econometria i: modelo de regresión lineal simple
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bueno aqui pueden ver la primera clase de el curso de econometria I, que corresponde al capitulo acerca de : modelo de regresión lineal simple.TRANSCRIPT
1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
1
ECONOMETRIA
ESQUEMA
1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN.
2. EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
3. EL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
2
1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN
• Sea la función de densidad conjunta normal bivariada
• Funciones de densidad de probabilidad marginal:
3
σ
µ−−σπ
=2
2
1exp
2
1)(
x
x
x
xxf
σ
µ−−
σπ=
2
2
1exp
2
1)(
y
y
y
yyf
σ
µ−+
σ
µ−
σ
µ−ρ−
σ
µ−ρ−
−ρ−σπσ
=22
222
)1(2
1exp
12
1),(
y
y
y
y
x
x
x
x
yx
yyxxyxf
1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN
• La función de densidad condicional de Y dado X:
• Media y Varianza Condicionales:
4
)(
),()|(
xf
yxfxyf =
µ−
σσ
ρ+µ−ρ−σ
−ρ−πσ
=2
2222)(
)1(21
exp)1(2
1)|( x
x
yy
yy
xyxyf
xxxxYE xyxyx
yx
x
yyx
x
yy ||)()|( β+α=
σσ
ρ+
µ
σσ
ρ−µ=µ−σσ
ρ+µ=
2|
22 )1()|( xYyxYVar σ≡σρ−=
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
• El Modelo de regresión simple:
– y=variable dependiente, regresando, explicada, variable del lado
izquierdo (left-hand-side variable).
– x = variable independiente, regresor, explicativa, variables del lado
derecho (right-hand-side variable).
• Término de perturbación: )|( xyEyu −≡
5
u)xy(Ey += |
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
•
A
B
C
•
6
( ) iii XXYE 21 ββ +=
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
7
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
X
Y
Relación poblacional positiva entre Y y X
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
X
Y
Relación poblacional negativa entre Y y X
• Las relaciones entre las variables x e y pueden ser: positivas o
negativas
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
CAUSALIDAD EN EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
• Es importante tener en cuenta que un modelo de regresión no
implica la existencia de causalidad entre las variables.
• La causalidad - si existiera - estará determinada por la teoría
económica y reforzada por pruebas estadísticas adecuadas.
8
uxyEy += )|( uyxEx += )|(
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
• La teoría económica analiza las relaciones entre variables a través
de modelos. Las relaciones pueden ser uniecuacionales o
multiecuacionales, bivariadas o multivariadas.
• Además, las relaciones económicas pueden modelarse como
relaciones determinísticas o relaciones estocásticas.
donde g(Y) es la función esperanza condicional o regresión.
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)( )1( YfC = YC 21 )2( ββ +=
uYC +β+β= 21 )4(uYgC += )( )3(
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• Ejemplo: la relación lineal entre consumo e ingreso no es exacta.
Ello, explica que las relaciones entre variables económicas sea
estocástica (presencia de u).
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
Definición
• Denominado término estocástico.
• La palabra estocástico proviene del griego stokhos que
significa objetivo o blanco de una ruleta:
– Una relación estocástica es una relación que no siempre
da en el blanco.
– Así, el término de perturbación mide los errores o fallas de
la relación determinística:
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XYu 21 ββ −−=
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
• La presencia del término de perturbación se justifica por los
siguientes argumentos (no mutuamente excluyentes):
– Omisión de la influencia de eventos sistemáticos, muy
importantes y poco importantes para la relación.
– Omisión de la influencia de innumerables eventos no
sistemáticos, muy importantes y poco importantes para la
relación.
– Error de medida de las variables utilizadas.
– Aleatoriedad del comportamiento humano ante situaciones
similares.
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3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
– Omisión de variables explicativas: se excluyen variables que
no se pueden medir.
– Agregación de variables micro-económicas. Relaciones
individuales pueden tener distintos parámetros.
– Incorrecta especificación del modelo en términos de su
estructura: común en datos de series de tiempo, la variable
endógena puede depender de sus valores pasados.
– Incorrecta especificación funcional: relaciones lineales vs.
no lineales.
13
141
Y
Suponga que una variable Y es una función lineal de otra variable X, con parámetros desconocidos β1 y β2 que vamos a desear estimar.
XY 21 ββ +=
β1
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
152
β1
Y
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21 ββ +=
Suponga que se cuenta con una muestra de 4 observaciones para las variables X e Y.
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Q1
Q2
Q3
Q4
3
β1
Y
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21 ββ +=
Si la relación entre X e Y fuera exacta, las observaciones estarían en la línea recta y no habría problema de obtener los valores exactos de los parámetros poblacionales β1 y β2.
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P4
P3P2
P1
Q1
Q2
Q3
Q4
4
β1
Y
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21 ββ +=
En la práctica, muchas relaciones no son exactas y los valores observados de Y son distintas de los valores que tomaría se estuvieran en la línea recta (P vs. Q)
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P4
P3P2
P1
Q1
Q2
Q3
Q4
5
β1
Y
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21 ββ +=
Así, el término de perturbación permite justificar tal divergencia y por ello el modelo estadístico puede escribirse como Y = β 1 + β 2X + u, donde u es el término de perturbación.
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P4
P3P2
P1
Q1
Q2
Q3
Q4u1
6
β1
Y
121 Xββ +
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21 ββ +=
Cada valor de Y tiene un componente no estocástico, β 1 + β 2X, y un componente u. Por ejemplo, la primera observación tiene estos dos componentes.
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
• SC1:
– Linealidad de la esperanza condicional. ¿Término de perturbación
aditivo? Sí.
– Regresores Adecuados.
– Parámetros Constantes.
• SC2: Supuesto de Regresión
• SC3: Rango Completo por columnas (no multicolinealidad).
• SC4: Ausencia de relación estadística entre X y perturbaciones.
• SC5: Perturbaciones esféricas: Homocedasticidad y No Autocorrelación.
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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC1: LINEALIDAD DE LA ESPERANZA CONDICIONAL
1. Lineal en parámetros y variables: en general para k
variables:
Notación matricial:
21
uXy += β
nnkknnnn
kk
kk
uxxxxy
uxxxxy
uxxxxy
+++++=
+++++=+++++=
ββββ
ββββββββ
332211
222332222112
111331221111
)1(
2
1
)1(
2
1
)(21
22221
11211
)1(
2
1
××××
+
=
nnkkknnknn
k
k
nn u
u
u
xxx
xxx
xxx
y
y
y
β
ββ
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
• Coeficientes de la Regresión y Efectos Marginales
• Interpretación de los parámetros
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Tabla 1: Interpretación de los coeficientes del modelo de regresión X Log(X)
Efecto Marginal
Y Cambio en el nivel de Y ante un cambio en una unidad de X
Cambio en el nivel de Y ante un cambio porcentual de X
(Modelo Semilog) Semi-elasticidad de Y ante X Elasticidad de Y ante X
Log(Y) Cambio porcentual de Y ante un cambio en una unidad de X
(Modelo Semilog)
Cambio porcentual de Y ante un cambio porcentual de X: ()
(Modelo Doble log)
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
2. Regresores adecuados: el modelo especificado es el “verdadero”
• No se omiten variables importantes.
• No se incluyen variables redundantes.
3. Los parámetros son constantes:
• Para la muestra analizada: individuos o tiempo.
• Al menos que fluctúen (poco) alrededor de un valor constante.
• No hay cambio estructural o de régimen (series de tiempo), cualidades
(corte transversal).
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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC2: SUPUESTO DE REGRESIÓN:
• MEDIA INCONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN IGUAL
A CERO:
– Regresores son fijos en muestreo repetido.
– Regresores son variables aleatorias y con distribución totalmente
independiente del término de perturbación.
• MEDIA CONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN DADO X
ES IGUAL A CERO:
– Regresores son variables aleatorias y con distribución independiente en
media del término de perturbación.
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n,,i,)u(E i 10 == 0=)u(E
n,,i,)Xu(E i 10 ==
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC3: RANGO COMPLETO POR COLUMNAS DE X
– No es posible que n<k
• El número de observaciones es mayor al número de
regresores: n > k (variación de los regresores).
– Columnas linealmente independientes
• No existen relaciones lineales exactas entre regresores:
Ausencia de Colinealidad o Multicolinealidad.
– Implicancias:
• X’X es positivo definida
• la inversa de (X’X) existe!
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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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Y
X
•
• Y
X
•
Diversas relaciones posibles Una única relación posible
n<k n=k
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC4: AUSENCIA DE RELACIÓN ESTADÍSTICA ENTRE
REGRESORES Y PERTURBACIONES:
Se presentan dos casos:
– Regresores Fijos en muestras repetidas (no estocásticos).
– Regresores Estocásticos:
• Independencia total.
• Independencia en media.
• Ausencia de relación lineal contemporánea.
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4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
• Independencia Total de las perturbaciones y regresores.
• Independencia en media de las perturbaciones.
Si se cumple SC2 , entonces :
28
( ) ( )iiji uEX|uE =
Kj ,,1 =∀n,i 1=( ) ( ) ( )ijiiji XfufX,uf =
n,i 1= Kj ,,1 =∀
( ) 0=iuE ( ) 0=iji X|uE
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
• Ausencia de relación lineal contemporánea entre perturbaciones
y regresores.
Si , entonces :
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n,,i 1= Kk ,,1 =∀0== )uX(E)u,X(Cov iikiik
0=)u,X(Cov ijiKj ,,1 =∀n,i 1=
( ) 0=iuE
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC5: PERTURBACIONES ESFÉRICAS
– Homocedasticidad:
• Supuesto sobre el segundo momento condicional.
• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):
30
22 σ=]X|u[E i n,,i 1=∀
22
2
σ==−=
]X|u[E
]X|])X|u[Eu[(E)X|u(Var
i
iii n,,i 1=∀
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
– No autocorrelación:
• Si se cumple SC2 y SC3:
• En series de tiempo: ausencia de correlación serial.
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0=]X|uu[E ji ji ≠∀
0==
−−=
)X|uu(E]X|u,u[Cov
)X|)]u(Eu)][u(Eu[(EX|]u,u[Cov
jiji
jjiiji ji ≠∀
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
– Perturbaciones Esféricas: Notación matricial
• La matriz de segundos momentos es proporcional a la identidad.
• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):
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nI]X|'uu[E 2σ=
nI]X|'uu[E)u(Var 2σ==
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
ui
uj
33
a b
a
b
ui
uj