal ouvido é o mesmo.mesmo.

Em imagens, qualquer diferença de fase Em imagens, qualquer diferença de fase é imediatamente reconhecidaé imediatamente reconhecida

Sinusoides e ImagensSinusoides e Imagens No lab já vimos imagens que poderiam ser No lab já vimos imagens que poderiam ser

representadas por sinusoides.representadas por sinusoides. Existe agora uma frequência vertical e uma Existe agora uma frequência vertical e uma

frequencia horizontal que se mede em ciclos por frequencia horizontal que se mede em ciclos por amostra.amostra.

As diferenças de fase são imediatamente As diferenças de fase são imediatamente reconhecidas.reconhecidas.

Jpeg é uma representação da imagem em que se Jpeg é uma representação da imagem em que se apresentam apenas os coeficientes destas sinusoides.apresentam apenas os coeficientes destas sinusoides.

Espectro RádioEspectro Rádio

Onda média vai de 535 a 1705 kHz com 10 Khz de Onda média vai de 535 a 1705 kHz com 10 Khz de largura de bandalargura de banda

FM vai de 88 a 108 Mhz com 0,2 Mhz de largura de bandaFM vai de 88 a 108 Mhz com 0,2 Mhz de largura de banda TV analógica tem 6 Mhz de largura de bandaTV analógica tem 6 Mhz de largura de banda Com a TV digital terrestre, nos mesmos 6 Mhz seria Com a TV digital terrestre, nos mesmos 6 Mhz seria

possível transmitir muito mais canais.possível transmitir muito mais canais.

Espectro RádioEspectro Rádio A potência de emissão é limitada.A potência de emissão é limitada. Como a potência do sinal decai com o quadrado Como a potência do sinal decai com o quadrado

da distância, a mesma frequência pode ser da distância, a mesma frequência pode ser reutilizada noutro local.reutilizada noutro local.

Em frequências elevadas a queda de sinal com a Em frequências elevadas a queda de sinal com a distância é ainda mais notória.distância é ainda mais notória.

As antenas de telemóveis usam frequências As antenas de telemóveis usam frequências elevadas e são em grande número (tipicamente, elevadas e são em grande número (tipicamente, uma em cada 2 km).uma em cada 2 km).

Como o alcance é reduzido, podem repetir a Como o alcance é reduzido, podem repetir a mesma frequência alguns kilómetros depois. mesma frequência alguns kilómetros depois.

Quando se muda de estação há um protocolo Quando se muda de estação há um protocolo complexo (uma máquina de estados) para que as complexo (uma máquina de estados) para que as frequências mudem sem que o utilizador se frequências mudem sem que o utilizador se aperceba.aperceba.

Sinais PeriódicosSinais Periódicos

Sistemas contínuos:Sistemas contínuos:

Um sinal é periodico de periodo p se:Um sinal é periodico de periodo p se:

)()(, tfptfRt

Sinais Periódicos e Sinais Periódicos e SinusoidesSinusoides

Sistemas discretos:Sistemas discretos:

Um sinal é periodico de periodo p se:Um sinal é periodico de periodo p se:

)()(, nfpnfInteirosn

Sinais PeriódicosSinais Periódicos

Em sistemas contínuos o periodo Em sistemas contínuos o periodo pode ter qualquer valor real (0.47 pode ter qualquer valor real (0.47 por exemplo).por exemplo).

Em sistemas discretos o periodo Em sistemas discretos o periodo apenas assumir valores inteiros apenas assumir valores inteiros uma vez que p+n tem que uma vez que p+n tem que continuar a pertencer ao domínio continuar a pertencer ao domínio de f.de f.

Frequência fundamentalFrequência fundamental

Se um sinal tiver Se um sinal tiver período p chama-período p chama-se frequência se frequência fundamental ao fundamental ao valor 2pi/pvalor 2pi/p

A frequência A frequência fundamental fundamental mede-se em mede-se em radianos/s uma radianos/s uma vez que o período vez que o período se mede em se mede em segundossegundos

pw

20

Frequência fundamentalFrequência fundamental

Sinais com a mesma frequência fundamental

Teorema fundamentalTeorema fundamental

Qualquer sinal periódico pode ser Qualquer sinal periódico pode ser decomposto numa soma de decomposto numa soma de sinusoides múltiplas da frequência sinusoides múltiplas da frequência fundamental.fundamental.

Frequência fundamental e Frequência fundamental e harmónicasharmónicas

A primeira sinusóide é a da A primeira sinusóide é a da frequência fundamental.frequência fundamental.

Às sinusoides multiplas desta, Às sinusoides multiplas desta, chamam-se harmónicas.chamam-se harmónicas.

As harmónicas tem frequências As harmónicas tem frequências multiplas da frequencia fundamental multiplas da frequencia fundamental e têm amplitudes e fases diferentes.e têm amplitudes e fases diferentes.

AA00 é a componente DC do sinal (o é a componente DC do sinal (o valor médio do sinal)valor médio do sinal)

HarmónicasHarmónicas

As ondas triangulares como as As ondas triangulares como as quadradas apresentadas quadradas apresentadas anteriormente (ou qualquer outro anteriormente (ou qualquer outro sinal periódico com a mesma sinal periódico com a mesma frequência fundamental) podem ser frequência fundamental) podem ser representados pela soma de representados pela soma de sinusoides, com as mesmas sinusoides, com as mesmas frequências embora as amplitudes e frequências embora as amplitudes e fases de cada harmónica sejam fases de cada harmónica sejam naturalmente diferentes.naturalmente diferentes.

ExemplosExemplos

ExemplosExemplos

Sistemas LinearesSistemas Lineares

Os sistemas lineares não alteram a Os sistemas lineares não alteram a frequência do sinal, podem apenas frequência do sinal, podem apenas mudar a amplitude e a fase.mudar a amplitude e a fase.

Por exemplo, uma estação de Por exemplo, uma estação de emissão de rádio não é linear emissão de rádio não é linear porque o sinal de voz não tem a porque o sinal de voz não tem a mesma frequência do sinal de mesma frequência do sinal de emissão.emissão.

Sinais FinitosSinais Finitos

f(t)f(t)

g(t)g(t)

p

p p p

n

nptgtfRt )(

Sinais finitosSinais finitos

Seja f(t) um sinal finito (domínio finito) qualquerSeja f(t) um sinal finito (domínio finito) qualquer Seja g(t) a sua replicação infinitaSeja g(t) a sua replicação infinita

g(t) é periódico e pode ser representado por g(t) é periódico e pode ser representado por uma série de Fourier. O que quer dizer que a uma série de Fourier. O que quer dizer que a série de Fourier também representará o sinal f série de Fourier também representará o sinal f no seu domíniono seu domínio

n

nptgtfRt )(

Significado de ASignificado de A00

Consideremos o desenvolvimento em Consideremos o desenvolvimento em série de fourier de um sinal:série de fourier de um sinal:

Integrando ao longo de um período:Integrando ao longo de um período:

Ou seja, AOu seja, A00 é o valor médio do sinal é o valor médio do sinal

1

00 )cos()(k

kk tkwAAtf

pAdttkwAApa

a kkk 0

100 )cos(

Exponenciais ComplexasExponenciais Complexas

jj

jj

eej

ee

2

1sin

2

1

2

1cos

Apêndice B

Série de Fourir na forma Série de Fourir na forma exponencialexponencial

k

kk

jkk

k

tjkwk

k

tkwjtkwjk

eABeB

eeA

Atf

0

00

1

)()(0 2

)(

Sinais reaisSinais reais

Suponhamos que Suponhamos que o sinal é realo sinal é real

BBkk e B e B-k-k são são necessáriamente necessáriamente complexos complexos conjugadosconjugados

kjkk eAB

kB

kB

kAk

Tempo DiscretoTempo Discreto

Se f : inteiros Se f : inteiros → → reais for um sinal reais for um sinal periódico (p>0 periódico (p>0 inteiros) e inteiros) e w0=2pi/p (rad/amostra):w0=2pi/p (rad/amostra):

2

100 )cos()(

p

kkk nkwAAnf

Tempo DiscretoTempo Discreto

As unidades passam a radianos por As unidades passam a radianos por amostra.amostra.

A soma é finita. O número de A soma é finita. O número de harmónicas é metade do período.harmónicas é metade do período.

Porquê p/2 ?Porquê p/2 ?

Frequência máximaFrequência máxima

Num sinal discreto a frequência máxima que se Num sinal discreto a frequência máxima que se pode obter é pi rad/s (são necessárias 2 pode obter é pi rad/s (são necessárias 2 amostras para dar a volta completa)amostras para dar a volta completa)

Sinais DiscretosSinais Discretos

A vantagem é que com uma série finita se A vantagem é que com uma série finita se consegue a representação exacta de qualquer consegue a representação exacta de qualquer sinal.sinal.

A frequência máxima que se pode obter A frequência máxima que se pode obter corresponde a metade da frequência de corresponde a metade da frequência de amostragem.amostragem.

Em CDs a frequencia de amostragem é de 44 Em CDs a frequencia de amostragem é de 44 Khz o que permite ouvir frequências até 22 Khz. Khz o que permite ouvir frequências até 22 Khz. No telefone a frequência é de 8Khz o que indica No telefone a frequência é de 8Khz o que indica que nunca se poderá ouvir um som de que nunca se poderá ouvir um som de frequência superior a 4 Khz.frequência superior a 4 Khz.

ExemplosExemplos

O sinal é periódicoO sinal é periódico O período é 1/10 sO período é 1/10 s Wo=2xpi/p=20pi rad/sWo=2xpi/p=20pi rad/s

A0= 0A0= 0 A1=1 phi1=0A1=1 phi1=0 A2=0 phi2=0 …A2=0 phi2=0 … A5=1A5=1

)102cos()502cos()( tttxt

1

00 )cos()(k

kk tkwAAtf

ExemplosExemplos

O sinal não é periódico porque não há O sinal não é periódico porque não há um mínimo múltiplo comum para os um mínimo múltiplo comum para os períodosperíodos

)32cos()2cos()( tttxRt

ExemplosExemplos

ExemplosExemplos

Representação em série de Representação em série de FourierFourier

Qualquer sinal periódico pode ser Qualquer sinal periódico pode ser representado pela série de Fourier representado pela série de Fourier (uma fundamental e as suas (uma fundamental e as suas harmónicas).harmónicas).

Pode-se fazer compressão da Pode-se fazer compressão da informação se em vez de se enviar informação se em vez de se enviar o sinal no tempo, se enviarem o sinal no tempo, se enviarem apenas os coeficientes da série de apenas os coeficientes da série de Fourier.Fourier.

Sinais AperiódicosSinais Aperiódicos

Um sinal de voz é tipicamente Um sinal de voz é tipicamente aperiódico.aperiódico.

Pode-se pegar em troços do sinal (por Pode-se pegar em troços do sinal (por exemplo 16 ms) e calcular a série de exemplo 16 ms) e calcular a série de Fourier associada.Fourier associada.

Em cada 16ms basta enviar os Em cada 16ms basta enviar os coeficientes da Série de Fourier com coeficientes da Série de Fourier com ganhos de compressão.ganhos de compressão.

O mesmo princípio aplicado a imagens O mesmo princípio aplicado a imagens está na origem do formato jpegestá na origem do formato jpeg

Lab 7Lab 7

Mostra-se a decomposição em série Mostra-se a decomposição em série de Fourier de vários sinais.de Fourier de vários sinais.

O cálculo dos coeficientes é dado O cálculo dos coeficientes é dado no enunciado.no enunciado.

Mostra-se a representação dos Mostra-se a representação dos sinais em frequência e no tempo.sinais em frequência e no tempo.