1 un percorso semplificato lungo gli sviluppi della teoria del rischio rendimento del capitale,...
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UN PERCORSO SEMPLIFICATO LUNGO GLI UN PERCORSO SEMPLIFICATO LUNGO GLI SVILUPPI DELLA TEORIA DEL RISCHIOSVILUPPI DELLA TEORIA DEL RISCHIO
• Rendimento del capitale, rischio e costo del capitale
• La selezione di un singolo titolo
• La selezione di un portafoglio
• La frontiera efficiente
• La selezione del portafoglio “soggettivamente” ottimo
• Il teorema della separazione: il portafoglio “oggettivamente”ottimo
• La scomposizione del rischio: rischio diversificabile e rischio sistematico
• Il C.A.P.M. e l’indice beta
• L’indice beta e la quantificazione del costo del capitale di rischio
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PROGETTO DI INVESTIMENTOPROGETTO DI INVESTIMENTO : - IMPORTO 3.000.000- REDDITIVITA’ 15%
COPERTURA FINANZIARIACOPERTURA FINANZIARIA : - AUMENTO DI CAPITALE
N° AZIONI 1.000.000PAY OUT RATIO 100 % UTILI 2.000.000 (in assenza dell’investimento)UTILI PER AZIONE 2UTILI ATTESI 2.450.000 (2 ml + 0,15 * 3 ml)VALORE DELLE AZIONI 10 (valore di mercato)PREZZO DI EMISSIONE 10
IL PROGETTO E’ CONVENIENTE ?IL PROGETTO E’ CONVENIENTE ?
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LA REALIZZAZIONE DEL PROGETTO FAREBBE LA REALIZZAZIONE DEL PROGETTO FAREBBE DIMINUIRE IL VALORE DI MERCATO DELLE AZIONIDIMINUIRE IL VALORE DI MERCATO DELLE AZIONI
(= (= distruggerebbe valore )distruggerebbe valore )
CAPITALE NECESSARIO 3.000.000
AZIONI DA EMETTERE 300.000
N° TOTALE AZIONI 1.300.000
UTILI ATTESI 2.450.000
UTILI PER AZIONE 1,88
IL REDDITO PRODOTTO DAL NUOVO INVESTIMENTO NON E’ SUFFICIENTE IL REDDITO PRODOTTO DAL NUOVO INVESTIMENTO NON E’ SUFFICIENTE A GARANTIRE ALLE NUOVE 300.000 AZIONI LO STESSO REDDITO CHE A GARANTIRE ALLE NUOVE 300.000 AZIONI LO STESSO REDDITO CHE L’ATTUALEL’ATTUALECAPITALE INVESTITO OFFRE ALLE VECCHIE AZIONICAPITALE INVESTITO OFFRE ALLE VECCHIE AZIONI
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L’ AUMENTO DI CAPITALE SAREBBE L’ AUMENTO DI CAPITALE SAREBBE CONVENIENTE SOLTANTO SE IL NUOVO CONVENIENTE SOLTANTO SE IL NUOVO INVESTIMENTO RENDESSE ALMENO IL 20 %INVESTIMENTO RENDESSE ALMENO IL 20 %
U/P = Ke P = U/Ke
2 /10 = 0,20 1,88 / 10 = 0,18
1,88 / X = 0,20
X = 9,40 1,88 / 9,40 = 0,20
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Perché gli investitori dell’esempio pretendono il 20% ?
Perché è il loro costo di opportunità: il mercato finanziarioquota al 20% gli investimenti finanziari che hanno quel livellodi rischio.
20% è il tasso di equilibrio che remunera il valore finanziario del tempo (ip. rischio zero) ed, in aggiunta, il rischio assunto.
Nel sistema finanziariosistema finanziario si trovano (in condizioni di equilibrio) solo investimenti che pagano tempo e rischio, niente di più, (per effetto della concorrenza che tende ad aggiustare gli squilibri).
Le imprese imprese hanno opportunità di investimento che rendono piùdi quanto spiegato dal rischio, perché non tutti sono in grado di replicare gli investimenti di impresa (vantaggi competitivi).
Non è evidentemente il caso dell’esempio. L’impresa propone un investimento che rende meno del tasso-soglia.
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INDICATORI INDICATORI
DI RISCHIO E DI RENDIMENTODI RISCHIO E DI RENDIMENTO
la Modern Portfolio Theory (MPT)la Modern Portfolio Theory (MPT)
eeil Capital Asset Pricing Model il Capital Asset Pricing Model
(CAPM)(CAPM)
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• La relazione Rischio-RendimentoLa relazione Rischio-Rendimento• La misurazione del rischioLa misurazione del rischio• Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio• Come ottimizzare le scelte di Come ottimizzare le scelte di
portafoglioportafoglio• Il modello di Markowitz: le formuleIl modello di Markowitz: le formule• Il modello a due indiciIl modello a due indici• La costruzione del portafoglio La costruzione del portafoglio
efficiente per N titoliefficiente per N titoli
I CONCETTI - CHIAVE I CONCETTI - CHIAVE DELLA LEZIONEDELLA LEZIONE
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• Ipotesi fondamentale della MPT: gli investitori sono avversi al rischioavversi al rischio.
• la MPT ipotizza pertanto che esista una relazione positiva tra rendimentorelazione positiva tra rendimento atteso di un investimento e rischioe rischio dell’investimento.
• Sono disponibili numerose conferme empiricheconferme empiriche
La Relazione Rischio RendimentoLa Relazione Rischio Rendimento
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9
TITOLO Arendimenti attesi probabilità
r 1 0,14 p 1 0,10r 2 0,13 p 2 0,20r 3 0,12 p 3 0,40r 4 0,11 p 4 0,20r 5 0,10 p 5 0,10
TITOLO Brendimenti attesi probabilità
r 1 0,30 p 1 0,10r 2 0,20 p 2 0,20r 3 0,12 p 3 0,40r 4 0,04 p 4 0,20r 5 - 0,06 p 5 0,10
Rma
Rma = 0,011
= 0,095
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La Relazione Rischio RendimentoLa Relazione Rischio Rendimento
• a parità di rischio scelgo quella con il rendimento più alto – A è preferibile a B
• a parità di rendimento, scelgo quella con il rischio più basso– C è preferibile a B
Come selezionare singole attività
Non sempre la scelta è possibile: come mi comporto se le due attività hanno rischio e rendimento più elevato? Tra A e C, cosa scelgo ?
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
0% 5% 10% 15% 20%Rischio
(Dev.standard dei tassi di rendimento)
Ren
dim
ento
(M
edia
ari
tmet
ica
dei
tas
si a
nn
ui
di
ren
dim
ento
)
A
B C
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11
Titolo CTitolo C 0,140,14 0,1100,110
Titolo DTitolo D 0,100,10 0,0080,008
RmaRma
Titolo ATitolo A 0,120,12 0,0110,011
Non è più possibile scegliere tra A C D senza conoscere Non è più possibile scegliere tra A C D senza conoscere la funzione di preferenza dell’investitore.la funzione di preferenza dell’investitore.
In realtà, il problema è più complesso: nessuno In realtà, il problema è più complesso: nessuno investirebbe in un solo titolo !!investirebbe in un solo titolo !!
Titolo BTitolo B 0,120,12 0,095 0,095 Dominato da ADominato da A
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Cosa conviene fare ?Cosa conviene fare ?
a) il titolo B non lo compra nessuno? a) il titolo B non lo compra nessuno? b) cosa succede se investo in una combinazione AB ?b) cosa succede se investo in una combinazione AB ?
esaminiamo l’ipotesi b) data la seguente situazione:
Titolo A r = 12% sigma = 1,1%
Titolo B r = 12% sigma = 9,5%
combiniamo un portafoglio con : 90% A e 10% Bcombiniamo un portafoglio con : 90% A e 10% B
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• Il rendimentorendimento atteso del portafoglio è pari alla media ponderata dei rendimenti, cioè 12%
• Il rischiorischio dipende dal coefficiente di correlazione esistente tra i rendimenti
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= +1 sigmaport = 1,94% (= media ponderata a e b )
= 0 sigmaport = 1,37%
= -1 sigmaport = 0,0004%0,0004%
sempre a parità di rendimento atteso
La correlazione tra i rendimentiLa correlazione tra i rendimenti
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L'EFFETTO CORRELAZIONE
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
VOLATILITA'
RE
ND
IME
NT
O
coeff. correlazione pari a 1
correlazione pari a 0
coeff. correlazione pari a -1
ATTIVITA' "A"
ATTIVITA' "B"
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Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio
• Il rendimento di portafogliorendimento di portafoglio è sempre uguale alla media ponderata dei rendimenti delle attività inserite
• Il rischio di portafogliorischio di portafoglio è minore o uguale al rischio medio ponderato delle attività inserite
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In una logica di portafoglio, i criteri di selezione cambiano: il portafoglio migliore
non è quello costituito dai titoli singolarmente meno rischiosi o più redditizi.
Bisogna valutare la correlazione tra i
rendimenti dei diversi titoli.
Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio
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• 3 titoli: A, B, C• 3 anni: 1, 2, 3• I titoli hanno il seguente rendimento:
• Qual e’ il titolo migliore?
Titolo Anno 1 Anno 2 Anno 3A 5 10 15B 0 10 20C 30 5 -5
Dal singolo titolo al Dal singolo titolo al portafoglioportafoglio
(un altro esempio)(un altro esempio)
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• Devo calcolare rendimento medio e rischio dei tre titoli:
• Il rischio è intuitivamente rappresentato dall’intervallo tra i possibili rendimenti nei tre anni
» Il titolo A domina il titolo B» Il titolo B domina il titolo C
Titolo Rendimento medio Rendim. min. max.A 10,0 tra 5,0 e 15,0B 10,0 tra 0 e 20,0C 10,0 tra 30,0 e -5,0
Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio
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Qual e’ il portafoglio migliore? (NB. coppie di 2 titoli con il medesimo peso: 50%)
Portafogli Anno 1 Anno 2 Anno 3Rendimento
medioAB 2,5 10,0 17,5 10,0BC 15,0 7,5 7,5 10,0AC 17,5 7,5 5,0 10,0
PortafogliRendimento massimo e
minimoAB 2,5 – 17,5BC 7,5 – 15,0AC 5,0 – 17,5
Rendimento
Rischio
Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio
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• Considerando rischio e rendimento dei tre portafogli:
Titolo Rendimento medio Diff. tra mass. e min.AB 10,0 15,0BC 10,0 7,5AC 10,0 12,5
1) Il portafoglio BC domina tutti gli altri, nonostante il titolo A, il migliore tra i tre, non venga selezionato;
2) L’investitore ha convenienza a selezionare il portafoglio BC rispetto all’acquisto del solo titolo A, nonostante il titolo A domini entrambi gli altri titoli.
Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio
Verifica la correlazione tra BC e confrontala con AB e AC Verifica la correlazione tra BC e confrontala con AB e AC (v. slide 19)(v. slide 19)
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• La combinazione di due azioni i cui rendimenti presentano una correlazione pari a +1 non comporta alcun beneficio a livello di portafoglio: il rischio rimane pari alla media ponderata.
• Per minimizzare il rischio di un investimento è sufficiente detenere due titoli con rendimenti fra loro indipendenti o correlati negativamente
Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio
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La diversificazione di La diversificazione di portafoglioportafoglio
ModalitàModalità• Selezione ed immissione in portafoglio
di titoli caratterizzati da una correlazione reciproca diversa dall’unità
EffettoEffetto• In tal caso, il rischio del un portafoglio è
inferiore alla media dei rischi dei singoli titoli considerati
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Rischio = Rsistematico + Rspecifico
• Rischio sistematicoRischio sistematico (di mercato) Componente di rischio spiegata dalla sensibilità del prezzo del titolo alle oscillazioni di mercato
• Rischio specificoRischio specifico (diversificabile) Componente di rischio spiegata da fattori specifici dell’azienda emittente (investimenti, dividendi, vicende aziendali, tassi di impiego)
La diversificazione di La diversificazione di portafoglioportafoglio
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Rischio di portaf.
Rischio totale
Numerosità titoli
Rischio specifico-eliminabile-
Rischio sistematico – non eliminabile-
0
La diversificazione di La diversificazione di portafoglioportafoglio
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Come ottimizzare le scelte Come ottimizzare le scelte di portafogliodi portafoglio
Presupposti:• conoscenza del grado di avversione al
rischio dell’investitore• selezione dei titoli da immettere nel
portafoglio
Obiettivo Obiettivo Determinare la composizione
ottima del portafoglio titoli
Determinare la composizione
ottima del portafoglio titoli
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Il modello di MarkowitzIl modello di Markowitz
Scopo del modello:
• Definire il portafoglio ottimale in grado di offrire il massimo rendimento atteso per un dato livello di rischio o, viceversa, il minimo rischio per un dato valore di rendimento atteso
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Il modello di MarkowitzIl modello di Markowitz
Gli input del modello
Correlazione lineare titoli
Rischio titoli (²)
Rendimento atteso titoli
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Il modello a due indiciIl modello a due indici
Dato…Dato… un portafoglio P composto dai due titoli A e B con
rendimenti attesi rispettivamente pari a E(RA) e E(RB) e con quote di portafoglio rispettive pari a (X) e (1- X),
Posto...Posto...Xi quota di capitale destinata al titolo i-esimo
(Vincolo di budget i Xi =1 con i=1, 2,...n)
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Il modello a due indiciIl modello a due indici
– Il rendimentorendimento complessivo di portafoglio p:
p= E(Rp) = X ∙ E(RA) + (1-X) ∙ E(RB)
– Il rischiorischio indicato dalla varianza ²p:
²p = X²∙²A+(1-X)²∙²B+2∙X∙(1-X∙A∙B∙AB dove ²A : varianza dei rendimenti del titolo A
²B varianza dei rendimenti del titolo B A: deviazione standard del titolo A B: deviazione standard del titolo B AB: correlazione tra i rendimenti RA e RB.
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• Al variare della quota di portafoglio del titolo A (X) si ottiene una serie di punti P(,) sul piano , (media varianza), che definisce la regione delle opportunità di mercato.
• Il contorno superiore di tale insieme definisce la frontiera efficientefrontiera efficiente
Titolo A
Titolo B
Rischio () R
en
dim
en
to
A
B
0 ²*
*
A
P*
P* : portafoglio con varianza minima.
B
Il modello a due indiciIl modello a due indici
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La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con 3 titoliefficienti con 3 titoli
Ipotesi : tre titoli A, B, C
AB: Frontiera efficiente titoli A e B.
BC: Frontiera efficiente titoli B e C.
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A
B
C
La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con 3 titoliefficienti con 3 titoli
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D
A
B
C
La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con 3 titoliefficienti con 3 titoli
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La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con 3 titoliefficienti con 3 titoli
• Se si considera il portafoglio D del tratto AB, è possibile costruire un’altra frontiera efficiente DC tra i titoli C e D.
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D
A
B
C
La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con 3 titoliefficienti con 3 titoli
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La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con 3 titoliefficienti con 3 titoli
• Gli archi di curva costruiti in base a tutte le possibili ripartizioni tra titoli e portafogli danno vita alla frontiera AC relativa ai tre titoli.
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D
A
B
C
La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con 3 titoliefficienti con 3 titoli
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Iterando il precedente processo di costruzione N volte, si ottiene la frontiera efficiente della regione delle opportunità ad N titoli, i cui punti hanno coordinate (,²) individuate dalle seguenti formule.
E(Rp) = i E(Ri) ∙ Xi
²p= i Xi²∙²(Ri)+i j Xi∙Xj∙(Ri)∙(Rj)∙ i,j
con i,j=1, 2, …..n
La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con N titoliefficienti con N titoli
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Nel caso di più titoli, il procedimento è complesso perché vanno ricalcolate tutte le coppie del coefficiente di correlazione
Rischio ()
Rendim
ento
0
P
La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con N titoliefficienti con N titoli
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Ora si pone un altro problema: quale portafoglio è conveniente scegliere tra quelli efficienti ?
Rischio ()
Rendim
ento
0
P
La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con N titoliefficienti con N titoli
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A questo punto dell’analisi, la scelta può essere soltanto soggettiva: dipende da quanto rischio in più si è disposti ad accettare in cambio di una unità di rendimento in più
Rischio ()
Rendim
ento
0
P
La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con N titoliefficienti con N titoli
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43
E (R)
Le curve soggettive di indifferenza rischio/rendimento
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44
a
b
E (R)
Le curve soggettive di indifferenza rischio/rendimento