1 jelly model look at homogeneous crystal; we inserted a point charge in this model inhomogeneous...
TRANSCRIPT
1
Jelly model
r
Look at homogeneous crystal; We inserted a point charge in this model Inhomogeneous crystal
Answer 1: = +
Prob1: point charge field at position ?r
ext r r
)(rind
Poisson equ. : 2 4ext extr r
2 4r r
ext indr r r
0
0
0
ext
ind
r
r
r
0
0
0
homogeneous crystal
Screening effect
+ Point charge
2
3
Many body electrons systems
4
contents
Screening Effect :
Thomas-Fermi method
Lind hard method
5
Screening effect
We consider all other charges presence in medium on our
calculations, as this causes some reductions in our quantities then
we recall it as a screen.
6
D free charges
E total charges = free charges + induced charges
Linear relation between E & D:
r ext r
D r E r
E is decreased in the presence of dielectric
D r d r r r E r ���������������������������������������������������� ����
Screening effect
ext r d r r r r ���������������������������������������������������� ����
nonlocal
7
1 extq qq
ext q q q
i q r ext i q re r d r d rd r e r r r ���������������������������������������������������� ����
Screening effect
ext i q rq d rd r e r r r ���������������������������������������������������� ����
r r R d r d R ���������������������������������������������������� ���� i q R rext q d Rd r e R r
�������������������������� ������������������������������������������������������ ����
i q R i q rd Re R d r e r ��������������������������������������� �����������������������������������������������������������
q q
?ind r
a.
= 0
Potential is Zero
r
Basic Principle in Hartree Model
8
Screening effect
Answer a:
0 ; 0 0ext indr r r
ind r d r r r r ���������������������������������������������������� ����
0 ; 0 0ext indq r r
Jelly model without free charges
Jelly model with free charges
2
2
4
4
ext extr r
r r
2
2
4
4
ext extq q q
q q q
2 4ext extq q q q q 4 ind q
2 4extq q q q q
2
2 4
extq qq
q q
9
2
2 2
4 41
q X q X qq
q q
�������������� 1 extq q
q
&
Screening effect
2
41
ind qq
q q
��������������
ind q
X qq
)(q
= ?
Solution : 1- Tomas-Fermi method (classic)
2- Lindhard method (quantum mechanical)
Hartree method for Jelly model
02
2
2ion elU U E
m
10
2
2
2 i i i ir e r r rm
ext indr r r
Screening effect
Tomas-Fermi dielectric constant
1- Tomas- Fermi method: our hypothesis is slow varying r
Semi classic
2 2
2
kk e r
m ����������������������������
343
322 f
L
kN
343
32
8fkN
nV
Quantum mechanicalclassical
]||[)( 02 nr ii
ind
&
Homogeneous gas
)]([4 3
kfKd
n
Inhomogeneous gas
11
1
1)]([
])([
KTk
e
kf
0indn r r e n r n
3
3 2 2
1
4exp 1
2
d kn r
ke r
m
0 3 2 2
1
4exp 1
2
d kn
km
��������������
e r
0 0ind r e n e r n
Tomas-Fermi dielectric constant
Screening effect
In presence of free charges, density become a function of r
r
0n r n e r
Basic Tomas-Fermi Relation
is chemical potential
12
Tomas-Fermi methodScreening effect
0 0ind r e n e r n
As is small we can expand it: r
1 extq qq
Tomas-Fermi dielectric constant
1q
In cavity 00 k
2 02
41
nq e
q
02ind nr e r
0
0 0ind n
r e n e r n
2 0ind nq e r
ind q X q q 2 0nX q e Cte
2021
kq
q
04 2
002
kn
e
Now we have screening effect on Tomas-Fermi method
13
Screening effect
Tomas-Fermi method
Jelly model
Charge distribution
r
Prob2: charge distribution field at position ?r
Answer 2: ext extr q q r
2 4r r 2 4ext extr r
1 extq qq
202
1k
ext Qr
r
2 2sin sinext i q r Qd r r dr d d q r dr d d er
2cos cos
0 0 0 0 0
sin 2 siniqr iqr
r r
Q rdr e d d Q rdr e d
ext i q r Qq d r er
)(qext =
cos siniqr u iqr d du 0
2ext u
r
dvq Q rdr e
iqr
14
cos
00 0
1 12 2iqr iqr iqr
r
Q dr e Q dr e eiq iq
20
4 4sin
Q Qqr dr
q q
2
2 2 20 02
4 / 4
1
ext q Q q Qq
k q kqq
3 2 20
4
2i q rd q Q
r eq k
2 sindq q dq d d
2 2 2
cos3 2 2 2 2
0 00
4 1sin
22iqr iqrQ q Q q
r dq e d dq eq k q k iqr
200
siniqr k rq
Q q qr Qe dq e
r q k r
����������������������������
Screening effectTomas-Fermi dielectric constant
Fourier Transform
15
ext Qr
r
k rQr e
r
���������������������������� potential shows the screening effect
Screening effectTomas-Fermi dielectric constant
ext r
r r
Potential energy
ext r
r r
Potential energy
16
Screening effectTomas-Fermi dielectric constant
We plot potentials in reciprocal lattice:
Without screening effect
Potential energy of one electron
Considering screening effect
ext Qr
r
20
2
4)(
kq
q
q
17
Screening effectLind hard method
2- Lind hard method : First principle; we can use time independent perturbation theory (quantum model)
;
22
F
kk k
n r
0
1 1i k q r
i k rk
q k k q
q ee
T TV V
������������������������������������������
����������������������������
q r
2 2 22
2 2k
kT
m m
0 0 0 01k k k k k
k k k k
V
2
2
2 k k ke r r rm
ext indr r r
0ext r n
])([)( 0nrnrind
&
First perturbation term
19
Screening effectScreening effect on Ion-Ion Interaction
Ion-Ion interaction :Direct interaction: coulomb inter.
Indirect interaction: screening inter.
1( )
2total ij
T i ji j
R R
���������������������������� 1
( )2
totalb i j screen
i j
R R
����������������������������
rdrrVRR bjiSC
rqiaa errdq
i
rqi ieqS rdeqqVqSqS rqqiab
q qSC
2
1
jj
rqi
q
bb eqVrV .
rqi
q
eqr
qqSq a
qVqSqV abb &
Atomic form factorStructure factor
20
Screening effectScreening effect on Ion-Ion Interaction
rdeqqVqSqS rqqiab
q qSC
2
1
rqiaa errdq
qq aa
rr aa
rdr *
( ) ( )S q S q
qqVqSqSRR abjiSC *
2
1
i
rqi ieqS
i
rqi ieqS * q ji
rqirqiiSC
ji eeRR,2
1 qqV ab
jiq
rrqiabSC
jieqqV,,2
1
21
Screening effectScreening effect on Ion-Ion Interaction
( ) ( )q q
i q rq e r d r
* *i q rq e r d r
k k q
4 1
Fk k k k q
qn q
V T T
22 2
8 1
Fk k
q mn q
V k k q
2 22
1 1
2 cosF Fk k k k
Iq kqk k q
22
3 3 20 0 0
sin
2 cos22
Fk
k
dk V dI k dk d
q kq
V
Potential is a real quantity
1 1
k q k q q k k qT T T T
2 2
2k
kT
m
&
22
Lind hard method
cos sinz d dz
12
3 2 20 1
22 4 22
2
FkV dz V kdk dz
I k dkqq kqz q zk
20
1 2ln
8 2
Fkq k
kdkq q k
2 2k dkx dx
q q
2
2
11 2 21ln
4 2 4 12 2
FF F
F F
qqkk k
Iqq
k k
2
22 2
118 21ln
4 2 112
FF F
F F
qqm r kk k
n qqV q
k k
( )2 f
q
k
ind q n q
2 2
2
2ind F
F
mk qq q
V k
2
4 2ind
F
qq q
k
ind q q
Screening effectScreening effect on Ion-Ion Interaction
Is q independent on Tomas-Fermi
&
23
( )2 f
q
k
q1
1/2
1
Screening effectScreening effect on Ion-Ion Interaction
When q 0 Lind Hard model tends to Tomas-Fermi model
( )Lin r
r
24
Lind hard dielectric constantScreening effect
22
44ind ind ind indr r q q
q
2
4 2ind
F
qq q
k
Lind hard relation
2
21
2 F
q k
ext indq q q
2
2 2 F
qq q q q
q k
Lind hard model
0
( )lim ( ) Tomas Fermi
q
qlindherdq
0
lim 12q
F
q
k
25
Screening effectLind hard dielectric constant
( )Lin r
r
Tomas-Fermi model
Lind hard model
It has Bessel behavior & we can
see Friedel Oscillation
It is classical yukawa potential by considering
screening effect
26
Screening effectLind hard method
2 2 23 24
q qk k
f fdk
g ek qm
��������������
2 2
1
exp 12
kfkm
0 0 0 01k k k k k
k k k
V
20 ind
k kr e f r r r
/ 2 / 223 24 /
k q k qindf fd k
q ek q m
��������������
����������������������������
ind q q q
27
12
20
4b a
ZeG q V q q
V q
i q RSC b a
q
R V q q e ������������� �
������������������������������������������
2
20
4 i q RSC
q
ZeR G q e
V q
������������� �
����������������������������
34q
d qV
T b SCR R R ������������������������������������������
2 2
int int
2 sin
direct eraction Indirect eraction
Ze Ze qRG q dq
R R qR
Screening effectLind hard method
tot
R
Attraction &
repulsion
28
Screening effectScreening effect on e-e interaction
2e
r r ������������� � 2
k r ree
r r
������������������������������������������
������������� �
2
220
4 e
k k k
����������������������������
Fourier Transpose
Conclusion :
Screening effect
2
2
4 e
k k
����������������������������
Screening effect
e-e interaction becomes weak
29
Thanks for your attention
30