1. introduccion curso_io i y modelos mar jul 2016

8/17/2019 1. Introduccion Curso_io i y Modelos Mar Jul 2016

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Escuela de Ingeniería IndustrialCurso de Investigación de Operaciones I

Introducción a la Investigación deOperaciones y Modelación

Matemática

Presentado por: Carlos Julio Vidal Holguín

Santiago de Cali, marzo-julio de 2016

Contenido

• Reseña histórica de la Investigación de

Operaciones (IO)

• Naturaleza de la IO

• Principales técnicas de la IO y aplicaciones

• El proceso de diseño en ingeniería

• Modelos: El problema del salvavidas

• Ejemplo de Programación Lineal

• Taller propuesto


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Breve reseña histórica de la IO• Primeros modelos de programación matemática en el

área de economía (Quesnay, Walras, Leontief).

• Segunda Guerra Mundial (1939 –1945).

• Revolución Industrial (Siglo XIX) y división funcional del

trabajo.

• George Dantzig (1947): Método Simplex para PL.

• En 1952 se funda la ORSA y TIMS. Década de los 50’s y

60’s: Desarrollo notable de la mayoría de las técnicas de

la IO, paralelo al desarrollo de los computadores.

• Fusión de ORSA + TIMS = INFORMS en 1995.• Auge actual con INFORMS (https://www.informs.org/About-

INFORMS) con más de 12.000 miembros, y postgrados en

un gran número de universidades.

Naturaleza de la IO• La IO Aplica el método científico.

• La IO busca soluciones óptimas de problemas

reales.

• La IO es generalmente desarrollada y utilizadapor grupos interdisciplinarios.

• La IO tiene un amplio punto de vista.


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Naturaleza de la IO• “La IO se ocupa de la modelación y de la toma de

decisiones óptimas en sistemas determinísticosy probabilísticos de la vida real.”

• “La IO es una disciplina relacionada con la aplicación de

métodos analíticos avanzados para ayudar a tomar

mejores decisiones. Empleando técnicas de otras

ciencias, tales como modelación matemática, análisis

estadístico y optimización matemática, la IO encuentra

soluciones óptimas o cercanas a éstas de problemas

complejos de decisión. La IO está íntimamenterelacionada con la ingeniería industrial, la administración

de operaciones y las ciencias de la computación.”*

*Fuente: https://www.informs.or g/About-INFORMS/What-is-Operations-Research. Consultada MAR_2016.

Principales técnicas de la IO y sus aplicaciones• Progr amación Matemátic a : Optimización de cadenas de

suministro, planeación de producción, optimización de inversiones,

asignación de personal, diversas aplicaciones en Logística, etc.

• Modelos d e redes : Optimización de sistemas de producción-

distribución, control de proyectos, optimización de cadenas de

suministro, optimización de redes de transporte, etc.

• Progr amación Dinám ica : Estrategia de ventas, planeación de la

producción, etc.

• Teoría de colas y c adenas de Markov : Control de tránsito,programación del tráfico aéreo, diseño de sistemas de servicio,

diseño de presas, etc.

• Teoría de inven tar io s : Sistemas de pronósticos y control de

inventarios.

• Simulación : Aplicaciones en infinidad de sistemas reales.

• Análisi s de deci sio nes : Selección óptima de alternativas.

https://www.informs.org/About-INFORMS/What-is-Operations-Researchhttps://www.informs.org/About-INFORMS/What-is-Operations-Researchhttps://www.informs.org/About-INFORMS/What-is-Operations-Research


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El Proceso de Diseño en Ingeniería

¿Qué es un modelo?


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Arte y ciencia de la Modelación Matemática

El Problema del Salvavidas(Programación no-lineal)

Un salvavidas se encuentra situado en un punto S sobre una

playa plana y recta, situado a 30 m de la orilla, como muestra

la Figura de la transparencia siguiente. Dentro del agua, en

un punto P, situado 80 m a la izquierda de S y 100 m dentro

del agua, se encuentra un bañista en peligro de ahogarse. El

salvavidas puede correr a una velocidad lineal constante de9 m/seg sobre la tierra y nadar a una velocidad lineal

constante de 2.5 m/seg. ¿Qué debe hacer el salvavidas

para llegar a la persona lo más rápido posible?

El problema del salvavidas: Enunciadoagua

arena

P

S

30m

100m

80 m

V agua = 2.5 m/s

V arena = 9.0 m/s


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El problema del salvavidas: Análisis

arena

agua P

S

30m

100m

80 m

x 80 x

El problema del salvavidas: Formulación

Objetivo: Minimizar tiempo de llegada

del salvavidas a la persona:

Tiempo total T = T arena + T agua

agua

agua

arena

arena

v

d

v

d T

m800

seg 5.2

100

9

30)80()(min

2222

x

x x xT

arena

agua P

S

30m

100m

80 m

x 80 x


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Solución óptima del

problema del salvavidas:

Excel

El problema del salvavidas: Solución óptima

arena

agua

x * = 25.13 m

P

S

30m

100m

80 m

x *

Intuitivo: En línea

recta (x = 61.54 m)

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/SOLUCION%20PROBLEMA%20DEL%20SALVAVIDAS%20AGO%202014.xlsxhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/SOLUCION%20PROBLEMA%20DEL%20SALVAVIDAS%20AGO%202014.xlsx


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El problema del salvavidas: Gráfica

44.00

46.00

48.00

50.00

52.00

54.00

56.00

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T i e m p o t ( x ) e n s e g u n d o s

x (m)


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• Velocidad sobre la arena y sobre el agua =

constantes (no hay aceleración ni desaceleración)• La persona que está en peligro está inmóvil

• No hay oleaje fuerte en el agua

• El límite arena – agua no se mueve

• No hay obstáculos en la playa ni en el agua

• El límite arena – agua es recto y la playa es plana

• ¿Otros?

El problema del salvavidas: Supuestos

Realismo vs. Posibilidad de Solución

EL ARTE DE MODELAR

Identificación de las características fundamentales delsistema

Diseño de modelos eficientes y efectivos

Tiempo computacional aceptable

Realismo

Herramientas para la toma de decisiones


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Ejemplos de diversos

modelos matemáticos

Localización de una nueva bodega

PUNTO

i PRODUCTO

VOLUMEN

TOTAL V i

(Ton/año)

COSTO DE

TRANSPORTE CT i

[$ / (Ton∙km)]

COORDENADA

x i

(km)

COORDENADA

y i

(km)

P1 A 2,000 0.050 3 8

P2 B 3,000 0.050 8 2

C1 A&B 2,500 0.075 2 5

C2 A&B 1,000 0.075 6 4

C3 A&B 1,500 0.075 8 8


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Localización de una nueva bodega

id

iCT

iV

C

i

i

i

T

aninstalacióladesdeDistancia

hacia Transporte de Costo

punto delVolumen

te transpor de totalCosto

: Notación

Ejemplo de localización continua (Modelo)

• Se consideran distancias Euclidianas

• La función objetivo a minimizar es entonces:

bodega.nuevaladeónlocalizacilaes ),( donde

)()(

te transpor de totalcostoMinimizar

1

22

1

y x

y y x xCT V d CT V C n

i

iiii

n

i

iiiT


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Oferta para ocupación de un hotel

Un hotel turístico exclusivo muy demandado recibe una serie de ofertas para ocupación de uno de sus

mejores conjuntos de habitaciones entre Mayo 1 y Agosto 31. Las ofertas varían en cuanto al preciode las habitaciones, ya que existen diferentes tipos de clientes, y en cuanto al día de llegada y al díade salida de los turistas. Por ejemplo, una oferta puede ser por $800,000 entre Junio 15 y Junio 18,mientras que otra oferta puede ser por $1.000.000 entre Junio 16 y Junio 20. Como el ejemplomuestra, no se permite superposición de ofertas, ya que se supone que cada una de ellas ocuparíacompletamente las habitaciones disponibles. Por lo tanto, de las dos ofertas mostradas en el ejemplo,sólo una puede escogerse. También, pueden existir períodos de tiempo donde no exista oferta alguna.Formule un modelo de redes que permita encontrar la mejor forma de seleccionar las ofertas entreMayo 1 y Agosto 31, de tal forma que se maximice el ingreso total del hotel para este período.

Mayo1 Ago.31Jun.15Jun.16 Jun.17

Jun.18 Jun.19 Jun.20…

…

$800,000

$1,000,000

Ejemplo de Programación Lineal

• Se producen dos productos (P1 y P2)

• Dos recursos:

– Capacidad de la máquina (hr de operación/año)

– Cantidad limitada de materia prima r (ton/año)• Hay una demanda máxima de cada producto

• Se busca maximizar la utilidad neta total


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PRODUCTOEficiencia(hr/ton)

Consumo(tonr/tonp)

Demanda(ton/año)

Utilidad($/ton)

P1 0.12 1.45 50,000 100

P2 0.18 1.15 35,000 160

LIMITE 8,400

hr/año

80,000

ton/año

Información básica para el modelo

Variables de decisión

• P 1 = Cantidad a producir del producto P1,

expresada en ton /año

• P

2 = Cantidad a producir del producto P2,expresada en ton /año


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Modelo de Programación Lineal

Maximizar U = 100P1 + 160P2 [$ / año]

Sujeto a:

0.12P1 + 0.18P2 8,400 [hr / año]

1.45P1 + 1.15P2 80,000 [tonr / año]

P1 50,000 [ton p / año]

P2 35,000 [ton p / año]

(P1, P2) 0 [ton p / año]

DefinirAlternativas de

Solución (es) Definir

Restricciones a la

(s) Solución (es) Definir Criterio o

Función Objetivo

MODELOS SON SOPORTE, NO

DECISIONES !!!

MODELOS SON SOPORTE, NO

DECISIONES !!

MODELOS PL


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MODELOS PL

Problema

Actividades

Recursos

Paráme

tros

Objetivo

Variables deDecisión

Consumo deRecursos

Restricciones

FunciónObjetivo

Esquema de un Modelo de Programación Matemática

MODELOS Y PROCESO DEDISEÑO EN INGENIERÍA

Ventajas

• Consideración de aspectos

fundamentales difíciles de

abordar sin un modelo.

• Definición precisa: objetivos,

estructura y restricciones delsistema.

• Evaluación sistemática de

alternativas

• Rápido análisis de sensibilidad

Desventajas

• Necesidad de muchos datos

de alta precisión (costosos)

• Necesidad de conocimientos

especializados: formulación,

solución y análisis deresultados

• Se requiere sistemas de

computación y programas

complejos y costosos

• Tiempos de solución largos


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A possible classification of Optimization Problems

Clasificación de los modelos de optimización

Optimización de procesos químicos. 2007 – 2008. DIQUIMA – ETSII

(Cortesía de Pablo Manyoma)


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Taller 1

Una compañía petrolera está planeando construir un oleoducto para llevar petróleo crudo desdeun pozo hasta un punto donde se embarcará en tanques y será transportado a la refinería. Lafigura siguiente muestra la disposición geográfica del pozo y del punto de embarque.

Los costos de construcción del oleoducto son los siguientes:Por la ribera del río donde está ubicado el pozo de petróleo: $72/KmPor la ribera del río donde está ubicado el punto de embarque: $90/KmAtravesando el río (por cualquier parte): $150/Km

Formule un modelo matemático que le permita determinar cómo debe construirse el oleoducto detal forma que el costo total de construcción sea mínimo. Defina para ello las variables de decisiónadecuadas y construya la función objetivo y las restricciones con base en dichas variables.

Problema No. 1


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Su compañía posee tres plantas, en las cuales elabora un componente pequeño para un productoindustrial. La compañía comercializa el producto a través de cinco distribuidores en el país.Los pronósticos de ventas indican que los requerimientos mensuales por distribuidor son lossiguientes:

DISTRIBUIDOR 1 2 3 4 5

Demanda mensual (Unid) 2,700 2,700 9,000 4,500 3,600

La capacidad mensual de producción en cada planta y los costos unitarios de producción seilustran en el siguiente cuadro:

PLANTA 1 2 3

Capacidad (Unid) 4,500 9,000 11,250

Costo Unitario de producción ($/Unid) 60 30 54

Los costos de envío a distribuidores desde las plantas se muestran en el cuadro siguiente, en$/Unid:

DISTRIBUIDOR 1 2 3 4 5

Planta 1 1.5 2.1 3.3 4.5 4.8

Planta 2 2.4 1.8 3.0 3.6 4.5

Planta 3 3.0 2.7 2.7 3.0 4.8

Formule un modelo matemático que le permita determinar dónde producir los componentes y laforma de des acharlos hacia los distribuidores.

Problema No. 2

Problema No. 31) Para la elaboración de un producto químico se cuenta con 4 materias primas: A, B, C y D que

contienen cierto factor f tal como se indica en el cuadro siguiente:

MATERIA PRIMAFACTOR

f (%)

COSTO

($/Kg)

A 51 4.00

B 11 2.00

C 14 2.40

D 36 3.00

Se trata de obtener una mezcla de una tonelada, cuyo contenido del factor f sea por lo menos del

18% y con la condición que las materias primas B y C no constituyan más del 20% de la mezcla,con el mínimo costo posible.


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Una industria de papel produce pulpa la cual puede vender al mercado local o utilizar para

fabricar papel blanco o cartón. Una tonelada de cartón requiere 0.7 ton de pulpa, mientrasque una tonelada de papel blanco consume 0.9 ton de pulpa (el cartón y el papel blancorequieren de otras materias primas que no se consideran en este problema). La pulpa se produce a partir de bagazo de caña de azúcar, con un rendimiento del 40%. Se dispone de260,000 ton/año de bagazo. Las instalaciones para producir pulpa tienen capacidad para 250ton/día. La máquina de cartón trabaja a una velocidad efectiva de 200 ton/día y la de papel blanco a 150 ton/día. La producción se hace durante 335 días al año, ya que el resto detiempo se dedica a mantenimiento.

Cada tonelada de papel blanco producida arroja al río 10 unidades de contaminación; unatonelada de cartón arroja 6 unidades y cada tonelada de pulpa arroja 20 unidades. Se permiteun máximo total de 1,000,000 unidades de contaminación/año arrojada al río. Las utilidadesnetas por tonelada de pulpa, cartón y papel blanco son $50, $60 y $80, respectivamente.

Formule un modelo de programación lineal que permita estimar el mejor plan de producciónanual. Asuma que todo lo que se produce puede venderse.

Problema No. 4

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