٠۶/٠۴/١۴٣۴

١

):1(توابع مختلط یادآوري

9جلسه

سید روح اهللا کاظمی

ریاضی پیشرفته

بسم اهللا الرحمن الرحیم

برخی از خواص اعداد مختلط

2

اصلی عمل چهار انجام چگونگی مقابل در:میشود مالحظه مختلط اعداد براي

:بود خواهند برقرار زیر روابط مقابل شکل به مختلط عدد یک مزدوج تعریف با

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢

نمایش هندسی اعداد مختلط

3

بگیریم نظر در مختلط اعداد موهومی بخش دهنده نشان را عمودي محور و حقیقی بخش دهنده نشان را افقی محور اگر:داریم

نمایش قطبی اعداد مختلط

4

:داشت خواهیم مختلط صفحه به توجه با حال

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣

نمایش قطبی اعداد مختلط

5

به را مثلثی نامساوي رابطه میتوان شکل مطابق:نوشت مختلط عدد دو براي مقابل صورت

:نوشت را مقابل رابطه میتوان کلی حالت در:هستند حاکم مقابل روابط قطبی نمایش با مختلط عدد دو ضرب براي

)1 (

)2 (

)3 (

توان اعداد مختلط

6

:هستند حاکم مقابل روابط نیز قطبی نمایش با مختلط عدد دو تقسیم براي

صحیح هايn براي را )7( میتوان )3( و )2( از z1 گرفتن و ،)6( به توجه با سپس گرفت، نتیجه نامنفی

اعداد براي )7( که میشود مشاهده ،zn برابر z2 و1 برابر .است برقرار نیز منفی صحیح

.است مشهور دموآور فرمول به که آید می دست به )8( رابطه بگیریم نظر در 1 برابر را z اندازه ،)7( در اگر حال

)6 (

)5 (

)4 (

)7 (

)8 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

۴

.است مقداري چند عبارت یک ))9( عبارت( مختلط عدد یک امn ریشه,0 با است برابر k آن در که است )10( عبارت برابر که 1, 2, …, n-1.

:داریم )10( از 1 برابر z ازاي به حال .میشود گفته امn ریشه اصلی مقدار صفر، برابر k ازاي به )10( مقدار

برابر واحد هاي ریشه مقدار بنامیم w ،1 برابر k ازاي به را باال عبارت مقدار اگر .هستند یک عدد امn هاي ریشه که :)بعد صفحه شکل( با بود خواهند

)چرا؟( :از عبارتند آن ریشه n باشد، )صفر غیر(z هاي ریشه از کدام هر ،w1 اگر کلی طور به

ریشه اعداد مختلط

7

)9 (

)10 (

ریشه اعداد مختلط

8

٠۶/٠۴/١۴٣۴

۵

منحنی ها و نواحی در صفحه مختلط

9

داد نشان زیر رابطه با میتوان را a مرکز به و r شعاع به C دایره بنابراین .|z-a| از است عبارت ،a و z نقطه دو بین فاصله)الف شکل(

.است )باز دایروي قرص( C درونی نقاط نمایش ،)12( مساوي نا همچنینشامل قرص این .میشود تعریف )13( رابطه با بسته دایروي قرص یک مقابل در

نقطه همسایگی یک را ،)12( باز، دایروي قرص .استC خود وCدرونی نقاطa مینامند نیز.

.)ب شکل( داد نشان )14( با میتوان را متحدالمرکز دایره دو بین نقاط همچنین

)11 (

)12 (

)13 (

)14 (

ب الف

توابع یک متغیر مختلط

10

:میشود داده نشان )15( صورت به مختلط متغیر یک از مختلط تابع یک

.هستند y و x برحسب حقیقی توابعی v و u آن در که ،)16( است مختلط مقدار یک خود w ،)9-29( در

.آورید دست به راz=(1/2)+4i نقطه در تابع مقدار نیز وv و u مقادیر باشیم، داشته مقابل شکل به تابعی اگر :مثال

:حل

)15 (

)16 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

۶

حد و پیوستگی

11

:میشود نوشته و است l حد داراي میکند میل z0 سمت به z وقتی f(z) گویند هر ازاي به f(z) مقدار همچنین و باشد شده تعریف )z0 خود جز به احتماال( f(z0) از همسایگی یک در f(z) هرگاه

هر ازاي به یعنی جامعتر طور به .شوند نزدیک l به بخواهیم که قدر هر باشد، نزدیک z0 به کافی اندازه به که z از مقداري قرص در واقع z≠z0 مقادیر تمام ازاي به که طوري به کرد پیداd حقیقی مثبت عدد یک بتوان e حقیقی مثبت عدد

< d│z-z0 │هر ازاي به یعنی :باشیم داشته z≠z0 قرص در واقع d، مقدار f قرص در .است فرد به منحصر حد این باشد، داشته وجود حدي چنانچه .)زیر شکل( بگیرد قرار )17(

)17 (

f(z0) هرگاه گویند پیوسته z=z0 در را f(z) تابع:باشیم داشته و باشد شده تعریف

یک در حداقل f(z) که است الزم تعریف این به بنا.باشد معین z0 همسایگی

حد و پیوستگی

12

در امتدادي هر از x خالف بر z که است این حقیقی اعداد براي حد تعریف با مختلط توابع براي حد تعریف مهم اختالف)زیر مثال( .میکرد میل x0 به حقیقی خط امتداد در فقط x که حالی در کند، میل z0 به میتواند مختلط صفحه.ندارد وجود صفر در f(z) حد ولی است 1 برابر شده بیان حدود که دهید نشان مقابل تابع براي :مثالداریم :حل

در ولی کند میل مقدار یک به مبدا سمت به مسیرها همه از تابع باید باشد، موجود صفر در حد اینکه براي دیگر طرف از

:داریم y=mx مسیرهاي طول در چون .نیست چنین اینجا

?)(limlim?)(limlim)()(000022

2

zfzfyxyxzf

yxxy

1)(limlim)(limlim1)(limlim)(limlim 22

2

000022

2

0000

yxyxzf

yxyxzf

yxyxxyxy

2

2

2

2

022

2

00 1)1(

1)1(lim)(lim)(lim

mm

mm

yxyxzf

xzz

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٧

مشتق

13

:میکنیم تعریف و میدهیم نمایش f′(z) با را z0 نقطه در f(z) مختلط تابع مشتق

نیز زیر شکل به را باال رابطه .گوییم پذیر مشتق z0 در را f(z) تابع صورت این در .باشد موجود حد این اینکه بر مشروط:نوشت میتوان

:زیرا است، 2z برابر آن مشتق و بوده پذیر مشتق z مقادیر تمام ازاي به f(z)=z2 تابع باال تعریف مطابق

f(z)=z تابع مانند .ندارند مشتق اي نقطه هیچ در که دارند وجود نیز زیادي ساده توابع اما ̅=x-iy، زیرا:

)19 (

)18 (

مشتق

14

مورد حد مقدار براي بنابراین .میشود -1 برابر نسبت این آنگاه ،Δx=0 اگر .است +1 برابر فوق مقدار آنگاه ،Δy=0 هرگاه نقطه هیچ در نظر مورد تابع نتیجه در و آید می دست به متفاوت نتیجه دو مختلف، مسیر دو از مشتق، محاسبه در نیاز.نیست پذیر مشتق جا هیچ پیوسته، همواره تابع یک که میشود مالحظه بنابراین .ندارد مشتق اي

:زیر قوانین و اي زنجیره قاعده مانند است، حقیقی توابع شبیه درست مختلط، توابع مشتقپذیري قواعد

:تحلیلی توابع نقطه در را f(z) تابع .باشد پذیر مشتق و شده تعریف D نقاط تمام در f(z) هرگاه گویند تحلیلی z دامنه در را f(z) تابعz=z0 هرگاه گویند تحلیلی f(z) همسایگی یک در D و مختلط صفحه تمام در ،)20( اي، جمله چند توابع .باشد تحلیلی عوامل که است این بر فرض اینجا در .هستند تحلیلی مخرج هاي ریشه جز به مختلط صفحه تمام در ،)21( گویا، توابع

) 20(.ایم نموده حذف را h و g مشترك

)21 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٨

):2(توابع مختلط ریمان، یادآوري توابع-معادالت کوشی

10جلسه

سید روح اهللا کاظمی

ریاضی پیشرفته

بسم اهللا الرحمن الرحیم

ریمان-معادالت کوشی

16

.بیابیم f(z) مختلط تابع بودن تحلیلی براي معیاري میخواهیم اکنون z خود در و بوده پیوسته و شده تعریف x+iy=z نقطه همسایگی یک در x,y)+iv(x,y)=u(z(f( کنید فرض :1 قضیه ،1 رابطه ریمان،-کوشی معادالت در و دارد وجود نقطه آن در v و u اول مرتبه جزیی مشتقات آنگاه باشد، پذیر مشتق D نقاط تمام در و داشته جود مزبور جزیی مشتقات باشد، تحلیلی D دامنه یک در f(z) هرگاه بنابرابن .میکند صدق.میکنند صدق

به مختلط توابع مشتق محاسبه براي مفید رابطه دو میشود، گذاشته دانشجو عهده به آن مطالعه که قضیه این اثبات در :از عبارتند که آید می دست

اول مرتبه جزیی مشتقات داراي y و x حقیقی متغیر دو از )x,yv( و )x,yu( حقیقی پیوسته تابع دو هرگاه :2 قضیه f(z)=u(x,y)+iv(x,y) مختلط تابع آنگاه کنند، صدق ریمان-کوشی درمعادالت D مثل اي دامنه در که باشند پیوستهاي

.است تحلیلی D در

)1 (

)3 ( )2 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٩

ریمان-معادالت کوشی

17

است؟ تحلیلی مقابل تابع آیا :مثال

مورد تابع بنابراین .است برقرار z هر ازاي به ریمان-کوشی معادالت که میشود مشاهده زیر محاسبات به توجه با :حل.است تحلیلی مقادیر تمام ازاي به ،)2( قضیه به بنا بررسی

:باشد مقابل شکل به آن حقیقی قسمت که بیابید چنان را f تحلیلی تابع :مثال:حل

3)( zzf

22

22

32

2333

336

633

33

)()(yxvxyv

xyuyxu

yyxvxyxu

iyxzzfyx

yx

xyxu 22

iczzcyxyixyxivuzfctegdxdg

yudxdgyvxgyxyvvxu yxyx

222 )2()(0

22)(212

ریمان-معادالت کوشی

18

:داریم ریمان-کوشی معادالت بیان براي ببریم، کار به را مختلط اعداد قطبی صورت هرگاه

تابع یک موهومی و حقیقی قسمت دو هر که است این مهندسی ریاضیات در مختلط آنالیز بررسی اصلی دالیل از یکی الکترواستاتیک، جاذبه، نیروي در و بوده فیزیکی مهم معادالت از معادله این .میکنند صدق الپالس معادله در تحلیلی.دارد کاربرد آن نظایر و گرما معادله سیال، جریان

صدق زیر الپالس معادالت در ،D در v و u آنگاه باشد، تحلیلی D دامنه در x,y)+iv(x,y)=u(z(f( کنید فرض :3 قضیه.میباشند D در پیوسته دوم مرتبه جزیی مشتقات داراي و کرده

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١٠

ریمان-معادالت کوشی

19

معادله جوابهاي نظریه و همساز توابع باشند، داشته پیوسته دوم مرتبه جزیی مشتقات که را الپالس معادله از جوابهایی .هستند همساز توابع تحلیلی تابع یک موهومی و حقیقی قسمتهاي بنابراین .مینامند پتانسیل نظریه را الپالس

قسمتهاي v و u یعنی کنند، صدق ریمان-کوشی معادالت در Dدامنه یک در v(x,y) و u(x,y) همساز تابع دو هرگاه تفاوت مختلط عدد مزدوج مفهوم با( مزدوج همساز تابع را v آنگاه باشند، D در f تحلیلی تابع یک موهومی و حقیقی

.آورد دست به ریمان-کوشی معادالت از میتوان را همساز تابع یک مزدوج .نامند D در u تابع )دارد.بیابید u از را v مزدوج همساز و است همساز مختلط صفحه تمام در مقابل تابع دهید نشان :مثال:حل

.میگیرد قرار بررسی مورد مختلط مقدماتی توابع مهمترین از مورد چند رفتار ادامه در

xyxu 22

iczzcyxyixyxivuzfcxxyvcxxgdxdgyu

dxdgyvxgxyvvxuu yxyx

222

2

)2()(,2)(

1122)(22,0

تابع نمایی

20

:میگیرد صورت )4( صورت به حقیقی توابع براساس ez تعریف:است خودش برابر تابع این مشتق همچنین .است تحلیلی z مقادیر تمام ازاي به یعنی است، تام تابع یک تابع این

:هست نیز دیگري خواص داراي تابع این

)4 (

→ )5 (→)5 (

→ )7 ()4 ( → )6 (

)6 ( →

)6 ( →

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١١

تابع نمایی

21

2p تناوب دوره با متناوب تابع یک تابع این i رو این از .است w=ez 2 عرض به افقی نوار در را خود مقادیر تمامp اختیار

.مینامند ez بنیادي ناحیه را نامتناهی نوار این .میکند

.بیابید را مقابل معادله جوابهاي کلیه :مثال:حل

این همه که است زیر صورت به جواب بینهایت داراي مختلط، نمایی تابع بودن متناوب علت به فوق معادله بنابراین

.دارند قرار یکدیگر از 2p فاصله به و مختلط صفحه در عمودي خط یک روي جوابها

توابع مثلثاتی، توابع هیپربولیک

22

:میکنیم تعریف را10 تا 8 مثلثاتی توابع زیر، روابط به توجه با و اویلر روابط از استفاده با

.هستند تحلیلی است، صفر برابر مخرج که نقاطی در جز به نیز 10 و9 توابع .هستند تام هم 8 توابع است، تام ez چون:)چرا؟( از است عبارت باال توابع مشتق

)9 (

)10 (

)8 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١٢

توابع مثلثاتی، توابع هیپربولیک

23

:میدهد نشان z مختلط عدد ازاي به مرا اویلر فرمول درستی 8 رابطه

:که دهید نشان :مثال

:حل:میشود استفاده 8 از 12 اثبات براي

)11 (

)12 ()13 ()14 ()15 (

توابع مثلثاتی، توابع هیپربولیک

24

:میشود استفاده زیر رابطه و12 از 14 اثبات براي .میشود اثبات 12 مشابه نیز 13 :حل ادامه

sin توابع تناوب دوره که گرفت نتیجه میتوان حال .است مشابه طریق به نیز15 اثبات z و cos z 2 برابرp تناوب دوره و tan توابع z و cot z برابر pکراندار مختلط کسینوس و سینوس توابع که میشود مالحظه همچنین .)چرا؟( است

.)چرا؟( نیستند:کنید حل را روبرو معادالت :مثال:حل

.برابرند هم با حقیقی و مختلط کسینوس و سینوس توابع صفرهاي که میشود مالحظه

→

(by 14) →y=0 →

(by 15) →

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١٣

توابع مثلثاتی، توابع هیپربولیک

25

:هستند برقرار نیز مختلط کسینوس و سینوس توابع براي زیر فرمولهاي

تحلیلی صفحه درتمام توابع این .میشود تعریف19 روابط صورت به نیز مختلط هیپربولیک کسینوس و سینوس توابع :20 از است عبارت آنها مشتق و هستند

:میشوند تعریف زیر روابط صورت به دیگر مختلط هیپربولیک توابع

.)چرا؟( هستند وابسته هم به زیر صورت به مثلثاتی و هیپربولیک توابع

)16 (

)18 ()17 (

)19 ()20 (

)21 ()22 (

لگاریتم، توان عمومی

26

به را مختلط عدد یک طبیعی لگاریتم .است تر پیچیده بسیار حقیقی لگاریتم تابع به نسبت مختلط لگاریتم تابع رفتار

ln صورت z )گاهی log z( یعنی میشود، تعریف نمایی تابع معکوس صورت به و داده نمایش w=ln z، هر ازاي به z≠0، :داریم صورت این در .میشود تعریف z=ew رابطه با

ln مختلط طبیعی لگاریتم پس میشود، مشخص 2p صحیح مضارب با آرگومان اینکه به توجه با حال z (z≠0) بینهایت ln مقدار .است مقداري z اصلی مقدار با متناظر که را Arg z با را باشد Ln z اصلی مقدار و میدهیم نمایش ln z :داریم z≠0 ازاي به بنابراین .مینامیم

:نوشت میتوان همچنین و

→

→ )23 (

)24 (

)25 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١۴

لگاریتم، توان عمومی

27

دیگر طرف مقادیر از یکی با طرف یک از مقدار هر که تفاوت این با برقرارند نیز مختلط لگاریتم توابع براي27 و26 روابط.است برابر

:باشیم داشته مقابل صورت به مختلط عدد دو اگر مثال:با است برابر آنها اصلی لگاریتم مقدار

خاصی مقدار که بود خواهد برقرار وقتی 26 بطه را که میشود مالحظه مختلط عدد دو این حاصلضرب محاسبه هنگام اما:نیست برقرار رابطه این اصلی مقدار براي و بگیریم نظر در را حاصلضرب لگاریتم از

:)چرا؟( هستند حاکم مختلط لگاریتمی توابع براي نیز زیر روابط همچنین

)26 ()27 (

)28 ()29 (

لگاریتم، توان عمومی

28

قسمت و مبدا جز به جا همه در که میکند تعریف را تابعی )25( رابطه ،n=0,±1,±2,... عدد هر ازاي به :4 قضیه :)کنید اثبات( از است عبارت آن مشتق و است تحلیلی حقیقی محور منفی

را )31( خاص مقدار .بود خواهد مقداري چند کلی، حالت در که میشود تعریف )30( با مختلط عدد یک عمومی توانهاي.مینامند تابع این اصلی مقدار

،c=1/n اگر .ندارد فرقی معمولی توان با و است مقداري تک zn صورت آن در ،…,c=-1,-2 یا …,c=n=1,2 چنانچه .میشود حاصل امn ریشه براي متمایز مقدار n ترتیب بدین و افزود را مضارب میتوان شده مشخص که نمایی به آنگاه

)30 (

)31 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١۵

لگاریتم، توان عمومی

29

یا اصم عدد c اگر .دارد متمایز مقادیر متناهی تعداد یک zc هم باز باشد، مثبت صحیح عدد دو نسبت ،c=p/q هرگاه.است شده داده نشان توان محاسبه از نمونه دو زیر در .است مقداري چند نامتناهی طور به zc آنگاه باشد، محض مختلط

:نوشت را )32( رابطه میتوان مختلط عدد هر ازاي به ،)30( به توجه با همچنین)32 (

): 3(توابع مختلط انتگرالگیري مختلط

11جلسه

سید روح اهللا کاظمی

ریاضی پیشرفته

بسم اهللا الرحمن الرحیم

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١۶

انتگرال روي خط

31

:مختلط صفحه در انتگرالگیري اهمیت.نیستند محاسبه قابل معمول روشهاي به که حقیقی انتگرالهاي برخی محاسبه-.تحلیلی توابع اساسی خواص از برخی صحیح اثبات -

مختلط، معین انتگرال در میشود، انتگرالگیري حقیقی خط از خط پاره یا بازه یک بر حقیقی انتگرال :انتگرالگیري مسیر

میگیرد، صورت انتگرالگیري آن بر که را C منحنی .میشود انجام مختلط صفحه در C منحنی یک طول در انتگرالگیري.گویند انتگرالگیري مسیر

.است حقیقی پارامتر یک t آن در که داد نشان )1( صورت به میتوان را منحنی هر

:است y=3x خط و z│=4│ دایره از قسمتی دهنده نشان ترتیب به زیر عبارتهاي نمونه عنوان به

)1 (

انتگرال روي خط

32

.باشد غیرصفر و پیوسته مشتقی داراي نقطه هر در هرگاه گویند هموار را C منحنی تعریف زیر صورت به که است مماس خط داراي پیوسته طور به جا همه در C که است معنی بدان این هندسی طریق به

:میشود

اي تکه مختلط خط روي انتگرالها انتگرالگیري مسیرهاي همه که میشود فرض ما بحث در نظر مورد انتگرالگیري در .اند شده تشکیل اند، شده وصل هم به انتها از که هموار منحنی متناهی تعداد از یعنی هستند، هموار

میشود تضمین C دار جهت منحنی طول در انتگرال وجود ،C بودن هموار اي تکه طور به وf تابع بودن پیوسته صورت در .میدهند نشان )2( نماد با را انتگرال این و

.:میشود استفاده )3( از باشد بسته مسیر یک اگر)2 (

)3 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١٧

انتگرال روي خط

33

:)حقیقی معین انتگرال مشابه( مختلط خط روي انتگرال ویژگی سه.است خطی عملگر یک انتگرالگیري -

:داریم آنگاه شود، تجزیه C2 و C1 قسمت دو به C اگر -

.میشود ضرب -1 در انتگرال مقدار ، انتگرالگیري جهت تعویض با -

دو روش که میتوان از آنها براي انتگرال گیري مختلط استفاده کرد، عبارتند از روش استفاده از نمایش مسیر و روش .ابتدا روش اول و کمی جلوتر روش دوم مورد بررسی قرار میگیرد. انتگرالگیري نامعین

)4 (

)5 (

)6 (

)روش استفاده از نمایش مسیر(انتگرالگیري مختلط

34

.است استفاده قابل پیوسته تابع هر براي روش این

همچنین باشد، شده داده نمایش b≤t≤a آن در که ،t(z=z( با که باشد، هموار اي تکه مسیر یک C هرگاه :1 قضیهf(z) بر پیوسته تابع یک C ،آنگاه باشد:

.)ساعت خالف جهت در واحد دایره C( آورید دست به را مقابل رابطه :مثال:حل

)7 (

)8 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١٨

)روش استفاده از نمایش مسیر(انتگرالگیري مختلط

35

.)ساعت خالف جهت در ،z0 مرکز و r شعاع به اي دایره C صحیح، عددي m( آورید دست به را زیر تابع انتگرال :مثال

:حل

:با است برابر باال عبارت راست طرف اما

)9 (

)روش استفاده از نمایش مسیر(انتگرالگیري مختلط

36

.است وابسته نیز مسیر خود به عموما بلکه مسیر، انتهایی نقاط به فقط نه مختلط خط روي انتگرال.بیابید زیر مسیرهاي براي را مقابل تابع انتگرال :مثال

.*C مسیر طول در )الف .شده تشکیل C2 و C1 مسیرهاي از که C مسیر طول در )ب

:حل

٠۶/٠۴/١۴٣۴

١٩

کرانی براي قدرمطلق انتگرالها

37

:از است عبارت اساسی فرمول .بزنیم تخمین را مختلط خط روي انتگرال مطلق قدر که است الزم گاهی

.|C، M≤ | f(z) از z نقطه هر در که است ثابتی عدد M و ،C مسیر طول L آن در که.)است i+1 تا 0 از خط پاره یک ( بیابید را مقابل انتگرال مطلق قدر باالي کران :مثال:حل

:است برقرار )10( میشودکه مالحظه پاسخ قدرمطلق سپس و انتگرال محاسبه با

)10 (

چند تعریف

38

:است نیاز زیر مفهوم دو به کوشی قضیه بیان براي.نباشد مماس خودش بر یا نکرده قطع را خودش که است اي بسته مسیر :ساده بسته مسیر .1

در واقع ساده بسته مسیر هر اگر گویند، ساده همبند دامنه را مختلط، صفحه در واقع ،Dدامنه:ساده همبند دامنه .2D نقاط شامل فقط D باشد.

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢٠

قضیه انتگرال کوشی

39

بسته مسیر هر ازاي به آنگاه باشد، تحلیلی D ساده همبند کراندار دامنه درz(f( هرگاه :)کوشی انتگرال قضیه(2 قضیه:D در واقع C ساده

.نیست الزم شرط و است کافی شرط یک ،)12( برقراري براي باال در مذکور شرط که شود دقت :است شده استفاده باال قضیه از چگونه و رابطه کدام در که کنید دقت زیر محاسبات در :مثال

)11 (

→

→

→

→ ) چرا؟(

استقالل از مسیر

40

.)چرا؟( است D در مسیر از مستقل f)z( انتگرال آنگاه باشد، تحلیلی D ساده همبند دامنه درf)z( هرگاه :3 قضیه طور به )انتهایی نقاط نگهداشتن ثابت با( را انتگرالگیري مسیر میتوانیم انتگرال یک در که میشود نتیجه باال قضیه از

مقدار نگذرد، نیست تحلیلی آن در f(z) که اي نقطه از یافته شکل تغییر مسیر که وقتی تا و بدهیم تغییر اي پیوسته.است موسوم شکل تغییر اصل به مطلب این .نمیکند تغییر شکل تغییر تحت خط روي انتگرال

منحنی با که D دوگانه همبند دامنه براي .گرفت کار به نیز چندگانه همبند هاي دامنه براي میتوان را کوشی قضیه به D شامل که ،*D دامنه هر در f(z) هرگاه که گفت میتوان )زیر شکل( است محصور C2 درونی منحنی و C1 بیرونی:داریم باشد، تحلیلی است اي کرانه منحنیهاي عنوان

.مشوند محاسبه ساعت هاي عقربه حرکت عکس جهت در انتگرال دو هر که

)12 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢١

وجود انتگرال معین

41

z0 نقطه که اي ساده بسته مسیر هر براي که میشود نتیجه شد، بررسی که مثالهایی از یکی به توجه با و قبل مطلب از

:)چرا؟( داریم دارد، قرار آن درون

:مثال

CCWzcdzc

zz

z,1

21:?3

2

31

)(31)(

31

11

111

11

1113

1

3

2

cz

cz

cz

czzz

czz

zdzdzdzdzdz

34)022(

31 iii ppp

)روش انتگرالگیري نامعین(انتگرالگیري مختلط

42

دارد، وجود D دامنه در z(f( از F)z( نامعینی انتگرال آنگاه باشد، تحلیلی D ساده همبند دامنه درf)z( هرگاه :4 قضیهF΄(z) یعنی = f(z)، در که D در مسیري هر براي و بوده، تحلیلی D نقطه دو که z0 و z1 از D میکند وصل هم به را :داریم

: نوشت میتوان قضیه این از استفاده با مثال

)یک؟ هر براي D مناسب محدوده(

)13 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢٢

فرمول انتگرال کوشی

43

مسیر هر و 0z نقطه هر ازاي به آنگاه باشد، تحلیلی D ساده همبند دامنه درz(f( اگر :)کوشی انتگرال فرمول(5 قضیه:داریم ،)مقابل شکل( باشد شامل را z0 که D در واقع C ساده بسته

.شود انجام ساعت هاي عقربه عکس جهت در انتگرالگیري آن در که

:داریم z0=2 شامل بسته مسیر هر براي :مثال

.است صفر برابر کوشی قضیه به بنا باال، انتگرال مقدار نباشد z0=2 شامل که اي بسته مسیر هر براي و.کنید محاسبه شکل در شده داده هاي دایره روي CCW در را مقابل تابع انتگرال :مثال

)14 (

فرمول انتگرال کوشی

44

مسیرهاي براساس بنابراین نیست، تحلیلی -1 و 1 در فقط تابع این :حل ادامه

اما .)چرا؟( بود خواهد صفر برابر نیز d مورد و بوده a مشابه b مورد شده داده: c و a موارد

******* در خارجی انتگرالگیري آن در که کرد، استفاده )15( از زیر شکل به توجه با میتوان چندگانه همبند هاي دامنه مورد در

.شود انجام ساعت هاي عقربه جهت در داخلی و ساعت هاي عقربه عکس جهت

)15 (

a:

c:

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢٣

مشتقات توابع تحلیلی

45

D در نیز مشتقات این همه .است مشتق داراي مرتبه هر از D در f آنگاه باشد، تحلیلی D دامنه درz(f( اگر :6 قضیه :با است برابر D از z0 مانند اي نقطه در f(z) تابع مشتقات .هستند تحلیلی

.میشود پیموده ساعت خالف جهت در و میگیرد بر در را z0 که است D در واقع دلخواهی بسته مسیر C آن در که

باالترش مشتقات وجود مورد در باشد، پذیر مشتق حقیقی تابع یک اگر .نیست موجود حقیقی توابع در عجیب قضیه این.دارند هستند، پذیر مشتق که حقیقی توابع از تر ساده رفتاري مختلط تحلیلی توابع بنابراین .گرفت اي نتیجه نمیتوان

)16 (

مشتقات توابع تحلیلی

46

pنقطه که اي بسته مسیر هر براي :مثال i جهت در( بگیرد بر در را CCW(، داریم:

-نقطه که اي بسته مسیر هر براي i جهت در( بگیرد بر در را CCW(، داریم:

:داریم ،)CCW جهت در( باشند آن خارج در ±2i نقاط و داخل در1نقطه که اي بسته مسیر هر براي

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢۴

مشتقات توابع تحلیلی

47

:باشیم داشته D در بسته مسیر هر ازاي به همچنین و پیوسته D ساده همبند دامنه درz(f( اگر :7 قضیه

.است تحلیلی D درf(z) آنگاه z0 مرکز و r شعاع به اي دایره که میکنیم فرض16 رابطه در .میشود منجر مهمی نامساوي به6 قضیه :کوشی نامساوي

:داریم |M ≤ | f(z) و10 گیري کار به با .باشد

.است کوشی نامساوي بیانگر )17( رابطه:است لیوویل قضیه اثبات در کوشی، نامساوي کاربردهاي از یکی

.است ثابت تابعی D درz(f( آنگاه باشد، کراندار مطلقا z هر ازاي هموارهf)z( تام تابع اگر :)لیوویل(8 قضیه

)17 (

): 4(توابع مختلط سري تیلور، سري لوران و مانده ها

12جلسه

سید روح اهللا کاظمی

ریاضی پیشرفته

بسم اهللا الرحمن الرحیم

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢۵

سري تیلور

49

:)تیلور قضیه(1 قضیه به توانی سري یک تنها آنگاه .باشد D در واقع دلخواهی نقطه z=z0 همچنین و تحلیلی D دامنه یک درf(z) کنید فرض.میباشد )1( صورت به سري این .میدهد نمایش را f(z) که دارد وجود z0 مرکز

را باال در مجموع عبارت اگر .است معتبر میباشد واقع D در و است z0 آن مرکز که بازي قرص بزرگترین در نمایش این Rn (شده نامیده1 باقیمانده میماند، جا به بعد به امn جمله از آنچه کنیم، حساب امn جمله تا (z)( به میتوان را آن و

.داد نشان )2( صورت

.است │ r│z-z0= دایره روي │ f(z)│ماکزیمم M آن در که میکند صدق )3( نامساوي در )1( ضرایب

)2 (

)3 (

)1 (n=0

سري تیلور برخی توابع مهم

50

.است مشهور مکلورن سري به z0=0 مرکز با )1( از خاصی حالت .مینامند z0 مرکز با f(z) تیلور سري را )1( سري

:داشت خواهیم ،)f(z)( مقابل تابع گرفتن نظر در با :هندسی سري

:بود خواهد زیر صورت به هندسی سري یک باال، تابع مکلورن بسط نتیجه در و

z=1 دارد قرار واحد شعاع به اي دایره روي نقطه این و است نظر مد تابع براي تکین نقطه یک.:)؟D محدوده( از است عبارت نمایی تابع مکلورن سري از استفاده با :نمایی تابع

)آورید دست به 5 از استفاده با را اویلر رابطه(

→

)4 (

)5 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢۶

سري تیلور برخی توابع مهم

51

هذلولوي و مثلثاتی توابع:داریم )5( نمایی تابع بسط از استفاده با

)6 (

)7 (

)8 (

)9 (

سري تیلور برخی توابع مهم

52

لگاریتمی توابع:میشود نتیجه )1( از

:داریم -1 در نتیجه کردن ضرب و z جاي به z- دادن قرار با

:داریم سري دو کردن جمع با

براي بهتري روشهاي .است گیر وقت و پیچیده تیلور، قضیه فرمول کمک به تیلور بسط ضرایب محاسبه موارد، بیشتر در.است شده مطرح بعد مثالهاي در کار این

)10 (

)11 (

)12 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢٧

سري تیلور برخی توابع مهم

53

.کنید تعیین را مقابل تابع مکلورن بسط :مثال

.کنید تعیین را مقابل تابع مکلورن بسط :مثال:داریم

:داشت خواهیم f(0)=0 اینکه به توجه با و قبل مثال بسط از انتگرالگیري با حال

سري لوران

54

آنگاه باشد، تحلیلی آنها بین طوق در و 0z مرکز به 2C و 1C متحدالمرکز دایره دو رويz(f( اگر :)لوران قضیه(2 قضیهf(z) لوران سري با میتوان را

،C مانند دلخواهی ساده بسته مسیر روي انتگرالها این از هریک و است زیر صورت به فوق لوران سري ضریب .داد نمایش.میشود گرفته ساعت هاي عقربه عکس جهت در میگیرد، میان در را داخلی دایره و دارد قرار طوق در که

)13 (

)14 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢٨

سري لوران

55

:داد نشان میتوان نیز زیر شکل به را لوران سري که است واضح

.است فرد به منحصر خود همگرایی طوق در ،f(z) شده داده تحلیلی تابع لوران سري -- f(z) باشد داشته متمایز لوران سریهاي متمایز، متحدالمرکز طوق دو در است ممکن.

.کنید تعیین را صفر مرکز به تابع لوران بسط :مثال:داریم7 به توجه با .است مبدا بدون مختلط صفحه سراسر همگرایی طوق اینجا در :حل

)16 (

)15 (

سري لوران

56

.کنید تعیین را صفر مرکز به تابع لوران بسط :مثال

:داریم z جاي بهz/1 دادن قرار با ،5 به توجه با .است مبدا بدون مختلط صفحه سراسر همگرایی طوق هم باز :حل

:مثال.دهید بسط z منفی توانهاي برحسب را تابع همین )ب .دهید بسط z نامنفی توانهاي برحسب راz-1/(1( عبارت )الف)الف

)ب

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٢٩

سري لوران

57

.کنید تعیین را صفر مرکز به مقابل، تابع لوران و تیلور سریهاي :مثال

:میکنیم تفکیک را تابع عبارت ابتدا :حل

:داریم دوم کسر براي میشود، استفاده قبل مثال نتایج از اول کسر براي:ج حالت

:د حالت

سري لوران

58

:داریم |z |1> محدوده براي ج، حالت و )قبل مثال( الف حالت از

:داریم >z|1|2> محدوده براي ج، حالت و )قبل مثال( ب حالت از

:داریم|z|2< محدوده براي د، حالت و )قبل مثال( ب حالت از

.)چرا؟( میشود تبدیل تیلور سري به لوران سري باشد، تحلیلی C2 داخل در لوران، قضیه در f(z) اگر که میشود مالحظه

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣٠

نقاط تکین

59

دارند وجود نقاطی آن، همسایگی هر در ولی نیست تحلیلی آنجا در f(z) که است اي نقطهf(z) چون تابعی تکین نقطه.است تحلیلی آنها در f(z) که

تکین نقطه f(z) آن، در که باشد داشته وجود z0 از همسایگیی همچنین و باشد f(z) تابع تکین نقطه یک z=z0 اگر .مینامند )تنها( منفرد تکین نقطه را z=z0 آنگاه باشد، نداشته دیگري

طوق یک داخل در f(z) معرف که دارد z=z0 حول لورانی بسط f(z) آنگاه باشد، f(z) منفرد تکین نقطه یک z=z0 اگر .است

به میتوان را طوق داخلی شعاع و است f(z) دیگر تکین نقطه نزدیکترین و z0 بین فاصله برابر طوق این خارجی شعاع.گرفت کوچک دلخواه اندازه

z-z0 منفی توانهاي از متناهی تعدادي شامل فقط z=z0 چون منفردي تکین نقطه همسایگی در f(z) لوران بسط اگر .مینامند f(z) قطب را z=z0 باشد،

قطبها و صفرها

60

(z-z0)اگر - mمرتبه از قطب میگویند باشد، بسط این در منفی توان بزرگترین m قطب اول مرتبه قطبهاي به .است .میگویند z=z0 در f(z) اصلی قسمت را )زیر عبارت( منفی توان شامل جمالت همه مجموع .میشود گفته نیز ساده

یک را z=z0 آنگاه باشد، z-z0 منفی توان بینهایت شامل z=z0 منفرد تکین نقطه یک همسایگی در f(z) لوران بسط اگر .مینامند f(z) تنهاي اساسی تکین نقطه.است z=2 در پنجم مرتبه قطب و z=0 در ساده قطب داراي مقابل تابع :مثال

.است z=0 در تنها اساسی تکینی داراي نیز زیر تابع

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣١

قطبها و صفرها

61

که گوییم نیز و f(z0)=0 اگر دارد، D در واقع z=z0 نقطه در صفر یک است، تحلیلی D دامنه در که ،f(z) تابع گویندf(z) مرتبه از صفري n نقطه در z=z0 اگر دارد z=z0 صفر فقط نه f صفر بلکه f΄،f˝، . . . ، f (n-1) و باشد نیز

f(n)(z0)≠0. مینامند نیز ساده صفر را اول مرتبه صفر.:بینهایت در تکینی یا بودن تحلیلی

در را f(z)=f(1/w)=g(w) و z=1/w دهیم قرار میتوانیم کنیم، بررسی بزرگ هاي |z | ازاي به را f تابع بخواهیم هرگاه ترتیب به w=0 در g(w) اگر است بینهایت در تکین یا تحلیلی f(z) میشود گفته .کنیم مطالعه w=0 همسایگی یک

که میشود تعریف همچنین .باشد تکین یا تحلیلی

f(1/w) اگر است بینهایت در n مرتبه صفر داراي f(z) که میشود گفته عالوه، به .باشد موجود حد این که صورتی در.دارد وجود نیز اساسی تکین نقاط و قطبها براي مشابهی وضعیت .باشد داشته w=0 در صفري چنین

انتگرالگیري به روش مانده ها

62

باشد، تحلیلی C درون و C بر جا همه f(z) اگر .بگیرید نظر در را مقابل انتگرال.است صفر برابر کوشی قضیه به توجه با انتگرالی چنین آنگاه

سري داراي f(z) آنگاه باشد، تحلیلی آن داخل و C بر واقع نقاط سایر در و باشد z=z0 در تکین نقطه یک داراي f(z) اگراست مقابل صورت به لورانی

b1 ضریب .همگراست >R|z-z0|0> صورت به اي دامنه در ،)z=z0 خود جز به( z=z0 به نزدیک نقاط تمام ازاي به که:با است برابر )n=1 براي( لوران قضیه در شده ارایه فرمول طبق

را نظر مورد انتگرال زیر شکل به میتوان انتگرالی، فرمول از استفاده از غیر دیگر روشهایی با لوران سري تعیین با حال:نمود محاسبه

)17 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣٢

محاسبه مانده ها

63

.میگیرد صورت است آن داخلی نقطه یک z=z0 نقطه که C ساده بسته مسیر روي CCW جهت در آن در انتگرالگیري:میدهند نشان مقابل نماد با را آن و است موسوم z=z0 در f(z) مانده به b1 ضریب

:ساده قطبهاي در مانده محاسبه براي نیست الزم همیشه ولی .است الزم مانده مقدار آوردن دست به انتگرال، محاسبه براي شد، مالحظه که همانگونه

.دارد وجود تري مناسب راههاي باشیم، مواجه قطب با که حالتی در .آورد دست به را سري کل مانده، مقدار تعیین

:از است عبارت لوران سري نتیجه در .باشد z=z0 در ساده قطب یک داراي f(z) کنید فرض

:داریم ،z-z0 در باال رابطه طرفین ضرب با

)18 (

محاسبه مانده ها

64

:آید می دست به زیر شکل به مانده مقدار نتیجه در و

:آید می دست به زیر صورت به نقطه این در تابع مانده و دارد z=i در ساده قطب یک مقابل تابع :مثال

.میشود معرفی است مناسبتر اوقات بسیاري در که ساده قطبهاي در مانده محاسبه براي دیگري فرمول حال مخالف صورت آن در که باشیم داشته مقابل شکل به تابعی اگر

آنگاه باشد، z=z0 در ساده صفر یک داراي مخرج و بوده صفر:از است عبارت نقطه این در تابع مانده مقدار:داریم مثال عنوان به :مثال

)19 (

)20 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣٣

محاسبه مانده ها

65

:باال مرتبه قطبهاي در مانده محاسبه:میشود استفاده 21 رابطه از باالتر مرتبه قطبهاي در مانده محاسبه براي

.کنید تعیین z=1 در را مقابل تابع مانده مقدار :مثال

:با است برابر مذکور تابع مخرج :حل

:نتیجه در .است z=1 در دوم مرتبه قطب یک داراي تابع بنابراین

)21 (

): 5(توابع مختلط قضیه مانده ها و کاربرد آن در انتگرالهاي حقیقی

ریاضی پیشرفته

بسم اهللا الرحمن الرحیم

13جلسه

سید روح اهللا کاظمی

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣۴

قضیه مانده

67

به باید بود، شده مطرح قبل جلسه اسالید در که تابع یک صفر مرتبه تعریف که است تاکید به الزم بحث ادامه از پیش:شود اصالح زیر شکل

که گوییم نیز و f(z0)=0 اگر دارد، D در واقع z=z0 نقطه در صفر یک است، تحلیلی D دامنه در که ،f(z) تابع گویندf(z) مرتبه از صفري n نقطه در z=z0 اگر دارد z=z0 صفر فقط نه f صفر بلکه f΄،f˝، . . . ، f (n-1) و باشد نیز

f(n)(z0)≠0. مینامند نیز ساده صفر را اول مرتبه صفر.*************

:)مانده قضیه(1 قضیه z1،z2، . . .، zk تکین نقاط متناهی تعداد در جز به آن، روي و C بسته مسیر داخل در که باشد تابعیf(z) کنید فرض

آنگاه باشد، تحلیلی ،C داخل در واقع.میشود انجام CCW جهت در C مسیر روي انتگرالگیري آن در که

)1 (

محاسبه مانده ها

68

:کنید محاسبه زیر هاي ویژگی با C ساده بسته مسیر هر روي و CCW جهت در در را مقابل عبارت :مثال.هست آن خارج در 1 و داخل در 0 )ب .هستند آن داخل در 1 و 0 )الف.هستند آن خارج در 1 و 0 )ت .هست آن داخل در 1 و خارج در 0 )پ

داریم :حل

:مانده قضیه طبق نتیجه در

.کنید محاسبه CCW جهت در است، 9x2+y2=9 بیضی C که حالتی در را زیر انتگرال :مثال

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣۵

محاسبه مانده ها

69

i2± ساده قطبهاي داراي انتگرال عالمت زیر تابع از جمله نخستین بنابراین .i2± و ±2 از عبارتند مخرج هاي ریشه :حل:از عبارتند نقاط این در مانده مقدار .دارند قرار )C( انتگرالگیري مسیر داخل در که است

تابع از جمله دومین .نداریم نیازي آنها به است C خارج چون که است، ±2 ساده قطبهاي داراي نظر مورد تابع همچنین روشهاي از نمیتوانیم نیست قطب صفر، عدد اینکه به توجه با که است صفر در اساسی تکین نقطه یک داراي انتگرال زیر

تعیین )زیر عبارت( تابع بسط از را z/1 ضریب مقدار مانده تعیین براي .کنیم تعیین را نقطه این در مانده مقدار باال:است p2/2 برابر که میکنیم

:با است برابر مانده قضیه طبق نهایی جواب نتیجه در

محاسبه مانده ها

70

.کنید محاسبه CCW جهت در C روي را مقابل عبارت انتگرال :مثال

عبارت در را z/1 عبارت ضریب باید تابع مانده محاسبه براي که است صفر در سوم مرتبه قطب یک داراي تابع این :حل:)چرا؟( از است عبارت تابع این بسط .کنیم تعیین تابع بسط به مربوط

:از است عبارت نقطه این در مانده مقدار نتیجه در

:بود خواهد نهایی جواب و

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣۶

محاسبه مانده ها

71

.کنید محاسبه CCW جهت در C روي را مقابل عبارات انتگرال :مثالقطب یک داراي تنها C داخل در اما دارد قطب بینهایت تابع این :حل

:از است عبارت نقطه این در تابع مانده مقدار که است صفر در ساده :بود خواهد نهایی جواب نتیجه در

.کنید محاسبه CCW جهت در C روي را مقابل عبارات انتگرال :مثال:از است عبارت نقاط این در مانده مقدار که i/2– وi/2از عبارتند تابع این C درون قطبهاي

:بود خواهد نهایی جواب نتیجه در

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

72

.میپردازیم مانده قضیه کمک به پیچیده و توجه مورد حقیقی انتگرالهاي از برخی محاسبه به قسمت این دروکسینوس سینوس از گویا توابع انتگرالهاي .1

از حقیقی گویاي تابع یک F آن، در که مقابل شکل به انتگرالهایی محاسبه براي sinq و cosq گرفتن با است، متناهی انتگرالگیري فاصله بر وz=eiqمییابیم:

میکند، تغییر p2 تا صفر ازq وقتی .است f(z) صورت به z از گویا تابع یک انتگرال زیر تابع که میشود مشاهده اکنون به مدنظر انتگرال ،dq محاسبه براي زیر رابطه به توجه با .میکند حرکت CCW جهت در واحد دایره روي یکبار z متغیر

.میپذیرد صورت CCW جهت در |z |1= واحد دایره روي انتگرالگیري که آید می در زیر صورت

)2 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣٧

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

73

.کنید محاسبه را مقابل انتگرال :مثال

:داریم قبل صفحه توضیحات مطابق :حل

:با است برابر قطب این در مانده مقدار ،)چرا؟( ماست توجه مورد یکی فقط که است ساده قطب دو داراي انتگرال زیر تابع

:با است برابر مانده قضیه طبق نهایی جواب نتیجه درpp 2)

21)(2(2

ii

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

74

.کنید محاسبه را مقابل انتگرال :مثالداریم :حل

یا انتگرال زیر تابع قطبهاي آن در که:از عبارتند مخرج هاي ریشه همان

:با است برابر آن در مانده مقدار که ،)چرا؟( دارد قرار واحد شعاع به اي دایره داخل z2 فقط باال ریشه دو از

:با است برابر نهایی جواب نتیجه در

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣٨

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

75

گویا توابع ناسره انتگرالهاي .2نیست، متناهی آنها در انتگرالگیري فاصله که را مقابل نوع از حقیقی انتگرالهاي

:میشود تعریف چنین و گویند ناسره انتگرال

:نوشت چنین میتوان آنگاه باشند، موجود باال در راست طرف حد دو هر اگر

که حدودي وجود عدم صورتی در حتی است ممکن مقدار این .مینامند انتگرال کوشی اصلی مقدار را 5 در موجود حد:اسن شده آورده زیر عبارت دو نمونه عنوان به .باشد موجود است، آمده 4 در

)3 (

)4 (

)5 (

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

76

و است صفر مخالف حقیقی مقدار هر ازاي به مخرجش که باشد حقیقی گویاي تابع یک ،3 در مندرج تابعی کنید فرض و دارند وجود4 در شده مطرح حدود صورت این در .است صورت درجه از بیشتر درجه 2 حداقل مخرج درجه همچنین

.میگیریم نظر در زیر شکل مطابق را C بسته مسیر منظور این به .کرد شروع 5 از را انتگرالگیري میتوان نظر در بزرگ کافی قدر به را R اگر و است فوقانی صفحه نیم در قطب متناهی تعداد داراي f(z) گویاست، f(x) چون

:داشت خواهیم مانده قضیه به بنا آنگاه .میگیرد بر در را قطبها این C صورت آن در بگیریم،

.بود خواهد نظر مد است، قطب داراي f(z) آن در که فوقانی صفحه نیم از نقاطی در ،f(z) هاي مانده همه آن در که

)6 ( →

٠۶/٠۴/١۴٣۴

٣٩

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

77

میل صفر سمت به S دایره نیم روي انتگرال مقدار میکند، میل بینهایت سمت به R وقتی که کرد ثابت میتوان اکنون .)دانشجوست عهده به اثبات مطالعه( میکند

رسید،7 به میتوان 6 و5 از نتیجه در

.میشود محاسبه فوقانی، صفحه نیم در f(z) قطبهاي با متناظر هاي مانده همه روي مجموع آن در که

.کنید محاسبه را مقابل انتگرال :مثال قرار فوقانی صفحه نیم در آنها دوتاي فقط شکل به توجه با که ،)چرا؟( است زیر قطب چهار داراي انتگرال زیر تابع :حل

.دارند

)7 (

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

78

:از عبارتند نقطه دو این در تابع باقیمانده :حل ادامه

:داریم 7 طبق

:نوشت میتوان است، زوج انتگرال زیر تابع چون و

٠۶/٠۴/١۴٣۴

۴٠

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

79

.کنید محاسبه را مقابل انتگرال :مثال

1 در در دوم مرتبه قطب داراي انتگرال زیر تابع که میشود مالحظه زیر روابط به توجه با :حل ± 2i است:

1 فقط که + 2i داریم نقطه این در مانده محاسبه با نتیجه در .دارد قرار فوقانی صفحه نیم در:

:با است برابر مانده قضیه طبق نهایی جواب نتیجه در

izizzzzz 21214)1(0)4)1(()52( 22222

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

80

فوریه انتگرالهاي .3.میشوند ایجاد فوریه انتگرال با ارتباط در هستند زیر شکل به که حقیقی انتگرالهاي

درجه همچنین و است صفر مخالف حقیقی مقدار هر ازاي به مخرجش که باشد حقیقی گویاي تابع یک f(x) هرگاه قبل قسمت محاسبه روش با مشابه را باال انتگرالهاي میتوان آنگاه است، صورت درجه از بیشتر درجه 2 حداقل مخرج

نیمدایره مسیر روي را مقابل انتگرال میتوان یعنی .کرد محاسبه:نوشت و گرفت نظر در قبل صفحه چند در شده داده نشان

.میشود محاسبه فوقانی صفحه نیم در آن قطبهاي در ،f(z)eisz هاي مانده روي جمع آن در که

)8 (

٠۶/٠۴/١۴٣۴

۴١

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

81

:مییابیم طرفین در موهومی و حقیقی قسمتهاي دادن قرار مساوي با

.کنید محاسبه را مقابل انتگرالهاي :مثال

:نوشت میتوان نتیجه در ،ik با است برابر که دارد باالیی صفحه نیمه در قطب یک تنها عبارت :حل

)9 (

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

82

.کنید محاسبه را مقابل انتگرال :مثال

:میشود تعیین قطبها، کردن مشخص براي مخرج، هاي ریشه زیر روند مطابق ابتدا :حل

:داریم اول نقطه در مانده محاسبه با نتیجه در .دارند قرار فوقانی صفحه نیم در اول دوتاي که

:داریم دوم نقطه در مانده محاسبه با ترتیب همین به

,2)1(,2)1(,2)1(,2)1(01 43214 izizizizz

)21sin21(cos24

)1(

)22(22)8(4)(

22)22(4)2)1((4421

2212)1(

3

2)1(

31

1

iie

ieei

ei

eze iiiiiz

)21sin21(cos24

)1(4

21

32

2

iiezeiz

٠۶/٠۴/١۴٣۴

۴٢

محاسبه انتگرالهاي حقیقی

83

:داریم اول نقطه در مانده محاسبه با نتیجه در .دارند قرار فوقانی صفحه نیم در اول دوتاي که

بدون نتیجه این است، شده داده نشان زیر عبارت در که است واقعیتی بر تاییدي موهومی، قسمت شدن صفر همچنین.)چرا؟( بود معلوم نیز مختلط توابع بحث از استفاده

)21sin21(cos2

))2(21sin)2(21(cos4

2

))21sin21)(cos1()21sin21)(cos1((24

21

2121

21

4

eiiei

iiiieidzzeiz

pp

p

544.1)21sin21(cos21

Re1

cos 21

44

edzzedz

xx iz p

01

Im1

sin44

dzzedz

xx iz