1

OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

DERLEYEN:

Doç. Dr. Hüseyin BULGURCU

BAU MMF Makine Müh. Bölümü

Kasım 2014

2

BÖLÜM-1 OTOMATİK KONTROLE GİRİŞ

Kontrol Mühendisliği

Kontrol Mühendisliği hedef odaklı sistemlerin analizi, tasarımı ve uygulamaları ile ilgilidir.

Hedef odaklı sistemler aşağıdaki durumları sağlar:

Sistem değişkenlerini istenen sabit değerde kalacak şekilde düzenler (araç sabit hız kontrolü,

oda sıcaklık kontrolü, vb.)

Sistem değişkenlerini sürekli izleyerek istenen değerler haline dönüştürülmesi denetlenir

(robot hareketi, güdümlü füze, vb.)

Otomatik Kontrol Sistemleri Nedir?

Bir kontrol sistemi istenilen sistem cevaplarını almak üzere sistemi oluşturan bileşenler

arasında bir düzenleme yapılmasıdır.

Süreç; kontrol edilmesi gereken bir bileşendir (veya bileşenlerdir).

Denetleyici; süreci kontrol eden bir bileşendir.

Denetim; insan müdahalesi olmadan otomatik olarak yapılır.

Süreç

Süreç çıkışları kontrol edilmesi gereken değişkenlerdir.

Süreç girişleri denetleyici tarafından yönlendirilmesi gereken değişkenlerdir.

Şekil-1 Çoklu giriş, çoklu çıkış süreçleri

Denetleyici (Kontrol Cihazı)

Denetleyici çıkışları; süreci yönlendirilen değişkenleridir.

Denetleyici girişleri; süreç çıkış değişkenlerinin istenen değerlerini ve aynı zamanda süreç

değişkenlerinin gerçek değerlerini (geri besleme) kapsar.

Denetleyicinin amacı süreç çıkış değişkenlerini istenen gerçek değerlere dönüştürmektir.

Tek Girişli, Tek Çıkışlı Süreç

Açık Döngülü Süreç

• Kapalı Döngülü Süreç

3

Açık Döngülü Denetim

İstenen hız; yükseltici giriş voltajı ile ayarlanır (Hassas motor-yükseltici modeli gerekli!).

Hız hataları düzeltilemez.

Kapalı Döngülü Denetim

İstenen hız; yükseltici giriş voltajı ile ayarlanır (Hassas motor-yükseltici modeli gerekli değil!).

Hız hataları düzeltilebilir.

Denetim Sistemlerinin Tarihçesi

1769 Buhar Makinesi Regülatörü (Watt)

1868 Regülatör kontrol analizi (Maxwell)

1927 Telefon yükseltici analizi (Bode)

1932 Kararlılık analizi (Nyquist)

1940 Otomatik pilotlar, silah takip sistemleri, radar, vb.

1952 Makine takım sayısal denetimi (MIT)

1970 Durum değişkeni modelleri, optimal denetim

1994 Otomobillerde kapsamlı geri bildirim denetimi

Neden Otomatik Kontrol Eğitimi?

Endüstriyel süreçlerin otomatik denetimi (kimya, kağıt, otomotiv, vb.)

Daha ucuz ürünler

Daha güvenli ve yüksek kaliteli ürünler

Pazardaki değişimlere daha hızlı uyum

Otomatik kontrol şu alanlarda çok önemlidir:

Haberleşme sistemleri ve cihazları

Askeri ve havacılık sistemleri

Bilgisayar disk sürücüleri ve yazıcılar, vb.

4

Bir Denetim Sistemi Neden Çok Önemlidir?

Tepki (cevap) hızı

Doğruluk

Dinamik aşma değeri

Kararlı durum hatası

Kararlılık

Sağlamlık

Modellerde hatalar

Doğrusal olmayan ve dinamik değişen süreçler

Bozucu tesirlerin etkisi

Ders Hedefleri

Öğrenciler Otomatik Kontrol Dersini tamamladığında:

Denetim sistemlerinin tasarımı analizindeki kontrol kuramını anlar.

Denetim sistemi mimarisinin etkisini ve sistem performansını, parametre değerlerini ve

sistem dinamiklerini anlar.

Denetim analizi ve tasarımında bilgisayar cihazlarının kullanımını anlar.

Sürekli denetimde ile benzerlikleri ve ayrık denetimi (bilgisayar) anlar.

BÖLÜM-2 SİSTEMLERİN MATEMATİK MODELİ

Matematik Modele Olan İhtiyaç

Karmaşık denetim sistemlerini anlamak için sayısal matematik model gereklidir.

Bir çok fiziksel sistemlerin modellenmesinde esas yöntemdir:

Mekanik

Elektrik

Hidrolik

Biyolojik

Modelleme Adımları

Fiziksel sistemi ve elemanlarını anlamak

Basitleştirmek için uygun kabuller yapmak

Matematik modeli formüle etmek için temel prensipler kullanmak

Modeli tanımlayan cebirsel veya diferansiyel denklemleri yazmak

Modelin geçerliliğini test etmek

Modeli Ne Amaçla Kullanacağız?

Diferansiyel veya cebirsel denklemlerin çözülmesi sistem tepkisinin, performans analizinin ve

tasarımının yapılmasına imkân verir.

Modele Laplace dönüşümlerinin uygulanması; uygun yönlendirmelere ve dinamik analize

imkân verir.

Sistemler ve elemanları için giriş-çıkış ilişkileri alınabilir.

Denetleyici modelleri donanıma uygun şekilde tasarlanabilecektir.

5

Mekanik Yay-Kütle Sistemi

Kütlesi M olan bir cismin sürtünmesiz ortamda sabit bir duvara, katsayısı k olan bir yay ile

bağlandığını kabul edelim:

Kütlenin zamana bağlı konum pozisyonu için bir modele ihtiyaç vardır.

Fiziksel Sistemin Analizi

Yay kuvveti yalnızca kütle kuvvetinden etkilenir.

Yay kütleye ters yönde oransal bir kuvvet uygular:

Newton Kanunu: F=M.a

Diferansiyel Eşitliğin Çıkarılması

İkinci dereceden işlem

n: Doğal frekans (Sönümlenmemiş)

n genel anlamı ile soyut bir terimdir.

6

Sistem Karakteristikleri

Sistem girişe sahip değildir. Kütleyi dışarıdan etkileyen bir kuvvet yoktur.

Türev eşitliğinde sağ tarafta sıfır ile gösterilir.

Sistem sönümlemeye sahip değildir. Sistemde enerji salınımı yoktur.

Türev eşitliğinde bu birinci terimin ihmal edilmesiyle gösterilir.

Yay-Kütle-Damper Sistemi

Kütle yay sabiti k olan bir yayın son konumundan x(t) gerilir.

Sönümleme katsayısı C olan amortisör harekete hızla orantılı direnç gösterir.

7

İkinci Derecede İşlem Cevabı

Sistem girişi: x(t)=1 m n=2 r/s

8

Hidrolik Silindir

9

İntegral İşlem Cevabı

Adım giriş: q(t)=1 cm3/s

RC Devre

10

Birinci Derece İşlem Cevabı

Adım girişi: x(t)= 1 Volt = 1 saniye

Karışım Vanası ve Boru

11

Yaygın İşlem Tipleri

Bileşen Kombinasyon Örneği

12

Çalışır Model Oluşturulması

Hedef düşük dereceden doğrusal modeli geçerli kılmak ve “bir bakışta” hissetmektir.

Fiziksel bileşenleri anlamak

Uygun kabuller yapmak

Model için basit bağıntıları kullanmak

Gerektiğinde doğrusal hale getirmek

Diferansiyel ve cebirsel eşitlikler yazmak

Bağıntıları birleştirmek ve basitleştirmek

Modelin geçerliliğini test etmek

Yaygın İşlem Tipleri

Yay-Kütle Modeli İçin Varsayımlar

Yay sola doğru aşırı sıkıştırılırsa model doğru mudur?

Yay sağa doğru aşırı uzatılırsa model doğru mudur?

13

Yay-Kütle Sisteminin Doğrusallığı

Tüm modeller bir yaklaşım öngörür ve böylelikle bazı hatalar içerir.

Bir aralıkta, belli bir çalışma noktası etrafında, sistem davranışlarını doğrusal bir modele

yaklaştırılır.

Doğrusallaştırma

Bir sistemin doğru bir bileşeni için;

Şayet x1 giriş için y1 çıkış alınıyor ve

Şayet x2 girişi için y2 çıkışı alınıyorsa sonra x1+x2 girişi için y1+y2 çıkışı alınır.

Taylor Serisi Açılımı-Tek değişkenli

x0 yapılan açılımdaki çalışma noktasıdır.

x-x0 değerinin küçük kademelerinde çalışma noktasının yansıması fonksiyona iyi bir yaklaşım

gösterir.

Taylor Serisi Açılımı-Çok değişkenli

14

x0, y0, yapılan açılımdaki çalışma noktasıdır.

(x-x0), (y-y0) değerinin küçük kademelerinde çalışma noktasının yansıması fonksiyona iyi bir

yaklaşım gösterir (yüksek dereceden terimler ihmal edilmiştir).

Doğrusal Olmayan Yay

Bileşen Kombinasyonu Örneği

Karıştırıcı ve Boru

15

Hidrolik Silindir

Bileşen Kombinasyonu Örneği

Bileşen Kombinasyonu Örneği

16

Model Basitleştirilebildi mi?

Doğal frekans n beklenen çalışma frekanslarıyla karşılaştırıldığında çok yüksek ise

sönümleme ne çok yüksek ne de çok düşük olur (1),

• D gecikmesi, beklenen cevap zamanıyla karşılaştırıldığında çok küçükse,

Laplace Dönüşümlerine Olan İhtiyaç

Diferansiyel bağıntıları basitleştirip birleştirerek kullanışlı hale getirir.

Modelleri sadeleştirip kolaylaştırır.

Sistem ve bileşenlerin blok diyagramlarının çiziminde kolaylık sağlar.

Diferansiyel bağıntıların çözümünü kolaylaştırır (Çeşitli girişler için çıkışlar bulunur).

Kararlılık analizi, frekans cevabı, vb. hesaplamalarda kolaylık sağlar.

Denetim cihazı tasarımını kolaylaştırır.

17

TABLO-1.1 İdeal sistem elemanlarının temel özellikleri

18

2.BÖLÜMLE İLGİLİ PROBLEMLER

1) Bir sıvı ısıtma sisteminin matematik modelini kurunuz (sistemde üretilen ve depolanan ısının

olmadığı kabul edilecek).

2)

19

BÖLÜM-3 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

Bağıl olarak çözümü daha zor olan diferansiyel denklemler yerine daha kolay çözülebilen

cebirsel bağıntılar

Doğrusal diferansiyel denklemleri uygulama

Fiziksel olarak gerçekleşebilen sinyal uygulaması

Uygulama sırası:

o Diferansiyel denklemin alınması

o Yeni denkleme dönüştürme

o Denklemi çözme veya daha ileri seviyede analiz etme

Verilen bir zaman değişkeni; t ve zaman fonksiyonu; f(t) ise

Yeni bir değişken; s olarak tanımlanır.

s bir karmaşık değişkendir:

s= +j

F(t) den Laplace dönüşümü L[f(t)]= F(s)

Laplace Dönüşümünün Tanımı

s yeni karmaşık değişkendir:

s= +j

Gösterimi kolaylaştırmak için;

Zaman fonksiyonunun bir sabit ile çarpımı

İki zaman fonksiyonunun toplamı

20

Birinci dereceden zamana bağlı türev

Kısımlara bölerek entegre edilirse

Birinci dereceden zamana bağlı türev

“+” süreksizliktir

Zaman fonksiyonunun türevi

21

Zaman fonksiyonunun ikinci derece türevi:

Zaman fonksiyonunun daha yüksek türevleri

Sıklıkla: başlangıç şartları=0 kabul edilir.

Fonksiyon

Onun türevleri

Zaman gecikmesi

Tanım:

22

Ancak

Termal sistem

Sıvı akış debisi: Q

Yalıtım direnci: R

Isı girişi: e(t)

Sıcaklık farkı: (t)=0(t) - te(t)

Termal kapasite: Ct

Sıvının özgül ısısı: Sf

(t)=0(t) - te(t)

Enerji dengesi

Laplace dönüşümü

Yay-kütle-damper

23

Boru ve karışım vanası

Gecikme işlemi

Laplace Dönüşümü

s yeni karmaşık değişken

Dönüşüm:

Diferansiyel denklemler

Cebirsel denklemler

Zaman fonksiyonları (adım, uyarı etkisi, sinüs, vb.)

DC motor-yükseltici sistemi

24

Mekanik sistem değişkenleri

(t): dönme konumu

(t): dönme hızı

T(t): motor momenti

J: motor ataleti

Kt: moment sabiti

Elektriksel sistem değişkenleri

i(t): motor akımı

e(t): yükseltici çıkış voltajı

v(t): yükseltici giriş voltajı

R: motor direnci

L: motor endüktansı

Ke: ters EMK sabiti

Kv: takometre kazancı

Motor-yükseltici denklemleri

Dönüşüm Denklemleri

25

Birim adım fonksiyonu

Birim tepki fonksiyonu

26

Hopital kuralının kullanımı

Pay ve payda ayıracı t ile ilgilidir:

Üstel fonksiyon

27

Doğrusal olmayan tank sistemi

Vananın doğrusal olmayan davranışı:

Vana akışında doğrusallaştırılmış model

28

Doğrusallaştırılmış tank modeli

Dönüştürülmüş tank sistemi modeli

qi(t) deki değişimlere tank nasıl cevap verir?

(t) değişiklik olurmu? Çözüm gerekli!

29

BÖLÜM-4 TRANSFER FONKSİYONLARI Bir sistemin transfer fonksiyonu Laplace dönüşümünün çıkışı ile girişi arasındaki oran olarak

tanımlanır.

Doğrusal, sabit sistemlere uygulanır (doğrusal olmayan bir sistem zamanla değişen

parametrelere sahiptir).

Tüm başlangıç şartları sıfır olarak kabul edilir.

Dinamik giriş-çıkışları tanımlar (sistemin iç yapısı ile ilgilenmez).

DC motor-yükseltici sistemi

Elektro-mekanik sistem

Sistem transfer fonksiyonu

Sistem model dönüşümü

Sistem transfer fonksiyonu (çıkış/giriş)

Transfer fonksiyonu tüm girişler için geçerlidir (yalnızca özel bir giriş için geçerli değildir)

30

Doğrusal olmayan tank sistemi

Vananın doğrusal olmayan davranışı:

Doğrusallaştırılmış tank modeli

Çıkış iki girişin fonksiyonudur!

Tank transfer fonksiyonu

h(t) ve (t) arasındaki ilişki:

31

h(t) ve qi(t) arasındaki ilişki:

BÖLÜM-5 DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Bileşen modellerinin Laplace dönüşümlerini ve giriş fonksiyonlarını alın.

Bileşen modellerini bir sistem halinde birleştirin.

Giriş fonksiyonlarının yerine dönüşümleri koyun.

Sistem çıkışı için çözüm yapın.

Çıkış için alınan zaman-alan çözümüne ters Laplace dönüşümü uygulayın.

Laplace dönüşüm tablosu

Kısmi kesirlere ayırma

Ters Laplace Dönüşümü

L-1[F(s)]=f(t)

Ters Laplace dönüşümü gerçekten bir integral değerlendirmesi sonucu bulunmuş değildir.

Neyse ki, dönüşüm elde etmek için genelde Ters Dönüşüm eşsiz bir zaman fonksiyonudur.

Böylelikle Laplace dönüşümlerinin bir tablosu her iki yöntemle kullanılır!

Ters Laplace dönüşümü

F(s) fonksiyonun ters dönüşümü genelde iki polinom oranı şeklinde olması beklenir.

i ve n pozitif tamsayıdır.

c’ler ve b’ler gerçek sayıdır.

Ters dönüşüm zor gibi görünür.

“kısmi kesirler” yardımıyla gruplara ayırarak ters dönüşüme daha kolay uydurulabilir.

Kısmi kesirlere ayırma

Payda faktörü

Genişletilmiş F(s) faktörlerin toplamıdır.

32

TABLO-1.2 Laplace Dönüşüm Çiftleri Tablosu

a ve C’ler karmaşık sayılardır.

Şayet karmaşıksa a ve C’ler karmaşık eşlenik çiftler olarak görünür.

Karmaşık eşlenik çiftler salınımlı çözümlere yardımcı olur.

ak tekrarlanmayan faktörler var ise;

33

Örnek:

Ters Dönüşüm

Laplace dönüşümleri tablosundan:

Böylelikle ters dönüşüm F(s):

F(s) dönüşümü için sistem diferansiyel denkleminin bir çözümü f(t)dir.

Şayet tekrar eden ifadeler mevcutsa;

34

Tekrar eden ifadelere örnek

Laplace dönüşümleri tablosundan;

Ters dönüşüm;

Doğrusal olmayan tank sistemi

Vana akışının doğrusal olmayan davranışı:

35

Tank modelinin dönüşümü ve girişler

Kararlı durum şartlarından önce t=0 kabulü yapın:

t=0 için (t)’nin küçük adımlı olduğunu kabul edin:

Sistem çıkışının dönüşümü

Sistem çıkışının ters dönüşümü

Laplace dönüşüm tablosu kullanılarak;

36

Son Değer Teoremi

Bir fonksiyonun son değerini bulun f()

Sabit durum değeri

Geçiş bölgesi dışındaki değer

Tepki tamamlandığındaki değer

F(s’nin payda kökleri negatif gerçek değere sahipse genelde sınır mevcuttur. Bir kök sıfır olabilir.

Başlangıç değeri teoremi

Tank örneği: Başlangıç ve son değer

Çözümün dönüşümü:

burada:

37

Çözüm:

Tank örneği: Başlangıç değeri

Tank örneği: Son değeri

Tank örneği: Gözden geçirme

Başlangıç değeri (t=0+):

Final değeri (t=):

38

5.BÖLÜMLE İLGİLİ SORULAR

Aşağıda Laplace dönüşümü verilen y(t) fonksiyonlarının başlangıç ve final değerleri nedir?

1)

2)

3)

4) Aşağıdaki sistemde sıvı yüksekliği h(t) olup çıkış debisi qo(t) ve giriş debisi qi(t) arasındaki

bağıntıyı çıkarınız. A: tankın yüzeyi (m2), Gv: Çıkış vanası katsayısı qo(t)=Gvh(t), Tankta

toplanan sıvı debisi qs(t) = qi(t) – qo(t)

qi

qo

h Gv

A