10 dec 2016

เวกเตอร

10 Dec 2016

สารบญ

ปรมาณเวกเตอร ....................................................................................................................................................................... 1

เวกเตอรในระบบพกดฉาก ....................................................................................................................................................... 8

เวกเตอรหนงหนวย ................................................................................................................................................................ 13

ผลคณเชงสเกลาร.................................................................................................................................................................. 17

ผลคณเชงเวกเตอร ................................................................................................................................................................ 29

พนทและปรมาตร .................................................................................................................................................................. 32

เวกเตอร 1

ปรมาณเวกเตอร ปรมาณเวกเตอร คอ ปรมาณทม “ทศทาง” ก ากบมาดวย

(ถามแตตวเลข แตไมมทศทาง เราจะเรยกวา “ปรมาณสเกลาร”) ตวอยางปรมาณเวกเตอร เชน 2 เมตร ไปทางทศเหนอ

3 ซ.ม. ไปทางทศตะวนออกเฉยงใต

√3 หนวย ไปทางทศ 120° เปนตน

เราสามารถแทนปรมาณแบบเวกเตอรดวยลกศร เชน เวกเตอร 2 หนวย ไปทางทศใต จะแทนไดดวยรป

ในเรองน เรานยมใชตวแปร �� , �� , �� ในการเรยกชอเวกเตอร หรออาจเรยกดวยจดเรมตนกบจดสนสดของเวกเตอรกได

เชน AB จะหมายถงเวกเตอรทเรมตนท A และจบท B

เวกเตอรหนงๆ จะมสวนประกอบ 2 อยาง คอ “ขนาด” และ “ทศทาง” “ต าแหนง” ของเวกเตอร จะไมมความส าคญ กลาวคอ เวกเตอรหนงๆ สามารถเลอนไปเลอนมาได

ตราบใดท “ขนาด” และ “ทศทาง” ยงเหมอนเดม เราจะยงถอวามนเปนเวกเตอรเดม

เชน AB = DC เพราะ ยาวเทากน และมทศเดยวกน

AB ≠ AD เพราะ ขนาดตางกน

AB ≠ CD ถงจะยาวเทากน และทศไมเหมอนกน (AB กบ CD มทศตรงขามกน)

ขนาดของเวกเตอร �� จะแทนดวยสญลกษณ |��| หมายถงความยาวของ ��

เชน |AB | = 4 |BC | = 3

|AC | = 5 (ใชดานชดพทากอรส 3 , 4 , 5) |AA | = 0

หมายเหต: เวกเตอรทมขนาดเปนศนย จะเรยกวา “เวกเตอรศนย” ซงแทนไดดวยสญลกษณ 0

เขยนเปนสญลกษณไดวา |0| = 0 นนเอง

ทศของเวกเตอร จะบอกโดยใชทศตามแผนทกได

หรอจะใชวธบอกเปนองศาแบบ 3 หลก กได วธนจะเรมวดจากทศ 12 นาฬกา (ทศเหนอ) แบบตามเขม

ทศ 090°

45°

ทศ 045° 300°

ทศ 300°

2

A B

C D

A B

C D

4

3

เหนอ

ใต

ตะวนออก ตะวนตก

2 เวกเตอร

เวลาทเราพดวา เวกเตอร 2 เวกเตอร “ขนานกน” เราจะรวมทงกรณ “ทศเดยวกน” กบกรณ “ทศตรงขามกน”

เวกเตอร 3�� จะหมายถงเวกเตอรในทศเดยวกน ทมขนาดเปน 3 เทาของ ��

เวกเตอร 12�� จะหมายถงเวกเตอรในทศเดยวกน ทมขนาดเปนครงหนงของ ��

เวกเตอร −�� จะหมายถงเวกเตอรทขนาดเทากบ �� แตมทศตรงขามกบ ��

หมายเหต : BA = −AB เสมอ

เวกเตอร −2�� จะหมายถงเวกเตอรทขนาดเปน 2 เทาของ �� และมทศตรงขามกบ ��

จะเหนวา �� กบ 𝑎�� จะขนานกนเสมอ (𝑎 จะเปนตวเลขบวกหรอลบอะไรกได) หรอพดอกแบบไดวา �� จะขนานกบ �� กเมอสามารถเขยน �� = 𝑎�� ไดนนเอง

ตวอยาง จากรป จงหาเวกเตอรทงหมดทขนานกบ AB

วธท า ขนานกน จะรวมทงทศเดยวกน และทศตรงขาม

เวกเตอรทมทศเดยวกบ AB ไดแก CD , FE , HG , JI , KL

เวกเตอรทมทศตรงขามกบ AB ไดแก DC , EF , GH , IJ , LK , BA #

เวกเตอรบวกกน คอการน าเวกเตอรมาโยงตอกน โดยจะเอาตวไหนตงกอนกได ไดผลลพธเทากน เชน

เวกเตอรลบกนได ใหกลบทศตวลบ แลวโยงตอกน กลาวคอ �� − �� = �� + (−��)

เชน

��

ทศเดยวกน ��

��

ทศตรงขามกน

�� 3��

��

−��

A B

C D

E F

G H

I J

K L

��

−2��

��

1

2��

�� + =

��

�� + �� =

��

�� + ��

�� − =

��

−�� − ��


บางคนนยมทองวา �� − �� ใหเอา โคนลกศรมาตอกน แลวลากจาก “ตวลบ” ไปหา “ตวตง” เชน

เวกเตอรทขนานกน มาบวกลบกน ใหเอาตวเลขหนาเวกเตอรมาบวกลบกนไดเลย

เชน �� + �� = 2�� 5�� −1

2�� =

9

2�� − �� = 0

ตวอยาง สามเหลยม ABC ม AB = �� และม AC = �� ให CD เปนเสนมธยฐานของสามเหลยม ABC จงหา CD ในรปของ �� และ ��

วธท า วาดรปไดดงรป

มธยฐาน คอ เสนทลากไปแบงครงฐาน ดงนน AD = DB

นนคอ จะไดวา AD = 1

2��

จะได CD = AD − AC = 1

2�� − �� #

เราสามารถน าความรเรองเวกเตอร ไปพสจนกฤษฎทางเรขาคณตได

โดยเราจะสมมตใหดานพนฐานของรปทจะพสจน เปน �� , �� แลวเปลยนเวกเตอรทตองการพสจนใหอยในรป �� , ��

จากนน จงใชความรเรองเวกเตอร มาสรปเกยวกบดานทตองการพสจนนนๆ

ตวอยาง จากรป จงพสจนวา DE ขนาน และยาวเปนครงหนงของ AB

วธท า ก าหนดให CD = �� และ CE = �� ถดมา เราจะเปลยนดานทตองการพสจน ใหอยในรป �� และ ��

DE = DC + CE = −�� + ��

CA = 2�� , CB = 2��

AB = AC + CB = −2�� + 2��

จะเหนวา AB กบ DE คลายๆกน นนคอ AB = −2�� + 2�� = 2(−�� + ��) = 2DE เนองจาก AB = 2DE ดงนน DE ขนาน และยาวเปนครงหนงของ AB #

ตวอยาง จงพสจนวาเสนทแยงมมของสเหลยมดานขนานแบงครงซงกนและกน วธท า วาดรปสเหลยมดานขนาน และก าหนดความยาว ดงรป

เราจะพสจนวา 𝑤 = 𝑥 และ 𝑦 = 𝑧 ก าหนดให AD = �� และ AB = ��

จะได BC = �� ดวย และ DC = �� ดวย

�� − =

��

�� − ��

A B

C

D

��

��

A B

C

D E

𝑧 A B

C D

E 𝑤

𝑥 𝑦


ดงนน AC = AB + BC = �� + �� และ BD = BA + AD = −�� + ��

และจะได AE = (𝑤

𝑤+𝑥)AC = (

𝑤

𝑤+𝑥) (�� + ��)

BE = (𝑧

𝑦+𝑧)BD = (

𝑧

𝑦+𝑧) (−�� + ��)

และเนองจาก AE + EB = AB

ดงนน ( 𝑤

𝑤+𝑥) (�� + ��) − (

𝑧

𝑦+𝑧) (−�� + ��) = ��

เพอความสะดวกในการแกสมการ จะเปลยนตวแปรโดยให 𝑤

𝑤+𝑥 = 𝑎 และ 𝑧

𝑦+𝑧 = 𝑏 จะได

แต �� กบ �� ไมขนานกน ดงนน (𝑎 − 𝑏)�� กบ (1 − 𝑎 − 𝑏)�� จะไมมทางเทากนได

ยกเวนเพยงกรณเดยว คอ 𝑎 − 𝑏 = 0 และ 1 − 𝑎 − 𝑏 = 0

เปลยน 𝑎 กบ 𝑏 กลบเปน 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 จะได และ

จะไดวา 𝑤 = 𝑥 และ 𝑧 = 𝑦 นนคอ เสนทแยงมมทงสอง แบงครงซงกนและกนนนเอง #

แบบฝกหด

1. จากรป ก าหนดให AB = �� และ AC = �� จงเขยนเวกเตอรตอไปน ในรปของ �� และ ��

1. AF 2. AD

3. DC 4. CA

5. BF 6. BC

𝑎(�� + ��) − 𝑏(−�� + ��) = �� 𝑎�� + 𝑎�� + 𝑏�� − 𝑏�� = �� 𝑎�� − 𝑏�� = �� − 𝑎�� − 𝑏�� (𝑎 − 𝑏)�� = (1 − 𝑎 − 𝑏)��

𝑎 − 𝑏 = 0 (1) 1 − 𝑎 − 𝑏 = 0 (2) (1) + (2): 1 − 2𝑏 = 0

𝑏 =1

2

𝑏 =1

2 → (2): 1 − 𝑎 −

1

2 = 0

𝑎 =1

2

𝑤

𝑤+𝑥 =

1

2

2𝑤 = 𝑤 + 𝑥 𝑤 = 𝑥

𝑧

𝑦+𝑧 =

1

2

2𝑧 = 𝑦 + 𝑧 𝑧 = 𝑦

A B

C

D E

F

1

3 2

1

2 2


7. BE 8. CE

9. CF 10. FD

11. AE 12. DE

2. จากรป ก าหนดให AB = �� และ AD = �� จงเขยนเวกเตอรตอไปน ในรปของ �� และ ��

1. BC 2. AC

3. DB 4. AF

5. GF 6. HG

7. AH 8. HE

3. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรทไมขนานกน ถา 𝑎(�� + ��) − �� = 𝑏(�� − ��) แลว จงหาคาของ 𝑎 − 𝑏

H E

A B

C D F

G

1 3

2 2

1

1

2


4. ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม D เปนจดบนดาน AC และ F เปนจดบนดาน BC ถา AD =1

4AC ,

BF =1

3BC และ DF = 𝑎AB + 𝑏BC แลว 𝑎

𝑏 มคาเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-12]

5. ก าหนดให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน M เปนจดบนดาน AD ซง AM =1

5AD

และ N เปนจดบนเสนทแยงมม AC ซง AN =1

6AC ถา MN = 𝑎AB + bAD แลว 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด

[PAT 1 (ม.ค. 52)/24]


6. ก าหนดจด A(3, 0) , B(3 + √3 , 1) และ C(𝑎, 𝑏) โดยท C อยในจตภาคท 4

AB กบ AC ท ามมกน 60° และ |AC | = 2√3 |AB | จงหาคาของ 𝑎2 + 𝑏2 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/33]

7. จากรป 𝑎 + �� + 𝑐 = 0

ขอใดตอไปนถก [PAT 1 (ธ.ค. 54)/12]

1. |𝑎 | cosec35° = |𝑐 | (1 +cot20°

cot35°) 2. |𝑎 | cosec20° = |𝑐 | (1 +

cot35°

cot20°)

3. |𝑎 | cosec35° = |𝑐 | (1 +tan20°

tan35°) 4. |𝑎 | cosec20° = |𝑐 | (1 +

tan35°

tan20°)

X

Y

110° 125°

𝑎

��

𝑐


เวกเตอรในระบบพกดฉาก

ทผานมา เราจะแทนเวกเตอรดวย “รปลกศร” ซงไมสะดวกในการน าไปค านวณ เราจะมอกวธในการเขยนเวกเตอร โดยใช “ระยะทางแกน X” กบ “ระยะทางแกน Y” เชน �� มระยะทางแกน X เทากบ 1 และมระยะทางแกน Y เทากบ 2

เราจะเขยนแทน �� ในรปสญลกษณไดเปน [12]

เวลาวดระยะทางแกน X หรอ แกน Y ใหวดจากจดเรมตน ไปหาจดสนสด

การวดระยะทางแกน X ถาวดไปทางขวาเปนจะเปนบวก วดไปทางซายจะเปนลบ

การวดระยะทางแกน Y ถาวดขนเปนจะเปนบวก วดลงจะเปนลบ

โจทยนยมน าเวกเตอรไปวางในระบบแกน XY และบอกพกดจดตงตน (𝑥1, 𝑦1) กบจดสนสด (𝑥2, 𝑦2) มาให

ในกรณน เราจะใชสตร

เชน เวกเตอรจาก (1, 3) ไปยง (4, 9) คอ [4 − 19 − 3

] = [36]

เวกเตอรจาก (1, −2) ไปยง (−1, 0) คอ [ −1 − 10 − (−2)]

= [−22

] เปนตน

เวกเตอรทเราพบมาจนถงขณะน จะเปนเวกเตอรแบบ “สองมต” กลาวคอ เปนเวกเตอรทสามารถบอกดวยระยะทางแกน X กบ ระยะทางแกน Y ได

เพราะเวกเตอรแบบสองมต จะมแคความกวางกบความยาว

ในกรณทเวกเตอร ม “ความลก” (หรอบางท เรยกวา “ความสง”) ดวย จะถอเปนเวกเตอรแบบ “สามมต” เชน เวกเตอรทลากจากมมฝงในกลองดานลาง ไปยงมมตรงขามดานบน

เวกเตอรน จะมทง กวาง ยาว และสง

ในกรณน เราจะม “ระยะทางแกน Z” เขามารวมดวย

เชนจากรป จะได �� = [143]

��

1

2

2

−2 ��

�� = [2

−2] �� = [

−21

]

1 −2

�� −1

−2 ��

�� = [−1−2

]

4

3

1

��

X

Y

Z

เรยกแบบเตมยศวา เปนเวกเตอรใน “ปรภมสามมต”

เวกเตอรทชจาก (𝑥1, 𝑦1) ไปยง (𝑥2, 𝑦2) คอ [𝑥2 − 𝑥1

𝑦2 − 𝑦1]

เอาจดปลายตง ลบดวยจดเรม


สตรส าหรบหาเวกเตอรในปรภมสามมตจะคลายกบสตรของสองมต คอ เอาจดปลายตงลบดวยจดเรม

เชน เวกเตอรจาก (0, 2, 5) ไปยง (5, 4, 2) คอ [5 − 04 − 22 − 5

] = [52

−3]

เวกเตอรจาก (1, −2, 0) ไปยง (0, 2, −3) คอ [0 − 1

2 − (−2)−3 − 0

] = [−14

−3]

เวกเตอรศนย

เวกเตอรศนย แทนไดดวยสญลกษณ 0 คอ เวกเตอรทมขนาดเปนศนย

ในระบบพกดฉาก เวกเตอรศนย จะเขยนแทนไดเปน [00] (หรอ [

000] ในพกดฉากแบบ 3 มต)

การเทากน

เวกเตอรสองเวกเตอร จะเทากน เมอ ขนาดเทากน และ ชไปทางทศเดยวกน ในระบบพกดฉาก เวกเตอรสองเวกเตอร จะเทากน เมอ ระยะของแตละแกน เทากนหมดทกแกน

กลาวคอ [𝑥1

𝑦1] = [

𝑥2

𝑦2] กตอเมอ 𝑥1 = 𝑥2 และ 𝑦1 = 𝑦2

[

𝑥1

𝑦1

z1

] = [

𝑥2

𝑦2

z2

] กตอเมอ 𝑥1 = 𝑥2 และ 𝑦1 = 𝑦2 และ 𝑧1 = 𝑧2

เชน ถา [2𝑥] = [

𝑦 + 13

] เราจะสามารถสรปไดวา 2 = 𝑦 + 1 และ 𝑥 = 3

ถา [𝑎

𝑎 + 𝑏−3

] = [2𝑐

𝑎 + 𝑐] เราจะสามารถสรปไดวา 𝑎 = 2 , 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 , −3 = 𝑎 + 𝑐 เปนตน

ขนาดของเวกเตอร ในระบบพกดฉาก เราหาขนาดของเวกเตอรไดจากสตรพทากอรส

เชน ขนาดของ [34] คอ √32 + 42 = 5

ขนาดของ [−512

] คอ √(−5)2 + 122 = 13

ขนาดของ [1

−12

] คอ √12 + (−1)2 + 22 = √6

3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41

เวกเตอรทชจาก (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ไปยง (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) คอ [𝑥2 − 𝑥1

𝑦2 − 𝑦1

𝑧2 − 𝑧1

]

ขนาดของ [𝑎𝑏] จะเทากบ √𝑎2 + 𝑏2

ขนาดของ [𝑎𝑏𝑐] จะเทากบ √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2


คณเวกเตอรดวยตวเลข 𝑎�� คอเวกเตอรในทศเดม ทยาวเปน 𝑎 เทาของ �� (ถา 𝑎 เปนลบ จะเปลยนเปนทศตรงขาม) ในระบบพกดฉาก ใหกระจายตวเลขทมาคณ เขาไปคณระยะแตละแกนไดเลย (ไมวา 𝑎 เปนบวกหรอลบกท าเหมอนกน)

เชน 2 × [−13

] = [−26

] [2

−1] × (−3) = [

−63

]

(−2) × [−1−2−3

] = [246]

การขนานกน

�� กบ �� จะขนานกน เมอสามารถเขยน �� = 𝑘�� ได เมอ 𝑘 เปนตวเลขซกตว

โดย ถา 𝑘 > 0 → ขนานแบบ “ทศเดยวกน” ถา 𝑘 < 0 → ขนานแบบ “ทศตรงขาม”

เชน [23] กบ [4

6] ขนานแบบทศเดยวกน เพราะ 2 × [

23] = [4

6] และ 2 เปนบวก

[−2−4

] กบ [12] ขนานแบบทศตรงขาม เพราะ [−2

−4] = −2 × [

12] และ −2 เปนลบ

[−12

−3] กบ [

3−69

] ขนานแบบทศตรงขาม เพราะ −3 × [−12

−3] = [

3−69

] และ −3 เปนลบ

[−11

−2] กบ [

2−2−4

] ไมขนานกน เพราะหาตวมาคณไหเทากนไมได (X กบ Y ตองคณ −2 แต Z คณ −2 จะไมเทา)

[−110

] กบ [2

−20

] ขนานแบบทศตรงขาม เพราะ −2 × [−110

] = [2

−20

] และ −2 เปนลบ

[03] กบ [0

5] ขนานแบบทศเดยวกน เพราะ 5

3× [

03] = [

05] และ 5

3 เปนบวก

[03] กบ [1

6] ไมขนานกน เพราะหาตวมาคณใหเทากนไมได (แกน X จะไมมอะไรมาคณแลวเทาได)

การบวกลบเวกเตอร เวกเตอรในระบบพกดฉาก สามารถน ามาบวกลบกนได โดยใหเอาระยะแตละแกนมาบวกลบกนไดเลย

เชน [12] + [

53] = [

65] [

12] − [

53] = [

−4−1

]

[1

−22

] + [0

−1−3

] = [1

−3−1

] [−102

] − [−52

−3] = [

4−25

]

หมายเหต: เราไมสามารถเอาเวกเตอรบวกกบตวเลขได เชน [12] + 3 จะถอวาไมมความหมายทางคณตศาสตร

แตเวกเตอรคณกบตวเลขได เชน [12] × 3 = [

36]

และเวกเตอร คณกบเวกเตอรกได (จะไดเรยนในหวขอหนา)


ตวอยาง ใหจด A(0, −1, 1) , B(1, 1, 1) และ C(3, 5, −1) เปนจดในปรภมสามมต จงหา 3BA − 2AC วธท า หาเวกเตอร BA และ CA ในระบบพกดฉากกอน โดยใชสตร จดปลายลบจดตน

จะได BA = [0 − 1

−1 − 11 − 1

] = [−1−20

] และ AC = [3 − 0

5 − (−1)−1 − 1

] = [36

−2]

ดงนน 3BA − 2AC = 3 [−1−20

] − 2 [36

−2] = [

−3−60

] − [612−4

] = [−9−184

] #

ตวอยาง ให �� = [1

−2] และ �� = [

−36

] ขอใดตอไปนผด

1) 4�� + �� = �� 2) �� + �� ขนานกบ �� − �� 3) |��| + |��| < |�� + ��| 4) ไมมขอผด

วธท า 1) 4�� + �� = 4 × [1

−2] + [

−36

] = [4

−8] + [

−36

] = [1

−2] = �� จรง

2) �� + �� = [−24

] และ �� − �� = [4

−8]

จะเหนวาเอา −2 คณแลวเทา ดงนน �� + �� ขนานกบ �� − �� จรง 3) |��| = √12 + (−2)2 = √5 และ |��| = √(−3)2 + (6)2 = √45 = 3√5

ดงนน |��| + |��| = √5 + 3√5 = 4√5

และจากขอ 2) �� + �� = [−24

] ดงนน |�� + ��| = √(−2)2 + (4)2 = √20 = 2√5

จะเหนวา 4√5 > 2√5 ดงนน ขอ 3 ผด #


1. จงหาเวกเตอรทลากระหวางจดตอไปน

1. จาก (1, 3) ไปยง (3, 9) 2. จาก (1, −1) ไปยง (−1, 1)

3. จาก (2, −1, 0) ไปยง (0, −2, 3) 4. จาก (0, 3, 0) ไปยง (−1, 3, 1)

2. จงหาคา 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 ทท าใหขอความตอไปนเปนจรง

1. [𝑎 + 3

𝑎] = [

2𝑏−1

] 2. [2

𝑎 + 𝑏𝑐 − 3

] = [𝑐 + 𝑎−1

𝑎 + 𝑏]


3. [𝑎3] ขนานกบ [

6−9

] 4. [𝑎−12

] มทศตรงขามกบ [−44𝑎𝑎𝑏

]

3. จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปน

1. [−34

] 2. [3

−40

]

3. 2∙[3

−4] − [

14] 4. 3∙[

22

−3] + 2∙[

−4−35

]

4. ก าหนดใหจด A , B และ C(3, 1) เปนจดบนเสนตรงเดยวกน ถา AB = 3

5 AC และ BC = [

2−4

] แลว จงหาพกดของ A


เวกเตอรหนงหนวย

เวกเตอรหนงหนวย คอ เวกเตอรทมความยาวเทากบ 1

สตรส าหรบหาเวกเตอรหนงหนวย มดงน

หมายเหต : ถาอยากไดเวกเตอรในทศตรงขามกบ �� กไดคณ −1 เขาไป

ตวอยาง จงหาเวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกบ [34]

วธท า จากดานชดพทากอรส 3, 4, 5 จะไดความยาวของ [34] คอ 5

ดงนน เวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกบ [34] คอ 1

5∙ [

34] #

ตวอยาง จงหาเวกเตอรในทศเดยวกนกบ [ 1−1

] ทมความยาวเทากบ 3 หนวย

วธท า ความยาวของ [ 1−1

] คอ √12 + (−1)2 = √2

ดงนน เวกเตอรในทศเดยวกนกบ [ 1−1

] ทยาว 3 หนวย คอ 3√2

∙ [1

−1]

ท าใหสวนไมตดรท โดยคณ √2

√2 ไดเปน 3

√2∙√2

√2∙ [

1−1

] = 3√2

2∙ [

1−1

] #

ตวอยาง จงหาเวกเตอรหนงหนวยในทศตรงขามกบ [−12

] วธท า หาเวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกนกอน แลวคอยเอามาท าใหเปนทศตรงขาม โดยการคณ −1

ความยาวของ [−12

] คอ √(−1)2 + 22 = √5

ดงนน เวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกน คอ 1√5

∙ [−12

] = 1

√5∙√5

√5∙ [

−12

] = √5

5∙ [

−12

]

ดงนน เวกเตอรหนงหนวยในทศตรงขาม คอ คอ − √5

5∙ [

−12

] #

มเวกเตอรหนงหนวยพเศษ ทเราตองรจกและใชใหคลอง 3 ตว คอ 𝑖, 𝑗 และ ��

𝑖 คอเวกเตอรหนงหนวยทชไปทางแกน X ฝงทเปนบวก

ในระบบพกดฉากสองมต 𝑖 สามารถเขยนไดเปน [10]

ในระบบพกดฉากสามมต 𝑖 สามารถเขยนไดเปน [100]

Z

Y 𝑖

X

𝑖

Y

X

เวกเตอรหนงหนวยในทศเดยวกบ �� หาไดจาก 1

|��|∙ ��

เวกเตอรในทศเดยวกบ �� ทมความยาวเทากบ 𝑘 หาไดจาก 𝑘|��|

∙ ��


𝑗 คอเวกเตอรหนงหนวยทชไปทางแกน Y ฝงทเปนบวก

ในระบบพกดฉากสองมต 𝑗 สามารถเขยนไดเปน [01]

ในระบบพกดฉากสามมต 𝑗 สามารถเขยนไดเปน [010]

�� คอเวกเตอรหนงหนวยทชไปทางแกน Z ฝงทเปนบวก

ในระบบพกดฉากสองมต จะไมสามารถม �� อยได

ในระบบพกดฉากสามมต �� สามารถเขยนไดเปน [001]

เวกเตอรใดๆกตาม จะสามารถเขยนใหอยในรปของผลบวกของ 𝑖 , 𝑗 และ �� ไดเสมอ

เชน [21] คอเวกเตอรทมระยะทางแกน X คอ 2 และ ระยะทางแกน Y คอ 1

ดงนน [21] = 2𝑖 + 𝑗

ซงสรปเปนสตรไดวา

ตวอยาง ให �� = [1

−10

] , �� = 2𝑗 − �� จงหาเวกเตอรทยาวเทากบ �� และมทศตรงขามกบ �� − ��

วธท า เพอความสะดวก จะเปลยน [1

−10

] ใหอยในรป 𝑖 , 𝑗 , �� ไดเปน (1)𝑖 + (−1)𝑗 + (0)�� = 𝑖 − 𝑗

ดงนน �� − �� = (𝑖 − 𝑗) − (2𝑗 − ��)

= 𝑖 − 𝑗 − 2𝑗 + �� = 𝑖 − 3𝑗 + ��

เนองจาก |�� − ��| = √12 + (−3)2 + 12 = √11

ดงนน เวกเตอรหนงหนวยในทศของ �� − �� คอ 1

√11(𝑖 − 3𝑗 + ��)

เนองจาก |��| = √22 + (−1)2 = √5

ดงนน เวกเตอรทยาวเทากบ |��| ในทศของ �� − �� คอ √5

√11(𝑖 − 3𝑗 + ��)

ดงนน เวกเตอรทยาวเทากบ |��| ในทศตรงขามกบ �� − �� คอ − √5

√11(𝑖 − 3𝑗 + ��)

ท าสวนใหไมตดรท ไดเปน − √5

√11∙√11

√11∙ (𝑖 − 3𝑗 + ��) = −

√55

11(𝑖 − 3𝑗 + ��) #

𝑗

Y

X

𝑗

Z

Y

X

��

Z

Y

X

[21]

2𝑖

𝑗

[𝑎𝑏] สามารถเขยนในรป 𝑖 , 𝑗 ไดเปน 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗

[𝑎𝑏𝑐] สามารถเขยนในรป 𝑖 , 𝑗 และ �� ไดเปน 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐��



1. จงเขยนเวกเตอรในรปของ 𝑖 , 𝑗 , �� ทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน 1. จาก (0, −1) ไปยง (5, 0) 2. จาก (−1, 3, 1) ไปยง (0, 0, 0)

3. จาก (0, 1, −1) ไปยง (−2, 1, 1) 4. จาก (√2, −1

2) ไปยง (0,

3

2)

5. เวกเตอรหนงหนวย ในทศเดยวกบ [−43

] 6. เวกเตอรหนงหนวย ในทศตรงขามกบ [11]

7. เวกเตอรทยาว 2 หนวย ในทศเดยวกบ [1

−12

] 8. เวกเตอรทยาว √5 หนวย และขนานกบ [12]

2. ก าหนดให �� = 𝑖 − 2𝑗 และ �� = 2𝑖 + 𝑗 ถา AB = 3�� − 2�� และ พกดของจด A คอ (−1, 0) จงหาพกดของ B


3. ก าหนดให A, B, C เปนจดยอดของสามเหลยม P เปนจดกงกลางของ AC Q อยบน AB ท าให AQ : QB = 1 : 2

ถา AB = 6𝑖 − 3𝑗 และ BC = 2𝑖 + 3𝑗 จงหา PQ [PAT 1 (ธ.ค. 54)/13]

4. ก าหนดให �� = 3𝑖 + 4𝑗 ถา �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 โดยท �� มทศเดยวกนกบ �� และ |��| =10 แลว 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด

[A-NET 49/2-4]

5. ก าหนดให A(𝑎, 𝑏) , B(4, −6) และ C(1, −4) เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC ถา P เปนจดบนดาน AB

ซงอยหางจากจด A เทากบ 35 ของระยะระหวาง A และ B และเวกเตอร CP = 𝑖 + 2𝑗 แลว 𝑎 + 𝑏 เทากบเทาใด

[PAT 1 (ม.ค. 54)/36]


ผลคณเชงสเกลาร ในหวขอน จะพดถงการคณเวกเตอร กบเวกเตอร ซงสามารถท าได 2 แบบ

แบบแรกเรยกวา “ผลคณเชงสเกลาร” หรอ เรยกสนๆวา “ดอท” แบบทสองเรยกวา “ผลคณเชงเวกเตอร” หรอ เรยกสนๆวา “ครอส”

การดอท จะไดผลลพธเปนตวเลข สวนการครอส จะไดผลลพธเปนเวกเตอร ในหวขอน จะพดถง การดอท กอน

ผลคณเชงสเกลารของ �� กบ �� เขยนแทนดวยสญลกษณ �� ∙ �� อานวา “ยดอทว” ซงจะหาไดจากสตร

เชน [23] ∙ [

45] = (2)(4) + (3)(5) = 23 [

−10

] ∙ [3

−2] = (−1)(3) + (0)(−2) = −3

[1

−2−1

] ∙ [312] = (1)(3) + (−2)(1) + (−1)(2) = −1

[−235

] ∙ [000] = (−2)(0) + (3)(0) + (5)(0) = 0

(𝑖 + 2𝑗) ∙ (−𝑖 − 𝑗) = (1)(−1) + (2)(−1) = −3 (2𝑖 − 𝑗 − 𝑘) ∙ (𝑖 + 𝑗 + 𝑘) = (2)(1) + (−1)(1) + (−1)(1) = 0

การดอท มสมบตการสลบท �� ∙ �� = �� ∙ �� และยงสามารถกระจายในการบวกลบเวกเตอรได �� ∙ (�� ± ��) = (�� ∙ ��) ± (�� ∙ ��) สงทตองระวงกคอ ดอท จะใชกบเวกเตอร 2 เวกเตอร และไดผลลพธเปนตวเลข

ดงนน เราไมสามารถน าเวกเตอร 3 เวกเตอรมาดอทกนได

(เพราะพอดอทสองตวแรก จะผลลพธเปนตวเลข ซงเอาไปดอทตอไมได) จะมกแต (�� ∙ ��)�� ซงหมายถง เอาตวเลขทไดจาก �� ∙ �� ไปคณ �� (คณแบบตวเลขคณเวกเตอร)

ในกรณท โจทยให �� กบ �� เปน “รปลกศร” เราจะมสตรทใชหาผลดอทคอ

เมอ 𝜃 เปนมมระหวาง �� และ �� เมอเอาจดตงตนของ �� และ �� มาตอกน จะเหนวา 𝜃 จะไมมทางเกน 180° (เพราะถาเกน กจากวดอกฝงทมมเลกกวา)

��

�� 𝜃

ในระบบพกดฉากสองมต [𝑥1

𝑦1] ∙ [

𝑥2

𝑦2] = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2

ในระบบพกดฉากสามมต [𝑥1

𝑦1

𝑧1

] ∙ [

𝑥2

𝑦2

𝑧2

] = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2

�� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 ��

�� 𝜃


ในกรณท �� กบ �� ตงฉากกน จะได 𝜃 = 90°

ดงนน �� ∙ �� = |��||��| cos 90° = |��||��|(0) = 0

ในกรณท �� กบ �� มทศเดยวกน จะได 𝜃 = 0°

ดงนน �� ∙ �� = |��||��| cos 0° = |��||��|(1) = |��||��|

ในกรณท �� กบ �� มทศตรงขาม จะได 𝜃 = 180°

ดงนน �� ∙ �� = |��||��| cos 180° = |��||��|(−1) = −|��||��|

ในกรณทเอา �� มาดอทกบตวเอง (�� ∙ ��) จะได 𝜃 = 0°

ดงนน �� ∙ �� = |��||��| cos 0° = |��||��|(1) = |��|2

และจากความรในเรองตรโกณมต เราสามารถหา “ระยะเงา” ของ �� บน �� ได |��| cos 𝜃 แตเนองจาก �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 ดงนน ระยะเงา =

�� ∙ ��

|��| ดวย

ตวอยาง สเหลยมดานขนาน ABCD ม AB = 5 , BC = 2 และมม A = 60° จงหา DC ∙ CB วธท า ขอนใหมาเปนรป ซงจะวาดรปไดดงรป

ถามาเปนรปแบบน ตองหาผลดอทดวยสตร �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃

โดยมม 𝜃 ทใชในสตร ตองเปนมมทเกดจากการเอาจดตงตนของ DC กบ CB มาตอกน

จะเหนวา ถาเอาจดตงตนของ DC กบ CB มาตอกน จะไดมมระหวางเวกเตอรคอ 120°

ดงนน DC ∙ CB = |DC ||CB | cos 120° = 5 × 2 × (−1

2) = −5 #

ตวอยาง [1

−2−1

] กบ [22

−2] ตงฉากกนหรอไม

วธท า จากความรเรองการดอท เวกเตอร 2 เวกเตอร จะตงฉากกนเมอ ดอทกนได 0

เนองจาก [1

−2−1

] ∙ [22

−2] = (1)(2) + (−2)(2) + (−1)(−2) = 2 − 4 + 2 = 0

ดงนน เวกเตอรทงสอง ตงฉากกน #

ตวอยาง จงหาขนาดของมม ท −√3𝑖 + 3𝑗 ท ากบ 𝑖 + √3𝑗

วธท า จากสตร �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 ยายขางสตร เพอหามม 𝜃 จะได cos𝜃 =��∙��

|��||��|

ดงนน จะได cos𝜃 = (−√3𝑖+3��)∙(𝑖+√3��)

|−√3𝑖+3��||𝑖+√3��| =

(−√3)(1)+(3)(√3)

√(−√3)2+32 × √12+(√3)

2 =

−√3+3√3

√12×√4 =

2√3

4√3 =

1

2

เลอกมมบวกไมเกน 180° ท cos𝜃 =1

2 จะได 𝜃 = 60° #

120°

��

��

60°

��

��

A B

C D

�� กบ �� ตงฉากกน กตอเมอ �� ∙ �� = 0

�� ∙ �� = |��|2

�� 𝜃

|��| cos 𝜃


ตวอยาง จงหาขนาดของมม ท −√3𝑖 + 3𝑗 ท ากบแกน Y

วธท า เนองจาก 𝑗 เปนเวกเตอรทชไปทางแกน Y

ดงนน ถาจะหามมท −√3𝑖 + 3𝑗 ท ากบแกน Y กใหหามมท −√3𝑖 + 3𝑗 ท ากบ 𝑗

จากสตร �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 จะได cos𝜃 =��∙��

|��||��|

จะได cos 𝜃 = (−√3𝑖+3��)∙(��)

|−√3𝑖+3��||��| =

(−√3)(0)+(3)(1)

√(−√3)2+32 × 1

= 3

√12 =

3

2√3×

√3

√3 =

3√3

2×3 =

√3

2

เลอกมมบวกไมเกน 180° ท cos𝜃 = √3

2 จะได 𝜃 = 30° #

สตรสดทายทตองทองในหวขอการดอท คอ “กฎของโคไซน” ในแบบของเวกเตอร เนองจาก �� + �� และ �� − �� สามารถประกอบกบ �� และ �� เปนรปสามเหลยมได

ถาเราใชกฎของโคไซน กบสามเหลยมเหลาน รวมกบสตร �� ∙ �� = |��||��| cos 𝜃 จะไดกฎของโคไซน ในรปการดอทไดเปน

และถาน าสตรทงสองมาบวกลบกน จะไดสตรใหมอก 2 สตร คอ

ตวอยาง ก าหนดให |��| = 3 , |��| = 5 และ |�� − ��| = 4 จงหา �� ∙ �� วธท า ใชสตร

#

ตวอยาง ก าหนดให |��| = 2 , |��| = 5 และ |�� + ��| = 4 จงหา |�� − ��| วธท า ใชสตร

#

��

�� + ��

��

�� − ��

|�� + ��|2 = |��|2 + |��|2 + 2 �� ∙ �� |�� − ��|2 = |��|2 + |��|2 − 2 �� ∙ ��

|�� + ��|2 + |�� − ��|2 = 2|��|2 + 2|��|2 |�� + ��|2 − |�� − ��|2 = 4 �� ∙ ��

|�� − ��|2 = |��|2 + |��|2 − 2 �� ∙ ��

42 = 32 + 52 − 2 �� ∙ ��

2 �� ∙ �� = 9 + 25 − 16

�� ∙ �� = 18

2 = 9

|�� + ��|2 + |�� − ��|2 = 2|��|2 + 2|��|2

42 + |�� − ��|2 = 2 ∙ 22 + 2 ∙ 52

|�� − ��|2 = 8 + 50 − 16 = 42

|�� − ��| = √42


ตวอยาง ก าหนดให |��| = 3 , |��| = 1 และ �� ท ามม 60° กบ �� จงหา |2�� − ��| วธท า จากสตร จะได

#


1. จงหาผลดอทของเวกเตอรตอไปน

1. [−35

] ∙ [23] 2. (2𝑖 − 𝑗 + ��) ∙ (𝑖 − 2𝑗 − 3��)

3. (2𝑖 − 3𝑗) ∙ (2𝑗 + 𝑖) 4. [1

−22

] ∙ (𝑖 − ��)

2. เวกเตอรในขอใด ตงฉากกน

1. [−112

] และ [1

−21

] 2. 𝑖 − 𝑗 และ 𝑖 + 𝑗

3. [√3

√2] และ √3𝑗 − √2𝑖 4. 2𝑖 − 𝑗 + �� และ 𝑖 − 2��

3. จงหาคา 𝑥 ทท าใหเวกเตอรตอไปน ตงฉากกน

1. [𝑥6] และ [−2

3] 2. [

𝑥−2

𝑥 + 5] และ [

𝑥 − 3𝑥 + 1

1]

|2�� − ��|2 = |2��|2 + |��|2 − 2(2�� ∙ ��)

= |2��|2 + |��|2 − 2(2|��||��| cos𝜃)

= 62 + 12 − 2(2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ cos60°)

= 31

|2�� − ��| = √31

เนองจาก |��| = 3

ดงนน |2��| = 6


4. ก าหนดให |��| = 2 , |��| = 3 และ �� ท ามม 60° กบ �� จงหาคาของ 1. |�� + ��| 2. |�� − ��|

3. |�� + 2��| 4. |2�� − 3��|

5. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรใดๆ โดยท |��| = 1 , |��| = 3 และ �� ท ามม 60° กบ ��

คาของ |𝑢+��|

|2𝑢−��| เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 54)/15]

6. ก าหนด �� และ �� เปนเวกเตอร โดยท �� = 𝑖 + √3𝑗 , |��| = 3 และ |�� − ��| = 4

คาของ |�� + ��| เทากบเทาใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/16]

7. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ถาเวกเตอร �� + 2�� ตงฉากกบเวกเตอร 2�� + �� แลว

�� ∙ �� เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 52)/25]


8. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย

ถาเวกเตอร 3�� + �� ตงฉากกบเวกเตอร �� + 3�� แลวเวกเตอร 5�� − �� มขนาดเทากบเทาใด

[PAT 1 (ก.ค. 52)/24]

9. ก าหนดให �� , �� และ �� เปนเวกเตอรในระนาบ ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ต.ค. 53)/15] 1. (�� ∙ ��)2 ≥ (�� ∙ ��)(�� ∙ ��)

2. ถา (�� ∙ ��)2 = (|��||��|)2 แลว �� ตงฉากกบ ��

3. ถา �� + �� + �� = 0 , |��| = 3 , |��| = 4 และ |��| = 7 แลว �� ∙ �� = 12

4. |�� − ��|2 = |��|2 − |��|2

10. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรใดๆ ซงไมใชเวกเตอรศนย ขอใดตอไปนถกตอง [PAT 1 (ม.ค. 55)/14] 1. |�� − ��|2 < |��|2 − |��|2

2. ถา �� ตงฉากกบ �� แลว |�� − ��|2 = |��|2 + |��|2


11. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรใดๆ ทไมเปนเวกเตอรศนย ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ต.ค. 58)/27] 1. ถา �� ขนานกบ �� แลว |�� − ��| = |��| − |��|

2. ถา |�� + ��|2

= |��|2 + |��|2 แลว �� ตงฉากกบ ��

3. ถาเวกเตอร �� + �� ตงฉากกบเวกเตอร �� − �� แลว |��| = |��|

12. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรทไมเทากบเวกเตอรศนยซง �� ตงฉากกบ �� และ �� + �� ตงฉากกบ �� − ��

ขอใดตอไปนเปนจรง [PAT 1 (ต.ค. 52)/1-13] 1. |��| = |��|

2. �� + 2�� ตงฉากกบ 2�� − ��

13. ก าหนดให �� และ �� เปนเวกเตอรซง |�� ∙ ��| ≠ |��||��|

ถา 𝑎(�� − 2��) + 3�� = 𝑏(2�� + ��) แลวคาของ 𝑎 อยในชวงใดตอไปน [PAT 1 (ก.ค. 52)/25]

1. [0,1

2) 2. [

1

2, 1) 3. [1,

3

2) 4. [

3

2, 2)


14. ก าหนดให �� , �� และ �� เปนเวกเตอรในระนาบและ 𝑥 , 𝑦 เปนจ านวนจรง

โดยท �� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 , �� = 4𝑖 − 3𝑗 และ �� = 2𝑖 + 𝑗

ถา |�� − ��|2 = |��|2 + |��|2 และ 5𝑥 + 5𝑦 = 21 แลวคาของ �� ∙ �� เทากบเทาใด

[PAT 1 (ต.ค. 53)/14]

15. ให �� และ �� เปนเวกเตอร ก าหนดโดย

�� = 𝑖 +1

2𝑗 − 3𝑝�� และ �� = −2𝑝𝑖 + 2𝑗 + 𝑝�� เมอ 𝑝 เปนจ านวนจรง

ถา �� ตงฉากกบ �� และ ขนาดของ �� เทากบ 3 แลว คาของ 𝑝 อยในชวงขอใดตอไปน [PAT 1 (ม.ค. 53)/14] 1. (−3, −

3

2 ) 2. (−

3

2 , 0) 3. (0,

3

2 ) 4. (

3

2 , 3)

16. ก าหนดให ��, �� และ 𝑐 เปนเวกเตอรบนระนาบซงก าหนดโดย �� = 𝑥𝑖 +12

5𝑗 , �� = 6𝑖 + 𝑦𝑗 และ 𝑐 = 2𝑖 + 𝑗

เมอ 𝑥 และ 𝑦 เปนจ านวนจรง ถา |�� − 𝑐| = 5 , เวกเตอร �� ตงฉากกบเวกเตอร �� และ �� ∙ 𝑐 > 0

แลวคาของ |5�� + ��|2

เทากบเทาใด [PAT 1 (ม.ค. 56)/45]


17. พจารณาขอความตอไปน ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 56)/15]

1 ใหเวกเตอร �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐�� เมอ 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 เปนจ านวนจรงและใหเวกเตอร �� = 𝑖 + 2𝑗 + ��

และ �� = 𝑖 − 𝑗 + �� ถาเวกเตอร �� ตงฉากกบเวกเตอร �� และเวกเตอร �� แลว 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1

2 ใหเวกเตอร �� = 2𝑖 + 𝑗 และ �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 เปนเวกเตอรในระนาบ ถา |��| = 3

√5 และ �� ∙ �� = 3

แลวเวกเตอร �� ท ามม 60° กบเวกเตอร ��

18. ก าหนดให 𝐴𝐵𝐶 เปนรปสามเหลยม โดยทดาน 𝐴𝐵 ยาว 5 หนวย ดาน 𝐵𝐶 ยาว 12 หนวย และมม 𝐴��𝐶 เทากบ 60° ถาเวกเตอร �� = 𝐴𝐵 เวกเตอร �� = 𝐵𝐶 และเวกเตอร �� = 𝐶𝐴 แลว (2�� − ��) ∙ �� เทากบเทาใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/12]

19. ก าหนดให จด A(−1, 1), B(2, 5) และ C(2, −3) เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC ให L เปนเสนตรงทผานจด A และจด B ลากสวนเสนตรง CD ตงฉากกบเสนตรง L ทจด D แลวเวกเตอร AD เทากบเทาใด

[PAT 1 (ม.ค. 55)/12]


20. ก าหนดให �� = 2𝑖 − 5𝑗 และ �� = 𝑖 + 2𝑗 ให �� เปนเวกเตอร โดยท �� ∙ �� = −11 และ �� ∙ �� = 8

ถา 𝜃 เปนมมแหลมทเวกเตอร �� ท ามมกบเวกเตอร 5𝑖 + 𝑗 แลว tan 𝜃 + sin 2𝜃 เทากบเทาใด

[PAT 1 (ก.ค. 53)/32]

21. ให 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เปนเวกเตอร ซง |𝐴| = 3, |𝐵| = 2 และ |𝐶| = 1

ถา 𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 = 0 แลว 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝐴 มคาเทากบเทาใด [A-NET 51/1-14]

22. ก าหนดให ��, �� และ 𝑐 เปนเวกเตอร ซง �� + �� + 𝑐 = 0 , |�� + ��| = 5 , |�� + 𝑐| = 3 และ |��| = √10

ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (เม.ย. 57)/14]

1. ถาเวกเตอร �� ท ามม 𝜃 กบเวกเตอร �� เมอ 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 แลว tan 𝜃 = 3

2. �� ∙ 𝑐 = −12


23. ให ��, �� และ �� เปนเวกเตอร ก าหนดโดย �� = 𝑖 + 2𝑗 + 3�� , �� = 2𝑖 − 𝑑𝑗 + �� , �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐��

เมอ 𝑎, 𝑏, 𝑐 และ 𝑑 เปนจ านวนจรง ถา �� ∙ �� = 2 , �� ∙ (�� + ��) = 3 , �� + �� = 𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟��

เมอ 𝑞, 𝑟 เปนจ านวนจรง และ �� ขนานกบ − 2

3𝑖 +

1

2𝑗 +

1

3�� แลวคาของ 𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 เทากบเทาใด

[PAT 1 (ม.ค. 53)/33]

24. ก าหนดให ��, �� และ �� เปนเวกเตอรบนระนาบซง �� + �� − �� = 0 , �� ∙ �� = 8 และ �� ∙ �� = −2

ถาเวกเตอร �� ท ามม arcsin 1

√3 กบเวกเตอร �� แลว คาของ |��|2 + |��|2 เทากบเทาใด

[PAT 1 (ต.ค. 55)/15*]


25. ก าหนดให P(−8, 5), Q(−15,−19), R(1,−7) เปนจดบนระนาบ ถา �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 (𝑎, 𝑏 เปนจ านวนจรง) เปนเวกเตอรซงมทศทางขนานกบเสนตรงซงแบงครงมม QPR แลว

𝑎

𝑏 มคาเทากบเทาใด [A-NET 50/1-11]

26. ก าหนดให 𝐴 และ �� เปนเวกเตอรในระนาบ โดยท 𝐴 = 16𝑖 + 𝑎𝑗 และ �� = 8𝑖 + 𝑏𝑗 เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปน จ านวนจรง ถา |𝐴 | = |�� | และเวกเตอร �� ท ามม 60° กบเวกเตอร 𝐴 แลวคาของ (𝑎 + 𝑏)2 เทากบเทาใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/16]


ผลคณเชงเวกเตอร ในหวขอน เราจะเรยนวธคณเวกเตอรอกแบบ เรยกวา “ผลคณเชงเวกเตอร” หรอ เรยกสนๆวา “ครอส” ซงคราวน เวกเตอร ครอส เวกเตอร จะไดผลลพธเปนเวกเตอร โดย การครอส ท าไดกบเวกเตอร “แบบสามมตเทานน”

ผลคณเชงเวกเตอรของ �� กบ �� เขยนแทนดวยสญลกษณ �� × �� อานวา “ยครอสว” สตรการหาคอ

เชน [2

−11

] × [32

−1] = [

(−1)(−1) − (1)(2)(1)(3) − (2)(−1)(2)(2) − (−1)(3)

] = [−157

]

(−𝑖 + 2𝑗 − 3��) × (2𝑖 − 𝑗 + ��) = [−12

−3] × [

2−11

] = [

(2)(1) − (−3)(−1)(−3)(2) − (−1)(1)(−1)(−1) − (2)(2)

] = [−1−5−3

]

= −𝑖 − 5𝑗 − 3��

หมายเหต: จะเหนวาสตรการครอสเวกเตอร จะคลายๆการหา det ในเรองเมทรกซ

บางคนนยมทองวา [𝑥1

𝑦1

𝑧1

] × [

𝑥2

𝑦2

𝑧2

] = det [𝑖 𝑗 ��𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

]

เนองจากการครอส เกยวกบการลบ ดงนน ถาสลบทตวครอส ผลลพธจะเปนลบของเดม กลาวคอ �� × �� = −(�� × ��)

แตยงคงสามารถกระจายครอสในการบวกลบเวกเตอรไดเหมอนดอท กลาวคอ �� × (�� ± ��) = (�� × ��) ± (�� × ��) ในกรณท �� กบ �� ไมไดมาเปนตวเลขในระบบพกดฉาก แตมาเปน “รปลกศร” เราจะมวธหาอกแบบ

�� × �� จะเปน “เวกเตอร” ทมขนาด |�� × ��| = |��||��| sin𝜃 เมอ 𝜃 คอมมท �� ท ากบ ��

และ �� × �� จะมทศพงออกในแนวตงฉากกบระนาบท �� กบ �� วางอย วธหาทศของ �� × �� มดงน 1. ยกแขนทงสอง ตงฉากกบแนวล าตว

2. ใหตวตง (��) เปนแขนขวา

ตวครอส (��) เปนแขนซาย

3. จะได �� × �� จะชไปทางเดยวกบศรษะ

เชน 𝑖 × 𝑗 = �� 𝑗 × 𝑖 = −��

𝑗 × �� = 𝑖 �� × 𝑗 = −𝑖

�� × 𝑖 = 𝑗 𝑖 × �� = −𝑗

𝑗

��

𝑖

[

𝑥1

𝑦1

𝑧1

] × [

𝑥2

𝑦2

𝑧2

] = [

𝑦1𝑧2 − 𝑧1𝑦2

𝑧1𝑥2 − 𝑥1𝑧2

𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2

]

��

�� × ��


ในกรณท �� กบ �� ขนานกน จะได 𝜃 = 0° หรอ 180° ซง sin0° = sin180° = 0 เอาไปคณกบอะไรกได 0

ดงนน ถา �� กบ �� ขนานกน จะได �� × �� = เวกเตอรทมขนาดเปน 0 = [000] = 0

และในกรณทเอา �� มาครอสกบตวมนเอง จะได 𝜃 = 0° ดวย → ดงนนจะได �� × �� = 0 เสมอ

ตวอยาง ให �� = 2𝑖 + 𝑗 + �� และ �� = −𝑖 + 2𝑗 + �� ถาให 𝜃 เปนมมระหวาง �� และ �� จงหา sin 𝜃 วธท า ขอนจะใชสตร ขนาดของ �� × �� เทากบ |��||��| sin𝜃 เพอโยงไปหา sin𝜃

เนองจาก �� × �� = [211] × [

−121

] = [

(1)(1) − (1)(2)(1)(−1) − (2)(1)(2)(2) − (1)(−1)

] = [−1−35

]

แทนในสตร |�� × ��| = |��||��| sin𝜃

√(−1)2 + (−3)2 + 52 = √22 + 12 + 12 ∙ √(−1)2 + 22 + 12 ∙ sin𝜃

√35 = √6 ∙ √6 ∙ sin𝜃

ดงนน sin 𝜃 =√35

√6∙√6=

√35

6 #


1. จงหาผลครอสตอไปน

1. [21

−1] × [

130] 2. [

12

−1] × [

−21

−2]

3. (𝑖 − 𝑗 + ��) × (𝑖 + 𝑗 − ��) 4. (𝑖 + 𝑗 − ��) × (𝑖 + 𝑗 − ��)

2. ก าหนดให A(1, 2, 3) , B(2, 3, 1) และ C(2, 4, 2) ถา 𝜃 เปนมมระหวาง AB กบ AC แลว จงหาคา sin 𝜃


3. ก าหนดเวกเตอร �� = 𝑎𝑖 + 2𝑗 + 𝑏�� เมอ 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนจรง ถา |�� × 𝑗| = 2 แลว |��|2 เทากบเทาใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/26]

4. ให �� = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 2�� และ �� = 2𝑎𝑖 − 3𝑏𝑗 โดยท 𝑎, 𝑏 เปนจ านวนเตมบวก และ 𝜃 เปนมมระหวาง �� และ ��

ถา |��| = 3 และ cos 𝜃 =1

3 แลว �� × �� มคาเทากบเทาใด [A-NET 50/1-10]


พนทและปรมาตร

สเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอร �� และ �� ดงรป

จะมพนท = |�� × ��|

จะเหนวาสตรนตองครอสเวกเตอร ดงนน �� และ �� ตองถกเขยนในระบบสามมต ในกรณท �� และ �� ถกก าหนดมาในระบบสองมต เราสามารถท าใหเปนสามมตได โดยเตม 0 ลงไปเปนคาทางแกน Z

ทรงสเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอร �� , �� และ �� ดงรป

จะมปรมาตร = |�� ∙ (�� × ��)|

โดยจะสลบ �� , �� และ �� ยงไงกได จะไดคาเทากน

หมายเหต : ผล ดอท & ครอส จะไดเทาเดมเสมอ ตราบใดทต าแหนง �� , �� , �� ยงคงเรยงเปนวงกลมแบบเดยวกน

แบบตามเขม �� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��) = (�� × ��) ∙ �� = (�� × ��) ∙ �� = (�� × ��) ∙ ��

แบบทวนเขม

�� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��) = (�� × ��) ∙ �� = (�� × ��) ∙ �� = (�� × ��) ∙ ��

โดย แบบตามเขม = −แบบทวนเขม นนคอ �� ∙ (�� × ��) = −�� ∙ (�� × ��)

ตวอยาง จงหาพนทสเหลยมดานขนาน ABCD ซงมพกด A(2, 3) , B(−1, 2) , C(1, −1)

วธท า จากสตร จะได พนทสเหลยมดานขนาน ABCD = |BA × BC |

BA = [2 − (−1)

3 − 2] = [

31] เตม 0 ใหเปนสามมตไดเปน [

310]

BC = [1 − (−1)(−1) − 2

] = [2

−3] เตม 0 ใหเปนสามมตไดเปน [

2−30

]

จะได BA × BC = [310] × [

2−30

] = [

(1)(0) − (0)(−3)(0)(2) − (3)(0)

(3)(−3) − (1)(2)] = [

00

−11]

ดงนน พนทสเหลยมดานขนาน ABCD = |BA × BC | = √02 + 02 + (−11)2 = 11 #

��

��

��

��

ขนาดของเวกเตอร

คาสมบรณ

ครอสไดเปนเวกเตอร

ดอทไดเปนตวเลข

A(2, 3) B(−1, 2)

C(1, −1)

��

��

��

��


ตวอยาง จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนานทเกดจาก �� = 𝑖 − 𝑗 − �� , �� = 𝑖 + 2�� และ �� = 𝑗 − ��

วธท า ปรมาตร = |�� ∙ (�� × ��)| = |[1

−1−1

] ∙ ([102] × [

01

−1])|

= |[1

−1−1

] ∙ [

(0)(−1) − (2)(1)(2)(0) − (1)(−1)(1)(1) − (0)(0)

]| = |[1

−1−1

] ∙ [−211

]|

= |(1)(−2) + (−1)(1) + (−1)(1)|

= |−4| = 4 #

นอกจากน ปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน ยงสามารถน าไปใชตรวจสอบ “ระนาบ” ของเวกเตอรไดดวย

จะเหนวา ถา �� , �� และ �� อยบนระนาบเดยวกน แลว รปทรงสเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอร �� , �� และ �� จะกลายเปนแผนแบนราบ ซงท าใหปรมาตรของรปทรง = 0

ตวอยาง จงตรวจสอบวา 𝑖 + 𝑗 + �� , 2𝑖 + 𝑗 + 2�� และ 3𝑖 + 4𝑗 + 3�� อยบนระนาบเดยวกนหรอไม

วธท า �� ∙ (�� × ��) = [111] ∙ ([

212] × [

343])

= [111] ∙ [

(1)(3) − (2)(4)(2)(3) − (2)(3)(2)(4) − (1)(3)

]

= [111] ∙ [

−505

] = (1)(−5) + (1)(0) + (1)(5) = 0

ดงนน 𝑖 + 𝑗 + �� , 2𝑖 + 𝑗 + 2�� และ 3𝑖 + 4𝑗 + 3�� อยบนระนาบเดยวกน #


1. จงหาพนทของสเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอรตอไปน

1. [1

−12

] และ [21

−1] 2. 𝑖 + 𝑗 และ 𝑖 − 𝑗

�� , �� และ �� อยบนระนาบเดยวกน กตอเมอ �� ∙ (�� × ��) = 0


2. จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนานทเกดจากเวกเตอรตอไปน

1. [01

−2] , [

1−11

] และ [20

−1] 2. 𝑖 + 𝑗 , 𝑗 + �� และ 𝑖 + ��

3. เวกเตอรในขอใดตอไปน อยบนระนาบเดยวกน

1. [206] , [

−31

−1] และ [

018] 2. 𝑖 − 𝑗 + �� , 𝑖 + 𝑗 − �� และ −𝑖 + 𝑗 + ��

4. ก าหนดให A(1, 0, −2) , B(0, −1, 0) , C(2, 1, −1) จงหาพนทสเหลยมดานขนานทเกดจาก AB และ AC


5. ก าหนดให A(−2, 1, 1) , B(2, 2, −1) , C(1, 1, 0) จงหาพนทสามเหลยม ABC

6. ถารปทรงสเหลยมหนาขนานทเกดจาก [1

−12

] , [2𝑥

−1] และ [

32

−1] มปรมาตรเทากบ 3 แลว จงหาคา 𝑥

7. ก าหนดให �� , �� และ �� เปนเวกเตอรใดๆในสามมต ขอใดตอไปนถกตองบาง [PAT 1 (ม.ค. 57)/13]

1. �� ∙ (�� × ��) = �� ∙ (�� × ��)

2. ถา |��| = |��| , |�� − ��| = |�� + ��| และเวกเตอร �� ตงฉากกบเวกเตอร ��

แลวเวกเตอร �� ตงฉากกบเวกเตอร ��


8. ก าหนดให �� = 𝑖 + 3��

�� = 2𝑗 + 𝑥�� เมอ 𝑥 เปนจ านวนจรง และ �� = −3𝑖 + 𝑗 − ��

ถา ��, �� และ �� อยบนระนาบเดยวกน แลว 𝑥 มคาเทากบเทาใด [A-NET 49/1-13]

9. ก าหนดทรงสเหลยมหนาขนาน มจดยอดอยทจด O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2𝑎, − 𝑏, − 1) และ C(𝑎, 3𝑏, 2) โดยท 𝑎 และ 𝑏 เปนจ านวนเตม ถา OA ตงฉากกบฐานทประกอบดวย 𝑂B และ OC และ 𝜃 เปนมมระหวาง 𝑂B และ OC แลว ขอใดตอไปนถก [A-NET 51/1-15]

1. sin𝜃 =5

3√7

2. |𝑂B | |𝑂C | = √21

3. พนทฐานของทรงสเหลยมหนาขนาน เทากบ 5√3

2 ตารางหนวย

4. ปรมาตรของทรงสเหลยมหนาขนาน เทากบ 75 ลกบาศกหนวย


ปรมาณเวกเตอร

1. 1. 1

2�� 2. 1

4�� 3. 3

4�� 4. −��

5. −1

2�� 6. −�� + �� 7. 1

3(−�� + ��) 8. 2

3(�� − ��)

9. −�� +1

2�� 10. − 1

2�� +

1

4�� 11. 2

3�� +

1

3�� 12. 2

3�� +

1

12��

2. 1. �� 2. �� + �� 3. −�� + �� 4. �� +1

4��

5. �� −1

4�� 6. −

1

2�� +

1

8�� 7. 3

8�� +

1

2�� 8. 5

8��

3. 1 4. 9 5. 2

15 6. 93

7. 4

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

1. 1. [26] 2. [

−22

] 3. [−2−13

] 4. [−101

]

2. 1. 𝑎 = −1 , 𝑏 = 1 2. 𝑎 = 0 , 𝑏 = −1 , 𝑐 = 2 3. 𝑎 = −2

4. 𝑎 = 1 , 𝑏 = −8 3. 1. 5 2. 5 3. 13 4. √5

4. (−2, 11)

เวกเตอรหนงหนวย

1. 1. 5𝑖 + 𝑗 2. 𝑖 − 3𝑗 − �� 3. −2𝑖 + 2�� 4. −√2𝑖 + 2𝑗

5. 1

5(−4𝑖 + 3𝑗) 6. −

√2

2(𝑖 + 𝑗) 7. √6

3(𝑖 − 𝑗 + 2��) 8. ±(𝑖 + 2𝑗)

2. (−2, −8) 3. −2𝑖 − 𝑗 4. 14 5. 3

ผลคณเชงสเกลาร

1. 1. 9

ตงฉากกน แสดงวา ดอทกน ได 0 → จะได [𝑥6] ∙ [

−23

] = 0

2. 1 3. −4 4. −1

2. 2, 3, 4

3. 1. 9 2. 1 , 3

4. 1. √19 2. √7 3. 2√13 4. 6

5. √13

7 6. √10 7. −

4

5 8. 4√2

9. 3 10. 2 11. 2, 3 12. 1, 2

(𝑥)(−2) + (6)(3) = 0 −2𝑥 = −18 𝑥 = 9


13. 2 14. 6 15. 2 16. 200

17. - 18. 124 19. − 7

25(3𝑖 + 4𝑗) 20. 2

21. − 5

2 22. 1, 2 23. 3 24. 22

25. − 2

11 26. 192

ผลคณเชงเวกเตอร

1. 1. [3

−15

] 2. [−345

] 3. 2𝑗 + 2�� 4. 0

2. √11

6 3. 8 4. 6𝑖 + 8𝑗 − 10��

พนทและปรมาตร

1. 1. √35 2. 2

2. 1. 1 2. 2

3. 1 4. 3√2 5. √14

2 6. 2 , 8

7

7. 1, 2 8. 16 9. 4

เครดต

ขอบคณ คณ POaty Destiny

และ คณ Gunta Serikijcharoen

และ คณ Pawarit Karusuporn ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสารครบ

10 dec 2016

Documents