Jorge Luis Hernández NapaIca, 10 de Abril 2013

Escuela Académico Profesional de Economía

Departamento Académico de Economía

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"Todo economista, le guste o no, es un económetra, porque mientras no seamos capaces de explicar nuestros argumentos en cifras, la voz de nuestra ciencia, aunque pueda ayudar ocasionalmente a dispersar errores groseros, nunca será oída por los hombres prácticos. Todos estos son, por instinto, económetras, en su desconfianza de las cosas no sujetas a una prueba exacta” 

SCHUMPETER, Joseph (1933): “The common sense in econometrics”, Econométrica Vol. 1, Nº 1.

INTRODUCCIÓN AL MODELO LINEAL SIMPLE1.Origen de la Investigación: Un problema.2.Que es un problema?. Tipos de problema.3.Relación entre dos o más variables.4.Correlación y regresión5.Plano cartesiano y gráfico entre dos variables.6.Diagrama de dispersión.7.Correlación de Karl Pearson

EL MODELO LINEAL SIMPLE:1.Definición2.Especificación de hipótesis3.Solución del modelo4.Tabulación de las variables5.Aplicación práctica: La función consumo keynesiana.

BIBLIOGRAFIAGUJARATI, Damodar N. : “Econometría”. Edit. McGRAW-HILL/Interamericana Editores, S.A. México 2010. Pág 15-107ROSALES; Ramón, y BONILLA, Jorge: “Introducción a la Econometría”. Edit. CEDES. Colombia 2006. Pág. 29 – 40CASAS TRAGODARA, Carlos: “Econometría Moderna” Edit. Universidad del Pacífico. Perú 2000.

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: http://repositorio.cepal.org

La #CEPAL lanzó hoy un repositorio digital con más de 35.000 publicaciones de acceso libre.Desde hoy el patrimonio intelectual de este organismo de las Naciones Unidas está disponible en un único sitio: http://repositorio.cepal.org

Gracias a este nuevo producto, lanzado durante el Trigésimo quinto período de sesiones de la CEPAL en Perú, será más fácil buscar y descargar de forma gratuita los documentos producidos por el organismo desde 1948 a la fecha.

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El punto de partida de una investigación es la existencia de UN PROBLEMA, o una situación que ha llamado la atención del o los futuros investigadores y que –a su juicio— requiere ser investigada para: esclarecerla, mejorarla, hacer propuestas, resolverla, etc, es decir, para pasar a algún tipo de acción posterior. En nuestro caso Planes y Programas de Desarrollo, nacionales, regionales o locales.

La parte inicial de toda investigación comienza al poner por escrito las razones por las que hay que realizar la investigación.  Consiste en delimitar el problema a investigar indicando:•las razones que originan la necesidad de investigar (a modo de introducción) •enunciando el problema, •planteando las preguntas que más se destacan al plantearse el problema, j •justificando la necesidad de hacer la investigación, •indicando su viabilidad y su duración probable, finalmente, •indicando el Objetivo general de investigación que se persigue y •los objetivos específicos con que se resuelve el objetivo general.

1. ¿Qué es un problema?En realidad puede ser cualquier cosa, pero requiere de algún tipo de definición.  De manera que tomamos el trabajo de J. Padrón las siguientes definiciones y comentarios: “Es común decir que no hay investigación sin un “problema” y que un problema bien planteado es mejor que cualquier solución gratuita. Pero ¿de qué estamos hablan do? ¿Qué es un “Problema”? Analicemos las siguientes definiciones, tomadas como muestra, y decidamos luego hasta qué punto es claro o evidente el sentido de la palabra:

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a. Problema es un procedimiento dialéctico que tiende a la elección o al rechazo o también a la verdad y al conocimiento (Aristóteles).

b. El Problema o la proposición problemática es una proposición principal que enuncia que algo puede ser hecho, demostrado o encontrado (Jungius).

c. Por problema los matemáticos  entienden las cuestiones que dejan en blanco una parte de la proposición (Leibnitz).

d. Problema es una proposición práctica demostrativa por la cual se afirma que algo puede o debe ser hecho (Wolff).

e. Problemas son proposiciones demostrativas que necesitan pruebas o son tales como para expresar una acción cuyo modo de realización no es inmediatamente cierto (Kant).

f. Problema es el desacuerdo entre los pensamientos y los hechos o el desacuerdo de los pensamientos entre sí (Mach).

g. La situación no resuelta o indeterminada podría llamarse situación “problemática”; se hace problemática en el momento mismo de ser sometida a investigación. El resultado primero de la intervención de la investigación es que se estima que la situación es problemática (Dewey).

h. Problema es la conciencia de una desviación de la norma (Boas). i. Problema es cuando dos más dos no son cuatro (Warren Goldberg)j. Problema es una oportunidad vestida con ropa de trabajo (Henry J. Kaiser)

Concluimos: que aceptaremos como Problema de Investigación, cualquier RELACIÓN o PROPOSICIÓN acerca de una situación que requiere más o mejor conocimiento del que se tiene en el instante presente, y que una persona experta o conocedora, --el profesor Guía y los profesores examinadores—acepten como justificación de una investigación de Tesis de Grado.

RELACION: Correspondencia o conexión que hay entre dos o más cosas, en nuestro caso variablesPROPOSICIÓN: Enunciado susceptible de ser verdadero o falso

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2. Tipos de problemas 

a.Teóricos.- Cuyo propósito es generar nuevos conocimientos.

b.Prácticos.- Con objetivos destinados al progreso y bienestar general.

c.Teórico-prácticos.- Para obtener información desconocida en la solución de problemas de la práctica

3. Relación entre variables 

RELACIÓN ENTRE DOS O MÁS VARIABLES

Correlación y regresión

ENTRE DOS VARIABLES : Y = ƒ (X) (Modelo Lineal Simple – MLS)

ENTRE MAS DE DOS VARIABLES : Y = ƒ (X2, X3, X4, ……Xk) (Modelo Lineal General – MLG)

LINEAL

NO LINEAL

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La relación: Los estudios descriptivos y compara-tivos permiten inferir características de distintas poblaciones pero no nos aportan información acerca de individuos en particular, sin embargo muchas veces el interés de los investigadores está centrado en establecer la relación entre dos o más variables para luego predecir. Es decir conocer el valor de una variable a la que llamaremos dependiente a partir de otra (variable independiente).

La correlación: estudia cuan estrecha es la asociación entre variables y la regresión plantea un modelo a través del cual conocido el valor de una variable explicativa se puede llegar a predecir el valor de la otra (variable respuesta).

RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES

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RELACIÓN Y CORRELACION ENTRE DOS VARIABLES: Gráfico

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REGRESION LINEAL SIMPLE. GRAFICA

Un ejemplo. La recta de regresión representada corresponde a la estimación obtenida a partir de 20

pares de observaciones: x representa la temperatura fijada en un recinto cerrado e Y el ritmo cardíaco de un

vertebrado.

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REGRESIÓN

El término regresión fue introducido por Francis Galton en su libro “Natural inheritance” (1889) refiriéndose a la “ley de la regresión universal”

“Cada peculiaridad en un hombre es compartida por sus descendientes, pero en media, en un grado menor.” Regresión a la media

Su trabajo se centraba en la descripción de los rasgos físicos de los descendientes (una variable) a partir de los de sus padres (otra variable).

Karl Pearson (1857-1936) (un amigo suyo) realizó un estudio con más de 1000 registros de grupos familiares observando una relación del tipo:Altura del hijo = 85cm + 0,5 altura del padre (aprox.)

Estableció la disciplina de la estadística matemática. Desarrolló una intensa investigación sobre la aplicación de los métodos estadísticos en la biología y fue el fundador de la bioestadística

Sir. FRANCIS GALTON (1822-1911)Nacionalidad: Británico• Primo de Darwin• Estadístico, antropólogo Geógrafo, meteorólogo Psicólogo y aventurero• Fundador (con otros) de la estadística moderna para explicar las teorías de Darwin.

NOTA: John Maynard Keynes (1883 – 1946)

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CASAS TRAGODARA, Carlos: “Econometría”, pág. 9 dice:

El inglés Francis Galton1 (1822 - 1911) fue el primero en introducir el término regresión, cuando estudiaba la relación entre las estaturas de los hijos y los padres observó que la estatura de los hijos era alta o baja cuando los padres eran altos o bajos, respectivamente. Sin embargo, la estatura promedio de los hijos cuyos padres tenían una estatura dada, tendía a moverse o converger hacia el promedio de la población. Así, determinó una regresión de la estatura de los hijos hacia el promedio o, en términos de Galton, “una regresión hacia la mediocridad”.

La Ley de Regresión Universal de Galton fue confirmada, años después, por Karl Pearson, quien realizó un estudio similar utilizando más de mil observaciones. Con el estudio de Pearson se confirmó que la estatura promedio de los hijos de un grupo de padres altos era menor que la estatura de sus padres y la estatura promedio de los hijos de padres de estatura baja era mayor que la de sus padres. Así, se observa que los hijos de estatura alta o baja, “regresan” en forma similar hacia la estatura promedio de la población.

En este sentido, la regresión de una variable aleatoria Y sobre otra variable X fue entendida como la media de Y condicional en X, a través de una relación funcional entre X e Y. El estimador de los coeficientes involucrados en esta forma funcional fue hallado utilizando el criterio de estimación de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), que será estudiado en el siguiente capítulo, y las observaciones muestrales de X e Y.

KARL PEARSON (1857-1936)Nacionalidad: BritánicoAlma Mater: Heidelberg•Estadístico, genetista profesor• Premios: Medalla Darwin en 1898

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El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas

PLANO CARTESIANO Y GRAFICO ENTRE DOS VARIABLES

Xt

YtVariable endógena oVariable dependiente

Variable predeterminada oVariable independiente

P (x,y)o

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Ejemplo: Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. El punto A se ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en ordenada (y).

Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

De lo anterior se concluye que:

P (6, 4)o

Xt

Yt

OTRA FORMA DE VISUALIZAR

Diagrama de dispersión Relación negativa

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

ingreso.per.capita

0

20

40

60

80

mor

t1

Relación entre el ingreso per cápita y la tasa de mortalidad al año de vida en Distintos países de América 1

UNICEF, Estado Mundial de la infancia 2005. Tabla de indicadores Básicos.www.unicef.org

Diagrama de dispersión Sin relación

Relación entre la edad materna y las semanas de gestación al momento del parto 1

1-Costa de Robert Sara et all. “Antihypertensive Treatment in Pregnancy” The 4 th

International Heart Health Conference . Osaka Japón Mayo 2001.

CorrelaciónEl coeficiente de correlación de Pearson es el calculado para variables continuas, si tenemos dos variables X e Y, la correlación entre ellas se la nombra r (X,Y), o solo r y está dada por: r = (xi-x) (yi-y ) Donde xi e yi son los valores de X e Y para el (xi-x)2(yi-y)2 individuo i

  -1 +1  fuerte fuerte negativa positiva -0.5 +0.5 débil débil negativa positiva 0 Sin correlación   

Correlación perfecta negativa Correlación perfecta positiva

Sin Correlación

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RANGO GENERAL DEL COEFICIENTE DE CORRELACION - 1 ≤ R2 ≤ +1

CORRELACION DIRECTA PROPORCIONAL POSITIVA 0 ≤ R2 ≤ +1 CORRELACION INVERSA PROPORCIONAL NEGATIVA - 1 ≤ R2 ≤ 0

HIPOTESIS: premisa lógica

General : Y = ƒ ( X ) Específica : CPt = ƒ ( PBIt )

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III.- EL MODELO LINEAL SIMPLE (MLS)III.- EL MODELO LINEAL SIMPLE (MLS) 3.1 DEFINICION: Es el modelo econométrico que contiene solo y únicamente dos variables: una endógena (primer miembro), y una predeterminada (segundo miembro). Es un modelo uniecuacional, porque contiene una sola ecuación, que representa un solo sector de la actividad económica (consumidores, inversionistas, importadores, exportadores, gobierno, sector monetario, sector trabajo, etc.). Es el modelo más sencillo: la variable endógena única (Y t ), depende linealmente de una sola variable predeterminada (X t) -exógena o endógena con retardo-, y una perturbación aleatoria no observable (μ t). Expresión matemática del modelo : Y t = a + b X t + μ t El modelo representa los comportamientos siguientes: Modelo Poblacional : Yt = a + b X t + t (contiene comportamiento de la población) Modelo Muestral : Yt = + X t + e t (contiene comportamiento de una muestra) Modelo Estimado : Ŷ t = + X t (conociendo parámetros , , se obtiene la línea estimada Ŷ t) Donde: Yt = variable endógena , = parám. muestrales Xt = variable predeterminada t = variable aleatoria poblacional Ŷt = variable estimada e t = error muestral a, b = parám. poblacionales t = tiempo (histórico pasado)

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3.2. ESPECIFICACIÓN DE HIPÓTESIS DEL MODELO LINEAL SIMPLE

A. HIPÓTESIS RELATIVAS A LAS PERTURBACIONES 1. Toda perturbación aleatoria tiene media cero

E (μ t ) = 0 ; ν t = 1, 2, 3, ......, n 2. Todas las perturbaciones aleatorias tienen las mismas variancias (σμ

2 ) ; o sea tienen variancia finita y constante

Var (μ t ) = E (μ t 2) = σμ

2 Es conocido como el postulado o hipótesis de Homocedasticidad, su abandono implica reemplazarlo, por la hipótesis de Heterocedasticidad (cuando la variancia es finita y variable). Se detecta y se corrige.

3. La variable aleatoria no está autocorrelacionada, implica la independencia de los valores sucesivos de (u t); el abandono de este supuesto da lugar a la introducción de la hipótesis de Autocorrelación.

Cov (μ t μ j ) = E (μ t μ j ) = 0 ; ν t ≠ j 4. La variable aleatoria u t es independiente de todas las variables exógenas, .

E (μ t X t ) = E (μ t ) E (X t ) = 0 E (μ j X j ) = E (μ j ) E (X j ) = 0

Si la variable aleatoria, no es independiente de las variables exógenas, entonces los EMC, son sesgados y no consistentes: Es decir el sesgo no se corrige, con el aumento del tamaño de la muestra

5. La variable aleatoria u t , se distribuye normalmente con media cero y variancia σu2, es

decir. 1 Σ μ t

2

μ t ~ N ( 0, σμ2 ) → ƒ (μ t ) = ------___- e 2 σμ

2

σμ √ 2 π Que es la fórmula, de la función de densidad de una u t en el muestreo. A partir de esta formula se pueden obtener estimadores de Máxima Verosimilitud.

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B.- HIPÓTESIS RELATIVAS A LAS VARIABLES

1. La variable predeterminada X no es aleatoria; o sea es una variable fija en el muestreo 2. La variable endógena Yt , es evidentemente una variable aleatoria, cuyos parámetros

(en virtud de la Ho. 1, 2, y 6) son: Media: E (Y t) = E ( a + b X t + μ t ) = a + b X t + E (μ t )

E (Y t) = a + b X t Variancia: σY

2 = E [ Y t – E (Y t) ] 2

σY2 = E [a + b X t + μ t – a – b X t ]

2 σY

2 = E [ μ t 2 ]

σY2 = σμ

2 3. La variables X t ^ Y t , se obtienen sin errores de observación, o sea no existen errores

de medida, el abandono de esta hipótesis, crea el problema de Errores en las Variables. X t ^ Y t = son sin errores de observación

4. La matriz de coeficientes de variables endógenas X, tiene rango K, donde K < N R [X] = K < N k = Rango de matriz X ; N = número de var. endógenas Garantiza (X’X) –1 . El abandono de esta hipótesis, genera un problema en la econometría, denominado Multicolienalidad.

C.- HIPÓTESIS RELATIVAS A LOS PARAMETROS

5. Los parámetros estructurales son constantes, para todas las unidades de la muestra. Sobre ellos no se emite a priori ninguna restricción.

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1.- Suma de VE real = Suma de VE estimada Yt = Ŷ t

2.- Suma de errores muestrales = 0 e t = 0

3.- La línea estimada Ŷ t pasa por el punto medio y central de las observaciones (media de X ^ Y)

4.- La suma de los errores es igual a cero Para el valor real : ( Yt

- Ϋ ) = 0 Para el valor estimado : ( Ŷ t - Ϋ) = 0 Para la diferencia : (Yt

- Ŷ t ) = e t = 0

5.- La suma de los errores al cuadrado nos da la variancia Variancia total : ( Yt

- Ϋ ) 2 (Para el valor real)

Variancia explicada : (Ŷ t - Ϋ ) 2 (Para el valor estimado)

Variancia no explicada : e t2 (Para la diferencia)

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Co

nsu

mo

Pri

vad

o (

Yt)

Producto Bruto Interno (Xt)

linea estimada

Ŷ t = + X t

( Ẍ, Ϋ )

Linea de 45º grados

¤VRO

A

B

C

D

Yt Ŷ t

e t

Yt = Ŷ t

e t = 0

Valores: real, estimadoAD = Yt = valor realBD = Ŷt = valor estimadoAB = e t = error

erroresƩ (Yt - Ϋ ) = 0Ʃ (Ŷ t - Ϋ ) = 0Ʃ (Yt - Ŷ t ) = 0

varianciaƩ (Yt - Ϋ )2 = VTƩ (Ŷ t - Ϋ )2 = VE

Ʃ (Yt - Ŷ t )2 = et2 = VnoE

Ẍ

Ϋ

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3.3. SOLUCIÓN DEL MODELO Modelo objetivo a demostrar y desarrollar:

Yt = + X t + t Donde: (SS) SS = Desviación Standard de [ t] [ t t , tt Student de S2 , S S2 , S = Varian. y D.S. del modelo R2 , R R2 , R = Coef. correlación y det. modelo F F = Prueba de Fisher- Snedecor Dw Dw = Prueba de Durbin- Watson Vn Vn = Prueba de Von Neuman Para solucionar el modelo se parte del modelo muestral, y se aplica el Método de los Mínimos Cuadrados:

e2t = min., y las condiciones de mínimo

Yt = + X t + e te t = Yt – – X te2

t = Yt – – X t )2

Condiciones de mínimo: a. Primera derivada se igualen a cero b. Segunda derivada sea positiva Aplicando la primera condición: e2

t ] = 0e2

t ] = 0 Derivando: e2

t ] = 2 Yt – – X t ) (-1) = 0e2

t ] = 2 Yt – – X t ) (-X t ) = 0

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Igualando a cero: Yt – – X t ) (1) = 0 Yt – – X t ) ( X t ) = 0 obteniéndose: a. Las ecuaciones normales: Yt = N + X t ( 1 ) X t Yt = X t + X t

2 ( 2 ) b. Los parámetros: A partir de las ecuaciones normales hallamos los parámetros ^ : Yt X t

2 – X t Xt Yt

N X tYt

– X t Yt = -------------------------------------- ; = --------------------------------- N X t

2 – ( X t ) 2 N X t

2 – ( X t ) 2

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c.- La Media de los parámetros:

Después de demostrar la linealidad = ( 1/N – X Wt ) Yt

= Wt Yt

Para N X t

– X t Yt

= ------------------------------ ; = Wt Yt parámetro lineal N X t

2 – ( X t ) 2

Donde Wt , tiene las siguientes propiedades: Wt = 0; Wt X t = 1; Wt

2 = 1 / X t – Ẍ )2 ; Wt2 = 1 / x t

2 Para de (1) dividendo entre N Ῡ = + Ẍ ; = Ῡ – Ẍ ; = Ῡ – Ẍ ( Wt Yt ) = Yt / N – Ẍ ( Wt Yt ) Factorizando Yt: obtenemos = ( 1/N – Ẍ Wt ) Yt parámetro lineal

Se muestra la media o insesgabilidad E ( ) = a E ( ) = b Para = Wt Yt = Wt (a + b X t + t ) = aWt + b Wt X t + Wt t Aplicando propiedades de Wt , y valor esperado E, obtenemos: = b + Wt t sirve para la variancia

E ( ) = b ; parámetro insesgado

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Para = ( 1/N – Ẍ Wt ) Yt = ( 1/N – Ẍ Wt ) (a + b X t + t ) = a + t / N - Ẍ Wt t sirve para la variancia

Aplicando propiedades de Wt , y valor esperado E, obtenemos: E ( ) = a ; parámetro insesgado d. La Varianza y desviación standard de los parámetros: S ^ S

Definición: V ( ) = S

2 = E ( a V ( ) = S

= E ( b )2

Para S2: se demuestra desde .

= b + Wt t ; b = Wt t Aplicando definición: V ( ) = S

= E ( b )2 = Wt2 E ( t

2 ) S

= σμ2 [ 1 / X t – Ẍ )2 ]

N S 2 Para obtener la desviación estandar S

2 = ---------------------------- ( S), se extrae raíz cuadrada a S2

N X t2 – ( X t )

2

Para S : se demuestra de , – a = t / N - Ẍ Wt t Aplicando definición: V ( ) = S

2 = E ( at2) ( 1 / N - Ẍ Wt )

2 S 2 X t

2 Para obtener la desviación estandar S

2 = ---------------------------- (S), se extrae raiz cuadrada a S 2 N X t

2 – ( X t ) 2

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e. Varianza y desviación standard del modelo: S 2 ^ S

Se define S 2 , como la relación entre la variancia no explicada (V no E), y el grado de libertad ( gl ):

V no E e t

2 ( Yt – – X t ) 2

S 2 = --------- = -------- = ----------------------- gl N – 2 N – 2 Al numerador, se eleva al cuadrado, se aplica sumatoria, se agrupa por factor común: Yt

2 – Yt – X t Yt

Para obtener la desviación standard S 2 = ------------------------------------ (S), se extrae raiz cuadrada a S 2 N - 2 f. Coeficiente de correlación del modelo: R2 ^R Se define R2 , como relación entre variancia explicada (VE), y variancia total (VT): V E (Ŷ t – Ϋ ) 2 ( + X t – Ϋ ) 2 R2 = ----- = --------------- = --------------------------- V T ( Yt

– Ϋ ) 2 ( Yt – Ϋ ) 2

1) Coeficiente de correlación libre del intercepto:

Al numerador y denominador, se eleva al cuadrado, se aplica sumatoria, se agrupa por factor común:

Yt + X t Yt

- 1/N ( Yt ) 2

R2 = -------------------------------------------- Yt

2 - 1/N ( Yt ) 2

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1) Coeficiente de correlación sin corregir:

Yt + X t Yt

R*2 = -------------------------- Yt

2

2) Coeficiente de correlación libre del intercepto y del grado de libertad N – 1 Ř2 = 1 – --------- ( 1 – R2 ) ↑ = 1

N – K

3) Relación que debe cumplirse: R*2 > R2 > Ř2 g. Relaciones a cumplirse en la solución de los modelos: Variancia total = Variancia explicada + Variancia no explicada ( Yt

- Ϋ ) 2 = (Ŷ t - Ϋ ) 2 + e t

2

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h. Tabulación para solucionar el MLS: Pasos a seguir:

1) Se apertura columnas: para las observaciones, numero de años. 2) Se apertura columnas: para la variable endógena y pre-determinada, se suman. 3) Se eleva al cuadrado las dos variables y se suman. 4) Se multiplican ambas variables, y se suman 5) Se obtienen el valor estimado Ŷ t . y se suman 6) Se obtienen las desviaciones e t, la suma es igual a cero. 7) Se elevan al cuadrado las desviaciones e t

2 , y se suman.

TABULACION PARA SOLUCIONAR EL MODELO LINEAL SIMPLE

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) OBSE

AÑOS

Yt

X t

Yt 2

X t

2 X t Yt

Ŷ t

e t

e t2

1 2 3 . . . . . . N

1,950 1,951 1,952

.

.

.

.

.

. 2,010

Sumatorias

Yt

(=)

X t

Yt

2 X t

2 XtYt

Ŷ t

(=)

et

= 0 e t

2 Var no

explicada

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(1) (2) (3) (4) - - - - (11) (12) (13) (14)

OBSE AÑOS Yt X t . . . .

Yt - Ῡ Ŷt - Ῡ (Yt - Ῡ )2 (Ŷt - Ῡ )2

1 2 3 . . . . . . N

1,950 1,951 1,952

.

.

.

.

.

. 2,010

Sumatorias

Medias

Yt

Ῡ= Yt /N

X t

X = Xt /N

∑(Yt - Ỹ)

= 0

∑ (Ŷt - Ỹ)

= 0

∑ (Yt -Ỹ)2

variancia

total

∑ (Ŷt - Ỹ)2

variancia explicada

VARIANCIA TOTAL (13) = VARIANCIA EXPLICADA (14) + VARIANCIA NO EXPLICADA (10)

Ica, Mayo del 2014

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GRACIAS

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