1 physics of fluids – 2 e college. 2 studiemateriaal voorlopig op
TRANSCRIPT
1
Physics of Fluids – 2e college
2
Physics of Fluids – 2e college
Studiemateriaal voorlopig op http://www.srderoode.nl/teaching.htm
€
∂ρ∂t
+∇⋅ρr v = 0
3
Inhoud & Leerdoelen
Notatie: over kromme en grote D
Steady-state
Stromingsvisualisatie: streamlines, streaklines and pathlines
Euleriaanse versus Lagrangiaanse beschrijving van stromingen
Wet van behoud van massa: de continuïteitsvergelijking
€
∂
4
Notatie: I
• We beschrijven een vloeistofstroming aan de hand van
de druk p
de dichtheid ρ
de snelheidsvector , of
€
ru = u,v,w( )
Maar al deze variabelen zijn een functie van de
tijd t en positie
€
rx = x,y, z( )
x
y
z
€
rV = u1 ,u2 ,u3( )
€
rV = vx ,vy ,vz( )
5
Notatie: II
• Dit betekent dus
de druk p = p(x,y,z,t)
de dichtheid ρ ρ(x,y,z,t)
de snelheidsvector
€
ru = u x,y, z,t( )ˆ i + v x, y, z,t( )ˆ j + w x, y, z,t( ) ˆ k
source: Munson et al
ρg
6
Pascal's law
• Som der krachten in y en z
richting
source: Munson et al
ρg
Forces in the x-direction are not depicted
€
Fy = py∑ δxδz − psδxδssin θ = ρδxδyδz
2ay
€
Fz = pz∑ δxδy − psδxδscosθ - ρgδxδyδz
2 = ρ
δxδyδz2
a z
• Geometrie
€
δy = δscosθ
€
δz = δssin θ
• Substitutie
€
py − ps = ρayδy2
€
pz − ps = ρa z +ρg( )δz2
• Limiet δy en δz 0
€
ps = py = pz
Experiment: Atmosferische druk
8
massabehoud
massa balans
dMin uit
dt
9
Simpele, intuïtieve afleiding van massabehoud
• Mass flow rate: (kg/s)
Q = volume flow rate (m3/s)
A = in/uitstroomoppervlakte (m2)
V = gemiddelde snelheid loodrecht op het in/uitstroomoppervlak (m/s)
source: Munson et al
€
dMdt
= ρQ = ρAV
• Stroming is incompressibel: ρ1=ρ2
dus
10
Intuïtieve afleiding van massabehoud
• Massabehoud: instroom massa = uitstroom massa
oftewel
€
A1V1 = A2V2 ⇔ Q1 = Q2
source: Munson et al
€
ρ1A1V1 = ρ 2A2V2 ⇔ ρ1Q1 = ρ 2Q2
• straal a naald ~ 0.2 mm = 2 x 10-4 m,
naaldoppervlak A2 = a2 = 4 x 10-8 m2
11
Voorbeeld massabehoud: injectiespuit
• Inhoud spuitreservoir Volume ~ 3 ml = 3 x 10-
6 m3
• Tijdsduur t injectie ~ 10 s
Dus Q1 = Volume/t = 3 x 10-7 m3/s
• met behulp van A1V1=Q1= A2V2 volgt V2=Q1/A2 = 2.4 ms-1
€
A1V1 = A2V2 ⇔ Q1 = Q2
• Pas massabehoud toe
12
Streaklines, pathlines en streamlines
• Streakline
- Volg stromingspatroon door kleurstof los te laten op vaste plek
- Alle deeltjes op deze lijn hebben dezelfde oorsprong
• Pathline
- Volg de positie van een aantal vaste deeltjes in de stroming
• Streamline
- Plaats deeltjes in de stroming en maak foto's vlak na elkaar.
- De verandering in de positie geeft informatie over de snelheidsvector
- De raaklijn van een stroomlijn heeft dezelfde richting als de
snelheidsvector
13
Streaklines
•- Volg stromingspatroon door kleurstof los te laten op vaste plek
- Alle deeltjes op deze lijn hebben dezelfde oorsprong
CFD simulation of 2 square obstructions by San Le.
14
Pathlines
- Volg de positie van een aantal vaste deeltjes in de stroming
15
Streamlines
- Plaats deeltjes in de stroming en maak foto's vlak na elkaar.
- De verandering in de positie geeft informatie over de snelheidsvector
- De raaklijn van een stroomlijn heeft dezelfde richting als de snelheidsvector
steady state: snelheid u is constant met de tijd
in dat geval zijn pathlines, streamlines and streaklines identiek
16
Materiële afgeleide
A
Doel: bereken de versnelling van het vloeistofelementje A
Gegeven: de snelheidsvector
Wiskunde: kettingregel voor differentiëren
€
rV A =
r V A
r r A ,t( ) =
r V A xA t( ),yA t( ),zA t( ), t[ ]
€
ra A
17
Materiële afgeleide
€
ra A =
dr V Adt
= ∂
r V A∂t
+ ∂
r V A∂x
dxAdt
+ ∂
r V A∂y
dyAdt
+ ∂
r V A∂z
dzAdt
€
ra A =
dr V Adt
= ∂
r V A∂t
+ u A∂
r V A∂x
+ vA∂
r V A∂y
+ wA∂
r V A∂z
A
18
Materiële afgeleide
Beschouwing geldt voor deeltje A en alle willekeurige andere
vloeistofelementjes
€
ra =
dr V
dt =
∂r
V ∂t
+ u∂
r V
∂x + v
∂r
V ∂y
+ w∂
r V
∂z
A
19
Versnelling in afzonderlijke componenten
€
ax = ∂u∂t
+ u∂u∂x
+ v∂u∂y
+ w∂u∂z
€
ay = ∂v∂t
+ u∂v∂x
+ v∂v∂y
+ w∂v∂z
€
a z = ∂w∂t
+ u∂w∂x
+ v∂w∂y
+ w∂w∂z
€
ra =
Dr V
Dt =
∂r V
∂t + u
∂r
V ∂x
+ v∂
r V
∂y + w
∂r V
∂z
20
Materiële of substantiele afgeleide
€
D( )Dt
≡ ∂( )∂t
+ u∂( )∂x
+ v∂( )∂y
+ w∂( )∂z
€
ra =
Dr V
Dt =
∂r V
∂t + u
∂r
V ∂x
+ v∂
r V
∂y + w
∂r V
∂z
€
D( )Dt
≡ ∂( )∂t
+ r
V • ∇( )
21
Verandering van de temperatuur T(x,y,z,t)
€
DTDt
= ∂T∂t
+ u∂T∂x
+ v∂T∂y
+ w∂T∂z
Andere fysische interpretatie:
DT/Dt is de verandering van T met de tijd als we met de vloeistof
meebewegen
Maar dan is ook
€
DTDt
= ∂T∂t
Vraag: in het algemeen vinden we een bronterm ST ,
Wat betekent dat?
€
DTDt
= ST
22
Beweeg mee met windvector
Stel U = 10 km/uur
€
DTDt
= ∂T∂t
+ u∂T∂x
= 014
16
18
20
22
24
26
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60
afstand tot kust parallel aan windvector (km)
t = 1 uur
Geen verandering in temperatuur waargenomen in ballon
14
16
18
20
22
24
26
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60
afstand tot kust parallel aan windvector (km)
t = 0 s
advectie van koude lucht
23
Waarneming op vast punt (10 km vd kust)
Stel U = 10 km/uur
€
DTDt
= ∂T∂t
+ u∂T∂x
= 014
16
18
20
22
24
26
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60
afstand tot kust parallel aan windvector (km)
t = 1 uur
14
16
18
20
22
24
26
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60
afstand tot kust parallel aan windvector (km)
t = 0 s
€
u∂T∂x
= 10 ×1050
= 2 K/uur = -∂T∂t
advectie van koude lucht
24
Stroming langs een bol
Snelheid langs stroomlijn A-B is gegeven door
€
u x( ) = V0 1+R3
x3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ , v x( ) = w x( ) = 0
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
x/R
25
Stroming langs een bol
Snelheid langs stroomlijn A-B is gegeven door
€
u x( ) = V0 1+R3
x3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ , v x( ) = w x( ) = 0
Dan geldt voor de versnelling:
€
ax x( ) =∂u∂t
+u∂u∂x
= V0 1+R3
x3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟V0 R3 −3x−4
( )[ ] = −3V0
2
R
1+ R /x( )3
x / R( )4
€
ay = a z = 0
26
Stroming langs een bol
Snelheid langs stroomlijn A-B is gegeven door
,
€
u x( ) = V0 1+R3
x3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
ax x( ) = −3V0
2
R
1+ R /x( )3
x / R( )4
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
x/R
Object V0 (m/s)
R(m)
ax,max (m/s2)
weerballon
0.3 1.2 -0.046
voetbal 7 0.25 -120
honkbal 30 0.04 -1.3x104
golfbal 70 0.023 -1.3x105
27
massabehoud
massa balans
dMin uit
dt
vtρ ρ
0
x
yz
u(x) u(x+x)
v(y+y)
v(y)
w(z+z)
w(z)
yx
z
28
massabehoud
massa instroom linkervlak in tijdsinterval t:
ρ(x,y,z) u(x,y,z) tyz
massa uitstroom rechtervlak
ρ(x+x,y,z) u(x+x,y,z) tyz
29
Massabehoud voor stroming door alle vlakken
€
M t +Δt( ) − M t( ) = instroom − uitstroom∑∑= ρ x,y,z( ) ⋅u x,y,z( )ΔtΔyΔz
− ρ x +Δx,y,z( ) ⋅u x+Δx,y,z( )ΔtΔyΔz
+ ρ x,y,z( ) ⋅v x,y,z( )ΔtΔxΔz
− ρ x,y+Δy,z( ) ⋅v x,y+Δy,z( )ΔtΔxΔz
+ ρ x,y,z( ) ⋅w x,y,z( )ΔtΔxΔy
− ρ x,y,z+Δz( ) ⋅w x,y,z+Δz( )ΔtΔxΔy
x-richting
y-richting
z-richting
€
ρ x+Δx,y,z( ) ⋅u x +Δx,y,z( ) = ρ x,y,z( ) ⋅u x,y,z( ) + ∂ρu∂x
Δx + Ο Δx2( )
Taylor expansie
€
ρ t +Δt( ) −ρ t( ) = ∂ρ∂t
Δt + Ο Δt 2( )
30
Massabehoud voor stroming door alle vlakken
€
M t +Δt( ) − M t( ) = ρ t +Δt( ) −ρ t( )[ ]ΔxΔyΔz∂ρ∂t
ΔtΔxΔyΔz = ρ x,y,z( ) ⋅u x,y,z( )ΔtΔyΔz
− ρ x,y,z( ) ⋅u x,y,z( )ΔtΔyΔz −∂ρu∂x
ΔtΔxΔyΔz
+ ρ x,y,z( ) ⋅v x,y,z( )ΔtΔxΔz
− ρ x,y,z( ) ⋅v x,y,z( )ΔtΔxΔz −∂ρv∂y
ΔtΔxΔyΔz
+ ρ x,y,z( ) ⋅w x,y,z( )ΔtΔxΔy
− ρ x,y,z( ) ⋅w x,y,z( )ΔtΔxΔy −∂ρw∂z
ΔtΔxΔyΔz
x-richting
y-richting
z-richting
€
M = ρV
Taylor
31
De continuïteitsvergelijking
€
∂ρ∂t
+∂ρu∂x
+∂ρv∂y
+∂ρw∂z
= 0
€
∂ρ∂t
+∇⋅ρr v = 0
mbv 'del' operator
€
∇= ∂∂x
,∂
∂y,
∂∂z
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
32
De continuïteitsvergelijking voor een incompressibele stroming
€
∇⋅ r
v =∂u∂x
+∂v∂y
+∂w∂z
= 0
incompressibel: dichtheid is constant, ρ(x,y,z,t)=cst
Divergentievrije stroming
33
Samenvatting
Notatie
Steady-state
Stromingsvisualisatie: streamlines, streaklines and pathlines
Euleriaanse versus Lagrangiaanse beschrijving van stromingen
Wet van behoud van massa: de continuïteitsvergelijking
€
∇⋅ r
v =∂u∂x
+∂v∂y
+∂w∂z
= 0
34
Volgende week
Navier-Stokes vergelijking
Bernoulli