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Stati tensionali e deformativi nelle terre
Grandezze:
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← Idrauliche →
Approccio RigorosoMeccanica mezzi discontinui
Solido particellare + Fluido continuo
Forze interparticellariSpostamenti
Pressioni
TensioniDeformazioni
Pressioni
Approccio IngegneristicoMeccanica continuo
Solido & Fluido = continui sovrapposti
MdC1
I vettori t e d sono legati tra loro dal legame costitutivo del mezzo
Tensione e deformazione nel mezzo continuo
0limA
FtAδ
δδ→
=
0lim
l
sdlδ
δδ→
=
Mezzo continuo alla Cauchy
Vettore ( tensore) tensione Vettore ( tensore) deformazione
Se il mezzo è indeformabile (d ≡ 0) il legame costitutivo è di tipo rigido
MdC2
Componenti normali e tangenziali
Componenti NormaliCompressione → Contrazione
Componenti TangenzialiTaglio → Distorsione
0limA
NAδ
δσδ→
=0
limA
TAδ
δτδ→
=
Nδ
wδTδ
uδu
wv
x
z
y
0lim
l
wlδ
δεδ→
=0
liml
ulδ
δγδ→
=
Tensione
Deformazione
• In mecc. delle terre prevalgono i fenomeni di compressione ad essi si attribuisce segno positivo. • Per applicare le stesse convenzioni della Scienza delle Costruzioni occorre orientare
la normale verso l’interno dell’elemento
lδ lδ
MdC3
Componenti cartesiane
Riferimento: sistema cartesiano (x, y, z)(1° pedice → direzione normale, 2° pedice → direzione componente)
N. B.: le componenti sono dipendenti dal sistema di riferimento!
[ ]x xy xz
yx y yz
zx zy z
σ τ τσ τ σ τ
τ τ σ
=
[ ]x xy xz
yx y yz
zx zy z
ε γ γε γ ε γ
γ γ ε
=
Tensori
Equilibrio statico alla traslazione → Equazioni di continuità (Cauchy)
zW
x
zy
(Wx, Wy, Wz = componenti forze di massa lungo x, y, z)
=−∂σ∂
+∂
τ∂+
∂τ∂
=−∂
τ∂+
∂
σ∂+
∂
τ∂
=−∂τ∂
+∂
τ∂+
∂σ∂
0
0
0
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
Wzyx
Wzyx
Wzyx
xzτ xzxz dx
xττ ∂
+ ⋅∂
yzτ
yzyz dy
yτ
τ∂
+ ⋅∂
zσ
zz dz
zσσ ∂
+ ⋅∂
MdC4
Equilibrio statico alla rotazione
⇓reciprocità tensioni tangenziali
τ=ττ=ττ=τ
zyyz
xzzx
xyyx
Definizione
⇓reciprocità deformazioni tangenziali
γ=γγ=γγ=γ
zyyz
xzzx
xyyx
Simmetria dei tensori rispetto alla diagonale
⇓esiste un sistema di riferimento (‘principale’) in cui il tensore è diagonale
Sistema principale delle tensioni⇔ τxy = τyz = τxz = 0
Proprietà di simmetria e reciprocitàMdC5
Rappresentazione sul piano di Mohr
( ),n nmT σ τ
t
τ
Pnmτ
nσ σ
• estremo posteriore del vettore = polo P del cerchioSe si orienta la normale uscente secondo l’asse σ:
Ciò corrisponde a: σ > 0 se di compressione, τ >0 se antioraria.
• punto T rappresentativo di (σn, τnm) = simmetrico di P rispetto all’asse σ
Il cerchio di Mohr descrive la variazione di componenti normali e tangenzialicon la direzione della normale all’elemento di volume in un piano.
( ),m mnS σ τ
mσmnτ
• punto S rappresentativo di (σm, τmn) = simmetrico di T rispetto al centro
MdC6
3σ≡σv
Stati tensionali tipici e cerchi di Mohr
1
2
4
5
Compressione isotropa
Compressione anisotropa
Compressione e taglio
P
vh σ=σ
τ
σ
HP ≡
τ
σ
3σ≡σh
5
Taglio puro
τ
σ
1σ3σ
VP =4
τ
σ
3σ1σ
1σ≡σv
V
HP ≡
1σ≡σhH
P
V
1
2
τ
σ3
3
vσ
V
hσH
MdC7
Componenti principali di tensione e deformazione
Riferimento: sistema principale (1, 2, 3)[pedice 1/2/3 → tensione (deformazione) principale massima/media/minima]
1
2
3
0 00 00 0
σσ
σ
Tensoridiagonali
1
2
3
0 00 00 0
εε
ε
1σ
3
21
2σ
3σ
Valori e coseni direttori (n1, n2, n3) di tensioni principali si ottengono imponendo soluzione non banale al sistema σ{n}=[σ]{n}, il che richiede:
0det =
σ−στττσ−στττσ−σ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
MdC8
L’annullamento del determinante corrisponde alla soluzione dell’equazione di III grado:
(I1, I2, I3 = invarianti* di tensione del 1°, 2°, 3° ordine)
0322
13 =−σ⋅+σ⋅−σ III
321222
3
323121222
2
3211
2 σσσ≡τττ+τσ−τσ−τσ−σσσ=
σσ+σσ+σσ≡τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=
σ+σ+σ≡σ+σ+σ=
xzzyxyyxzxzyyzxzyx
yzxzxyxzzyyx
zyx
I
I
I
Analogamente per le deformazioni:
0322
13 =−ε⋅+ε⋅−ε EEE
(E1, E2, E3 = invarianti* di deformazione del 1°, 2°, 3° ordine)
( )( ) 321
2223
323121222
2
3211
41
41
41
εεε≡γγγ+γε−γε−γε−εεε=
εε+εε+εε≡γ−γ−γ−εε+εε+εε=
ε+ε+ε≡ε+ε+ε=
xzzyxyyxzxzyyzxzyx
yzxzxyxzzyyx
zyx
E
E
E
*invarianti = non dipendono dal sistema x, y, z
Invarianti di tensione e deformazioneMdC9
Componenti ottaedrali e invarianti di tensione
Piano ottaedrale = piano ortogonale alla trisettrice del quadrante 1, 2, 3(coseni direttori n1 =n2 =n3 = √3/3)
Proiettando le σ1, σ2, σ3
(⇔ considerando l’equilibrio del tetraedro):
( ) ( ) ( ) 221
232
231
221
1321
332
31
33
II
I
oct
oct
−=σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ
=σ+σ+σ
=σ
p = tensione media3
321 σ+σ+σ=σ= octp
q = tensione deviatorica ( ) ( ) ( )2322
312
2121
23
σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ= octq
221
1
3
3
IIq
Ip
−=
=⇒ p, q = invarianti di tensione
Con queste due sole componenti tensionali, è possibile descrivere lo stato medio di compressione e di taglio agente sull’elemento
MdC10
Componenti ottaedrali e invarianti di deformazione
Nel riferimento principale per le deformazioni, proiettando ε1, ε2, ε3:
( ) ( ) ( ) 221
232
231
221
1321
33
2232
33
EE
E
oct
oct
−=ε−ε+ε−ε+ε−ε=γ
=ε+ε+ε
=ε
εv = deformazione volumetrica
εs = deformazione distorsionale
221
1
332 EE
E
s
v
−=ε
=ε⇒ εv, εs = invarianti di deformazione
( ) ( ) ( )2322
312
2132
2ε−ε+ε−ε+ε−ε=
γ=ε oct
s
3213 ε+ε+ε=ε=ε octv
Con queste due sole componenti deformative, è possibile descrivere le variazioni di volume e di forma dell’elemento
MdC11
Problema tensio-deformativo piano
Ipotesi tipica: ogni piano verticale (x, z) è di simmetria
⇓• stato di deformazione piano ⇒ εy = γyz = γxy = 0
• in ipotesi di mezzo elastico ⇒ τyz = τxy = 0
•σ = tensione principale σ2 (indipendente da y)
Problemi tipo
prove di taglio muri di sostegno travi di fondazione
MdC12
2231 ε+ε
=εv
Problema tensio deformativo piano
dL = lavoro di deformazione per unità di volume = σ1∙dε1 + σ2∙dε2 + σ3∙dε3
Cerchi di Mohr di stato piano
tensioni deformazioni
dε2 = 0 ⇒ 1 1 3 3 ..... vL s t γδ σ δε σ δε δε δε= ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅
1σ2
31 σ−σ=t
τ
σ3σ
231 σ+σ
=s
2231 ε−ε
=εγ
1ε
2γ
ε3ε
s (= ascissa del centro) = tensione media nel piano
t (= raggio del cerchio) = tensione deviatorica nel piano
MdC13
Problema tensio deformativo assialsimmetrico
Ipotesi: l’asse verticale (z) è di simmetria radiale
⇓• ovunque ε2 = ε3 e σ2 = σ3
• in asse τ = 0 ⇒ direzioni principali = orizzontale e verticale(questo non è verificato in generale altrove)
Problemi tipo
prove di compressione palifondazioni circolari
MdC14
Problema tensio deformativo assialsimmetrico
dL = lavoro di deformazione per unità di volume = σ1∙dε1 + σ2∙dε2 + σ3∙dε3
σ2 = σ3 , dε2 = dε3 ⇒ 1 1 3 32 ..... v sL p qδ σ δε σ δε δε δε= ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅
tensioni deformazioni
1σ
τ
σ23 σ=σ 1ε
2γ
ε23 ε=ε
Cerchi di Mohr di stato assialsimmetrico
MdC15