Investigación de OperacionesInvestigación de Operaciones

Profesor: Sr Marcos Concha Cabrera

marcos.concha@ufrontera.cl

Mayo - Agosto

2014

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA

FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIASDEPARTAMENTO DE INGENIERÌA DE SISTEMAS

TEMUCO - CHILE

ContenidosUnidad 1: Optimización Lineal

1.1 Introducción a la programación lineal (PL)

1.2 Construcción de modelos de PL

1.3 Solución de problemas de PL

1.3.1 Método gráfico

1.3.2 Método Simplex

1.4 Dualidad: Precios sombra

1.5 Análisis de sensibilidad

2

Unidad 2: Programación lineal entera

2.1. Formulación de modelos en variables enteras (y binarias)

2.2. Método de ramificación y acotamiento ("branch and bound") y extensiones

2.3. Métodos de planos de corte

3

Unidad 3: Programación Lineal: Aplicaciones

3.1 Modelo de transporte

3.2 Modelo de asignación

3.3 Modelo de Redes

3.3.1 Definición de redes

3.3.2 Modelo de transbordo

3.3.3 Árbol de extensión mínima

3.3.4 Problema de la ruta más corta

3.3.5 Flujo máximo

4

Unidad 4: Administración de Proyectos: PERT y CPM

4.1 Desarrollo de la red de proyectos.

4.2 Administración de proyectos usando tiempos determinísticos.

4.3 CPM y el equilibrio entre tiempo y costo

4.4 Administración de proyectos usando tiempos no determinísticos.

5

Unidad 5: Programación dinámica

5.1 Estructura de los modelos de programación dinámica: etapa, estado, decisiones.

5.2 Principio de optimalidad de Bellman

5.3 Modelos de variable discreta y estados finitos.

5.4 Aplicaciones: ruta óptima en n etapas, programación de la producción e inventario, reemplazo de equipo.

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EVALUACIÓN

• Prueba 1 (35%) 05-07-2014

• Prueba 2 (35%) 02-08-2014

• Tareas (30%) Semanalmente

• La asignatura se aprueba si el promedio ponderado es igual o mayor a 4,0

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BIBLIOGRAFÍA

• HILLIER Frederick S. y LIEBERMAN Gerard J. Introduccción a la Investigación de Operaciones. México. McGraw-Hill. 2004. 1223 p.

• TAHA Hamdy A. Investigación de Operaciones, Séptima Edición, Pearson (Prentice Hill). México 2004. 830 p

8

9

Unidad 1: Optimización Lineal

• ¿Qué es un problema (Situación Administrativa)?

• Soluciones: Absolución

Resolución

Solución

Disolución

• ¿Por qué decimos que un problema es complejo?

• Análisis de problemas: ¿Quién resuelve los problemas?

• ¿Qué entendemos por identificar un problema?

1.1 Introducción a la Programación Lineal

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¿Qué es Investigación de Operaciones?

El uso de las matemáticas y las computadoras para ayudar a tomar decisiones racionales frente a problemas de administración complejos

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Aplicación de las técnicas de la administración a problemas (sistemas):

Determinísticos

Toda la información necesaria para obtener una solución se conoce con certeza

Estocásticos

Parte de la información no se conoce con certeza

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Método Científico para resolver problemas complejos

En las Ciencias En Administración

Defínase el problema Recoléctense los datos Formulénse hipótesis Pruebénse hipótesis Evalúense resultados Obténganse conclusiones

Defínase el problema Recoléctense los datos Defínanse soluciones alternativas Evalúense soluciones alternativas Selecciónese la mejor alternativa Puesta en práctica

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¿Qué se hace en la realidad?

Estar bien informado Conocer todastodas las alternativas Ser objetivo (ser optimizador económico)

Muchas soluciones

Definir el problema

Establecer los criterios de solución

Buscar las soluciones

Solución Satisfactoria

Aumentar los criterios

Pocas soluciones

Disminuir criterios

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¿Qué hace un Director de Empresa para escoger la acción más efectiva para alcanzar las metas de la Organización?

Establecer Criterio(s) que usará Seleccionar un conjunto de alternativas para considerarlas Determinar el modelo que se usará y los valores de los parámetros Determinar la alternativa que optimiza el criterio Tomar la decisión

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Aportes: Técnicas de Programación Lineal

– George Dantzig (USAF), Marshall Wood y Murray Geisler

– Wassily Leontief (modelo insumo-producto)• Método Simplex

– Gomory (programación lineal discreta)

– Lester Ford y D. K: Fulkerson (redes, trayectoria crítica)• CPM y PERT

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CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS

Los modelo cuantitativos se emplean:

• Como guía en la toma de decisiones

• Como ayuda en la toma de decisiones

• Para automatizar la toma de decisiones

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Características de los Sistemas Administrativos

• Def: “Sistema....

• Tipos de sistemas: Cerrados, abiertos

Modelos:

• Normativos, descriptivos

• Concretos, Abstractos (verbales o simbólicos)

• Aplicación (Inventarios)

• Técnica (Programación Lineal)

• Comparación de Modelos (validez, confiabilidad y la simplicidad)

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Ejemplo de un modelo simbólico (cuantitativo)

Usted se encuentra Temuco y debe estar a una hora determinada en Talca, por ejemplo a las 16 horas de mañana, el viaje lo realizará en automóvil ¿A qué hora debería salir de Temuco?.

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• Dimensionalidad de los modelos (unidades)

• Toma de decisiones

Categoría Consecuencia

Certidumbre Deterministas

Riesgo Probabilísticas

Incertidumbre Desconocidas

Conflicto Influidas por un oponente

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Uso de Datos para la Toma de Decisiones

““Determina primero los hechos, después puedes Determina primero los hechos, después puedes tergiversarlos como te plazca”. Mark Twintergiversarlos como te plazca”. Mark Twin

““Los hechos no dejan de existir porque se ignoren”. Los hechos no dejan de existir porque se ignoren”. Aldous HuxleyAldous Huxley

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• ¿Qué son los datos?¿Qué son los datos?

Son hechos o conceptos conocidos o supuestos y Son hechos o conceptos conocidos o supuestos y generalmente se expresan en númerosgeneralmente se expresan en números

• Tipos de datosTipos de datos

Internos y externosInternos y externos

Objetivos y subjetivosObjetivos y subjetivos

• Requerimientos de datos en diferentes niveles de Requerimientos de datos en diferentes niveles de la Organizaciónla Organización

Control operativoControl operativo

Control AdministrativoControl Administrativo

Planeación estratégicaPlaneación estratégica

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Construcción de Modelos

Etapas en la construcción de modelos:

1.Estudie el ambiente de la situación administrativa

2.Formule un representación selectiva de la situaciónDeterminación de las entradas y salidasEntradas: Variables exógenas (decisiones y

parámetros)Salidas: Variables endógenas (medidas de

desempeño y variables de consecuencias) 3.Construya y analice un modelo simbólico

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Situación: InversiónConsidere el problema enfrentado por Mark, graduado de la maestría de administración de empresas, quién recientemente obtuvo un puesto como analista financiero en una compañía de Wall Street. Uno de los beneficios adicionales es un plan de retiro en el que el empleado pone 5% de su ingreso mensual. La compañía iguala esta cantidad. El dinero de este plan es entonces invertido en dos fondos: un fondo de acciones y un fondo de bonos. El Departamento de Beneficios le ha pedido a Mark que especifique la fracción de este dinero que habría que invertir en cada fondo. Mark ha analizado el rendimiento anterior de estos fondos y se ha enterado de que el fondo de acciones ha crecido a una tasa anual promedio de 10%, mientras que el fondo de bonos, ha promediado una retribución anual de 6%.

Para diversificar su cartera y para controlar el riesgo, no desea poner todos los huevos en una sola canasta, ha identificado dos pautas:

1. Ninguno de los fondos debe tener más del 75% de la inversión total.

2.La cantidad invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble invertido en el fondo de bonos.

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1 Definición del problema

El problema de Mark está bien definido, se conoce el objetivo global, las limitaciones básicas para la toma de decisión

2 Desarrollo del Modelo Matemático

Expresar el problema en forma matemática (formular el modelo), por lo que se requiere determinar las variables involucradas

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Variables de decisión:

S : Fracción de capital por invertir en acciones

B : Fracción de capital por invertir en bonos

Para el problema se desean escoger valores para que estas variables:

1 Maximicen la retribución anual esperada

2 Satisfagan todas las pautas de inversión

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- Función Objetivo

El objetivo global de un problema de decisión expresado en una forma matemática en términos de los datos y de las variables de decisión:

Maximizar 0,1 S + 0,06 B

- Restricciones (limitaciones)

Es un límite sobre los valores de las variables en un modelo matemático típicamente impuesto por condiciones externas.

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- Ningún fondo tenga más del 75% de lo invertido

S 0,75 (límite superior en el fondo de acciones)

B 0,75 (límite superior en el fondo de bonos)

- La fracción S invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble de la fracción B invertida en el fondo de bonos

S 2 B ó S - 2 B 0

- Cada fracción debe ser no negativa

S, B 0

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Finalmente el modelo resultante es:

Maximizar 0,1 S + 0,06 B

Sujeto a:

S 0,75

B 0,75

S - 2 B 0

S, B 0

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3 Resolución del modelo matemático

Al resolver el problema usando cualquier técnica se tienen los siguientes valores para las variables de decisión:

S = 0,75 y

B= 0,75

Generando una retribución de:

0,1 * 0,75 + 0,06 * 0,75 = 0,12 (12%) ¿?

Solver 1

30

4 Validación y Control de la Solución

Al observar los valores de las variables de decisión (S=0,75 y B=0,75) se ve que no tienen sentido. No se puede invertir un 75% en ambos fondos simultáneamente.

Hay un error, no se incorporó una restricción, la disponibilidad de recursos

S + B = 1

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5 Modificación del Modelo

Maximizar 0,1 S + 0,06 B

Sujeto a:

S 0,75

B 0,75

S - 2 B 0

S + B = 1

S, B 0

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Resolviendo nuevamente se tiene que:

S = 0,6667 y

B = 0,3333

Finalmente la retribución es

0,1 * 0,6667 + 0,06 * 0,33333 = 0,86667 (8,667%)

Solver 2

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1.2 Construcción de Modelos de PL

Modelo de Programación Lineal

Es un modelo matemático en el que las relaciones entre variables son lineales y donde hay un solo objetivo o medida de rendimiento.

La ventaja que tiene el modelo es que existe una técnica matemática que permite determinar la decisión óptima.

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El modelo de PL tiene un conjunto de variables de decisión, una función objetivo la que debe maximizarse o minimizarse y un conjunto de relaciones o restricciones.

Z = C1X1 + C2X2 + ......... CnXn

Z : es un objetivo económico (beneficios, producción, costos, etc)

Ci : coeficientes constantes (factores de ponderación)

Xi : variables de decisión (n)

sujeto a (Restricciones (m) ):

A1X1 + A2X2 + ......... AnXn B1

..................................................A1X1 + A2X2 + ......... AnXn Bm

FORMALIZACIÓN DEL MODELO DE PL

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Matricialmente se tiene:

Vector de variables o

niveles de actividad

Vector de “costos” o factor de ponderación

nx

x

x

.2

1

nccc ...21

36

Vector de variables o

niveles de actividad

Vector de constantes del lado derecho (recursos)

A

B

nb

b

b

2

1

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

..

........

..

..

21

22221

11211

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Entonces

Optimizar Z = CT X = [c1 c2 c3]

nx

x

x

2

1

=

n

jjj xc

1

sujeto a

A X B

y X 0

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Ejemplo 1:

Una mueblería produce dos tipos de productos, sillas y mesas. Supóngase que el beneficio marginal por cada silla es de $8 y por cada mesa es de $10. Para la producción se dispone de 20 horas hombre (hh) y de 10 unidades de madera (um). Para la construcción de una silla se requieren 8 hh y 2 um, y para la construcción de una mesa se requieren 6 hh y 4 um. ¿Cuántas sillas y mesas se deben construir para obtener el mayor beneficio?.

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Recursos Sillas MesasDisponibilidad de

recursos

R1: horas hombre 8 6 20

R2: unidades de madera

2 4 10

Beneficios $8 $10

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Formulación del PL

SeaX1 : Cantidad de sillas a producir

X2 : Cantidad de mesas a producir

Función Objetivo:

Max Z = 8X1 + 10X2

Sujeto a:8X1 + 6X2 20 // hh2X1 + 4X2 10 // um

X1 , X2 0 (no negatividad)

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Ejemplo 2:

Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas.

El tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado a 10 horas por día

El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:

Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia $1 10 6 8 22 5 20 15 3

Minutos por unidad

Obtenga el modelo de PL para maximizar la ganancia

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Solución:

1. Variables de decisión

X1 : Cantidad del producto 1

X2 : Cantidad del producto 2

2. Función Objetivo: Maximizar ganancia

Max Z = 2 X1 + 3 X2

3. Restricciones

10 X1 + 5 X2 600 // Disponibilidad Máquina 1

6 X1 + 20 X2 600 // Disponibilidad Máquina 2

8 X1 + 15 X2 600 // Disponibilidad Máquina 3

X1 , X2 0 // nonegatividad

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Ejemplo 3:RMC posee una pequeña fábrica de pinturas para interiores y exteriores de casa para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias, la de B es de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la siguiente tabla:

Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que las pinturas para exteriores en más de una tonelada. Asimismo, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias.

El precio al mayoreo es de $3.000 para la pintura de exteriores y $2.000 para la de interiores.

¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la fábrica de pinturas RMC todos los días para maximizar el ingreso bruto?

Tonelada de materia primapor tonelada de pintura Disponibilñidad

Exterior Interior máxima (Toneladas)Materai prima A 1 2 6Materia prima B 2 1 8

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Solución:

1. Variables de decisión

X1 : Toneladas de pintura de exteriores producidas por día

X2 : Toneladas de pintura para interiores producidas por día

2. Función Objetivo: Maximizar ganancia

Max Z = 3 X1 + 2 X2 miles de unidades monetarias

3. Restricciones X1 + 2 X2 6 // Disponibilidad de materia prima A

2 X1 + X2 8 // Disponibilidad de materia prima B

- X1 + X2 1 // Relación de demanda entre pinturas

X2 2 // Demanda máxima de pintura interiores

X1 , X2 0 // nonegatividad

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Ejemplo 4:Una empresa fabrica dos productos, A y B. En su elaboración, cada producto debe pasar por dos secciones. El suministro de mano de obra de la sección 1 es 100 horas y el de la sección 2 es 200 horas.

El tiempo de mano de obra cuesta $2 por hora en la sección 1 y $1,5 en la sección 2. Las horas de mano de obra necesarias por unidad de cada producto son las siguientes:

Producto A Producto BSección 1 4 3Sección 2 2 8

La cantidad máxima de unidades de B que puede venderse es igual a treinta; la de A es veinticuatro. La materia prima para cada producto cuesta $5 por unidad. El precio unitario de venta de A es $30 y el de B es $25.

a) Formule el modelo de PL correspondiente.