1 · web viewcho khối lăng trụ đứng abc.a1b1c1 có đáy là tam giác vuông tại...
TRANSCRIPT
Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Quảng Nam Trường THPT Lê Quý Đôn
BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
GIÁO VIÊN : TRƯƠNG QUANG THÀNH Tổ : Toán - Tin
Trường THPT Lê Quý Đôn
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê,
nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh,
thậm trí ta có thể dùng tứ ” SỢ” học.Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây là phần có
trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học
sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng phân tích tổng hợp và
tưởng tượng mà một chủ điểm của quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích
khối đa diện. Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích và học
toán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu .Qua thực
tế giảng dạy tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy cô
đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán.
I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC
Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu
a) xác định đường cao
b) tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy
Để xác định đường cao ta lưu ý
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
mặt đáy.
Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là
tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt
phẳng đó và đáy.
Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mp
đó
Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý
Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định.
Sau đây là các bài tập
Bài1
Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một
góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Bài giải
Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy
Khi đó
AB
C
S
DE
AE= AD=
Ta có SAD=600 nên SE=AE.tan600=a
SABC= Do đó VSABC= SE.SABC=
BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên SAB,SBC,SCA
cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp
Bài giải
Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy
Ta có p= =9a Nên SABC= =6a2.
mặt khác SABC=pr r= =
trong SDK có SD=KDtan600 = r.tan600= 2a.
Do đó VSABC= SD.SABC=8a3.
A
B
C
S
D
k
Bài 3
Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 600, đáy là tam giác cân
AB=AC=a và BAC=1200 .Tính thể tích khối chóp đó.
Bài giải
O
A C
B
S
O
Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Có SO chính là đường cao
SABC=1/2.AB.AC.sin1200= và BC=2BD=2.ABsin600=a.
OA=R= =a SO=OA.tan600=a.
Do vậy VSABC= SO.SABC=1/4a3.
Bài 4
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a và mpSAB vuông
góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp
SBMDN.
Bài giải
B
A D
C
S
H
M
N
Hạ SH AB tại H thì SH chính là đường cao
SADM=1/2AD.AM=a2
SCDN=1/2.CD.CN=.a2
Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2.
mặt khác SH= =
do đó VSBMDN= .SH.SBMDN=
Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,CD=a. Góc giữa
hai mpSBC và ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông
góc với mpABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài giải
AB
D C
S
IH
J
Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB.
Ta có SI mpABCD
IC= =a
IB= =a và BC= =a
SABCD=1/2AD(AB+CD)=3a2
SIBA=1/2.IA.AB=a2 và SCDI=1/2.DC.DI=1/2 SIBC=SABCD-SIAB-SDIC=
mặt khác SIBC= .IH.BC nên IH =
SI=IH.tan600= .
Do đó VABCD= SI.SABCD= a3
Bài 6
Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ASB= 600, CSB=900, CSA=1200
CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp.
Bài giải
Gọi E,D lần lượt là AC,BC
AC
B
S
E
D
SAB đều AB=a, SBC Vuông BC=a.
SAC có AE=SA.sin600= AC=a và SE=SAcos600= a.
ABC có AC2=BA2+BC2 =3a2 vậy ABC vuông tại B
Có SABC= .BA.BC=
SBE có BE= AC=
SB2=BE2+SE2=a2 nên BE SE
AC SE
Do đó SE chính là đường cao
VSABC= SE.SABC=
Bài 7
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,AC=a, ACB=600
Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài giải
A B
C
A1 B1
C1
Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a
AB AC và AB A1A
Nên AB mp(ACC1A) do đó AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a.
Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1= =2a
Do vậy VLT=CC1.SABC= 2a . .a.a =a3.
Bài 8
Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A1 cách đều ba
điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ đó.
Bài giải
G
A1 B1
C1
A B
C
HI
Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=
mặt khác A1A= A1B= A1C A1ABC là tứ diện đều
gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao
Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH= và A1AG=600
A1G=AG.tan600=a. vậy VLT=A1G.SABC=
Bài 9
Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền
AB= .Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A= ,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy
bằng 600. hãy tính thể tích trụ.
Bài giải
Tam giác ABC có cạnh huyền AB= và cân nên CA=CB=1;
SABC=1/2.CA.CA=1/2.
. MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G AB tại G.
A1G chính là đường cao
Từ G hạ GH AC tại H
Gt góc A1HG=600
Đặt AH=x(x>0)
Do AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x
HGA1 có A1G=HG.tan600=x.
A1AG có A1A2=AG2+A1G2 3=2x2+3x2 hay x=
Do đó A1G= vậy VLT=A1G.SABC=
A1 B1
C1
A
C
BGH
Bài 10
Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= và AD= . Các mặt bên ABB1A1 và
A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên
bằng 1.
giải
A1
D1 C1
A
D
B
C
FB1
NHM
Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD
Từ H hạ HM AD tại M và HN AB tại N
Theo gt A1MH=600 và A1NH=450
Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= =
tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)
Nên HN=AM mà AM= =
Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450
Suy ra x = hay x= vậy VHH=AB.AD.x= 3.
II ) TÍNH GIÁN TIẾP
Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích
theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác)
Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm A1,B1,C1 khác với
S thì
Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam giác)
S
A
B
C
E H
A1
B1
C1
Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A1 trên mpSBC
AH / / A1E nên SAH và SA1E đồng dạng
Khi đó VSABC= AH.SSBC= AH.SB.SC.sinBSC.
VSA B C = A1E.SSB C = A1E.SB1.SC1.sinBSC.
Do vậy
Nên
Bài 1
Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và BSA=600, ASC=1200, CSB=900. Hãy tính
thể tích chóp
Bài giải
Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng ta thấy
các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần I
Vây ta có lời giải sau
S
C
B
A
C1
B1
Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,
Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,
Ta có (theo bài 6)
Mà =
Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a và A1A tạo
với mpABC một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA.
giải
A1 C1
B1
A
B
CH
K
Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC
Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a.
Mà VLT=A1H.SABC=
nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp
khối chóp CA1B1C1 có = VLT
khối chóp B1ABC có = VLT
Khối chóp A1B1CA do đó = VLT =
Bài 3 :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi E,F lần lượt là trung
điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai
khối đa diện đó
Bài giải
DDF
Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv)
Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép
thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1
Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”
Theo TA-LET Và
V1= -2. =
V2= Vhh-V1= do vậy
III) BÀI TOÁN ÔN TẬP
H
K
A D
B C
B1 C1
D1A1
I
E
F
J
Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách giải một
bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài
tập ở mức độ tổng hợp
Bài 1
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C.
b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy tính thể tích chóp
C.A1B1FE.
Giải
a) Cách 1 tính trực tiếp
gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd=
A C
B
A1
B1
C1
K
H
Tương tự gọi K là trung điểm AB
Cách 2
Nên
b) cách 1 Tính trực tiếp
gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC d và F=BC d
MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE
Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE
Ta có
Mặt khác
Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích )
G
A C
B
A1
B1
C1
K
E
F
C2
Q
Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a ,SA=2a và SA ABCD, Một
mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp
S.AHIK theo a
Bài giải
Cách 1 tính trực tiếp
Ta có
Nên cân tại A mà AI SC nên I là trung điểm SC
AI=SI=
Mà cho nên
Trong tam giác vuông HAI có
Tương tự ta có
A D
B C
S
I K
H
AK=
Cách 2 tính gián tiếp
Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH SB, AK SD
Tương tự
Do đó VSAHIK=
Bài 3
Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x,
đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi
giải
nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y
đặt (x,y)= và d(x,y)=d
Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)
Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ
VLT= d.SCDE=d. CD .CE.sin = d.b.a.sin
mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm
Tứ diện BCDE có VBCDE= .d(B,CDE).SCDE= .VLT
Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau
Do vậy VABCD= .VLT= .d.a.b.sin = hằng số
l
E
F
A
C
D
B
Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau”
H
A G
B
EC
C E
A B
D
DF
Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị
Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c. Trong mpSDB
lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại
N,mpAMN cắt SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất,
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó
Bài giải
G
O
D
B
S
A
C
KM
N
Gọi O Là tâm hcn ABCD
Ta có SG= .SO và K=A G SC và K là trung điểm SC
Tương tự
Do đó
Trong mpSBD B
S
D
O
G
H
M N
Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên
Đặt t= ( ) thì
Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)= với
Ta có
Nên (loại)
f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3
do vậy VSAMKN = là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B
VSAMKN = là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB
III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳngqua C và vuông góc với
mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD
tại E. tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C,AC=a,AB=2a,SA vuông góc với
đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC.
Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 3
Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết
a) MpSBA vuông góc với mpSCA
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC
Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a. Góc giữa đường thẳng BB1và mpABC bằng
600. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên
mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a
Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm O của tam
giác ABC đến mpA1BC bằng .hãy tính thể tích khối trụ đó
Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc giữa A1A và
BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600. hãy tính
thể tích khối trụ
Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,BC=2a. Mặt
bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc . hãy tính
thể tích khối lăng trụ.
Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600, gọi
M là điểm đối xứng với C qua D. N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần.
Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó
Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD sao
cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1,
Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P)
qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà D. Tam giác SAD là tam
giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Hãy tính thể tích khối
chóp.
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh AB=BC=CD=1/2.AD
Tam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh góc vuông là
SB=8a,SD=15a. hãy tính thể tích khối chóp
Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều cạnh a,mpADC vuông góc
mpBCD. Tính VABCD.
Bài 14
Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho BC=4BM,
BD=2BN,AC=3AP. MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên (A1AB),(A1BC),(A1CA) hợp với đáy
(ABC) góc 600,gócACB=600,AB=a ,AC=2a. tính VLT.
Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc các đoạn A1A,BC,CD sao
cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm hai phần. tính thể tích
từng phần.
Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD sao cho
BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện cắt bởi
a) mp qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC
b) mp qua MP và song song với AI
c) mp qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC
Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= , Cạnh BC=x, khoảng cách giữa BC và AD
bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min.
Baì 19 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và tia Cy cùng vuông góc với
mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC. Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy
sao cho mpBDM vuông góc với mpBDN
a) Tính AM.CN theo a.
b) Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min.
Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc
chung. Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên Am,Bn sao cho MN=AM+BN.
a) CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó
b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN. CMR .
....HẾT...
